Para alunos de mecanicas Sistemas de vectores.1 1 (2)

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CURSO DE ENGENHARIA 
BR 110 - km 47 Bairro Pres. Costa e Silva CEP 59625-900 -Mossoró - Rio Grande do Norte. 
Físico - Prof. Valter Bezerra Dantas - E-mail- valter.fisic@hotmail.com
http://www2.ufersa.edu.br/portal/professor/valterbezerra 
Apostila de mecânica 1
Mecânica vetorial aplicada com texto e ilustração e modelos de exercícios, lista de exercício para cada capitulo. 
Conteúdo 
Apresentação da disciplina 
Objetivos 
Introdução à Estática 
Conceitos básicos 
Princípios fundamentais 
Acões nas estruturas 
Sistema de unidades 
Sistemas de vetores 
Grandezas 
Classificação dos vetores 
Operações vetoriais básicas 
Decomposição de um vetor em direções concorrentes 
Exemplos de operações vetoriais 
Componentes Cartesianas de um vetor no plano 
Componentes Cartesianas de um vetor no espaço 
Vetor definido pela sua intensidade e por dois pontos da sua linha de ação 
Exemplos de aplicação 
Produto interno ou produto escalar 
Exemplo de utilização 
Produto vetorial a dois vetores ou produto externo 
Produto vetorial a dois vetores 
Momento de uma força em relação a um ponto 
Exemplos de cálculo de momento de uma força em relação a um ponto 
Produto misto a três vetores 
Momento de uma força em relação a um eixo 
Momento de uma força em relação aos eixos coordenados 
Exemplos de cálculo de momento de uma força em relação a um eixo 
Momento de binário 
Binários equivalentes 
Exemplos de operações com binários 
Redução de um sistema de forças 
Redução de um sistema de forças num dado ponto 
Variação dos elementos de redução relativamente a mudança do ponto de redução 
Sistemas de vetores equivalentes 
Invariantes de um sistema de forças relativamente ao ponto de redução 
Casos de redução de um sistema de forças 
Exemplos de redução 
Eixo central de um sistema de forças 
Equação vetorial do eixo central 
Equação analítica do eixo central 
Propriedade do mínimo dos pontos do eixo central 
Casos de sistemas de forças equivalentes a dois vetares 
Casos particulares de sistemas de forças equivalentes a uma única força resultante 
Generalização do teorema de Varignon para sistemas de vetores equivalentes a um vetor único 
Sistemas de forças concorrentes num ponto 
Sistemas de forças complanares 
Sistemas de forças paralelas 
Sistemas de vetores distribuídos 
Estática da Partícula 
Equilíbrio da partícula 
Metodologia de resolução dos problemas 
Exemplos de equilíbrio da partícula no plano 
Exemplos de equilíbrio da partícula no espaço 
Estática do Corpo Rígido 
Equilíbrio do corpo rígido 
Graus de liberdade. Apoios. Estatia 
Graus de liberdade 
Tipos de apoios 
Distribuição das ligações. Estatia 
Metodologia de resolução dos problemas 
Exemplos de equilíbrio do corpo rígido no plano 
Exemplos de equilíbrio do corpo rígido no espaço 
Objetivo 
O objetivo da disciplina da Estática consiste em desenvolver a capacidade para analisar qualquer problema de um modo simples aplicando princípios básicos para sua resolução. 
A Mecânica descreve e prevê as condições de repouso ou movimento de corpos sob ação das forças, sendo a disciplina base das Ciências de Engenharia. 
A Mecânica Clássica apresenta dois ramos básicos, que são a Mecânica Teórica, ou a Mecânica dos Corpos Rígidos e a Mecânica dos Meios Contínuos ou a Mecânica dos Corpos Deformáveis. Esta, por sua vez, subdivide-se na Mecânica dos Sólidos e na Mecânica dos Fluidos. 
A Mecânica dos Corpos Rígidos subdivide-se em Estática e Dinâmica. A Mecânica dos Sólidos contem várias disciplinas entre os quais Estabilidade das Estruturas, Resistência dos Materiais, Teoria da Elasticidade, etc. 
	
