aula 2

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Transferência de Calor e Massa
Sumário da aula
 A Equação da Taxa de Condução
 As Propriedades Térmicas da Matéria
▫ Condutividade Térmica
▫ Outras Propriedades Relevantes
 A Equação da Difusão de Calor (Difusão Térmica)
 Condições de Contorno e Inicial
4
 Ementa
Transferência de Calor e Massa
5
 Ementa
A Equação da 
Taxa de Condução
Transferência de Calor e Massa
 Lei de Fourier
▫ fenomenológica, ou seja, desenvolvida empiricamente.
Experimento de condução térmica em regime permanente
x
TAq x 

6
Transferência de Calor e Massa
Para diferentes materiais, a proporcionalidade permanece
válida.
sendo que, k é a condutividade térmica [W/(m.K)].
x
TkAq x 

7
Transferência de Calor e Massa
A taxa de transferência de calor é
ou para o fluxo de calor (fluxo térmico)
Lembre-se de que o sinal negativo é necessário porque 
o calor é sempre transferido no sentido da 
diminuição das temperaturas.
dx
dTkAq x 
dx
dTk
A
qq xx 
8
Transferência de Calor e Massa
A Lei de Fourier implica que o fluxo térmico é uma 
grandeza direcional.
A relação entre o sistema de coordenadas, o sentido do fluxo de calor 
e o gradiente de temperatura numa dimensão.
9
Transferência de Calor e Massa
 Enunciado mais geral da Lei de Fourier
onde, é o operador gradiente tridimensional e
T(x,y,z) é o campo escalar de temperaturas. 










z
T
y
T
x
Tkk kjiTq

10
Transferência de Calor e Massa
O vetor fluxo térmico encontra-se numa direção 
perpendicular às superfícies isotérmicas.
n
Tkq n 

O vetor fluxo térmico normal a uma isoterma num sistema de coordenadas 2D.
11
Transferência de Calor e Massa
O vetor fluxo térmico pode ser decomposto, de tal 
forma que, em coordenadas cartesianas, a expressão 
geral para q" é
sendo que
zyx qqq  kjiq
x
Tkq x 

y
Tkq y 

z
Tkq z 

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Transferência de Calor e Massa
 Considerações finais sobre a Lei de Fourier
▫ É fenomenológica baseada em evidências experimentais ao 
invés de ter sido derivada a partir de princípios fundamentais;
▫ Define uma importante propriedade dos materiais, a 
condutividade térmica, k;
▫ É uma expressão vetorial, indicando que o fluxo térmico é 
normal a uma isoterma e no sentido da diminuição das 
temperaturas;
▫ É aplicada a toda matéria, independente de seu estado físico 
(sólido, líquido ou gás).
▫ .
13
Transferência de Calor e Massa
As Propriedades Térmicas da Matéria
14
Transferência de Calor e Massa
Condutividade Térmica
Esta importante propriedade do material é classificada 
como uma propriedade de transporte e fornece 
uma indicação da taxa na qual a energia é transferida 
pelo processo de difusão.
Ela depende da estrutura física da matéria, atômica e 
molecular, que está relacionada ao estado da matéria
15
Transferência de Calor e Massa
A partir da Lei de Fourier, a condutividade térmica 
associada à condução na direção x é definida como
Definições similares são associadas às condutividades
térmicas nas direções y e z (ky e kz), porém para um
material isotrópico a condutividade térmica é
independente da direção de transferência, kx = ky = kz ≡ k.









x
T
qk xx
16
Transferência de Calor e Massa
Faixas de condutividade térmica de vários estados da matéria a temperaturas e pressões normais.
17
Transferência de Calor e Massa
A dependência com a temperatura da condutividade térmica de sólidos selecionados.
18
Transferência de Calor e Massa
19
Transferência de Calor e Massa
Properties Propriedades Termofísicas
Condutividade térmica: Mede a capacidade de um material de armazenar energia 
térmica
Difusividade Térmica: Mede a capacidade do material de conduzir energia térmica em 
relação à sua capacidade de armazená-la.
Tabelas de propriedades:
Sólidos: Tabelas A.1 – A.3
Gases: Tabelas A.4
Líquidos: Tabelas A.5 – A.7
Transferência de Calor e Massa
 Valores listados nas tabelas A.1 até A.3 são
apropriados para uso quando as dimensões físicas dos
materiais são relativamente grandes.
 Entretanto, in várias área da tecnologia, como
microeletrônica, as dimensões características do
material pode ser da ordem de micro- ou
nanometros, e nestes caso é necessária atenção para
levar em consideração possíveis modificações nos
valores de condutividade térmica, k.
20
Efeitos de Micro- and Nanoscala
Transferência de Calor e Massa
21
Transferência de Calor e Massa
Properties (Micro- and Nanoscale Effects)
• Condução pode ser vista como uma consequência da movimentação de portador de 
energia (eléctron ou phonon).
• No estado sólido:
• O portador de energia também colide com fronteiras físicas, afetando sua propagação.
 Fronteiras externas de um film
Velocidade médica do portador de energia  c .
1
3
 m fpk C c 
Calor específico por 
unidade de volume 
do portador de 
energia 
Livre caminho médio
(2.7)
Transferência de Calor e MassaTransferência de Calor e Massa
 Para , os valores previstos para kx e ky
podem ser estimados com 20% de erro pela seguinte
expressão [1]:
 Para filmes com, , kx e ky reduzem se
dos valores de materiais de grandes dimensões.
1m fpL 
 
