Apostila - Estatística básica usando Excel

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS 
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA USANDO O 
EXCEL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
 
ESTATÍSTICA USANDO O EXCEL 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
A Estatística vai além de índices de audiência de programas de TV, taxas de 
desemprego, prévias eleitorais e outras. É uma ciência que tem importante papel no 
pensamento critico no ensino, no trabalho, na pesquisa ou mesmo no dia a dia. Fazer 
estatística é algo mais que manipular dados, pois cada conjunto é acompanhado por 
informações sucintas que permitem entender o que eles dizem. 
 
Estatística é a ciência dos dados. Envolve a coleta, a classificação, o 
resumo, a organização, a descrição, a analise e a interpretação de 
dados, visando a tomada de decisões (Vieira, 1998,) 
 
Na obtenção dos dados, deve-se atentar para a coleta. Ela deve ser realizada por 
meio de um instrumento capaz de fornecer as informações para atender os objetivos do 
trabalho. 
Atualmente, a utilização de planilhas eletrônicas, tem um papel importante no 
desenvolvimento da estatística. Um software integrado de planilhas e gráficos é o EXCEL 
que é utilizado como uma poderosa ferramenta para a realização de tarefas em todas as 
áreas, além de ser uma ferramenta acessível em quase todos ambientes. 
O objetivo deste curso é utilizar o Excel como ferramenta para análise de dados e 
construção de tabelas e gráficos. 
Neste curso, inicialmente são apresentadas instruções básicas e próprias do 
software. Posteriormente, são fornecidas instruções que auxiliam o professor do ensino 
fundamental e médio a usufruir dos recursos do software Excel, aperfeiçoando 
gradativamente suas habilidades e desenvolvendo suas competências, num processo 
dinâmico e construtivo. A proposta de trabalho com o auxílio do microcomputador é que o 
professor busque alternativas para aplicar junto aos alunos do ensino fundamental e médio, 
novas metodologias de ensino. 
 
 2 
 
2 NOÇÕES BÁSICAS PARA O USO DO EXCEL 
 
2.1 ACESSANDO O EXCEL: 
 
i) Para acessar o a partir do gerenciador de programas, clique duas vezes no ícone 
rotulado (ou selecione-o com o cursor e pressione Enter). 
 
ii) Também pode ser acessado clicando: Iniciar  EXCEL 
Fig. 1 
 
 
2.2 ELEMENTOS DA PLANILHA 
Uma planilha eletrônica de cálculo é formada basicamente por: barra de título, barra 
de menus, barra de ferramenta, barra de fórmula e barra de status. Toda planilha é dividida 
em linhas (identificadas por números) e colunas (identificadas por letras maiúsculas). A 
intersecção de uma linha com uma coluna é chamada de Célula. No exemplo, o endereço 
da célula ativa é A1 (coluna A intersecção com linha 1). 
 
 
 
 
Fig. 2 
 
 
 
Célula 
Planilha ativa 
Barra de Menus 
Barra de 
Ferramentas 
Identificação das 
linhas - números 
Barra de 
fórmulas 
Identificação das 
colunas - letras 
 3 
2.3 CRIAR ARQUIVO 
Para criar um arquivo, antes mesmo de digitar os dados, pode-se nomeá-lo e salva-
lo, para posteriormente iniciar o trabalho de sua construção. 
 
i) Com o cursor, clique em Arquivo; a tela apresenta o quadro abaixo. 
Fig. 3 
 
Clique em Salvar como. 
ii) A tela será como segue: 
Fig. 4 
 
Selecione a unidade onde deseja gravar o arquivo. Ex.: na pasta Documents 
 4 
Nome do arquivo: digite um nome para o arquivo de dados. 
Tipo: é mais conveniente usar Pasta de trabalho do Microsoft Excel. 
Clique em Salvar. 
As gravações seguintes podem ser feitas clicando no ícone . 
 
2.4 INSERÇÃO DE DADOS 
 
i) Na célula A1 (coluna A interseção com linha 1) digite “Sexo”. Na célula B1 
(coluna B intersecção com linha 1) digite “Idade”. Na célula C1 (coluna C 
intersecção com linha 1) digite “Altura”... 
 
ii) Em cada linha digite o sexo, a idade e as demais especificaçõeso assunto de 
cada aluno. 
 
Fig. 5 
 
2.5 ABRIR UM ARQUIVO EXISTENTE 
Usa-se a barra de menus clicando em Arquivo  Abrir, conforme Fig. 6. 
Fig. 6 
 
A tela a ser preenchida será: 
 
 5 
Fig. 7 
 
À esquerda: escolhe-se a unidade. 
Primeiro surgirão as pastas contendo os arquivos, então, clicando duas vezes na 
referida pasta, surgirão os títulos dos arquivos existentes na unidade (Nome). Para abrí-lo, 
basta clicar duas vezes sobre o nome do arquivo desejado ou marque o arquivo e clique em 
abrir. 
Nome do arquivo: aparece o arquivo selecionado. 
Arquivos do tipo: confira se seu arquivo é do tipo adequado. 
 
2.6 NOMEAR UMA PLANILHA ATIVA 
 
Pode-se trabalhar com várias planilhas simultaneamente num mesmo arquivo. É 
conveniente que o banco de dados, com o qual o trabalho esteja sendo realizado, 
permaneça em uma planilha própria, enquanto que os resultados, tabelas e gráficos ficam 
melhor em outras planilhas. 
As planilhas (ativas ou não) estão indicadas na parte inferior da tela pelos nomes 
PLAN1, PLAN2, PLAN3, conforme mostra a Fig. 8. Para renomear qualquer uma destas 
planilhas, dê dois cliques rápidos sobre o seu atual nome (ex.: PLAN1). Sobre a seleção, 
digite o novo nome que deseja dar à planilha, por exemplo, Dados. 
Caso necessite de uma quantidade maior de planilhas que o número apresentado na 
tela (3 planilhas), na barra da planilha existente, clique com o mouse do lado esquerdo. 
 
 
Fig. 8 
 
 
 
 
Clique com o lado 
direito do mouse 
 6 
i. Com o lado direito do mouse, Selecione: Inserir (Fig.9) Planilha (Fig.10) 
 
 
Fig. 9 
 
Fig. 10 
 
Obs: No caso de ser necessário a exclusão de uma planilha, use o procedimento exposto 
pela Fig.9, clique em: Editar (Excluirá a planilha). 
 