	Figura 1.1: Hierarquias no contexto da Mecânica Clássica
Resumindo, pode afirmar-se simplificadamente que, através da Mecânica Teórica se obtêm soluções matemáticas para problemas em que os corpos são considerados rígidos. Quando a deformabilidade dos corpos é tomada em conta, a Teoria da Elasticidade fornece soluções matemáticas para geometrias relativamente complexas e comportamento material o mais simples possível. A Resistência dos Materiais fornece soluções físicas para problemas com geometria simples, mas pode lidar com materiais de comportamento mais complexo. Estas duas ciências completam-se. 
Introdução à Estática 
Conceitos básicos 
Na Mecânica são utilizados quatro conceitos básicos dos quais três aceites sem ser definidos: espaço, tempo, massa e força (definida). (Mecânica Newtoniana) 
Espaço: considera-se tridimensional associada a posição de um ponto num referencial com três direções, homogênea, isótropo, continuo e absoluto. Unidade - unidade de comprimento em SI - M 
Tempo: caracteriza a sucessão e duração de um acontecimento, e é independente das propriedades de corpo, é absoluto, universal, uniforme e irreversível. Unidade - em SI - S 
Massa: caracteriza e compara corpos com base em certas experiências - ex. atração pela Terra de corpos de massa igual - massa gravítica ou dois corpos que oferecem a mesma resistência à mudança ao seu movimento - massa de inércia. A massa independente e absoluta. Unidade - em SI - Kg. Na Mecânica clássica são aceites duas representações para distribuição da massa: 
Discreta - um conjunto finito de massas (partículas) 
Contínua - divisões infinitas ocupando o espaço. 
Força: usada para caracterizar a ação de um corpo sobre outro por contacto debito ou atração. A força depende de espaço, tempo e massa. Unidade - em SI KgMs-2
Princípios fundamentais 	
Definições 
Partícula: uma quantidade muito pequena de matéria que ocupa um único ponto no espaço. 
Corpo rígido: combinação de um grande numero de partículas que ocupam posições fixas umas em relação aos outras 
Princípios 
Regra do paralelogramo: para adição das forças - duas forças que atuam numa partícula podem ser substituídas por uma única força resultante. 
Princípio de transmissibilidade: estabelece que as condições de equilíbrio ou de movimento de um corpo rígido permanecerão inalteradas se uma força atuando num dado ponto do corpo rígido for substituída por uma força com a mesma intensidade, mesma direção e mesmo sentido, mas atuando num outro ponto desde que as duas forças têm a mesma linha de ação. 
As três leis fundamentais de Newton: 
1º a lei de Newton: se a resultante das forças que atuam numa partícula é nula a partícula permanece em repouso ou move-se com velocidade constante segundo uma reta. 
2ºa lei de Newton: se a resultante das forças que atuam numa partícula NÃO é nula, esta terá uma aceleração cuja intensidade é proporcional a resultante e tem o mesmo sentido: F=M x a. 
3ºa lei de Newton: as forças de ação e reação entre corpos em contacto têm a mesma intensidade e a mesma linha de ação e sentidos opostos. 
Lei da gravitação de Newton: duas partículas de massa M e m se atraem entre si com forças de igual intensidade e sentidos opostos. F=G m/r2 onde r representa a distância entre as partículas e G a constante gravítica. 
No caso da atração da Terra F=Peso, M representa o peso da Terra e r = Raio da Terra. 
Para o estudo das várias Partes da Mecânica: Estática do Corpo Rígido: usam-se Dinâmica da partícula.
Ações nas estruturas 
As ações mecânicas exercidas sobre os sistemas materiais representam-se por forças atuantes e forças de ligação. 
Forças: ações caracterizadas por intensidade, direção e sentido geometricamente representado por uma reta orientada (vetor) - forças ativas. 
Ligações: ações resultantes das restrições geométricas e que obrigam que parte do Corpo Rígido ocupe posições fixas no espaço. Cada ligação tem como correspondente um força equivalente - forças passivas. 
Modelação, esquematização das ações. 
A determinação das ações o tipo e a grandeza e muito importante e é regulamentada do RSA (Regulamento de Segurança e Ações para Estruturasde Edifícios e Pontes) 
Classificação das ações que solicitam as estruturas: 
Quanto à distribuição. 
Força concentrada: ação localizada em superfícies pequenas em relação dimensão do Corpo Rígido 
Força distribuída 
Quanto o modo de variação em tempo: 
Estáticas, cíclicas, dinâmicas, etc. 
Permanentes (peso próprio), variáveis ( pessoas, térmicas, do vento, dos sismos) e de acidente (explosões) 
Sistema de unidades 
Utiliza-se o Sistema Internacional desde 1960 que se baseia em três conceitos fundamentais: comprimento, tempo e massa. 
	Tabela 2.1: Sistema de Unidades SI: Grandezas Fundamentais e Derivadas
	Grandezas Fundamentais
Dimensão
Unidade
Comprimento
L
m
Tempo
T
s
Massa
M
kg
Grandezas Derivadas
Dimensão
Unidade
Superfície
L
m
Volume
L
m
Densidade
ML
kg/m
Velocidade
LT
m/s
Aceleração
LT
m/s
Ângulo
-
rad
Velocidade angular
T
rad/s
Aceleração angular
T
rad/s
Força
MLT= F
kg m/s = N (Newton)
Pressão
MLT= F L
Pa = N/m (Pascal)
Momento
MLT= F L
N m
	
	
	
	
Grandezas 
Algumas grandezas físicas são representadas matematicamente por um escalar, isto é, basta uma quantidade para defini-las. (Exemplo: massa de um corpo, o seu volume, a sua superfície, etc.) 
Outras são grandezas vetoriais que necessitam de três quantidades para serem definidas num espaço tridimensional. (Exemplo: forças, deslocamentos, velocidades, etc.). 
Um vetor é uma entidade matemática definido por intensidade, direção e sentido e geometricamente representada por uma reta orientada: direção, ponto de aplicação, sentido, e modulo 
	
	Figura 3.1: Representação de um vetor.
A maioria das grandezas mecânicas é representável por vetores e por isto o instrumento matemático se baseia nas operações vetoriais. 
Outras ainda são grandezas físicas tensoriais, que podem ser representadas por nove quantidades num espaço tridimensional. ( Exemplo: estado de tensão e deformação em torno de um ponto) 
Definem-se (num espaço tridimensional): 
Escalar: o tensor de ordem 0, com componentes; 
Vetor: o tensor de primeira ordem, com componentes; 
Tensor: o tensor de segunda ordem, com componentes; 
Em geral, num espaço tridimensional, um tensor de ordem n tem 3ncomponentes. 
Classificação dos vetores 
Os vetores podem ser classificados em: 
Vetor aplicado: não pode ser movido sem modificarem as condições do problema. Exemplo - peso das várias partículas. 
Vetor deslizante: o ponto de aplicação pode mover-se ao logo da linha de ação. 
Casos particulares de vetores deslizantes: 
Vetores iguais: mesma - intensidade, direção e sentido - pode ser diferente o ponto de aplicação. 
Vetores opostos: mesma - intensidade, direção - sentido oposto - pode ser diferente o ponto de aplicação. 
	