 
1 2 3
1 3
 
 
x m fp
y m fp
k k L
k k L
 

/ /
/ /
(2.9a)
(2.9b)
 m fp critL L
22
Transferência de Calor e MassaTransferência de Calor e Massa
 O parâmetro , é adimenssional e é conhecido
como número de Knudsen. Altos números de
Knudsen (pequeno ) sugerem efeitos
potencialmente significantes de nano- or microscala.
 Não há diretrizes básicas para predição de valores de
condutividade térmica em valores
 Observe que em sólidos os valores de decrescem
com o aumento da temperatura.
m fp L
m fpL 
1m fpL 
m fp
23
Transferência de Calor e MassaTransferência de Calor e Massa
 Materiais nanoestruturados são químicamente
idênticos a suas contrapartes convencionais mas
processados para apresentar grão nanométricos.
▫ Essa característica afeta a transferência de calor pelo
aumento de espalhamento e reflexão dos portadores de
energia nos contornos de grão.
24
Transferência de Calor e Massa
25
Transferência de Calor e Massa
Properties (Micro- and Nanoscale 
Effects)
 Contornos de grão de um sólido
Medida de condutividade térmica de um material cerâmica vs. tamanho de grão, L. at 300 K 25nm. m fp T
• Lei de Fourier não descreve precisamente a velocidade propagação de um portador 
de energia finito velocity. Essa limitação é particularmente importante quando há 
problemas envolvendo escalas extremamente pequenas.
Transferência de Calor e MassaTransferência de Calor e Massa
 A extrapolação dos resultados da figura 2,7 para
maiores temperaturas não é recomendada uma vez
que:
▫ O livre caminho médio diminui com o aumento da
temperatura ( 4 nm em T ≈ 1525 K ) e os grão do
material podem coalecer, unir e aumentar em
temperaturas elevadas;
 Portanto, aumenta em altas temperaturas, e a
redução de k devido a efeitos de nanoescala ficam
menos pronunciados.
m fp
m fpL 
26
Transferência de Calor e MassaTransferência de Calor e Massa
 Pesquisas em transferência de calor em materiais 
nanoestruturados vêm revelando novas formas de 
engenheiros manipular a nanoestrutura de modo a 
variar a condutividade térmica[5]:
▫ Importantes conquencias são aplicações como: 
 Tecnologia de motores de turbina a gás [6], 
 Microeletrônica [7], 
 Energia renovável[8].
27
5. Carey, V. P., G. Chen, C. Grigoropoulos, M. Kaviany,and A. Majumdar, Nano. and Micro.Thermophys. Engng. 12, 1, 2008.
6. Padture, N. P., M. Gell, and E. H. Jordan, Science, 296, 280, 2002.
7. Schelling, P. K., L. Shi, and K. E. Goodson, Mat. Today,8, 30, 2005.
8. Baxter, J., Z. Bian, G. Chen, D. Danielson, M. S. Dresselhaus, A. G. Federov, T. S. Fisher, C. W. Jones, E. Maginn, W. Kortshagen, A. Manthiram, A. Nozik, D. R. Rolison, T. Sands, 
L. Shi, D. Sholl, and Y. Wu, Energy and Environ. Sci., 2, 559, 2009.
Transferência de Calor e MassaTransferência de Calor e Massa
 Fluidos
 e 
28
Transferência de Calor e Massa
A dependência com a temperatura da condutividade térmica de líquidos 
não-metálicos selecionados sob condições saturadas.
29
Transferência de Calor e Massa
A dependência com a temperatura da condutividade térmica de gases selecionados a pressões normais.
30
Transferência de Calor e MassaTransferência de Calor e Massa
 NanoFluidos
▫ Mistura de fluidos e sólidos pode ser formuladas para
projetar as propriedades de transporte da suspensão
resultante,
▫ Por exemplo, bases líquidas contendo partículas sólidas
com dimensões nanométricas.
▫ Nano fluidos típicos envolvem água com nano
partículos nominalmente esféricas de Al2O3 ou CuO.
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Transferência de Calor e Massa
Outras Propriedades Relevantes
 Propriedades de Transporte (coeficientes das taxas 
de difusão)
▫ Condutividade térmica, k
▫ Viscosidade cinemática, v
 Propriedades Termodinâmica (estado de equilíbrio)
▫ Massa específica, ρ
▫ Calor específico, cp
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Transferência de Calor e Massa
Capacidade Calorífica Volumétrica, C [J/(m3K)]
Mede a capacidade de um material de armazenar energia 
térmica.
Difusividade térmica, α [m2/s]
Mede a capacidade do material de conduzir energia 
térmica em relação à sua capacidade de armazená-la.
pcC 
pc
k