2.7 DEFINIR TAMANHOS IGUAIS PARA DUAS OU MAIS LINHAS (OU COLUNAS): 
 
2.7.1 SUBSEQÜENTES: 
 
Para selecionar uma linha (ou coluna) por inteiro, basta clicar no número (ou letra) 
que as identificam. Por exemplo, para selecionar a linha 6: 
Fig. 11 
 7 
i) Suponha que seja necessário converter as linhas 6, 7 e 8 em alturas de tamanhos 
maiores e iguais (ou menores e iguais). 
ii) Ao selecionar a linha 6, arraste o mouse até a linha 8. 
iii) Com o cursor posicionado exatamente sobre a linha inferior da linha 8, pressione o 
mouse e arraste o cursor deixando a linha na largura desejada. Ao soltar o mouse, todas as 
linhas terão a mesma largura. O mesmo procedimento deve ser repetido para a adequação 
da largura das colunas. 
Fig. 12 
 
2.7.2 ALTERNADAS 
 
Para selecionar linhas (ou colunas) alternadas, por exemplo, as colunas B, D e G, 
selecione a primeira coluna (B) e pressione a tecla Ctrl. Mantendo a tecla Ctrl pressionada, 
selecione a coluna D e G. Pressione então o cursor à direita da célula G e então o arraste 
com o auxílio do mouse até o tamanho desejado. O mesmo procedimento deve ser repetido 
para a adequação da altura de linhas alternadas. 
Fig. 13 
 
 
2.8 SELEÇÃO DE CÉLULAS (ADJACENTES E NÃO-ADJACENTES) 
 
Para selecionar grupos de células distintas, o recurso utilizado é semelhante ao 
anterior. Por exemplo: selecione o grupo de células A2:B4 e D6:E9 (células adjacentes). 
i) Selecione a Célula A2 clicando sobre ela; 
ii) Arraste o cursor até a célula B4 (seleção de células adjacentes); 
iii) Para estender a seleção a outro grupo de células (D6:E9) que não seja adjacente ao 
primeiro grupo (A2:B4), pressione a tecla Ctrl e clique na célula D6; 
iv) Arraste o cursor até a célula E9 (ou seja, repita a seleção que for de seu interesse). 
 8 
Fig. 14 
 
 
2.8.1 UTILIZANDO O MOUSE: 
 
i) Selecione a quantidade de linhas oucolunas que se deseja incluir (ou excluir) e clique 
com o lado direito do mouse; 
ii) Clique em Inserir ou Excluir; 
 
Fig. 15 
 
Obs: A linha será incluída acima da linha selecionada e a coluna à esquerda da coluna 
selecionada. 
 
2.9 COPIAR E COLAR CONTEÚDOS DE UMA CÉLULA 
 
2.9.1 CÓPIA SIMPLES DE UMA CÉLULA: 
 
Clique sobre a célula que se deseja copiar, pressione a tecla Ctrl e depois a tecla C 
(para copiar). Também pode-se copiar o conteúdo de uma célula, selecionando-a e com o 
auxílio do cursor clicar no ícone . 
 9 
2.9.2 COLAGEM SIMPLES DE UMA CÉLULA: 
 
Após proceder a cópia desejada, escolha uma célula vazia onde deve ser colado o 
conteúdo copiado. Clique a tecla Ctrl e simultaneamente pressione a tecla V (para colar), ou 
ainda apenas, na célula de destino, clicar no ícone . 
 
2.10 ORDENAÇÃO DE NÚMEROS E PALAVRAS 
 
Suponha que seja necessário classificar dados em ordem alfabética ou ordem 
numérica (crescente ou decrescente). 
 
i) Selecione as células que contenham os dados a serem classificados; 
Fig. 16 
 
Na barra de menus, clique em Dados  selecione um dos ícones: para ordem 
crescente, ou para ordem decrescente. Qualquer que seja a escolha, é necessário 
expandir a seleção para se preservar os dados das linhas por completo. 
 
Fig. 17 
 
Este procedimento pode ser realizado para ordenar em relação a qualquer coluna, 
conservando a expansão (ou não). 
 10 
3 DEFINIÇÕES 
 
População: É o conjunto de elementos sobre o qual desejamos obter informações. A 
população pode ser FINITA ou INFINITA. O número de elementos da população é 
representado por N. 
Censo: É o processo utilizado para levantar as características observáveis, abordando 
todos os elementos de uma população. 
 
Amostra: É um subconjunto retirado de uma população, obtido através de técnicas de 
amostragem. O número de elementos da amostra é representado por n. 
 
Exemplos: 
a) O censo no Brasil é feito a cada dez anos. Qual é a população de interesse? Todos os 
domicílios do Brasil. 
b) Em uma pesquisa de opinião para saber o resultado das eleições para prefeito de 
Maringá. Qual a população de interesse? Qual seria a amostra? A população são todos os 
eleitores de Maringá. A amostra seria um subconjunto (ex., de 1200 eleitores) da população. 
 
Variável: É o que está sendo analisado, uma característica da população ou da amostra. As 
variáveis classificam-se em: 
 
- Qualitativas: Quando seus valores forem expressos por categorias ou atributos (não 
numéricas). Podem ser: 
- Nominais. Ex.: sexo, cor de olhos,... 
- Ordinais. Ex.: Ensino: fundamental, médio, superior. 
 
- Quantitativas: Seus valores são mensuráveis e suas intensidades podem ser expressas 
por unidades físicas. Podem ser: 
- Contínuas. Quando assumem infinitos (não-enumerável) valores num 
intervalo. Ex.: peso, altura, ... 
- Discretas: Assumem valores pontuais, geralmente de números inteiros finitos 
ou infinitos enumeráveis. Ex: número de filhos de um casal, 
número de grãos de uma safra,... 
 
OBS.: Em geral, as medições correspondem às variáveis contínuas e as contagens ou 
enumerações, às variáveis discretas. 
 
 11 
3.1 AMOSTRAGEM 
 
Muitas vezes, na prática, não é possível observar toda a população. Então o 
pesquisador utiliza-se de uma amostra para ter uma estimativa da população. Entretanto, 
antes de selecionar uma amostra, é preciso conhecer as técnicas de amostragem. As 
técnicas de amostragem não são objeto de estudo neste curso. 
 
Amostragem: É o processo de se extrair ou obter amostras. 
 
Exemplos: 
a) Tirar conclusões sobre a altura, peso, idade de 600 estudantes da escola, observando 
apenas 80 estudantes. Tamanho da população (N) = 600 e o tamanho da amostra (n) = 80. 
b) Investigar a porcentagem de peças defeituosas fabricadas em uma indústria, durante 6 
dias, examinando 20 peças por dia. População = todas as peças fabricadas durante 6 dias e 
a Amostra = o subconjunto de 6x20=120 peças, selecionadas aleatoriamente para estudo. 
 
Comparação entre amostragem e censo: 
Amostragem é mais vantajosa: Censo é mais vantajoso: 
- População infinita 
- Tempo limitado 
- Teste destrutivo 
- Custo muito alto 
- População pequena 
- Tamanho da amostra grande 
em relação a população 
- Exigência de precisão 
completa 
 
 
3.2 TAMANHO DA AMOSTRA 
 
Geralmente as populações são grandes demais para serem estudadas na sua 
totalidade, neste caso, o mais comum é estudar amostras retiradas dessa população. As 
amostras devem ser representativas da população para que os resultados possam ser 
generalizados. 
Para definir o tamanho de uma amostra o pesquisador deve conhecer o tamanho da 
população a ser estudada e então definir o erro máximo da estimativa e a confiabilidade 
desejada. 
Apresentamos abaixo as fórmulas mais utilizadas para o cálculo do tamanho da 
amostra: 
 12 
]z1)(Ne[4
Nz
n
22
2



 (populações finitas) 
 
2
e
z
4
1
n 






 (populações infinitas) 
 
Exemplo: Deseja-se calcular o tamanho de uma amostra para uma população de tamanho 
finito, N=404, com erro máximo estipulado em e=0,05 (5%) e uma confiança de 95%. 
 
 
 
Obs.: O tamanho da amostra deve ser sempre arredondado para cima. 
 
4 TABELAS PARA VARIÁVEIS QUALITATIVAS 
Para as variáveis qualitativas tem-se um grande número de possibilidades na 
representação gráfica e cabe ao pesquisador escolher a que melhor represente os dados 
analisados, cuidando para que as normas básicas (ABNT, IBGE, ... ) de apresentação sejam 
respeitadas. 
 
