UNIVESP -GABARITO - PROVA - CALCULO III MCA503-P013
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UNIVESP -GABARITO - PROVA - CALCULO III MCA503-P013


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INSTRUÇÕES AO ALUNO
1. É obrigatória a devolução deste caderno de questões ao término da prova.
2. Está autorizada a entrada de alunos até 1 hora depois do início marcado da prova (início da prova: 18h).
3. Você só poderá sair depois de transcorridas 1 hora e 15 minutos do início marcado da prova.
4. As respostas às questões dissertativas devem demonstrar a linha de raciocínio ou o processo de resolução, 
e não apenas o resultado final.
QUESTÕES OBJETIVAS
Questão 1 (1,5 pontos)
Qual o valor de \u2112 {cos t cos2t } ?
a) ( ss2+ 3+ ss2+ 1)
b)
1
2( ss2+ 9+ ss2+ 1)
c)
s
s2+ 4+
s
s2+ 1
d)
s
s2+ 9
Questão 2 (1,5 pontos)
Qual o valor do coeficiente bn do desenvolvimento em série de Fourier de senos da função
f (x ) = {0, 0< x< 121, 12\u2a7d x< 1 ?
a) \u2212 2\u3b7\u3c0((\u2212 1)n\u2212 cos (\u3b7\u3c0 /2))
b) 2\u3b7\u3c0
c) (1\u2212 (\u2212 1)n)
d) 4\u3b7\u3c0 (\u2212 1)n
Questão 3 (1,5 pontos)
Quais são os três primeiros termos diferentes de zero em uma expansão em série de potências em torno de
x = 0 para uma solução geral da equação diferencial y '\u2212 y = 0 ?
1 de 6
DISCIPLINA
MCA503 \u2013 Cálculo III
DATA
02 outubro 2019
CÓDIGO DA PROVA
P013
a) a0+ a0 x2+
a0
2 x
4
b) a0 x+ a0 x3+
a0
2 x
5
c) a0+ a0 x+
a0
2 x
2
d) a0+
a0
2 x+
a0
5 x
2
Questão 4 (1,5 pontos)
Suponha que uma vara de 40cm de comprimento é imersa em vapor até que sua temperatura seja de 100°C ao 
longo de toda a sua extensão. No instante t = 0, suas duas extremidades são isoladas e fixadas em gelo a 0°C. 
Resolva o Problema de Valor de Contorno (PVC) para obter a equação da temperatura em função u(x, t ) do seu 
comprimento x e do tempo t. Na resolução, utilize o quadrado da constante de separação menor que zero. 
O PVC é dado por:
\u2202u
\u2202 t =k
\u22022u
\u2202 x2 , k=constante
u (0, t)=u(40,t )=0, u (x ,0)=100
a) u (x , t)= \u2211
n impar
e
( n\u3c040 )
2
kt cos n\u3c0 x40
b) u (x , t)= \u2211
n impar
e
( n\u3c040 )
2
kt
c) u (x , t)= \u2211
n impar
200
n\u3c0
e
( n\u3c040 )
2
kt
sen n\u3c0 x40
d) u (x , t)= \u2211
n impar
400
n\u3c0
e
(n\u3c040 )
2
kt
sen n\u3c0 x40
QUESTÕES DISSERTATIVAS
Questão 5 (2,0 pontos)
Qual o intervalo de convergência da série x\u2212 x
3
3 +
x5
5 \u2212
x7
7 + ...+ (\u2212 1)
n\u2212 1 x2n\u2212 1
2n\u2212 1 + ... ?
Questão 6 (2,0 pontos)
Determine a solução do problema de valor inicial (4y+ 2x\u2212 5)dx+ (6y+ 4x\u2212 1)dy=0, y (\u2212 1)=2
2 de 6
DISCIPLINA
MCA503 \u2013 Cálculo III
DATA
02 outubro 2019
CÓDIGO DA PROVA
P013
QUESTÕES OBJETIVAS
Questão 1
A resposta correta é 
1
2( ss2+ 9+ ss2+ 1)
Justificativa
Utilizando a relação cos a cosb = 12 (cos (a+ b)+ cos(a\u2212 b))
e tomando a = t e b = 2t, temos: \u2112 {cos t cos 2t } = 12 \u2112 {cos3t }+
1
2\u2112 {cos t } 
Verificando na tabela encontramos: 
1
2( ss2+ 9+ ss2+ 1)
Questão 2
A resposta correta é \u2212 2\u3b7\u3c0 ((\u2212 1)n\u2212 cos (\u3b7\u3c0 /2))
Justificativa
bn =
2
p \u222b0
p
f (x )sen \u3b7\u3c0 x
p
dx p = 1
bn = 2 \u222b1
2
1
sen\u3b7\u3c0 dx = \u2212 2\u3b7\u3c0 cos (\u3b7\u3c0 x ) \u22231/21
bn = \u2212 2\u3b7\u3c0 ((\u2212 1)n\u2212 cos (\u3b7\u3c0 /2))
Questão 3