 
33
Transferência de Calor e MassaTransferência de Calor e Massa
A precisão dos cálculos de Engenharia depende da 
exatidão com que são conhecidos os valores das 
propriedades termofísicas.
Os valores destas propriedades para uma gama de 
sólidos (Tabs. A1 – A3), líquidos (Tabs. A5 – A7) e 
gases (Tab. A4) são fornecidos nas tabelas do 
Apêndice A do Livro-texto.
34
Transferência de Calor e MassaTransferência de Calor e Massa
35
Transferência de Calor e Massa
A Equação da 
Difusão de Calor
(Difusão Térmica)
36
Transferência de Calor e Massa
Um dos objetivos principais da análise da condução 
de calor é determinar o campo de temperaturas 
(distribuição de temperaturas) num meio resultante 
das condições impostas em suas fronteiras.
Uma vez conhecida esta distribuição, o fluxo de 
calor por condução em qualquer ponto do meio ou na 
sua superfície pode ser determinado através da Lei de 
Fourier.
37
Transferência de Calor e Massa
Objetivo: uma equação diferencial cuja solução, para 
condições de contorno especificadas, forneça a 
distribuição de temperaturas no meio.
Metodologia: aplicação da conservação da energia, ou 
seja, define-se um volume de controle diferencial, 
identificam-se os processos de transferência de 
energia relevantes e substituem-se as equações das 
taxas de transferência de calor apropriadas.
38
Transferência de Calor e Massa
acusaigent EEEE  
Volume de controle diferencial, dx.dy.dz, para análise da condução em coordenadas cartesianas. 
39
Transferência de Calor e Massa
 Equação da Difusão do Calor (Difusão Térmica)
Coordenadas cartesianas
t
Tcq
z
Tk
zy
Tk
yx
Tk
x p 























 
Em qualquer ponto do meio, a taxa líquida de transferência
de energia por condução no interior de um volume unitário
somada à taxa volumétrica de geração de energia térmica deve
ser igual à taxa de variação da energia térmica acumulada no
interior deste volume.
40
Transferência de Calor e Massa
Com frequência, é possível trabalhar com versões 
simplificadas da Equação do Calor.
Exemplo: condução 1D com propriedades constantes e 
sem geração de energia.
t
T
x
T





1
2
2
41
Transferência de Calor e Massa
42
Transferência de Calor e Massa
Heat Flux Components
(2.22)
         
  
T T Tq k i k j k k
r r z
rq q zq
• Coordenadas Cilíndricas:  , ,T r z
sin
         
  
T T Tq k i k j k k
r r r   (2.25)
rq q q
•Coordenadas Esféricas  , ,T r  
• Coordenadas Cartesianas:  , ,T x y z
         
  
T T Tq k i k j k k
x y z
xq yq zq
(2.3)
Transferência de Calor e Massa
43
Transferência de Calor e Massa
Heat Flux Components (cont.)
• In angular coordinates , the temperature gradient is still
based on temperature change over a length scale and hence has
units of C/m and not C/deg.
  or ,  
• Heat rate for one-dimensional, radial conduction in a cylinder or sphere:
– Cylinder
2  r r r rq A q rLq
or,
2    r r r rq A q rq
– Sphere
24  r r r rq A q r q
Transferência de Calor e Massa
 Equação do Calor: Coordenadas Cilíndricas
t
Tcq
z
Tk
z
Tk
rr
Tkr
rr p 























 

2
11
radial, r 
circunferencial, Φ
axial, z
44
Transferência de Calor e Massa
 Equação do Calor: Coordenadas Esféricas
radial, r 
polar, θ
azimutal, Φ
t
TcqTsenk
senr
Tk
senrr
Tkr
rr p 























 