4.1 CONSTRUÇÃO DE TABELAS 
4.1.1 TABELA SIMPLES 
 
A construção de tabelas para variáveis Qualitativas ou Quantitativas discretas pode ser 
feita de acordo com os seguintes procedimentos: 
i) Selecione uma planilha onde a tabela será montada; 
ii) Na barra de menus selecione: Inserir Tabela DinâmicaTabela Dinâmica; 
Fig. 18 
confiança = 95% z = 1,96
erro = 5% e = 0,05
N = 404
tamanho amostra n = 197,165 = 198
 13 
iii) Criar Tabela Dinâmica: 
Fig. 19 
 
iv) No quadro Selecionar uma tabela ou intervalo, selecione os dados (podem estar em 
outra planilha), inclusive com os títulos de cada coluna (ou linha) que se encontram na 
planilha (no exemplo, os dados estão na planilha Dados e a tabela está sendo construída na 
planilha Tabelas). O quadro para definir as variáveis será conforme Fig.20. 
Fig. 
20 
 
v) Para a construção de uma tabela simples a variável que se deseja tabular deve ser 
arrastada para o campo “Rótulos de linha” e para o “Valores”. É importante lembrar que no 
campo Valores a variável desejada deve vir acompanhada da função Contagem; caso isso 
não aconteça será necessário clicar na seta do campo, selecionar Configurações do 
campo de Valor e dentre as opções, escolher a função Contagem, conforme a Fig. 21. 
 14 
Fig. 21 
 
vi) Automaticamente a tabela estará concluída.. 
Fig. 22 
 
vii) Note que pela seta dos rótulos de linhas, os níveis podem ser retirados ou não. Por 
exemplo, para retirar a observação (vazio), basta clicar em vazio. 
Fig. 23 
 
Por meio da Fig. 22, observa-se que o resultado será uma tabela cuja formatação 
não se apresenta segundo as normas exigidas. Para que haja mais flexibilidade no trabalho 
com uma tabela, deve-se copiá-la e fazer uma Colagem Especial, colando-a, numa célula 
qualquer, como Valores (Fig.25). 
 15 
Fig. 24 
 
Fig. 25 
 
 
A próxima etapa será construir o percentual referente a cada cor ou raça identificada 
entre os alunos. Basta aplicara fórmula para a primeira linha e posteriormente colá-la nas 
demais linhas. O percentual da frequência absoluta também é conhecido como frequência 
elativa e calculado da seguinte forma: 
 
 
. 
Para dividir o número de alunos da cor/raça amarela (Fi= 33) pelo total de alunos 
entrevistados (n= 430) e multiplicar o resultado por 100, proceda da seguinte maneira: 
 
viii) Clique na coluna seguinte á contagem e na mesma linha. 
ix) Digite o sinal de = 
x) Clique na célula da frequência absoluta (33), digite o sinal de divisão (/) e clique sobre a 
célula da total da amostra (430). Multiplique (*) por 100. Note que quando for arrastar para 
colar, o valor da célula total devera permanecer fixa; isto é conseguido inserindo $ antes do 
endereço da coluna (letra) e da linha (número). Isto é facilmente obtido apertando a tecla F4 
imediatamente ao clicar no valor 430. O símbolo ($) é fixador de linhas e colunas. Aperte a 
tecla Enter. A fórmula descrita deverá ter a forma da Fig. 26. 
 16 
Fig. 26 
 
Agora selecione esta célula e arraste-a até à última linha da tabela. 
Fig. 27 
 
 
Nota: Observe que a variável Cor ou raça na tabela no Excel foi ordenada as em ordem 
alfabética. Para ordená-la de acordo com a necessidade, ainda no Excel, siga os seguintes 
procedimentos: 
a) Na coluna à esquerda da especificação da variável, digite a ordem desejada; 
selecione a coluna (Fig. 28). 
Fig. 28 
 
 17 
b) Acione o comando Classificar em ordem crescente (lembrando que deve sempre 
observar que deve obedecer sempre, Expandir a seleção. 
 
A partir desta nova tabela, a mesma pode ser copiada, colada e formatada no Word, 
de acordo com as normas estabelecidas. (Tópico 4.2) 
 
4.1.2 TABELAS DE DUPLA ENTRADA (OU TABELAS COMPARATIVAS) 
 
i) Para a construção de uma tabela de dupla entrada, seguem-se exatamente os 
mesmos passos da tabela simples (até Fig. 27). Acrescentando que a variável que 
corresponde às linhas deve ser arrastada para o campo Rótulos de Linha, enquanto que a 
variável que corresponde às colunas deve ser arrastada para o campo Rótulos de Coluna. 
A variável que foi colocada no campo Rótulos de linha também deve ser especificada para 
o campo Valores. 
Na Fig. 29 está representado o preenchimento para as variáveis Cor/Raça (linha) e 
Sexo (coluna). 
Fig. 29 
 
Lembre-se de ordenar adequadamente a variável cor. 
 
4.2 FORMATAÇÃO DA TABELAS: 
 
A formatação de uma tabela deve seguir as normas vigentes. Para facilitar a edição, 
ela pode ser copiada da planilha do Excel e colada no documento do Word. A Tabela 01 
corresponde a uma tabela simples formatada. 
 
 
 
 
 18 
Tabela 1: Cor ou raça de uma amostra dos alunos da Universidade Estadual de Maringá. 
Maringá, 02/2016. (Tabela simples) 
Cor ou Raça Nº de Alunos Percentual 
Amarela 33 7.7 
Branca 329 76.5 
Parda 54 12.6 
Preta 9 2.1 
Outra 5 1.2 
Total 430 100.0 
Fonte: Relatório do projeto de pesquisa 570/2013. 
 
 
Após colarmos a tabela no WORD, é preciso adequá-la ao tamanho da página. 
 
i) Selecione a tabela recentemente colada; 
ii) Apenas com o objetivo de facilitar procedimentos, Na Página Inicial, na barra 
parágrafo, seleciona-se o ícone relacionado às bordas, selecionam-se Todas as bordas, 
conforme Fig. 30. 
Fig. 30 
 
iii) Clique com o lado direito do mouse Auto Ajuste Ajustar-se automaticamente à 
Janela (conforme Fig. 29). 
 19 
Fig. 31 
 
iv) Confira se todas as colunas estão identificadas corretamente (cabeçalho das 
variáveis); 
v) Insira as bordas superiores e inferiores conforme Tabela 01. 
 
Para formatar uma tabela comparativa, os procedimentos iniciais são os mesmos (de i a v). 
No Word, a tabela estará com a seguinte forma: 
Fig. 32 
 
vi) Selecione as duas colunas superiores centrais (as colunas que corresponde os níveis 
da variável sexo, na linha correspondente), como na Fig. 32; 
 
vii) Quando tais colunas forem selecionadas, sugirá na parte superior da barra de 
ferramentas, os ícones das Ferramentas de Tabela: 
 
Fig. 33 
 
 
viii) Clique em Mesclar Células e alinhamento centralizado ; 
ix) Selecione todas as células centrais (Fig. 35), Masculino e Feminino, Layout  
Distribuir Colunas (Fig. 35); 
 20 
Fig. 34 
 
Nesta etapa outras correções devem ser procedidas. Lembrando que se houver 
interesse em que as categorias sejam ordenadas por outra lógica, isto devera ser procedido 
ainda com a tabela no arquivo do Excel. 
x) Também as linhas da especificação da variável devem ser mescladas, como no ítem viii, 
deste tópico. 
 
 
xi) Ainda em Layout, a especificação da variável deverá ter seu alinhamento centralizado. 
 
