Gabarito Prova 1 Calculo 3 2016

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Instituto de Matemática - UFRJ
Primeira Prova - Cálculo III - Professora Selene Alves Maia
OBSERVAÇÃO: Em cada uma da questões abaixo justi…que sua resposta.
Questão 1 : (2:5 pontos)
Seja D a região do plano xy limitada por x2 + y2 = 2x; x2 + y2 = 4x; y = x
e y =
p
3x:
a)Utilizando coordenadas polares com o polo na origem determine: (i) a
variação de r; (ii) a variação de �:
b)Calcule
ZZ
D
p
x2 + y2dxdy:
Solução:
a)Utilizando coordenadas polares com polo P0 = (0; 0) resulta que:
x = r cos �
y = r sin �
=) J(r; �) = r: (1)
(i)Determinar a variação de r.
BDescrever a circunferência x2 + y2 = 2x em coordenadas polares.
Substituindo (1)1 e (1)2 na equação acima obtemos:
r2 cos2 � + r2 sin2 � = 2r cos � =)
r2
�
cos2 � + sin2 �
�
= 2r cos � =)
r2 = 2r cos � =) r = 2 cos �: (2)
BDescrever a circunferência x2 + y2 = 4x em coordenadas polares.
Substituindo (1)1 e (1)2 na equação acima obtemos:
r2 cos2 � + r2 sin2 � = 4r cos � =)
r2
�
cos2 � + sin2 �
�
= 4r cos � =)
r2 = 4r cos � =) r = 4 cos �: (3)
De (2) e de (3) obtemos que:
1
2 cos � 6 r 6 4 cos �: (4)
(ii)Determinar a variação de �.
BDeterminar a equação da reta y = x em coordenadas polares.
Substituindo (1)1 e (1)2 na equação acima obtemos:
r sin � = r cos � =) sin � = cos � =)
sin �
cos �
=
cos �
cos �
=) tan � = 1 =)
� =
�
4
: (5)
BDeterminar a equação da reta y =
p
3x em coordenadas polares.
Substituindo (1)1 e (1)2 na equação acima obtemos:
r sin � =
p
3r cos � =) sin � =
p
3 cos � =)
sin �
cos �
=
p
3
cos �
cos �
=) tan � =
p
3 =)
� =
�
3
: (6)
De (5) e de (6) obtemos que:
�
4
6 � 6 �
3
: (7)
b)De (4) e de (7) temos que:
D� =
n
(r; �) 2 R2
����
4
6 � 6 �
3
; 2 cos � 6 r 6 4 cos �
o
: (8)
Logo, de (1)1; (1)2; (8) e do teorema de mudança de variáveis obtemos que:
ZZ
D
p
x2 + y2dxdy =
ZZ
D�
p
r2 cos2 � + r2 sin2 � jJ(r; �)j drd� =)
ZZ
D
p
x2 + y2dxdy =
ZZ
D�
r � rdrd� =)
2
ZZ
D
p
x2 + y2dxdy =
Z �=3
�=4
"Z 4 cos �
2 cos �
r2dr
#
d� =)
ZZ
D
p
x2 + y2dxdy =
Z �=3
�=4
1
3
�
r3
�4 cos �
2 cos �
d�
ZZ
D
p
x2 + y2dxdy =
1
3
Z �=3
�=4
�
64 cos3 � � 8 cos3 �� d� =)
ZZ
D
p
x2 + y2dxdy =
56
3
Z �=3
�=4
cos2 � cos �d� =)
ZZ
D
p
x2 + y2dxdy =
56
3
Z �=3
�=4
(1� sin2 �) cos �d� =)
ZZ
D
p
x2 + y2dxdy =
56
3
(Z �=3
�=4
cos �d� �
Z �=3
�=4
sin2 � cos �d�
)
=)
ZZ
D
p
x2 + y2dxdy =
56
3
�
[sin �]
�=3
�=4 �
1
3
� �sin3 ���=3
�=4
�
=)
ZZ
D
p
x2 + y2dxdy =
56
3
�h
sin
�
3
� sin �
4
i
� 1
3
�
h
sin3
�
3
� sin3 �
4
i�
=)
ZZ
D
p
x2 + y2dxdy =
56
3
8<:
"p
3
2
�
p
2
2
#
� 1
3
�
24 p3
2
!3
�
 p
2
2
!3359=; =)
ZZ
D
p
x2 + y2dxdy =
56
3
(p
3
2
�
p
2
2
�
p
3
8
+
p
2
12
)
=)
ZZ
D
p
x2 + y2dxdy =
56
3
(
12
p
3� 12p2� 3p3 + 2p2
24
)
=)
ZZ
D
p
x2 + y2dxdy =
56
3
(
9
p
3� 10p2
24
)
=)
3
ZZ
D
p
x2 + y2dxdy =
7
3
(
9
p
3� 10p2
3
)
ZZ
D
p
x2 + y2dxdy =
63
p
3� 70p2
9
: (9)
Questão 2 : (2:5 pontos)
Considere as superfícies S1 : z =
p
4� x2 � y2 eS2 : z = 4� x2 � y2:
a)Determine as projeções da interseção das superfícies S1 eS2 no plano xy:
b)Descreva o sólido W limitado por S1 eS2 em coordenadas cilíndricas.
