Vetores: Representação e Operações

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Vetores
APRESENTAÇÃO
Alternando entre a representação gráfica de vetores e seus termos de componentes, é possível 
adquirir maior flexibilidade na hora de resolver problemas que envolvam algum aspecto 
geométrico.
Nesta Unidade de Aprendizagem você vai estudar os vetores: representações matemáticas 
indispensáveis para a descrição espacial de objetos. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Representar vetores no plano e analisar seus componentes;•
Realizar operações envolvendo vetores, seus principais métodos de determinação e suas 
aplicações;
•
Calcular comprimentos e ângulos entre vetores.•
DESAFIO
Formigas são notáveis pela sua capacidade de localização espacial e domínio da orientação na 
qual se deslocam. Suponha que uma formiga sai de seu formigueiro e movimenta-se a 5000 
passos no sentido nordeste, fazendo um ângulo de 27o com a direção leste-oeste. Depois ela 
segue para o leste, deslocando-se por mais 1700 passos e em seguida para o sul por 2500 passos.
Caso a formiga resolva retornar ao formigueiro na sequência destes deslocamentos, qual a 
quantidade mínima aproximada de passos que ela deve andar e em qual ângulo ela deve se 
orientar a partir da direção leste-oeste?
INFOGRÁFICO
Veja no Infográfico as principais formas de calcular operações com vetores e suas principais 
diferenças com escalares.
 