 
 
 
Cor ou Raça 
Sexo 
Feminino Masculino Total 
Amarela 20 13 33 
Branca 185 144 329 
Parda 21 33 54 
Preta 3 6 9 
Outra 3 2 5 
Total 232 198 430 
 
xii) Selecione a tabela, clique o mouse do lado direito. Acione Bordas e Sombreamento; 
 21 
Fig. 35 
 
xiii) Insira as bordas conforme procedimentos da tabela simples. Nesta etapa são 
apresentadas as bordas conforme exigência do periódico; 
 
Tabela 2: Cor ou Raça dos alunos da Universidade Estadual de Maringá amostrado segundo 
o sexo dos mesmos. Maringá, 02/2016. (Tabela comparativa) 
Cor ou Raça 
Sexo 
Feminino Masculino Total 
Branca 185 144 329 
Parda 21 33 54 
Amarela 20 13 33 
Preta 3 6 9 
Outra 3 2 5 
Total 232 198 430 
 
A formatação de uma tabela deve seguir as normas vigentes. Destaca-se que 
quando a variável for quantitativa ordinal, a sequência dos níveis da categoria deve ser 
respeitado; portanto, ainda na planilha do Excel ela deve ser ordenada (procedimento já 
detalhado, pag. 16, Fig. 28). 
 
 Tabela 3: Intensidade que o estressor falta de disciplina/hábito de estudo interfere no 
rendimento acadêmico do aluno da Universidade Estadual de Maringá. Maringá, 02/2016. 
Intensidade Nº de alunos Percentual 
Pouquíssimo 116 27.0 
Pouco 113 26.3 
Indiferente 71 16.5 
Muito 87 20.2 
Muitíssimo 43 10.0 
Total 430 100.0 
 22 
5 GRÁFICOS PARA VARIÁVEIS QUALITATIVAS 
5.1 GRÁFICO DE BARRAS 
 
 É um gráfico formado por retângulos horizontais de larguras iguais, onde cada um 
deles representa a intensidade de uma modalidade ou atributo. Pode-se dizer que é um 
gráfico para resumir um conjunto de dados categóricos. 
É recomendável que cada coluna conserve uma distância entre si de 
aproximadamente 2/3 da largura da base de cada barra, evidenciando deste modo, a não 
continuidade na sequência dos dados. 
O objetivo deste gráfico é de comparar grandezas e é recomendável para variáveis 
cujas categorias tenham designações extensas. 
Fig. 36 
 
5.2 GRÁFICO DE COLUNAS 
 
É o gráfico mais utilizado para representar variáveis qualitativas. Mostram comparações 
entre itens individuais em um período específico, ou somente comparações entre itens. Difere do 
gráfico de barras por serem seus retângulos dispostos verticalmente ao eixo das abscissas, 
sendo mais indicado quando as designações das categorias são breves (exemplo 
apresentado nesta apostila). Como no gráfico de barras, neste tipo de gráfico deve ser 
preservada a distância entre cada retângulo de, aproximadamente, 2/3 da largura da base 
de cada coluna. O número de colunas ou barras do gráfico não deve ser superior a 12 
(doze) – como no caso das tabelas.. 
Ao se descrever simultaneamente duas ou mais categorias para uma variável, é 
conveniente fazer uso dos gráficos de barras ou colunas justapostas (ou sobrepostas), 
chamados de gráficos comparativos.Este tipo de gráfico só deve ser utilizado quando 
apresentar até três elementos para uma série de no máximo quatro valores. 
Fig. 37 
 23 
5.3 GRÁFICO DE SETORES 
 
É um tipo de gráfico circular, comumente chamado de gráfico de pizza que 
corresponde a um diagrama circular onde os valores de cada categoria estatística 
representadas são proporcionais às respectivas medidas dos ângulos. Este gráfico pode ser 
expresso por frequências absolutas ou relativas (percentagens). É utilizado basicamente 
para representar dados qualitativos nominais. 
No gráfico de setores a variável em estudo é projetada num círculo, de raio arbitrário, 
dividido em setores com áreas proporcionais às frequências das suas categorias. São 
indicados quando se deseja comparar cada valor da série com o total. Recomenda-se seu 
uso para o caso em que o número de categorias não é grande e que não obedecem a 
alguma ordem específica. 
O procedimento para o cálculo do ângulo correspondente a cada categoria é feito por 
meio de simples proporções: 360º que corresponde a um círculo completo está para o total 
da amostra, assim como xº está para o total de indivíduos que pertencem à categoria 
desejada. 
i
360º xº
n F

 
Fig. 38 
 
5.4 GRÁFICO DE LINHAS 
 
Sua aplicação é mais indicada para representações de séries temporais, ou seja, 
exibem dados contínuos ao longo do tempo, sendo por tal razão, conhecidos também como 
gráficos de séries cronológicas. São utilizados para mostrar tendências em dados a 
intervalos iguais. Sua construção é feita colocando-se no eixo vertical (y) a mensuração da 
variável em estudo e na abscissa (x), as unidades da variável numa ordem crescente. É 
Importante ressaltar que ele não enfatiza a quantidade de mudanças ao longo do período, 
mas sim o fluxo de tempo e a taxa de mudança. 
Este tipo de gráfico permite representar séries longas, o que auxilia detectar suas 
flutuações tanto quanto analisar tendências. Como podem ser representadas várias séries 
em um mesmo gráfico, é bastante empregado para destacar diferenças e associações entre 
elas. 
 24 
Fig. 39 
5.4.1 CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO PARA UMA ÚNICA VARIÁVEL, NO EXCEL 
 
Para o caso da Tabela 01 dada como exemplo, selecione os dados de interesse (corpo da 
tabela). O gráfico pode ser executado considerando as frequências absolutas ou relativas 
(percentuais). 
i) Primeiramente selecione as colunas que serão representadas. 
ii) Na Barra de Menus, clique em Inserir  Gráficos (talvez em sua tela já possa ir direto 
para o tipo de gráfico, item iii) 
Fig. 40 
 
iii) Como as especificações das variáveis são pouco extensas, o gráfico de colunas. Ao 
clicar nesta opção, vários tipos de gráficos podem ser escolhidos: dimensões 2 ou 3. 
Fig. 41 
 
 25 
iv) Escolhendo Coluna 2D, tem-se a Fig.42, mas que necessita ser formatada: 
Fig. 42 
 
v) A legenda deve ser deletada, pois não há necessidade da mesma para identificar a 
variável pois ela é única; da mesma forma, as linhas que aparecem no gráfico. 
 
Fig. 43 
 
Faz-se necessário identificar os eixos e aproximar as colunas (2/3 da base dos retângulos). 
 
vi) Basta selecionar as colunas do gráfico clicando em uma das colunas; observe que 
todas deverão ficar selecionadas. Com o lado direito do mouse, clique em Formatar Série 
de Dados. 
Fig. 44 
0
100
200
300
400
Nº de Alunos 
Nº de Alunos
0
50
100
150
200
250
300
350
Amarela Branca Parda Preta Outra
 26 
vii) Surgirá uma tela como a apresentada na Fig.45. Na opção Largura do Espaçamento, 
reduzir para 65% a 70%. 
 