Observação: O sólido W é a união de dois sólidos.
c)Calcule o volume do sólido W:
Solução:
a)As interseções das superfícies são dada por:
S2 \S1 :
����� z = 4� x
2 � y2
z =
p
4� x2 � y2
, S2 \S1 :
����� x
2 + y2 = z � 4
z =
p
4� (4� z) = pz
, S2 \S1 = 
0[
1;
onde:
0 :
����� x2 + y2 = 4z = 0 (10)
é a circunferência contida no plano z = 0;de centro= (0; 0) e raio igual a 2; e
1 :
����� x2 + y2 = 3z = 1 (11)
é a circunferência contida no plano z = 1;de centro= (0; 0; 1) e raio igual
a
p
3.
De (11) obtemos que a projeção da curva 
1 no plano xy é a circunferência
de equação x2 + y2 = 3;de centro= (0; 0) e raio igual a
p
3:
b)
(i)Descrever o sólido W1 em coordenadas cíndricas.
A projeção da parte do sólido denotada porW1 situada no semi-plano z > 1
sobre o plano xy é dada por:
D1 =
�
(x; y) 2 R2 ��x2 + y2 6 3 ; z = 0	 : (12)
4
Logo, de (12) e do fato que
p
4� x2 � y2 6 z 6 4� x2 � y2 resulta que, o
sólido W1 em coordenadas cartesianas é de…nido por:
W1 =
n
(x; y; z) 2 R3
���(x; y) 2 D1;p4� x2 � y2 6 z 6 4� x2 � y2o : (13)
Considere:
x = r cos �
y = r sin �
z = z
=) J(r; �; z) = r (14)
BDeterminar a variação de r:
�Determinar a equação da circunferência x2 + y2 = 3 em coordenadas po-
lares.
Substituindo (14)1 e de (14)2 na equação da circunferência obtemos:
r2 cos2 � + r2 sin2 � = 3 =)
r2
�
cos2 � + sin2 �
�
= 3 =)
r2 = 3 =) r = p3: (15)
Da região D1 e de (15) resulta que:
0 6 r 6
p
3: (16)
BDeterminar a variação de �:
Da de…nição da região D1 obtemos que:
0 6 � 6 2�: (17)
BDeterminar a variação de z:
� Determinar a equação da esfera z =
p
4� x2 � y2 em coordenadas cilín-
dricas.
Substituindo (14)1 e (14)2 na equação da esfera obtemos:
z =
p
4� r2 cos2 � � r2 sin2 � =)
z =
q
4� r2 �cos2 � + sin2 �� =)
z =
p
4� r2: (18)
5
� Determinar a equação do parabolóide z = 4� x2 � y2 em coordenadas
cilíndricas.
Substituindo (14)1 e (14)2 na equação do parabolóide obtemos:
z = 4� r2 cos2 � � r2 sin2 � =)
z = 4� r2 �cos2 � + sin2 �� =)
z = 4� r2: (19)
De (18) e de (19) resulta que:
p
4� r2 6 z 6 4� r2: (20)
De (16); (17) e (20) obtemos um sólido W�1 de…nido por:
W�1 =
�
(r; �; z) 2 R3 ��0 6 r 6 p3; 0 6 � 6 2�; p4� r2 6 z 6 4� r2	 : (21)
(ii)Descrever o sólido W2 em coordenadas cíndricas.
