Material Adicional - Trigonometria

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1. TRIGONOMETRIA 
 
 
1.1. Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo 
 
Vamos definir seno, cosseno e tangente por meio de semelhança de triângulos. Se ABC é um triângulo 
retângulo em A, temos: 
 
• a é a medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto); 
• b e c são as medidas dos catetos (lados que formam o ângulo reto); 
• B̂ e Ĉ são ângulos agudos; 
• AC é o cateto oposto ao ângulo B; 
• AB é o cateto adjacente ao ângulo B. 
 
Consideremos agora um ângulo =CÔA , com 0o <  < 90º, e tracemos, a partir dos pontos C, E, G, etc. da 
semirreta OA, as perpendiculares CD, EF, GH, etc., à semirreta OB. 
 
Essa relação depende apenas do ângulo  (e não do tamanho do triângulo retângulo do qual  é um dos ângulos 
agudos). Ela é chamada seno de  e escrevemos: 
 
oo 900 com ,
hipotenusa da medida
 ângulo ao oposto cateto do medida
OC
CD
)(sen 

==
 
 
De modo análogo, da semelhança de triângulos obtemos as relações: 
OD OF OH
= = =... (constante)
OC OE OG
 
 
CD EF GH
= = =... (constante)
OD OF OH
 
 
que também dependem apenas do ângulo  e que definimos, respectivamente, como cosseno do ângulo  e tangente 
do ângulo : 
 
 
 
Os triângulos OCD, OEF, OGH, etc. são semelhantes por terem os 
mesmos ângulos. Podemos, portanto, escrever: 
 
)(constante ...
OG
GH
OE
EF
OC
CD
=== 
 
 
 
 
o oOD medida do cateto adjacente ao ângulo θcos(θ)= = , com 0 < θ < 90
medida da hipotenusaOC 
 
 
 
o oCD medida do cateto oposto ao ângulo θtg(θ)= = , com 0 < θ < 90
medida do cateto adjacente ao ângulo θOD 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2. Relações entre Seno, Cosseno e Tangente (propriedades) 
 
As razões trigonométricas seno, cosseno e tangente se relacionam de várias formas, como veremos a seguir: 
❖ Relação fundamental do triângulo retângulo: sen2  + cos2  = 1, (0o <  < 90º). 
❖ 


=
cos
sen
tg , (0o <  < 90º). 
❖ Se dois ângulos,  e , são complementares ( +  = 90°), então sen  = cos  (o seno 
de um ângulo é igual ao cosseno do ângulo complementar, e vice-versa). Dessa propriedade 
surgiu o nome cosseno: seno do complemento. 
 
1.3. Seno, Cosseno e Tangente dos Ângulos Notáveis 
 
Os ângulos de 30º, 45º e 60º são chamados ângulos notáveis, ou 
seja, ângulos que merecem atenção especial. Para os estudos de 
Trigonometria, é essencial que tais valores sejam memorizados. 
A tabela ao lado resume esses valores. 
Observe na tabela que a sequência de valores da linha do seno 
aparece invertida na linha do cosseno. Isso não é coincidência. Ocorre 
porque 30º e 60º são complementares, e 45º é complementar a si mesmo. 
Assim: 
• sen 30º = cos 60º (30º + 60º = 90º) 
• sen 45º = cos 45º (45º + 45º = 90º) 
• sen 60º = cos 30º (60º + 30º = 90º) 
 
As razões , e 
são chamadas razões trigonométricas com relação ao ângulo . 
 
Além disso, os valores da linha da tangente equivalem à razão dos valores do seno e do cosseno, pois 
)xcos(
)x(sen
)x(tg = . 
Por exemplo, na coluna do 45º, temos: 
• sen 45º = 
2
2
 • cos 45º = 
2
2
 • tg 45º = 
1
2
2
2
2
2
2
2
2
== 
Dessa forma, nos exercícios que envolvem ângulos notáveis, você deve usar os valores memorizados e, nos 
demais exercícios, usar uma calculadora científica (lembre -se de que muitos modelos de celulares possuem esse tipo 
de calculadora). 
 