	Figura 3.2: Vetores deslizantes: iguais e opostos.
Vetor livre: podem mover-se livremente no espaço 
Os sistemas de vetores podem ser: 
Sistema de vetores quaisquer; 
Sistema de vetores concorrentes: aplicados num ponto - caso dos vetores atuantes sobre uma partícula ou com linhas de ação concorrentes; 
Sistema de vetores complanares: vetores contidos no mesmo plano; 
Sistema de vetores colineares: têm a mesma linha de ação; 
Sistema de vetores paralelos: têm as linhas de ação paralelas; 
Operações vetoriais básicas 
Produto por um escalar: , onde C pode ser zero, positivo ou negativo. O resultado é um vetor da mesma direção e ponto de aplicação. 
	
	Figura 3.3: Produto de um vetor por um escalar.
Adição de dois vetores (concorrentes): 
O resultado é um vetor obtido utilizando a regra do paralelogramo ou regra de triângulo. 
	
	Figura 3.4: Adição de vetores - regra de paralelogramo e de triângulo.
Propriedades: 
Comutativa 
Associativa 
Distributiva em relação aos escalares 
Subtração (adição do vetor oposto): 
Para adição ou subtração de dois vetores utiliza-se a regra do paralelogramo ou do triângulo - o resultado de adição de dois vetores é igual a diagonal do paralelogramo construído na base dos vetores. 
O resultante dos vários vetores concorrentes é obtido utilizando sucessivamente a regra do paralelogramo ou do triângulo resultando a regra de polígono: . 
	
	Figura 3.5: Adição de vetores - regra de polígono
Operações não permitidas: adição de um escalar e um vetor, divisão de dois vetores. 
Decomposição de um vetor em direções concorrentes 
Qualquer vetor pode ser decomposto em duas ou mais componentes desde que tenham o mesmo efeito. A decomposição de um vetor segundo duas direções concorrentes pode ser feita utilizando a regra do paralelogramo (triângulo) de forma inversa. 
	
	Figura 3.6: Decomposição de um vetor em duas direções concorrentes
	
Casos: 
Conhecem-se as direções de ação dos vetores componentes 3.4.a; 
Conhece-se um dos vetores componentes 3.4.b; 
As direções de ação dos vetores componentes são perpendiculares. 
A utilização da regra do paralelogramo (triângulo) requer o uso de trigonometria (lei dos Senos ou dos Cosenos) ou a resolução gráfica. 
Triângulo: 
Soma dos ângulos: ; 
Lei dos Senos: 
Lei dos Cosenos: ; 
Caso particular �� INCLUDEPICTURE "http://www.dec.fct.unl.pt/seccoes/S_Estruturas/docentes/ildi/EST04/Aulas/img56.png" \* MERGEFORMATINET Lei da Pitágoras. 
Paralelogramo: 
Soma dos ângulos: ; 
Exemplos de operações vetoriais 
Problema 3.1 Adição de dois vetores: 
Resolução: 
Graficamente: desenhar a escala, usar a regra de paralelogramo e medir  
Resolução trigonométrica: 
- Lei dos Cosenos: 
Β - Lei dos Senos: 
Direção do - 
Problema 3.2 Uma jangada é puxada por dois rebocadores. Se a resultante das forças exercidas pelo rebocador for dirigida segundo o eixo da jangada, determine: 
a) a força de tração instalada em cada uma das cordas, sabendo que  ; 
b) o valor de para qual a força de tração instalada na corda 2 é mínima. 
Resolução trigonométrica 
a):
- Lei dos Senos: 
b): 
será mínimo para o ângulo α=90º-30º=60º, ou seja a reta do menor comprimento entre o ponto β e a reta 1 é a perpendicular baixado do ponto sobre a direção 1. 
Componentes Cartesianas de um vetor no plano 
(Um caso particular de decomposição de um vector em duas direções concorrentes corresponde a caso quando as direções são ortogonais entre si, Figura a). (Esta particularidade simplifica as relações trigonométricas, sendo o paralelogramo um retângulo e o triângulo um triângulo reto.) Se estas direções coincidirem com as direções dos eixos coordenados - as componentes correspondem as componentes Cartesianas, Figura b) e c). 
	
	Figura 3.7: Componentes Cartesianas
As componentes ax, ay são as componentes Cartesianas, obtidos por projeção do vetor sobre os eixos do referencial, e podem ser expressas em função de um vetor unitário ou versor do respectivo eixo. 
onde e são versores do referencial () segundo os eixos e , respectivamente. 
Componentes Cartesianas de um vetor no espaço 
O referencial Cartesiano é um referencial direito - aplica-se a regra do saca-rolha ou da mão direita. 
	
	Figura 3.8: Referencial Cartesiano
As componentes do vetor no espaço seguindo as direções do referencial Cartesiano são: . 
	
