Apostila Geodésia

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Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 
 2 
 
APRESENTAÇÃO 
 
O presente trabalho destina-se como material de apoio para a disciplina de Geodésia e 
Sistemas de Referência dos Cursos de Georreferenciamento de Imóveis Rurais, que 
leciono em várias Instituições de Ensino deste país. 
 
Qualquer citação ao presente trabalho deve ser feita, seguindo-se as normas da ABNT, 
como: 
 
TEIXEIRA, N. N. Geodésia e Sistemas de Referência. Apostila do Curso de 
Georreferenciamento de Imóveis Rurais. UESC – DCAA, Ilhéus/BA, 2017, 110pp. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 
 3 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO 4 
1.1 CONCEITUAÇÃO 4 
1.2 ATUAÇÃO DA GEODÉSIA 5 
2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 8 
2.1 TOPOGRAFIA 8 
2.2 CARTOGRAFIA 12 
2.3 ASTRONOMIA DE POSIÇÃO 13 
2.4 SENSORIAMENTO REMOTO 15 
2.5 CARACTERÍSTICAS DA GEODÉSIA E DAS CIÊNCIAS AFINS 15 
2.6 ERROS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO DEVIDO À 
CURVATURA TERRESTRE E À REFRAÇÃO ATMOSFÉRICA 
17 
2.7 FORMAS DA TERRA 26 
3 SISTEMAS DE COORDENADAS E DE REFERÊNCIA 38 
3.1 SISTEMA DE COORDENADAS ASTRONÔMICAS OU 
GEOGRÁFICAS 
40 
3.2 SISTEMA DE REFERÊNCIA TERRESTRE CONVENCIONAL 42 
3.3 SISTEMA DE COORDENADAS GEODÉSICAS 44 
3.4 SISTEMA GEODÉSICO LOCAL 46 
3.5 SISTEMA DE COORDENADAS PLANAS RETANGULARES 47 
3.6 SISTEMAS DE COORDENADAS TOPOGRÁFICAS LOCAIS 53 
3.7 SISTEMAS DE REFERÊNCIA 57 
3.8 SISTEMAS DE REFERÊNCIA GEODÉSICOS ADOTADOS NO 
BRASIL 
61 
4 GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE 72 
4.1 ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO 73 
4.2 SEÇÕES NORMAIS RECÍPROCAMENTE INVERSAS 83 
4.3 LINHA GEODÉSICA 85 
5 TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS E DE SISTEMAS DE 
REFERÊNCIA 
88 
5.1 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS 88 
5.2 TRANSFORMAÇÃO ENTRE SISTEMAS DE REFERÊNCIAS 103 
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS 108 
 
 
 
 
 
Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 
 4 
1 INTRODUÇÃO 
 
1.1 CONCEITUAÇÃO 
 
 A palavra Geodésia de forma literal expressa a “divisão ou 
particionamento da Terra”, e foi utilizado pela primeira vez por Aristóteles (384-322 
a.C.). No entanto, tal expressão não é suficiente para definir com clareza a amplitude 
de atuação e importância desta ciência, havendo então necessidade de buscar, através 
de autores renomados, conceitos e definições da mesma. 
Deste modo, segundo GEMAEL (1987), Geodésia é a ciência que tem como 
objeto a determinação da forma e dimensões do nosso planeta, bem como a 
determinação dos parâmetros definidores do campo da gravidade. Com o acréscimo de 
uma outra componente que são suas variações temporais. No entanto, com o 
desenvolvimento da era espacial a sua área de atuação inclui hoje outros componentes 
do sistema solar, como por exemplo, a Selenodésia, que tem como objetivo o estudo 
da forma, dimensões e movimentos da Lua. 
TARDI-LACLAVERE (1951), divide a Geodésia em duas partes que são: 
Geodésia Teórica ou Matemática e Geodésia Operacional. Segundo ele, a primeira 
trata do estudo da forma e das dimensões da Terra, enquanto a segunda, estabelece os 
procedimentos para a medida de porções da Terra, que por suas dimensões requerem a 
consideração da curvatura terrestre. 
WILSON (1908) define a Geodésia como sendo a ciência que soluciona 
questões envolvendo a forma e dimensão da Terra, compreendendo ainda: 
 A medida exata de uma linha de base de alguns quilômetros; 
 Determinação da latitude, longitude e azimute de um dos extremos; 
 Ampliação de base, pela triangulação; e 
 Cálculo da triangulação. 
BOMFORD (1962) afirma que a Geodésia é a divisão da Terra, cujo objetivo 
principal é o de estabelecer uma estrutura geométrica precisa para apoiar os 
levantamentos topográficos. 
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A consecução dos objetivos da Geodésia se dá por meio de operações 
geométricas realizadas sobre a superfície terrestre (medidas angulares e de distância) 
associadas a esparsas determinações astronômicas; ou utilizar medidas gravimétricas 
que conduzam ao conhecimento detalhado do campo da gravidade; ou mais 
modernamente, valer-se de medidas efetuadas sobre satélites artificiais (GEMAEL, 
1987). Considerando-se variedade de operações e conseqüentemente de dados,a 
Geodésia pode assim ser dividida: 
 Geodésia Geométrica; 
 Geodésica Física; e 
 Geodésia Espacial, ou Celeste ou ainda por Satélites. 
Considerando-se o desenvolvimento tecnológico a Geodésia pode, ainda, ser 
dividida em: 
 Selenodésia; e 
 Geodésia Marinha. 
 
1.2 ATUAÇÃO DA GEODÉSIA 
 
 Geralmente, a atuação da Geodésia se dá na solução de problemas, que podem 
ser divididos em Científicos e Científicos-Práticos. 
 No que diz respeito à atuação cientifica, a principal tarefa da Geodésia é o estudo 
da forma e das dimensões do nosso planeta, bem como, de seu campo gravitacional 
externo. 
 A solução deste problema compreende (ZAKATOV, 1981): 
1. Determinação das medidas e do tipo de superfície matemática regular que 
represente a forma adequada da figura da Terra em sua totalidade. Considera-se 
que tal superfície seja a de uma elipsóide de revolução achatado, também 
denominado de elipsóide terrestre; 
2. O estudo da figura real da Terra e seu campo de gravitacional exterior. Por 
figura real da Terra se entende a superfície física real da Terra. 
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 O estudo da figura real da Terra compreende a determinações de parâmetros ou 
magnitudes geodésicas que expressam os desvios de sua superfície com relação à 
superfície do elipsóide terrestre. 
 Outros problemas científicos da Geodésia são: 
 Detecção e análise de movimentos tridimensionais da crosta terrestre; 
 Determinação da estrutura interna da Terra; 
 Determinação da diferença dos níveis médios dos mares e quantificação dos 
movimentos das linhas de costa dos oceanos; 
 Estudo dos movimentos dos pólos; 
 Lançamento de satélites artificiais e monitoramento de seus movimentos, em seu 
ciclo de vida útil; 
 Dentre outros. 
 Atualmente, a observação e descrição do 'campo de gravidade' e sua variação 
temporal, é o problema científico de maior interesse da Geodésia. 
 No que diz respeito aos problemas científicos-práticos, a Geodésia se ocupa com 
o desenvolvimento dos mais modernos métodos e instrumentos para a execução de 
medições e observações de alta precisão, como por exemplo: 
 Medições lineares: precisão melhor do que 1:500.000; 
 Medições de ângulos horizontais:  =  0 ,7”; 
 Medições de distâncias zenitais: precisão de poucos segundos; 
 Nivelamento geodésico: =  0,05 mm/km; 
 Neste tipo de problema inclui-se a determinação de coordenadas geodésicas (, 
, h) de pontos da superfície terrestre, a nível local, regional e global, com relação a 
um sistema único de coordenadas. Deste modo, com os métodos geodésicos se 
determina coordenadas com alta precisão de alguns pontos da superfície terrestre, os 
quais são denominados de rede geodésica de apoio. Por outro lado, como 
complementação da Geodésia, a Topografia – com seus métodos – utiliza os pontos 
das redes geodésicas de apoio para determinar os detalhes de porções da superfície 
terrestre. 
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A Geodésia também oferece apoio às atividades de Cartografia. Neste contexto 
estão inclusos as técnicas, metodologias e especificações para a mensuração e 
representação de grandes extensões da superfície terrestre, abrangendo em muitas 
aplicações cidades, estados e nações. 
 Em geral, o profissional ligado às atividades de mensuração lida 
comumente com três superfícies: 
a) Superfície Física da Terra: superfície que é palco das operações topográficas, 
geodésicas e astronômicas; 
b) Geóide, superfície que melhor representa a forma da Terra, o qual é obtido pelo 
prolongamento do nível médio dos mares, não perturbado, através dos 
continentes. Esta figura é bem definida fisicamente, porém de difícil tratamento 
matemático, pois possui muitas irregularidades; 
c) Superfície do modelo geométrico: superfície de referência, sobre a qual são 
efetuados os cálculos geodésicos. Geralmente, está superfície é o elipsóide 
revolução, pois possibilita tratamento matemático e se aproxima muito do 
Geóide. O elipsóide de revolução é obtido pela rotação de uma elipse meridiana 
em torno de seu eixo menor. 
Estas três superfícies podem ser vistas na figura 1.1. 
 
