Gabarito Prova 3 Calculo 3

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Instituto de Matemática - UFRJ
Gabarito Terceira Prova - Cálculo III - Professora Selene Alves Maia
Questão 1 : (2:0 pontos)
ConsidereS a parte do cone z =
r
x2
9
+
y2
4
que se encontra acima do parabolóide
5z =
x2
9
+
y2
4
+ 4:
a)Determine as equações cartesianas das curvas de interseção das duas superfícies.
Solução:
a)Temos que:
z =
r
x2
9
+
y2
4
=)
z2 =
x2
9
+
y2
4
: (1)
Substituindo (1)na equação do parabolóide obtemos:
5z = z2 + 4 =)
z2 � 5z + 4 = 0 =)
z =
5
+�p25� 16
2
=)
z =
5
+� 3
2
=)
����� z = 4z = 1 : (2)
De (2) obtemos duas elipses cujas equações cartesianas são descritas a seguir:�����������
x2
9
16
+
y2
1
4
= 1
x2
9
+
y2
4
= 1
(3)
b)Parametrize a superfície S:
Solução:
Seja:
1
S :
����������
x = 3v cos �
y = 2v sin �
z = v
=)
!
� (�; v) = (3v cos �; 2v sin �; v); (�; v) 2 D; (4)
onde:
D =
�
(�; v) 2 R2 j0 6 � 6 2�; 1 6 v 6 4	 : (5)
c)Calcule a integral de superfície
ZZ
S
zdS:
Solução:
BCalcular
!
N(�; v):
Temos que:
!
N(�; v) =
@
!
�
@�
(�; v)� @
!
�
@v
(�; v): (6)
De (4) obtemos que:���������
@
!
�
@�
(�; z) = (�3v sin � ; 2v cos �; 0)
@
!
�
@v
(�; v) = (3 cos �; 2 sin �; 1)
(7)
Substituindo (7)1 e (7)2 em (6) obtemos que:
!
N(�; v) =
������������
!
i
!
j
!
k
�3v sin � 2v cos � 0
3 cos � 2 sin � 1
������������
=)
!
N(�; v) = (2v cos �; 3v sin �;�6v) =)
!N(�; v)
 = p4v2 cos2 � + 9v2 sin2 � + 36v2: (8)
Logo:
2
ZZ
S
zdS =
ZZ
D
v
q
v2(4 cos2 � + 9 sin2 � + 36)d�dv:dc (9)
Questão 2 : (2:5 pontos)
SejaS1a superfície gerada pela rotação da reta z = 1�x; 0 6 x 6 1 em torno do eixo z e S2
a tampadeS1no planoxy:
a)Esboce a superfícieS1:
Solução:
b)Parametrize a superfícieS1:
Solução:
Seja:
S1 :
������
x = t cos �
y = t sin �
z = 1� t
!
�1(t; �) = (t cos �; t sin �; 1� t); (t; �) 2 D1; (10)
onde:
D1=
�
(t; �) 2 R2 j0 6 t 6 1; 0 6 � 6 2�	 : (11)
c)Parametrize a superfícieS2:
No planoxy temos que z = 0:Logo:
S2 :
������
x = x
y = y
z = 0
=)
!
�2(x; y) = (x; y; 0); (x; y) 2 D2; (12)
onde:
D2=
�
(x; y) 2 R2 ��x2 + y2 6 1	 : (13)
d)Calcule a integral de superfície
ZZ
S
p
x2 + y2dS; ondeS = S1 [ S2:
3
(i)Cálculo da integral de superfície
ZZ
S1
p
x2 + y2dS1:
Temos que: ���������������
E =
!
@�1
@t
(t; �) �
!
@�1
@t
(t; �)
G =
!
@�1
@�
(t; �) �
!
@�1
@�
(t; �)
F =
!
@�1
@t
(t; �) �
!