Fig. 45 
 
viii) Para nomear o eixo das frequências (eixo vertical principal), selecione Layout Títulos 
dos EixosTítulo do Eixo Vertical PrincipalTítulo Girado. Digite uma das opções: 
Percentual, Frequência ou a especificação da medida. 
 
Fig. 46 
 
ix) Para mudar a cor, clique sobre uma das colunas, selecione Formatar Série de 
DadosPreenchimento. Escolha o tipo, a cor e finalize. 
 27 
Fig. 47 
 
O gráfico resultante será o apresentado na Fig.48. 
Fig. 48 
 
5.5 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS COMPARATIVOS (DUAS VARIÁVEIS) 
Para estudarmos o caso de gráficos comparativos, considere Tabela 02, a qual 
apresenta a cor ou raça do aluno considerando o sexo do mesmo. 
 
i) Selecione as células que contenham a opção de interesse (A2 ate C7), ou seja, as 
colunas das categorias da variável com suas respectivas frequências absolutas, conforme 
Fig. 49 (corpo da tabela); 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Branca Parda Amarela Preta Outra
P
er
ce
n
tu
al
 
 28 
Fig. 49 
 
ii) Como no tópico anterior, na barra de ferramentas, selecione Inserir e escolha o gráfico 
adequado. 
Fig. 50 
iii) O gráfico obrigatoriamente deverá apresentar legenda para especificar as variáveis. 
 
Fig. 51 
 
 
Para formatar o gráfico, os procedimentos são semelhantes aos apresentados para 
gráficos simples. 
 
iv) Para retirar as linhas de grade, basta selecioná-las (clicando em uma delas) e deletá-
las. O procedimento para mudanças das cores segue o mesmo procedimento já citados 
anteriormente (5.4.1, viii e ix). 
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Branca Parda Amarela Preta Outra
Feminino
Masculino
 29 
O gráfico deverá ter a seguinte aparência: 
 
Fig. 52 
 
 
 
6 VARIÁVEIS QUANTITATIVAS 
A quantidade do volume de dados dificulta ou até mesmo torna impraticável tirar 
conclusões a respeito do comportamento das variáveis e, em particular, de variáveis 
quantitativas sem uma análise mais aprofundada. O ponto de partida para sua interpretação 
é colocar os dados brutos de cada uma das variáveis quantitativas em uma ordem crescente 
ou decrescente, denominado rol. A visualização de algum padrão ou comportamento 
continua sendo de difícil observação ou até mesmo cansativa, mas torna-se rápido 
identificar maiores e menores valores ou concentrações de valores no caso de variáveis 
quantitativas. Estes números (menor e maior valor observado) servem de ponto de partida 
para a construção de tabelas para estas variáveis. Vale destacar que para as variáveis 
qualitativas, pode-se também construir um rol em ordem temporal ou alfabética, por 
exemplo. 
É a diferença entre o menor e maior valor observado da variável X, denominada 
amplitude total (AT = xmax – xmin), que definirá a construção de uma distribuição de 
freqüência pontual ou em classes. O ideal é que uma distribuição de frequência resuma os 
dados em um número de linhas que varie de 5 a 10. Nota-se que para cada tipo de variável 
trabalhada, tem-se um procedimento adequado para a construção de sua distribuição de 
freqüências. A seguir é apresentado cada um dos casos. 
A construção de uma distribuição de frequência pontual é equivalente à construção 
de uma tabela simples, onde se listam os diferentes valores observados da variável, com 
suas frequências absolutas, denotadas por Fi, onde o índice i corresponde ao número de 
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Branca Parda Amarela Preta Outra
Fr
e
q
u
ê
n
ci
a
 
Feminino
Masculino
 30 
linhas da tabela. A distribuição de frequência para dados quantitativos pode apresentar as 
seguintes colunas complementares, constando as frequências: 
 
 A freqüência relativa, denotada por fi, e já definida anteriormente como: 
i
i
F
f
n

 
onde n é o tamanho da amostra, devendo ser substituída por N se os dados forem 
populacionais. A soma das freqüências relativas de todas as categorias é igual a 1; 
 
 afreqüência relativa em percentual, denotada por fi%, e definida como: 
i
i
F
f % 100
n
 
, 
representando o percentual de observações que pertencem àquela categoria. A soma das 
freqüências deve, agora, ser igual a 100%; 
 
 a freqüência absoluta acumulada, denotada por 
ia
F
. Estas freqüências são 
obtidas somando-se a freqüência absoluta do valor considerado, às freqüências absolutas 
anteriores a este mesmo valor. 
 
 a freqüência acumulada relativa, denotada por 
ia
f %
 e definida como: 
i
i
a
a
F
f % 100
n

 
Exemplo: Construção da distribuição de frequência para variável que identifica o número de 
pessoas, incluindo o próprio indivíduo, que vivem da renda mensal do grupo familiar do 
entrevistado. 
6.1 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA PONTUAL – SEM PERDA DE INFORMAÇÃO 
i) Selecionar os dados da variável Int.Disc./HabEst, e seguir todos os passos para o uso da 
Tabela Dinâmica, apresentados para variáveis qualitativas; 
Fig. 53 
 
Não se esquecer de copiar a Tabela Dinâmica e colá-la como Valores, para poder 
 31 
proceder a adequações necessárias à sua formatação. Todos os passos estabelecidos para 
a construção das tabelas simples devem ser observados para esta situação. 
A tabela, para estar completa precisa apresentar as frequências acumuladas. 
 
ii) Frequência absoluta acumulada: Na coluna seguinte à do percentual (ou frequência 
relativa) digite “=”, clique na célula que contém F1. (Fig.54) 
Fig. 54 
 
iii) Na linha abaixo, no exemplo, célula D3, digite “=”, clique na célula acima (D2), digite o 
sinal “+” e clique na célula correspondente à F2 (B3). Isto significa que estamos 
aplicando uma fórmula para somar 24 com 54. 
Fig. 55 
iv) Arraste esta fórmula até a célula que corresponda à linha anterior à que contém o total 
das frequências absolutas (D9). 
v) Para determinar a frequência relativa acumulada, pode-se aplicar o mesmo processo da 
frequência absoluta acumulada ou então calcular o percentual da frequência absoluta 
acumulada sobre o tamanho da amostra. Para a primeira possibilidade, digite na primeira 
linha da coluna adjacente “=C2” e posteriormente, na célula imediatamente inferior, 
“=E2+C3”. Pelo segundo método, calcula-se o percentual das fi usando diretamente os 
valores especificados. 
Fig. 56 
 32 
vi) Arraste esta fórmula ate a célula que corresponda à linha anterior à que contém o total 
das frequências absolutas (E9). O resultado será: 
 
Dependentes da 
Renda Familiar 
Frequência 
absoluta 
Frequência 
relativa 
Frequência absoluta 
acumulada 
Frequência relativa 
acumulada 
1 24 5.6 24 5.6 
2 54 12.6 78 18.1 
3 110 25.6 188 43.7 
4 161 37.4 349 81.2 
5 62 14.4 411 95.6 
6 15 3.5 426 99.1 
7 4 0.9 430 100.0 
Total 430 100.0 - - 
6.1.1 GRÁFICOS PARA VARIÁVEIS QUANTITATIVAS DISCRETAS – GRÁFICO DE BASTÕES 
6.1.2 GRÁFICO DE BASTÕES: 
 
Este gráfico é formado por segmentos de retas perpendiculares ao eixo horizontal 
(eixo da variável), cujo comprimento corresponde à frequência absoluta ou relativa de cada 
elemento da distribuição. Suas coordenadas não podem ser unidas porque a leitura do 
gráfico deve tornar claro que não há continuidade entre os valores individuais assumidos 
pela variável em estudo. Porém, por limitações do Excel, é comum substituí-lo por um 
gráfico de colunas que é o que melhor se aproxima de um gráfico de bastões. 
i- Na tabela construída, selecione apenas os dados da coluna que contenham a Fi 
ii- Selecione InserirGráficosColunas (esta etapa é exatamente como na Fig.41, 
pag. 24) 
iii- Clique com o lado direito do mouse sobre uma das colunas, ative Formatar Séries de 
Dados, e na largura do espaçamento, arraste para o valor máximo 
Fig. 57 
 
 33 
Note que para este exemplo, a sequencia da variável está completa. Caso tal não 
ocorresse, seriam necessárias readequações. 
 