 
De onde vem o nome seno 
“Quando estudei Trigonometria no colégio, meu professor ensinou que seno vem 
do latim sinus, que significa seio, volta, curva, cavidade (como nas palavras enseada, 
sinuosidade). E usou o gráfico da função, que é realmente bastante sinuosos, para 
justificar o nome. 
Mais tarde vim a aprender que não é bem assim. Sinus é a tradução latina da palavra 
árabe jaib, que significa dobra, bolso ou prega de uma vestimenta. Isso não tem nada a 
ver com o conceito matemático de seno. Trata-se de uma tradução defeituosa, que 
infelizmente, durou até hoje. A palavra árabe adequada, a que deveria ser traduzida, seria 
jiba, em vez de jaib. Jiba significa a corda de um arco (de caça ou de guerra). Uma 
explicação para esse erro é proposta po A. Aaboe (Episódios da história antiga da 
Matemática, p.139): em árabe, como em hebraico, é frequente escreverem-se apenas as 
consoantes das palavras; o leitor se encarrega de completar as vogais. Além de jiba e jaib 
terem as mesmas consoantes, a primeira dessas palavras era pouco comum, pois tinha 
sido trazida da Índia e pertencia ao idioma sânscrito. 
Evidentemente, quando se buscam as origens das palavras, é quase inevitável que 
se considerem várias hipóteses e dificilmente se pode ter certeza absoluta sobre a 
conclusão. Há outras explicações possíveis para a palavra seno. Uma delas é de que se 
teria originado da abreviatura s. ins. (semicorda inscrita).” 
 
LIMA, Elon Lages. Meu Professor de Matemática. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada 
(IMPA) e Vitae – Apoio à Cultura, Educação e Promoção Social, 1991, p.187. 
 
 
 
 
Atividades de Aprendizagem 
 
Exercícios Teóricos 
Exercícios 01 a 14 extraídos da obra: 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. Vol. 1. 2ª Ed. São Paulo: Ática, 2013. 
 
E01. Uma rampa lisa de 10 m de comprimento faz 
ângulo de 30º com o plano horizontal. Uma pessoa que 
sobe essa rampa inteira eleva-se quantos metros 
verticalmente? 
 
 
 
 
 
E02. Um navio está situado exatamente 10 milhas a 
leste de um ponto A. Um observador, situado 
exatamente ao sul do navio, vê o ponto A sob um ângulo 
de 40º. Calcule a distância entre o observador e o navio. 
 
 
E03. Em um exercício de tiro esportivo, o alvo se 
encontra em uma parede e sua base está situada a 20 m 
do atirador. Sabendo que o atirador vê o alvo sob um 
ângulo de 10º em relação à horizontal, calcule a que 
distância o centro do alvo se encontra do chão. 
 
 
E04. Para determinar a altura de uma torre, um 
topógrafo coloca o teodolito a 100 m da base e obtém 
um ângulo de 30º, conforme mostra a figura. 
• obtemos uma medida de 
70º para o ângulo ACB. 
Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,70 m do solo, 
qual é aproximadamente a altura da torre? 
 
 
E05. Na figura abaixo, qual é a altura do avião em 
relação ao chão 
 
 
E06. Observe a figura a seguir e responda às questões: 
 
 
a) Qual é o comprimento da escada? 
b) Qual é o ângulo formado pela escada e o chão? 
 
E07. Queremos saber a largura l de um rio sem 
atravessá-lo. Para isso, adotamos o seguinte processo: 
• marcamos dois pontos, A (uma estaca) e B (uma 
árvore), um em cada margem; 
• marcamos um ponto C, 
distante 8 m de A, onde 
fixamos o aparelho para 
medir ângulos (teodolito), de 
tal modo que o ângulo no 
ponto A seja reto; 
 
 
Nessas condições, qual é a largura l do rio? 
 
E08. Em Física muitas grandezas são representadas por 
vetores, que são segmentos de reta orientados que 
possuem um tamanho (módulo), uma direção e um 
sentido (indicado pela flecha na ponta do vetor). 
Quando a direção desses vetores não é nem horizontal 
nem vertical, eles podem ser decompostos em outros 
dois vetores, sendo um horizontal e outro vertical. Na 
figura a seguir, observa-se um vetor V, de módulo 
(tamanho) 10, cuja direção está inclinada 30° em 
relação à horizontal. Usem seus conhecimentos de 
Trigonometria para calcular qual é o módulo (tamanho) 
do vetor Vx na horizontal e do vetor Vy na vertical. 
 
E09. As ruas Canário e Tico-Tico são perpendiculares. 
A distância entre os pontos A e B é de 50 m. As ruas 
Canário e Sabiá cruzam -se em B formando um ângulo 
de 60º. Qual é o perímetro do triângulo ABC 
determinado pelos cruzamentos dessas três ruas? 
(Use 7,13  ) 
 
 
 
 
 
E10. Na construção de um telhado foram usadas telhas 
francesas e o “caimento” do telhado é de 20º em relação 
ao plano horizontal. Sabendo que, em cada lado da casa, 
foram construídos 6 m de telhado e que, até a laje do 
teto, a casa tem3 m de altura, determine a que altura se 
encontra o ponto mais alto do telhado dessa casa. 
 
