Elementos de Matemática II

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 II
Elementos de 
matemática II
Eduardo Aparecido da Rosa Neto
Elementos de 
matemática II
2017
Editora e Distribuidora Educacional S.A.
Avenida Paris, 675 – Parque Residencial João Piza
CEP: 86041-100 — Londrina — PR
e-mail: editora.educacional@kroton.com.br
Homepage: http://www.kroton.com.br/
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 Neto, Eduardo Aparecido da Rosa 
 
 ISBN 978-85-522-0171-7 
 1. Matemática – Compêndios. 2. Formação profissional. 
 I. Título. 
 CDD 510 
Neto. – Londrina : Editora e Distribuidora Educacional S.A., 
2017.
 232 p.
N469e Elementos de matemática II / Eduardo Aparecido da Rosa 
© 2017 por Editora e Distribuidora Educacional S.A.
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Sumário
Unidade 1 | Trigonometria no triângulo
Seção 1.1 - Triângulo retângulo
Seção 1.2 - Trigonometria no triângulo retângulo
Seção 1.3 - Trigonometria em um triângulo qualquer
7
9
29
47
Unidade 2 | Funções e identidades trigonométricas
Seção 2.1 - Trigonometria na circunferência
Seção 2.2 - Funções trigonométricas
Seção 2.3 - Outras identidades trigonométricas
Unidade 3 | Funções exponenciais, funções logarítmicas e progressões
Seção 3.1 - Função exponencial
Seção 3.2 - Função logarítmica
Seção 3.3 - Progressões aritmética e geométrica
67
125
69
127
89
145
107
163
Unidade 4 | Números complexos
Seção 4.1 - A ideia de número complexo
Seção 4.2 - Operações com números complexos
Seção 4.3 - Forma trigonométrica ou forma polar de um número 
complexo
183
185
201
215
Palavras do autor
Esta disciplina é imprescindível para a formação do futuro profissional 
da área de Matemática, pois fornece os elementos indispensáveis para 
a compreensão e desenvolvimento de várias outras disciplinas.
Para tratar dos conteúdos desta disciplina, este livro está subdividido 
em quatro unidades, descritas a seguir.
No início da primeira unidade será realizada uma revisão 
envolvendo o triângulo retângulo. Ela é importante, uma vez que 
esses conceitos serão constantemente retomados ao longo dos 
demais tópicos. Em seguida, abordaremos a trigonometria, primeiro 
no triângulo retângulo, depois em um triângulo qualquer.
Na segunda unidade, os conceitos de seno, cosseno e tangente, 
antes discutidos apenas no triângulo retângulo, agora serão estendidos 
e formalizados na circunferência. Com essas duas abordagens, você 
irá reconhecer que o cosseno e o seno representam as medidas 
dos catetos de um triângulo retângulo com medida 1, pois são as 
projeções de um ponto nos eixos de uma circunferência.
A Unidade 3 visa desenvolver diversos conceitos relacionados a 
funções exponenciais, funções logarítmicas e progressões, sendo 
utilizados para isso, tanto quanto possível, exemplos e situações 
contextualizadas. Você perceberá padrões e regularidade em 
fenômenos da natureza e em situações reais do seu dia a dia.
Na Unidade 4, inicialmente por meio de uma breve abordagem 
histórica, você conhecerá um pouco a respeito da necessidade 
de construção de um novo conjunto numérico: os números 
complexos. Apresentada a definição formal desse conjunto, vamos 
explorar diversas operações algébricas, bem como suas respectivas 
representações geométricas no plano de Argand-Gauss.
Cabe ressaltar que você será desafiado na demonstração de 
teoremas. Portanto, é necessário empenho no estudo, bem como 
na visualização das imagens indicadas, que enriquecerão sua 
aprendizagem. É de extrema importância manter uma rotina de 
estudos que possibilite dedicar-se à realização das atividades, abrindo 
caminho para a autonomia intelectual.
Bons estudos!
Unidade 1
Trigonometria no triângulo
Convite ao estudo
Como você faria se alguém o desafiasse a calcular a altura de 
um prédio de maneira indireta, ou seja, sem subir ao seu topo 
ou utilizar equipamentos específicos?
O matemático grego, Tales de Mileto (640-564 a.C.), 
considerado um dos sete sábios da Antiguidade, deparou-se com 
um desafio semelhante: calcular a altura de uma das pirâmides 
dos faraós do Egito, utilizando somente seus conhecimentos e 
os recursos daquela época. As informações a seu respeito e de 
seus feitos são cercadas por incertezas e existem várias versões 
sobre o método empregado por Tales para realizar a medição. 
A mais antiga delas diz que Tales desenhou uma circunferência 
de raio igual à sua própria altura e postou-se no centro dela. 
Numa segunda versão, Tales, em vez do próprio corpo, usou 
uma vareta fincada perpendicularmente ao solo.
Nessas duas versões o raciocínio era o mesmo. Quando sua 
sombra (ou a sombra da vareta) atingisse a circunferência, isto 
é, no momento em que o comprimento de sua sombra fosse 
igual ao da sua altura (ou da altura da vareta), o comprimento da 
sombra e o da altura da pirâmide também seriam iguais. Assim, 
bastava que, nesse momento, a extremidade da sombra da 
pirâmide fosse marcada com uma estaca e seu comprimento 
medido por meio de uma corda bem esticada.
A realização de medições indiretas, situações nas quais 
não temos acesso ao que pretendemos medir, ainda é muito 
utilizada, por exemplo, na astronomia e na engenharia. Na 
topografia, por exemplo, para determinar com precisão a medida 
de ângulos horizontais e verticais, que possibilitem o cálculo de 
distâncias, geralmente inacessíveis, é utilizado um instrumento 
óptico chamado teodolito e algumas relações trigonométricas 
que estudaremos nesta unidade.
E, para deixar o estudo ainda mais interessante, suponha 
que você é docente de certa turma do ensino médio em 
início de carreira. Para estimular o aprendizado dos alunos, 
a coordenadora pedagógica sugeriu abordar os principais 
conceitos de trigonometria no triângulo por meio de três 
atividades práticas, em sala de aula ou no ambiente escolar. Com 
essas oportunidades de estudos diferenciados, o interesse dos 
alunos em aprender será mantido. Essas atividades devem ser 
elaboradas com o objetivo de explorar os conceitos estudados 
na respectiva seção do livro, de tal maneira que o aluno seja o 
foco da aprendizagem, com um papel extremamente ativo.
Na primeira atividade prática, relacionada ao conteúdo 
da seção “Triângulo retângulo”, você terá de discutir e aplicar 
juntamente com os alunos uma das técnicas mais utilizadas na 
construção: aferir se as paredes da sala de aula estão no esquadro, 
ou seja, se formam um ângulo reto, sem utilizar a ferramenta 
esquadro. Na segunda atividade prática, relacionada ao conteúdo 
da seção “Trigonometria no triângulo retângulo”, o desafio será 
calcular a altura de alguns pontos inacessíveis na escola ou 
próxima a ela, utilizando um teodolito construído pelos próprios 
alunos. Nesse caso, os três pontos tomados como referência para 
o cálculo formam um triângulo retângulo. Já a terceira atividade 
prática, relacionada ao conteúdo da seção “Trigonometria em 
um triângulo qualquer”, é semelhante à atividade anterior, no 
entanto os três pontos tomados como referência não formam 
necessariamenteum triângulo retângulo. Vamos lá?
U1 - Trigonometria no triângulo 9
Seção 1.1
Triângulo retângulo
Olá! Seja bem-vindo!
Você deve se lembrar que, ainda na apresentação da unidade, 
vimos duas versões do possível método empregado por Tales de 
Mileto para realizar a medição da altura de uma das pirâmides dos 
faraós do Egito. O raciocínio de Tales culminou, com no que hoje 
conhecemos como teorema de Tales, assunto pelo qual iniciaremos 
o estudo da trigonometria no triângulo. Ainda por meio de uma 
abordagem histórica, estudaremos também o teorema de Pitágoras, 
desde a medição de terras no Egito até a sua demonstração formal. 
Também estudaremos outras relações métricas no triângulo retângulo, 
assim como a distância entre dois pontos no plano cartesiano. Esses 
conteúdos servem como base para o trabalho que será desenvolvido 
posteriormente na unidade, em que serão abordadas as relações 
trigonométricas em um triângulo e suas propriedades geométricas.
Esse assunto é normalmente trabalhado nos anos iniciais do 
ensino médio na disciplina de Matemática. Você se recorda?
Diálogo aberto 
Fonte: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Tales_de_Mileto>. <https://pt.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras>. Acesso em: 
23 fev. 2017.
Figura 1.1 | (a) ilustração de Tales de Mileto; (b) estátua de Pitágoras de Samos
(a) (b)
U1 - Trigonometria no triângulo10
Vamos voltar também à situação hipotética apresentada no 
Convite ao estudo? Suponhamos que você é docente de certa turma 
do ensino médio em início de carreira, com a tarefa de elaborar uma 
atividade prática com o objetivo de discutir e aferir se as paredes da 
sala de aula estão no esquadro, ou seja, se formam um ângulo reto, 
sem utilizar a ferramenta esquadro.
Você conseguiria propor uma abordagem interessante para essa 
aula prática, com base nos conteúdos desta seção? Uma maneira de 
descrevê-la é por meio de um plano de aula, constando, em detalhes, 
as justificativas teóricas, o tempo disponível para a aula, os conteúdos 
matemáticos envolvidos, os materiais necessários, os resultados 
esperados, dentre outros aspectos.
A palavra trigonometria vem das palavras gregas trigonón, que 
significa “triângulo”, e metria, que significa “medição”. Assim como 
em sua origem, trigonometria consiste no cálculo de medidas nos 
triângulos. Vimos que a utilização de triângulos retângulos semelhantes 
para a determinação de distâncias é bastante antiga. Vamos, então, 
reconstruir um processo que poderia ser utilizado por Tales para 
medir a altura da pirâmide? Para deixar um pouco mais interessante, 
vamos considerar um terceiro método: o da vareta que foi fincada, 
perpendicularmente, ao solo em um momento qualquer do dia.
Fonte: Ribeiro (2013, p. 45).
Figura 1.2 | Parede em esquadro
Não pode faltar
U1 - Trigonometria no triângulo 11
Observe a representação artística desse processo e sua secção vertical.
Na Figura 1.3, temos:
• H: altura da pirâmide.
• D: distância do eixo da pirâmide à sua borda.
• S: extensão da sombra projetada no solo pela pirâmide (sombra visível).
• h: altura da vareta.
• s: extensão da sombra projetada no solo pela vareta.
Comparando os triângulos retângulos destacados:
• Como o solo é horizontal, suas bases são paralelas.
• Suas alturas são paralelas.
• Considerando que os raios solares são paralelos, seus lados 
também são.
Em outras palavras, os dois triângulos apresentam os três lados 
correspondentemente paralelos, ou seja, eles são semelhantes e seus 
lados são proporcionais.
Pesquise mais
Para mais detalhes sobre Trigonometria, acesse o link disponível em: 
<http://www.uel.br/projetos/matessencial/trigonom/trigo00.htm>. 
Acesso em: 3 mar. 2017. Elaborado pelo professor Ulysses Sodré, da 
Universidade Estadual de Londrina, esse site traz, além de vários outros 
assuntos, alguns dos conceitos relacionados com a Trigonometria: 
notações utilizadas, exemplos numéricos e aplicações práticas, com 
linguagem bastante acessível. Vale a pena conferir!
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 1.3 | (a) representação artística do processo de medição da altura da 
pirâmide (os elementos ilustrados não estão em proporção); (b) secção vertical do 
processo de medição da altura da pirâmide
(a) (b)
raios solares raios solares
U1 - Trigonometria no triângulo12
Lembre-se
Dois triângulos são semelhantes quando satisfazem ao menos um dos 
critérios a seguir:
• Possuem dois ângulos iguais.
• Possuem um ângulo igual compreendido entre lados proporcionais.
• Possuem três lados proporcionais.
Desse modo, para obter a medida H, basta utilizar a seguinte 
proporção:
H
h
D S
s
=
+
 Isolando H:
 