	Figura 3.9: Componentes Cartesianas
Um vetor no espaço necessita três ângulos para definir a sua direção: θx,θy, θz, e medidos partir da direção positiva dos eixos. 
Onde se verifica a relação: cos2θx+cos2 yθ cos2zθ =1 Se for o versor do vetor com os cosenos diretores cos θ x cos θy cos θz, então é possível expressar esse vetor com a ajuda do seu versor: 
O versor do vetor obtém-se: 
Vetor definido pela sua intensidade e por dois pontos da sua linha de ação 
O vetor é definido se conhece sua intensidade e pelo menos dois pontos da sua linhade ação . 
	
	Figura 3.10: Vetor definido pela intensidade e linha de ação
Se for o versor do vetor é possível expressar esse vetor com a ajuda do seu versor: 
O versor do vetor obtém-se: 
Então o vetor será: 
Momento de uma força em relação a um eixo 
O momento de uma força em relação a um eixo definido por um versor , é a projeção do vetor momento sobre o eixo, obtido em relação a um ponto desse eixo O momento do vetor em relação a um eixo representa a tendência que a força impõe para a rotação em torno desse eixo. 
	
	Figura 3.14: Momento de uma força em relação a um eixo
Onde é um ponto no eixo de versor . O momento é obtido por um produto misto:
Propriedades: 1. O momento de um vetor em relação a um eixo é nulo sempre que a linha de ação do vetor e o eixo existam no mesmo plano. 
	
	
	
Na prática se recomenda a decomposição da força em duas componentes, uma paralela com o eixo e a outra perpendicular sobre o eixo, sendo o momento em relação a esse eixo igual com o momento da componente perpendicular. 
2. O momento do vetor em relação a um eixo não varia escolhendo qualquer ponto do eixo (ex. ) em relação ao qual é obtido o momento mesmo que o momento em relação a o ponto difere. 
	
	
	
   mas 
Operações básicas com vetores utilizando a representação Cartesiana 
As operações vetoriais podem escrever-se utilizando a representação Cartesiana: 
Exemplos de aplicação 
Problema 3.3   Adição de três vetores no plano: 
	
	
	
Problema 3.4   Uma força de forma os ângulos de , e , respectivamente com os eixos . Determine as componentes , e . 
	Resolução 
	
	
Problema 3.5   Determine a direção e o sentido da força: 
Resolução: 
	
	
	
Problema 3.6   
Uma placa retangular é suportada por três cabos. Sabendo que a força de tração instalada no cabo é de , determine as componentes da força exercida na placa em B. 
Resolução 
A força tem direção e será decomposta segundo as direções . As coordenadas dos pontos que definem a linha de ação são: e 
Produto interno ou produto escalar 
O produto interno a dois vetores dá um escalar e o resultado é obtido: 
Propriedades: 
Comutativa: 
Distributiva em relação à adição: 
Multiplicação por um escalar: 
O produto interno é utilizado para determinar as componentes escalares de um vetor segundo uma direção dada (projeção) e o ângulo entre dois vetores. Exemplo - componentes escalares Cartesianas. 
Vetores base: 
Componentes Cartesianas (projeções na direção dos eixos do referencial): 
Vetores representados pelas suas componentes Cartesianas 
Exemplo de utilização 
Problema 3.7   Determine a projeção do vetor sobre a direção . 
Resolução: 
Produto interno ou produto escalar 
O produto interno a dois vetores dá um escalar e o resultado é obtido: 
Propriedades: 
Comutativa: 
Distributiva em relação à adição: 
Multiplicação por um escalar: 
O produto interno é utilizado para determinar as componentes escalares de um vetor segundo uma direção dada (projeção) e o ângulo entre dois vetores. Exemplo - componentes escalares Cartesianas. 
Vetores base: 
Componentes Cartesianas (projeções na direção dos eixos do referencial): 
Exemplo de utilização Vetores representados pelas suas componentes Cartesianas 
Vetores representados pelas suas componentes Cartesianas 
Vetores representados pelas suas componentes Cartesianas 
Exemplo de utilização 
Problema 3.7   Determine a projeção do vetor sobre a direção . 
Resolução: 
Produto vetorial a dois vetores ou produto externo 
O resultado da operação é um vetor e é obtido por: 
	
	
	Definição: 
O vetor tem caráter diferente do vetor que lhe deu origem, isto do vetor , o que graficamente será representada por uma reta orientada com seta dupla. 
Produto vetorial a dois vetores 
Os elementos que definem o vetor resultante são: 
intensidade (módulo ): 
o ângulo representa o menor ângulo entre os vetores e . 
dileção: direção perpendicular ao plano formados pelos vetores e . 
sentido: pela regra da saca-rolha ou regra da mão direita. 
Pela regra do saca-rolha o sentido do vetor coincide com o sentido de progressão de uma saca-rolhas que rodasse acompanhando o movimento de rotação que levaria o primeiro vetor do produto externo ( ) a ir a ter com o segundo vetor ( ) 
Propriedades: 
NÃO é comutativa: 
Distributiva em relação à adição: 
Multiplicação por um escalar: 
O produto vetorial é utilizado para calcular o momento de um vetor em relação a um ponto e identificar um vetor perpendicular a dois vetores complanares. 
Exemplo - vetores base do referencial Cartesiano (referencial direito) Os vetores base do 
Produto externo expresso em termos de componentes Cartesianas 
Seja o vetor e expressos em componentes Cartesianas: 
O produto externo é: 
O produto externo é usado para calcular o momento de um vetor em relação a um ponto. 
Se o vetor representa uma força, então o momento é a capacidade de rotação de uma força. 
Momento de uma força em relação a um ponto 
O vetor momento é um vetor fixo, pelo que varia com o ponto em relação ao qual se calcula. O momento de uma força em relação a um ponto , é a capacidade de rotação de força em torno do ponto representado por , sendo a unidade . 
Onde é o vetor posição do ponto de aplicação do vetor relativamente ao ponto . 
	
