Análise de Fourier 06

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Análise de Fourier 
Séries de Fourier 
Daiana Nascimento Muniz, Profª MSc. 
daiana.muniz@unoesc.edu.br 
Séries de Fourier 
 Existência e convergência 
 Condições de Dirichlet 
 Exemplos 
 Espectros da série de Fourier 
 Decomposição do sinal 
 Espectro de amplitude 
 Espectro de fase 
 Simulação 
 Fenômeno de Gibbs 
 
 
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Existência e convergência 
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Existência da série de Fourier 
 
 Para a existência da série de Fourier seus coeficientes 
(an, bn, Cn, θn, e Dn) devem ser finitos. 
 Para garantir isso, temos que garantir que x(t) é 
absolutamente integrável em um período, portanto: 
0
|)(|
T
dttx
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Convergência da série de Fourier 
 Convergir: 
 Tender ou dirigir-se (para o mesmo fim). 
 Concorrer, afluir (ao mesmo ponto). 
 Do ponto de vista matemático, convergir é chegar em um 
resultado conhecido (que não seja infinito ou 
indeterminado). 
 A convergência da Série de Fourier demonstra que a 
soma de inúmeras harmônicas senoidais formam um sinal 
periódico para todo instante de tempo. 
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Convergência da série de Fourier 
 Condições de Dirichlet: 
1. A função x(t) deve ser absolutamente integrável, ou seja: 
 
 
 
 
0
|)(|
T
dttx
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Convergência da série de Fourier 
 Condições de Dirichlet: 
2. A função x(t) deve ter um número finito de descontinuidades 
finitas em um período 
 
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Convergência da série de Fourier 
 Condições de Dirichlet: 
3. A função x(t) deve ter um número finito de máximos ou mínimos 
em um período. 
 
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Exemplo 01 
 Verifique se a série de Fourier existe e converge para a 
função: 
 )2sec(cos)( ttx
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Espectro da série de Fourier 
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Decomposição do sinal 
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Decomposição do sinal 
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Espectro de Amplitude 
 Se x(t) for uma função com variações suave: 
 o seu espectro de amplitude cai do modo mais rápido. 
 a aproximação requer poucos termos. 
 
 Por exemplo, o espectro de uma função triangular tem 
decaimento 1/n²; 
 
 
 
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Espectro de Amplitude 
 Se x(t) for uma função com variações bruscas: 
 o seu espectro de amplitude cai do modo mais rápido. 
 a aproximação requer muitos termos. 
 
 Por exemplo, o espectro de uma função triangular tem 
decaimento 1/n; 
 
 
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Espectro de amplitude 
 Se as k-1 derivadas de um sinal periódico x(t) são 
contínuas e a k-ésima derivada é descontínua, então o 
espectro de amplitude (Cn ou |Dn|) decai com a 
frequência tão rápida quanto 1/nk+1. 
 No caso da onda quadrada, o sinal é descontínuo. Portanto sua 
derivada zero é descontínua (k=0), de modo que seu decaimento é 
1/n. 
 No caso da onda triangular a sua primeira derivada é descontínua 
(k=1), então seu decaimento é 1/n². 
 
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Espectro de fase 
 O espectro de fase tem um papel tão importante quanto o 
espectro de amplitude para o formato do sinal x(t). 
 
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Simulação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 http://www.falstad.com/fourier/ 
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Fenômeno de Gibbs 
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Fenômeno de Gibbs 
 
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Fenômeno de Gibbs 
 Josiah Willard Gibbs percebeu que em um sinal quadrado 
x(t), a soma de N harmônicas (com N→∞) gera uma 
aproximação de x(t) onde existe um sobre sinal de 
aproximadamente 9% próximo as descontinuidades. 
 
 O fenômeno de Gibbs é valido para qualquer sinal 
periódico que possui descontinuidades. 
 Nas descontinuidades a série de Fourier converge para um valor 
médio entre os dois lados da descontinuidade. 
 O sobre-sinal de aproximadamente 9% ocorre no limite direito e 
esquerdo da descontinuidade. 
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Exercícios 
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Exercícios 01 
 Determine: 
 O espectro de amplitude e fase (|Dn| e ∟Dn); 
(a) 
(b) 
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(c) 
(d) 
(e) 
(f) 
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Exercício 02 
 Verifique se a série de Fourier existe e converge para as 
seguintes funções: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
f) 
 
)2sin(5)2cos(3)( tttx
2)]5cos()2sin(3[)( tttx
)4sin()2sin()( tttx
)4sec(5)( ttx
)/cos(2)( ttx
contrariocaso
te
tx
t
,0
20,
)(
4
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