FIGURA 2.2 – SUPERFÍCIES UTILIZADAS NA MENSURAÇÃO 
a
b
Pn
Ps
Q´ Q
P
Superfície Física
Geóide
Elipsóide de Revolução
G
 
 
 
h 
H 
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2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
 
 No capítulo 1 explanou-se as definições envolvendo a Geodésia. Neste 
capítulo iniciar-se-á definindo as ciências correlatas a Geodésia, que também lidam com 
o mapeamento e posicionamento, e semelhantemente à Geodésia estudam os elementos 
geométricos para a representação da superfície terrestre que são: 
a) Topografia; 
b) Cartografia; 
c) Astronomia de Posição; e 
d) Sensoriamento Remoto e Fotogrametria (esta já definida no capítulo 1). 
 
 
2.1 TOPOGRAFIA 
 
 A Topografia é a ciência aplicada, que utiliza a Geometria Plana e a 
Trigonometria Plana como ferramenta, definindo a posição relativa de pontos sobre a 
superfície da Terra utilizando medidas de distâncias, direções e alturas, ou seja, 
medidas geométricas sobre a superfície da Terra. Além disto, esta ciência abrange 
também locação de pontos necessários à construção de obras da Engenharia, 
Arquitetura e Agronomia, como por exemplo, barragens, loteamentos e construções 
rurais. 
 A palavra Topografia provém do grego topos que significa lugar e 
graphos que significa descrição, ou seja, descrição exata e minuciosa do lugar ou 
terreno. Deste modo, a Topografia pode descrever exatamente o local de interesse, o 
que é feito tanto numericamente – por meio das coordenadas dos pontos, quanto 
geograficamente – por meio dos desenhos obtidos com as medidas de ângulos e 
distâncias, ou das respectivas coordenadas. 
 Esta descrição exata e minuciosa do terreno, que envolve a determinação 
de seu contorno, dimensão e posição relativa, não leva em conta os efeitos da 
curvatura terrestre proveniente de sua esfericidade. Deste modo, o modelo da Terra é 
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reduzido à uma superfície plana, onde os cálculos tornam-se menos complexos, 
permitindo, como mencionado anteriormente, a utilização da Geometria e 
Trigonometria Planas. 
 A importância da Topografia reside no fato de que para o projeto e 
execução de obras envolvendo a Engenharia, Arquitetura e Agronomia, é necessário o 
conhecimento detalhado do terreno no qual o projeto será desenvolvido, o qual se 
obtém através do levantamento topográfico do local. Este levantamento compreende as 
seguintes etapas: 
 Medição de ângulos; 
 Medição de distâncias; 
 Cálculos; e 
 Desenho topográfico. 
 
2.1.1 Finalidade da Topografia 
 
 A finalidade da Topografia é a representação no papel da configuração 
de uma porção da superfície terrestre com todos os seus acidentes e objetos, que é feita 
por meio de projeção ortogonal cotada. 
Esta projeção é realizada sobre uma superfície de nível, ou seja, sobre 
uma superfície definida pela propriedade de ser, em cada um de seus pontos, normal à 
direção da gravidade: as projetantes dos diversos pontos a representar são, pois, as 
verticais desses pontos. A esta projeção ou imagem figurada de terreno dá-se o nome 
de planta ou plano topográfico (ESPARTEL ,1982), conforme pode ser visto pela 
figura 2.1. 
 
 
 
 
 
 
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FIGURA 2.1 – PROJEÇÃO ORTOGONAL COTADA 
 
 
 
 Na figura 2.1 as verticais verdadeiras 1, 2, 3, 4 e 5 são substituídas pelas 
verticais A, B, C, D e E que são perpendiculares ao plano HH’, que é o plano 
topográfico, e consideradas paralelas entre si dentro da área a representar. 
 A vertical é constituída por uma reta que une um ponto qualquer da 
superfície física da Terra ao centro de massa da mesma. Esta reta pode ser 
materializada pelo fio de prumo do teodolito. 
 
2.1.2 Distinção entre a Topografia e a Geodésia 
 
 Tanto a Topografia como a Geodésia são ciências ligadas ao 
mapeamento, nas quais repousam elementos geométricos para representação da 
superfície terrestre, e por isso, não raras às vezes utilizam os mesmos instrumentos, 
técnicas e metodologias. No entanto, há duas diferenças principais que estão no 
tratamento dos dados e na consideração dos efeitos da curvatura terrestre. 
 A Topografia, como mencionado anteriormente, limita-se à descrição 
minuciosa de pequenas porções da superfície terrestre. De acordo com alguns autores 
de compêndios topográficos esta limitação se estende até a área descrita por um 
círculo de 25km, 30km ou 50km de raio. No entanto, de acordo com a NBR 
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13.133/1994 (Norma da ABNT que fixa as condições para a execução de 
levantamentos topográficos no Brasil) o plano topográfico possui dimensão máxima 
limitada a 80km. 
 A Geodésia tem por objetivo a determinação da forma e dimensões da 
Terra, levando em conta os efeitos provenientes da curvatura da terrestre, bem como 
da refração atmosférica. Neste contexto estão implícitos os estudos de soluções que 
visam transformar a superfície do elipsóide em uma superfície plana como a dos 
mapas e cartas. A figura 3.2 ilustra os instrumentos utilizados em Geodésia. 
 
FIGURA 3.2 – INSTRUMENTOS UTILIZADOS EM GEODÉSIA 
 
 
 Geralmente, as soluções dos problemas em Geodésiasão resolvidos por 
matemática não-elementar, enquanto, em Topografia os problemas são menos 
complexos, não exigindo o mesmo rigor matemático. Considerando-se seu campo de 
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atuação, que é toda a Terra e alguns componentes do Sistema Solar, a Geodésia é a 
ciência que abrange o todo, enquanto a Topografia se atém aos detalhes. Deste modo, 
devido ao seu âmbito restrito a Topografia é um capítulo da Geodésia. Porém, ambas 
se completam para a harmonia do conjunto, do qual resultam as cartas geográficas e 
topográficas (ESPARTEL, 1982). 
 
 
2.2 CARTOGRAFIA 
 
 Cartografia é a ciência e a arte de expressar graficamente, por meio de 
mapas e cartas o conhecimento humano da superfície e o ambiente terrestre. 
 É ciência porque essa expressão gráfica, para alcançar exatidão 
satisfatória procura um apoio científico que se obtém pela consecução de 
determinações astronômicas, topográficas e geodésicas, utilizando-se também da 
matemática e física como ferramenta. 
 É arte quando se subordina às leis estéticas da harmonia, clareza e 
simplicidade, procurando atingir o ideal artístico da beleza. 
 Esta expressão ou representação gráfica dos detalhes físicos, naturais e 
artificiais de uma área restrita ou extensa da superfície terrestre, é feita sobre uma 
superfície plana – denominada de mapa ou carta – por meio de escalas médias e 
pequenas, levando em consideração os efeitos da curvatura terrestre. Nesta 
representação também está implícito o posicionamento rigoroso destes detalhes, os 
quais são atrelados a um sistema de referência de coordenadas. 
 No entanto, dificuldades existem no que diz respeito à representação 
gráfica de detalhes da superfície terrestre sobre uma superfície plana. Estas 
dificuldades são provenientes do fato da a esfera ou o elipsóide de revolução não 
serem superfícies desenvolvíveis, ou seja, não há como abrir sua superfície 
transformando-a em um plano, isto é, um mapa ou carta. Por isso, ao longo do tempo 
foram desenvolvidos diversos sistemas de projeção capazes de permitir a 
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transformação, ainda que aproximada, da superfície terrestre. A maioria das projeções 
cartográficas são referidas a um plano, cone ou cilindro. 
 A projeção utilizada no Brasil para representação cartográfica é Projeção 
Universal Transversa de Mercator (UTM), que foi originada a partir da projeção 
conforme de Gauss. 
 A figura 2.3 mostra o esquema da projeção UTM. 
 
 
FIGURA 2.3 – ESQUEMA DA PROJEÇÃO UTM 
 
 
2.3 ASTRONOMIA DE POSIÇÃO 
 
 A astronomia de posição, também conhecida como astronomia de 
campo, ou esférica tem por finalidade a determinação da posição geográfica de pontos 
e azimutes de orientação na superfície terrestre. Esta posição geográfica é composta 
pelas coordenadas latitude e longitude. É uma das ciências mais antigas, cujo objeto de 
estudo é a natureza, o movimento e distribuição dos corpos celestes, bem como, a 
constituição do universo em seu conjunto. 
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 As atividades relacionadas à Astronomia de campo desempenharam um 
importante papel na resolução de problemas científicos e práticos da Geodésia e 
Topografia, como por exemplo: 
 Determinações astronômicas da latitude e longitude nos pontos das 
triangulações geodésicas; 
 Determinações astronômicas da latitude e longitude de pontos da superfície 
terrestre, os quais serviram como pontos de apoio em levantamentos 
topográficos; 
 Determinação do Norte Verdadeiro ou Geográfico nos levantamentos 
topográficos; 
 Determinação das coordenadas geográficas de navios em mar, e de aviões 
no ar. 
 Muitos problemas da Astronomia de Campo são solucionados via 
resolução do triângulo esférico, também conhecido como triângulo astronômico, de 
posição ou paralático (ZAKATOV, 1981). Este triângulo é formado por três pontos da 
esfera celeste: Pólo, Zênite e o Astro, ligados por arcos de círculos máximos. A figura 
2.4 mostra o esquema de um triângulo de posição. 
 
