Funções Trigonométricas na Engenharia

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Engenharias
Matemática Instrumental
1º/2º semestre
Profª Ma. Mariana da Silva Nogueira Ribeiro
TA 2
Funções trigonométricas
Resumo
:Unidade de Ensino 2
Competência da 
:Unidade de Ensino
Conhecer e ser capaz de desenvolver e interpretar funções 
trigonométricas, além de identificar suas aplicações na área 
de Engenharia.
:Resumo
Conhecer o triângulo retângulo e suas relações. 
Aplicar as relações trigonométricas a estruturas e situações-
problema; compreender a descrição de fenômenos pela 
associação destes com as funções trigonométricas; estudar 
funções trigonométricas que se aplicam, principalmente, 
a fenômenos cíclicos, ou seja, repetitivos, como ondas, 
pêndulos e movimentos rotacionais.
Palavras- :chave
Funções trigonométricas;
triângulo retângulo.
Título da teleaula: Funções trigonométricas
Teleaula nº: 2
Convite ao estudo
Por que estudar funções trigonométricas?
� A trigonometria nasceu da necessidade 
de se resolver problemas cotidianos, 
desde então, desenvolve-se formas de 
calcular o movimento dos corpos 
celestes, mapear os mares, projetar 
construções etc.
� Triângulos semelhantes permitem 
calcular distâncias inacessíveis, como 
altura de torres ou pirâmides, 
distância entre duas ilhas, raio da terra, 
largura de rios etc.
Convite ao estudo
� Na Engenharia, a 
trigonometria éusada para 
construir estruturas, 
sistemas, desenhar pontes e 
solucionar problemas 
científicos. 
� Por meio de um triângulo, 
pode-se calcular distâncias 
inacessíveis, como a altura 
de uma torre ou de uma 
pirâmide, a distância entre 
duas ilhas, o raio da terra, a 
largura de um rio etc.
VA Caminho de Aprendizagem
Conhecimentos prévios
CONCEITOS DEFINIÇÃO
Catetos
São os dois lados menores do triângulo retângulo, 
o maior deles é a hipotenusa.
Hipotenusa
É lado mais longo de um triângulo retângulo, sendo 
oposto ao ângulo reto.
Triângulo 
retângulo
Possui um ângulo reto e outros dois ângulos agudos, 
para tanto, basta que tenha um ângulo reto (90°), 
pois a soma dos três ângulos internos é igual a um 
ângulo raso (180°).
Três amigos (Seno, Cosseno e Tangente) 
abriram uma empresa, a SABC, propondo a 
instalação de painéis solares, sistemas de 
arrefecimento e a otimização do sistema 
hidráulico de construções.
� Estimar o tamanho das placas solares.
� Projetar as estruturas baseadas no 
tamanho das portas das casas. 
� Sugerir uma forma eficiente de bloquear 
os raios solares.
� Economizar materiais na construção do 
sistema hidráulico.
Pensando a aula:
situação geradora de aprendizagem
Pensando a aula:
situação geradora de aprendizagem
Situações- :problema
� Eliminar a entrada direta da luz solar pelas janelas e 
portas das casas.
� Calcular o comprimento de painel solar instalado no 
telhado de uma casa na região sudeste.
� Definir que cotovelo utilizar nos encanamentos.
Calcular a economia de energia usando as 
Lâmpadas de Moser.
Cápsula 1 “Iniciando o estudo”
A luz solar entra pela janela das casas e aquece 
seu interior, o que é bom no inverno; mas, no 
verão, esse aquecimento pode ser excessivo e 
incômodo. 
Situação-Problema 1
Experimentos mostraram que os raios solares de 
alta intensidade 
(que devem ser bloqueados) ocorrem quando é
formada uma sombra com proporção de 5 para 12 
em um objeto 
colocado na vertical, contra o Sol.
� Como fazer para que, de forma simples 
e barata, só entre luz direta 
nas casas no inverno, sem 
precisar fechar as janelas, 
ou mesmo as cortinas, 
no verão? 