	Figura 3.11: Momento de um vetor.
O vetor momento pode ser obtido através do produto vetorial (Secção 3.6.1), determinando a sua intensidade, direção e sentido ou utilizando a expressão analítica, produto externo (Secção 3.6.1) obtendo as componentes segundo os eixos coordenados. 
Propriedades: 
1. O momento do vetor em relação a um ponto não varia escolhendo qualquer ponto na sua linha de ação como ponto de aplicação. Pelo princípio de transmissibilidade as forças são vetores deslizantes pelo que o seu efeito não se altera se a mesma se desloca ao longo da sua linha de ação. 
	
	Figura 3.12: Momento de um vetor: princípio de transmissibilidade da força.
Por isso intensidade do momento pode ser obtida pela expressão (Secção 3.6.1): 
Sendo perpendicular a linha de ação do vetor ( ) e o seu módulo ao qual se dá o nome de braço da força em relação ao ponto . O braço da força obtém-se baixando a perpendicular do ponto sobre a linha de ação do vetor . 
2. O momento de um vetor em relação a um ponto é nulo sempre que a linha de ação do vetor passe pelo ponto em causa, sendo os vetores e colineares ( ). 
3. O momento de um vetor varia escolhendo um outro ponto em relação ao qual se calcula. 
O momento relativamente ao ponto é dado por: 
	
	Figura 3.13: Variação do momento de uma força em relação a um ponto
Escolhendo um ponto , o momento em relação a esse ponto será: 
Como : 
	
	(3.1)
A equação (3.1) representa a propagação dos momentos, com a mudança do ponto relativamente ao qual se deseja calcular o momento. 
Observação: Se o ponto () for numa linha paralela à linha de ação da força, o momento relativamente a esse ponto ( o vetor e ficarão paralelas ou colineares). 
4. O momento resultante de várias forças concorrentes relativamente a um ponto é igual à soma dos momentos das várias forças relativamente a esse ponto. 
Esta relação que representa a propriedade distributiva é a Teorema de Varignon. 
Exemplos de cálculo de momento de uma força em relação a um ponto 
Problema 3.8   Sabendo que a força de intensidade e com linha de ação , determine o momento em relação ao ponto . 
Resolução: 
Em alternativa o momento da força em torno do ponto pode ser calculada utilizando o vetor de posição , deslizando o vetor ao longo da linha com ponto de aplicação em . 
	Problema3.9   Sabendo que determine o momento em relação ao ponto . 
Resolução 
1ºo Pelo produto externo 
2º Pelo produto vetorial: Observação: No plano é preferível calcular o modulo do pela definição em vez de usar a representação cartesiana. 
A direção é perpendicular ao plano e o sentido pela regra de mão direita é: . 
Problema 3.10   Sabe-se que para retirar o prego em é necessário uma força vertical de Determine 
a) 
o momento produzido pela força em relação ao ponto . 
b) 
a intensidade da força aplicada no ponto , que produz o mesmo momento em relação ao para 
c) 
a menor força que produz o mesmo momento 
Resolução 
a) Momento em relação ao ponto da força : 
Pelo produto vetorial: 
Intensidade: 
Direção: direção do eixo (perpendicular ao plano ) 
Sentido: sentido horário ( - pela regra de mão direita). 
b) A intensidade da força aplicada no ponto para : 
1º Pelo produto externo 
2º Pelo produto vetorial: 
3º Decompor a força em duas componentes, uma paralela com a direção ( ) e outra perpendicular a ( ), sendo: 
Aplicando o teorema de Varignon: 
c) A menor força que produz o mesmo momento (ver alinha ), se obtêm no caso em que , isto é 
Momento de uma força em relação aos eixos coordenados 
Seja o ponto a origem do referencial Cartesiano, o momento da forca obtida pelo produto externo é: 
Seja o vetor e expressos pelas suas componentes cartesianas: 
	 
	 
	
	 
	 
	 
	
	 
O momento em relação aos eixos , e obtém-se: 
	
	
	
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos de cálculo de momento de uma força em relação a um eixo 
Problema 3.11   Determine o momento da força em torno do eixo 
Resolução 
Calcula-se o momento da força : com 
Pela definição 
Pelo produto misto: 
Momento de uma força em relação aos eixos coordenados 
Seja o ponto a origem do referencial Cartesiano, o momento da forca obtida pelo produto externo é: 
Seja o vetor e expressos pelas suas componentes cartesianas: 
	 
	 
	
	 
	 
	 
	
	 
O momento em relação aos eixos , e obtém-se: 
	
	
	
 
 