H h D S
s
= ⋅
+
Como as medidas h, D, S e s podem ser facilmente obtidas por Tales 
e substituídas na expressão, obtém-se H, que é a altura da pirâmide. 
Na resolução desse problema, Tales utilizou conhecimentos acerca de 
semelhança de triângulos. Esse método resultou no que atualmente 
denominamos teorema de Tales.
U1 - Trigonometria no triângulo 13
Vamos demonstrar o teorema de Tales? Para isso, devemos 
considerar o feixe de retas paralelas da Figura 1.4 e dois casos.
1º caso: AB e BC são congruentes, isto é, possuem a mesma 
medida, logo AB
BC
= 1
 . Devemos mostrar que DE e EF também são
 congruentes, ou seja, 
DE
EF
= 1 , consequentemente 
AB
BC
DE
EF
= = 1.
Assimile
Teorema de Tales
Um feixe de retas paralelas determina, sobre retas transversais, segmentos 
correspondentes proporcionais.
AB
BC
DE
EF
=
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 1.4 | Feixe de retas paralelas sobre retas transversais
Atenção
Um conjunto de três ou mais retas paralelas em um plano é chamado de 
feixe de retas paralelas. Na Figura 1.4, as retas r, s e t formam um feixe 
de retas paralelas ( r s t// // ). Já as retas u e v, que cortam o feixe de retas 
paralelas, são chamadas de retas transversais. Nesse feixe de retas:
• A e D, B e E, C e F são chamados pontos correspondentes.
• AB e DE , BC e EF , AC e DF são chamados segmentos 
correspondentes.
U1 - Trigonometria no triângulo14
Vamos traçar os segmentos DM e EN , paralelos a u, obtendo 
os paralelogramos ABMD e BCNE, tais que AB DM≡ e BC EN≡ , 
como mostra a figura a seguir.
Como AB BC≡ , então DM EN≡ . Note que os triângulos DEM 
e EFN são congruentes pelo caso de congruência de triângulos LAAO 
(lado, ângulo e ângulo oposto). Logo, DE EF≡ , como queríamos. 
Portanto, AB
BC
DE
EF
= = 1
 .
2º caso: AB e BC não são congruentes, isto é, não possuem a 
mesma medida. Devemos mostrar que AB e BC são proporcionais 
aos segmentos DE e EF , ou seja, AB
BC
DE
EF
= .
Sem perda de generalidade, escolhemos uma medida m conveniente 
de modo que AB e BC possam ser divididos por essa medida 
uma quantidade inteira de vezes, digamos que med AB m( ) = 2 e
med BC m( ) = 3 .
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 1.5 | Feixe de retas paralelas sobre retas transversais e construção dos 
paralelogramos ABMD e BCNE (1º caso)
U1 - Trigonometria no triângulo 15
Vamos traçar pontos que dividem AB , traçando as retas paralelas 
a r, s e t, como mostra a figura a seguir.
Basta observar que, como os segmentos obtidos em u são 
congruentes, pelo primeiro caso, segue que os segmentos obtidos em 
v também são. Logo: 
AB
BC
m
m
= =
2
3
2
3 e 
DE
EF
n
n
= =
2
3
2
3
Portanto, AB
BC
DE
EF
= .
Reflita
A expressão “sem perda de generalidade” é muito comum em 
demonstrações que usam uma suposição, nesse caso a medida m. Os 
demais casos podem ser demonstrados de maneira semelhante. Como 
seria, por exemplo, a demonstração para uma medida m escolhida de tal 
maneira que med AB m( ) = 5 e med BC m( ) = 4 ?
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 1.6 | Feixe de retas paralelas sobre retas transversais, divididos em uma 
quantidade inteira de vezes (2º caso)
U1 - Trigonometria no triângulo16
Atenção
No 2º caso, demonstramos o teorema de Tales considerando que é 
possível obter uma medida m que divide os segmentos AB e BC 
uma quantidade inteirade partes. Quando isso acontece, dizemos 
que esses segmentos são comensuráveis. Por escapar do conteúdo 
deste livro, admitiremos sem prova o caso no qual AB e BC são 
incomensuráveis, ou seja, quando não é possível obter uma unidade de 
medida na qual seja possível dividir os segmentos em uma quantidade 
inteira de partes.
Exemplificando
Suponha que você foi desafiado a calcular a largura de um rio utilizando 
apenas uma trena e seus conhecimentos acerca do assunto. Além disso, 
você não pode atravessá-lo para realizar medições na outra margem. 
Tomando alguns pontos como referência, você realizou algumas 
medições e construiu o esquema a seguir.
Qual a largura do rio nesse ponto?
Resolução: segundo o teorema de Tales, temos que 
AB
BC
AD
DE
= . 
Resolvendo essa proporção, temos:
 AB
BC
AD
DE BC
BC BC BC= ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ =12 9
21
9 12 21 252
9
28
Portanto, a largura do rio nesse ponto é 28 m.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 1.7 | Esquema para calcular a largura de um rio
U1 - Trigonometria no triângulo 17
Os triângulos semelhantes, em especial os triângulos retângulos, 
são de grande importância para a resolução de situações-problema, 
principalmente aqueles que envolvem a determinação de distâncias 
inacessíveis. Vamos relembrar seus elementos?
Elementos do triângulo retângulo
Um triângulo é retângulo quando um de seus ângulos internos é 
reto, ou seja, mede. Nele, podemos destacar os seguintes elementos.
• Lados: AB , BC e AC .
• Ângulos internos: BAC
^
, ABC
^
 e ACB
^
.
• Medidas dos lados:
 
a BC
b AC
c AB
:
:
:
 medida de 
 medida de 
 medida de 
• Medidas dos ângulos:
 
A BAC
B ABC
C ACB
:
:
:
 medida de 
 medida de 
 medida de 
^
^
^
^
^ ^
O lado BC , oposto ao ângulo reto, é chamado hipotenusa, e os 
lados AB e BC , adjacentes ao ângulo reto, são chamados catetos.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 1.8 | Elementos do triângulo retângulo
U1 - Trigonometria no triângulo18
Atenção
Para simplificar, às vezes usaremos letras gregas minúsculas α e β 
para indicar os ângulos internos do triângulo. Além disso, indicaremos 
um ângulo (ou um segmento) e sua medida por um mesmo símbolo.
Teorema de Pitágoras
Você provavelmente deve se recordar da afirmação: “o quadrado 
da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”.
“Há registros de que agrimensores no Antigo Egito demarcavam 
ângulos retos (90°) utilizando triângulos de medidas proporcionais à 3, 
4 e 5, construídos com base em cordas divididas em 12 partes iguais, 
por 11 nós.” (ROSA NETO; BALESTRI, 2013, p. 280)
Porém, não sabemos se os antigos egípcios conheciam o teorema. 
“O teorema de Pitágoras, por exemplo, não aparece em forma 
nenhuma nos documentos egípcios encontrados, mas tabletas até do 
período babilônio antigo mostram que na Mesopotâmia o teorema era, 
largamente usado.” (BOYER, 1974, p. 29)
Fonte: elaborada pelo autor.
Assimile
Teorema de Pitágoras
Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos 
catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa. 
a b c2 2 2= +
Figura 1.9 | Catetos e hipotenusa no triângulo retângulo
U1 - Trigonometria no triângulo 19
Atualmente, alguns operários da construção civil utilizam um método 
semelhante para aferirem se as paredes estão no esquadro, mesmo sem 
utilizar a ferramenta esquadro. Mas vamos deixar esse assunto para o 
tópico Sem medo de errar. Ambos os métodos decorrem da recíproca 
do teorema de Pitágoras, ou seja, se em um triângulo o quadrado da 
medida do maior lado for igual à soma dos quadrados das medidas dos 
outros dois lados, então esse triângulo é retângulo.
O teorema de Pitágoras possui diversas demonstrações. Vamos 
estudar uma delas.
Considere o quadrado ABCD com lado de medida a e um triângulo 
retângulo, com hipotenusa também de medida a. Vamos construir, 
sobre cada lado desse quadrado, um triângulo congruente ao inicial. 
Note que obtemos um quadrado EFGH, cujo lado mede b c+ , como 
mostra a figura a seguir.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 1.10 | Procedimento utilizado pelos egípcios para demarcar ângulo reto
Figura 1.11 | Procedimento geométrico para a demonstração do teorema de Pitágoras
Fonte: elaborada pelo autor.
U1 - Trigonometria no triângulo20
Agora, vamos calcular a área do quadrado EFGH. Como há pelo 
menos duas maneiras distintas de calcular essa área, podemos escrever 
uma igualdade entre elas:
Com isso, demonstramos a relação dada pelo teorema de Pitágoras 
a b c2 2 2= + .
Relações métricas no triângulo retângulo
Além do teorema de Pitágoras, os triângulos retângulos possuem 
outras relações métricas envolvendo as medidas de seus lados. Vamos 
estudar algumas delas?
Em um triângulo retângulo ABC, a altura AD em relação à 
hipotenusa BC divide-o em dois triângulos retângulos semelhantes ao 
maior e, consequentemente, semelhantes entre si.
1ª maneira: adicionando 
a área do quadrado 
ABCD e a dos quatro 
triângulos retângulos.
2ª maneira: elevando 
ao quadrado a 
medida de seu lado.
a b2 2+ =
a b c2 4
2
+ ⋅
⋅
: adicionando1ª maneira 2ª maneiraa área do quadrado 
e a
ABCD
 dos quatro triângulos
retângulos.
= +( )b c 2
:: elevando
ao quadrado a medida
de seu lado.
c b2 +22 2
2 2 2
bc c
a b c
+
= +
Figura 1.12 | Triângulos retângulos DBA e DCA semelhantes ao triângulo retângulo ABC
Fonte: elaborada pelo autor.
U1 - Trigonometria no triângulo 21
Em que:
• a: medida da hipotenusa.
• b e c: medidas dos catetos.
• h: medida da altura relativa à hipotenusa.
• m e n: medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
Vamos obter as relações métricas entre o triângulo maior e um 
dos triângulos menores, digamos o triângulo DBA. De fato, dados dois 
triângulos semelhantes, seus lados correspondentes são proporcionais. 
Vamos comparar os triângulos e escrever as relações.
Portanto, outras três relações métricas em um triângulo retângulo 
são c h b n⋅ = ⋅ , a h b c⋅ = ⋅ e c a n2 = ⋅ . 
Figura 1.13 | Triângulos retângulos ABC e DBA
Fonte: elaborada pelo autor.
c
n
b
h
c h b n
=
⋅ = ⋅
a
c
b
h
a h b c
=
⋅ = ⋅
a
c
c
n
a n c c
c a n
=
⋅ = ⋅
= ⋅2
Faça você mesmo
Verifique as relações métricas b a m2 = ⋅ e a h b c⋅ = ⋅ 
comparando o triângulo maior e o triângulo DCA. Verifique 
também a relação métrica h m n2 = ⋅ comparando os triângulos 
DBA e DCA.
U1 - Trigonometria no triângulo22
Distância entre dois pontos no plano cartesiano
Podemos ainda utilizar o teorema de Pitágoras para calcular a 
distância entre dois pontos do plano cartesiano. Observe como podemos 
determinar a distância entre os pontos B 3 8,( ) e C 10 2,( ), por exemplo. 
Para isso, determinamos o ponto A de modo que o triângulo ABC seja 
retângulo.
Note que AB = − =8 2 6 e AC = − =2 10 8 .
Aplicando o teorema de Pitágoras:
 AB AC BC BC BC BC( ) + ( ) = ( ) ⇒ + = ( ) ⇒ = ( ) ⇒ =2 2 2 2 2 2 26 8 100 10
Portanto, a distância entre os pontos B 3 8,( ) e C 10 2,( ) é de 
10 unidades.
Após o estudo do triângulo retângulo, vamos retomar a primeira 
situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Vamos 
relembrar! Você é docente de certa turma do ensino médio em início de 
carreira e tem a tarefa de elaborar uma atividade prática com o objetivo 
de discutir e aferir se as paredes da sala de aula estão no esquadro, ou 
seja, se formam um ângulo reto, sem utilizar a ferramenta esquadro.
Como já mencionado, no Antigo Egito já se demarcavam ângulos 
retos utilizando triângulos formados por uma corda dividida em 12 
partes iguais, por 11 nós, conforme ilustrado na Figura 1.15.
Figura 1.14 | Triângulos retângulos ABC no plano cartesiano
Fonte: elaborada pelo autor.
Sem medo de errar
U1 - Trigonometria no triângulo 23
Atualmente, na construção civil, é do conhecimento do profissional 
pedreiro aferir o esquadro de uma parede utilizando triângulos 
retângulos cujas medidas também são proporcionais a 3, 4 e 5, numa 
mesma unidade. Digamos que as medidas escolhidas são 30 cm, 40 
cm e 50 cm. Em uma das paredes,rente ao chão, o pedreiro marca 
um ponto a 30 cm do canto. Em seguida, na outra parede, ele marca 
um ponto a 40 cm do canto. Então, ele mede a distância entre os dois 
pontos e concluiu que:
• se a distância for 50 cm, o canto tem 90°.
• se a distância for maior que 50 cm, o canto tem mais de 90°.
• se a distância for menor que 50 cm, o canto tem menos de 90°.
Em ambos os métodos, é utilizado o conceito do teorema de Pitágoras.
Que tal descrever em um plano de aula os passos a serem realizados 
a fim de que os alunos experimentem na prática esse método? Uma 
sugestão de abordagem é organizá-los em grupos e solicitar que 
discutam e apresentem uma justificativa matemática para mostrar a 
validade desse método. 
Figura 1.15 | Triângulo retângulo obtido no procedimento utilizado pelos egípcios para 
demarcar ângulo reto
Fonte: elaborada pelo autor.
U1 - Trigonometria no triângulo24
Avançando na prática 
Representação geométrica de um número irracional
Descrição da situação-problema
Suponha ainda que você é docente de certa turma do ensino 
médio e estão estudando os conjuntos numéricos, especificamente 
os números irracionais. Considere que, em uma das aulas, é 
necessário representar um número irracional geometricamente na 
reta numérica, utilizando régua, compasso e um par de esquadros. 
Qual seria um passo a passo interessante para realizar essa tarefa?
 