Situação-Problema 1
Triângulos:
� Figuras com três lados.
� Classificados com relação àmedida de seus 
ângulos internos.
Problematizando a Situação-Problema 1
Nomenclaturas:
Teorema de Pitá :goras
Útil para calcular a retângulo, sabendo os outros dois lados.
Em um triângulo retângulo, a soma 
dos quadrados dos catetos é igual 
ao quadrado da hipotenusa:
Resolvendo a Situação-Problema 1
a² + b² = h²
Resolvendo a Situação-Problema 1
Proporção entre a medida da sombra e a altura de um objeto colocado 
ao Sol no início do período de irradiaçã = /o mais intensa 5 12.
Pode ser utilizada na construção de toldos ou outros anteparos 
para bloquear este tipo de irradiação.
Como eliminar a entrada direta da luz solar pelas janelas e 
portas das casas, evitando sobreaquecimento no verão, 
mas sem impedir a entrada da luz no inverno?
Resolvendo a Situação-Problema 1
:Por exemplo
� Para uma veneziana com 1 m de altura, qual deve ser o 
tamanho de um
toldo para que ele seja fixado 30 cm acima dela?
Cápsula 2 “Participando da aula”
Situação-Problema 2
O Seno deve resolver o problema:
� Painéis solares podem ser feitos com forro de PVC, 
além disso, precisam estar inclinados entre 15 e 25 
graus, pois devem ter inclinação similar à latitude 
local e estar voltados para o norte geográfico.
Situação-Problema 2
Qual deve ser o comprimento de um painel solar 
instalado no telhado de uma casa na região sudeste?
� Sua inclinação acompanha a do telhado da casa e 
sua parte mais alta deve estar no máximo 20 cm 
acima do pisa da caixa d’água.
� Considerar um telhado com inclinação padrão de 
35% (≅ 20º).
� Considerar que o painel solar 
tem sua parte mais alta a meia 
altura da caixa d’água, que tem 
40 cm de altura.
Triângulo retângulo:
� A soma de seus ângulos internos é 180°.
� Denominações para os ângulos:
� A soma dos dois ângulos agudos ésempre 90°:
� Valor de um dos ângulos agudos 
= 90°-o valor do outro ângulo
agudo:
Problematizando a Situação-Problema 2
Relações trigonométricas:
Problematizando a Situação-Problema 2
Triângulo retângulo:
� Valores de seno e cosseno para os ângulos 
notáveis:
Problematizando a situação-problema 2
0° 30° 45° 60° 90°
0 1
1 1
Resolvendo a Situação-Problema 2
Telhado com 
inclinação padrão 
de 35% (20°).
Caixa d’água fica 
a 20 cm acima 
do piso da laje.
Distância entre a parte mais baixa do
=painel solar e sua parte alta 40 cm 
(20 cm da laje até a base da caixa
+ 20 cm até o ponto de retorno da água).
40 cm 
Qual deve ser o comprimento de um painel solar, instalado em 
um telhado de uma casa na região sudeste, se sua inclinação 
acompanha a do telhado e sua parte mais alta deve estar, no 
máximo, 20 cm acima do piso da caixa d’água? 
Resolvendo a Situação-Problema 2
Hipotenusa = ?
Ângulo agudo = 20°
Altura = 40 cm
Aplicar função seno:
Esquema simplificado do painel solar:
Cápsula 3 “Participando da aula”
Os sócios da SABC querem empregar os conceitos de 
trigonometria para reduzir o uso de materiais na 
instalação hidráulica de uma casa.
Normalmente, são usadas tubulações retilíneas e de 
cotovelos de 45° e 90° para fazer as curvas. 
Situação-Problema 3
A ideia dos sócios é evitar os ziguezagues, fazendo 
ligações em linha reta de um ponto mais alto com 
um mais baixo, na diagonal. 
Devem ser utilizados cotovelos com ângulos de 15°, 
30°, 60° ou 90°. Como definir qual cotovelo utilizar? 
Nesta caso, qual é a economia na metragem de 
encanamento?