A projeção da parte do sólido denotada por W2 situada no semi-plano
0 6 z 6 1 sobre o plano xy é dada por:
D2 =
�
(x; y) 2 R2 ��3 6 x2 + y2 6 4 ; z = 0	 : (22)
Logo, de (22) e do fato que 4� x2 � y2 6 z 6
p
4� x2 � y2 resulta que, o
sólido W2 em coordenadas cartesianas é de…nido por:
W2 =
n
(x; y; z) 2 R3
���(x; y) 2 D2; 4� x2 � y2 6 z 6 p4� x2 � y2o : (23)
BDeterminar a variação de r:
� Determinar a equação da circunferência x2 + y2 = 3 em coordenadas po-
lares.
Substituindo (14)1 e de (14)2 na equação da circunferência obtemos:
r2 cos2 � + r2 sin2 � = 3 =)
r2
�
cos2 � + sin2 �
�
= 3 =)
r2 = 3 =) r = p3: (24)
6
� Determinar a equação da circunferência x2 + y2 = 4 em coordenadas po-
lares.
Substituindo (14)1 e de (14)2 na equação da circunferência obtemos:
r2 cos2 � + r2 sin2 � = 4 =)
r2
�
cos2 � + sin2 �
�
= 4 =)
r2 = 4 =) r = 2: (25)
De (24) e de (25) resulta que:
p
3 6 r 6 2: (26)
BDeterminar a variação de �:
Da de…nição da região D2 obtemos que:
0 6 � 6 2�: (27)
BDeterminar a variação de z:
� Determinar a equação do parabolóide z = 4� x2 � y2 em coordenadas
cilíndricas.
Substituindo (14)1 e (14)2 na equação do parabolóide obtemos:
z = 4� r2 cos2 � � r2 sin2 � =)
z = 4� r2 �cos2 � + sin2 �� =)
z = 4� r2: (28)
�Determinar a equação da esfera z =
p
4� x2 � y2 em coordenadas cilín-
dricas.
Substituindo (14)1 e (14)2 na equação da esfera obtemos:
z =
p
4� r2 cos2 � � r2 sin2 � =)
z =
q
4� r2 �cos2 � + sin2 �� =)
z =
p
4� r2: (29)
De (28) e de (29) obtemos que:
4� r2 6 z 6 p4� r2: (30)
7
De (26); (27) e (30) obtemos um sólido W�2 de…nido por:
W�2 =
�
(r; �; z) 2 R3 ��p3 6 r 6 2; 0 6 � 6 2�; 4� r2 6 z 6 p4� r2	 : (31)
c)O volume do sólido W =W1 [W2 é dado por:ZZZ
W
dxdydz =
ZZZ
W1
dxdydz +
ZZZ
W2
dxdydz: (32)
Do teorema de mudança de variáveis, de (21)e (31)podemos reescrever (32)da
seguinte forma:ZZZ
W
dxdydz =
ZZZ
W�1
rdrd�dz +
ZZZ
W�2
rdrd�dz: (33)
BCálculo da integral
ZZZ
W�1
rdrd�dz:
Temos que: ZZZ
W�1
rdrd�dz =
Z p3
0
r
Z 4�r2
p
4�r2
[�]
2�
0 dzdr =)
ZZZ
W�1
rdrd�dz = 2�
Z p3
0
r
"Z 4�r2
p
4�r2
dz
#
dr =)
ZZZ
W�1
rdrd�dz = 2�
Z p3
0
r [z]
4�r2p
4�r2 dr =)
ZZZ
W�1
rdrd�dz = 2�
Z p3
0
r
�
4� r2 �
p
4� r2
�
dr =)
ZZZ
W�1
rdrd�dz = 2�
(
4
Z p3
0
rdr �
Z p3
0
r3dr �
Z p3
0
r
p
4� r2dr
)
=)
ZZZ
W�1
rdrd�dz = 2�
�
2