FIGURA 2.4 – TRIÂNGULO DE POSIÇÃO 
 
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2.4 SENSORIAMENTO REMOTO 
 
 É a ciência e arte de adquirir informações a respeito de um objeto, área 
ou fenômeno a partir de medidas feitas por sensores, sem que haja contato com este 
objeto, área ou o fenômeno em estudo. Sensores são equipamentos capazes de coletar 
energia eletromagnética proveniente do objeto, converte-la em sinal passível de ser 
registrado e apresenta-lo em forma adequada à extração da informação. Qualquer 
veículo, terrestre, aéreo ou orbital capaz de suportar qualquer tipo de sensor em 
condição de operação é denominado de Plataforma de Aquisição. 
 As plataformas de aquisição terrestres, ou simplesmente plataformas 
terrestres, são aquelas que se deslocam na superfície do terreno. Quando o sensor é 
transportado a bordo de uma aeronave, a plataforma é denomina de plataforma aérea. 
E finalmente, quando o sensor é transportado a bordo de satélites ou transportadores 
espaciais em órbita em torno da Terra, diz-se que a plataforma utilizada é uma 
plataforma espacial. A figura 2.5 mostra, respectivamente, uma plataforma terrestre, 
aérea e espacial. 
 
FIGURA 2.5 – EXEMPLO DE PLATAFORMAS DE AQUISIÇÃO 
 
Plataforma Terrestre 
 
Plataforma Aérea 
 
Plataforma Espacial: Satélite Landsat 
 
 As imagens provenientes destes sensores podem ser utilizadas em 
Sistemas de Informações Geográficas (SIG) e na produção de mapas. 
 
2.5 CARACTERÍSTICAS DA GEODÉSIA E DAS CIÊNCIAS AFINS 
 
 O quadro 2.1 apresenta algumas das características da Geodésia e das 
ciências afins. 
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QUADRO 2.1 – CARACTERÍSTICAS DA GEODÉSIA E DAS CIÊNCIAS 
AFINS 
CIÊNCIA CARACTERÍSTICAS 
Topografia 
Aplicada a áreas restritas 
Desconsidera os efeitos da curvatura Terrestre 
Determina o posicionamento de pontos 
Representa superfícies 
Sistema de referência local 
Modelo matemático: Plano 
Geodésia 
Aplicada a áreas extensas 
Determina coordenadas de pontos com alta precisão 
Considera os efeitos da curvatura terrestre e da 
refração atmosférica 
Modelo matemático: Elipsóide de revolução 
Sistema de referência nacional, continental e global 
Astronomia de Posição 
Considera os efeitos da curvatura terrestre 
Modelo matemático: Esfera 
Determinação de coordenadas por meio de 
observações de astros 
Fotogrametria 
Considera os efeitos da curvatura terrestre 
Aplicada a áreas extensas 
Superfície de referência: o mesmo dos pontos de 
apoio 
Sensoriamento Remoto 
Aplicada a áreas extensas: possibilita a cobertura 
global da Terra 
Considera os efeitos da curvatura terrestre 
Considera o efeito de rotação da Terra 
Permite a produção de mapas 
Cartografia 
Considera os efeitos da curvatura terrestre 
Representa superfícies através de Sistemas de 
Projeção 
 
 
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2.6 ERROS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO DEVIDO À CURVATURA 
TERRESTRE E À REFRAÇÃO ATMOSFÉRICA 
 
2.6.1 Erro Planimétrico 
 
 A superfície de referência utilizada na Geodésia é o elipsóide de 
revolução, pois possibilita o tratamento matemático e se aproxima muito do Geóide, 
que é a forma da Terra. Deste modo, os problemas relativos à esfericidade da Terra 
proveniente de sua curvatura, são considerados nas atividades geodésicas, ao passo 
que na Topografia, essa consideração não é levada a contento, pois a sua superfície de 
referência é reduzida ao plano topográfico local. Esta aproximação torna o campo de 
atuação da Topografia restrito à pequenas porções da superfície terrestre, onde é de 
suma importância a definição da extensão máxima de sua atuação. Para definir esta 
extensão considere-se a figura 2.6. 
 
FIGURA 2.6 – CURVATURA TERRESTRE: ERRO PLANIMÉTRICO 
 
 Nesta figura estão implícitas as seguintes grandezas: 
 R: raio da Terra; 
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 : ângulo central, que faz separação entre os pontos a e b da esfera; 
 A e B: dois pontos situados na superfície física da Terra; 
 a e b: projeções ortogonais dos pontos A e B na calota esférica, segundo os 
raios terrestres OA e OB; 
 b´: é a projeção do ponto B no plano topográfico; 
 b”: ponto concebido no plano topográfico, com a condição de que o arco ab 
seja igual à tangente ab”. 
 Com o intuito de determinar a extensão máxima do campo de atuação da 
Topografia, determina-se primeiramente as equações do arco ab e da tangente ab”, os 
quais são expressos, respectivamente, por: 
 
 tg.R´ab´D
 , (2.1) 
 
)rad(.RabD 
. (2.2) 
 
 A subtração da equação (2.1) pela equação (2.2) resulta no erro de 
distância entre as projeções D e D´, ou seja: 
 
)- tg.(RDab´ab"bb´ 
 . (2.3) 
 
 Pela série de Taylor, tem-se a seguinte equação quando o ângulo central 
() for pequeno: 
 
3
 tg
3

. (2.4) 
 
 Substituindo a equação (2.4) na equação (2.3), tem-se: 
 
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 19 











3
RD
3, (2.5) 
 
obtendo-se: 
 
3
.R
D
3

, (2.6) 
 
mas, como 
 
 .RD
, (2.7) 
 
que substituindo na equação (2.6), resulta, finalmente, em: 
 
2
3
R.3
D
D 
 . (2.8) 
 
 A tabela 2.1 apresenta os valores dos erros planimétricos para os ângulos 
central de 5’, 10’, 15’, 20’, 25’, 30’, 35’, 40’ e 0º43’10,32” (que corresponde a uma 
distância de 80km), onde são utilizadas as equações (2.1), (2.2) 2 (2.3). O raio da Terra 
aqui considerado é de 6.370km. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TABELA 2.1 – ERRO PLANIMÉTRICO 
Ângulo 
Central () 
(º ‘ “) 
Distância 
Horizontal (D´) 
(m) 
Distância 
Esférica (D) 
(m) 
Erro Planimétrico 
Absoluto 
(m) 
Relativo 
0º05´00” 9.264,796 9.264,789 0,007 1 : 1.323.000 
0º10´00” 18.529,631 18.529,579 0,052 1 : 355.000 
0º15’00” 27.794,545 27.794,368 0,177 1 : 157.000 
0º20’00” 37.059,576 37.059,158 0,418 1 : 88.000 
0º25’00” 46.324,764 46.323,947 0,817 1 : 56.000 
0º30’00” 55.590,148 55.588,737 1,411 1 : 39.000 
0º35’00” 64.855,767 64.853,526 2,241 1 : 28.000 
0º40’00” 74.121,661 74.118,316 3,345 1 : 22.000 
0º43’10,32” 80.000,000 79.995,794 4,206 1 : 19.000 
 
 Da tabela 2.1 pode-se inferir que quando se deseja obter precisões 
relativas acima de, aproximadamente, 1:1.000.000, pode-se considerar dentro de um 
raio de 10km a superfície terrestre como sendo plana. Este raio de ação corrobora com 
a extensão máxima das poligonais da classe IIIP, normatizada pela NBR 13133/1994 
para o “adensamento do apoio topográfico para projetos básicos, executivos, como 
executado, e obras de engenharia”. 
 Por outro lado, um raio máximo de ação de 80km como preconizado pela 
NBR 13133/1994 para levantamentos topográficos resulta em um erro relativo de, 
aproximadamente, 1:19.000, valor este acima do que aquele especificado pelo Instituto 
Brasileiro de Geografia e Estatística – IBGE (PR, nº22, de 21-07-83), no que diz 
respeito aos levantamentos geodésicos para fins topográficos, o qual é de 1:5000. 
 
2.6.2 Erro Altimétrico 
 
 Para avaliar o erro de esfericidade presente nos levantamentos 
topográficos devido ao efeito da curvatura terrestre, considere a figura 2.7. 
 
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 21 
FIGURA 2.7 – CURVATURA TERRESTRE: ERRO DE ESFERICIDADE 
 
 
 Nesta figura estão presentes os seguintes elementos: 
 bB: altura do ponto B com relação à esfera; 
 bb´=h: representa o erro de esfericidade, cujo valor pode ser obtido do 
triângulo retângulo OAb´; 
 b1B=h: altura do ponto B com relação ao plano topográfico de referência, o qual 
é tangente à esfera pelo ponto A=a; 
 as demais grandezas são definidas conforme a figura 2.6. 
 