 
Exemplos de cálculo de momento de uma força em relação a um eixo 
Problema 3.11   Determine o momento da força em torno do eixo 
Resolução 
Calcula-se o momento da força : com 
Pela definição 
Pelo produto misto: 
Momento de binário 
Um binário é um sistema constituído por duas forças de igual intensidade, com linhas de ação paralelas, mas de sentidos opostos. Um binário é representado por uma única grandeza vetorial, o momento binário. O momento binário é um vetor livre, têm o mesmo elemento independentemente do ponto do espaço. 
Os elementos de binário são: 
Plano do binário: - é o plano que contêm as duas linhas de acção; 
Sentido: - é o sentido de rotação das duas forças; 
Braço : a distância entre as duas linhas de ação; 
Intensidade: 
O resultante destas forças é nulo. 
O momento binário é a tendência de rotação das duas forças: 
Com: 
Direção: - perpendicular ao plano do binário; 
Sentido: - é obtido pela regra de mão direita; 
Intensidade: 
Binários equivalentes 
Dois binários com o mesmo momento são equivalentes, isto é produzem o mesmo efeito. 
Operações que garantem a equivalência: 
Translação no plano do binário ou num plano paralelo; 
Rotação no plano do binário em torno de um eixo perpendicular ao plano; 
Deformação do binário - modificar o braço ou o modulo das forças mas sem modificar o momento binário. 
Soma dos binários: rege a regra de adição dos vetores (vetores binários). 
Exemplos de operações com binários 
Problema 3.12 Sabendo que , determine o momento do binário. 
Resolução Pelo produto externo 
Pelo produto vetorial intensidade: 
Direção: perpendicular ao plano 
Sentido: horário 
Problema 3.13   a) Determine o vetor binário equivalente as forças indicadas. 
b) Determine a intensidade de duas forças aplicadas em e que formam um binário equivalente. 
Resolução 
a) Binário equivalente:
 1 Pelo produto externo 
2 elo produto vetorial 
b) Forças em e : 
Os sentidos dos binários estão representados na figura. 
Redução de um sistema de forças 
Existem situações em que convêm substituir um sistema de forças - que atuam sobre um corpo rígido - por outra equivalente (no efeito), às vezes mais simples. Esta operação chama-se redução. 
Substituição de uma força aplicada num ponto por um sistema força-binário que atua num outro ponto 
Seja uma força aplicada no ponto de um corpo rígido. No ponto aplicam-se duas forças iguais mas de sentidos opostos com linha de ação paralela a da força , o que não altera o estado de equilíbrio ou movimento. 
O par das forças e aplicadas nos pontos e respectivamente forma um binário de momento: , sendo vetor livre pode ser aplicado no ponto juntamente com o vetor que é ``deslocada'' para esse ponto. 
Qualquer força atuante no ponto pode ser ``deslocada'' para um ponto arbitrário desde que seja acrescentado um binário de momento igual ao momento do em relação ao ponto . 
No ponto temos um sistema força-binário. 
Redução de um sistema de forças num dado ponto 
Definição: Qualquer sistema de forças deslizantes () pode ser reduzido a uma força e um binário equivalentes, atuantes num dado ponto . 
Força resultante: 
Momento resultante: 
O vetor força resultante é um vetor livre pelo que será representada sem índice, , enquanto o vetor momento resultante ou é um vetor aplicado. 
O sistema força-binário, equivalente ao sistema de vetores iniciais, forma os elementos de redução em : . 
Os elementos de redução podem ser obtidos analiticamente, utilizando a representação dos vetores pelas suas componentes cartesianas. (Secção 3.4.4, Secção 3.6.1, Secção 3.7 e Secção 3.9). 
	
	
	
Variação dos elementos de redução relativamente a mudança do ponto de redução 
Força resultante: é um vetor livre pelo que é independente do ponto em relação a qual se reduz o sistema: 
Momento resultante: O momento resultante varia com a variação do ponto em relação a qual se efetua redução, de acordo com a fórmula de propagação dos momentos (Secção 3.7). 
Propriedade projetiva: A projeção do vetor momento sobre a direção do não depende do ponto em relação ao qual é obtido o momento, mesmo que o momento em relação a o ponto difere. 
Pela definição a projeção do vetor sobre a direção do vetor é dada pelo: 
O vetor é perpendicular sobre o plano que contêm os vetores e Sistemas de vetores equivalentes 
Dois sistemas de vetores (forças) dizem-se equivalentes quando tiverem os mesmos elementos de redução num mesmo ponto do espaço. Para que dois sistemas e ou sejam equivalentes tem de se verificar as seguintes relações: 
Para que um sistema de vetores seja equivalente a zero basta verificar as seguintes relações num ponto qualquer do espaço: 
Nesse caso o sistema representa um sistema em equilíbrio. 
que a projeção desse vetor sobre a direção é nulo. 
Invariantes de um sistema de forças relativamente ao ponto de redução 
Invariantes de um sistema são elementos que não variam escolhendo um outro ponto em relação ao qual se calculam. Os invariantes de um sistema de vetores são: 
Força resultante: - invariante vetorial. A força resultante de um sistema de vetores (forças) é um vetor livre, não varia escolhendo qualquer ponto no espaço em relação o qual se calcula. 
Produto escalar - invariante escalar. 
O produto interno dos vetores e não varia escolhendo qualquer ponto no espaço em relação o qual se calcula o 
A projeção do vetor sobre a direção do vetor : . 
Casos de redução de um sistema de forças 
Qualquer sistema de vetores (forças) pode ser reduzido (substituído) a um dos seguintessistemas de vetores simples, identificados com base nos primeiros dois invariantes - invariantes principais: 
- caso geral - redução a dois vetores não complanares. 
- o sistema equivalente a um vetor (força) resultante único . 
- o sistema se reduz a um binário (momento idêntico em qualquer ponto do espaço). O sistema ainda diz-se equivalente a conjugado. 
- elementos de redução nulos. Se um sistema se reduz elementos nulos é equivalente a zero e será nulo em qualquer ponto do espaço. Um sistema de forças nestas condições representa um sistema em equilíbrio. 
Exemplos de redução 
Problema 3.14   a) Substituí a força aplicada por um sistema força-binário aplicados em 
b) Determine as duas forças aplicadas em e que são equivalentes ao momento obtido em . 
Resolução 
a) 
b) 
O sentido do binário está representado na figura. 
Problema 3.15   Para o sistema representado na figura determine: 
a)os elementos de redução em 
b) os elementos de redução em . 
Resolução 
a) 
Expressão analítica das forças: 
b) Os elementos de redução em são: 
Sendo os vetores e colineares ( ), o momento resultante do sistema não varia se o ponto de redução for o ponto . 
Eixo central de um sistema de forças 
Nos casos de redução para qual existem pontos no espaço em que os vetores e são colineares ou paralelas. O lugar geométrico destes pontos corresponde a uma reta que tem a direção do vetor e chama-se eixo central do sistema e o momento é mínimo. 
Equação vetorial do eixo central 
	