CONTEÚDO DO LIVRO
Trabalhar com a representação cartesiana de vetores, utilizando um sistema de coordenadas, 
permite que se aborde de forma padronizada os problemas de geometria espacial que aparecem 
na física. Acompanhe um trecho do livro "Física para Universitários: Mecânica" que servirá 
como base teórica para esta Unidade de Aprendizagem.
Bons estudos!
Wolfgang Bauer
Gary D. Westfall
Helio Dias
Fí
si
ca
MECÂNICA
pa
ra
 U
n
iv
er
si
tá
ri
o
s
B344f Bauer, Wolfgang.
 Física para universitários [recurso eletrônico] : mecânica /
 Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall, Helio Dias ; tradução: Iuri
 Duquia Abreu, Manuel Almeida Andrade Neto ; revisão técnica:
 Helio Dias. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : AMGH, 2012.
 Editado também como livro impresso em 2012.
 ISBN 978-85-8055-095-5
 1. Física. 2. Mecânica. I. Westfall, Gary D. II. Dias, Helio.
 III. Título. 
CDU 531
Catalogação na publicação: Fernanda B. Handke dos Santos – CRB 10/2107
Capítulo 1 Visão Geral 23
1.6 Vetores
Vetores são descrições matemáticas de grandezas que têm módulo, direção e sentido. O mó-
dulo de um vetor é um número não negativo, geralmente combinado com uma unidade física. 
Muitas grandezas vetoriais são importantes em física e, de fato, em todas as ciências. Portanto, 
antes de começarmos este estudo de física, você precisa se familiarizar com vetores e algumas 
operações vetoriais básicas.
Os vetores têm um ponto de partid a e um ponto de chegada. Por exemplo, considere uma 
viagem de avião de Seattle a Nova York. Para representar a mudança da posição do avião, pode-
mos desenhar uma seta do ponto de partida até o destino (Figura 1.12). (Trajetos de voos reais 
não são exatamente linhas retas porque a Terra é uma esfera e por causa das restrições aeroes-
paciais e regulamentações de tráfego aéreo, mas uma linha reta é uma aproximação razoável 
para nosso propósito.) Essa seta representa um vetor deslocamento, que sempre vai de algum 
lugar para outro. Qualquer grandeza vetorial tem módulo, d ireção e sentido. Se o vetor repre-
senta uma grandeza física, como o deslocamento, ele também terá uma unidade física. Uma 
grandeza que pode ser representada sem dar um sentido e direção é chamada de escalar. Uma 
grandeza escalar s ó tem módulo e possivelmente uma unidade física. Exemplos de grandezas 
escalares são tempo e temperatura.
24 Física para Universitários: Mecânica
Este livro denota uma grandeza vetorial por uma letra com uma pequena seta horizontal 
acima dela apontando para a direita. Por exemplo, no desenho da viagem de Seattle a Nova 
York (Figura 1.12), o vetor deslocamento tem o símbolo C. No restante desta seção, você apren-
derá a trabalhar com vetores: como somar e subtrair vetores e como multiplicá-los com escala-
res. Para realizar essas operações, é bastante útil introduzir um sistema de coordenadas para 
representar os vetores.
Sistema de coordenadas cartesianas
Um sistema de coordenadas cartesianas é definido como um conjunto de dois ou mais ei-
xos com ângulos de 90° entre cada par. Diz-se que esses eixos são ortogonais entre si. Em um 
espaço bidimensional, os eixos de coordenadas são geralmente chamados de x e y. Podemos, 
então, especificar de forma exclusiva qualquer ponto P no espaço bidimensional dando suas 
coordenadas Px e Py ao longo dos dois eixos das coordenadas, conforme mostrado na Figura 
1.13. Usaremos a notação (Px, Py) para especificar um ponto em termos de suas coordenadas. 
Na Figura 1.13, por exemplo, o ponto P tem a posição (3,3, 3,8), porque sua coordenada x tem 
valor de 3,3 e sua coordenada y tem valor de 3,8. Observe que cada coordenada é um número e 
pode ter valor positivo ou negativo ou ser zero.
Também podemos definir um sistema de coordenadas unidimensional, para o qual qual-
quer ponto está localizado em uma única linha reta, convencionalmente chamada de eixo x. 
Qualquer ponto nesse espaço unidimensional é, então, exclusivamente definido pela especifi-
cação de um número, o valor da coordenada x, que novamente pode ser negativo, zero ou po-
sitivo (Figura 1.14). O ponto P na Figura 1.14 tem a coordenada x Px = –2,5.
É evidente que é fácil desenhar sistemas de coordenadas uni e bidimensional, pois a super-
fície do papel tem duas dimensões. Em um sistema de coordenadas tridimensional, o terceiro 
eixo de coordenadas teria que ser perpendicular aos outros dois e, portanto, teria que se pro-
jetar para fora do plano da página. Para desenhar um sistema de coordenadas tridimensional, 
precisamos nos basear em convenções que fazem uso das técnicas de desenho perspectivo. 
Representamos o terceiro eixo por uma linha que está a um ângulo de 45° em relação às outras 
duas (Figura 1.15).
Em um espaço tridimensional, temos que especificar três números para determinar com 
exclusividade as coordenadas de um ponto. Usamos a notação P = (Px, Py, Pz) para fazer isso. 
É possível construir sistemas de coordenadas cartesianas com mais de três eixos ortogonais, 
embora seja quase impossível visualizá-los. Teorias de cordas modernas por exemplo, são ge-
ralmente construídas em espaços com dez dimensões. Porém, para os propósitos deste livro e 
para quase toda a física, três dimensões são suficientes. Para falar a verdade, para a maioria das 
aplicações, a matemática essencial e a compreensão física podem ser obtidas com representa-