Problematizando a Situação-Problema 3
Tangente
Problematizando a Situação-Problema 3
Relações Trigonométricas
Problematizando a Situação-Problema 3
Como definir qual cotovelo utilizar?
� Para os sócios da SABC, a tangente é útil para 
determinar as peças que serão utilizadas no 
projeto hidráulico de uma residência.
Resolvendo a Situação-Problema 3
Para definir ângulo é preciso:
Resolvendo a Situação-Problema 3
Representação de uma parede lateral de um banheiro, 
mostrando duas possibilidades de ligação hidráulica 
entre a saída da caixa d’águae a torneira da pia:
Resolvendo a Situação-Problema 3
Tangente do ângulo agudo:
Cotovelos 
de 30o
ou 60o
Ângulo agudo:
Qual é a economia em tubulação?
Resolvendo a Situação-Problema 3
Descobrir o 
comprimento do 
tubo na diagonal
Teorema de 
Pitágoras
Economia de mais ou 
menos 1 m de tubulação 
(25% de material).
Economia em tubulação
Cápsula 4 “Participando da aula”
Os sócios desejam saber qual 
é a economia de energia 
elétrica na iluminação de um 
galpão no qual são usadas 10 
lâmpadas de mercúrio 
de 200 W cada, sendo que, 
durante o dia, são usadas 
lâmpadas de Moser, que 
geram iluminação 
equivalente às lâmpadas 
incandescentes.
Situação-Problema 4
Para resolver esse problema, os sócios precisam 
saber qual é o gasto energético, em kWh, 
correspondente ao período iluminado do dia, 
sabendo que a duração do dia (valor periódico)?
Situação-Problema 4
Radianos:
� Éa razão geométrica do comprimento de um arco de 
circunferência pelo seu raio;
� Uma volta completa possui 360°, meia volta 180°;
� Cada unidade de grau foi dividida em 60 minutos e cada 
arco de minuto em 60 segundos. 
Problematizando Situação-Problema 4
Ângulo de 0,96 rad:
/ =2,28 2,4 0,95. 
Assim, 30,5° = 30° e 30 minutos,
ou 30°30’ (30° + 0,5 · 60’ = 30°30’).
Valores das funções trigonomé :tricas
� Os valores máximo e mínimo para seno e cosseno 
são 1 e -1.
� Para a tangente, quando o ângulo se aproxima de 
90° (ou π/2), seu valor cresce rapidamente, 
tendendo ao infinito, e, para valores próximos a -
90°, ou 270° (ou ainda 3π/2), seu valor tende ao 
infinito, mas negativamente.
Problematizando a Situação-Problema 4
Qual economia de energia com o uso das lâmpadas 
de Moser?
Problematizando a Situação-Problema 4
Por quantas horas elas atuarão?
Número de horas claras diárias?
H = parâmetro obtido pelo arccosseno
Períodos das estações do ano:
� Outono: de 21/03 a 21/06;
� Inverno: de 22/06 a 23/09;
� Primavera: de 24/09 a 21/12;
� Verão: de 22/12 a 20/03.
Solstício define o maior dia do verão 
e o menor dia do inverno, ocorrendo 
próximo ao início destas estações. 
Assim:
Resolvendo a Situação-Problema 4
=J 170 (inverno).
J = 353 (verão).
Resolvendo a Situação-Problema 4
Calcular D Verão
In
v
e
rn
o
Cálculo de D (Economia):
� 10 lâmpadas de 200 W cada, o consumo no 
horário iluminado e a economia em reais, 
(considerando R$ 0,45 por 1 kWh):
Resolvendo a Situação-Problema 4
Cápsula 5 “Participando da aula”
Provocando novas situações
Qualquer obra de engenharia 
exige conhecimento sobre 
trigonometria?
De que forma o conhecimento 
sobre trigonometria pode 
contribuir em uma obra 
de engenharia?
Em quais exemplos de obras 
de engenharia a trigonometria 
pode ser aplicada?
Diálogo do professor com alunos
VE Caminho de Aprendizagem