EXERCÍCIOS APLICADOS DE ESTATÍSTICA

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EXERCÍCIOS APLICADOS
Disciplina: Estatística aplicada 
Aluno: Luiz Gomes Monteiro Araújo	
Mat: 201407090798
ESTÁCIO / CENTRO UNIVERSITÁRIO FACITEC
e-mail do aluno: 
lz.vn.monteiro@outlook.com
Questão 01 – Qual dos dois estimadores abaixo é mais eficiente para estimar a média populacional?
X1 = 0,3X1 + 0,7X2; ou, 
X2 = 0,2X1 + 0,8X2
Solução Proposta:
Como são ambos não tendenciosos tem-se que:
Var( X1) = Var(0,3X1 + 0,7X2) = 0,32Var(X1) + 0,72Var(X2) = (0,09 + 0,49)s2 = 0,58s2.
Var( X2 ) = Var(0,2X1 + 0,8X2) = 0,22Var(X1) + 0,82Var(X2) = (0,04 + 0,64)s2 = 0,68s2.
Desta forma, evidencia-se que X1 é mais eficiente que X2
Questão 02 – Considere uma população composta dos valores 3, 6 e 9. Suponha que amostras de dois valores sejam selecionadas aleatoriamente com reposição. Ache a variância σ2 da população {3, 6, 9}.
Solução Proposta:
A variância é igual a [9] é dada pelo quadrado do desvio padrão, conforme a formula abaixo.
 & 
	Média (X)
	(3 + 6 +9)
	==>
	6
	
	3
	
	
	Calculo da Variância
	(3 - 6) + (6 - 6) + (9 - 6) ==> (-3 +0 + 3)
	