Resolução da situação-problema
Com base no que estudamos nesta seção, podemos utilizar 
novamente o conceito do teorema de Pitágoras. Por exemplo, veja 
como representar o número irracional 13 na reta numérica.
1. Inicialmente, construímos um triângulo retângulo com 
catetos medindo 2 cm e 3 cm com o auxílio do par de esquadros.
2. Determinamos a medida da hipotenusa por meio do teorema 
de Pitágoras.
 a b c a a a
2 2 2 2 2 2 22 3 13 13= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =
Figura 1.16 | Construção do triângulo retângulo com catetos medindo 2 cm e 3 cm
Fonte: elaborada pelo autor.
U1 - Trigonometria no triângulo 25
Figura 1.17 | Transportando a medida da hipotenusa para a reta numérica
Fonte: elaborada pelo autor.
3. Por fim, transportamos para a reta numérica a medida da 
hipotenusa do triângulo utilizando o compasso.
Esse procedimento pode ser aplicado para representar na reta 
numérica os números irracionais construtíveis, isto é, números 
irracionais cuja medida pode ser representada por um segmento 
de reta construído com um número finito de passos, usando 
apenas um compasso e uma régua. A raiz quadrada de um número 
inteiro positivo é construtível, então, números irracionais do tipo 
2 , 3 , 5 , 7 ,..., também são construtíveis.
Que tal agora elaborar um plano de aula para arquivar 
esse procedimento? Nele, você pode solicitar aos alunos que 
representem na reta numérica outros números irracionais, por 
exemplo, 17 , 41 e 53 .
U1 - Trigonometria no triângulo26
Faça valer a pena
1. A Figura 1.18 representa parte do mapa de um bairro em que a linha de 
divisão entre os terrenos A e B e as ruas Minas Gerais e Alagoas são paralelas. 
Além disso, a rua Bahia é perpendicular às ruas Minas Gerais e Alagoas.
Assinale a alternativa que contém a medida do lado do terreno B que faz 
divisa com a Rua Goiás.
a) 25 m
b) 50 m
c) 100 m
d) 40 m 
e) 20 m
2. O sítio de Joaquim fica a 4,5 km, contados perpendicularmente em 
direção a uma estrada reta. Na beira da estrada, a uma distância de 7,5 km 
do sítio, está localizado um posto de combustível. Também na beira dessa 
estrada, há um supermercado que fica igualmente distanciado do posto de 
combustível e do sítio de Joaquim, em linha reta, conforme representado 
na Figura 1.19.
Figura 1.18 | Parte do mapa de certo baixo
Fonte: elaborada pelo autor.
U1 - Trigonometria no triângulo 27
Figura 1.19 | Estrada reta e pontos de referência
Fonte: elaborada pelo autor.
Assinale a alternativa que contém essa distância comum, em quilômetros.
a) Entre 4,5 km e 5 km.
b) Menos que 4,5 km e mais que 4 km.
c) Mais que 6 km e menos que 6,5 km.
d) Mais que 5,5 km e menos que 6 km.
e) Entre 5 km e 5,5 km.
3. O problema a seguir, citado em um livro de história da Matemática, 
aparece no livro Lilavati, do século Xll, de autoria de Bhaskara, o último 
matemático medieval importante na Índia.
“Também usando o Teorema de Pitágoras temos o problema seguinte: um 
pavão está sobre o topo de uma coluna em cuja base há um buraco de 
cobra. Vendo a cobra a uma distância da coluna igual a três vezes a altura da 
coluna, o pavão avançou para a cobra em linha reta alcançando-a antes que 
chegasse a sua cova. Se o pavão e a cobra percorreram distâncias iguais, a 
quantos cúbitos da cova eles se encontraram?” (BOYER, 1974, p. 162)
Considerando uma unidade para a altura da coluna, assinale a alternativa 
que contém a solução do problema, em cúbitos.
a) 
b) 3
c) 
8
3
3
4
U1 - Trigonometria no triângulo28
d) 
e) 
4
3
5
3
U1 - Trigonometria no triângulo 29
Seção 1.2
Trigonometria no triângulo retângulo
Na seção anterior, estudamos o teorema de Pitágoras, que estabelece 
uma relação entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Agora, 
vamos estudar relações que envolvem também os ângulos internos do 
triângulo retângulo, chamadas relações trigonométricas.
Você deve se lembrar da situação hipotética apresentada no 
Convite ao estudo. Suponhamos que você é docente de certa turma 
do ensino médio em início de carreira, com a tarefa de elaborar uma 
atividade prática com o objetivo de calcular a altura de alguns pontos 
inacessíveis na escola ou próxima a ela, utilizando um teodolito 
construído pelos próprios alunos. Nesse caso, os três pontos tomados 
como referência para o cálculo formam um triângulo retângulo.
Mas, afinal, o que é um teodolito? Você já viu ou utilizou um? É um 
instrumento que mede com precisão ângulos horizontais e verticais. 
No tópico Sem medo de errar, você verá que é possível construir uma 
versão simples desse instrumento utilizando poucos materiais. Uma 
maneira de descrever essa atividade prática, incluindo a construção do 
teodolito, é por meio de um plano de aula, constando, em detalhes, 
os materiais necessários, as justificativas teóricas, o tempo disponível 
para a aula, os conteúdos matemáticos envolvidos e os resultados 
esperados, dentre outros aspectos.
 Nesta seção, vamos focar nosso estudo nas relações 
trigonométricas em um triângulo retângulo. Elas servem como 
base para o trabalho desenvolvido posteriormente na Seção 1.3, em 
que são abordadas as relações trigonométricas em um triângulo 
qualquer e apresentadas a lei dos senos, a lei dos cossenos e o 
cálculo da área de um triângulo qualquer.
Diálogo aberto 
Não pode faltar
U1 - Trigonometria no triângulo30
Razões trigonométricas
Considere duas semirretas de mesma origem em O, formando 
um ângulo agudo, digamos, de medida 30°. Veja a Figura 1.20.
Na semirreta inferior, vamos marcar os pontos A1 e A2 , distantes 
4 cm e 6 cm da origem, respectivamente, e conduzir por cada 
um deles uma perpendicular, obtendo os triângulos retângulos 
semelhantes ABO1 1 e A B O2 2 , conforme ilustra a Figura 1.21.
Utilizando uma régua, vamos medir os lados desses triângulos:
 
 
 
 
Figura 1.20 | Semirretas de origem em O e abertura 30° (as medidas consideradas 
não estão necessariamente em verdadeira grandeza)
Figura 1.21 | Construção dos triângulos retângulos ABO1 1 e A B O2 2 (as medidas 
consideradas não estão necessariamente em verdadeira grandeza)
Fonte: elaborada pelo autor.
Fonte: elaborada pelo autor.
AB1 1 2 3, cm_~
A B2 2 3 5, cm_~
OB1 4 6, cm_~
OB2 6 9, cm_~
OA1 4= cm
OA2 6= cm
U1 - Trigonometria no triângulo 31
Calculando a razão entre esses lados, temos:
No triângulo ABO1 1 :
 
 
 
No triânguloA B O2 2 :
 
 
 