 
 
E11. Um avião levanta voo em A e sobe fazendo um 
ângulo constante de 15º com a horizontal. A que altura 
estará e qual a distância percorrida quando sobrevoar 
uma torre situada a 2 km do ponto de partida? 
 
E12. Calcule a medida x indicada na figura abaixo: 
 
E13. Um segmento AB de 10 cm faz um ângulo agudo 
a com a horizontal. Sua projeção A’B’ na horizontal 
mede 35 cm. Qual é o valor do ângulo ? 
 
 
E14. Um arame de 120 m de comprimento é esticado do 
topo de um prédio até o solo. Calcule a altura do prédio 
sabendo que o arame forma com o solo um ângulo de 
25º. 
 
 
 
 
Respostas dos Exercícios Teóricos: 
 
E01. 
5 m 
 
E02. 
12,05 milhas 
 
E03. 
3,6 m 
 
E04. 
59,7 m 
 
E05. 
2500 m 
 
E06. 
a) 8m 
b) 30º 
 
E07. 
22 m 
 
E08. 
Vx = 35 e Vy = 5 
 
E09. 
235 m 
 
E10. 
5,04 m 
 
E11. 
h = 540 m e d = 2.062 m 
 
E12. 
350
 
 
E13. 
 = 30º 
 
E14. 
50,4 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Testes 
 
T01. Acredita-se que a necessidade de avaliar distâncias 
inacessíveis tenha colaborado para o surgimento do cálculo 
trigonométrico, já que essas medidas podem ser estimadas com 
o auxílio da Trigonometria no triângulo retângulo. Atualmente, 
um instrumento óptico bastante usado para esse tipo de trabalho 
é o teodolito, que permite medir ângulos verticais e horizontais. 
 
 
 
a)  10 m b)  8 m c)  8,65 m d)  5,78 m e)  6,56 m 
 
T02. Um avião decola de um ponto B sob inclinação constante 
de 15º com a horizontal. A 2 km de B se encontra a projeção 
vertical C do ponto mais alto D de uma serra de 600 m de altura, 
conforme figura. Considerando cos 15º  0,97; sen 15º  0,26; 
tg 15º  0,27, é correto afirmar que: 
a)  não haverá colisão do avião com a serra; 
b)  haverá colisão do avião com a serra antes de alcançar 540 m de altura; 
c)  haverá colisão do avião com a serra em D; 
d)  se o avião decolar 220 m antes de B, mantendo a mesma inclinação, não haverá colisão do avião com a serra. 
 
T03. Em uma aula prática de seu curso de Engenharia Civil, Edmílson teve de determinar a altura de um prédio 
situado em terreno plano. Instalado o teodolito em um ponto do terreno, o estudante conseguiu ver o topo do prédio 
sob ângulo de 60°. Afastando-se o aparelho mais 5 m do edifício, seu topo passou a ser visto sob ângulo de 45°. 
Considerando que o teodolito tem uma altura de 1,17 m e tomando 1,732 como aproximação para 3 , a altura do 
edifício é: 
a)  9 m b)  6,82 m c)  11,83 m d)  13 m e)  11 m 
 
 
Usando um teodolito a partir do segmento AB 
apresentado na fotografia ao lado, foi possível 
medir dois ângulos: o90CÂB = e o30AĈB = . 
Como foi obtida a distância AB = 5 m, e 
tomando 1,73 como aproximação para 3 , a 
distância entre os pontos A e C é: 
 
 
 
 
T04. (Enem-2010) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a noroeste de São Paulo), na noite do 
último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando 
agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, 
Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento 
do tempo previsto de medição. 
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma 
estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob 
um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical 
do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, 
conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°. 
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão? 
 
a)  1,8 km b)  1,9 km c)  3,1 km d)  3,7 km e)  5,5 km 
 
T05. De um ponto A no solo, vistam-se a base B e o topo C de um bastão 
colocado verticalmente no alto de uma colina, sob ângulos de 30º e 45º, 
respectivamente. Se o bastão mede 4 m de comprimento, a altura da colina, 
em metros, é igual a: 
a)  3 
b)  2 
c)  32
 
d)  )13(2 +
 
e)  )33(2 + 
 
T06. (Enem-2011) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte 
procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual  fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo 
o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no 
entanto sob um ângulo visual 2. A figura ilustra essa situação: 
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo  = 30° e, 
ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido 
a distância =AB 2000 m. Com base nesses dados e 
mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até 
o ponto fixo P será: 
 