Exemplo: Suponha que a sequencia do número de dependentes fosse 3, 4, 5, 7, 9, 10 e 11. 
vii) Para a construção do gráfico, deviríamos completar a sequência, inserindo os valores 6 
e 8 na ordem, atribuindo frequência zero aos mesmos. 
Fig. 58 
 
Observe na Fig. 58, que o nome das variáveis no eixo x estão incorretas. O próximo 
passo é atribuir o nome correto das variáveis. 
 
viii) Selecione com o lado direito do mouse um dos valores do eixo horizontal. Clique em 
Selecionar dados 
Fig. 59 
ix) No quadro de Rótulos do Eixo Horizontal (Categorias), vá para Editar 
Fig. 60 
 34 
x) Selecione os dados da tabela que contenham os nomes das variáveis, Ok; 
Fig. 61 
Os próximos passos correspondem apenas à formatação adequada. 
 
Fig. 62 
 
6.2 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA EM CLASSES – COM PERDA DE INFORMAÇÃO 
“A distribuição de frequências em classes é apropriada para apresentar dados 
quantitativos contínuos ou discretos com um número elevado de possíveis valores” 
(Medronho, 2003, p231). É necessário dividir os dados em intervalos ou faixas de valores 
que são denominadas classes. Uma classe é uma linha da distribuição de frequências. O 
menor valor da classe é denominado limite inferior (li) e o maior valor da classe é 
denominado limite superior (Li). O intervalo ou classe pode ser representado das seguintes 
maneiras: 
a) li |____ Li, onde o limite inferior da classe é incluído na contagem da freqüência 
absoluta mas o superior não; 
b) li ____| Li, onde o limite superior da classe é incluído na contagem mas o inferior 
não; 
c) li |____| Li, onde tanto o limite inferior quanto o superior são incluídos na 
contagem; 
d) li ____ Li, onde os limites não fazem parte da contagem. 
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
3 4 5 6 7 8 9 10 11
Fr
eq
u
ên
ci
a
 
Nº de dependentes 
 35 
Pode-se escolher qualquer uma destas opções sendo o importante tornar claro no 
texto ou na tabela qual está sendo usada. 
“Se houver muitos intervalos, o resumo não constituirá grande melhoria com relação 
aos dados brutos. Se houver muito poucos, um grande volume de informação se perderá. 
Embora não seja necessário, os intervalos são frequentemente construídos de modo que 
todos tenham larguras iguais, o que facilita as comparações entre as classes”. (Pagano, 
2004, p.11). 
Milone (2004, p.36) apresenta os seguintes critérios para a determinação do número 
de intervalos, denotado por k: 
1. Raiz quadrada: √ 
2. Log (Sturges): 
3. ln (Milone): 
para as quais n é o número de elementos da amostra, AT é a amplitude total dos dados e d 
é o número de decimais de seus elementos. Deve-se lembrar que sendo k o número de 
classes, o resultado obtido por cada um dos critérios deve ser o número inteiro mais próximo 
ao obtido. 
Milone (2004) acrescenta ainda que, adotando o princípio de que os agrupamentos 
devem ter no mínimo cinco e no máximo 20 classes, o critério da raiz é valido para 25≤ n 
≤400, o do log para 16  n  572.237 e o do ln para 20  n  36.315. 
Por outro lado, o pesquisador pode definir o número de classes baseando-se em sua 
experiência. 
Determinado o número de classes da distribuição de frequências, o próximo passo é 
determinar a amplitude de cada classe, h, que por uma questão de bom senso deveria ser 
um número com a mesma precisão dos dados. 
A amplitude de classe, h, é definida por: 
AT
h
k

 
e assim todas as classes terão a mesma amplitude, o que permitirá a construção de gráficos 
e cálculo de medidas descritivas. 
No caso de uma distribuição de frequência contínua, ou em classes, uma outra 
coluna pode ser acrescentada à tabela. É a coluna dos pontos médios, denotada por x i e 
definida comoa média dos limites da classe: 
i i
i
l L
x , i 1,..., k
2

 
. 
Estes valores são utilizados na construção de gráfico e na obtenção de medidas 
descritivas com o auxílio de calculadoras. 
Tomemos como exemplo, a tabulação da variável peso. Para este tipo de variável é 
mais simples mesclarmos. 
 36 
6.2.1 CONSTRUÇÃO DE TABELA COM PERDA DE INFORMAÇÕES (POR CLASSES) 
 
Para agilizar o trabalho de resumir e apresentar os dados, primeiramente é 
necessário assegurar que na barra de ferramentas, esteja disponibilizada a aba “Análise de 
dados”. Caso ela não esteja disponível na barra de Menus Dados, basta inseri-la: 
i) Clique em ArquivoOpçõesSuplementos. Na tela que surgir, no quadro 
Gerenciar, deverá ser selecionado Suplementos do Excel Ir... 
Fig. 63 
 
ii) Na próxima tela, Suplementos, marque Ferramentas de Análise. 
Fig. 64 
 
Assim estamos em condições de facilmente construir os limites superiores das 
classes e seu respectivo gráfico. Para tal, antes podemos identificar as medidas descritiva 
(serão detalhadas posteriormente). 
iii) Selecione a coluna que contém a variável que se deseja analisar, como por exemplo, a 
coluna da variável peso (coluna D). 
iv) Na barra de Menus, selecione DadosAnálise de DadosEstatística descritiva 
 37 
Fig. 65 
 
v) Em Intervalo de entrada, selecione os dados os quais deseja distribuir; Agrupado por: 
Colunas; Rótulo na primeira linha, marque se os dados estiverem identificados pelo seu 
rótulo; Intervalo de saída: clique a célula que deseja inserir os resultados; acione Resumo 
estatísticoOk 
 
Quadro 1: Medidas descritivas para a variável peso. 
Peso 
 Média 68.03535 
Erro padrão 0.746089 
Mediana 65 
Modo 80 
Desvio padrão 15.47123 
Variância da amostra 239.3589 
Curtose 1.262555 
Assimetria 0.901023 
Intervalo 103 
Mínimo 39 
Máximo 142 
Soma 29255.2 
Contagem 430 
 
Para determinar o número de classes da distribuição, k, como n= 430, MAIOR QUE 
100, usaremos a fórmula: (pag. 36, item 3). 
 