Podemos repetir esse processo indefinidamente, obtendo 
outros triângulos retângulos semelhantes A B O3 3 , A B O4 4 , ..., 
A B On n .
Figura 1.22 | Construção dos triângulos retângulos A B O3 3 , A B O4 4 , ... A B On n , (as 
medidas consideradasnão estão necessariamente em verdadeira grandeza)
Fonte: elaborada pelo autor.
AB
OB
1 1
1
2 3
4 6
0 5,
,
,_~ _~
OA
OB
1
1
4
4 6
0 9
,
,_~ _~
AB
OA
1 1
1
2 3
4
0 6= , ,_~_~
A B
OB
2 2
2
3 5
6 9
0 5,
,
,_~ _~
OA
OB
2
2
6
6 9
0 9
,
,_~ _~
A B
OA
2 2
2
3 5
6
0 6, ,_~ _~
U1 - Trigonometria no triângulo32
Nesses triângulos semelhantes, temos uma igualdade entre as 
seguintes razões envolvendo as medidas desses triângulos:
De fato, as relações acima não dependem do tamanho dos triângulos 
retângulos, mas apenas do valor da medida do ângulo O
^. Isso se deve 
ao fato de que, assim como na situação da medida da altura da pirâmide 
apresentada no Convite ao estudo, os triângulos apresentam os três 
lados correspondentemente paralelos, ou seja, eles são semelhantes e 
seus lados são proporcionais. Isso levou à ideia de nomear essas razões.
AB
OB
A B
OB
A B
OB
A B
OB
A B
OB
n n
n
1 1
1
2 2
2
3 3
3
4 4
4
0 5= = = = =... ,_~
OA
OB
OA
OB
OA
OB
OA
OB
OA
OB
n
n
1
1
2
2
3
3
4
4
0 9= = = = =... ,_~
AB
OA
A B
OA
A B
OA
A B
OA
A B
OA
n n
n
1 1
1
2 2
2
3 3
3
4 4
4
0 6= = = = =... ,_~
Pesquise mais
No objeto interativo, disponível no link: <https://www.geogebra.org/m/
M3vta5Uv#material/GPnb5U5Z>. Acesso em: 10 mar. 2017, é possível 
simular as razões trigonométricas. Ao alterar o tamanho, o formato ou 
a medida dos ângulos agudos nos triângulos retângulos, a simulação 
mostra que a igualdade entre as razões é mantida. Vale a pena conferir!
U1 - Trigonometria no triângulo 33
Vocabulário
Adjacente: que está posto ao lado, situado em local próximo.
Assimile
Considerando um triângulo retângulo e fixando um de seus ângulos 
agudos α , temos:
• Seno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo 
e a hipotenusa.
senα = b
a
 • Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente ao 
ângulo e a hipotenusa.
cosα = c
a
 • Tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto ao 
ângulo e o cateto adjacente ao ângulo.
 
tgα = b
c
Figura 1.23 | Triângulo retângulo ABC e ângulo agudo grandeza
Fonte: elaborada pelo autor.
(cateto oposto)
(cateto adjacente)
U1 - Trigonometria no triângulo34
Com essas razões trigonométricas, podemos determinar a medida 
de um lado do triângulo retângulo, conhecendo a medida de um ângulo 
e de outro lado. Também é possível determinar a medida de um ângulo 
conhecendo a medida de dois lados.
Faça você mesmo
Existem algumas relações envolvendo seno, cosseno e tangente dos 
ângulos agudos α e β de um triângulo retângulo, por exemplo, 
sen cosα β= , que nos informa que o seno de um ângulo é igual ao 
cosseno do complementar desse ângulo e vice-versa.
Demonstre as seguintes relações:
• 
• .
Essa última igualdade é chamada relação fundamental da trigonometria. 
Para demonstrá-la, utilize o teorema de Pitágoras.
Figura 1.24 | Triângulo retângulo ABC e ângulos agudos α e β
Fonte: elaborada pelo autor.
tg sen
cos
α
α
α
=
sen cos2 2 1α α+ =
Atenção
Não podemos confundir sen2 α , que é igual a senα( )2 , com 
sen α 2 , que é igual a sen α α⋅( ) .
U1 - Trigonometria no triângulo 35
Valores para o seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo
Anteriormente, no tópico de “Razões trigonométricas”, ao construir os 
triângulos semelhantes ABO1 1 e A B O2 2 , obtemos valores aproximados 
nas razões.
A precisão desses valores depende da exatidão com que o 
triângulo foi construído e medido. No entanto, em alguns ângulos 
as razões trigonométricas podem ser determinadas algebricamente, 
sem se recorrer à medição direta, eliminando o inconveniente da 
imprecisão da régua, por exemplo. Desse modo, seus senos, cossenos 
e tangentes podem ser expressos com exatidão, sem necessidade de 
arredondamentos ou aproximações. São os ângulos de 30°, 45° e 60°, 
conhecidos como ângulos notáveis.
AB
OB
A B
OB
1 1
1
2 2
2
0 5= ,_~
OA
OB
OA
OB
1
1
2
2
0 9= ,_~
AB
OA
A B
OA
1 1
1
2 2
2
0 6= ,_~
Figura 1.25 | Construção dos triângulos retângulos ABO1 1 e A B O2 2
Fonte: elaborada pelo autor.
Reflita
Por que os ângulos de medidas 30°, 45° e 60° são conhecidos como 
ângulos notáveis?
U1 - Trigonometria no triângulo36
Considere um triângulo equilátero de lado a. Sabemos que cada um 
de seus ângulos internos mede 60°. Traçando a altura h e pelo teorema 
de Pitágoras, temos:
a h a a h a a a h h a h a2 2
2
2 2
2
2
2
2 2
2
2 4 4
3
4
3
2
= + 




 ⇒ = + ⇒ − = ⇒ = ⇒ =
Então, podemos calcular as razões trigonométricas de 30° e 60°.
• sen30 2 1
2
° = =
a
a
 
• cos30
3
2 3
2
° = =
a
a
 
• tg30 2
3
2
1
3
3
3
3
3
° = = ⋅ =
a
a
 
• sen60
3
2 3
2
° = =
a
a
 
• cos60 2 1
2
° = =
a
a
 
 
Figura 1.26 | Triângulo equilátero de lado a e altura h
Fonte: elaborada pelo autor.
U1 - Trigonometria no triângulo 37
Figura 1.27 | Triângulo retângulo isósceles de lado a e hipotenusa x
Fonte: elaborada pelo autor.
• tg60
3
2
2
3° = =
a
a
 
Agora, considere um triângulo retângulo isósceles de catetos a. 
Sabemos que seus ângulos agudos são congruentes e medem 45°. Pelo 
teorema de Pitágoras, temos:
 
x a a x a x a2 2 2 2 22 2= + ⇒ = ⇒ =
Assim, podemos calcular as razões trigonométricas de 45°.
• sen45
2
1
2
2
2
2
2
° = = ⋅ =
a
a
 
 
• cos 45
2
2
2
° = =
a
a
 
• tg45 1° = =a
a
 
Resumidamente, podemos organizar esses valores em uma tabela 
de dupla entrada.
U1 - Trigonometria no triângulo38
Tabela 1.1 | Valores do seno, cosseno e tangente para os ângulos notáveis
Fonte: elaborada pelo autor.
Para os demais ângulos, podemos utilizar uma calculadora científica 
ou construir uma tabela com os valores do seno, do cosseno e da 
tangente por meio de aproximações de números irracionais. De acordo 
com a necessidade, podemos obter aproximações com uma quantidade 
maior de casas decimais, por exemplo, sen 1° com aproximação de sete 
casas decimais: sen ,1 0 0174524° = .
Pesquise mais
Veja uma tabela trigonométrica com aproximação de cinco casas 
decimais disponível em: <http://www.ufrgs.br/biomec/materiais/
Tabela%20Trigonometrica.pdf>. Acesso em: 27 mar. 2017.
Dica
Além de consultar a tabela, você pode usar uma calculadora científica 
para obter os valores do seno, cosseno e tangente de um ângulo. Para 
obter o seno do ângulo de, por exemplo, efetuamos:
Figura 1.28 | Sequência de teclas para obter o valor de sen 47°
Fonte: adaptada de Rosa Neto e Balestri (2013, p. 289).
U1 - Trigonometria no triângulo 39
Também é possível determinar a medida do ângulo α dado senα ,
cosα ou tgα usando a função sen-1 , cos-1ou tg-1 , respectivamente. 
Para determinar a medida do ângulo ao qual cos ,α = 0 974 , por 
exemplo, efetuamos:
Nesse caso, a medida do ângulo α é aproximadamente 13°. Vale 
ressaltar que algumas calculadoras científicas oferecem três opções 
para a unidade de medida de ângulo: graus (Deg), radianos (Rad) ou 
grados (Gra). Nos exemplos acima, estamos considerando a medida 
do ângulo em graus, conforme a indicação D no canto superior direito 
do visor.
Figura 1.29 | Sequência de teclas para obter a medida do ângulo ao qual 
cos ,α = 0 974
Fonte: adaptada de Rosa Neto e Balestri (2013, p. 289).
Exemplificando
Ao decolar, um avião percorre um trajeto retilíneo que forma com 
o solo um ângulo de 25°. Seu deslocamento horizontal é de 2500 
m. Determine a altura aproximada H atingida pelo avião e a distância 
aproximada percorrida d, conforme a figura a seguir.
Figura 1.30 | Representação do trajeto de um avião ao decolar pirâmide (os 
elementos ilustrados não estão em proporção)
Fonte: elaborada pelo autor.
U1 - Trigonometria no triângulo40
Resolução: como a altura é perpendicular ao solo, o triângulo formado 
é retângulo. A razão entre as medidas do cateto oposto e do cateto 
adjacente é dada por:
tg25
2 500
° =
H
 