222
2
2
111
45
Transferência de Calor e Massa
Condições de 
Contorno e Inicial
46
Transferência de Calor e Massa
Para determinação da distribuição de temperaturas num 
meio, é necessário resolver a forma apropriada da Equação 
do Calor. 
Tal solução depende das condições físicas existentes nas 
fronteiras do meio, e, se a situação variar com o tempo 
(processo transiente), a solução também depende das 
condições existentes no meio em algum instante inicial. 
47
Transferência de Calor e Massa
Condição Inicial: como a Equação do Calor é de primeira 
ordem em relação ao tempo, apenas uma condição deve ser 
especificada. [T(x,t)t=0 = T(x,0)]
Condições na Fronteira (Condições de Contorno): há várias 
possibilidades comuns que são expressas de maneira simples 
em forma matemática. Como a Equação do Calor é de segunda 
ordem em relação às coordenadas espaciais, duas condições de 
contorno devem ser fornecidas para cada coordenada espacial 
necessária para descrever o problema.
48
Transferência de Calor e Massa
Condições de contorno para a equação da difusão do calor na superfície (x = 0).
Condição de 
Dirichlet
Condição de 
Neumann
Condição de 
Robin
49
Transferência de Calor e Massa
Homework
Chapter 2 (Incropera et al, 2008): 
 2.2, 2.3, 2.4, 2.6, 2.8, 2.13, 2.20, 2.26, 2.35, 2.36, 
2.39, 2.50
50
Transferência de Calor e Massa
51
Transferência de Calor e Massa
Problem: Thermal Response of Plane 
Wall
Problem 2.46 Thermal response of a plane wall to convection heat transfer.
KNOWN: Plane wall, initially at a uniform temperature, is suddenly exposed to convective heating. 
FIND: (a) Differential equation and initial and boundary conditions which may be used to find the 
temperature distribution, T(x,t); (b) Sketch T(x,t) for the following conditions: initial (t  0), steady-
state (t  ), and two intermediate times; (c) Sketch heat fluxes as a function of time at the two 
surfaces; (d) Expression for total energy transferred to wall per unit volume (J/m3). 
Transferênciade Calor e Massa
52
Transferência de Calor e Massa
Problem: Thermal Response (Cont).
ASSUMPTIONS: (1) One-dimensional conduction, (2) Constant properties, (3) No internal 
heat generation. 
ANALYSIS: (a) For one-dimensional conduction with constant properties, the heat equation has the 
form, 
 
 
2
2
T 1 T
 t x
 
 
 
 
  i
0
L
In itia l, t 0 : T x ,0 T un iform tem pera ture
B oundaries: x=0 T / x 0 adiabatic surface
 x=L k T / x = h T L
 


 
   ,t T surface convection




   
 
 
 
and the 
conditions are: 
Note that the gradient at x = 0 is always zero, since this boundary is adiabatic. Note also that the 
gradient at x = L decreases with time. 
Transferência de Calor e Massa
53
Transferência de Calor e Massa
in conv s0
E q A dt
  
d) The total energy transferred to the wall may be expressed as
  in s 0E hA T T L,t dt

 
Dividing both sides by AsL, the energy transferred per unit volume is 
  3in
0
E h T T L,t dt J/m
V L

       
Problem: Thermal Response (Cont).
Transferência de Calor e Massa
54
Transferência de Calor e Massa
Problem 2.28 Surface heat fluxes, heat generation and total rate of radiation
absorption in an irradiated semi-transparent material with a 
prescribed temperature distribution.
KNOWN: Temperature distribution in a semi-transparent medium subjected to radiative flux. 
FIND: (a) Expressions for the heat flux at the front and rear surfaces, (b) The heat generation rate 
 q x , and (c) Expression for absorbed radiation per unit surface area. 
Problem: Non-uniform 
Generation due to Radiation 
Absorption
Transferência de Calor e Massa
55
Transferência de Calor e Massa
Problem : Non-uniform 
Generation (Cont.)
ASSUMPTIONS: (1) Steady-state conditions, (2) One-dimensional conduction in medium, (3) 
Constant properties, (4) All laser irradiation is absorbed and can be characterized by an internal 
volumetric heat generation term  q x . 
ANALYSIS: (a) Knowing the temperature distribution, the surface heat fluxes are found using 
Fourier’s law, 
   -axx 2
dT Aq k k - a e B
dx ka
               
 
Front Surface, x=0:  x A Aq 0 k + 1 B kBka a
                
 < 
Rear Surface, x=L:   -aL -aLx A Aq L k + e B e kB .ka a
               
 < 
(b) The heat diffusion equation for the medium is 
 d dT q d dT0 or q=-k
dx dx k dx dx
          
  
  -ax -axd Aq x k e B A e .
dx ka
       

( c ) Performing an energy balance on the medium, 
 in out gE E E 0     
Transferência de Calor e Massa
56
Transferência de Calor e Massa
On a unit area basis 
      -aLg in out x x AE E E q 0 q L 1 e .a               < 
 
Alternatively, evaluate  gE by integration over the volume of the medium, 
 
    LL L -ax -ax -aLg 0 0 0
A AE q x dx= A e dx=- e 1 e .
a a
        
Problem : Non-uniform 
Generation (Cont.)