III. continuação ~ Minerais anisotrópicos biaxiais

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________________________________________________ Mineralogia Óptica, Nardy, A.J.R; Machado, F.B, cap.III, pag.31
Minerais anisotrópicos biaxiais
Quando iniciamos o estudo sobre as indicatrizes dos minerais, abordamos inicialmente aquelas
isotrópicas por serem as mais simples de todas, apresentando apenas um único índice de refração.
Do ponto de vista cristalográfico os minerais isotrópicos apresentam maior grau de simetria pois
pertencem ao sistema isométrico, onde apenas um único parâmetro de cela é necessário para sua
descrição.
As indicatrizes anisotrópicas, vimos, são caracterizadas por mais de um índice de refração. Aquelas
uniaxiais, apresentam dois deles (ne e nw) e consequentemente, suas indicatrizes são representadas
por elipsóides de revolução de dois eixos (E e O). São uniaxiais os minerais que cristalizam-se nos
sistemas trigonal, tetragonal e hexagonal. Estes três sistemas são caracterizados por uma forte
simetria ao redor do eixo cristalográfico “C” (é a direção que apresenta um eixo de maior ordem do
sistema cristalino), sendo necessários dois parâmetros de cela para sua descrição: uma na direção
de “c” e outra perpendicular a ele (a = b ¹ c), daí seus dois índices de refração.
As indicatrizes anisotrópicas biaxiais, são representadas por elipsóides de revolução com três eixos
principais, onde cada um deles representa um índice de refração (na, nb e ng). De fato, os sistemas
cristalinos ortorrômbico, monoclínico e triclínico apresentam um grau de simetria menor ainda do
que aqueles uniaxiais, sendo necessários três parâmetros de cela para caracteriza-los (a ¹ b ¹ c).
Os três eixos principais do elipsóide biaxial são denominados de “X”, “Y“ e “Z”, cujos
comprimentos são proporcionais, respectivamente, aos índices de refração dos raios na, nb e ng,
também chamados de direções de vibração ou privilegiadas do mineral. Na Figura III.12, acha-se
representada uma indicatriz biaxial (tridimensional e segundo uma seção principal), onde a na < nb
< ng. Esta relação será sempre verificada nos minerais biaxiais, ao contrário daqueles uniaxiais
onde ne pode ser maior ou menor que nw.
Figura III.12: Indicatriz biaxial mostrando as relações entre as direções X, Y e Z da elipse com os índices de refração
na, nb e ng. Observe a relação na < nb < ng, que é sempre obedecida na óptica dos cristais biaxiais. Duas seções
circulares de raio proporciona a nb e portanto com direção de Y estão presentes.
A indicatriz biaxial, mostra três seções principais: X-Y, X-Z, Z-Y, todas elas correspondendo a
elipses, Figura III.13. Na seção X-Y, estão presentes os índices na e nb; na X-Z, na e ng; e na Z-Y,
ng e ; nb .
eo eo
Y
XSeção Circular
Seção Principal (ZX)
 Plano Óptico
2 V
eo eo
SC
SC
na
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Z
X
Z'Z '
YY
X' X'
 seção
circular
 seção
circular
Figura III.13: Indicatriz Biaxial, mostrando três seções principais da
indicatriz e os índices de refração associados a cada uma delas. Observe que
todas elas são elípticas e:
 Seção ZY – estão associados os índices de refração ng e nb,
 Seção XZ- estão associados os índices de refração na e ng,
 Seção XY- estão associados os índices de refração na e nb
Geometricamente podemos observar na seção principal da indicatriz definida por X-Z, ou seja a
seção que contém as direções de maior (Z) e menor comprimento (X), que existem duas seções que
contém o eixo de comprimento intermediário – Y, que correspondem a duas seções circulares,
cujos raios são iguais a nb ., conforme esquematizado na Figura III.14.
Figura III.14: Representação da indicatriz biaxial segundo a seção principal
X-Z. Observe que seções inclinadas a Z (por exemplo Z’) terão índices de
refração progressivamente menores (veja que o comprimento de ng’,
associado a direção Z’, é menor do que o de ng, que está associado a Z).
Observe também que as seções inclinadas a X (por exemplo X’) terão índices
de refração progressivamente maiores (veja que o comprimento de na’,
associado a direção X’, é maior do que o de na, que está associado a X).
Consequentemente, haverá uma certa seção, entre X e Z que coincidirá com a
direção Y da indicatriz, tendo como índice de refração, nb. Por construção,
esta seção é uma seção circular (ao contrário das demais que são elípticas)
com raio equivalente a nb.