vi) Em uma coluna, digite k (numero de classes) e abaixo, h (amplitude da classe) (Fig. 66); 
vii) Na coluna que seguinte e m esma linha, digite a fórmula “=-1+2*ln(430)”. O valor deve 
ser aproximado para um número inteiro. 
 38 
viii) Para determinar a amplitude da classe, h, dividimos o intervalo (valor máximo – valor 
mínimo) pelo número de classes; h= 9 
Fig. 66 
ix) Iniciar uma nova tabela, começando pelos limites superiores das classes. Copie na 
célula abaixo do Limite superior, o conteúdo do valor Mínimo das medidas “=B11”. 
Fig. 67 
 
x) No limite superior, digite a fórmula “=G2+9-0.00001”. A subtração de 0.00001 deve-se 
ao fato de nos assegurarmos que o limite superior não esteja contido no intervalo. Note que 
a última célula apresenta um valor 147, ou seja, 5 unidades maior que o valor máximo da 
variável, 142. Para equilibrar essa diferença, pode ser digitado, por exemplo, 37 no primeiro 
limite inferior; imediatamente os valores serão corrigidos. 
xi) Para os demais limites inferiores, abaixo da célula que contém o primeiro limite, digite 
a formula “=E2+9”; note-se que não se faz subtração neste limite. Arraste a fórmula até a 
última linha. 
Limite inferior 
 
Limite superior 
37 |--- 46 
46 |--- 55 
55 |--- 64 
64 |--- 73 
73 |--- 82 
82 |--- 91 
91 |--- 100 
100 |--- 109 
109 |--- 118 
118 |--- 127 
127 |--- 136 
136 |--- 145 
 39 
xii) A frequência absoluta pode ser determinada por dois processos: 1ª) Selecionar a 
coluna à direita do limite superior – Fig. 68. 
Fig. 68 
xiii) Pelo comando Inserir função EstatísticaFrequênciaOk 
Fig. 69 
xiv) No quadro da Frequência, em Matriz_dados deve-se selecionar todos os 
dados da variável peso (não pode ser incluído o rótulo). Os dados podem estar na 
mesma planilha ou em outra planiçlha. Em Matriz_bin, seleciona-se os dados dos 
limites superiores das classes, conforme quadro que segue. 
Fig. 70 
 
 
xv) Simultaneamente, pressione as teclas Ctrl + Shift+Enter. 
 40 
Limite 
inferior 
 
Limite 
superior 
Frequência 
absoluta 
37 |--- 46 14 
46 
 
55 86 
55 
 
64 101 
64 
 
73 83 
73 
 
82 79 
82 
 
91 35 
91 
 
100 24 
100 
 
109 1 
109 
 
118 5 
118 
 
127 1 
127 
 
136 0 
136 
 
145 1 
Total 
 
430 
 
A frequência relativa e as respectivas frequências acumuladas seguem exatamente 
os mesmos passos que a distribuição para variáveis com perda de informações. 
 
Tabela 4: Distribuição do peso dos alunos da Universidade Estadual de Maringá. Maringá, 
02/2016. 
Pesos 
Frequencia 
absoluta 
Frequencia 
relativa 
Frequência 
absoluta 
acumulada 
Frequência 
relativa 
acumulada 
37 |--- 46 14 3.3 14 3.3 
46 |--- 55 86 20.0 100 23.3 
55 |--- 64 101 23.5 201 46.7 
64 |--- 73 83 19.3 284 66.0 
73 |--- 82 79 18.4 363 84.4 
82 |--- 91 35 8.1 398 92.6 
91 |--- 100 24 5.6 422 98.1 
100 |--- 109 1 0.2 423 98.4 
109 |--- 118 5 1.2 428 99.5 
118 |--- 127 1 0.2 429 99.8 
127 |--- 136 0 0.0 429 99.8 
136 |--- 145 1 0.2 430 100.0 
Total 430 100.0 - - 
 
6.2.2 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS PARA UMA VARIÁVEL QUANTITATIVA DISCRETA 
 
6.2.3 HISTOGRAMA 
 
 É um gráfico de colunas justapostas que representa uma distribuição de frequência 
para dados contínuos ou uma variável discreta quando esta apresentar muitos valores 
distintos. Ele mostraa variação sobre uma faixa específica. O histograma foi desenvolvido 
 41 
por Guerry em 1833 para descrever sua análise de dados sobre crime. Desde então, os 
histogramas tem sido aplicados para descrever os dados nas mais diversas áreas 
Para sua construção, no eixo horizontal são dispostos os limites das classes 
segundo as quais os dados foram agrupados enquanto que o eixo vertical corresponde às 
frequências absolutas ou relativas das mesmas. Quando os dados são distribuídos em 
classes de mesma amplitude, todas as colunas apresentam bases iguais com alturas 
variando em função das suas frequências absolutas ou relativas. Neste caso, tem-se que a 
área de cada retângulo depende apenas da sua altura. Um histograma pode representar 
uma distribuição com classes de tamanho diferentes, ou seja, dados agrupados em classes 
de dimensões diferentes e neste caso, a área de cada coluna já não é mais proporcional à 
sua altura. O enfoque deste texto é trabalhar com classes de mesmo tamanho. 
Um Histograma, no Excel, pode ser feito diretamente por meio da ferramenta 
Análise de dados. 
i) Selecione DadosAnálise de dadosHistograma 
Fig. 71 
ii) O preenchimento desta etapa é bastante semelhante à utilizada para obter as medidas. 
A No quadro do Intervalo de saída deve ser clicado a célula onde desejamos que os 
resultados devem ser apresentados. No exemplo, A18. Assinalar Resultado do gráfico 
Ok. 
Fig. 72 
 
Automaticamente tem-se o histograma (não formatado) e as frequências absolutas 
que já havia sido calculada pela função Frequência. 
 42 
 
Fig. 73 
 
A partir desta fase, repete-se os procedimentos para formatar o histograma de 
acordo com as normas vigentes. 
Fig. 74 
 
7 MEDIDAS DESCRITIVAS 
7.1.1 MÉDIA ARITMÉTICA 
 
A média aritmética ̅ é a soma de todos os valores observados da variável dividida 
pelo número total de observações. Sob perspectiva geométrica, a média de uma distribuição 
é o centro de gravidade, e representa o ponto de equilíbrio de um conjunto de dados. É a 
medida de tendência central mais utilizada para representar a massa de dados. 
Seja (x1, ..., xn) um conjunto de dados. A média é dada por:N
i
i 1
x
N
 

 ou 
n
i
i 1
x
X
n


 
14 
86 
101 
83 
79 
35 
24 
1 
5 
1 0 1 0 
46 55 64 73 82 91 100 109 118 127 136 145 Mais
Fr
e
q
ü
ên
ci
a
 