 Da figura 2.7, solucionado o triângulo retângulo OAb´, tem-se que: 
 
222 )AO(´)Ab(´)Ob( 
, (2.9) 
 
que substituindo pelas grandezas presentes neste triângulo, fica: 
 
222 R´D)hR( 
, (2.10) 
 
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 22 
e finalmente, 
 
2222 R´Dhh.R.2R 
 . (2.11) 
 
 Como o valor de 2h pode ser negligenciado pelo fato do mesmo ser 
muito pequeno em comparação com o valor do raio da Terra, tem-se que: 
 
R.2
´D
h
2

 . (2.12) 
 
 Considerando-se o raio da Terra igual a 6370km, e substituindo-o na 
equação (2.12), o erro de esfericidade fica definido como: 
 
2112 ´D.10.7849´D.90000000784,0h 
, (2.13) 
 
em que D´ é dado em metros (m). 
 A tabela 2.2 apresenta alguns valores de erros altimétricos. 
 
TABELA 2.2 – ERRO ALTIMÉTRICO 
Distância 
(m) 
Erro de 
Esfericidade 
(m) 
Tolerância – NBR13133 
Niv. Classe IN 
(12mm.K
0,5
) 
Tolerância – IBGE 
P/ Fins Topográficos 
PR, nº 22; (6mm.K
0,5
) 
1000,0008 0,0037 0,0019 
200 0,0031 0,0054 0,0027 
300 0,0071 0,0066 0,0033 
500 0,0196 0,0085 0,0042 
750 0,0442 0,0104 0,0052 
1000 0,0785 0,0120 0,0060 
 
 Observa-se pelos valores constantes na tabela 2.2 que o erro de 
esfericidade é proporcional à distância. Acima de 300m o erro de esfericidade é maior 
Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 
 23 
do que a tolerância preconizada pela NBR13133/1994 para o nivelamento geométrico 
classe IN, enquanto que pela PR nº 22 do IBGE isto ocorre acima de 200m. Por isso, é 
sempre recomendável que as distâncias niveladas em Topografia não sejam superiores 
a 80m. 
 Devido à magnitude destes erros na representação altimétrica, não se 
pode substituir a esfera terrestre por um plano tangente como é feito na representação 
planimétrica, e cuidados adicionais devem ser tomados quando se almeja precisão nos 
nivelamentos geométricos, como, por exemplo, instalar o nível a igual distância das 
estações a serem niveladas. 
 
 
2.6.3 Refração Atmosférica 
 
 Em todas as atividades topográficas e ciências afins, como por exemplo, 
a Geodésia e Astronomia de Posição, o fenômeno de refração encontra-se presente, 
como bem colocado por GEMAEL (1987): “refração...autêntico calcanhar de Aquiles 
das Ciências Geodésicas”. 
 Nas visadas de um ponto a outro a refração atmosférica, também 
chamada de refração terrestre em decorrência do ponto visado ser terrestre, “levanta” o 
alvo, ou de outra maneira, pode-se dizer que ela “levanta” o ponto visado. Isto ocorre 
porque o plano topográfico definido pelo ponto A é uma linha curva (e não uma linha 
reta), de forma que a curvatura AS é dirigida para o centro de massa da Terra, 
conforme pode ser visto na figura 2.8. 
 
 
 
 
 
 
 
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 24 
FIGURA 2.8 – REFRAÇÃO ATMOSFÉRICA 
 
 
 Uma outra forma de ilustrar este problema é mostrado na figura 2.9. 
 
FIGURA 2.9 – REFRAÇÃO ATMOSFÉRICA NO NIVELAMENTO 
GEOMÉTRICO 
 
 
 Devido ao efeito da Refração Atmosférica, no nivelamento geométrico, 
por exemplo, a leitura de mira será maior do que a do Plano de Referência Horizontal, 
gerando no operador a percepção de que o ponto ou o alvo (mira, nesta caso) foi 
levantado. 
 Na presença da refração atmosférica, o erro de esfericidade (
h
) devido 
à curvatura terrestre é menor, ficando definido pela seguinte equação: 
Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 
 25 
h).k1(´h 
 , (2.14) 
 
onde: 
h
: erro de esfericidade devido à curvatura terrestre (equação 2.13); 
'h
: erro de esfericidade e refração; 
k: coeficiente de refração. 
 O coeficiente de refração varia em função das condições meteorológicas, de 
forma que no Brasil cada região possui seu próprio coeficiente de refração, como 
mostra a tabela 2.3; nesta tabela também são mostrados alguns coeficientes adotados 
em alguns países da Europa. 
 
TABELA 2.3 – COEFICIENTES DE REFRAÇÃO 
Localidade Coeficiente (k) 
Brasil 
Rio de Janeiro 0,17 
Ponta Grossa 0,07 
Litoral do Nordeste 0,11 
Resende 0,13 
Juiz de Fora 0,15 
Países 
Europeus 
França 0,1678 
Alemanha 0,1306 
Rússia 0,1237 
Inglaterra 0,1587 
 Fonte: JORDAN (1981) e GEMAEL (1987) 
 
 Não obstante a estes valores, no Brasil assim como na Alemanha a 
Diretoria do Serviço Geográfico adotou o valor médio de k = 0,13. Deste modo, com 
este valor a equação (2.14) é reduzida para: 
 
h.87,0´h 
 . (2.15) 
 
Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 
 26 
 Aplicando este valor para o erro de esfericidade correspondente à distância 
de 500m, tem-se: 
 
0,01710,0196 . 87,0´h 
m, 
 
valor este muito superior às tolerâncias preconizadas pela NBR13133/1994 e a PR, nº 
22 do IBGE, que são de 0,0085m e 0,0042m, respectivamente. 
 
 
2.7 FORMAS DA TERRA 
 
2.7.1 Histórico 
 
 Desde os tempos mais remotos de nossa civilização, o problema 
concernente ao estudo da forma da Terra, ocupou a mente dos grandes cientistas e 
renomados pensadores. Primeiramente deve-se considerar que a conclusão de que a 
forma da Terra era uma esfera e, posteriormente, um elipsóide de revolução não foi 
imediata. 
 As primeiras especulações a respeito da forma da Terra surgiram com 
pensadores gregos, especificamente por contemporâneos a Thales de Miletus, por volta 
de 625 a 547 a.C. A idéia da forma da Terra concebida pelo próprio Thales de Miletus 
era a de um corpo no formato de um disco, o qual flutuava no oceano, enquanto, 
Anaximander de Miletus (611 a 545 a.C), teve uma idéia totalmente diferente. Sua 
concepção era a de uma Terra cilíndrica, com seus eixos orientados na direção leste-
oeste. De Anaximander também foi a primeira proposição de uma esfera celeste 
(VANICEK e KAKIWSKY, 1996). 
 Contudo, o primeiro pensador que chegou a conclusão de uma Terra esférica 
foi o filósofo e matemático grego Pitágoras (580 a 500 a.C), idéia esta que prevaleceu 
por mais de dois milênios. Pitágoras, pouco antes de sua conclusão, se recusava a 
aceitar a idéia simplificada de uma Terra plana. Sócrates tinha as mesmas concepções, 
Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 
 27 
com a diferença de que não conseguia prova-las. Com a idéia da esfericidade da Terra 
amplamente aceita em redor do mundo, Dicaerchus (morto em 285 a.C.) introduziu a 
teoria de coordenadas esféricas. 
 O astrônomo e matemático Erastótenes (276 a 194 a.C.) introduziu a noção 
de obliqüidade do eixo de rotação da Terra. No entanto, a realização mais interessante 
do ponto de vista geodésico, estaria ainda por vir. Erastótenes mediu a diferença de 
latitude entre Alexandria e Siena, a partir do qual determinou o tamanho da Terra, 
considerada esférica até então. A precisão alcançada nesta medição é considerada 
elevada para sua época, o que faz com seus resultados sejam discutidos no contexto 
dos resultados modernos das dimensões da Terra dentro do escopo da Geodésia. A 
consecução desta célebre realização de Erastótenes seguiu as seguintes etapas 
(OLIVEIRA, 1998): 
a) Constatou-se que no dia de solstício de verão, o Sol iluminava o fundo de um 
poço em siena,; 
b) Constatou-se que ao mesmo tempo, em Alexandria projetava uma sombra de 
7º12’ que corresponde a 1/50 de um círculo, conforme pode ser visto pela 
figura 2.10; 
 
