UNIVESP -GABARITO - PROVA - CALCULO III MCA503-P013

Prévia do material em texto

INSTRUÇÕES AO ALUNO
1. É obrigatória a devolução deste caderno de questões ao término da prova.
2. Está autorizada a entrada de alunos até 1 hora depois do início marcado da prova (início da prova: 18h).
3. Você só poderá sair depois de transcorridas 1 hora e 15 minutos do início marcado da prova.
4. As respostas às questões dissertativas devem demonstrar a linha de raciocínio ou o processo de resolução, 
e não apenas o resultado final.
QUESTÕES OBJETIVAS
Questão 1 (1,5 pontos)
Qual o valor de ℒ {cos t cos2t } ?
a) ( ss2+ 3+ ss2+ 1)
b)
1
2( ss2+ 9+ ss2+ 1)
c)
s
s2+ 4+
s
s2+ 1
d)
s
s2+ 9
Questão 2 (1,5 pontos)
Qual o valor do coeficiente bn do desenvolvimento em série de Fourier de senos da função
f (x ) = {0, 0< x< 121, 12⩽ x< 1 ?
a) − 2ηπ((− 1)n− cos (ηπ /2))
b) 2ηπ
c) (1− (− 1)n)
d) 4ηπ (− 1)n
Questão 3 (1,5 pontos)
Quais são os três primeiros termos diferentes de zero em uma expansão em série de potências em torno de
x = 0 para uma solução geral da equação diferencial y '− y = 0 ?
1 de 6
DISCIPLINA
MCA503 – Cálculo III
DATA
02 outubro 2019
CÓDIGO DA PROVA
P013
a) a0+ a0 x2+
a0
2 x
4
b) a0 x+ a0 x3+
a0
2 x
5
c) a0+ a0 x+
a0
2 x
2
d) a0+
a0
2 x+
a0
5 x
2
Questão 4 (1,5 pontos)
Suponha que uma vara de 40cm de comprimento é imersa em vapor até que sua temperatura seja de 100°C ao 
longo de toda a sua extensão. No instante t = 0, suas duas extremidades são isoladas e fixadas em gelo a 0°C. 
Resolva o Problema de Valor de Contorno (PVC) para obter a equação da temperatura em função u(x, t ) do seu 
comprimento x e do tempo t. Na resolução, utilize o quadrado da constante de separação menor que zero. 
O PVC é dado por:
∂u
∂ t =k
∂2u
∂ x2 , k=constante
u (0, t)=u(40,t )=0, u (x ,0)=100
a) u (x , t)= ∑
n impar
e
( nπ40 )
2
kt cos nπ x40
b) u (x , t)= ∑
n impar
e
( nπ40 )
2
kt
c) u (x , t)= ∑
n impar
200
nπ
e
( nπ40 )
2
kt
sen nπ x40
d) u (x , t)= ∑
n impar
400
nπ
e
(nπ40 )
2
kt
sen nπ x40
QUESTÕES DISSERTATIVAS
Questão 5 (2,0 pontos)
Qual o intervalo de convergência da série x− x
3
3 +
x5
5 −
x7
7 + ...+ (− 1)
n− 1 x2n− 1
2n− 1 + ... ?
