1 Sinais Continuos

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Sinais e Sistemas Cont´ınuos
Cap´ıtulo 1
Conceitos Introduto´rios
Prof. Ivanovich Lache
Centro Federal de Educac¸a˜o Tecnolo´gica Celso Suckow da Fonseca
Unidade de Ensino Descentralizada Nova Iguac¸u
ilachecefet@gmail.com
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Sinais em Tempo Cont´ınuo
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Avaliac¸a˜o
A disciplina sera´ avaliada da seguinte forma:
Listas tera˜o valor de 5%
P1 (Quarta 21 de Setembro)
P2 (Quarta 16 de Novembro)
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Livro-texto
Sinais e Sistema Lineares
B.P. LATHI BookMan
2a Edic¸a˜o, 2007
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Introduc¸a˜o
Um sinal e´ um conjunto de dados que podem ter como varia´vel
independente o tempo ou podem ser func¸a˜o no espac¸o. Os sinais sa˜o
comummente observados como entradas e sa´ıdas de sistemas f´ısicos
reais.
O sistema e´ uma entidade que processa os sinais.
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Introduc¸a˜o
Um sinal e´ um conjunto de dados que podem ter como varia´vel
independente o tempo ou podem ser func¸a˜o no espac¸o. Os sinais sa˜o
comummente observados como entradas e sa´ıdas de sistemas f´ısicos
reais.
O sistema e´ uma entidade que processa os sinais.
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Introduc¸a˜o
Um sinal pode ser apresentado matematicamente da forma de uma func¸a˜o
do tipo:
Sinal ⇒ x(t)
O sinal Continuo:
E´ representado por x(t), y(t)...
t so´ pode assumir valores reais.
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Introduc¸a˜o
Um sinal pode ser apresentado matematicamente da forma de uma func¸a˜o
do tipo:
Sinal ⇒ x(t)
O sinal Continuo:
E´ representado por x(t), y(t)...
t so´ pode assumir valores reais.
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Tamanho de um sinal
Como podemos diferenciar ou identificar um sinal?
Uma das formas para identificar um sinal e´ definir o seu Tamanho.
Podemos considerar a a´rea abaixo da curva como medida do tamanho do
sinal, esta medida e´ conhecida como A energia de um sinal continuo Ex e
e´ definida como:
Ex =
∫ ∞
−∞
|x(t)|2dt
O ca´lculo da energia e´ aplica´vel unicamente quando x(t)→ 0 a medida
que |t| → ∞
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Tamanho de um sinal
Como podemos diferenciar ou identificar um sinal?
Uma das formas para identificar um sinal e´ definir o seu Tamanho.
Podemos considerar a a´rea abaixo da curva como medida do tamanho do
sinal, esta medida e´ conhecida como A energia de um sinal continuo Ex e
e´ definida como:
Ex =
∫ ∞
−∞
|x(t)|2dt
O ca´lculo da energia e´ aplica´vel unicamente quando x(t)→ 0 a medida
que |t| → ∞
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Tamanho de um sinal
Como podemos diferenciar ou identificar um sinal?
Uma das formas para identificar um sinal e´ definir o seu Tamanho.
Podemos considerar a a´rea abaixo da curva como medida do tamanho do
sinal, esta medida e´ conhecida como A energia de um sinal continuo Ex e
e´ definida como:
Ex =
∫ ∞
−∞
|x(t)|2dt
O ca´lculo da energia e´ aplica´vel unicamente quando x(t)→ 0 a medida
que |t| → ∞
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Tamanho de um sinal
Para sinais que na˜o podem ser medidos utilizando o conceito de energia,
podemos utilizar a definic¸a˜o de Poteˆncia.
Px = lim
T→∞
1
T
∫ T
2
−T
2
|x(t)|2
Atenc¸a˜o: Para sinais perio´dicos a poteˆncia pode ser rapidamente calculada
levando em considerac¸a˜o um u´nico per´ıodo.
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Tamanho de um sinal
Para sinais que na˜o podem ser medidos utilizando o conceito de energia,
podemos utilizar a definic¸a˜o de Poteˆncia.
Px = lim
T→∞
1
T
∫ T
2
−T
2
|x(t)|2
Atenc¸a˜o: Para sinais perio´dicos a poteˆncia pode ser rapidamente calculada
levando em considerac¸a˜o um u´nico per´ıodo.
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Tamanho de um sinal
Para sinais que na˜o podem ser medidos utilizando o conceito de energia,
podemos utilizar a definic¸a˜o de Poteˆncia.
Px = lim
T→∞
1
T
∫ T
2
−T
2
|x(t)|2
Atenc¸a˜o: Para sinais perio´dicos a poteˆncia pode ser rapidamente calculada
levando em considerac¸a˜o um u´nico per´ıodo.
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Exemplo I
Exemplo: Calcule o tamanho de x(t)
Ex =
∫ ∞
−∞
|x(t)|2dt
Ex =
∫ 0
−∞
|x(t)|2dt +
∫ 1
0
|x(t)|2dt +
∫ ∞
1
|x(t)|2dt
Ex = 0 +
∫ 1
0
t2dt + 0
Ex =
t3
3
∣∣∣∣1
0
→ 1
3
Que acontece se o deslocamos o sinal? ou se multiplicamos por C?