@�1
@�
(t; �)
(10)
=)
��������
E = (cos �; sin �;�1) � (cos �; sin �;�1)
G = (�t sin �; t cos �; 0) � (�t sin �; t cos �; 0)
F = (cos �; sin �;�1) � (�t sin �; t cos �; 0)
=)
�������
E = 2
G = t2
F = 0
=)
!N1(t; �)
 = pEG� F 2 = p2t2 =)
!N1(t; �)
 = p2t: (14)
Logo: ZZ
S1
p
x2 + y2dS1 =
ZZ
D1
p
t2 cos2 � + t2 sin2 �
p
2tdtd� =)
ZZ
S1
p
x2 + y2dS1 =
p
2
ZZ
D1
t2dtd� =)
ZZ
S1
p
x2 + y2dS1 =
p
2
Z 2�
0
�Z 1
0
t2dt
�
d� =)
ZZ
S1
p
x2 + y2dS1 =
p
2
Z 2�
0
1
3
� �t3�1
0
d� =)
4
ZZ
S1
p
x2 + y2dS1 =
p
2
3
Z 2�
0
d� =)
ZZ
S1
p
x2 + y2dS1 =
p
2
3
� [�]2�0 =)
ZZ
S1
p
x2 + y2dS1 =
2�
p
2
3
: (15)
(ii)Cálculo da integral de superfície
ZZ
S2
p
x2 + y2dS2:
Como a equação do plano é Temos que z = 0 temos que:
!
N2(x; y) =
!
k =)
!N2(x; y)
 = 1: (16)
Portanto: ZZ
S2
p
x2 + y2dS2 =
ZZ
D2
p
x2 + y2dxdy: (17)
Para resolvermos a integral dada em (17)utilizaremos coordenadas polares compolo
P0 = (0; 0):Logo, seja:
x = r cos �
y = r sin �
=) J(r; �) = r: (18)
BDeterminar a variação de r e de �.
Da de…nição de D2 obtemos que:����� 0 6 r 6 10 6 � 6 2� (19)
De (18)1; (18)2; (19)1 e de (19)2 resulta que:ZZ
S2
p
x2 + y2dS2 =
Z 1
0
r2
�Z 2�
0
d�
�
dr =)
ZZ
S2
p
x2 + y2dS2 =
Z 1
0
r2 [�]
2�
0 dr =)
ZZ
S2
p
x2 + y2dS2 = 2�
Z 1
0
r2dr =)
5
ZZ
S2
p
x2 + y2dS2 = 2� � 1
3
�
r3
�1
0
=)
ZZ
S2
p
x2 + y2dS2 =
2�
3
: (20)
De (15) e de (20) obtemos que:ZZ
S
p
x2 + y2dS =
2�
p
2
3
+
2�
3
=)
ZZ
S
p
x2 + y2dS =
2�(
p
2 + 1)
3
: (21)
Questão 3 : (2:5 pontos)
SejaS = S1[S2[S3; ondeS1 é o cilindrox2+y2 = 4; S2 é o plano z = 0 eS3 é o plano
z = 4:Considere o campo vetorial
!
F de…nido por:
!
F (x; y; z) =
�
x
�
ez + e�z
2
�
; y
�
ez + e�z
2
�
; 2z � ez � e�z
�
:
a)Parametrize as superfícies S1;S2 eS3:
Solução:
BParametrizar a superfície S1:
Seja:
S1 :
��������
x = 2 cos �
y = 2 sin �
z = z
=)
!
�1(�; z) = (2 cos �; 2 sin �; z); (�; z) 2 D1; (22)
onde:
D1=
�
(�; z) 2 R2 j0 6 � 6 2�; 0 6 z 6 4	 : (23)
BParametrizar a superfícieS2:
Seja:
S2 :
��������
x = x
y = y
z = 0
=)
6
!
�2(x; y) = (x; y; 0); (x; y) 2 D2; (24)
onde:
D2=
�
(x; y) 2 R2 ��x2 + y2 6 4	 : (25)
BParametrizar a superfície S3:
Seja:
S3 :
������
x = x
y = y
z = 4
=)
!
�3(x; y) = (x; y; 4); (x; y) 2 D3; (26)
onde:
D3=
�
(x; y) 2 R2 ��x2 + y2 6 4	 : (27)
b)Mostre que : ZZ
S
!