ções bidimensionais.
x
y
�4
P � (Px , Py)
Px
Py
�2
�2
2
4
�4
2 4
Figura 1.13 Representação de um 
ponto P no espaço bidimensional em 
termos de suas coordenadas carte-
sianas.
x
�4
Px
�2 20 4
Figura 1.14 Representação de um pon-
to P em um sistema de coordenadas car-
tesianas unidimensional.
Nova York
C
Seattle
Figura 1.12 Plano de voo de Seattle a Nova York como exemplo de um vetor.
x
z
y
�4
P � (Px, Py, Pz)
Px
P Py
4
�4
�4
4
4
Pz
Figura 1.15 Representação de um 
ponto P em um espaço tridimensio-
nal em termos de suas coordenadas 
cartesianas.
Capítulo 1 Visão Geral 25
Representação cartesiana de vetores
O exemplo da viagem de Seattle a Nova York estabeleceu que vetores são caracterizados por 
dois pontos: começo e fim, representados pelas extremidades de uma seta. Usando a repre-
sentação cartesiana de pontos, podemos definir a representação cartesiana de um vetor deslo-
camento como a diferença nas coordenadas da ponta de término e a ponta de início. Como a 
diferença entre os dois pontos para um vetor é tudo que importa, podemos deslocar o vetor no 
espaço da forma que quisermos. Contanto que o comprimento e a direção da seta não sejam 
alterados, o vetor permanece o mesmoem termos matemáticos. Considere os dois vetores na 
Figura 1.16.
A Figura 1.16a mostra o vetor deslocamento que aponta do ponto P = (–2, –3) para o 
ponto Q = (3,1). Com a notação que acabamos de introduzir, as componentes de são as coor-
denadas do ponto Q menos as do ponto P, = (3–(–2),1–(–3)) = (5, 4). A Figura 1.16b mostra 
outro vetor do ponto R = (–3, –1) ao ponto S = (2, 3). A diferença entre essas coordenadas é 
(2–(–3),3–(–1) = (5, 4), que é a mesma do vetor apontando de P para Q.
Por questão de simplicidade, podemos mudar o início de um vetor para a origem do sis-
tema de coordenadas, e as componentes do vetor serão iguais às coordenadas de sua ponta 
(Figura 1.17). Como resultado, vemos que é possível representar um vetor em coordenadas 
cartesianas como
 = no espaço bidimensional (1.7)
 no espaço tridimensional (1.8)
onde Ax, Ay e Az são números. Observe que a notação para um ponto em coordenadas cartesia-
nas é semelhante à notação para um vetor em coordenadas cartesianas. Saberemos se a notação 
especifica um ponto ou um vetor pelo contexto da referência.
Adição e subtração de vetores gráficos
Suponha que o voo direto de Seattle a Nova York mostrado na Figura 1.12 não estivesse dis-
ponível, e você tivesse que fazer uma conexão em Dallas (Figura 1.18). Neste caso, o vetor 
deslocamento para a viagem de Seattle a Nova York é a soma de um vetor deslocamento de 
Seattle a Dallas e um vetor deslocamento de Dallas a Nova York:
 (1.9)
Esse exemplo mostra o procedimento geral para adição de vetores de forma gráfica: mova o 
início do vetor para a ponta do vetor ; o vetor do início do vetor para a ponta do vetor é 
o vetor de adição, ou resultante, dos dois.
Se você somar dois números reais, a ordem não importa: 3 + 5 = 5 + 3. Essa propriedade 
é chamada de propriedade comutativa da adição. A adição de vetores também é comutativa:
 (1.10)
A Figura 1.19 demonstra essa propriedade comutativa da adição de vetores de forma gráfi-
ca. Ela mostra os mesmos vetores da Figura 1.18, mas também o início do vetor movido 
para a ponta do vetor (setas pontilhadas) – observe que o vetor resultante é o mesmo que 
antes.
A seguir, o vetor contrário (ou reverso ou negat i vo), , do vetor é um vetor com o 
mesmo comprimento que , mas apontando no sentido oposto (Figura 1.20). Para o vetor que 
representa o voo de Seattle a Nova York, por exemplo, o vetor contrário é a viagem de volta. É 
evidente que, se você adicionar e seu vetor contrário, , acabará na ponta de onde começou. 
Assim, encontramos
 (1.11)
e o módulo é zero, . Essa identid a de aparentemente simples mostra que podemos 
tratar a subtração de vetores da mesma forma que a sua adição, simplesmente somando o vetor 
contrário. Por exemplo, os vetores na Figura 1.19 podem ser obtidos como . Por-
tanto, a adição e a subtração de vetores seguem exatamente as mesmas regras que a adição e 
subtração de números reais.
A
x
y
�4 �2
�2
2
4
�4
2 4
Ay
Ax
Figura 1.17 Componentes cartesia-
nas do vetor em duas dimensões.
(a)
(b)
A
y
�4
P
Q
�2
�2
2
4
�4
2 4
x
x
y
�4 �2
�2
2
4
�4
2 4
S
R
A
Figura 1.16 Representações carte-
sianas de um vetor . (a) Vetor deslo-
camento de P a Q; (b) vetor desloca-
mento de R a S.
26 Física para Universitários: Mecânica
Adição de vetores usando componentes
A adição de vetores gráficos ilustra os conceitos muito bem, mas para propósitos práticos, o 
método de adição de vetores por meio de suas componentes é bem mais útil. (Isso acontece 
porque as calculadoras são mais fáceis de usar e muito mais precisas do que regras e papel mi-
limetrado.) Vamos considerar o método das componentes para adição de vetores tridimensio-
nais. As equações para vetores bidimensionais são casos especiais que surgem ao desprezarmos 
as componentes z. Da mesma forma, a equ a ção unidimensional pode ser obtida desprezando 
todas as componentes y e z.
Se adicionarmos dois vetores tridimensionais, = (Ax, Ay, Az) e = (Bx, By, Bz), o vetor 
resultante é
 = + = (Ax, Ay, Az) + (Bx, By, Bz) = (Ax + Bx, Ay + By, Az + Bz). (1.12)
Em outras palavras, as componentes do vetor de adição são os vetores individuais:
 