FIGURA 2.10 – EXPERIÊNCIA DE ERATÓSTENES 
 
 
Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 
 28 
 Baseado nestas afirmações, Eratóstenes considerou ainda que: 
 No dia de solstício de verão, o Sol do meio dia se colocava diretamente sobre a 
linha da zona do trópico de verão (trópico de câncer), concluindo que Siena 
estava inclinada nesta linha; 
 A distância linear entre Alexandria e Siena era de aproximadamente 500 
milhas; 
 Siena e Alexandria pertenciamao mesmo meridiano; 
 Com estas considerações a circunferência da Terra foi calculada da 
seguinte forma: 50x500=25000 milhas, valor este que difere apenas 0,40% do valor 
aceito hoje pela União Internacional de Geodésia e Geofísica (UIGG). Com este 
trabalho Eratóstenes não apenas ficou famoso, como também, ocupou posições de 
prestígio em Alexandria, sendo considerado o fundador da Geodésia (VANICEK e 
KAKIWSKY, 1996). 
 Após isto, no primeiro século da presente era, os gregos e os árabes 
também realizaram determinações das dimensões da Terra. Mas a Idade Média foi um 
período tenebroso, não só para a Geodésia, como também, para as outras ciências. 
Neste período os dados referentes à esfericidade da Terra e suas dimensões foram 
praticamente esquecidos, e nenhuma descoberta significativa neste campo da ciência 
foi registrado. Mas no final do século XV com as grandes viagens marítimas, 
conduzidas por Colombo, Vasco da Gama, Magellan, entre outros, as ciências 
geodésicas tomaram novo impulso, onde se iniciou novas pesquisas para a 
determinação da forma e das dimensões da Terra. Com isto, o século XVI foi marcado 
pela expansão do conhecimento geográfico, impulsionado pelo surgimento de uma 
nova atividade: a produção de mapas, ou Cartografia, que foi definida como a arte de 
representar o produto final da Geodésia (VANICEK e KAKIWSKY, 1996; 
ZAKATOV, 1981). 
 Neste mesmo período iniciou-se também a utilização da do método da 
triangulação nos levantamentos geodésicos, que foi um importante fator do 
desenvolvimento das medições de graus, que eram as medições conduzidas sobre a 
superfície terrestre com objetivo de determinar o raio da Terra. Com isto surgiu a 
Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 
 29 
possibilidade de medir grandes distâncias sobre a superfície terrestre. Ainda no século 
XVII considerava-se a Terra como sendo uma esfera; então, todas as atividades de 
determinar as dimensões da Terra eram reduzidas a determinação de seu raio. Deste 
modo, em 1670 o francês Picard realizou a primeira medição moderna do tamanho da 
Terra, em que chegou ao valor de 6275km para o seu raio, representando assim, a 
primeira melhoria em relação ao valor encontrado por Erastótenes em 19 séculos. 
 Posteriormente, Isaac Newton (1642-1727) lançou as bases da lei da 
gravitação universal, onde demonstrou que a Terra tem o formato de um Elipsóide 
achatado no sentido dos pólos, o que foi confirmado através de expedições francesas 
no Peru (1735-1742), onde mediu-se um arco que atravessa o equador, e uma outra na 
Lapônia (1736-1737) onde foram conduzidas medições de grau próximos a latitude de 
66º. Uma vez comprovada a teoria de Newton a respeito da figura da Terra como um 
Elipsóide, começou uma nova etapa nas pesquisas de determinação de tal figura, onde 
fundou-se dois métodos: geométrico e o físico. 
 A partir de então, estes dois métodos foram utilizados de maneira 
independente para determinar a forma e as dimensões do planeta. O método 
geométrico era baseado nos resultados derivados das medições dos elementos 
geométricos da superfície terrestre, como por exemplo: distâncias, ângulos e direções. 
O método físico era baseado na determinação da aceleração da força da gravidade 
sobre a superfície terrestre. Apesar de terem sido utilizados de forma independente, 
estes dois métodos propiciaram uma conclusão unívoca: a figura da Terra é muito 
próxima ao Elipsóide de revolução, mas não coincide com o mesmo. Deste modo, na 
segunda metade do século XIX, o físico Listing propôs o nome de Geóide para a figura 
da Terra. 
 
2.7.2 Formas da Terra Presentes nas Atividades de Mensuração 
 
 Nas atividades de mensuração, rotineiramente, considera-se as seguintes 
formas da Terra: 
Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 
 30 
 Terra Plana: geralmente empregada para os levantamentos de pequenas áreas da 
superfície terrestre. Exemplo: Soluções de Topografia; 
 Terra Esférica: forma empregada para representar a superfície da Terra quando 
á área é extensa. Exemplo: Soluções para mapas de reconhecimento da 
superfície terrestre; 
 Terra Elipsóidica: forma adotada para representar as áreas de tamanho médio, 
ou grande. Exemplo: Soluções de Cartografia; 
 Terra Geoidal: forma da Terra considerada como verdadeira. Exemplo: 
Soluções de Geodésia Física. 
 
2.7.2.1 Terra Plana 
 
 Como já mencionado anteriormente, a forma da Terra adotada na 
Topografia é o plano, onde são determinados o contorno e as dimensões da 
superfície terrestre sem considerar os efeitos de sua curvatura. Mais detalhes 
podem ser vistos na seção 2.1.1 (Finalidade da Topografia). 
 
2.7.2.2 Terra Esférica 
 
 A conceituação envolvida na Astronomia de Posição baseia-se na 
hipótese da Terra e do Universo serem representados pela forma esférica. Deste 
modo, a Terra e o Universo são considerados esferas concêntricas. 
 Em Geodésia, quando se necessita realizar cálculos aproximados ou 
quando as distâncias entre os diversos pontos são relativamente pequenas, também 
considera-se a Terra como uma esfera, devido à facilidade dos cálculos utilizando 
esta forma. 
 Na Cartografia, no estudo de Projeções Cartográficas, utiliza-se o 
conceito de esfera-modelo. Este conceito baseia-se numa esfera imaginária 
desenhada na escala da projeção, e que serve como construção auxiliar para 
obtenção das projeções geométricas (Figura 2.11). Deste modo, quando se 
Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 
 31 
considera a Terra como sendo esférica, o erro obtido é muito pequeno em virtude 
das escalas de projeção. 
 
FIGURA 2.11 – PROJEÇÕES GEOMÉTRICAS 
 
 
 Na figura 2.11, tem-se três projeções geométricas, que são: Planas (ou 
Azimutais), Cônicas e Cilíndricas, que são superfícies desenvolvíveis que melhor 
se adaptam à esfera. Um outro exemplo bastante simples de representação da Terra 
esférica é o globo terrestre, que constitui uma representação tridimensional da 
superfície terrestre, livre de deformações. A figura 2.12 apresenta a ilustração de 
um globo terrestre. 
 
FIGURA 2.12 – GLOBO TERRESTRE 
 
 
 O raio da esfera terrestre está relaciona-se diretamente com a escala 
utilizada. Deste modo, quando a escala é maior que 1:500.000, o raio da Terra pode 
ser calculado por: 
 
Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 
 32 


22 sen.e1
b
R
, (2.16) 
 
onde: 
b: é o semi-eixo menor do elipsóide; 
e
2
: é a excentricidade; 
: é a latitude geodésica. 
 
 E, quando a escala é menor do que 1:500.000, o raio da Terra pode ser 
calculado por: 
 
2
ba
R


, (2.17) 
 
onde a e b, são, respectivamente, os semi-eixos maior e menor do elipsóide. 
 
2.7.2.3 Elipsóide de Revolução 
 
 É a superfície de referência adotada na Geodésia como o modelo 
geométrico para os cálculos geodésicos. Esta adoção se deve ao fato de que o 
elipsóide revolução se aproxima muito da forma real da Terra, que é o Geóide, e 
possibilita todo um tratamento matemático. 
 O elipsóide de revolução oubiaxial é proveniente da rotação de uma 
elipse meridiana em torno de seu eixo menor, o que torna tal elipsóide achatado. Se 
tal rotação fosse em torno de seu eixo maior ter-se-ia um elipsóide alongado. De 
qualquer forma, em Geodésia é utilizado o elipsóide de revolução ou biaxial. A 
figura 2.13 mostra uma elipse meridiana. 
 
 
 
Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 
 33 
FIGURA 2.13 – ELIPSE MERIDIANA 
 
 
 A elipse meridiana pode ser definida de diversas formas. Em Geodésia, 
ela é definida pela sua dimensão e forma. A dimensão pelo seu semi-eixo maior (a) 
e a forma pelo achatamento (f). O achatamento (f) é definido por: 
 
a
ba
f


 . (2.18) 
 
 O que ocorre na Geodésia é que as medições são realizadas na superfície 
física da Terra, mas os cálculos são efetuados na superfície do elipsóide (modelo 
teórico), conseqüentemente, os resultados são reduzidos a esta superfície. 
 Praticamente, a Geodésia do século XIX se concentrou na pesquisa dos 
parâmetros do melhor elipsóide, por meio de levantamentos geodésicos associados 
à determinações astronômicas, e à medidas gravimétricas (GEMAEL, 1987; 
ZAKATOV, 1981). Com o surgimento das Técnicas Espaciais de Posicionamento, 
esta pesquisa ganhou mais um aliado que são os satélites artificiais, os quais 
propiciaram maior rapidez e precisão na determinação dos parâmetros definidores 
da figura da Terra. 
 Deste modo, em diversos países foram definidos vários elipsóides que 
representavam a realidade regional e do momento na qual eram concebidos. No 
entanto, com o passar dos anos, as técnicas e a instrumentação de mensuração 
Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 
 34 
geodésica evoluíram, possibilitando a determinação de parâmetros mais precisos 
para o elipsóide de revolução. Esta dinâmica resultava na substituição dos antigos 
elipsóides pelos novos. A tabela 2.3 mostra os parâmetros definidores de alguns 
elipsóides de revolução. 
 