F �!ndS =
ZZZ
W
div
!
Fdxdydz:
Solução:
BCalcular a integral de superfície
ZZ
S1
!
F �!n1dS1:
Da de…nição de integral de superfície temos que:ZZ
S1
!
F �!n1dS1 =
ZZ
D1
!
F (
!
�1(�; z)) �
!
N1(�; z)d�dz: (28)
�Determinar
!
F (
!
�1(�; z)):
Da de…nição do campo vetorial
!
F e de (22) resulta que:
!
F (2 cos �; 2 sin �; z) =
�
2 cos �
�
ez + e�z
2
�
; 2 sin �
�
ez + e�z
2
�
; 2z � ez � e�z
�
:
(29)
�Determinar a normal exterior
!
N1(�; z):
7
Temos que:
!
N1(�; z) =
@
!
�1
@�
(�; z)� @
!
�1
@z
(�; z): (30)
De (22) obtemos que:���������
@
!
�1
@�
(�; z) = (�2 sin � ; 2 cos �; 0)
@
!
�1
@z
(�; z) = (0; 0; 1)
(31)
Substituindo (31)1 e (31)2 em (30) resulta que:
!
N1(�; z) = (2 cos �; 2 sin �; 0): (32)
�Determinar
!
F (
!
�1(�; z)) �
!
N1(�; z):
De (29) e de (32) obtemos que:
!
F (
!
�1(�; z)) �
!
N1(�; z) = 4 cos
2 �
�
ez + e�z
2
�
+ 4 sin2 �
�
ez + e�z
2
�
=)
!
F (
!
�1(�; z)) �
!
N1(�; z) = 2(e
z + e�z): (33)
Substituindo (33) em (28) resulta que:ZZ
S1
!
F �!n1dS1 = 2
ZZ
D1
(ez + e�z)d�dz =)
ZZ
S1
!
F �!n1dS1 = 2
Z 4
0
(ez + e�z)
�Z 2�
0
d�
�
dz =)
ZZ
S1
!
F �!n1dS1 = 4�
Z 4
0
(ez + e�z)dz =)
ZZ
S1
!
F �!n1dS1 = 4�
n
[ez]
4
0 �
�
e�z
�4
0
o
=)
ZZ
S1
!
F �!n1dS1 = 4�e4 � 4�e�4: (34)
8
BCalcular a integral de superfície
ZZ
S2
!
F �!n2dS2:
Da de…nição de integral de superfície temos que:ZZ
S2
!
F �!n2dS2 =
ZZ
D2
!
F (
!
�2(x; y)) �
!
N2(x; y)dxdy: (35)
�Determinar
!
F (
!
�2(x; y)):
Da de…nição do campo vetorial
!
F e de (24) resulta que:
!
F (x; y; 0) = (x; y;�2 ) : (36)
�Determinar a normal exterior
!
N2(x; y):
Como z = 0 temos que:
!
N2(x; y) = �
!
k =)
!
N2(x; y) = (0; 0;�1): (37)
�Determinar
!
F (
!
�2(x; y)) �
!
N2(x; y):
De (36) e de (37) obtemos que:
!
F (
!
�2(x; y)) �
!
N2(x; y) = (x; y;�2 ) � (0; 0;�1) =)
!
F (
!
�2(x; y)) �
!
N2(x; y) = 2: (38)
Substituindo (38) em (35) resulta que:ZZ
S2
!
F � !n2dS2 =
ZZ
D2
2dxdy = 8�: (39)
BCalcular a integral de superfície
ZZ
S3
!
F �!n3dS3:
Da de…nição de integral de superfície temos que:ZZ
S3
!
F �!n3dS3 =
ZZ
D3
!
F (
!
�3(x; y)) �
!
N3(x; y)dxdy: (40)
9
�Determinar!
F (
!
�3(x; y)):
Da de…nição do campo vetorial
!
F e de (26) resulta que:
!
F (x; y; 4) =
�
x
�
e4 + e�4
2
�
; y
�
e4 + e�4
2
�
; 8� e4 � e�4
�
: (41)
�Determinar a normal exterior
!