A razão entre as medidas do cateto adjacente e a hipotenusa é dada por:
 
cos25 2 500° =
d
Considerando os valores da tabela trigonométrica, temos quetg ,25 0 466° = e cos ,25 0 906° = . Substituindo os valores:
 
tg , ,25
2 500
0 466
2 500
2 500 0 466 1165° = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ =H H H H
cos ,
,
25 2 500 0 906 2 500 2 500
0 906
2 759ϒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
d d
d d _~
Portanto, a altura atingida pelo avião é de aproximadamente 1165 m e a 
distância percorrida pelo avião é de 2759 m.
Sem medo de errar
 Após o estudo do triângulo retângulo, vamos retomar a segunda 
situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? Vamos relembrar! 
Você é docente de certa turma do ensino médio em início de carreira e 
tem a tarefa de elaborar uma atividade prática com o objetivo de calcular 
a altura de alguns pontos inacessíveis na escola ou próxima a ela. Para 
isso, os alunos construirão um teodolito. Será preciso providenciar:
• Fotocópias de um transferidor de 180°.
• Bases firmes para colar o transferidor (papel-cartão, papelão, etc.).
• Canudos resistentes.
• Barbante.
U1 - Trigonometria no triângulo 41
• Porcas, parafusos ou outro tipo de material para contrapeso.
• Tesouras e fita adesiva.
A montagem é simples e o teodolito ficaria como na figura a seguir.
O uso desse teodolito também é simples. Um aluno deve olhar pelo 
furo do canudo, mirando-o na direção da base do que se deseja medir, 
digamos a altura de uma árvore, até que o barbante sobreponha a marca 
de 90° do transferidor. Um segundo aluno pode ajudar na leitura desse 
ângulo. Um terceiro aluno fica próximo ao tronco da árvore para marcar 
a altura h1 orientada pelo aluno observador, como sugere o item (a) da 
Figura 1.32. Do mesmo local, o aluno observador aponta o canudo para a 
extremidade mais alta da árvore e o colega anota o ângulo indicado pelo 
barbante no transferidor. Esse ângulo, digamos 120°, é o complementar 
do ângulo desejado, no caso, 180° - 120° = 60°, como indicado no item 
(b) da Figura 1.32. A medida do cateto d é facilmente obtida utilizando 
uma trena.
Figura 1.31 | Teodolito construído com canudos, barbante e transferidor de papel
Figura 1.32 | (a) uso do teodolito para medir a altura h1 no tronco da árvore; (b) 
uso do teodolito para medir o ângulo interno do triângulo retângulo formado (os 
elementos ilustrados não estão em proporção)
(a) (b)
Fonte: Chavante (2015, p. 311).
Fonte: Chavante (2015, pg. 311).
U1 - Trigonometria no triângulo42
Conhecendo a medida do ângulo BAC� , do cateto d, e com 
base nos conteúdos desta seção, é possível obter a medida h2 e, 
consequentemente, a altura da árvore (h h1 2+ ).
Cabe agora a você documentar tudo por meio de um plano de 
aula. Explique, detalhadamente, os materiais necessários e o passo 
a passo da construção do teodolito, assim como o processo de 
medição dos ângulos, as justificativas teóricas, o tempo disponível 
para a prática, os conteúdos matemáticos envolvidos e os resultados 
esperados, dentre outros aspectos.
Escada: cada centímetro conta
Descrição da situação-problema
Jorge é engenheiro fiscal de obras públicas. Nosso personagem 
irá inspecionar se a construção de uma escada na entrada de um 
prédio público atende as exigências da NBR 9050 (ABNT, 2004). 
Ergonomicamente e por razões de segurança, as normas exigem que 
o espelho de degraus de escadas deve ser superior a 16 cm e inferior 
a 18 cm e que o piso deve ser superior a 28 cm e inferior a 32 cm.
A escada tem quatro degraus iguais e foi construída com 1,2 m 
de comprimento e inclinação de 30° em relação ao solo, conforme 
ilustra a figura a seguir.
Avançando na prática 
Figura 1.33 | (a) escada construída em um prédio público; (b) secção vertical da escada
Fonte: elaborada pelo autor.
(a) (b)
largura do 
degrau (piso)
altura do 
degrau 
(espelho)
U1 - Trigonometria no triângulo 43
Jorge tem a responsabilidade de verificar se o piso e o espelho dessa 
escada estão de acordo com a norma NBR 9050 (ABNT, 2004). Que 
tal ajudar nosso personagem na resolução dessa situação-problema?
Resolução da situação-problema
Observando o item (b) da figura, notamos que o comprimento 
total dos quatro degraus é de 1,20 m. Para calcular a largura de 
cada degrau, basta dividir esse comprimento pela quantidade de 
degraus, ou seja, 1 20
4
0 3, ,= . Como cada piso tem 30 cm, eles
estão de acordo com a NBR 9050 (ABNT, 2004).
Agora, vamos verificar os espelhos. Com base no que estudamos 
nesta seção, podemos utilizar a relação tg
, ,
, , ,30
1 20
3
3 1 20
3 1 20 3 1 20 3
3
0 4 3° = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =x x x x xpara determinar a 
altura total dos quatro degraus. Vamos indicar essa medida por x.
 tg
, ,
, , ,30
1 20
3
3 1 20
3 1 20 3 1 20 3
3
0 4 3° = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =x x x x x
Para calcular a altura de cada degrau, basta dividir 
esse comprimento pela quantidade de degraus, ou seja, 
0 4 3
4
0 1 3 0 17, , ,= _~ .
 Como cada espelho tem aproximadamente 17 cm, eles 
também estão de acordo com as normas da ABNT. Portanto, o 
piso e o espelho dessa escada estão de acordo com a NBR 9050 
(ABNT, 2004).
Que tal verificar isso na prática? Coloque-se na situação do 
nosso personagem, observe ao seu redor e escolha uma escada. 
Elabore um relatório contendo as medidas da escada escolhida, 
apresentando os cálculos e a conclusão em relação à conformidade 
com a NBR 9050 (ABNT, 2004).
U1 - Trigonometria no triângulo44
Reflita
Por que é importante estabelecer normas tão rigorosas a respeito do 
dimensionamento de escadas fixas? Na escada de certo metrô de Nova 
York, um degrau é pouco mais de 2 cm mais alto que os demais, o 
que é suficiente para que muitas pessoas que passem por ali acabem 
tropeçando. Não acredita? Veja o vídeo demonstrando esse fato curioso 
em: <https://youtu.be/ap-22FjgoE4>. Acesso em: 9 mar. 2017.
Faça valer a pena
1. Para demonstrar a potência da nova picape, certa concessionária montou 
uma ladeira em frente ao pátio de estacionamento, na qual os clientes 
podem realizar um test drive com o veículo. Essa ladeira possui inclinação 
de 30° em relação ao plano horizontal e 25 m de comprimento total.
Assinale a alternativa que indica quantos metros a picape se eleva 
verticalmente, após percorrer toda a ladeira.
a) 25 m
b) 
25 3
3
c) 25 3
2
d) 12,5 m 
e) 20 m
2. Um topógrafo está usando o teodolito para medir a altura de certa 
torre. Primeiro ele posicionou o teodolito em um ponto A, indicando 
45° em relação ao topo da torre. Depois, ele caminhou 40 metros em 
direção à torre, até um ponto B, indicando 30° em relação ao topo. 
Assinale a alternativa que indica a altura aproximada dessa torre. Considere 
3 1 7= , .
U1 - Trigonometria no triângulo 45
Figura 1.34 | Processo de medição da altura da torre
Fonte: elaborada pelo autor.
a) 80 m 
b) 57,14 m 
c) 137,14 m 
d) 40 m
e) 97,14 m
3. O tamanho das telas de televisores, smarthphones, tablets, monitores e 
diversos outros equipamentos é informado em polegadas ( 1" = 2,54 cm ). Esse 
valor refere-se à medida da diagonal da tela. No padrão de tela widescreen 
(do inglês wide: largo e screen: tela), a razão entre o comprimento e a largura 
da tela é de 16:9, ou seja, 16
9
1 78,_~ . Isso quer dizer que o comprimento é
 aproximadamente 1,78 vezes a altura da tela. 
Considere uma tela widdescreen de 50”. Assinale a alternativa que indica os 
valores aproximados do ângulo entre a diagonal e o lado maior, da largura e 
do comprimento da tela, nessa ordem.
a) 29°; 62 cm; 110 cm 
b) 26°; 62 cm; 110 cm
c) 29°; 102 cm; 61 cm
d) 31°; 64 cm; 102 cm
e) 29°; 62 cm; 102 cm
U1 - Trigonometria no triângulo46
U1 - Trigonometria no triângulo 47
Seção 1.3
Trigonometria em um triângulo qualquer
Na seção anterior, estudamos as razões trigonométricas seno, 
cosseno e tangente de ângulos agudos associados a triângulos 
retângulos. Agora, estudaremos relações trigonométricas associadas 
à triângulos que não são retângulos, envolvendo seno e cosseno de 
ângulos cuja medida está entre 90° e 180°. Desse modo, é possível 
realizar outras medições indiretas, tomando pontos como referência 
que não formam necessariamente um triângulo retângulo.
E, falando em medições indiretas,vamos retomar à terceira situação 
hipotética apresentada no Convite ao estudo? Assim como na segunda 
situação hipotética, suponhamos que você é docente de certa turma do 
ensino médio em início de carreira, com a tarefa de elaborar uma atividade 
prática com o objetivo de calcular a altura de alguns pontos inacessíveis 
na escola ou próxima a ela, utilizando um teodolito construído pelos 
próprios alunos. Dessa vez, os três pontos tomados como referência 
para o cálculo não formam necessariamente um triângulo retângulo.
A confecção do teodolito e o plano de aula solicitado no tópico 
Sem medo de errar da seção anterior nos fornecem “dicas” de como 
realizar essa aula prática. Resta agora elaborar um plano de aula para 
arquivar os detalhes dessa nova aula prática, constando os materiais 
necessários, as justificativas teóricas, o tempo disponível para a aula, 
os conteúdos matemáticos envolvidos e os resultados esperados, 
dentre outros aspectos.
Na próxima unidade, vamos estender as razões trigonométricas aos 
elementos de uma circunferência. Isso nos permitirá compreender a 
ideia de seno, cosseno e tangente para além dos ângulos internos de 
um triângulo retângulo, ou seja, para qualquer medida de ângulo maior 
do que 90°. No entanto, nesta seção, vamos estudar apenas as relações 
trigonométricas envolvendo seno e cosseno de ângulos cuja medida 
está entre 90° e 180°.
Diálogo aberto 
Não pode faltar
U1 - Trigonometria no triângulo48
Por ora, precisaremos admitir duas relações que podem ser 
demonstradas e serão estudadas com mais detalhes na próxima unidade.
Em outras palavras, podemos “reduzir” os valores do seno ou 
cosseno de ângulos obtusos para valores correspondentes nos 
ângulos agudos, estudados anteriormente.
Além disso, vamos definir o seno e o cosseno para o caso 
particular de um ângulo de medida 90°, nesse caso, sen90 1° = e 
cos90 0° = .
Assimile
Considere um ângulo obtuso AOB� = α , com 90 180° < < °α , e seu 
suplemento BOC� = ° −180 α , conforme ilustra a Figura 1.35
1. O seno de um ângulo obtuso é igual ao seno de seu suplementar.
sen senα α= ° −( )180
2. O cosseno de um ângulo obtuso é igual ao oposto do cosseno de 
seu suplementar.
cos cosα α= − ° −( )180
 