Questão 6 (2,0 pontos)
Determine a solução do problema de valor inicial (4y+ 2x− 5)dx+ (6y+ 4x− 1)dy=0, y (− 1)=2
2 de 6
DISCIPLINA
MCA503 – Cálculo III
DATA
02 outubro 2019
CÓDIGO DA PROVA
P013
QUESTÕES OBJETIVAS
Questão 1
A resposta correta é 
1
2( ss2+ 9+ ss2+ 1)
Justificativa
Utilizando a relação cos a cosb = 12 (cos (a+ b)+ cos(a− b))
e tomando a = t e b = 2t, temos: ℒ {cos t cos 2t } = 12 ℒ {cos3t }+
1
2ℒ {cos t } 
Verificando na tabela encontramos: 
1
2( ss2+ 9+ ss2+ 1)
Questão 2
A resposta correta é − 2ηπ ((− 1)n− cos (ηπ /2))
Justificativa
bn =
2
p ∫0
p
f (x )sen ηπ x
p
dx p = 1
bn = 2 ∫1
2
1
senηπ dx = − 2ηπ cos (ηπ x ) ∣1/21
bn = − 2ηπ ((− 1)n− cos (ηπ /2))
Questão 3
A resposta correta é a0+ a0 x+
a0
2 x
2
Justificativa
y = ∑
n=0
∞
an x
n
, y ' = ∑
n=1
∞
annx
n− 1
3 de 6
GABARITO
DISCIPLINA
MCA503 – Cálculo III
DATA
02 outubro 2019
CÓDIGO DA PROVA
P013
∑
n=1
∞
an nx
n−1−∑
n=0
∞
an x
n = 0
a1+ 2a 2 x+ 3a3 x2+ 4a4 x3− a0− a1 x− a2 x2− a3 x3− a4 x4+ ... = 0
a1 = a0, a2 =
a1
2 , a3 =
a2
3 =
a0
6
Portanto, y = a0+ a0 x+
a0
2 x
2
Questão 4
A resposta correta é: u (x , t)= ∑
n impar
400
nπ e
(nπ40 )
2
kt
sen nπ x40
Justificativa
Tomar como solução: 
u( x , t)=X (x )T (t)
X ' ' T=1k XT '→
X ' '
X =
T '
kT =λ
2
Teremos duas equações diferenciais:
X ' '=λ2 X , T '=k λ2T
Analisando as condições de contorno, temos:
u(0,t)=0→ X (0)T (t)=0→ X (0)=0
u (40, t)=0→ X (40)T (t)=0→ X (40)=0
Assumindo que o quadrado da constante de separação é menor que zero, adicionaremos um sinal negativo ao 
mesmo: − λ2< 0 :
Assim, teremos:
X ' '=− λ2 X → X ( x)=a1 cos(λ x)+ b1 sen (λ x)
X (0)=0→ X (0)=a1=0→ X (x )=b1 sen(λ x )
X (40)=0→ X (40)=b1 sen (40 λ)
Então,
40 λ=nπ , n∈ N *
Portanto,
X n(x)=∑
n=1
∞
b1n sen(
nπ x
40 )
Considerando a outra equação diferencial:
4 de 6
DISCIPLINA
MCA503 – Cálculo III
DATA
02 outubro 2019
CÓDIGO DA PROVA
P013
T '=k λ2T
∫ dTT =− λ2 k∫ dt →T n(t)=∑n=1
∞
d 1n e
− ( nπ40 )
2
kt
Logo,
un(x ,t )=∑
n=1
∞
bn e
− ( nπ40 )
2
kt
sen ( nπ x40 )
Utilizando as condições de contorno, temos:
u (x ,0)=100
u (x ,0)=∑
n=1
∞
bn sen (
nπ x
40 )=100
Então,
bn=
2
40∫0
40
100 sen( nπ x40 )dx
bn=
200
n π (− cos(nπ)+ cos 0)
Para n impar:
 bn=
400
n π
Portanto,
u (x ,t)= ∑
n impar
400
nπ e
− ( nπ40 )
2
kt
sen nπ x40
QUESTÕES DISSERTATIVAS
Questão 5
lim
n→∞∣ an+ 1an ∣=limn →∞∣ (− 1)n x2n+ 12n+ 1 2n− 1x2n−1 ∣
x2 lim
n→∞∣(− 1)n 2n− 12n+ 1∣= x2
A série é absolutamente convergente no intervalo − 1< x< 1 .
Critério de correção: 50% da questão correta.
Testando os extremos:
x=− 1 : − 1+ 1/3− 1/5+ 1/7...
Teste para série alternadas:
5 de 6
DISCIPLINA
MCA503 – Cálculo III
DATA
02 outubro 2019
CÓDIGO DA PROVA
P013
i) bn+ 1< bn
ii) lim
n→∞
bn=lim
n→∞
1
2n− 1=0
Portanto, converge para x=− 1 .
Analogamente, ocorre para x=1 .
Portanto, o intervalo de convergência é [− 1,1] .
Questão 6
Verificando se é uma equação diferencial exata:
∂M
∂ y =
∂N
∂ x → 4=4
Portanto, existe uma função f (x,y), tal que:
∂ f
∂x =M ,
∂ f
∂ y =N
∂ f
∂x =M →
∂ f
∂x =4y+ 2x− 5
f (x , y )=4xy+ x2− 5x+ ϕ( y )
Critério de correção: 50% da questão correta.
∂ f
∂ y =N 4x+
dϕ
dy
=6y+ 4x− 1→ ϕ( y )=3y2− y
4xy+ x2− 5x+ 3y2− y=C
Utilizando a condição inicial
y (− 1)=2→C=8
Portanto, a solução é
4xy+ x2− 5x+ 3y2− y=8
6 de 6