N3(x; y):
Como z = 4 temos que:
!
N3(x; y) =
!
k =)
!
N3(x; y) = (0; 0; 1): (42)
�Determinar
!
F (
!
�3(x; y)) �
!
N3(x; y):
De (41) e de (42) obtemos que:
!
F (
!
�3(x; y)) �
!
N3(x; y) = 8� e4 � e�4: (43)
Substituindo (43) em (40) resulta que:ZZ
S3
!
F �!n3dS3 =
ZZ
D3
(8� e4 � e�4)dxdy =)
ZZ
S3
!
F �!n3dS3 = (8� e4 � e�4)
ZZ
D3
dxdy =)
ZZ
S3
!
F �!n3dS3 = (8� e4 � e�4) � 4� =)
ZZ
S3
!
F �!n3dS3 = 32� � 4�e4 � 4�e�4: (44)
De (34); (39) e (44) obtemos que:ZZ
S
!
F �!ndS = 4�e4 � 4�e�4 + 8� + 32� � 4�e4 � 4�e�4 =)
ZZ
S
!
F �!ndS = 40� � 8�e�4: (45)
10
BCalcular a integral tripla
ZZZ
W
div
!
Fdxdydz:
Temos que:
W =
�
(x; y; z) 2 R3 ��x2 + y2 6 4; 0 6 z 6 4	 : (46)
Por outro lado da de…nição de divergente obemos que:
div
!
F =
ez + e�z
2
+
ez + e�z
2
+ 2� ez + e�z =)
div
!
F = ez + e�z + 2� ez + e�z =)
div
!
F = 2 + 2e�z: (47)
De (46) e (47) resulta que:ZZZ
W
div
!
Fdxdydz = 2
ZZZ
W
dxdydz + 2
ZZZ
W
e�zdxdydz=)
ZZZ
W
div
!
Fdxdydz = 2 � Volume deW + 2
ZZ
D
�Z 4
0
e�zdz
�
dxdy =)
ZZZ
W
div
!
Fdxdydz = 2 � 4� � 4� 2
ZZ
D
�
e�z
�4
0
dxdy =)
ZZZ
W
div
!
Fdxdydz = 32� � 2 �e�4 � 1� ZZ
D
dxdy =)
ZZZ
W
div
!
Fdxdydz = 32� � 8� �e�4 � 1� =)
ZZZ
W
div
!
Fdxdydz = 40� � 8�e�4: (48)
Questão 4 : (2:5 pontos)
Considere a superfície S : x2+y2+z2 = 4;
p
3 6 z6 2 e!n a normal unitária exterior àS:
Seja
!
F (x; y; z) = (�y; x; xz + y):
a)Parametrize a superfície S:
Solução:
Temos que:
11
S :
��������
x = 2 sin� cos �
y = 2 sin� sin �
z = 2 cos�
(49)
� Determinar a variação de �:
Como não há nenhuma restrição sobre x e sobre y obtemos que:
0 6 � 6 2�: (50)
Determinar a variação de �:
Substituindo z =
p
3 e z = 2 em (49)3 obtemos que:�������
p
3
2
= cos�
1 = cos�
=)
������
�
6
= �
0 = �
Logo, uma parametrização da superfície S é dada por:
!
� (�; �) = (2 sin� cos �; 2 sin� sin �; 2 cos�); (�; �) 2 D; (51)
onde:
D =
n
(�; �) 2 R2
���0 6 � 6 �
6
; 0 6 � 6 2�
o
: (52)
b)Prove que: ZZ
S
rot
!
F �!ndS =
I
C
!
F � dr:
Solução:
BCalcular a integral de superfície
ZZ
S
rot
!
F �!ndS:
Pela de…nição de integral de superfície temos que:ZZ
S
rot
!
F �!ndS =
ZZ
D
rot
!
F
�!
� (�; �)
�
�
!
N(�; �)d�d�: (53)
�Cálculo do rot
!
F
�!
� (�; �)
�
:
Temos que
12
rot
!
