Aula 05 Noções Gerais de Probabilidade

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Estatística
Aula 05
Prof.ª Larissa
2017
Sumário
• Noções gerais de probabilidade
• Noção intuitiva de probabilidade
• Definições
• Evento
• Evento simples
• Espaço amostral
• Formalização matemática
• Abordagens básicas
• Dados empíricos
• Dados analíticos
• Valores possíveis
Noções de Probabilidade
• Introdução:
Utilizamos o conceito intuitivo de probabilidade em diversas situações de
nossas vidas. Ao sair de casa, analisamos a probabilidade de chover para
levarmos ou não o guarda-chuva. Não pensamos, porém, se deveríamos levar
uma roupa elegante para o caso de uma festa formal inesperada. Em ambos
os casos, utilizamos o conceito intuitivo de probabilidade para tomar nossa
decisão.
Noções de Probabilidade - Definições
Em probabilidade, lidamos com experimentos (tais como jogar
um dado) que produzem resultados.
• Evento:
• Evento simples:
• Espaço amostral:
Um evento é qualquer conjunto de resultados de um experimento.
Um evento simples é um resultado ou evento que não pode mais ser
decomposto em componentes mais simples.
O espaço amostral de um experimento consiste em todos os eventos simples
possíveis. Isto é, o espaço amostral consiste em todos os resultados que não
podem ser mais decompostos.
Noções de Probabilidade - Definições
Experimentos: Nascimentos, com f representando bebês do sexo
feminino e m do sexo masculino:
Com 3 nascimentos, o evento 2 f e 1 m não é simples, pois pode ser
decomposto em três dos eventos simples do espaço amostral.
Procedimento Evento (𝑬𝑬) Espaço amostral (𝑼𝑼)
1 nascimento
3 nascimentos
f {f,m}
2 f e 1 m
(Evento simples)
(ffm, fmf, mff são os 
eventos simples que 
resultam no evento)
{fff, ffm, fmf, fmm, mff, 
mfm, mmf, mmm}
Noções de Probabilidade - Formalização
Matematicamente, temos:
A probabilidade de um evento E ocorrer é denotada por 𝑷𝑷(𝑬𝑬) e será a razão
entre o número específico de eventos que são favoráveis a E, que
chamaremos de 𝑛𝑛𝐸𝐸, e o número total de eventos possíveis ou observados,
chamado de 𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡.
𝑃𝑃 𝐸𝐸 = 𝑛𝑛𝐸𝐸
𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
Aproximação de P(E) por frequência relativa (dados empíricos): Realize um
experimento e conte o nº de vezes que E realmente ocorreu (𝑛𝑛𝐸𝐸) e divida
pelo número total de observações (𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡). Ex: Probabilidade de uma batida de
carro, analisando dados coletados em uma estimação.
Abordagem clássica de P(E) (dados analíticos): Os dados não são medidos
diretamente, visto que a análise das características do sistema estudado já
nos traz os dados necessários. O é 𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 é dado pelo nº de elementos do
espaço amostral (nº de eventos simples possíveis), levando em consideração
resultados igualmente prováveis. Ex: jogo de dados ou o sorteio de cartas.
Abordagens básicas:
Noções de Probabilidade - Aleatoriedade
Chamamos um fenômeno de aleatório se os resultados individuais são
incertos, embora haja uma distribuição regular de resultados em um grande
número de repetições.
A probabilidade clássica de qualquer resultado (evento) de um fenômeno
aleatório é a proporção de vezes que o resultado ocorreria em uma série
muito longa de repetições (tendendo ao infinito). A probabilidade por
frequência relativa é considerada uma aproximação, pois não é possível
observar um fenômeno infinitas vezes.
Cara (k)
Coroa (c)
𝑃𝑃(𝑘𝑘) = 0,5
𝑃𝑃(𝑐𝑐) = 0,5
Em 5000 lançamentos da 
moeda, espera-se:
2500 caras, 2500 coroas
(os resultados, na prática, 
podem variar!)
re
Exercícios propostos
1) Para um ano recente, havia 6 511 100 carros que haviam sofrido
batidas, entre os 135 670 000 carros registrados nos EUA, com base em
dados do Statistical Abstract of the United States. Qual é a probabilidade
de que um carro selecionado aleatoriamente nos EUA sofra uma batida
neste ano?
∴ 𝐴𝐴 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑏𝑏𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑠𝑠𝑏𝑏𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝 é 𝑝𝑝𝑝𝑝 0,048 𝑝𝑝𝑢𝑢 4,8% .