a)  1000 m b)  31000 m 
c)  
3
3
2000 m d)  2000 m e)  32000 m 
T07. Topografia é área do conhecimento que trabalha com levantamento de dados para a representação gráfica 
detalhada de uma região da superfície terrestre (distâncias, relevo, formas, etc.). Esse nome vem do idioma grego, 
em que topos significa ‘lugar’ e graphein significa ‘descrever’: “descrição de um lugar”. Desde as civilizações mais 
 
 
antigas, os povos já demarcavam a posição e limitavam a extensão de suas terras aplicando técnicas rudimentares de 
Topografia. 
Imagine que Thaís, estudante do curso de Engenharia Civil, cursando a disciplina de Topografia, caminha em uma 
pequena estrada retilínea paralela a uma praia, quando vê, da estrada, um grande barco parado no mar. Curiosa, quer 
saber a distância do barco à estrada. Pega seu teodolito no carro e verifica que a reta que une o barco ao ponto onde 
ela está forma 45° com a estrada. Após percorrer mais 1.350 m na estrada, Thaís verifica que a reta que une o barco 
ao novo ponto onde ela está forma com a estrada um ângulo de 30°; com essas informações, calcula a distância 
desejada. Se ela usou 1,7 como aproximação para 3 e acertou todos os cálculos, a distância que encontrou foi: 
a)  5 km b)  2,5 km c)  0,5 km d)  0,25 km e)  0,05 km
 
 
T08. (Enem-2009) Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou 
como herança um terreno retangular de 3 km  2 km que contém 
uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo 
de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado 
o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em 
repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte 
da área de extração, conforme mostra a figura. 
Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, 
aproximadamente, a: 








 58,0
3
3
 Considere 
a)  50% b)  43% c)  37% d)  33% e)  19%
 
 
T09. Um observador, no ponto B da figura ao lado, vê um prédio de modo que o 
ângulo ABC é de 105°. Se esse observador está situado a uma distância de 8 m do 
prédio e a uma altura de 8 m, qual é a altura do prédio? (Use 7,13  ) 
a)  21,6 m 
b)  17 m 
c)  18,6 m
 
d)  25,5 m
 
e)  30,6 m 
 
T10. Uma pessoa de 1,65 m de altura observa o topo de um edifício 
conforme o esquema abaixo. Para sabermos a altura do prédio, devemos 
somar 1,65m a: 
a)  bcos() 
b)  acos() 
 
 
c)  asen()
 
d)  btg() 
e)  bsen() 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas dos Testes: 
 
01. C 
 
02. B 
03. D 
04. C 
05. D 
06. B 
 
07. C 
08. E 
09. A 
10. E 
 
1.4. Estudo da Circunferência Trigonométrica 
 
1.4.1. Introdução 
 
Os ângulos aparecem nos registros da Grécia antiga associados ao estudo dos elementos de um círculo, 
relacionados com arcos e cordas. As propriedades dos ângulos centrais de uma circunferência eram conhecidas desde 
o tempo de Eudoxo — astrônomo, matemático e filósofo grego que viveu no séculoIV a.C. —, que teria usado 
medidas de ângulos em diversos cálculos, como a determinação das dimensões da Terra e da distância relativa entre 
o Sol e a Terra. 
Acredita-se que os sumérios e os acadianos, antigos povos habitantes da Mesopotâmia (3500 a.C.), já sabiam 
medir ângulos — é atribuída aos sumérios a criação da escrita cuneiforme, a mais antiga de que se tem notícia. Feita 
com o auxílio de uma cunha, a escrita cuneiforme era composta de traços verticais, horizontais e oblíquos. 
A divisão do círculo em partes iguais, obtida por meio de ângulos centrais congruentes, aparece bem mais 
tarde. Hipsicles (século III a.C.) foi um dos primeiros astrônomos gregos a dividir o círculo em 360 partes iguais, 
mas não há evidência científica da escolha desse número. O que pode tê-la influenciado é o fato de já se saber que o 
movimento de translação da Terra em torno do Sol se realizava em um período de aproximadamente 360 dias. Mas 
a hipótese mais provável é ter havido a influência do sistema de numeração de base sexagesimal (base 60), utilizado 
na Babilônia, justificando também as subdivisões das medidas dos ângulos, que seguem essa base. 
A Trigonometria, como seu nome sugere, é o estudo das medidas envolvidas no triângulo. Seu propósito inicial 
é, portanto, a resolução de problemas relacionados a triângulos. 
Já estudamos as relações entre os ângulos e os lados de um triângulo retângulo, as razões trigonométricas. 
Agora, vamos estender esses conceitos a ângulos maiores do que 180°, e para isso contaremos com o apoio de uma 
circunferência, chamada circunferência trigonométrica, na qual serão considerados os ângulos centrais. 
 