(1.13)
A relação entre os métodos gráfico e das componentes está ilustrada na Figura 1.21. A Fi-
gura 1.21a mostra dois vetores = (4, 2) e = (3, 4) no espaço bidimensional, e a Figura 1.21b 
exibe seu vetor de adição = (4 + 3.2 + 4) = (7,6). A Figura 1.21b mostra nitidamente que Cx 
= Ax + Bx, porque o todo é igual à soma de suas partes.
Da mesma forma, podemos usar a diferença , e as componentes cartesianas do 
vetor de diferença são dados por
 
(1.14)
Nova York
C
Seattle
Dallas
A
B
Figura 1.18 Voo direto e voo com escala como exemplo de adição de vetores.
B
B
A
A
C
Figura 1.19 Propriedade comutativa 
da adição de vetores.
C
�C
Figura 1.20 Vetor contrário de 
um vetor .
Figura 1.21 Adição de vetores usan-
do componentes. (a) Componentes 
de vetores e ; (b) as componentes 
do vetor resultante são as somas das 
componentes dos vetores individuais. (a)
x
y
�2
�2
2
4
6
2 4 6 8
A
B
(b)
x
y
�2
�2
2
4
6
2 4 6 8
A
BC
AyAy
By
By
Cy
Cx
Ax
Ax
Bx
Bx
Capítulo 1 Visão Geral 27
Multiplicação de um vetor com um escalar
O que é ? Se a sua resposta a essa pergunta é 3 , você já compreende a multiplicação 
de um vetor com um escalar. O vetor que resulta da multiplicação do vetor com o escalar três 
é um vetor que aponta na mesma orientação que o vetor original , mas é três vezes mais longo.
A multiplicação de um vetor com um escalar positivo arbitrário – ou seja, um número 
positivo – resulta em outro vetor que aponta na mesma orientação, mas com módulo que é 
o produto do módulo do vetor original e o valor do escalar. A multiplicação de um vetor por 
um escalar negativo resulta em um vetor que aponta na orientação oposta ao original com um 
módulo que é o produto do módulo do vetor original e o módulo do escalar.
Novamente, a notação das componentes é útil. Para a multiplicação de um vetor com 
um escalar s, obtemos:
 = s = s(Ax, Ay, Az) = (sAx, sAy, sAz ). (1.15)
Em outras palavras, cada componente do vetor é multiplicada pelo escalar para chegar às 
componentes do vetor de produto:
 
(1.16)
Vetores unitários
Existe um conjunto de vetores especiais que facilita grande parte da matemática associada a 
vetores. Chamados de vetores unitários, eles são vetores de módulo 1 dirigidos ao longo dos 
principais eixos de coordenadas do sistema de coordenadas. Em duas dimensões, esses vetores 
apontam na orientação x positiva e na orientação y positiva. Em três dimensões, um terceiro 
vetor unitário aponta na orientação z positiva. Para distingui-l os como vetores unitários, da-
mos a eles os símbolos , e . Sua representações de componentes é
 