Peso (kg) 
 43 
para dados populacionais ou amostrais, respectivamente. Caso os dados estejam 
apresentados segundo uma distribuição de freqüência, tem-se: 
k
i i
i 1
x F
N
 

 ou 
k
i i
i 1
x F
X
n


. 
Observe que no caso de dados agrupados a média é obtida a partir de uma 
ponderação, onde os pesos são as freqüências absolutas de cada classe e xi é o ponto 
médio da classe i. 
Citam-se a seguir, algumas propriedades da média aritmética: 
1. a média é um valor calculado facilmente e depende de todas as observações; 
2. é única em um conjunto de dados e nem sempre tem existência real, ou seja, nem 
sempre é igual a um determinado valor observado; 
3. a média é afetada por valores extremos observados; 
4. por depender de todos os valores observados, qualquer modificação nos dados 
fará com que a média fique alterada. Isto quer dizer que somando-se, subtraindo-se, 
multiplicando-se ou dividindo-se uma constante a cada valor observado, a média ficará 
acrescida, diminuída, multiplicada ou dividida desse valor. 
5. a soma da diferença de cada valor observado em relação à média é zero, ou seja, 
a soma dos desvios é zero. 
i(x x) 0  
A propriedade 5,é de extrema importância para a definição de variância, uma medida 
de dispersão a ser definida posteriormente. 
Destaca-se, ainda, que a propriedade 3, quando se observam no conjunto dados 
discrepantes, faz da média uma medida não apropriada para representar os dados. Neste 
caso, não existe uma regra prática para a escolha de uma outra medida. O ideal é, a partir 
da experiência do pesquisador, decidir pela moda ou mediana. Para ilustrar, considere o 
número de filhos, por família, para um grupo de 8 famílias: 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4. Neste caso, a 
média é 
x 1,875
 filhos por família. Entretanto, incluindo ao grupo uma nova família com 10 
filhos, a média passa a se 
x 2,788
, o que eleva em 48,16% o número médio de filhos por 
família. Assim, ao observar a média, pode-se pensar que a maior parte das famílias deste 
grupo tem três filhos quando, na verdade, apenas uma tem três filhos. 
 
 44 
 
7.1.2 MODA 
 
A moda (Mo) é o valor que apresenta a maior frequência da variável entre os valores 
observados. Para o caso de valores individuais, a moda pode ser determinada 
imediatamente observando-se o rol ou a frequência absoluta dos dados. Por outro lado, em 
se tratando de uma distribuição de frequência de valores agrupados em classes, 
primeiramente é necessário identificar a classe modal, aquela que apresenta a maior 
frequência, e a seguir a moda é calculada aplicando-se a fórmula: 
i i 1
o i
i i 1 i i 1
h(F F )
M l
(F F ) (F F )

 

 
   
onde 
i é a ordem da classe modal; 
li é o limite inferior da classe modal; 
h é a amplitude da classe modal; 
Fi é a frequência absoluta da classe modal; 
i 1F  é a frequência absoluta da classe anterior à classe modal; 
i 1F  é a frequência absoluta da classe posterior à classe modal. 
É relevante salientar que um conjunto de dados pode apresentar todos seus 
elementos com a mesma frequência absoluta, e neste caso não existirá um valor modal, o 
que significa que a distribuição será classificada como amodal. Pode ocorrer, também, 
casos em que a sequência de observações apresente vários elementos com frequência 
iguais, implicando numa distribuição plurimodal. 
O uso da moda é mais indicado quando se deseja obter, rapidamente, uma medida 
de tendência central. Um outro aspecto que favorece a utilização da moda é que seu valor 
não é afetado pelos valores extremos do conjunto de dados analisado. 
Graficamente, utilizando-se um conjunto de dados hipotéticos, identifica-se a classe 
modal como aquela que apresenta o retângulo de maior altura (frequência). A intersecção 
das retas que unem os pontos AD e os pontos BC, determina o ponto P que, projetado 
perpendicularmente no eixo da variável, corresponderá ao valor da moda Mo. (Fig. 75) 
 
 
 
 
 
 45 
 
 
Fig. 75 
 
 
7.1.3 MEDIANA 
 
A mediana (Md) é o valor que ocupa a posição central da série de observações de 
uma variável, em rol, dividindo o conjunto em duas partes iguais, ou seja, a quantidade de 
valores inferiores à mediana é igual à quantidade de valores superiores a mesma. 
 
Exemplo: Retomando o exemplo do número de filhos por famílias, verifica-se que: 
Para o caso de oito famílias, n=8, a mediana é determinada como a seguir: 
X x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 
Valor observado 0 1 1 2 
 
2 2 3 4 
 4 observações Md=2 4 observações 
 
 
Quando se acrescenta ao grupo uma outra família com 10 filhos o tamanho da 
amostra passa a ser n=9. Neste caso, a mediana é: 
X x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 
Valor observado 0 1 1 1 2 2 3 4 10 
 4 observações Md=2 4 observações 
 
Observe que nos dois casos, por coincidência, a mediana manteve-se a mesma, 
Md=2, significando que 50% das famílias possuem menos de 2 filhos ou 50% possuem mais 
de 2 filhos. Mostra-se assim, que a mediana não é influenciada por valores extremos. 
 
0
2
4
6
8
10
12
N
º d
e 
al
un
os
18 22 30 3426 38
AnosB
D
CA
4 5x +x
2
Mo 
 46 
7.2 MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
De acordo com Toledo (1985), fenômenos que envolvem análises estatísticas 
caracterizam-se por suas semelhanças e variabilidades. As medidas de dispersão auxiliam 
as medidas de tendência central a descrever o conjunto de dados adequadamente. Indicam 
se os dados estão, ou não, próximos uns dos outros. 
Desta forma, não há sentido calcular a média de um conjunto onde não há variação 
dos seus elementos. Existe ausência de dispersão e a medida de dispersão é igual a zero. 
Por outro lado, aumentando-se a dispersão, o valor da medida aumenta e se a variação for 
muito grande, a média não será uma medida de tendência central representativa. 
Faz-se necessário, portanto, ao menos uma medida de tendência central e uma 
medida de dispersão para descrever um conjunto de dados. 
As quatro medidas de dispersão que serão definidas a seguir são: amplitude total, 
amplitude interquartílica, desvio padrão e variância. Com exceção à primeira, todas têm 
como ponto de referência a média. 
 
7.2.1 AMPLITUDE TOTAL 
 
A amplitude total de um conjunto de dados é a diferença entre o maior e o menor 
valor observado. A medida de dispersão não levar em consideração os valores 
intermediários perdendo a informação de como os dados estão distribuídos e/ou 
concentrados. 
max minAt x x  
 
 
7.2.2 VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO 
 
Enquanto não há nada conceitualmente errado em se considerar o desvio médio, 
segundo Pagano (2004), esta medida não tem certas propriedades importantes e não é 
muito utilizada. O mais comum é considerar o quadrado dos desvios em relação à média e 
então calcular a média. Obtém-se, assim a variância que é definida por: 
 
N
)x(
N
1i
2
i
2



 ou 
1n
)xx(
S
n
1i
2
i
2




 , 
se os dados são populacionais ou amostrais, respectivamente. Caso os dados estejam 
apresentados segundo uma distribuição de frequência, tem-se: 
 
 47 
N
F)x(
k
1i
i
2
i
2



 ou 
1n
F)xx(
s
k
1i
i
2
i
2




 . 
Entretanto, ao calcular a variância observa-se que o resultado será dado em 
unidades quadráticas, oque dificulta a sua interpretação. O problema é resolvido extraindo-
se a raiz quadrada da variância, definindo-se, assim, o desvio padrão: 
 
N
)x(
N
1i
2
i


 ou 
1n
)xx(
S
n
1i
2
i




 , 
se os dados são populacionais ou amostrais e, se estiverem em distribuição de frequências: 
 
N
F)x(
k
1i
i
2
i


 ou 
1n
F)xx(
S
k
1i
i
2
i




 . 
É importante destacar que se duas populações apresentam a mesma média, mas os 
desvios padrão não são iguais, isto não significa que as populações têm o mesmo 
comportamento.