	
	
Se conhecermos os elementos de redução num ponto pode determinar o momento pela formula de propagação dos momentos: 
ou 
	
	(3.2)
Nesta equação a única incógnita é o vetor que define o eixo central, relativamente ao ponto . A equação se resolve externando da esquerda com o vetor ambos os lados da equação (3.2): 
Aplicando as formulas de Gibbs para resolver o produto externo duplo, resulta o vetor posição do eixo central: 
Os elementos que definem o vetor são: 
Intensidade: 
Direção: perpendicular ao plano que contêm os vetores e 
Sentido: pela regra de mão direita. 
A equação vetorial do eixo central é: 
Equação analítica do eixo central 
	
	
	
Substituindo os vetores expressos pelas suas componentes cartesianas, e efetuando os cálculos resulta e equação do eixo central como intersecção de dois planos: 
As relações representam a equação de dois planos. 
Propriedade do mínimo dos pontos do eixo central 
A intensidade do momento resultante relativamente aos pontos () do eixo central é mínima. 
O momento mínimo pode ser obtido internando com o vetor ambos os lados da equação da propagação dos momentos e resulta: 
O termo sendo o produto escalar a dois vetores perpendiculares, , pelo que resulta: 
Casos de sistemas de forças equivalentes a dois vetores 
Seja o ponto um ponto qualquer no espaço e o ponto um ponto no eixo central. Qualquer sistema de vetores (forças) pode ser equivalente a um dos seguintes casos representados na Tabela 3.1. 
	Tabela 3.1: Casos de redução a dois vetores
	 
	 
	a) 
	em : ( )
	 
	 
	 
	em : mínimo - 
	I.
	- admite EC
	 
	 
	 
	 
	b) 
	em : ( ) - 
	 
	 
	 
	em : força resultante ( )
	 
	 
	a) 
	Binário ( )
	II.
	
	 
	 
	 
	 
	b) 
	Elementos nulos ( ) - equilíbrio
��� HYPERLINK "http://www.dec.fct.unl.pt/seccoes/S_Estruturas/docentes/ildi/EST04/Aulas/node46.html" ��Casos particulares de sistemas de forças equivalentes a uma única força resultante 
Para que um sistema se reduza a uma única força resultante é necessário e suficiente que: 
   ou 
Nesse caso a força resultante atua no eixo central. 
Os casos de sistemas que de modo geral se reduzem a um vetor único são: 
Sistemas de forças concorrentes num ponto ( ); 
Sistemas de forças complanares ( ou ); 
Sistemas de forças paralelas ( ou ). 
Sistemas de forças distribuídas. (generalização do sistema de forças paralelas) 
Generalização do teorema de Varignon para sistemas de vetores equivalentes a um vetor único 
Para os casos de sistemas de vetores equivalentes a um vetor único e ou que é ou , o momento resultante é igual ao momento da resultante, desde que seja convenientemente aplicada, nos pontos em que o momento resultante é zero. 
Se for um ponto no eixo central, o momento num ponto qualquer no espaço o momento é dado pelo: 
Sistemas de forças concorrentes num ponto 
Se as linhas de ação das todas as forças concorrem no mesmo ponto , o sistema é equivalente a uma única força resultante que passa por e coincide com o eixo central. 
Se o vetor , o sistema está em equilíbrio. 
Para calcular o momento do sistema em qualquer ponto diferente de aplica-se o teorema de Varignon. 
Equivalência a zero: . 
Sistemas de forças complanares 
Se as forças atuarem todas no mesmo plano (), o sistema se reduz a um vetor único contido no mesmo plano. Se o ponto não pertence ao eixo central . 
Se o vetor , o sistema está em equilíbrio ou reduz a um binário. Caso contrário o sistema admite eixo central contido no plano das forças. 
A equação do eixo central obtém-se aplicando o teorema de Varignon. 
Equivalência a zero: Um sistema de forças complanares está em equilíbrio se verificarem uma das três condições: 
Têm elementos nulos em relação a um ponto qualquer no plano das forças ( ). 
o momento resultante em relação a três pontos (,,) não colineares no plano é nulo: . 
o momento resultante em relação a dois pontos (,) e em relação a um eixo não perpendicular ao linha é nulo: e . Sistemas de forças paralelas 
Se os vetores todos são paralelos com a mesma direção (), em que a força resultante o sistema se reduz a um vector único paralela com a mesma direção. 
Se o vetor , o sistema está em equilíbrio ou re reduz a um binário. Caso contrário o sistema admite eixo central. A equação do eixo central obtém-se aplicando o teorema de Varignon. 
Equivalência a zero: elementos nulos em relação a um ponto qualquer no plano das forças ( ). 
Sistemas de vetores distribuídos 
A aplicação de uma carga sobre um corpo em geral faz-se através de certa superfície de contacto e segundo uma equação. As cargas podem ser distribuídas em superfície (e.g. pressão hidrostática exercido por um liquido sobre a superfície de um corpo mergulhado nele) ou distribuídas por volume (e.g. peso dos vários pontos) ou ainda forças distribuídas em linha. 
Interesse agora substituir um sistema de forças distribuídas por um outro sistema mais simples sem alterar o seu efeito. 
Para calcular os elementos de redução de um sistema de forças distribuídas relativamente a um ponto, usam-se os procedimentos descritos para a redução de sistemas em caso geral, substituindo a operação de soma por integrais das cargas elementares atuantes em grandezas elementares. 
Casos de distribuição numa superfície 
A intensidade da carga elementar é obtida conhecendo densidade da carga e a superfície elementar sobre qual atua em função das coordenadas do ponto em causa: 
Os elementos da redução relativamente ao ponto qualquer são: 
Carga distribuída numa linha 
Um caso de maior freqüência é o caso de cargas paralelas distribuídas numa linha. 
	