(1.17)
A Figura 1.22a mostra os vetores unitários em duas dimensões, e a Figura 1.22b os mostra em 
três dimensões.
Qual é a vantagem dos vetores unitários? Podemos representar qualquer vetor como uma 
soma desses vetores unitários, em vez de usar a notação de componentes; cada vetor unitário é 
multiplicado pelo componente cartesiano correspondente do vetor:
 
(1.18)
Em duas dimensões, temos
 (1.19)
Essa representação de vetor unitário de um vetor geral será especialmente útil mais adiante 
neste livro para multiplicar dois vetores.
Comprimento e orientação de vetores
Se soubermos a representação de componentes de um vetor, como podemos encontrar seu com-
primento (módulo) e a orientação em que está apontando? Vamos analisar o caso mais importante: 
um vetor em duas dimensões. Em duas dimensões, um vetor pode ser especificado exclusiva-
mente dando as duas componentes cartesianas, Ax e Ay. Também podemos especificar o mesmo ve-
tor dando outros dois números: seu comprimento A e seu ângulo � com relação ao eixo x positivo.
Vamos dar uma olhada na Figura 1.23 para ver como podemos determinar A e � a partir de 
Ax e Ay. A Figura 1.23a mostra o resultado da equação1.19 em representação gráfica. O vetor 
(a)
x
y
A Ay ŷ
Ax x̂
�
(b)
A Ay
Ax
�
Figura 1.23 Comprimento e orien-
tação de um vetor. (a) Componentes 
cartesianas Ax e Ay; (b) comprimento 
A e ângulo �.
(a)
(b)
x
y
�1 �0,5
�0,5
0,5
�1
0,5 1
x
y
�1
1
1
�1
�1
1
1
z
ẑ
ŷ
ŷ
x̂
x̂
Figura 1.22 Vetores unitários car-
tesianos em (a) duas e (b) três di-
mensões.
28 Física para Universitários: Mecânica
é a soma dos vetores e . Como os vetores unitários e são, por definição, ortogonais 
entre si, esses vetores formam um ângulo de 90°. Assim, os três vetores , e formam um 
triângulo retângulo com comprimentos laterais A, Ax e Ay, conforme mostrado na Figura 1.23b.
Agora podemos aplicar trigonometria básica para encontrar � e A. Usando o teorema de 
Pitágoras, o resultado é
(1.20)
Podemos encontrar o ângulo � a partir da definição da função tangente
(1.21)
Ao usar a equação 1.2 1 , é preciso tomar cuidado para que � esteja no quadrante correto. Tam-
bém podemos inverter as equações 1.20 e 1.21 para obter as componentes cartesianas de um 
vetor de determinado comprimento e orientação:
Ax = A cos � (1.22)
Ay = A sen �. (1.23)
Você encontrará essas relações trigonométricas várias vezes durante as aulas de introdução à 
física. Se precisar relembrar os conceitos de trigonometria, consulte o manual de matemática 
incluído no Apêndice A.
Para qual quadrante cada um dos 
seguintes vetores apontam?
x
y
Quadrante I
0° � � � 90°
Quadrante II
90° � � � 180°
Quadrante III
180° � � � 270°
Quadrante IV
270° � � � 360°
a) A = (Ax, Ay) com
Ax = 1,5 cm, Ay = –1,0 cm
b) um vetor de comprimento
2,3 cm e ângulo de 131°
c) o vetor contrário de
B = (0,5 cm, 1,0 cm)
d) a soma dos vetores unitários
nas direções x e y
1.4 Exercícios
de sala de aula
■ Números pequenos e grandes podem ser representados usan-
do a notação científica, que consiste em uma mantissa e uma 
potência de dez.
■ Os sistemas físicos são descritos pelo sistema de unidades do 
SI. Essas unidades são baseadas em padrões reproduzíveis e 
oferecem métodos convenientes de escalonamento e cálculo. 
As unidades de base do sistema do SI incluem metro (m), 
quilograma (kg), segundo (s) e ampere (A).
■ Os sistemas físicos apresentam uma ampla variação de tama-
nhos, massas e escalas de tempo, mas as mesmas leis físicas 
governam todos eles.
■ Um número (com um número específico de algarismos signi-
ficativos) ou um conjunto de números (como os componen-
tes de um vetor) devem ser combinados com unidades para 
descrever grandezas físicas.
■ Vetores em três dimensões podem ser especificados por suas 
três componentes cartesianas, = (Ax, Ay, Az). Cada uma 
dessas componentes cartesianas é um número.
■ Os vetores podem ser adicionados ou subtraídos. Em compo-
nentes cartesianos,
■ A multiplicação de um vetor com um escalar resulta em ou-
tro vetor na mesma orientação ou em orientação oposta, mas 
com módulo diferente, = s = s(Ax, Ay, Az) = (sAx, sAy, sAz).
■ Vetores unitários são vetores de comprimento 1. Os vetores 
unitários no sistema de coordenadas cartesianas são denota-
dos por , e .
■ O comprimento e a orientação de um vetor bidimensional 
podem ser determinados a partir de suas componentes carte-
sianas: e .
■ As componentes cartesianas de um vetor bidimensional po-
dem ser calculadas tendo por base o comprimento e o ângulo 
do vetor com relação ao eixo x: Ax = A cos � e Ay = Asen �.
O Q U E JÁ A P R E N D E M O S | G U I A D E E S T U D O PA R A E X E R C Í C I O S
algarismos significativos,
p. 10
componentes, p. 25
esca l ar, p. 23
metrologia, p. 14
notação científica, p. 9
resultante, p. 25
sistema de coordenadas 
cartesianas, p. 24
sistema de unidades SI, p.11
vetores, p. 23
vetores unitários, p. 27
T E R M O S - C H AV E
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
DICA DO PROFESSOR
Na Dica do Professor são apresentados os conceitos fundamentais sobre vetores: importância, 
operações matemáticas, representação e utilização.
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EXERCÍCIOS
1) 
Considere os vetores 
Assinale a alternativa que informa a ordem correta entre as quantidades
 