Figura 1.35 | Ângulo obtuso α e seu suplemento 
Fonte: elaborada pelo autor.
U1 - Trigonometria no triângulo 49
Lei dos senos
Um importante teorema da trigonometria é conhecido por 
lei dos senos. Ele relaciona os lados de um triângulo aos ângulos 
respectivamente opostos a ele.
Assimile
Segundo a lei dos senos, em um triângulo ABC qualquer, a medida de 
um lado é proporcional ao seno do ângulo oposto (vide Figura 1.36). 
Figura 1.36 | Triângulo ABC qualquer e medidas dos lados
Fonte: elaborada pelo autor.
a
A
b
B
c
Csen sen sen
= =^ ^ ^
Exemplificando
Veja como podemos calcular sen sen sen150 180 150 30 1
2
° = ° − °( ) = ° =, cos cos cos135 180 135 45 2
2
° = − ° − °( ) = − ° = −, sen sen sen ,132 180 132 48 0 743° = ° − °( ) = ° �e cos cos cos ,170 180 170 10 0 985° = − ° − °( ) = − ° = −.
• sen sen sen150 180 150 30 1
2
° = ° − °( ) = ° = 
• cos cos cos135 180 135 45 2
2
° = − ° − °( ) = − ° = − 
• sen sen sen ,132 180 132 48 0 743° = ° − °( ) = ° � 
• cos cos cos ,170 180 170 10 0 985° = − ° − °( ) = − ° = −
Os valores de sen sen sen ,132 180 132 48 0 743° = ° − °( ) = ° �e cos cos cos ,170 180 170 10 0 985° = − ° − °( ) = − ° = − foram consultados em uma tabela 
trigonométrica. Utilize uma calculadora científica para verificar essas igualdades.
_~
U1 - Trigonometria no triângulo50
Sem perda de generalidade, vamos fazer a demonstração para 
um triângulo acutângulo, ou seja, que possui os ângulos internos 
agudos. Considere um triângulo ABC e duas de suas alturas, 
conforme Figura 1.37. 
Utilizando a razão senB� no triângulo retângulo BCE, temos:
sen senB EC
a
EC a B= ⇒ = ⋅^ ^
Utilizando a razão senA^ no triângulo retângulo ACE, temos:
 
sen senA EC
b
EC b A= ⇒ = ⋅^ ^
Comparando essas duas igualdades, tem-se:
a B b A a
A
b
B
⋅ = ⋅ ⇒ =sen sen
sen sen
^ ^
^ ^(I)
Utilizando a razão senB^ no triângulo retângulo ABD, temos:
sen senB AD
c
AD c B= ⇒ = ⋅ ^ ^
Utilizando a razão senĈ no triângulo retângulo ACD, temos:
sen senC AD
b
AD b C= ⇒ = ⋅^ ^
Comparando essas duas igualdades, tem-se:
Figura 1.37 | Triângulo ABC acutângulo e duas de suas alturas
Fonte: elaborada pelo autor.
U1 - Trigonometria no triângulo 51
c B b C b
B
c
C
⋅ = ⋅ ⇒ =sen sen
sen sen
^ ^
^ ^ (II)
Das relações I e II, temos a
A
b
B
c
Csen sen sen
= =^ ^ ^
, como
queríamos demonstrar. Esse resultado também é válido para 
triângulos obtusângulos e para triângulos retângulos, mas não 
vamos demonstrá-los.
Lei dos cossenos
Outro importante teorema da trigonometria é conhecido por lei 
dos cossenos. Ele relaciona um lado do triângulo aos outros dois e 
ao ângulo por eles formado.
a b c bc A2 2 2 2= + − ⋅cos ^
b a c ac B2 2 2 2= + − ⋅cos
^
c a b ab c2 2 2 2= + − ⋅cos 
Assimile
Segundo a lei dos cossenos, em um triângulo ABC qualquer, o quadrado 
da medida de um dos lados é igual à soma dos quadrados das medidas 
dos outros lados, subtraído o dobro do produto das medidas desses 
lados pelo cosseno do ângulo formado por eles (vide Figura 1.38).
Figura 1.38 | Triângulo ABC qualquer e medidas dos lados
Fonte: elaborada pelo autor.
U1 - Trigonometria no triângulo52
Novamente, sem perda de generalidade, vamos fazer a 
demonstração para um triângulo acutângulo. Considere um 
triângulo ABC e uma de suas alturas, conforme Figura 1.39.
Utilizando a razão cosA^ e o teorema de Pitágoras no triângulo 
retângulo ACD, temos:
cos cosA AD
b
AD b A= ⇒ = ⋅^ ^
b AD h h b AD h b b A h b b A2
2 2 2 2 2 2 2 2 2= ( ) + ⇒ = − ( ) ⇒ = − ⋅( ) ⇒ = − ⋅cos cos^ ^ (I)
Fazendo algumas substituições e utilizando o teorema de 
Pitágoras no triângulo retângulo BCD, temos:
 
a h BD a h c AD h a c b A2 2
2 2 2 2 2 2 2= + ( ) ⇒ = + −( ) ⇒ = − − ⋅( ) ⇒cos ^
⇒ = − − ⋅ + ⋅( ) ⇒h a c bc A b A2 2 2 2 22 cos cos^ ^
⇒ = − + ⋅ − ⋅ − ⋅h a c bc A b A b A2 2 2 2 2 22 cos cos cos ^^^ (II)
Das relações I e II, temos:
b b A a c bc A b A a b c bc A2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2− ⋅ = − + ⋅ − ⋅ ⇒ = + − ⋅cos cos cos cos^ ^ ^ ^ 
Como queríamos demonstrar. Também é possível demonstrar 
esse resultado para triângulos obtusângulos e para triângulos 
retângulos, de maneira semelhante à apresentada.
Figura 1.39 | Triângulo ABC acutângulo e uma de suas alturas
Fonte: elaborada pelo autor.
U1 - Trigonometria no triângulo 53
Área de um triângulo qualquer
Você deve conhecer a fórmula A
b h
=
⋅
2
 para calcular a área de
um triângulo, em que b representa a medida de um dos lados e h 
a medida correspondente à altura relativa a esse lado. No entanto, 
pode ser que não tenhamos à disposição a medida de sua altura, 
mas de seus lados e ângulos.
Pesquise mais
A demonstração da lei dos senos e da lei dos cossenos para um 
triângulo qualquer (acutângulo, retângulo ou obtusângulo) pode 
ser encontrada em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/
trigonom/trigo05.htm>. Acesso em: 15 mar. 2017. Nas demonstrações 
da lei dos senos, são utilizadas propriedades dos triângulos inscritos 
em uma circunferência. Vale a pena conferir!
A ab C= ⋅
2
sen
^
A ac B= ⋅
2
sen
^
Assimile
A área de um triângulo ABC qualquer é igual ao semiproduto das medidas 
de dois lados do triângulo pelo seno do ângulo formado por eles (vide 
Figura 1.40).
Figura 1.40 | Triângulo ABC qualquer e medidas dos lados
Fonte: elaborada pelo autor.
A bc A= ⋅
2
sen ^
U1 - Trigonometria no triângulo54
Mais uma vez, sem perda de generalidade, vamos demonstrar a 
validade dessas expressões para triângulos acutângulos. Considere 
um triângulo ABC e uma de suas alturas, conforme Figura 1.41.
Utilizando a razão senA^ no triângulo retângulo ABD, temos:
sen senA h
c
h c A= ⇒ = ⋅
^ ^
 
Agora, vamos utilizar a expressão A
b h
=
⋅
2
 citada anteriormente 
para calcular a área desse triângulo.
 
A b h A
b c A
A bc A= ⋅ ⇒ =
⋅ ⋅( )
⇒ = ⋅
22 2
sen
sen ^
^
De maneira semelhante, é possível obter as demais expressões. 
Também é possível demonstrar esse resultado para triângulos 
obtusângulos e para triângulos retângulos.
Figura 1.41 | Triângulo ABC acutângulo e uma de suas alturas
Fonte: elaborada pelo autor.
Faça você mesmo
Demonstre as demais relações A ab C= ⋅
2
sen^ e A
ac B= ⋅
2
sen^.
U1 - Trigonometria no triângulo 55
Outras propriedades geométricas: alturas, medianas, bissetrizes 
internas e circunferências inscritas ou circunscritas
Conhecendo as medidas dos lados e dos ângulos internos de 
um triângulo qualquer, podemos deduzir fórmulas que permitem o 
cálculo de segmentos notáveis desse triângulo: alturas, medianas, 
bissetrizes internas, raio da circunferência inscrita ou circunscrita. 
A dedução dessas fórmulas utiliza os resultados estudados nessa 
e nas seções anteriores: teorema de Pitágoras, relações métricas 
e trigonométricas no triângulo retângulo, lei dos senos, lei dos 
cossenos e área de um triângulo qualquer. No entanto, devido à 
extensão dos cálculos vamos deduzir apenas a primeira delas. A 
dedução das demais ocorre de maneira semelhante e pode ser 
encontrada no livro do professor Gelson Iezzi (1993, p. 263).
Num triângulo ABC, conhecendo-se as medidas dos lados a, b 
e c, podemos calcular as três alturas. Sem perda de generalidade, 
considere um triângulo ABC, cuja altura h é traçada sobre o lado 
BC , dividindo-o em dois segmentos de medidas m e n, como 
mostra a Figura 1.42.
Reflita
Dependendo das medidas conhecidas, podemos utilizar uma fórmula 
diferente para calcula a área do triângulo. Conhecendo as medidas da 
base (b) e da altura (h), utilizamos a fórmula A b h= ⋅
2
. Já conhecendo as 
medidas de dois lados (b e c) e do ângulo formado por eles (A^), 
utilizamos a fórmula A bc A= ⋅
2
sen ^. Mas e se conhecermos apenas as 
medidas dos três lados? Será que existe uma fórmula para calcular a área 
desse triângulo? Se você ficou curioso, pesquise pela fórmula de Herão, 
cujo nome é em homenagem ao matemático Herão de Alexandria, que 
viveu por volta da segunda metade do século I d.C. E porque não existe 
uma fórmula para calcular a área de um triângulo conhecendo apenas 
as medidas dos três ângulos?
U1 - Trigonometria no triângulo56
Figura 1.42 | Triângulo ABC e altura relativa ao lado BC
Fonte: elaborada pelo autor.
O teorema de Pitágoras, aplicado ao triângulo retângulo DBA, 
deriva a expressão seguinte:
 c n h2 2 2= + (1)
E, aplicado ao triângulo retângulo DCA, resulta em:
b m h h b m2 2 2 2 2 2= + ⇒ = − (2)
Como n a m= − , elevando ao quadrado ambos os membros, temos:
n a m n a am m2 2 2 2 22= −( ) ⇒ = − + (3)
Substituindo (3) e (2) em (1), segue que:
c a am m b m am a b c m
a
a b c2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 1
2
= − + + − ⇒ = + − ⇒ = + −( ) (4)
Substituindo (4) em (2), tem-se:
h b
a
a b c b
a b c
a
a b a b c
2 2 2 2 2
2
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
1
2 4
4
= − + −( )



= −
+ −( )
=
− + − 22
2
24
( )
=
a
 =
( ) − + −( )
=
( ) + + −( )  ⋅ ( ) − + −2
4
2 22 2 2 2
2
2
2 2 2 2 2 2ab a b c
a
ab a b c ab a b c(( )  =
4 2a
 
 
a ab b c c a ab b
a
a b c c2 2 2 2 2 2
2
2 2 22 2
4
a b
a
2
24
 
=
+( ) +  ⋅ +( ) − { } ⋅ + −( )  − +( ) { } =a b c a b c c a b c a b
a
.
4 2
 
 
=
+ +[ ] ⋅ + −[ ] ⋅ + −[ ] − +[ ]a b c a b c c a b c a b
a
.
4 2
U1 - Trigonometria no triângulo 57
Chamando o perímetro do triângulo ABC por 2p , temos:
a b c p
a b c a b c c p c p c
c a b a b c b p b p
+ + =
+ − = + + − = − = −( )
+ − = + + − = − =
2
2 2 2 2
2 2 2 2 −−( )
− + = + + − = − = −( )







b
c a b a b c a p a p a2 2 2 2
Substituindo essas expressões em (5), temos:
 
h
p p c p b p a
a
h
a
p p a p b p c2 2
2 2 2 2
4
2
=
⋅ −( ) ⋅ −( ) ⋅ −( )
⇒ = −( ) −( ) −( )
x y x xy y+( ) = + +2 2 22
x y x xy y−( ) = − +2 2 22
x y x y x y2 2− = +( ) −( )
Atenção
Nos cálculos anteriores são utilizados, por mais de uma vez, os seguintes 
produtos notáveis:
Assimile
Dado um triângulo ABC qualquer de lados a, b e c, temos:
• A altura h relativa ao lado BC é dada por:
h
a
p p c p b p a= −( ) −( ) −( )2
• A mediana m relativa ao lado BC é dada por:
m b c a= +( ) −12 2
2 2 
• A bissetriz interna s relativa ao lado BC é dada por:
s
b c
bcp p a=
+
−( )2 
U1 - Trigonometria no triângulo58
• O raio r da circunferência inscrita é dado por:
 
r
p a p b p c
p
=
−( ) −( ) −( )
• O raio R da circunferência circunscrita é dado por:
r abc
p p a p b p c
=
−( ) −( ) −( )4
 