TABELA 2.3 – ELIPSÓIDES DE REVOLUÇÃO 
Elipsóide 
Ano de 
Definição 
Parâmetros 
Semi-eixo maior (m) Achatamento 
Bessel 1841 6.377.397,000 1:299,15 
Clarke 1866 6.378.206,000 1:295,00 
Clarke 1880 6378.249,000 1:293,50 
Hayford 1910 6378.388,000 1:297,00 
krasovsky 1936 6.378.210,000 1:298,60 
krasovsky 1940 6.378.245,000 1:298,30 
SGR-67 1967 6.378.160,000 1:298,25 
GRS80 1980 6.378.137,000 1:298,257222101 
 
 O elispóide SGR-67 corresponde à figura geométrica para a Terra do 
antigo Sistema Geodésico Brasileiro (SGB), que era o Datum Sul-Americano de 
1969 (South American Datum of 1969 – SAD69). Enquanto o elipsóide GRS80 
representa a figura geométrica para a Terra do atual SGB, que é o Sistema de 
Referência Geocêntrico para as Américas (SIRGAS), em sua realização do ano 
2000, ou seja: SIRGAS2000. 
 
2.7.2.4 Geóide 
 
 É uma superfície de nível, obtida pelo prolongamento do nível médio dos 
mares, não perturbados (sem influência de marés e correntes), através dos 
continentes. Esta superfície é uma superfície equipotencial, pois todos os pontos 
desta superfície, possuem o mesmo potencial gravitacional (W), definido pela 
seguinte equação: 
 
Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 
 35 
QVW 
, (2.19) 
 
em que: 
W: é o potencial gravífico ou da gravidade; 
V: é o potencial de atração ou newtoniano; 
Q: é o potencial centrífugo ou de rotação. 
 
 As superfícies equipotenciais do campo da gravidade, cujo potencial 
gravífico é constante (W=C
te
), são denominadas de geopes. Deste modo, os geopes 
devido à não homogênea distribuição de massas, são superfícies suavemente 
irregulares, e perpendiculares em todos os seus pontos, às linhas de força do 
campo. Estas linhas de força do campo gravífico são denominadas de verticais, 
que são curvas reversas (GEMAEL, 1999), conforme pode ser visto pela figura 
2.14. 
 
FIGURA 2.14 SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS DO CAMPO DA 
GRAVIDADE DA TERRA 
 
 
 
 Deste modo, o Geóide constitui uma determinada superfície 
equipotencial do campo da gravidade, ou seja, é o geope que mais se aproxima do 
nível médio dos mares (VANICEK e KAKIWSKY, 1996). Devido ao seu 
Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 
 36 
prolongamento ao longo dos continentes e ilhas (regiões que representam 25% da 
superfície terrestre), o Geóide encontra-se no interior da crosta. A figura 2.15 
mostra o modelo geoidal TUM-2S, determinado a partir de 24 meses de 
observações gravimétricas dos satélites da missão CHAMP-GPS. 
 
FIGURA 2.15 – GEÓIDE GRAVIMÉTRICO 
 
 
 Observações geodésicas recentes mostraram que o Geóide pode se 
ajustar num elipsóide de revolução geocêntrico (quando o centro do elipsóide 
coincide com o centro de massa da Terra), com uma proximidade de até algumas 
dezenas de metros. Neste ajustamento (Geóide-Elipsóide) o eixo menor do 
elipsóide coincide com o eixo polar de inércia da Terra. Quando estas condições 
são plenamente satisfeitas, o elipsóide é chamado de “normal body of the Earth – 
corpo normal da Terra”, ou por alguns pesquisadores de “mean Earth ellipsoid – 
elipsóide médio da Terra”, ou ainda de elipsóide geocêntrico de referência 
(VANICEK e KAKIWSKY, 1996), o qual pode ser visto na figura 2.16. 
 
 
Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 
 37 
FIGURA 2.16 – ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO COMO UM CORPO NORMAL DA 
TERRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 
 38 
3 SISTEMAS DE COORDENADAS E DE REFERÊNCIA 
 
 Numa primeira análise, em se tratando de Sistemas de Coordenadas para 
utilização em mensurações, bastaria definir um sistema de coordenadas cartesianas 
plano retangular (X, Y) que o problema estaria resolvido, uma vez que as operações 
topográficas são realizadas considerando-se um plano horizontal de referência. Em se 
tratando de levantamento topográfico onde as alturas (componente z ou cota) relativas 
dos pontos do terreno são requeridas, acrescentar-se-ia no sistema de coordenadas esta 
informação, em que este sistema ficaria definido por: (X, Y, Z) ou (X, Y, Cota), como 
pode ser visto pela figura 3.1. 
 
FIGURA 3.1 – SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS 
TRIDIMENSIONAIS 
 
 
Na figura 3.1 o plano topográfico é tangente a esfera pelo ponto A. Deste 
modo, têm-se os seguintes elementos: 
Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 
 39 
- Xa, Ya e Za: Coordenadas do ponto A; 
- Xb, Yb e Zb: Coordenadas do ponto B; 
- AO: Vertical do Ponto A; 
- Bb´:Vertical do ponto B. De forma rigorosa a vertical do ponto B é a linha reta 
OB; mas devido à não consideração da curvatura terrestre em face do planotopográfico, a vertical do ponto B é definida pela linha reta Bb´, perpendicular a 
este plano e paralela à vertical do ponto A. 
 No entanto, com a evolução das técnicas e instrumentação de 
mensuração, especialmente, com o advento do Sistema de Posicionamento Global 
(GPS), a possibilidade de se obter nos levantamentos topográficos precisões do âmbito 
da Geodésia, é uma realidade palpável. E com isto, o profissional que lida com 
Topografia precisa ampliar seu leque de conhecimento das disciplinas de 
Geotecnologias que regem as atividades de representação da superfície terrestre. 
Entre estas disciplinas, encontra-se a de “Sistemas de Coordenadas”, pois 
com esta evolução, um sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais (X, Y, Z) 
arbitrário, nem sempre refletirá a realidade envolvida no levantamento, quer seja 
quanto à sua finalidade, técnica empregada e/ou instrumentação utilizada. Um outro 
motivo para o conhecimento de Sistemas de Coordenadas, é quanto à utilização do 
Sistema Geodésico Brasileiro (SGB), sistema na qual muitas das atividades de 
posicionamento devem estar referenciadas, algumas delas por determinação da lei, 
como por exemplo: 
 Georreferenciamento de Imóveis Rurais; 
 Rede de Referência Cadastral Municipal; e 
 Cadastro Técnico Municipal; 
No contexto das atividades de posicionamento, os sistemas de 
coordenadas mais utilizados são: 
1. Sistema de Coordenadas Astronômicas ou Geográficas; 
2. Sistema de Referência Terrestre Convencional; 
3. Sistema de Coordenadas Geodésicas; 
4. Sistema Geodésico Local 
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 40 
5. Sistema de Coordenadas Planas Retangulares; 
6. Sistemas de Coordenadas Topográficas Locais. 
 
 
3.1 SISTEMA DE COORDENADAS ASTRONÔMICAS OU GEOGRÁFICAS 
 
 As latitudes (a) e longitudes (a) astronômicas dos pontos da superfície 
física da Terra, bem como, os azimutes (Aa) de orientação são determinados por 
observações em corpos celestes, especificamente, o Sol e as estrelas, via procedimento 
de Astronomia de Posição, onde considera-se a Terra como uma esfera de raio 
arbitrário, denominada de esfera celeste. A figura 3.2 mostra as coordenadas latitude 
(a) e longitude (a) na esfera celeste 
 
FIGURA 3.2 – COORDENADAS ASTRONÔMICAS 
 
 
 
 Na figura 3.2 a linha reta OA representa a vertical do ponto A. A 
latitude astronômica (a) do ponto A é o ângulo formado entre a sua vertical (OA) e 
a sua projeção no plano equatorial. Varia de 0º a 90º para o norte ou para o sul, sendo 
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 41 
positivo no hemisfério norte, e negativo no hemisfério sul. A longitude astronômica 
(a) é o ângulo diedro formado entre o meridiano astronômico médio de Greenwich e 
o meridiano astronômico do ponto A. Este ângulo varia de 0º a 180º para oeste ou 
leste. 
 
3.1.1 Altitude Ortométrica 
 
 Altitude ortométrica é a distância contada, ao longo da vertical, de um 
ponto qualquer da superfície física da Terra até o Geóide. Esta altitude possui 
significação física, pois tem valor igual a zero (H=0,0m) no nível médio dos mares e, 
a água corre desde um ponto de altitude ortométrica maior para um de valor menor. 
Isto torna a altitude ortométrica útil para aplicações de engenharia, arquitetura e 
agronomia.A figura 3.3 ilustra o conceito de altitude ortométrica. 
 