F (x; y; z) =
�
@R
@y
� @Q
@z
;
@P
@z
� @R
@x
;
@Q
@x
� @P
@y
�
=)
rot
!
F (x; y; z) = (1;�z; 2): (54)
De (51) e de (54) obtemos que:
rot
!
F
�!
� (�; �)
�
= (1;�2 cos�; 2): (55)
�Determinar
!
N(�; �):
Temos que:
!
N(�; �) =
@
!
�
@�
(�; �)� @
!
�
@�
(�; �): (56)
De (51) resulta que:����������
@
!
�
@�
(�; �) = (2 cos� cos � ; 2 cos� sin �;�2 sin�)
@
!
�
@�
(�; �) = (�2 sin� sin � ; 2 sin� cos �; 0)
(57)
Substituindo (57)1 e (57)2 em (56) obtemos que:
!
N(�; �) =
������������
!
i
!
j
!
k
2 cos� cos � 2 cos� sin � �2 sin�
�2 sin� sin � 2 sin� cos � 0
������������
=)
!
N(�; �) = (4 sin2 � cos �; 4 sin2 � sin �; 4 sin� cos�): (58)
�Determinar rot
!
F
�!
� (�; �)
�
�
!
N(�; �):
De (55) e de (58) resulta que:
rot
!
F
�!
� (�; �)
�
�
!
N(�; �) = 4 sin2 � cos � � 8 sin2 � cos� sin � + 8 sin� cos�:
(59)
Substituindo (59) em (53) obtemos:
13
ZZ
S
rot
!
F �!ndS =
ZZ
D
(4 sin2 � cos � � 8 sin2 � cos� sin � + 8 sin� cos�)d�d� =)
ZZ
S
rot
!
F �!ndS =
���������
4
Z �=6
0
sin2 �
�Z 2�
0
cos �d�
�
d�� 8
Z �=6
0
sin2 � cos�
�Z 2�
0
sin �d�
�
d�+
8
Z �=6
0
sin� cos�
�Z 2�
0
d�
�
d� =)
ZZ
S
rot
!
F �!ndS = 4
Z �=6
0
sin2 � [sin �]
2�
0 d�+8
Z �=6
0
sin2 � cos� [cos �]
2�
0 d�+8
Z �=6
0
sin� cos� [�]
2�
0 d� =)
ZZ
S
rot
!
F �!ndS = 16�
Z �=6
0
sin� cos�d� =)
ZZ
S
rot
!
F �!ndS = 16� � 1
2
�
sin2 �
��=6
0
=)
ZZ
S
rot
!
F �!ndS = 8�
h
sin2
�
6
� sin2 0
i
=)
ZZ
S
rot
!
F �!ndS = 8�
�
1
4
�
=)
ZZ
S
rot
!
F �!ndS = 2�: (60)
BCalcular a integral de linha
I
C
!
F � dr:
Interceptando a esfera comoplano z =
p
3 obtemos uma circunferência que denotaremos porC
de…nida por:
C :
���� x2 + y2 = 1z = p3
�Parametrização de C:
Temos que:
�(t) = (cos t; sin t;
p
3); 0 6 t 6 2�: (61)
14
�Cálculo de �0(t):
De (61) resulta que:
�0(t) = (� sin t; cos t; 0): (62)
�Determinar
!
F (�(t)):
Da de…nição de
!
F e de (61) obtemos que:
!
F (cos t; sin t;
p
3) = (� sin t; cos t;p3 cos t+ sin t): (63)
�Determinar
!
F (�(t)) � �0(t):
De (62) e de (63) resulta que:
!
F (�(t)) � �0(t) = (� sin t; cos t;
p
3 cos t+ sin t) � (� sin t; cos t; 0) =)
!
F (�(t)) � �0(t) = sin2 t+ cos2 t =)
!
F (�(t)) � �0(t) = 1: (64)
Da de…nição de integral de linha e de (64) obtemos que:I
C
!
F � dr =
Z 2�
0
dt =)
I
C
!
F � dr = [t]2�0 = 2�: (65)
15