Em que p é o semiperímetro do triângulo, isto é, p
a b c
=
+ +
2
.
Sem medo de errar
 Após o estudo da trigonometria em um triângulo qualquer, vamos 
retomar a terceira situação hipotética apresentada no Convite 
ao estudo? Vamos relembrar! Você é docente de certa turma do 
ensino médio em início de carreira, com a tarefa de elaborar uma 
atividade prática com o objetivo de calcular a altura de alguns pontos 
inacessíveis na escola ou próxima a ela, utilizando um teodolito 
construído pelos próprios alunos. Dessa vez os três pontos tomados 
como referência para o cálculo não formam necessariamente um 
triângulo retângulo.
A confecção e o uso do teodolito são semelhantes ao solicitado 
na seção anterior. Nessa nova aula prática, você poderá propor 
situações mais diversas. Comparando com a situação exemplificada 
na Seção 1.2, não será necessário marcar o ponto correspondente 
ao ângulo de 90° no teodolito. Isso facilita o cálculo indireto de 
outras distâncias, horizontais ou verticais (vide Figura 1.43).
U1 - Trigonometria no triângulo 59
Com base nos conteúdos desta seção, conhecendo três 
informações sobre o triângulo, sendo uma delas, pelo menos, o 
comprimento de um dos segmentos do triângulo, é possível obter 
as demais informações. Veja na seção Avançando na prática a seguir, 
os casos possíveis.
Cabe agora a você documentar tudo por meio de um plano de 
aula. Explique, detalhadamente, os materiais necessários e o passo 
a passo da construção do teodolito, assim como o processo de 
medição dos ângulos, as justificativas teóricas, o tempo disponível 
para a prática, os conteúdos matemáticos envolvidos, os resultados 
esperados, dentre outros aspectos.
Resolver um triângulo qualquer: os quatro problemas clássicos
Descrição da situação-problema
Suponha ainda que você é docente de certa turma do ensino 
médio e estão estudando trigonometria, especificamente os 
assuntos trabalhados nesta seção. Você separou um momento 
pós-aula para a resolução de exercícios e constatou que alguns 
alunos apresentam dificuldades na escolha da fórmula correta para 
resolver o triângulo. Que tal elaborar uma proposta de atividade 
para discutir com os alunos os quatro problemas clássicos de 
resolução de triângulos quaisquer?
Figura 1.43 | Uso do teodolito para medir a altura de uma árvore, formando um 
triângulo que não é retângulo
Fonte: adaptada de Chavante (2015, p. 311). 
Avançando na prática 
U1 - Trigonometria no triângulo60
Resolução da situação-problema
Mas você já ouviu a expressão “resolva o triângulo”? Resolver 
um triângulo qualquer significa calcular seus elementos principais: 
A^, B^, C
^
, a, b e c. Para isso, é necessário que sejam fornecidos, 
no mínimo, três informações sobre o triângulo, sendo uma delas, 
pelo menos, o comprimento de um dos segmentos do triângulo 
(lado, altura, mediana, bissetriz, etc.). Como já mencionado, os 
problemas desse tipo recaem num dos quatro problemas clássicos 
de resolução de triângulos quaisquer, listados a seguir.
1. Resolver um triângulo, conhecendo um lado (a) e dois ângulos 
adjacentes a ele (B
^
 e C
^).
2. Resolver um triângulo, conhecendo dois lados (b e c) e o 
ângulo que eles formam (A^).
3. Resolver um triângulo, conhecendo os três lados (a, b e c).
4. Resolver um triângulo, conhecendo dois lados (a e b) e o 
ângulo oposto a um deles.
Vamos discutir o último caso. Considere um triângulo ABC, no 
qual são conhecidos a, b e A^.Precisamos calcular c, B^ e C
^
. 
Há mais de um método para isso, dependendo da ordem em que 
eles são calculados. Por exemplo, a medida do ângulo B
^
 pode ser 
obtida com o auxílio de uma tabela trigonométrica ou calculadora 
científica ao aplicar diretamente a lei dos senos.
a
A
b
B
B b
a
A
sen sen
sen sen= ⇒ = ⋅^ ^^^
 
Em seguida, com a medida do ângulo B
^
 obtida, podemos 
calcular a medida do ângulo C^.
C A B= − +( )180^ ^ ^
 
Por fim, obtemos a medida do lado c aplicando novamente a 
lei dos senos.
a
A
c
C
c a C
Asen sen
sen
sen
= ⇒ =
⋅
^ ^ ^
^
 