FIGURA 3.3 – ALTITUDE ORTOMÉTRICA 
 
Nível Médio dos Mares
P
P´
H
Geóide
Vertical de P
Wo
Wp
 
 
 Na figura 3.3 as grandezas Wo e WP, representam o geopotencial no 
Geóide e no ponto P, respectivamente. A diferença entre eles chama-se Número 
Geopotencial de um ponto P da superfície física da Terra, que corresponde ao trabalho 
da gravidade para transportar a unidade de massa entre as duas superfícies 
equipotenciais, ou seja, entre a superfície do geóide e do ponto P (GEMAEL, 1999). 
 
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 42 
3.2 SISTEMA DE REFERÊNCIA TERRESTRE CONVENCIONAL 
 
 Um sistema de coordenadas cartesianas geocêntricas é, por definição, 
aquele cuja origem coincide com o centro de massa da Terra (Geocentro) e cujos eixos 
(X, Y, Z) são solidários com ela (VANICEK e STEEVES, 1996). O sistema de 
coordenadas cartesianas geocêntricas mais comum em Geodésia é o CTRS. Este 
sistema de referência é o mais utilizado pelos sistemas espaciais de posicionamento 
(COSTA, 1999, p. 11). 
 Um CTRS é definido como (COSTA, 1999, p. 11; NIMA, 2000, p. 2-1): 
 É geocêntrico, com o centro de massa sendo definido para toda a Terra, incluindo 
oceanos e atmosfera; 
 Sua escala é aquela definida pelo arcabouço “frame” terrestre local, dentro do 
conceito da teoria relativística da gravitação; 
 Sua orientação foi inicialmente dada pelo Bureau International de I´Heure (BIH) 
para a época 1984,0; 
 A evolução temporal de sua orientação não deve permitir rotação global residual 
com relação à crosta terrestre. 
 A figura 3.4 mostra o CTRS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 43 
FIGURA 3.4 – REPRESENTAÇÃO DO CTRS 
 
Z
Y
X
Centro de Massa da Terra
Plano Equatorial Médio
Eixo de Rotação Médio da Terra
Plano Meridiano Médio
 de Greenwich
G
CIO
 
 
 Na figura 3.4, a origem e os eixos são definidos como (NIMA, 2000, p. 
2-2): 
 Origem no centro de massa da Terra (G), definido fisicamente; 
 Eixo Z é o eixo de rotação médio da Terra, que coincide com o Conventional 
International Origin (CIO) e é positivo no sentido norte; o eixo de rotação médio é 
determinado pelas estações de observação do International Earth Rotation Service 
(IERS) desde 1988 em que o pólo norte fica designado como Conventional 
Terrestrial Pole (CTP); 
 O plano XZ é escolhido de tal forma que seja paralelo ao plano meridiano médio 
de Greenwich; 
 O plano XY corresponde ao plano equatorial médio; 
 Os eixos X, Y e Z são ortogonais entre si e formam um sistema destrógiro. 
 
 
 
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 44 
3.3 SISTEMA DE COORDENADAS GEODÉSICAS 
 
 A superfície utilizada para representar as coordenadas geodésicas é 
aquela que mais se aproxima do Geóide, ou seja, o elipsóide revolução, 
geometricamente representado pelos seus parâmetros: semi-eixo maior (a) e 
achatamento (f). As coordenadas referidas ao elipsóide de revolução são: latitude 
geodésica (), longitude geodésica () e altitude elipsoidal ou geométrica (h). Estas 
coordenadas podem ser vistas na figura 3.5. 
 
FIGURA 3.5 – COORDENADAS GEODÉSICAS 
 
 
 Na figura 3.5 a linha reta PI é normal ao elipsóide de revolução, 
conduzida a partir do ponto P. Deste modo, as coordenadas geodésicas mostradas nesta 
figura, são definidas como: 
 Latitude geodésica () de um ponto P qualquer é o ângulo formado pela 
normal do ponto P com sua projeção equatorial. Também é considerada como 
sendo a latitude elipsóidica de P´, projeção normal (ou projeção de HELMERT) 
de P sobre o elipsóide (GEMAEL, 1987). A latitude geodésica varia de 0º a 
90º, sendo positiva no pólo norte, onde é representadopor =+90º ou =90ºN. 
No pólo sul ela é negativa, onde é representada por =-90º ou =90ºS. 
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 45 
 Longitude geodésica (): de um ponto P qualquer é o ângulo formado pela 
elipse meridiana que contém Greenwich e a elipse meridiana que contém o 
ponto P, medido sobre o equador. Também definido como o ângulo diedro 
formado pelos meridianos geodésicos de Greenwich, o qual é a origem (=0º), 
e o meridiano do ponto P. Cresce no sentido leste, variando de 0º 360º, ou 
positivamente no sentido leste variando de 0º a 180ºE, e negativamente no 
sentido oeste variando de 0º a 180ºW. 
 Altitude elipsoidal ou geométrica (h) é a distância do ponto P, na superfície 
física da Terra, até o elipsóide (P´), contada ao longo da normal. 
Deste modo, um ponto P da superfície física da Terra tem a sua posição 
definida sem ambigüidade pela tríade geodésica (, , h). A figura 3.6 mostra as 
coordenadas geodésicas de um ponto genérico Pi, juntamente com suas coordenadas 
cartesianas tridimensionais. 
 
FIGURA 3.6 – COORDENADAS CARTESIANAS E GEODÉSICAS 
 
Z
Y
X
O
iY
iX
iZ
i
i
ih
iP
iP
´
I
G
Pn
 
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 46 
3.4 SISTEMA GEODÉSICO LOCAL 
 
 Ao lado do CTRS é de significação o SGL ou sistema de coordenadas 
cartesianas elipsóidicas topocêntricas, porque as medidas geodésicas terrestres, como a 
distância entre dois pontos, o ângulo zenital elipsóidico e o azimute geodésico, 
ilustrados pela figura 3.7, a ele estão ligados pela direção da normal do ponto P0. 
 
FIGURA 3.7– REPRESENTAÇÃO DO SISTEMA GEODÉSICO LOCAL 
Z
Y
X
O
h
Z*
Y*
X*
01
Ag
01

01
d
oP
1
P
 
 
 Na figura 3.7 
 ,
 e h representam, respectivamente, a latitude 
geodésica, a longitude geodésica e a altitude elipsoidal do ponto P0. 
 São propriedades do SGL (COSTA, 1999, p. 15; MORAES, 2001, 
p.152): 
 Sistema cartesiano levógiro com origem no topocentro (P0); 
 Não está associado com as características físicas da Terra; adota-se o elipsóide de 
revolução, para a representação das coordenadas geodésicas; 
G 
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 47 
 Eixo Z* está contido no plano meridiano elipsóidico e tem sentido para o zênite 
elipsóidico; 
 Eixo X* está contido no plano meridiano elipsóidico e tem sentido positivo para o 
norte geodésico; 
 Eixo Y* coincide com a direção leste-oeste elipsóidica e tem sentido positivo para 
o leste; 
 O plano X*Y* forma o horizonte elipsóidico topocêntrico que é perpendicular à 
normal do ponto P0; 
 O azimute geodésico Ag da posição P1 em relação a posição de P0 é definido como 
o ângulo entre o plano meridiano elipsóidico de P0 e o plano formado pelo eixo Z* 
e o ponto P1; 
 O ângulo zenital elipsóidico 

 é o ângulo entre a normal elipsóidica no ponto P0 e 
o segmento de reta que liga o ponto P0 ao ponto P1; 

 situa-se no intervalo 
0
. 
 
 
3.5 SISTEMA DE COORDENADAS PLANAS RETANGULARES 
 
 Como observou-se anteriormente, a forma da Terra não é plana, e a 
depender da finalidade ou da ciência ela pode ser representada por uma esfera, 
elipsóide ou mesmo por sua forma real que é o Geóide. No entanto, quando se retrata 
de representação da superfície, esta é feita em mapas, que são planos. A partir de então 
as dificuldades começam a surgir, pois nem a esfera e nem o elipsóide são superfícies 
desenvolvíveis, ou seja, não se pode planifica-las sem que haja deformações. Deste 
modo, quando se deseja representar a superfície terrestre em forma de cartas ou mapas, 
deve-se fazer uso dos sistemas de projeção, os quais permitem – de forma aproximada 
– a transformação da superfície terrestre. 
 A maioria das projeções cartográficas são referidas a um plano, cone ou 
cilindro, conforme ilustra a figura 3.8. 
 
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 48 
FIGURA 3.8 – PROJEÇÕES CARTOGRÁFICAS 
 
 
 A partir da utilização dos sistemas de projeção são obtidas as 
coordenadas planas da superfície terrestre. Para que isto ocorra é necessário o 
estabelecimento de uma relação pontual e unívoca entre a superfície de referência, 
esfera ou elipsóide, e a superfície do desenho, a qual é plana. De forma geral, o que se 
trata nesta relação é a estimação das coordenadas planas (N, E) a partir das 
coordenadas (, ) de um ponto qualquer situado na superfície de referência, que pode 
ser a esfera ou o elipsóide. A terceira coordenada se refere a elevação do ponto, que 
geralmente é a altitude ortométrica (H). 
A projeção utilizada para representação cartográfica no Brasil é a 
projeção Universal Transversa de Mercator (UTM), originada a partir da projeção 
conforme de Gauss. Esta projeção consiste num cilindro transverso ao eixo de rotação 
da Terra. A tangência do cilindro com a esfera se dá ao longo do meridiano central do 
fuso (figura 3.9). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 49 
FIGURA 3.9 – PROJEÇÃO CONFORME DE GAUSS 
 
 
 Como visto pela figura 3.9, tem-se nesta projeção um conjunto de 
quadrículas, denominado de canevas, onde as retas verticais representam os 
meridianos e as retas horizontais representam tanto o equador como os paralelos. Esta 
projeção pode ser utilizada tanto para a Terra esférica como para elipsóidica. No caso 
da Terra esférica, os paralelos e meridianos são circunferências, e no caso da Terra 
elipsóidica, os paralelos são circunferências e os meridianos são elipses. Umas das 
grandes vantagens desta projeção e a representação de grandes áreas da superfície 
terrestre sobre um plano com poucas deformações. 
 