A resposta correta é a0+ a0 x+
a0
2 x
2
Justificativa
y = \u2211
n=0
\u221e
an x
n
, y ' = \u2211
n=1
\u221e
annx
n\u2212 1
3 de 6
GABARITO
DISCIPLINA
MCA503 \u2013 Cálculo III
DATA
02 outubro 2019
CÓDIGO DA PROVA
P013
\u2211
n=1
\u221e
an nx
n\u22121\u2212\u2211
n=0
\u221e
an x
n = 0
a1+ 2a 2 x+ 3a3 x2+ 4a4 x3\u2212 a0\u2212 a1 x\u2212 a2 x2\u2212 a3 x3\u2212 a4 x4+ ... = 0
a1 = a0, a2 =
a1
2 , a3 =
a2
3 =
a0
6
Portanto, y = a0+ a0 x+
a0
2 x
2
Questão 4
A resposta correta é: u (x , t)= \u2211
n impar
400
n\u3c0 e
(n\u3c040 )
2
kt
sen n\u3c0 x40
Justificativa
Tomar como solução: 
u( x , t)=X (x )T (t)
X ' ' T=1k XT '\u2192
X ' '
X =
T '
kT =\u3bb
2
Teremos duas equações diferenciais:
X ' '=\u3bb2 X , T '=k \u3bb2T
Analisando as condições de contorno, temos:
u(0,t)=0\u2192 X (0)T (t)=0\u2192 X (0)=0
u (40, t)=0\u2192 X (40)T (t)=0\u2192 X (40)=0
Assumindo que o quadrado da constante de separação é menor que zero, adicionaremos um sinal negativo ao 
mesmo: \u2212 \u3bb2< 0 :
Assim, teremos:
X ' '=\u2212 \u3bb2 X \u2192 X ( x)=a1 cos(\u3bb x)+ b1 sen (\u3bb x)
X (0)=0\u2192 X (0)=a1=0\u2192 X (x )=b1 sen(\u3bb x )
X (40)=0\u2192 X (40)=b1 sen (40 \u3bb)
Então,
40 \u3bb=n\u3c0 , n\u2208 N *
Portanto,
X n(x)=\u2211
n=1
\u221e
b1n sen(
n\u3c0 x
40 )
Considerando a outra equação diferencial:
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DISCIPLINA
MCA503 \u2013 Cálculo III
DATA
02 outubro 2019
CÓDIGO DA PROVA
P013
T '=k \u3bb2T
\u222b dTT =\u2212 \u3bb2 k\u222b dt \u2192T n(t)=\u2211n=1
\u221e
d 1n e
\u2212 ( n\u3c040 )
2
kt
Logo,
un(x ,t )=\u2211
n=1
\u221e
bn e
\u2212 ( n\u3c040 )
2
kt
sen ( n\u3c0 x40 )
Utilizando as condições de contorno, temos:
u (x ,0)=100
u (x ,0)=\u2211
n=1
\u221e
bn sen (
n\u3c0 x
40 )=100
Então,
bn=
2
40\u222b0
40
100 sen( n\u3c0 x40 )dx
bn=
200
n \u3c0 (\u2212 cos(n\u3c0)+ cos 0)
Para n impar:
 bn=
400
n \u3c0
Portanto,
u (x ,t)= \u2211
n impar
400
n\u3c0 e
\u2212 ( n\u3c040 )
2
kt
sen n\u3c0 x40
QUESTÕES DISSERTATIVAS
Questão 5
lim
n\u2192\u221e\u2223 an+ 1an \u2223=limn \u2192\u221e\u2223 (\u2212 1)n x2n+ 12n+ 1 2n\u2212 1x2n\u22121 \u2223
x2 lim
n\u2192\u221e\u2223(\u2212 1)n 2n\u2212 12n+ 1\u2223= x2
A série é absolutamente convergente no intervalo \u2212 1< x< 1 .
Critério de correção: 50% da questão correta.
Testando os extremos:
x=\u2212 1 : \u2212 1+ 1/3\u2212 1/5+ 1/7...
Teste para série alternadas:
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DISCIPLINA
MCA503 \u2013 Cálculo III
DATA
02 outubro 2019
CÓDIGO DA PROVA
P013
i) bn+ 1< bn
ii) lim
n\u2192\u221e
bn=lim
n\u2192\u221e
1
2n\u2212 1=0
Portanto, converge para x=\u2212 1 .
Analogamente, ocorre para x=1 .
Portanto, o intervalo de convergência é [\u2212 1,1] .
Questão 6
Verificando se é uma equação diferencial exata:
\u2202M
\u2202 y =
\u2202N
\u2202 x \u2192 4=4
Portanto, existe uma função f (x,y), tal que:
\u2202 f
\u2202x =M ,
\u2202 f
\u2202 y =N
\u2202 f
\u2202x =M \u2192
\u2202 f
\u2202x =4y+ 2x\u2212 5
f (x , y )=4xy+ x2\u2212 5x+ \u3d5( y )
Critério de correção: 50% da questão correta.
\u2202 f
\u2202 y =N 4x+
d\u3d5
dy
=6y+ 4x\u2212 1\u2192 \u3d5( y )=3y2\u2212 y
4xy+ x2\u2212 5x+ 3y2\u2212 y=C
Utilizando a condição inicial
y (\u2212 1)=2\u2192C=8
Portanto, a solução é
4xy+ x2\u2212 5x+ 3y2\u2212 y=8
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