1ª Lista de Exercícios Prof CARLOS ANTONIO SILVA VIEIRA

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UEMA/DEMATI CA´LCULO II - ENG MECAˆNICA Prof. Carlos Vieira
1ª Lista de exerc´ıcios - Func¸o˜es
1. Esboce o dom´ınio de f .
(a) f(x, y) = 3− x− y
(b) z = 1√
x2 − y2
(c) f(x, y) = ln(4−√x2 + y2)
(d) f(x, y) =
√
y − x2 −√2x− y
(e) w = 1
x2 + y2 + z2
(f) f(x, y, z) =
√
1− x2+√1− y2−√1− z2
2. Esboce o gra´fico de f .
(a) f(x, y) =
√
9− x2 − y2
(b) f(x, y) = 1− x2
(c) f(x, y) =
√
x2 + y2 + 1
(d) f(x, y) = x+ y + 1
(e) f(x, y) = 4− x2 − y2
(f) f(x, y) = cos x
3. Esboce a curva de n´ıvel z = k para os valores especificados de k.
(a) z = x2 + y2; k = 0, 1, 2, 3, 4
(b) z = y
x
; k = −2,−1, 0, 1, 2
(c) z = x2 + y; k = −2,−1, 0, 1, 2
(d) z = x2 + 9y2; k = 0, 1, 2, 3, 4
(e) z = x2 − y2; k = −2,−1, 0, 1, 2
(f) z = y cossecx; k = −2,−1, 0, 1, 2
4. Esboce a superf´ıcie de n´ıvel f(x, y, z) = k .
(a) f(x, y, z) = 4x2 + y2 + 4z2 k = 16
(b) f(x, y, z) = x2 + y2 − z2 k = 0
(c) f(x, y, z) = z − x2 − y2 + 4 k = 7
(d) f(x, y, z) = 4x− 2y + z k = 1
5. Se T (x, y) for a temperatura em ponto (x, y) sobre uma placa delgada de metal no plano xy, enta˜o as
curvas de n´ıvel de T sa˜o chamadas de curvas isote´rmicas. Todos os pontos sobre tal curva teˆm a mesma
temperatura. Suponha que a uma placa ocupa o primeiro quadrante e T (x, y) = xy
(a) Esboce as curvas isote´rmicas sobre as quais T = 1, T = 2 e T = 3.
(b) Uma formiga, inicialmente em (1, 4), anda sobre a placa de modo que a temperatura ao longo de
sua trajeto´ria permanece constante. Qual e´ a trajeto´ria tomada pela formiga e qual e´ a temperatura ao longo
de sua trajeto´ria?
6. Se V (x, y) for a voltagem ou potencial sobre um ponto (x, y) no plano xy, enta˜o as curvas de n´ıvel de V
sa˜o chamadas de curvas equipotenciais. Ao longo de tal curva, a voltagem permanece constante. Dado que
V (x, y) =
8√
16 + x2 + y2
esboce as curvas equipotenciais nas quais V = 2, 0 ; V = 1, 0 e V = 0, 5.
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