Como perpendicular a uma seção circular há sempre um eixo óptico associado, as indicatrizes
biaxiais possuem dois eixos ópticos e os raios que se propagam segundo essas direções, estarão
submetidos, todos, ao mesmo índice de refração nb . Observe na Figura III.12, que os eixos ópticos
estão contidos na seção principal XZ, que recebe então a designação de plano óptico e o ângulo
agudo que eles formam entre si, medido sobre este plano, recebe a designação de ângulo 2V.
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Relações morfológicas dos cristais com as indicatrizes
Na Figura III.15, está representado um cristal biaxial caracterizado por diversas faces e sua
indicatriz disposta em seu centro geométrico a exemplo do que foi feito no estudo das indicatrizes
uniaxiais. Observe que as diferentes faces do cristal cortam a indicatriz resultando elipses de
intersecção distintas, e assim, índices de refração distintos em cada face específica.
Observe por exemplo, que a face XZ corta a indicatriz resultando em uma elipse de intersecção
com eixo maior igual a Z e menor igual a X, ou seja os índices de refração associados a ela serão
na e ng (observe que a face considerada é paralela. a seção principal XZ da indicatriz). Seguindo o
mesmo raciocínio, para a face XY os índices de refração associados seriam na e nb , para a YZ nb e
ng, e até que em YC apenas nb .
Figura III.15: Relações entre os índices de refração associados as diferentes faces de um cristal biaxial. As faces XZ,
XY, YZ correspondem às seções principais homônimas da indicatriz e, como os índices de refração associados a uma
face serão aqueles que ficam contidos no plano de intersecção da face do mineral com a sua indicatriz (elipse de
intersecção), teremos para XZ: na e n g, XY: na e nb, YZ- nb e ng. Observe também que a face X’Y corta a indicatriz
segundo Y mas de forma inclinada em relação a X e consequentemente os índices de refração associados seriam na’ e
nb. Para a face X’Z’, veja que ela secciona a indicatriz de forma inclinada em relação a X e a Z e portanto, os índices
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W
Figura III.16: Incidência normal de um raio de luz não po-
 larizado em um plano geral de um mineral biaxial.
de refração associados seriam na’e ng’. Situação inversa acontece na face Y, pois ela é exatamente paralela a seção
circular da indicatriz e por conseqüência, o índice de refração a ela associada seria apenas nb.
Alguns casos de incidência da luz em superfícies cristalinas biaxiais
Todos os casos a serem analisados referem-se à incidência normal sobre a superfície cristalina, ou
seja, i = 0. Sempre que um raio de luz incide em uma superfície anisotrópica, os índices de refração
que estarão associados a ele, serão aqueles perpendiculares a sua direção de propagação. Tendo
isso em mente, analisemos os casos abaixo:
1º caso Þ Incidência em planos gerais
Planos gerais são aqueles em que a face
ou seção do mineral não contém nenhum
índice de refração principal da indicatriz.
Corresponderia (e de fato sempre
corresponderá!) a face X’Z’ da Figura
III.15.
Para a incidência normal de um raio de
luz não polarizado em uma seção X’Z’,
conforme representado na Figura III.16,
surgirão dois raios de luz, OR1 e OR2 que
terão direções de polarização paralelos a
OZ’ e OX’, respectivamente, conformemostra a Figura III.16. Estes dois raios
(OR1 e OR2), estarão contidos nos planos
definidos por estas retas, suas direções de
propagação e a normal a estas direções
(OW). Suas direções de propagação serão aquelas definidas por seus raios conjugados, sendo OR1
o raio conjugado de OZ’ e OR2 o de OX’ Observe que nesta situação, ambos os raios (OR1 e OR2)
têm comportamento de raios extraordinários. Por outro lado, se o raio de luz estiver polarizado, os
raios refratados dependerão da direção de polarização da luz. Se a luz acha-se polarizada segundo a
direção OX’, o raio a ser refratado será unicamente o raio OR2. Porém se ele estiver polarizado
segundo a direção OZ’, o raio refratado será apenas OR1. Entretanto, se a direção de polarização da
luz não coincide com nenhuma das direções “privilegiadas”, a luz será decomposta na refração
segundo as direções OX’ e OZ’, com o aparecimento de ambos os raios, OR1 e OR2.
2º caso Þ Incidência em planos semi-gerais
Plano semi-geral é aquele em que a face ou a seção do mineral, contém um eixo principal da elipse.