�
r2
�p3
0
� 1
4
�
r4
�p3
0
+
1
3
h
(4� r2)3=2
ip3
0
�
=)
8
ZZZ
W�1
rdrd�dz = 2�
�
2 � 3� 1
4
� 9 + 1
3
� (1� 8)
�
=)
ZZZ
W�1
rdrd�dz = 2�
�
6� 9
4
� 7
3
�
=)
ZZZ
W�1
rdrd�dz = 2�
�
72� 27� 28
12
�
=)
ZZZ
W�1
rdrd�dz =
17�
6
: (34)
BCálculo da integral
ZZZ
W�2
rdrd�dz:
Temos que: ZZZ
W�2
rdrd�dz =
Z 2
p
3
r
Z p4�r2
4�r2
[�]
2�
0 dzdr =)
ZZZ
W�2
rdrd�dz = 2�
Z 2
p
3
r
"Z p4�r2
4�r2
dz
#
dr =)
ZZZ
W�2
rdrd�dz = 2�
Z 2
p
3
r [z]
p
4�r2
4�r2 dr =)
ZZZ
W�2
rdrd�dz = 2�
Z 2
p
3
r
�p
4� r2 � 4 + r2
�
dr =)
ZZZ
W�2
rdrd�dz = 2�
�Z 2
p
3
r
p
4� r2dr � 4
Z 2
p
3
rdr +
Z 2
p
3
r3dr
�
=)
ZZZ
W�2
rdrd�dz = 2�
�
�1
3
h
(4� r2)3=2
i2
p
3
� 2 �r2�2p
3
+
1
4
�
r4
�2p
3
�
=)
ZZZ
W�2
rdrd�dz = 2�
�
�1
3
� [0� 1]� 2 � [4� 3] + 1
4
� (16� 9)
�
=)
9
ZZZ
W�2
rdrd�dz = 2�
�
1
3
� 2 + 7
4
�
=)
ZZZ
W�2
rdrd�dz = 2�
�
4� 24 + 21
12
�
=)
ZZZ
W�2
rdrd�dz =
�
6
: (35)
Substituindo (34) e (35) em (33) obtemos que:ZZZ
W
dxdydz =
17�
6
+
�
6
=)
ZZZ
W
dxdydz = 3�: (36)
Questão 3 : (2:5 pontos)
Seja
!
F (x; y; z) = (x2� y2; z2�x2; y2� z2) e C é a curva de interseção da es-
fera z =
p
4� x2 � y2 com o cilindro x2+y2 = 1;percorrida no sentido anti-
horário quando vista da origem.
a)Parametrize a curva C:
b)Calcule
I
C
!
F � d!r :
Solução:
a)ConsidereS1 a superfície do cilindro e S2 a superfície da esfera. Logo:
S1 \S2 :
����� x
2 + y2 = 1
z =
p
4� x2 � y2
, S1 \S2 :
���z = p4� 1, z = p3, S2 \ S1 = C ;
onde:
C :
����� x2 + y2 = 1z = p3 (37)
é a circunferência de centro= (0; 0;
p
3) contida no plano z =
p
3 e raio igual a 1:
Portanto, a parametrização da circunferência C é dada por:
!
r (�) = (cos �; sin �;
p
3); 0 6 � 6 2�: (38)
10
b)Cálculo da integral de linha
I
C
!
F � d!r :
Temos da de…nição de integral de linha que:I
C
!
F � d!r =
Z 2�
0
!
F (
!
r (�)) �
!
r0(�)d�: (39)
Etapa 1 :Determinar
!
F (
!
r (�)):
Da de…nição do campo vetorial
!
F e de (38) obtemos que:
!
F (x; y; z) = (x2 � y2; z2 � x2; y2 � z2) =)
!
F (
!
r (�)) =
!
F (cos �; sin �;
p
3) =
�
cos2 � � sin2 �; 3� cos2 �; sin2 � � 3� : (40)
Etapa 2 :Determinar
!
r0(�):
De (38) resulta que:
!
r0(�) = (� sin �; cos �; 0): (41)
Etapa 3 :Determinar
!
F (
!
r (�)) �
!
r0(�):
De (40) e de (41) obtemos que:
!
F (
!
r (�)) �
!
r0(�) = (cos2 ��sin2 �) �(� sin �)+(3�cos2 �) �cos �+(sin2 ��3) �0 =)
!