 
1.4.2. Conceitos Trigonométricos Básicos 
 
Neste tópico vamos fazer um estudo mais abrangente de seno, cosseno e tangente, uma necessidade mais 
recente da Matemática. Nesse novo contexto, o triângulo retângulo é insuficiente para as definições necessárias e 
precisamos estabelecer um novo “ambiente” para a Trigonometria: a circunferência trigonométrica. 
Para isso, vamos relembrar alguns conceitos necessários: 
 
❖ Arco geométrico: é uma das partes da circunferência delimitada por dois pontos, incluindo-os. Se os dois pontos 
coincidirem, teremos arco nulo ou arco de uma volta. 
 
❖ Medida e comprimento de um arco: considere um 
ponto A sobre uma circunferência de raio r e centro O. 
Deslocando-se o ponto A sobre a circunferência, ele 
percorre uma distância l ao mesmo tempo em que gira um 
ângulo  em torno do centro O. 
Esse movimento do ponto A descreve um arco de circunferência de medida  e comprimento l. 
Para a medida  usam-se geralmente unidades como o grau e o radiano. 
Para o comprimento l usam-se em geral unidades como metro, centímetro, quilômetro, etc. 
• Medida de uma circunferência em graus: 360°. 
• Comprimento de uma circunferência de raio r: C = 2r . 
 
❖ Arco e ângulo central: todo arco de circunferência tem a mesma medida do ângulo central que o subtende. 
 
 
 
❖ Unidades para medir arcos de circunferência (ou ângulos): As unidades mais usadas para medir arcos de 
circunferência (ou ângulos) são o grau e o radiano. 
• Grau: quando dividimos uma circunferência em 360 partes congruentes, cada uma dessas partes é um arco de um 
grau (1°). Considere o arco AB, que vai de A para B no sentido anti-horário: 
 
 
 
 
O comprimento l depende 
do raio da circunferência, 
mas a medida  não. 
Arco: 
Medida de AB =  
 
Ângulo Central: 
Medida de =  
 
Considere cinco circunferências 
concêntricas de raios diferentes 
e um mesmo ângulo central 
subtendendo arcos em todas elas. 
Os cinco arcos terão a mesma medida? 
E terão o mesmo comprimento? 
 
arco AB de 270º 
(três quartos de volta) 
arco AB de 90º 
(um quarto de volta) 
arco AB de 180º 
(meia volta) 
arco AB de 360º ou 0o 
(uma volta ou nulo) 
O grau foi dividido em 60 partes 
menores denominadas minuto. 
 
O minuto foi dividido também em 60 
partes menores denominadas segundo. 
 
Assim, um arco de dois graus, trinta e 
cinco minutos e quarenta segundos é 
representado por: 2°35’40’’. 
• Radiano: um arco de um radiano (1 rad) é um arco cujo comprimento retificado é igual ao raio da circunferência. 
Isso deve ser interpretado da seguinte forma: 
 Se temos um ângulo central de medida 1 radiano, então ele subtende um 
arco de medida 1 radiano (lembre-se que a medida do arco é igual à medida 
do ângulo central) e comprimento de 1 raio. 
 Se temos um ângulo central de medida 2 radianos, então ele subtende um 
arco de medida 2 radianos e comprimento de 2 raios. 
 Se temos um ângulo central de medida  radianos, então ele subtende um 
arco de medida  radianos e comprimento de  raios. Assim, se a medida  
do arco for dada em radianos, teremos l = r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
❖ Relação entre as unidades para medir arcos (ou ângulos): Lembre-se de que o comprimento C da 
circunferência de raio r é igual a C = 2r, em que  = 3,141592... Como cada raio r corresponde a 1 rad, podemos 
afirmar que o arco correspondente à circunferência mede: 2r = 21 rad = 2 rad. 
 
Sabendo que um arco de 180º mede  rad , podemos fazer a conversão de unidades usando uma regra de três 
simples. Porém, recomendamos que você se acostume a fazer as principais conversões entre grau e radiano 
mentalmente, sem recorrer à regra de três. 
Esse procedimento é muito simples se observarmos que: 
 
 
 
Existem outras unidades para medir 
arcos, por exemplo, o grado, que é um 
arco obtido a partir da divisão da 
circunferência em 400 partes iguais. 
Porém, as unidades mais usadas são o 
grau e o radiano. 
 