	
	Os elementos de redução em são: 
A posição do eixo central obtém-se aplicando o teorema de Varignon: 
Na Tabela 3.2 apresentam-se alguns exemplos de sistemas de forças paralelas distribuídas em linha. 
	Tabela 3.2: Exemplos de sistemas de forças paralelas distribuídas: força resultante e posição do eixo central 
	Sistema
	
	
	
	
	, 
	
	
	, 
	
	
	, 
	
	
	, 
Exemplos de redução de sistemas que admitem eixo central 
Problema 3.16   Para o sistema representado na figura em que , e , determine: os elementos de redução em ea equação do eixo central. 
Resolução 
a) Expressão analítica das forças: 
b) Para a equação do eixo central aplica-se o teorema de Varignon. 
A equação do eixo central resulta: 
O eixo central intersecta os eixos coordenados e nos pontos e , respectivamente, de coordenadas e . 
Problema 3.17   Substituía o sistema dado por uma única força aplicada num ponto que fica sobre a linha . Determine a posição do ponto de aplicação desta força. 
Resolução 
Se o ponto for um ponto de linha situado a uma distância do ponto . 
O ponto pertence ao eixo central, é possível aplicar o teorema de Varignon para calcular o momento em 
Problema 3.18   Para o sistema representado na figura e , determine os elementos de redução da forma . Indique os pontos onde a linha da resultante intersecta as linhas e . 
Resolução: Os elementos da redução em �� INCLUDEPICTURE "http://www.dec.fct.unl.pt/seccoes/S_Estruturas/docentes/ildi/EST04/Aulas/img491.png" \* MERGEFORMATINET são: 
Como o sistema admite eixo central e sendo o sistema se reduz a uma única força resultante atuantes no eixo central. Se o ponto for um ponto no eixo central , podemos aplicar o teorema de Varignon. 
A equação do eixo central é: 
o que intersecta a eixo no ponto e o eixo (linha ) no ponto . Da equação do eixo central obtêm-se as coordenadas do ponto de intersecção () do eixo central com a linha , 
Estática da Partícula 
Alguns problemas reais podem ser resolvidos estudando a partícula, sempre que se verificam as condições de aplicação do equilíbrio da partícula, isto é as forças atuantes são concorrentes num ponto. 
Conceitos: 
Forças concorrentes (forças externas - aplicadas e/ou transmitidas através de cabos, correias, correntes etc. - forças resultantes de contacto direto entre os corpos e forças resultantes de interação dos corpos a distância - ex. forças gravíticas); 
Equilíbrio estático: - a velocidade de um objeto é igual a zero ou é constante; 
1ºa Lei de Newton: - se a resultante das forças que atuam numa partícula é nula - a partícula permanece em repouso ou move-se com velocidade constate segunda uma reta. 
Equilíbrio da partícula 
Uma partícula livre está em equilíbrio se o sistema de forças atuantes (externas aplicadas, gravíticas e reativas) se reduz os elementos nulos. 
O sistema de forças corresponde ao caso particular: de sistema de forças cor correntes num ponto que representa a partícula. 
A condição de equilíbrio (vetorial) é: 
As condições de equilíbrio podem ser expressas analiticamente: 
Espaço: 
	
	(4.1)
As equações (4.1) permitem determinar até três incógnitas. 
Plano - particularização do caso 3D: sistemas de forças concorrentes coplanares, Seção��). 
	
	(4.2)
As equações (4.2) permitem determinar até duas incógnitas. 
Na realidade, de modo geral, a partícula não se encontra livre e para resolver os problemas é necessário substituir as ligações por os seus correspondentes físicos (forças) de modo a obter um esquema de partícula livre sob acções, chamado diagrama de corpo livre - DCL. 
Exemplos de forças transmitidas através de cabos, correias, correntes, etc., sem atrito, molas ou contacto direto entre corpos: 
Forças transmitidas através de: 
Cabos, correias sem atrito, (Figura e ), sistemas de roldanas sem atrito - podem ser solicitadas a tração e a força que atua neles é constante (Figura ) 
Molas: resistem a tração e a compressão e a força é dada pelo , onde representa a deformação da mola (Figura ) 
Superfície lisa (sem atrito): força tem a direção normal a superfícies em contacto (Figura ) 
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