F (
!
r (�)) �
!
r0(�) = � sin � cos2 � + sin3 � + 3 cos � � cos3 �: (42)
Substituindo (42) em (39) obtemos que:
I
C
!
F � d!r =
Z 2�
0
(� sin � cos2 � + sin3 � + 3 cos � � cos3 �)d� =)
I
C
!
F � d!r = �
Z 2�
0
sin � cos2 � +
Z 2�
0
sin3 �d� + 3
Z 2�
0
cos �d� �
Z 2�
0
cos3 �d�:
(43)
11
BCálculo da integral
Z 2�
0
sin � cos2 �d�:
Temos que: Z 2�
0
sin � cos2 �d� = �1
3
�
cos3 �
�2�
0
=)
Z 2�
0
sin � cos2 �d� = �1
3
� �cos3 2� � cos3 0� =)
Z 2�
0
sin � cos2 �d� = 0: (44)
BCálculo da integral
Z 2�
0
sin3 �d�:
Temos que: Z 2�
0
sin3 �d� =
Z 2�
0
sin2 � sin �d� =)
Z 2�
0
sin3 �d� =
Z 2�
0
(1� cos2 �) sin �d� =)
Z 2�
0
sin3 �d� =
Z 2�
0
sin �d� �
Z 2�
0
cos2 � sin �d� =)
Z 2�
0
sin3 �d� = � [cos �]2�0 +
1
3
�
cos3 �
�2�
0
=)
Z 2�
0
sin3 �d� = � [cos 2� � cos 0] + 1
3
� �cos3 2� � cos3 0� =)
Z 2�
0
sin3 �d� = 0: (45)
BCálculo da integral
Z 2�
0
cos �d�:
Temos que: Z 2�
0
cos �d� = [sin �]
2�
0 =)Z 2�
0
cos �d� = [sin 2� � sin 0] =)
Z 2�
0
cos �d� = 0: (46)
12
BCálculo da integral
Z 2�
0
cos3 �d�:
Temos que: Z 2�
0
cos3 �d� =
Z 2�
0
cos2 � cos �d� =)
Z 2�
0
cos3 �d� =
Z 2�
0
(1� sin2 �) cos �d� =)
Z 2�
0
cos3 �d� =
Z 2�
0
cos �d� �
Z 2�
0
sin2 � cos �d� =)
Z 2�
0
cos3 �d� = [sin �]
2�
0 �
1
3
�
sin3 �
�2�
0
=)
Z 2�
0
cos3 �d� = [sin 2� � sin 0]� 1
3
� �sin3 2� � sin3 0� =)
Z 2�
0
cos3 �d� = 0: (47)
Substituindo (44); (45); (46) e (47) em (43) obtemos que:I
C
!
F � d!r = 0: (48)
Questão 4 : (2:5 pontos)
Calcule
I
C
!
F � d!r ; onde:
!
F (x; y) =
� �y
x2 + y2
;
x
x2 + y2
+ 3x
�
e C :
x2
4
+
y2
9
= 1:
Sugestão: Utilize o teorema de Green para domínios multiplamente conexos.
Solução:
O domínio do campo vetorial
!
F é= R2�f(0; 0)g :Portanto, devemos aplicar
o teorema de Green para domínios multiplamente conexos. Considere:
C1 : x
2 + y2 =22; 2< 2: (49)
Logo: I
C
!
F � d!r +
I
C1
!
F � d!r1 =
ZZ
D
�
@Q
@x
(x; y)� @P
@y
(x; y)
�
dxdy: (50)
13
onde C1 é percorrida no sentido horário e D é a região limitada pela circun-
ferência e pela elipse. Podemos reescrever (50)na seguinte forma:I
C
!
F � d!r =
I
C1
!
F � d!r1 +
ZZ
D
�
@Q
@x
(x; y)� @P
@y
(x; y)
�
dxdy; (51)
onde C1 é agora percorrida no sentido anti-horário.
Etapa 1 :Cálculo da integral de linha
I
C1
!
F � d!r 1:
Temos que: I
C1
!
F � d!r 1 =
Z 2�
0
!
F (
!
r1(�)) �
!
r01(�)d�: (52)
(i)Parametrizar a curva C1:
Considere:
!
r1 : [0; 2�] 7! R2
���!r1(�) = (2 cos �;2 sin �); 0 6 � 6 2�: (53)
(ii)Determinar
!