É o caso por exemplo da face X’Y da Figura III.15. Portanto, trata-se de um caso mais particular
que o anterior, pois um semi-eixo da elipse de intersecção é exatamente o mesmo da indicatriz. Na
Figura III.17, um raio de luz não polarizado, incide perpendicularmente ao plano semi geral X’Y de
um mineral biaxial. Com isso há, devido ao fenômeno da dupla refração, o surgimento de dois raios
de luz OR1 e OR2. Como as direções de vibração (ou índices de refração) associados a um raio são
aquelas perpendiculares a sua direção de propagação e seguindo o mesmo raciocínio do caso
anterior, o raio
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Figura III.17: Incidência normal de um raio de luz não po-
larizado em um plano semi-geral de um mineral biaxial.
Figura III.18: Incidência normal de um raio de luz não pola-
 rizado em um plano principal de um mineral biaxial.
OR1 terá direção de vibração de OZ (estará
contido no plano definido por OR1 – OZ e
OW) enquanto que o OR2, a direção de
vibração de OX’ (estará contido no plano
definido por OR2 – OX’ e OW), ou seja o
raio OR1 é o raio conjugado de OZ
enquanto que o OR2 é conjugado de OX’.
Além disso, observe que a normal a frente
de onda dos raios OR1 e OR2 (OW)
coincide com OR1. Com isso, a construção
apresentada na Figura III.17, evidencia que
o raio OR1 tem comportamento de raio
ordinário (prevista pela lei de Snell, pois o
ângulo entre o raio de incidência e a
normal a superfície do mineral é igual a
zero) enquanto que o OR2 se comporta
como um raio extraordinário (pois não
obedece a lei de Snell). Se o raio de luz que incide nesta superfície do mineral for polarizado, o
efeito será o mesmo descrito no caso 1
3º caso Þ Incidência em planos principais
É um caso ainda mais particular de
incidência de luz em um cristal
anisotrópico biaxial, pois a seção, ou a
face do mineral, corta a indicatriz de
forma a conter dois eixos principais da
elipse (X, Y, Z), que é recebe a
designação de plano principal. Na
Figura III.15, como para qualquer
mineral biaxial, reconhecemos as faces
XY, YZ e XZ como planos principais
da indicatriz.
Para um raio de luz não polarizado
incidindo sobre o plano principal YZ
(conforme mostrado na Figura III.18)
e, se empregarmos o mesmo raciocínio
que utilizamos para identificarmos as
direções de propagação e vibração dos
raios resultantes do fenômeno da dupla refração promovido pelo mineral biaxial, teremos a situação
representada na Figura III.18. Observe que os raios conjugados da direções OY e OZ são paralelos
entre si e consequentemente os raios OR1, OR2 e a normal a frente de onda destes dois raios (OW)
também são coincidentes. Neste caso, os dois raios, OR1 e OR2, têm comportamento de raios
ordinários.
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Neste caso, se a luz for polarizada, e se a direção de polarização coincidir com OX ou OY só
haverá um raio refratado (OR1 e OR2, respectivamente).
Observe que a terminologia empregada nos minerais uniaxiais, onde designamos as direções do
elipsóide e os índices de refração da indicatriz como sendo do raio ordinário (O, nw) e
extraordinário (E, ne) é imprópria para as indicatrizes biaxiais, pois associados a uma seção
poderemos ter dois raios extraordinários (caso 1), um raio ordinário e outro extraordinário (caso 2)
ou dois raios ordinários (caso 3). Assim, no estudo das indicatrizes biaxiais, utilizamos a
designação de raios lento ou rápido. Como nos minerais biaxiais, os índices de refração associados
as direções X (na), Y (nb) e Z (ng), obedecem sempre a relação na < nb < ng, ao índice de refração
associado a X (na) corresponderá sempre o do raio rápido e a Z (ng) o raio lento. Quanto a direção
Y ou a nb , dependerá a qual outra direção ou índice de refração ele esteja associado. Se for a X, nb
corresponderá ao raio rápido mas, se for a X ou a na, será o raio lento.
Orientação das indicatrizes em função dos eixos cristalográficos dos minerais.
Vimos que os minerais biaxiais são aqueles que se cristalizam nos sistemas ortorrômbico,
monoclínico e triclínico. Como as propriedades ópticas de um mineral são função de sua estrutura e
simetria cristalina, deve-se esperar que a estrutura cristalina ordene a sua indicatriz óptica.