• 90º é 
2
1
 de 180º; logo, é 
2
1
 de  rad → 90º = 
2

 rad. 
• 30º é 
6
1
 de 180º; logo, é 
6
1
 de  rad → 30º = 
6

 rad. 
• 60º é 
3
1
 de 180º; logo, é 
3
1
 de  rad → 60º = 
3

 rad. 
• 45º é 
4
1
 de 180º; logo, é 
4
1
 de  rad → 45º = 
4

 rad. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Você pode (e deve!) 
memorizar estas relações para 
agilizar as conversões. 
Veja outro exemplo: 
120º é o dobro de 60º, então: 
120º = 
3
2
3
2

=

 rad. 
 
Atividades de Aprendizagem 
 
Exercícios Teóricos 
Exercícios 01 a 14 extraídos da obra: 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. Vol. 2. 2ª Ed. São Paulo: Ática, 2013. 
 
E01. Se o comprimento de uma circunferência é 2 cm, qual seria o comprimento de um arco de: 
a) 
 
 
 b) 
 
 
 c) 
 
 d) 
 
 
e) 
 
 
 f) 
 
 
 g) 
 
 
E02. Converta em radianos: 
a) 210º b) 300º c) 120º d) 115º e) 270º f) 135º g) 150º 
 
E03. Expresse em graus: 
a) 
6

 b) 
6
5
 c) 
4

 d) 
4
5
 e) 
3
4
 f) 
5
6
 g) 
7
2
 
 
 
 
 
E04. Determine a medida, em radianos, de um arco de 20 cm de comprimento contido em uma circunferência de 
raio 8 cm. 
 
E05. Qual é o comprimento de um arco correspondente a um ângulo central de 45° contido em uma circunferência 
de raio 2 cm? 
 
E06. Calcule, em radianos, a medida do ângulo central correspondente a um arco de comprimento 15 cm contido 
numa circunferência de raio 3 cm. 
 
E07. Determine o ângulo, em radianos, em cada item: 
a) 
 
b) 
 
 
E08. Um pêndulo tem 15 cm de comprimento e, no seu movimento, suas posições extremas formam um ângulo de 
60°. Qual é o comprimento do arco que a extremidade do pêndulo descreve? 
 
 
Respostas dos Exercícios Teóricos: 
 
E01. 
a) cm
 
b) cm 
2

 
c) cm 
3

 
d) cm 
6

 
e) cm 
3
2
 
f) cm 
3
4
 
g) cm 
2
3
 
 
E02. 
a) rad 
6
7
 
b) rad 
3
5
 
c) rad 
3
2
 
d) rad 
36
23
 
e) rad 
2
3
 
f) rad 
4
3
 
g) rad 
6
5
 
 
E03. 
a) 30º 
 
b) 150º
 
c) 45º
 
d) 225º
 
e) 240º
 
f) 216º
 
g) 3431
7
360 o =
 
 
E04. 
rad 
2
5
 
 
 
E05. 
cm 
2

 
 
E06. 
rad 5 
 
E07. 
a) rad ,21
 
b) rad 
3
2
 
 
 
E08.cm 7,15
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4.3. Circunferência Trigonométrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
À circunferência trigonométrica de centro O, vamos associar um sistema 
de coordenadas cartesianas ortogonais, fixando o ponto A de coordenadas (1, 
0) como origem dos arcos (conforme figura ao lado). 
Os eixos x e y dividem a circunferência trigonométrica em quatro partes 
congruentes chamadas quadrantes, numeradas de 1 a 4 e contadas a partir de 
A, no sentido positivo. 
 
 
 Os pontos A, B, A’ e B’ são pontos dos eixos e por isso não são considerados pontos dos quadrantes. 
 Para todo ponto (x, y) pertencente à circunferência trigonométrica, temos -1 x  1 e -1 y  1. 
 
 
 
 
 
Denomina-se circunferência trigonométrica à circunferência 
orientada, de centro na origem do sistema de coordenadas 
cartesianas ortogonais, cujo raio tem 1 unidade de comprimento e 
na qual o sentido positivo é o anti-horário. 
 
 
1.4.4. Arcos Côngruos ou Congruentes 
 
Toda vez que o ponto da circunferência, final do arco iniciado em (1, 0), é o mesmo para dois arcos diferentes 
(por exemplo, 0 e 2), chamamos esses arcos de arcos côngruos ou congruentes. 
É conveniente notar que todos os arcos côngruos diferem entre si de um múltiplo de 2, que é o comprimento 
de cada volta. 
 