F (
!
r1(�)):
Da de…nição do campo vetorial
!
F e de (53) obtemos que:
!
F (x; y) =
� �y
x2 + y2
;
x
x2 + y2
+ 3x
�
=)
!
F (2 cos �;2 sin �) =
 
� 2 sin �
22 �cos2 � + sin2 �� ; 2 cos �22 �cos2 � + sin2 �� + 3 2 cos �
!
=)
!
F (2 cos �;2 sin �) =
�� sin �
2 ;
cos �
2 + 3 2 cos �
�
: (54)
(iii)Determinar
!
r01(�):
De (53) obtemos que:
!
r01(�) = (� 2 sin �;2 cos �): (55)
(iv)Determinar
!
F (
!
r 1(�)) �
!
r01(�):
De (54) e de (55) obtemos que:
!
F (
!
r 1(�)) �
!
r01(�) =
�� sin �
2
�
� (� 2 sin �) +
�
cos �
2 + 3 2 cos �
�
� 2 cos � =)
14
!
F (
!
r 1(�)) �
!
r01(�) = sin
2 � + cos2 � + 3 22 cos2 � =)
!
F (
!
r 1(�)) �
!
r01(�) = 1 + 3 22 cos2 �: (56)
Substituindo (56) em (52) obtemos que:I
C1
!
F � d!r 1 =
Z 2�
0
(1 + 3 22 cos2 �)d� =)
I
C1
!
F � d!r 1 =
Z 2�
0
d� + 3 22
Z 2�
0
cos2 �d� =)
I
C1
!
F � d!r 1 = [�]2�0 + 3 22 �
1
2
Z 2�
0
(1 + cos 2�)d� =)
I
C1
!
F � d!r 1 = [2� � 0] + 3 22 �1
2
�Z 2�
0
d� +
Z 2�
0
cos 2�d�
�
=)
I
C1
!
F � d!r 1 = 2� + 3 22 �1
2
�
[�]
2�
0 +
1
2
[sin 2�]
2�
0
�
=)
I
C1
!
F � d!r 1 = 2� + 3 22 �1
2
�
[2� � 0] + 1
2
� [sin 2� � sin 0]
�
=)
I
C1
!
F � d!r 1 = 2� + 3 22 �1
2
� 2� =)
I
C1
!
F � d!r 1 = 2� + 3� 22 : (57)
Etapa 2 :Cálculo da integral
ZZ
D
�
@Q
@x
(x; y)� @P
@y
(x; y)
�
dxdy:
Temos que:
P (x; y) =
�yx2 + y2
Q(x; y) =
xp
x2 + y2
+ 3x
=)
@P
@y
(x; y) =
�1 � (x2 + y2) + y � 2y
(x2 + y2)2
@Q
@x
(x; y) =
1 � (x2 + y2)� x � 2x
(x2 + y2)2
+ 3
=)
15
@P
@y
(x; y) =
y2 � x2
(x2 + y2)2
@Q
@x
(x; y) =
y2 � x2
(x2 + y2)2
+ 3
=) @Q
@x
(x; y)� @P
@y
(x; y) = 3: (58)
Logo, de (58) obtemos que:ZZ
D
�
@Q
@x
(x; y)� @P
@y
(x; y)
�
dxdy =
ZZ
D
3dxdy =)
ZZ
D
�
@Q
@x
(x; y)� @P
@y
(x; y)
�
dxdy = 3
ZZ
D
dxdy =)
ZZ
D
�
@Q
@x
(x; y)� @P
@y
(x; y)
�
dxdy = 3 � área de D: (59)
BCálculo da área da regiãoD:
Temos que:
Área da região D = área da região limitada por C� área da região limitada
por C1:Logo:
Área da região D = � � 2 � 3� �� 22=)
Área da região D = 6� � � 22 : (60)
Substituindo (60) em (59) resulta que:ZZ
D
�
@Q
@x
(x; y)� @P
@y
(x; y)
�
dxdy = 18� � 3� 22 : (61)
Substituindo (57) e (61) em (51) resulta que:I
C
!
F � d!r = 2� + 3� 22 +18� � 3� 22=)
I
C
!
F � d!r = 20�: (62)
16