Ou então, aplicando a lei dos cossenos.
c a b ab c c a b ab c2 2 2 2 22 2= + − ⋅ ⇒ = + − ⋅cos cos  
U1 - Trigonometria no triângulo 61
Que tal agora elaborar um plano de aula contendo uma 
maneira de resolver os triângulos dos demais casos? A resolução 
do último caso nos “dá dicas” sobre os demais. Você poderá prever 
um momento de discussão com os alunos, possibilitando que eles 
apresentem outras maneiras de resolver cada caso, buscando 
sempre a simplificações de cálculo. Esse estudo pode ser útil para 
o desenvolvimento da atividade proposta no tópico Sem medo de 
errar, apresentado anteriormente.
Faça valer a pena
1. Do ponto A, uma pessoa avista um balão sob o ângulo de 65° e a 250 
metros dali, no mesmo instante, do ponto C, outra pessoa avista o mesmo 
balão sob o ângulo de 77°, conforme indicado na Figura 1.44.
Assinale a alternativa que contém a distância aproximada do balão à primeira 
pessoa, nesse instante (considere sen ,38 0 616° = e sen ,77 0 974° = ).
a) 395,3 m
b) 149,0 m
c) 243,5 m
d) 410,3 m
e) 380,2 m
Figura 1.44 | Representação do momento em que duas pessoas avistam um balão, 
no mesmo instante (os elementos ilustrados não estão em proporção)
Fonte: elaborada pelo autor.
U1 - Trigonometria no triângulo62
2. Considere uma circunferência construída por um compasso com 
abertura de 60°. Sabe-se que o comprimento das hastes desse compasso, 
da ponta até o parafuso de fixação, é de 8 cm, conforme Figura 1.45.
Assinale a alternativa que contém a medida do comprimento dessa 
circunferência.
a) 16 cm
b) 2π cm 
c) 16π cm 
d) 
3
2
 cm 
e) 8 cm
3. O Triângulo Mineiro é uma das regiões mais ricas do estado, com a 
economia voltada principalmente para o agronegócio. A região recebeu 
este nome justamente porque tem a forma de um triângulo, fazendo 
divisas com os estados de São Paulo, Goiás e Mato Grosso do Sul, e tendo 
como limites os rios Grande e Paraíba e as três cidades mais populosas 
dessa região. Observe na Figura 1.46 o triângulo formado pelas linhas retas 
que ligam cada uma delas e duas distâncias.
Figura 1.45 | Construção de uma circunferência por um compasso
Fonte: elaborada pelo autor.
U1 - Trigonometria no triângulo 63
Assinale a alternativa que contém a distância aproximada em linha reta de 
Uberaba a Patos de Minas, e a área aproximada da região delimitada por 
esse triângulo, nessa ordem.
a) 9312,68; 199 km2 
b) 95 km; 9312,68 km2
c) 199 km; 1644,01 km2
d) 210 km; 10213,86 km2
e) 199 km; 9312,68 km2
Figura 1.46 | Triângulo formado pelas cidades Uberlândia, Uberaba e Patos de Minas
Fonte: elaborada pelo autor.
U1 - Trigonometria no triângulo64
U1 - Trigonometria no triângulo 65
Referências
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR. 9050: 2004. Disponível em: 
<http://www.pessoacomdeficiencia.gov.br/app/sites/default/files/arquivos/%5Bfield_
generico_imagens-filefield-description%5D_24.pdf>. Acesso em: 29 jun. 2017.
BOYER, Carl Benjamin. História da matemática. Tradução de Elza F. Gomide. São Paulo: 
Edgard Blucher, 1974.
CASSAR, Vólia Bomfim. Direito do trabalho. 9. ed. rev. e atual. São Paulo: Método, 
2014. (Obra completa e didática, com jurisprudência e caso práticos, sobre o Direito do 
Trabalho e os tópicos estudados nesta unidade) 
CHAVANTE, Eduardo Rodrigues. Convergências: Matemática. São Paulo: Edições SM, 
2015. v. 4.
IEZZI, Gelson et al. Fundamentos de matemática elementar: trigonometria. São Paulo: 
Atual, 1993. v. 3. 
ROSA NETO, Eduardo Aparecido da; BALESTRI, Rodrigo Dias. Matemática: interação e 
tecnologia. São Paulo: Leya, 2013. v.1.
RIBEIRO, Jackson da Silva. Matemática: Ciência, linguagem e tecnologia. 2. ed. São 
Paulo: Scipione, 2013. v. 3.
Unidade 2
Funções e identidades 
trigonométricas
Convite ao estudo
Você já participou ou teve oportunidade de assistir a uma 
prova de atletismo? Já percebeu que na posição de largada de 
algumas provas, os atletas estão em posições diferentes, ou 
seja, estão “desalinhados”? Além disso, eles não podem sair de 
suas raias até a linha de chegada. Por quê?
Esse “desalinhamento” ocorre justamente para compensar 
a diferença da distância percorrida no trajeto das curvas, 
uma vez que os atletas das raias mais externas percorrem 
uma trajetória com raio maior. Na parte das curvas, que são 
arcos de circunferência, as raias possuem raios diferentes e, 
consequentemente, aumentam de comprimento à medida 
que o raio da circunferência correspondente aumenta. Se 
pudéssemos “esticar” as raias a partir da largada de cada atleta, 
notaríamos que todos possuem o mesmo comprimento, no 
caso da Figura 2.1, de 200 m.
Fonte: adaptada de Rosa Neto e Balestri (2013, p. 8).
Figura 2.1 | Trajetos das raias de uma prova de 200 m (os elementos 
ilustrados não estão em proporção)
Mas como é possível calcular o comprimento de um arco de uma 
circunferência, que não é linear? Essa e outras perguntas podem ser 
respondidas a partir das relações que estudaremos nesta unidade.
E, para deixar o estudo ainda mais interessante, suponha que 
você foi contratado por uma empresa do ramo educacional para 
produzir três objetos virtuais interativos, abordando os principais 
conceitos de funções e identidades trigonométricas. Para 
isso, você deve utilizar um software matemático que permite 
construções geométricas de pontos, retas, planos, etc., e que 
permita também inserir funções e alterar seus parâmetros. Para 
criar os objetos virtuais, a empresa sugeriu o GeoGebra, que é 
um programa de computador gratuito com recursos dinâmicos 
voltados para aprendizagem de Matemática. Disponível em: 
<www.geogebra.org>. Acesso em: 22 abr. 2017.
Esses objetos interativos devem ser elaborados com o 
objetivo de explorar os conceitos estudados na respectiva seção 
do livro, de tal maneira que o aluno seja o foco da aprendizagem, 
com um papel extremamente ativo.
No primeiro objeto, relacionado ao conteúdo da seção 
“Trigonometria na circunferência”, o objetivo é explorar e 
manipular o “comportamento” das razões trigonométricas na 
circunferência trigonométrica. No segundo objeto, relacionado 
ao conteúdo da seção “Funções trigonométricas”, o desafio será 
construir uma representação animada para os gráficos das funções 
trigonométricas seno e cosseno. Já o terceiro objeto, relacionado 
ao conteúdo da seção “Outras identidades trigonométricas”, o 
objetivo é a verificação das fórmulas de transformação.
É possível construir os eixos das razões trigonométricas 
e as respectivas projeções de um ângulo central no círculo 
trigonométrico de modo que seja possível manipulá-lo, por meio 
de controle deslizante ou animação. Em todo caso, é importante 
explicar as opções de arredondamento, controle deslizante, 
rastro habilitado, variáveis, grid, entre outras, assim como utilizar 
imagens obtidas por capturas de tela do software. Vamos lá?
U2 - Funções e identidades trigonométricas 69
Seção 2.1
Trigonometria na circunferência
Na unidade anterior, utilizamos a trigonometria para calcular 
medidas de lados ou ângulos internos de triângulos. Estudamos que, 
para cada ângulo agudo de um triangulo retângulo, temos um valor 
para seno, um valor para cosseno e um valor para tangente. Nesta 
seção, os conceitos de seno, cosseno e tangente serão estendidos 
e formalizados na circunferência. Nesse caso, você irá reconhecer 
que o cosseno e o seno representam as medidas dos catetos de um 
triângulo retângulo de hipotenusa 1, poissão as projeções de um 
ponto nos eixos de uma circunferência.
Esses conteúdos servem como base para o trabalho que será 
desenvolvido posteriormente na unidade, em que serão abordadas 
as funções trigonométricas e suas propriedades algébricas e gráficas.
Vamos voltar também à situação hipotética apresentada no Convite 
ao estudo? Suponhamos que você foi contratado por uma empresa 
do ramo educacional para produzir um objeto virtual interativo para 
explorar e manipular o “comportamento” das razões trigonométricas 
na circunferência trigonométrica.
Você conseguiria descrever todas as etapas de elaboração desse 
objeto com base nos conteúdos desta seção? Uma maneira de fazer 
isso é por meio de um relatório detalhado, contendo o passo a passo 
da construção da circunferência trigonométrica e das projeções nos 
eixos do seno, cosseno e tangente, utilizando, sempre que possível, 
imagens obtidas por captura de tela do software GeoGebra.
Medida linear e medida angular de um arco
Como podemos medir um arco AB� ? Imagine um ponto na 
circunferência deslocando-se de A para B. Ele percorre uma distância 
sobre a circunferência, digamos  , ao mesmo tempo que ele gira 
um ângulo em torno do centro da circunferência, digamos α . Nesse 
Diálogo aberto 
Não pode faltar
U2 - Funções e identidades trigonométricas70
caso,  é uma medida linear, ou simplesmente comprimento do arco 
AB� , e a unidade de medida utilizada é a mesma do raio (metro, centímetro 
etc.), como se fosse “esticado” e medido com uma régua. Já a medida 
α refere-se à medida angular, ou simplesmente medida do arco AB� , e 
é igual à medida do ângulo central correspondente. Note que a medida 
depende apenas da medida do ângulo central, enquanto o comprimento 
depende também do raio da circunferência que o contém. Na figura a 
seguir, AB� e CD� têm a mesma medida (med medAB CD� �( ) = ( ) = °60 ), mas 
comprimentos diferentes ( 1 2< ).
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 2.1 | Arcos de mesma medida e comprimentos diferentes em circunferências 
concêntricas
Exemplificando
Considerando ainda o exemplo da Figura 2.2, para calcular 1 e 2 
utilizando uma regra de três simples, pois você deve se lembrar que a 
circunferência inteira mede 360° e tem comprimento 2≠ r2≠ rπ = 3 14,. Quando 
necessário, vamos considerar π = 3 14, .
U2 - Funções e identidades trigonométricas 71
Mas o grau não é a única unidade de medida para o ângulo. Outra 
unidade é o radiano. Um arco de medida um radiano (1 rad) tem o mesmo 
comprimento do raio da circunferência que o contém.
360
60
18 84 18 84 60 360
1130 4
360
3 14
1
1
1 1
= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒
⇒ = ⇒
, ,
, ,
l
l
l l ≅
Portanto, med medAB CD( ) = ( ) = ϒ60°, mas  1 23 14 5 23= < =, , , 
como citado anteriormente.
1
Medida (°) Comprimento (cm)
360
60
Medida (°) Comprimento (cm)
360
60
2 18 84
3 14
3
⋅ =⋅≠
,
,
}
{r
 cm
π
2 31 4
3 14
5
⋅ =⋅≠
,
,
}
{r
 cm
π
2
360
60
31 4 31 4 60 360
1884
360
5 23
2
2
2 2
= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒
⇒ = ⇒
, ,
,
l
l
l l ≅
U2 - Funções e identidades trigonométricas72
Reflita
Qual a vantagem em utilizar a medida de um arco em radianos ao invés 
de em graus? A resposta é que podemos fazer uma associação entre 
a medida e o comprimento do arco. Por exemplo, quando temos um 
arco que mede α radianos, podemos deduzir que seu comprimento 
corresponde ao de α vezes o comprimento do raio dessa circunferência. 
Com base na relação entre as unidades angulares, podemos converter 
uma medida de arco de graus para radianos e vice-versa. Por exemplo, 1
4
 
de volta mede 90° ou 
≠
2
π
 rad; 
1
2
 de volta mede 180° ou ≠π rad; 3
4
 de 
volta mede 270° ou 
3
2
≠π
 rad; e 1 volta mede 360° ou 2≠π rad.
Circunferência trigonométrica
Considere novamente um ponto na circunferência, deslocando-
se de A para B. Em algumas situações, poderíamos questionar: em qual 
sentido esse ponto se desloca: horário ou anti-horário? E se esse ponto 
Pesquise mais
No objeto interativo, disponível em: <https://www.geogebra.org/m/
M3vta5Uv#material/zEpUdwCJ>. Acesso em: 26 abr. É possível 
manipular e comparar as medidas em graus e em radianos de um arco 
de até uma volta completa.
Dica
Algumas calculadoras científicas oferecem três opções para a unidade 
de medida de ângulo: graus (Deg), radianos (Rad) ou grados (Gra). Essas 
opções são úteis para realizar uma conversão de medida angular ou 
calcular o valor do seno, cosseno ou tangente de um ângulo em radianos.
Consulte essas e outras funções no manual de certo modelo de 
calculadora científica. Disponível em: <http://support.casio.com/storage/
pt/manual/pdf/PT/004/GY300_Dtype_PT.pdf>. Acesso em: 26 abr. 2017.
Dica
U2 - Funções e identidades trigonométricas 73
girou mais do que uma volta completa? Para responder a perguntas 
desse tipo, vamos construir uma circunferência trigonométrica ou ciclo 
trigonométrico. Para isso, tome uma circunferência de centro O e raio 
unitário, e, em seguida, posicione o centro dessa circunferência sob a 
origem de um sistema de coordenadas cartesianas, que irá dividi-la em 
quatro partes, denominadas quadrantes. Vamos convencionar que todo 
arco tem origem no ponto A 0 1,( ) e com medida positiva no sentido 
anti-horário e negativa no sentido horário. Desse modo, a cada ponto P 
da circunferência trigonométrica, está associado o arco AP de medida α 
(em graus ou radianos).
Observe algumas medidas de arcos na circunferência trigonométrica 
nos dois sentidos.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 2.3 | Quadrantes e arco AP de medida α em uma circunferência 
trigonométrica
Atenção
É importante destacar que, como o raio da circunferência trigonométrica 
é 1 unidade, a medida do arco em radianos é numericamente igual ao 
seu comprimento. Portanto, daqui em diante, deixaremos de utilizar a 
notação rad para indicar um arco na circunferência trigonométrica.
U2 - Funções e identidades trigonométricas74
Fonte: elaborada pelo autor.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 2.4 | Alguns arcos no sentido anti-horário (a) e no sentido horário (b), em 
graus e radianos
Figura 2.5 | (a) arco AP de extremidade em 60° ou 
≠
3
π ; (b) arco AP de extremidade 
em -300° ou −
5
3
≠π
; (c) arco AP de extremidade em 420° ou 7
3
≠π 
a)
a)
b)
b) c)
Como o ponto P também pode dar mais de uma volta completa, 
ele está associado a infinitos arcos. Por exemplo, o ponto P pode estar 
associado à extremidade final de um arco AP de medidas 60° ou 
≠
3
π, -300° 
ou −
5
3
π
 (se ele estivesse se deslocado no sentido horário), ou mesmo 
420° ou 7
3
≠π , conforme ilustra a figura a seguir.
Note que 60 360 420° + ° = °
uma volta
completa
 ou 
π
π
π
3
2 7
3
+ =
uma volta
completa
. Além disso, o 
ponto P poderia dar k voltas completas, em ambos os sentidos. Em todo 
caso, eles se diferenciam apenas no sentido de deslocamento ou na 
quantidade de voltas e podemos representar a medida do arco AP por 
U2 - Funções e identidades trigonométricas 75
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 2.6 | Arco AP de medida α em uma circunferência trigonométrica e as 
projeções do ponto P nos eixos x e y
60 360° + ⋅ °k ou 
π
π
3
2+ ⋅k , com k ∈ . Dizemos então que eles 
são arcos côngruos. 
Seno, cosseno e tangente na circunferência trigonométrica
Considere o arco AP na circunferência trigonométrica a seguir.
Como a medida da hipotenusa no triângulo retângulo OPP ' é 1 
unidade, das razões trigonométricas seno e cosseno, temos:
sen ' ' 'α = = =PP
OP
PP PP
1 
cos ' ' 'α = = =OP
OP
OP OP
1
Isso nos leva a perceber que, dado um arco de medida α e 
extremidade P, as projeções do ponto P nos eixo x e y representam o 
Assimile
A expressão geral dos arcos côngruos a um arco AP de medida α , 
com 0 360≤ < °α ou 0 2≤ <α π pode ser escrita como:
α + ⋅ °k 360 ou α π+ ⋅k 2 , com k ∈ 
O arco AP de medida α é chamado 1ª determinação positiva dos 
côngruos a ele.
• AP : arco cujo ângulo central tem 
medida 
• P ' : projeção do ponto P no eixo x
• OP : raio da circunferência