 
Imaginando o ponto como um móvel que se desloca sobre a circunferência no sentido anti-horário, teríamos o 
seguinte: 
• na primeira figura, o ponto deslocou-se 
3

ou 60° de A até B; 
• na segunda figura, o ponto deslocou-se uma volta inteira (2 ou 360°) e mais 
3

ou 60°; ou seja, deslocou-se 
3
7
ou 420°; 
• na terceira figura, o ponto deslocou-se duas voltas inteiras (22 ou 2  360°) 
e mais 
3

ou 60°; ou seja, 
3
13
 ou 780°. 
 
Supondo que o ponto se deslocasse k voltas inteiras, o número associado à extremidade B do arco AB seria 
escrito assim: 
 
 Zk com ,360k60ou 2k
3
oo ++

 
 
Podemos então definir: 
 
 
 
 
 
 
 
Dois arcos são côngruos ou 
congruentes quando suas medidas 
diferem em um múltiplo de 
2 rad ou 360°. 
 
Atividades de Aprendizagem 
 
Exercícios Teóricos 
 
E01. Escreve a expressão geral dos arcos congruentes a: 
a) 60º b) 120º c) 
4
5
 rad d) 6
11
rad 
E02. Dê a expressão geral, em radianos, dos arcos de extremidades nos pontos indicados, considerando a origem em A: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
E03. Encontre a 1ª determinação, ou seja, o menor valor não negativo côngruo ao arco de: 
a) 780º b) 1140º c) -400º d) 
2
15
 rad e) 
3
10
rad f) 2
9
rad 
E04. “Em 1792, durante a Revolução Francesa, houve na França uma reforma de pesos e medidas que culminou na 
adoção de uma nova unidade de medida de ângulos. Essa unidade dividia o ângulo reto em 100 partes iguais, 
chamadas grados. Um grado (1 gr) é, então, a unidade que divide o ângulo reto em 100 partes iguais, e o minuto 
divide o grado em 100 partes, bem como o segundo divide o minuto também em 100 partes. Tudo isso para que a 
unidade de medição de ângulos ficasse em conformidade com o sistema métrico decimal. A ideia não foi muito bem-
sucedida, mas até hoje encontramos na maioria das calculadoras científicas as três unidades: grau, radiano e grado.” 
(DANTE, 2013, p.34) 
Com base no texto acima, responda: 
a) A quantos grados equivale meia volta de circunferência? E uma volta inteira? 
b) Em qual quadrante termina o arco trigonométrico de 250 gr? 
c) A quantos grados equivale 1 rad? 
d) A quantos graus equivale 1 gr. 
 
 
Respostas dos Exercícios Teóricos: 
 
E01. 
a) +

k2
3 
ou 60º + 360ºk; com k  Z. 
b) +

k2
3
2
 
ou 120º + 360ºk; com k  Z. 
c) +

k2
4
5
 
ou 225º + 360ºk; com k  Z. 
d) +

k2
6
11
 
ou 330º + 360ºk; com k  Z. 
 
E02. 
a) Z.k com ,k2
6
 
6
30o +

→

=
 
 
b) Z.k com ,k2
4
 
4
54 )P( o1 +

→

=
 
 
 Z.k com ,k2
4
5
 
4
5
252 )P( o2 +

→

= 
c) Z.k com ,k2
4
 
4
54 )P( o1 +

→

=
 
 
 Z.k com ,k2
4
7
 
4
7
153 )P( o2 +

→

=
 
d) Z.k com ,k2
3
2
 
3
2
120o +

→

=
 
 
e) Z.k com ,k2
3
5
 
3
5
30060 oo +

→

==−
 
 
 
 
f) Z.k com ,k2
6
 
6
03 )P( o1 +

→

=
 
 
 Z.k com ,k2
6
5
 
6
5
150 )P( o2 +

→

=
 
 
 Z.k com ,k2
6
7
 
6
7
102 )P( o3 +

→

= 
 
 Z.k com ,k2
5
11
 
5
11
303 )P( o4 +

→

= 
 
E03. 
a) 60º 
b) 60º 
c) 320º 
d) rad
2
3
 
e) rad
3
4
 
f) rad
2

 
 
E04. 
a) 200 gr e 400 gr 
b) 3º quadrante 
c) 63,7 gr 
d) 0,9º 
 
 
 
 
 
 
 
 
Testes 
 
T01. (PUC-MG) Ao projetar prédios muito altos, os engenheiros devem ter em mente o movimento de oscilação, que 
é típico de estruturas de arranha-céus. Se o ponto mais alto de um edifício de 400 m descreve um arco de
o
2
1