	
	Quadrado da Variância
	(-3^2 + 0^2 + 3^2) ==> 18
	
	
	Variância
	[Quad. Variância / (n - 1)] = (18 / 2) ==> 9
	
	
	Desvio Padrão
	√(9) ==> 3
Questão 03 – O IMC medido em um grupo de 40 mulheres teve desvio padrão de 6,17. Deste conjunto, foram retiradas aleatoriamente as seguintes amostras de IMC:
	19,6 
	23,8 
	19,6 
	29,1 
	25,2 
	21,4 
	22 
	27,5 
	33,5 
	20,6 
	29,9 
	17,7 
	24 
	28,9 
	37,7 
O desvio padrão desta amostra está razoavelmente próximo do desvio padrão da população?
Solução Proposta:
Para os cálculos, conforme a formula abaixo.
 & 
Média (X) ≡ 25,37
Variância ≡ 32,1
Desvio Padrão ≡ 5,67
Sim, o valor encontrado para o desvio padrão da amostra é de 5,67 que está razoavelmente próximo de 6,17.
Questão 04 – A vazão medida em um rio foi de 84 litros por hora. Sabe-se que a vazão média histórica deste mesmo rio é de 76 L/h e desvio padrão de 10 L/h. Em outro rio, cuja vazão média histórica é de 82 L/h e desvio padrão 16 L/h, mediu-se uma vazão de 82 L/h. Em qual dos rios a vazão relativa foi mais elevada?
Solução Proposta:
Z = [(X - µ) / σ]
Z1 = (84 – 76) / 10 0,8
Z2 = (82 – 82) / 16 0
Z1 > Z2 vazão relativa é maior 
Questão 05 – Um fabricante de equipamentos eletrônicos vende resistores, em lotes de 500 unidades, ao preço de 1500,00 u.m. o lote. O valor nominal da resistência elétrica desses componentes é de 47 kΩ e o seu custo de fabricação é de 2,00 u.m. a unidade. Admita que o valor da resistência elétrica de um tal resistor na verdade se comporta como uma variável aleatória com média µ e desvio padrão 1 kΩ. Ocorre que os compradores exigem que, antes de fechado um negócio, seja extraída do lote uma amostra aleatória simples com n resistores, cujas resistências elétricas x1, x2, x3, ..., xn são medidas, e a venda só se concretiza se [X – 47] < 0,2 (em kΩ). Caso contrário, o lote é inutilizado.
Solução Proposta:
Lucro = Receita – Despesa
Receita = 1500, se [X – 47] < 0,2 ou 0, caso contrário.
Despesa = 2 x 500 = 1000
Lucro = R$ 1500 x P[46,8 < X < 47,2] –R$ 1000 = 1500 {Φ[(47,2 - µ)/(1(√n))] – Φ [(46,8 - µ)/(1/(√n))]} - 1000
a) Que tamanho mínimo n da amostra o vendedor deve propor que seja utilizado, para que o seu lucro esperado em cada lote seja de pelo menos 400,00 u.m., no caso de o seu processo produtivo estar perfeitamente regulado, isto é, µ = 47kΩ? 
Solução Proposta:
1500 { Φ(0,2√n) – Φ (0,2√n)} – 1000 ≥ 400
= Φ + Φ = 2 Φ
= 2 Φ{0,2 √n) - 1≥ [(400+100)/1500)]
= {5 Φ ^-1 (29/30)}^2 84 resistores
b) Usando o valor de n calculado em (a), qual o lucro esperado do vendedor em cada lote, se µ = 46,9 kΩ (ou seja, se há uma pequena desregulagem no processo)? 
Solução Proposta:
= 1500 x {Φ [(47,2 – 46,9) / 1/(√84)] – Φ [(46,8 – 46,9) / 1/(√84)]} – 1000 R$ 225,98 
c) E se µ = 46,8kΩ?
Solução Proposta:
= 1500 x {Φ [(47,2 – 46,8) / 1/(√84)] – Φ [(46,8 – 46,8) / 1/(√84)]} – 1000 R$ 250,19 
Questão 06 – Deseja-se estimar o gasto mensal médio com alimentação µ das famílias de uma determinada cidade. O procedimento proposto consiste em entrevistar n = 100 famílias e adotar a média aritmética dos seus gastos mensais em alimentação como uma estimativa do parâmetro de interesse. Consultando estatísticas de períodos anteriores, verifica-se que o coeficiente de variação do gasto familiar mensal em alimentação nessa cidade tem oscilado pouco ao longo do tempo em torno de 0,9. Assim sendo aqui ele será considerado conhecido e igual a 0,9. X
Solução proposta
Sabemos que σ / µ=0,5, onde µ e ɛ são, respectivamente, a média e o desvio padrão populacionais do consumo familiar mensal em alimentação. Usando a aproximação dada pelo Teorema Central do Limite, temos:
 Isso implica que: 
a) Qual a probabilidade de que o erro relativo [(X - µ) / µ] não exceda 5%?.
Equação => ((Z1- α) / 2) = ɛ√n / (σ / µ)
Substituindo os valores na equação temos que: ɛ = 0,05 e n = 100
= (0,05√100) / 0,5 = 1, conclui-se 1 – α = 0,68
 Isso quer dizer que, se usarmos uma amostra com 100 famílias, há uma probabilidade de 68% de que o erro relativo na estimativa do consumo médio mensal em alimentação seja inferior a 5%.
b) Calcule ɛ para que o erro relativo seja menor que ɛ com probabilidade 0,9. 
Equação = {[(Z1- α / 2) x σ / µ] / √n} 1 – α = 0,90 => Z1- α / 2 = 1,64
N = 100 e σ / µ = 0,5 
Então: ɛ = (1,64 x 0,5) / √100 0,082 ou 8,2% 
 Isto indica que com uma amostra de 100 famílias, há uma probabilidade de 90% de que o erro relativo na estimativa do consumo médio mensal em alimentação seja inferior a 8,2%.
c) Qual ao menor valor de n necessário para que o erro relativo não exceda 5% com probabilidade 0,9? 
Equação: [(Z1- α / 2)^2 x (σ / µ)^2] / ɛ^2
Substituindo => Z1- α / 2 = 1,64 e ɛ = 0,05, tem-se (1,64^2 x 0,5^2) / 0,05^2 269
 Isto indica que, com 90% de chance, o erro relativo de estimação seja menor que 5%, temos que usar uma amostra com 269 famílias.