Sistema ortorrômbico: os minerais deste sistema possuem três eixos cristalográficos,
perpendiculares entre si, porém com comprimentos diferentes. Estes três eixos cristalográficos
coincidirão, necessariamente, com as três direções ópticas, porém sem nenhuma relação exclusiva,
conforme mostram a Figura III.19.A e Tabela III.1.
Sistema monoclinico: os minerais do sistema monoclínico, tem no eixo cristalográfico b o único
eixo de simetria binário, com um plano de reflexão perpendicular a ele (no caso exclusivo da classe
prismática), conforme mostra a Figura III.19.B. Neste plano de simetria, estão contidos os eixos
cristalográficos a e c que por sua vez são perpendiculares a b. Assim o eixo cristalográfico b
coincidirá com um das direções X, Y ou Z da indicatriz.
Sistema triclínico: no sistema triclínico, o comprimento dos eixos cristalográficos são todos
diferentes entre si não formando ângulos retos. Como não há elementos de simetria no sistema (a
não ser um centro de inversão), os eixos da indicatriz não coincidem com nenhum dos eixos
cristalográficos.
 Sistema a b c
Ortorrômbico coincide
X, Y ou Z
 coincide
X, Y ou Z
 coincide
X, Y ou Z
Monoclínico não
 coincide
 coincide
X, Y ou Z
 não
 coincide
Triclínico não
 coincide
 não
 coincide
 não
 coincide
 Relação esquemática entre os eixos cristalográficos a,
 b e c com os eixos X, Y e Z da indicatriz biaxial.
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Figura III.19: Relação entre as indicatriz e os eixos cristalográficos dos minerais dos sistemas ortorrômbico (A),
monoclínico (B) e triclínico (C). a, b e c são os eixos cristalográficos, X, Y e Z as direções da indicatriz biaxial. O
plano hachuriado no interior dos minerais, corresponde ao um plano óptico da indicatriz que coincide com planos de
reflexão nos casos dos sistemas ortorrômbico (classes piramidal e bipiramidal) e monoclínico (classe prismática).
Índices de refração associados a um raio qualquer
Quando a incidência dos raios de luz em uma indicatriz não for normal a superfície do mineral ou
não coincidir com uma de suas direções privilegiadas (conforme foi visto no 1o caso do item
anterior), podemos determinar os índices de refração aeles associados se considerarmos que os
índices de refração a ele associados (ou as direções X, Y ou Z da indicatriz) serão aqueles
perpendiculares a sua direção de propagação na indicatriz óptica.. Considere o caso mostrado na
Figura III.20 e observe que o raio de luz incide na indicatriz, passando pelo seu centro, segundo a
direção Ri, fazendo um ângulo q em relação a direção Z da indicatriz.
Assim, traçamos um plano perpendicular à direção do raio R – R’ e observamos que a figura de
intersecção obtida, uma elipse, contém os índices de refração ng’e na’ Figura III.20. Assim o raio
R-R’ que atinge a indicatriz segundo um ângulo q em relação a direção Z da indicatriz, sofrerá o
fenômeno da dupla refração surgindo dois raios de luz um deles lento (l), que vibra paralelamente a
direção Z’ e tem índice de refração igual a ng’ e o outro, rápido (r) que vibra segundo a direção X’
e tem índice de refração igual a na’.De fato na Figura III.20, está assinalado apenas o raio normal
aos raios lento e rápido, pois o que nos interessam são as suas direções de vibração e não as suas
trajetórias individuais.
________________________________________________ Mineralogia Óptica, Nardy, A.J.R; Machado, F.B, cap.III, pag.38
R'
n
'g
n 'a
l
r
R
Figura III.20: Índices de refração associados a um raio Ri que
incide em uma indicatriz formando um ângulo Q com a direção Z.
Observe que o raio passa pelo centro da indicatriz. Como os
índices de refração associados a um raio são aqueles
perpendiculares a sua direção de propagação, foi traçado um plano
perpendicular a R – R’ que produz uma elipse de intersecção
(hachuriada na figura) com eixo maior na direção de Z’ e com eixo
menor a X’, correspondendo, respectivamente, aos índices de
refração ng’ e na’ ambos perpendiculares entre si e ao raio
incidente (R-R’); “r” e “l”, são as direções de vibração dos raios
refratados proporcionais a ng’ e na’.
Sinal Óptico e Ângulo 2V
Tendo em vista que a relação na < nb < ng é sempre obedecida, o sinal óptico dos minerais é dado
pela relação entre o valor assumido pelo índice de refração intermediário (nb) em comparação
aquele maior (ng) e menor (na). Desta forma, quando o valor numérico de nb se aproximar mais de
na, o mineral terá sinal positivo. Ao contrário, quando nb se aproximar de ng, o mineral terá sinal
óptico negativo.