A) N3 = N2 < N1
B) N2 < N3 < N1
C) N2 < N1 = N3
D) N1 < N2 < N3
E) N2 = N3 = N1
2) 
Considere os vetores 
 
Assinale a alternativa que informa a ordem correta entre as quantidades 
A) M1 < M3 < M2
B) M2 = M3 < M1
C) M1 < M2 < M3
D) M2 < M1 = M3
E) M1 = M3 = M2
Considere os vetores indicados na figura, com módulos dados por: A = 50, B = 40, C = 16,7 
e D = 60. Calcule a componente x do vetor soma 
3) 
 
 
A) -4,8
B) 144,86
C) 17,38
D) 48,66
E) -2,38
4) Considere os vetores indicados na figura, com módulos dados por: A = 50, B = 40, C = 16,7 
e D = 60. Calcule o comprimento do vetor 
 
 
A) -0,12
B) 65,4
C) 87,84
D) 53,22
E) 107,6
5) Considere os vetores indicados na figura, com módulos dados por: A = 50, B = 40, C = 16,7 
e D = 60. Calcule o ângulo que o vetor faz com o eixo x.
 
A) - 2,33o
B) -78,92o
C) -87,67o
D) 78,92o
E) 87,67o
NA PRÁTICA
Existem diversas aplicações de operações com vetores na análise de composição de 
movimentos.
Como exemplo, considere o movimento da chuva quando se está parado em alguma região sem 
vento e quando se está dentro de um carro em movimento. No primeiro caso, a chuva cai 
verticalmente. No segundo, um ângulo pode ser observado entre a trajetória das gotas e o plano 
horizontal. A tangente desse ângulo indica a razão entre as velocidades do carro e de cada gota. 
Assim, a partir da medida da inclinação da chuva, θ e da observação da velocidade do carro vc, 
se obtém a velocidade com a qual as gotas caem:
Essa informação não seria obtida facilmente na situação em que não há movimento. O motivo 
pelo qual introduzir a movimentação do carro permitiu a realização da conta é porque estamos 
tratando o movimento resultante da água através de um vetor soma entre o movimento da chuva 
e do carro.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Veja mais exemplos sobre vetores e escalares neste breve vídeo:
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Veja outros exemplos no capítulo 3 "Vetores e Sistemas de Coordenadas" do livro "Física: 
Uma Abordagem Estratégica"