𝑃𝑃(𝑝𝑝𝑝𝑝𝑏𝑏𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝) = 6 511 100135 670 000
Como possuímos dados obtidos empiricamente, devemos utilizar a abordagem de frequência relativa:
𝑃𝑃 𝐸𝐸 = 𝑛𝑛𝐸𝐸
𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
= 0,048
NOTE: a abordagem da clássica (analítica) não pode ser utilizada, uma vez que os dois
resultados possíveis {batida, não batida} não são igualmente prováveis.
re
Exercícios propostos
2) Ao estudar o efeito da hereditariedade sobre a altura, escreve-se
cada genótipo individual (AA, Aa, aA e aa) em um cartão, mistura-se os
cartões e seleciona-se um deles aleatoriamente. Qual é a probabilidade
de que seja selecionado um genótipo no qual os dois componentes são
diferentes?
∴ 𝐴𝐴 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝𝑏𝑏𝑐𝑝𝑝 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑢𝑢 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑢𝑢𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑛𝑛𝑏𝑏𝑝𝑝𝑠𝑠
𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑏𝑏𝑝𝑝𝑠𝑠 é 𝑝𝑝𝑝𝑝 0,5 (𝑝𝑝𝑢𝑢 50%).
𝑃𝑃(𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑏𝑏𝑝𝑝𝑠𝑠) = 24
O espaço amostral {AA, Aa, aA, aa}, neste caso, inclui resultados igualmente prováveis. Entre os 4 resultados,
há 2 nos quais os dois componentes são diferentes: Aa e aA. Podemos utilizar a abordagem clássica:
𝑃𝑃 𝐸𝐸 = 𝑛𝑛𝐸𝐸
𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
= 0,5
NOTE: a abordagem da frequência relativa pode ser utilizada caso seja feito um
experimento com sucessivas observações do evento em questão.
re
Exercícios propostos
3) O provedor de serviços de internet America Online (AOL) fez a seguinte
pergunta aos usuários sobre o Kentucky Fried Chicken (KFC): “O KFC
ganhará ou perderá mercado depois de eliminar as gorduras trans?” Entre
as respostas recebidas, 1941 diziam que o KFC ganharia mercado, 1260
diziam que o mercado permaneceria o mesmo, e 204 disseram que o KFC
perderia mercado. Ache a probabilidade de que uma próxima resposta
selecionada aleatoriamente afirme que o KFC ganharia mercado.
∴ 𝐴𝐴 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑞𝑞𝑢𝑢𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑏𝑏𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑏𝑏𝑝𝑝 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑛𝑛𝑔𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑢𝑢𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 é 𝑝𝑝𝑝𝑝 0,570.𝑃𝑃(𝑔𝑔𝑝𝑝𝑛𝑛𝑔𝑝𝑝) =
19411941 + 1260 + 204𝑃𝑃 𝐸𝐸 = 𝑛𝑛𝐸𝐸𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 0,570
NOTE: a pesquisa envolve uma amostra de resposta voluntária (os usuários da AOL
escolheram responder), podendo não refletir precisamente a opinião da população geral.
= 19413405Com os dados coletados anteriormente, utilizamos a abordagem de frequência relativa:
re
Exercícios propostos
4) Ache a probabilidade de que, quando um casal tem três filhos,
exatamente dois deles sejam meninos. Suponha que meninos e meninas
sejam igualmente prováveis e que o gênero de uma criança não seja
influenciado pelo gênero de qualquer outra criança.
∴ 𝐴𝐴 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑝𝑝𝑏𝑏𝑝𝑝𝑢𝑢𝑝𝑝𝑛𝑛𝑏𝑏𝑝𝑝 2𝑢𝑢𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑢𝑢 3 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝𝑔𝑝𝑝𝑠𝑠 é 𝑝𝑝𝑝𝑝 0,375.
𝑃𝑃(𝐸𝐸) = 38𝑃𝑃 𝐸𝐸 = 𝑛𝑛𝐸𝐸𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 0,375
Pela abordagem clássica (analítica), precisamos primeiro identificar o espaço amostral (𝑈𝑈) e o evento (𝐸𝐸):
1º 2º 3º
. .Possibilidades:
Total: 2 2 2. .= 23 = 8
𝑈𝑈 = {𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢,𝑢𝑢𝑢𝑢𝑠𝑠,𝑢𝑢𝑠𝑠𝑢𝑢,𝑢𝑢𝑠𝑠𝑠𝑠, 𝑠𝑠𝑢𝑢𝑢𝑢, 𝑠𝑠𝑢𝑢𝑠𝑠, 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑢𝑢, 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠}
𝐸𝐸 = {𝑢𝑢𝑢𝑢𝑠𝑠,𝑢𝑢𝑠𝑠𝑢𝑢, 𝑠𝑠𝑢𝑢𝑢𝑢}
re
Exercícios propostos
5) Um vendedor de automóveis deseja impressionar possíveis
compradores de certo modelo. Para isso, apregoa a grande possibilidade
de personalização do automóvel, fornecendo opções de escolha entre três
tipos de motor, dois tipos de transmissão, cinco cores externas e duas
internas. Quantas opções ele pode oferecer ao cliente?
∴ 𝐻𝐻𝐻 60 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑜𝑜𝑝𝑝𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑏𝑏𝑝𝑝𝑠𝑠 𝑞𝑞𝑢𝑢𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑣𝑣𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑏𝑏𝑝𝑝.