Veja os exemplos das Figuras III.21 e III.22.
Figura III.21: Mineral: Silimanita
Índices de refração:
na= 1,657; nb= 1,658 e ng= 1,677
Como o valor de nb está mais próximo de na do que de ng (nb-na= 0,001 < ng-na= 0,019) o sinal
óptico da silimanita é positivo.
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Legenda: BXA= bissetriz aguda, P.O.= plano óptico; a,b,c= eixos cristalográficos, X, Y e Z=
direções ópticas, 2V= ângulo formado pelos dois eixos ópticos medidos no plano óptico.1
Figura III.22: Mineral: Faialita
Índices de refração:
na= 1,8005; nb= 1,838 e ng= 1,847
Como o valor de nb está mais próximo de ng do que de na (nb-na= 0,033 > ng-na= 0,009) o sinal
óptico da faialita é negativo.
Legenda: BXA= bissetriz aguda, P.O.= plano óptico; a,b,c= eixos cristalográficos, X, Y e Z=
direções ópticas, 2V= ângulo formado pelos dois eixos ópticos medidos no plano óptico1.
Observe que quando o mineral apresenta sinal óptico positivo a bissetriz aguda (BXA) do ângulo
2V é a direção Z da indicatriz e quando for negativo, a bissetriz aguda será a direção X. Isto ocorre
porque todo eixo óptico é perpendicular a uma seção circular. No caso dos minerais biaxiais, a
seção circular se posiciona na indicatriz segundo a direção de Y e o seu raio é proporcional a nb
(Figura III.12). Vimos que quando o mineral é positivo, nb se aproxima de na (ou Y se aproxima
de X) e como o eixo óptico é perpendicular a seção circular, o eixo óptico se aproximará de Z,
conforme mostra a Figura III.23
 
1 Obs: os eixos ópticos estão assinalados com uma bolinha cheia na sua extremidade e por um arco cuja parte convexa
aponta para a direção da inclinação do eixo óptico (da parte côncava para a convexa).
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 (B)
Biaxial -
2 V
eo eo
 (A)
Biaxial +
2
 V
eo
eo
Figura III.23: Representação em uma indicatriz biaxial da disposição do
eixo óptico (em termos de inclinação a direção Z , ou seja o ângulo V)
com a variação do índice de refração nb. Às seções circulares nb1, nb2 e
nb3, estão associados respectivamente, os eixos ópticos eo1, eo2 e eo3.
Observe que os eixos ópticos são perpendiculares a suas respectivas
seções circulares e que ao conjunto eo1-sc1, etc corresponderia a um
mineral específico.
A medida que o valor de nb aumenta (de nb1 para nb3) ou seja, ele se desloca em direção a Z (ng),
o ângulo V também aumenta de forma ao eixo óptico se aproximar progressivamente de X.
Na Figura III.24, acham-se representadas as indicatrizes biaxiais de sinais ópticos positivo(A) e
negativo (B), projetados no plano ZX, mostrando que quando positivos, a bissetriz aguda do ângulo
2V corresponde a Z e a bissetriz obtusa a X. Por outro lado, quando negativo, a bissetriz aguda do
ângulo 2V corresponde a X e a obtusa (BXO) a Z.
Figura III.24: Indicatrizes de minerais biaxiais de sinais ópticos positivo (A) e negativo (B). Legenda: sc= seção
circular, BXA= bissetriz aguda, BXO= bissetriz obtusa, eo= eixo óptico, 2V= ângulo entre os dois eixos ópticos, na,
nb e ng são os índices de refração associados, respectivamente, as direções X, Y e Z da indicatriz. (Observe que os
esquemas representados nestas figuras são as elipses de intersecção da seção XZ com as indicatrizes biaxiais positiva e
negativa).
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2
gab nnn +=
)(
)(cos
222
222
2
agb
bga
nnn
nnn
VZ -
-=
A indefinição do sinal óptico
Como o sinal óptico dos minerais biaxiais é função do valor assumido por nb em relação a na e nb ,
de tal forma que quando nb se aproximar de na o sinal óptico do mineral será positivo e, será
negativo, quando nb se aproximar de ng. Porém, existe um valor em que nb será exatamente o valor
médio entre estes dois valores ou:
Com isso, diz-se que o mineral tem sinal óptico indefinido ou ainda nulo e o seu ângulo 2V, será
igual a 90o ou seja, um eixo óptico estará disposto sobre a seção circular do outro eixo óptico!