, a 
medida do arco descrito por esse ponto, em metros, é: 
a)   b)  
4
3
 c)  
3
4
 d)  
9
10
 e)  10
11 
 
T02. (Enem-2004) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado 
“Mineirinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo 
atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação “900” refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar 
em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a: 
a)  uma volta completa. 
b)  uma volta e meia. 
c)  duas voltas completas. 
d)  duas voltas e meia. 
e)  cinco voltas completas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5. Funções Trigonométricas 
 
 Nesta seção vamos estender os conceitos de sen(), cos() e tg() para todos os valores reais do número . 
Dessa forma, vamos definir o seno, cosseno e tangente como funções reais ais quais chamamos de funções 
trigonométricas. 
 
1.5.1. Função seno 
Dado um número real x, podemos associar a ele o valor do 
seno de um ângulo (ou arco) de x radianos: 
Definimos a função trigonométrica seno como a função que 
associa a cada número real x o valor real de sen(x), ou seja, 
f: ℛ → ℛf(x) = sen(x). 
 
❖ Gráfico 
Calculando os valores do seno de x para alguns valores de x, vemos que o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
tem o seguinte aspecto: 
 
 
 
❖ Periodicidade 
Observando o gráfico da função seno, vemos que a função repete periodicamente seus valores nos intervalos 
..., [−2, 0], [0, 2], [2, 4], ... ; daí dizemos que a função seno é periódica. 
Observemos que sen(x) = sen(x + 2) = sen(x + 4) = ..., para todo x  ℛ, dessa forma, dizemos que o período 
da função seno é 2 e indicamos por p = 2. 
 
❖ Sinal 
Para analisar o sinal da função seno recorremos ao ciclo 
trigonométrico. 
Podemos observar que a função seno é positiva para os valores 
do 1º e 2º quadrantes e negativa para valores do 3º e 4º quadrantes. 
• O domínio da função seno é o conjunto dos números reais e a 
imagem é o intervalo [−1, 1]. 
 
 
 
• sen(x) = 0, para x = k, com k  Z. 
sen(x) > 0, para x no 1º e 2º quadrantes e para x = 2k
2

+  , com k  Z. 
sen(x) < 0, para x no 3º e 4º quadrantes e para x = 
3
2k
2

+  , com k  Z. 
 
1.5.2. Função cosseno 
Dado um número real x, também podemos associar a ele o valor do cosseno de um ângulo (ou arco) de x 
radianos. Definimos a função trigonométrica cosseno como a função que associa a cada número real x o valor real 
de cos(x), ou seja, f: ℛ → ℛf(x) = cos(x). 
 
❖ Gráfico 
Calculando os valores do cosseno de x, para alguns valores de x, vemos que o gráfico da função f(x) = cos(x) 
tem o seguinte aspecto: 
 
 
Observe que o gráfico da função cosseno é simétrico em relação ao eixo y. Além disso, a curva definida pela função 
f(x) = cos(x) é a curva senóide transladada
2

unidades paraa direita. 
 
❖ Sinal 
Analisando o sinal da função cosseno, vemos que a função 
cosseno é positiva para os valores do 1º e 4º quadrantes e negativa 
para valores do 2º e 3º quadrantes. 
• O domínio da função cosseno é o conjunto dos números reais e a 
imagem é o intervalo [−1, 1]. 
• A função cosseno é periódica de período p = 2. 
• cos(x) = 0, para x = k
2

, com k  Z. 
cos(x) > 0, para x no 1º e 4º quadrantes e para x = 2 2k +  , com k  Z. 
cos(x) < 0, para x no 2º e 3º quadrantes e para x = 2k +  , com k  Z. 
 
 
 
 
 
1.5.3. Função tangente 
Definimos a função trigonométrica tangente como a função que associa a cada número real x o valor real 
de tg(x), ou seja, 
sen(x)
f (x) tg(x)
cos(x)
= = , para x k ,
2

 +  com k  Z. 
 
❖ Gráfico 
Calculando os valores do seno de x, para alguns valores de x, 
vemos que o gráfico da função f(x) = tg(x) tem o aspecto da imagem 
ao lado. 
Observe que o gráfico da função tangente é simétrico em 
relação à origem. 
 
 
❖ Sinal 
Pela definição da função f(x) = tg(x), vemos que a função tangente é 
positiva para os valores do 1º e 3º quadrantes e negativa para valores 
do 2º e 4º quadrantes. 
• A função tangente é periódica de período p = . 
• O domínio da função tangente é o conjunto x  ℛ, x k ,
2

 +  com 
k  Z e a imagem é o conjunto dos números reais.