Precisamos definir apenas a quantidade de elementos do espaço amostral (𝑈𝑈):
Motor Transmissão Cores ext.
..Possibilidades:
Total: 3 2 5. .3 × 2 × 5 × 2 = 60
Cores int.
. 2.
Noções de Probabilidade - Valores possíveis
A probabilidade é interpretada, na maior parte dos contextos, assim:
Dados empíricos:Dados analíticos:
1 -
0 -
0,5 -
Certo
Impossível
Improvável
50-50 chance
Provável
Quando fazemos uma
análise baseada no
número de eventos
simples do espaço
amostral, podemos
dizer se um evento é
certo, com 𝑃𝑃(𝐸𝐸) = 1,
ou impossível, com
𝑃𝑃(𝐸𝐸) = 0.
1 -
0 -
0,5 -
Muito provável
Muito improvável
Improvável
50-50 chance
Provável Num experimento
empírico, geralmente
não podemos afirmar a
certeza ou a
impossibilidade de
ocorrência de um
evento, pois 𝑃𝑃(𝐸𝐸) = 1
apenas indica que o
evento ocorreu em
todas as observações.
𝑃𝑃(𝐸𝐸) = 0 indica que o
evento não foi
observado.
re
Exercícios propostos
6) Sobre o estudo das probabilidades, está errada a afirmação contida na
alternativa:
a) A probabilidade de o evento E ocorrer é a razão entre o número
específico de eventos que são favoráveis a E pelo número total de eventos
possíveis ou observados.
b) O valor de uma probabilidade é expresso por um número entre 0 e –1.
c) O valor de uma probabilidade é expresso por um número entre 0 e 1.
d) A probabilidade pode também ser expressa por um valor percentual.
e) Tudo aquilo que é impossível terá, necessariamente, probabilidade nula.
É mais comum encontrarmos a probabilidade como um valor adimensional, variando de 0 a 1. No entanto,
podemos encontrá-la também expressa na forma percentual. No entanto, não podemos encontrar
probabilidades negativas, pois 0 expressa impossibilidade analítica (ou extrema improbabilidade empírica) e
1 expressa certeza analítica (ou extrema probabilidade empírica).
re
Exercícios propostos
7) Numa festa de escola são realizados alguns sorteios de brindes entre os
alunos, cujas idades estão na tabela. Será feito um sorteio entre todos os
alunos. Qual a probabilidade de um aluno de 8 anos ganhar este brinde?
Idades (anos) Quantidade (𝑠𝑠𝑖𝑖)
6 12
7 20
8 17
9 21
10 15
Total 85
∴ 𝐴𝐴 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑢𝑢𝑛𝑛𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝 8 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑠𝑠 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑛𝑛𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑠𝑠𝑏𝑏𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑝𝑝 é 𝑝𝑝𝑝𝑝 0,2.
𝑃𝑃(8 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑠𝑠) = 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟
𝑃𝑃 𝐸𝐸 = 𝑛𝑛𝐸𝐸
𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 0,2= 1785
re
Exercícios propostos
8) Numa festa de escola são realizados alguns sorteios de brindes entre os
alunos, cujas idades estão na tabela. Um dos brindes interessa apenas aos
mais novinhos, e será sorteado apenas entre os alunos de 6 a 8 anos. Qual
a probabilidade de um aluno de 8 anos ganhar este brinde?
Idades (anos) Quantidade (𝑠𝑠𝑖𝑖)
6 12
7 20
8 17
9 21
10 15
Total 85
𝑃𝑃(8 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑠𝑠) = 𝑠𝑠𝑟
𝐹𝐹𝑟
𝑃𝑃 𝐸𝐸 = 𝑛𝑛𝐸𝐸
𝑛𝑛𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 0,347= 1749
∴ 𝐴𝐴 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑢𝑢𝑛𝑛𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝 8 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑠𝑠 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑛𝑛𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑠𝑠𝑏𝑏𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑝𝑝𝑝𝑝 é 𝑝𝑝𝑝𝑝 0,347.
Noções de Probabilidade - Curiosidade
Alguns lançadores de moedas:
O naturalista francês Conde de Buffon (1707-1788)
lançou uma moeda 4040 vezes. Resultado: 2048 caras, ou
proporção de 0,5069 caras.
Por volta de 1900, o estatístico inglês Karl Pearson heroicamente
lançou uma moeda 24 000 vezes. Resultado: 12 012 caras, ou proporção de
0,5005.
Enquanto prisioneiro dos alemães durante a Segunda Guerra Mundial,
o matemático sul-africano John Kerrich lançou uma moeda 10 000 vezes.
Resultado: 5067 cara, uma proporção de 0,5067.
MOORE, D. S. et al. A Estatística Básica e sua Prática. 6 ed. LTC 
Para refletir...
Disponível em: <https://xkcd.com/628/>
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