1 prova de algebra linear e geometria analitica

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Agra´rias
Primeira Avaliac¸a˜o de Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
Aluno/ Matr´ıcula:
11 de Julho de 2013
1a Questa˜o: Sejam A =

1 0 2 −1
3 −2 6 4
5 4 3 0
2 2 −5 6
 e B4×4 = 2C, onde C foi obtida de A via as seguintes
operac¸o˜es elementares: L1 ↔ L2, L3 → L3 − 5L1 e L4 → 2L4.
(a) Calcule o determinante de A.
(b) Informe, se existir, a matriz inversa de A.
(c) AB e´ invers´ıvel? Justifique precisamente.
2a Questa˜o: (a) Prove que
∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 0 0 0
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11
∣∣∣∣∣∣
a22 a23 a24
a32 a33 a34
a42 a43 a44
∣∣∣∣∣∣
(b) Mostre que C =
 1 0 00 cos(θ) − sen(θ)
0 sen(θ) cos(θ)
 e´ invers´ıvel, para todo θ ∈ R.
(c) Assuma que as matrizes abaixo sa˜o tais que as operac¸o˜es aqui realizadas estejam bem
definidas. Resolva a seguinte equac¸a˜o matricial para a matriz X:
A−1(BX)−1 = A−1B2.
(d) Prove que se A e´ uma matriz n × n que satisfaz que A2 − 3A + I = 0 (onde I e 0 sa˜o as
matrizes identidade e nula de ordem n, respectivamente), enta˜o A−1 = 3I −A.
(e) Considere o sistema linear AX = B. Prove que se A e´ uma matriz invers´ıvel, enta˜o AX = B
e´ um SPD.
3a Questa˜o: Determine os poss´ıveis valores de k ∈ R para que o sistema
x+ y − z = 1
2x+ 3y + kz = 3
x+ ky + 3z = 2
seja: um SPD, um SPI, um SI.
4a Questa˜o: Resolva o sistema abaixo e classifique-o quanto ao nu´mero de soluc¸o˜es:
x+ 2y − z = 0
2x− y + z = 0
x+ 3y + 2z = 0
3x− y + 4z = 0
Bom divertimento!!!