Análise de Fourier 01 02

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Análise de Fourier 
Introdução 
Daiana Nascimento Muniz, Profª MSc. 
daiana.muniz@unoesc.edu.br 
Introdução 
 Apresentação da Disciplina 
 Ementa 
 Bibliografia 
 Avaliação 
 Conceitos iniciais 
 Números complexos 
 Modelos de sinais 
 Operações com sinais 
 Tipos de simetria 
 
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Apresentação da Disciplina 
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Ementa 
1. Conceitos fundamentais sobre sinais elétricos contínuos 
no tempo. 
2. Definição de espectro. 
3. Série de Fourier para a representação de sinais 
periódicos. 
4. Transformada de Fourier e para sinais não periódicos. 
5. Conceitos fundamentais sobre sinais elétricos discretos 
no tempo. 
6. Transformada Discreta de Fourier. 
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Bibliografia 
 LATHI, B. P. Sinais e sistemas lineares. 2. ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2007. 856 p. ISBN 9788560031139. 
 OPPENHEIM, Alan V.; WILLSKY, Alan S. Sinais e sistemas. 2. ed. 
São Paulo: Pearson, 2010. xxii, 568 p. ISBN 9788576055044. 
 ROBERTS, Michael J. Fundamentos em sinais e sistemas. São 
Paulo: McGraw-Hill, 2009. 764p. ISBN 9788577260386. 
 HAYKIN, Simon S.,; VEEN, Barry Van. Sinais e sistemas. Porto 
Alegre Bookman 2001. xviii, 668 p. ISBN 8573077417. 
 HSU, Hwei P.. Teoria e problemas de sinais e sistemas. Porto 
Alegre: Bookman, 2004. 431 p. (Schãum) ISBN 8536303603 
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Bibliografia 
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Avaliações 
 Durante o curso serão realizadas pelo menos cinco avaliações 
envolvendo os tópicos do programa, incluindo um trabalho 
interdisciplinar, relacionado com as componentes curriculares Circuitos 
elétricos III e Sistemas Lineares. A média final será calculada a partir das 
avaliações realizadas. Os pesos correspondentes a cada avaliação será 
definido da seguinte forma: 
 A1 01: prova escrita (fator 0,2) 
 A1 02: prova escrita (fator 0,2) 
 A1 03: atividade de laboratório (fator 0,1) 
 A1 04: trabalho interdisciplinar (fator 0,1) 
 A1 final: prova escrita abrangente (fator 0,4) 
 O aluno que não obtiver média final maior ou igual a 7,0 (sete), com 
frequência suficiente (75%), fará uma prova de exame denominada A2, 
envolvendo todo o conteúdo da disciplina com nota mínima 4,0, 
conforme regimento da instituição. 
 Obs.: Faltas em dias de avaliação serão recuperadas somente conforme 
regimento. 
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Considerações Finais 
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 Assiduidade e pontualidade 
 Evitar ficar saindo durante a aula; 
 Faltas só serão recuperadas conforme regimento (justificativas de 
trabalho não serão aceitas para faltas em provas!!) 
 Nível de dificuldade 
 Não é uma matéria para se estudar de véspera; 
 A avaliação A2 deve ser evitada, pois os assuntos apresentam uma 
certa dependência; 
 Se você tem dúvidas a respeito de números complexos, então é 
bom resolver esse problema logo! 
Conceitos iniciais 
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Números complexos 
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Números complexos 
jbaz
bz
az
}Im{
}Re{
ij1
22 bar
sin
cos
rb
ra
o Coordenadas retangulares 
são representadas por a e b. 
o Coordenadas polares são 
representadas por r e φ. 
a
b1tan
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jrez
Operações 
 Soma e subtração: 
 
 
 
 Multiplicação: 
 
 
 
 Logaritmo: 
 
 
 
j
j
sejdcz
rejbaz
2
1
)()()()(
)()()()(
21
21
dbjcajdcjbazz
dbjcajdcjbazz
)(
21
21
)()).((.
)()()).((.
jjj ersserezz
bcadjbdacjdcjbazz
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2121
2121
loglog)/log(
loglog).log(
zzzz
zzzz
Operações 
 Divisão: 
 
 
 
 
 
 Potência 
 
 
 
j
j
sejdcz
rejbaz
2
1
)(
2
1
22
2
1 )()(.
j
j
j
e
s
r
se
re
z
z
dc
adcbjbdac
jdc
jdc
jdc
jba
jdc
jba
z
z
n
j
nnjn
jnnnjn
nn
errez
errez
jbaz
111
1
1
1
)()(
)()(
)()(
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Números complexos: 
Identidade de Euler 
)(
2
1
cos
)(
2
1
sin
sincos
jxjx
jxjx
jx
eex
ee
j
x
xjxe
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Definições uteis 
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je
e
j
j
2
1
...15,11,7,3,
...13,9,5,1,
,1
,,1
2
2
nj
nj
e
Zne
ímparnZne
jn
nj
jn

0,
0,0
lim )(
)(
tj
t
tjttj
e
eee
Exercícios 01 
 Escreva os seguintes números na forma polar e os 
represente graficamente: 
 
 
 Escreva os seguintes números na forma retangular e os 
represente graficamente: 
 
 
 Mostre que as igualdades são verdadeiras: 
 
jz 11
342 jz
)34)(1(3 jjz
4/4/
4 2
jj eez
4/
1 3
jez
jez /12
)34)(1(3 jjz
24/4
jez
2
)31(
6
23
je
e
j
5
)321(2
2
)31(
Im
2
j
j
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Exercícios 02 
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 Prove a seguinte identidade trigonométrica utilizando as 
equações de Euler: 
 
 
 Encontre a parte real e imaginária da função: 
1)(sin)(cos. 22 xxa
22
)4(3
)(.
wwj
wjw
wfe
2
4
)(.
2
jw
jw
wfd
3
3
)(.
jw
wfc
35)(. 2 jwwwfa
)()(. jwewfb w
)sin()sin()cos()cos()cos(.b
Exercícios 03 
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 Simplifique as expressões: 
Modelos de sinais 
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Modelos de sinais 
 Função Degrau Unitário: 
 
 
 
 
 Função Impulso Unitário: 
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00
01
)(
t
t
tu
1)(
0,0)(
dtt
tt
Modelos de sinais 
 Função de Porta Unitária: 
 
 
 
 
 Função Interpolação sinc(x): 
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5,0||1
5,0||5,0
5,0||,0
)(
t
t
t
tret
01
0
)sin(
)(sin
t
t
t
t
tc
Operações com sinais 
 Deslocamento temporal: 
)()(
)()(
tTtx
tTtx
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Operações com sinais 
 Reversão temporal: 
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)()( ttx
Operações com sinais 
 Escalonamento temporal: 
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)()()(
t
a
t
x
tatx
Exercícios 04 
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 Determine a função f(t) das figuras abaixo: 
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Exercício 05 
 Expresse os sinais x1(t), x2(t), x3(t), x4(t) e x5(t) em termos 
do sinal x(t) e suas versões escalonadas, deslocadas ou 
revertidas no tempo. 
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Tipos de Simetria 
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Tipos de simetria 
 Função Par: 
 
)()( xfxf
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Tipos de simetria 
 Função Ímpar: 
 
)()( xfxf
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Tipos de simetria 
 Simetria de Meia Onda 
 
)2()( Txfxf
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Exercícios 06 
 Determine a simetria dos sinais: 
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