Embora esta situação pareça ser apenas uma possibilidade teórica, de fato existem minerais que se
enquadram nesta situação. Como exemplo a forsterita (o extremo de composição magnesiana do
grupo da olivina) tem ângulo 2V entre 85 a 90o e índices de refração variando nos intervalos: na=
1,635 – 1,640; nb= 1,651 – 1,660; ng= 1,670 – 1,680.
A relação entre os índices de refração e o ângulo 2V
Vimos anteriormente que a disposição dos eixos ópticos na indicatriz óptica, é função dos valores
assumidos pelos diferentes índices de refração dos minerais. Como os eixos ópticos são
perpendiculares às seções circulares, que correspondem a direção Y (ou raio igual a nb),
normalmente se diz que as posições dos eixos ópticos são controlados pelo índice de refração nb .
No item anterior, esta relação ficou bastante clara, pois quando o valor de nb se igualou a média
dos índices de refração extremos da indicatriz (na e ng), o sinal óptico do mineral se tornou
indefinido.
Assim, pode-se a partir dos valores dos índices de refração do mineral e através da equação que
define as relações geométricas em uma elipse de revolução com três eixos, estabelecer as seguintes
relações para o ângulo 2V:
 ou
Onde: VZ=, metade do ângulo 2V, medido entre o eixo Z da indicatriz até o eixo ópticoVx= metade do ângulo 2V, medido entre o eixo X da indicatriz até o eixo óptico
Baseado nestas equações, Mertie (1942) construiu um diagrama onde o valor do ângulo 2V pode
ser estimado para os minerais biaxiais, conforme mostrado na Figura III.25.
)(
)(cos
222
222
2
agb
abg
nnn
nnn
VX -
-=
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Nele, os valores de na são plotados na ordenada do lado esquerdo do diagrama, e os de ng do lado
direito. Uma linha une estes dois pontos e sobre ela é assinalado o valor de nb . A projeção do ponto
obtido sobre a abcissa, corresponde ao valor do ângulo 2V, conforme mostra o exemplo, na Figura
III.25, de um mineral com na= 1,550; nb= 1,630; ng= 1,650. O mineral tem sinal óptico negativo e
o valor encontrado para o ângulo 2V igual a 52º.
Figura III.25: Diagrama de Mertier para o cálculo do ângulo 2V de um mineral biaxial. No caso do exemplo, o mineral
possui 2V= 52o.
GLOSSÁRIO
Ângulo 2V: É o ângulo formado entre os dois eixos ópticos de um mineral biaxial, medido sobre o
plano óptico.
Eixo óptico: É uma direção no interior do mineral onde um raio de luz incidente não sofre o
fenômeno da dupla refração.
Elipse de intersecção: É a figura geométrica resultante da intersecção de um plano, que pode
corresponder a uma face ou uma seção qualquer, com a indicatriz óptica.
Plano Óptico: É uma seção principal que contenha o(s) eixo(s) óptico(s).
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O
RR1 Q
Q
f1 f2
Raio conjugado: Um raio OR se diz conjugado de OR1 quando OR1 for paralelo a tangente de OR
na superfície do elipsóide, conforme mostra a Figura III.26.
Figura III.26: Raios cojugados: dado o raio OR, para determinar o seu raio conjugado, são traçadas
duas retas que unem os focos da elipse até o
ponto em que o raio OR toca a superfície da
elipse. É traçada a bissetriz entre estas duas
direções, que é tangente à superfície da elipse.
Esta direção, transportada para o centro da
elipse, conforme OR1, será o raio conjugado de
OR. O conceito de raio conjugado é empregado
para a determinação da trajetória dos raios no
interior das indicatrizes biaxiais (pois a ela esta
acoplada a frente de onda do raio considerado).
Seção circular: corresponde a uma elipse de intersecção entre um plano horizontal e uma direção
interna do mineral que possui apenas um índice de refração, nos minerais uniaxiais nw e nos
biaxiais, nb .
Seção Principal: É qualquer plano na indicatriz que contenha dois índices de refração principais ou
quaisquer dois eixos do elipsóide.
Sinal óptico: É a relação entre os índices de refração de um mineral. Nos uniaxiais, o sinal será
positivo quando ne > nw e nos biaxiais, quando a bissetriz aguda do ângulo 2V for a direção Z (ou
nb se aproximar mais de na do que nb).