3.5.1 Projeção UTM 
 
 A projeção UTM, originada a partir da projeção conforme de Gauss, é 
um sistema de coordenadas retangulares útil às atividades de mensuração, pois permite 
a representação de extensas áreas da superfície terrestre, efetuando significativo 
controle de distorções provenientes dos efeitos da curvatura terrestre. Além disto, a 
projeção UTM é amplamente utilizada para fins de mapeamento, pesquisa científica, 
planejamento e execução de obras de engenharia, dentre outras. Esta projeção pode ser 
vista na figura 3.10. 
 
 
 
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 50 
FIGURA 3.10 – PROJEÇÃO UTM 
 
 
 Observa-se pela figura 3.10 que a Projeção UTM é uma projeção 
cilíndrica conforme, pois possui um cilindro secante à superfície de referência, 
orientado de forma quer o eixo do cilindro esteja no plano do equador. O cilindro 
secante possui um diâmetro menor do que o diâmetro da superfície de referência, 
criando assim, duas linhas de intersecção entre o cilindro e a superfície de referência. 
A área de projeção compreende apenas uma parcela da superfície de referência. Essa 
área é denominada de Fuso ou Zona. Cada fuso é representado pelo número do Fuso 
ou pela longitude do seu meridiano central. A figura 3.11 ilustra a área de projeção.FIGURA 3.11 – ÁREA DE PROJEÇÃO 
 
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 51 
 No meridiano central o fator de redução de escala é: Ko= 0,9996. Nas 
linhas de secância a deformação é nula, ou seja: K= 1,0000. Entre as linhas de secância 
a escala é menor que a verdadeira, tem-se então: K<1, e na área exterior às linhas de 
secância a escala é maior que a verdadeira: K>1. Estas diferenças de escalas existem 
devido ao aumento do espaçamento entre os meridianos à medida que eles se afastam 
do meridiano central. No entanto, para manter a proporcionalidade da projeção 
conforme, a escala na direção norte-sul também é distorcida, fazendo com que haja 
uma escala diferente para cada ponto situado sobre o mesmo lado do meridiano. 
 As demais especificações da projeção UTM são: 
a) Projeção conforme de Gauss: cilíndrica, transversa e secante em dois pontos 
(figura 3.10); 
b) Amplitude dos fusos de 6º; 
c) Longitude de origem: a longitude do meridiano central do fuso; 
d) Latitude de origem: Equador com 0º; 
e) Falso Norte (translação norte): 10.000.000 m para o hemisfério sul; 
f) Falso Este (translação este): 500.000 m; 
g) Paralelos e meridianos interceptam-se em ângulos retos na projeção 
h) As zonas são numeradas de 1 a 60, a partir do antimeridiano de Greenwich, no 
sentido crescente para leste (figura 3.12); 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 52 
FIGURA 3.12 – O MUNDO DIVIDIDO EM FUSOS DE 6º 
 
 
i) Limites de abrangência do sistema entre as latitudes: 84º N e 80º S; 
j) Os meridianos são representados por linhas côncavas em relação ao meridiano 
central e os paralelos são representados pro linhas côncavas em relação ao pólo 
mais próximo, exceto a linha do equador e a linha de meridiano central de cada 
fuso que são representadas por linhas retas na projeção, como pode ser 
observado pela figura 3.13. 
 
FIGURA 3.13- REPRESENTAÇÃO DOS PARALELOS E MERIDIANOS NA 
PROJEÇÃO UTM 
 
 
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 53 
 Na projeção UTM as coordenadas relativas aos eixos das ordenadas e das 
abscissas são representados pelas letras N e E, respectivamente. No eixo N, as 
ordenadas são positivas ao norte e negativas ao sul; enquanto que no eixo E, são 
positivas a leste, e negativas a oeste. É por isso, que no hemisfério sul se acrescenta as 
constantes 10.000.000m no eixo das ordenadas e 500.000m no eixo das abscissas, a 
fim de se evitar valores negativos. A figura 3.14 mostra o esquema do sistema de 
coordenadas retangulares da projeção UTM. 
 
FIGURA 3.14 – SISTEMA DE COORDENADAS UTM: HEMISFÉRIO SUL 
 
 
 
3.6 SISTEMAS DE COORDENADAS TOPOGRÁFICAS LOCAIS 
 
O Sistema Topográfico Local (STL) é utilizado na estruturação da Rede 
de Referência Cadastral Municipal (cujo procedimento é descrito na NBR 14166) 
sendo sua implantação e manutenção atribuição e responsabilidade da administração 
municipal através de um órgão gestor. Em Topografia utiliza-se o Sistema de 
Coordenadas Topográfico Local, definido pela NBR 14166 – Rede de Referência 
Cadastral Municipal, por: “Sistema de representação, em planta, das posições relativas 
de pontos de um levantamento topográfico com origem em um ponto de coordenadas 
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 54 
geodésicas conhecidas, onde todos os ângulos e distâncias de sua determinação são 
representados em verdadeira grandeza sobre o plano tangente à superfície de 
referência (elipsóide de referência) do sistema geodésico adotado, na origem do 
sistema, no pressuposto de que haja, na área de abrangência do sistema, a coincidência 
da superfície de referência, com a do plano tangente, sem que os erros decorrentes da 
abstração da curvatura terrestre ultrapassem os erros inerentes às operações 
topográficas de determinação dos pontos do levantamento.” A figura 3.15 ilustra o 
Sistema Topográfico Local. 
 
FIGURA 3.15 - SISTEMA TOPOGRÁFICO LOCAL 
 
 
 
 
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 55 
Deste modo, o sistema de coordenadas plano-retangulares possui as 
seguintes características: 
 Sua origem coincide com o Sistema Topográfico Local (STL), sendo esta 
um ponto de coordenadas geodésicas conhecidas; 
 Os eixos X e Y estão no plano do horizonte local, tangente ao elipsóide de 
referência; 
 O eixo Y coincide com a meridiana (linha norte-sul) geográfica, sendo 
orientado positivamente para o norte geográfico; e 
 O eixo X coincide com a linha leste-oeste orientado positivamente para 
leste. 
Os pontos medidos no terreno são definidos por coordenadas cartesianas 
plano-retangulares ( xi ,yi ). A origem do Sistema Topográfico Local deve estar 
posicionada de modo que nenhuma coordenada plano-retangular, isenta do seu termo 
constante, tenha valor superior a 50 km, conforme visto na figura 3.16. 
 
FIGURA 3.16 – DISTÂNCIA MÁXIMA DO STL À ORIGEM 
 
 
Com o objetivo de se evitar valores negativos para estas coordenadas, 
são adicionadas as constantes 150.000 m a Xi e 250.000 m a Yi, com isso todas as 
abscissas iniciarão com o algarismo 1 e as ordenadas com o algarismo 2. 
O fator de elevação (c) eleva O plano do horizonte local à altitude 
ortométrica média, da área de abrangência do sistema, aplicando-se às coordenadas 
plano-retangulares de todos os pontos levantados geodésica e topograficamente 
Geodésia e Sistemas de Referência Prof. Dr. Niel Nascimento Teixeira 
 56 
representados no STL, o fator de elevação (c) , que eleva este plano ao nível médio do 
terreno da área de abrangência do sistema caracterizando o Sistema Topográfico 
Local. 
O fator de elevação (c) poder ser calculado pela seguinte equação: 
m
tm
R
hR
c


, (01) 
onde: 
c: o fator de elevação; 
ht: a altitude média do terreno em metros; 
Rm: o raio médio terrestre é expresso por: 
N.MR m 
, (02) 
em que: 
M é o raio de curvatura da seção meridiana, definido como: 
2/322
2
)sene1(
)e1(a
M



, (03) 
e N é o raio de curvatura da seção 1º vertical, dado por: 
2/122 )sene1(
a
N


. (04) 
A área de abrangência do sistema deve ser reduzida para desníveis 
superiores a 150 m. As coordenadas plano-retangulares (X, Y) dos marcos geodésicos 
de apoio imediato no STL são obtidas a partir de suas coordenadas geodésicas (.1, ë1) 
e das coordenadas da origem do sistema (.0 ,ë0 ), através da solução do problema 
inverso do transporte de coordenadas geodésicas onde calcula-se a distância e o 
azimute entre eles ( d01 , A01). Neste sistema as distâncias calculadas não precisam 
ser ajustadas pelo fator de escala (do sistema