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Exemplo I
Exemplo: Calcule o tamanho de x(t)
Ex =
∫ ∞
−∞
|x(t)|2dt
Ex =
∫ 0
−∞
|x(t)|2dt +
∫ 1
0
|x(t)|2dt +
∫ ∞
1
|x(t)|2dt
Ex = 0 +
∫ 1
0
t2dt + 0
Ex =
t3
3
∣∣∣∣1
0
→ 1
3
Que acontece se o deslocamos o sinal? ou se multiplicamos por C?
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Exemplo I
Exemplo: Calcule o tamanho de x(t)
Ex =
∫ ∞
−∞
|x(t)|2dt
Ex =
∫ 0
−∞
|x(t)|2dt +
∫ 1
0
|x(t)|2dt +
∫ ∞
1
|x(t)|2dt
Ex = 0 +
∫ 1
0
t2dt + 0
Ex =
t3
3
∣∣∣∣1
0
→ 1
3
Que acontece se o deslocamos o sinal? ou se multiplicamos por C?
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Exemplo I
Exemplo: Calcule o tamanho de x(t)
Ex =
∫ ∞
−∞
|x(t)|2dt
Ex =
∫ 0
−∞
|x(t)|2dt +
∫ 1
0
|x(t)|2dt +
∫ ∞
1
|x(t)|2dt
Ex = 0 +
∫ 1
0
t2dt + 0
Ex =
t3
3
∣∣∣∣1
0
→ 1
3
Que acontece se o deslocamos o sinal? ou se multiplicamos por C?
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Exemplo I
Exemplo: Calcule o tamanho de x(t)
Ex =
∫ ∞
−∞
|x(t)|2dt
Ex =
∫ 0
−∞
|x(t)|2dt +
∫ 1
0
|x(t)|2dt +
∫ ∞
1
|x(t)|2dt
Ex = 0 +
∫ 1
0
t2dt + 0
Ex =
t3
3
∣∣∣∣1
0
→ 1
3
Que acontece se o deslocamos o sinal? ou se multiplicamos por C?
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Exemplo I
Exemplo: Calcule o tamanho de x(t)
Ex =
∫ ∞
−∞
|x(t)|2dt
Ex =
∫ 0
−∞
|x(t)|2dt +
∫ 1
0
|x(t)|2dt +
∫ ∞
1
|x(t)|2dt
Ex = 0 +
∫ 1
0
t2dt + 0
Ex =
t3
3
∣∣∣∣1
0
→ 1
3
Que acontece se o deslocamos o sinal? ou se multiplicamos por C?
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Exemplo II
Exemplo: Calcule o tamanho de x(t)
Px =
1
T
∫ T
2
−T
2
|x(t)|2dt
Px =
1
4
∫ 2
−2
|t3|2dt → 1
4
∫ 2
−2
t6dt
Px =
1
(4)7
(
27 − (−2)7)→ 64
7
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Exemplo II
Exemplo: Calcule o tamanho de x(t)
Px =
1
T
∫ T
2
−T
2
|x(t)|2dt
Px =
1
4
∫ 2
−2
|t3|2dt → 1
4
∫ 2
−2
t6dt
Px =
1
(4)7
(
27 − (−2)7)→ 64
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Exemplo II
Exemplo: Calcule o tamanho de x(t)
Px =
1
T
∫ T
2
−T
2
|x(t)|2dt
Px =
1
4
∫ 2
−2
|t3|2dt → 1
4
∫ 2
−2
t6dtPx =
1
(4)7
(
27 − (−2)7)→ 64
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Exemplo II
Exemplo: Calcule o tamanho de x(t)
Px =
1
T
∫ T
2
−T
2
|x(t)|2dt
Px =
1
4
∫ 2
−2
|t3|2dt → 1
4
∫ 2
−2
t6dt
Px =
1
(4)7
(
27 − (−2)7)→ 64
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Exemplo III
Exemplo: Calcule o tamanho de x(t)
x(t) = 5 + 10cos(θ)
θ =
(
100t +
pi
3
)
T =
1
fo
→ 2pi
100
→ pi
50
Px =
1
T
∫ T
2
− T
2
|x(t)|2dt
Px =
1
T
∫ T
2
− T
2
|5 + 10cos(θ)|2dt → 1
T
∫ T
2
− T
2
25 + 100cos(θ) + 100cos2(θ)dt
Px =
1
T
(∫ T
2
− T
2
25dt +
∫ T
2
− T
2
100cos(θ)dt +
∫ T
2
− T
2
100cos2(θ)dt
)
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Exemplo III
Exemplo: Calcule o tamanho de x(t)
x(t) = 5 + 10cos(θ)
θ =
(
100t +
pi
3
)
T =
1
fo
→ 2pi
100
→ pi
50
Px =
1
T
∫ T
2
− T
2
|x(t)|2dt
Px =
1
T
∫ T
2
− T
2
|5 + 10cos(θ)|2dt → 1
T
∫ T
2
− T
2
25 + 100cos(θ) + 100cos2(θ)dt
Px =
1
T
(∫ T
2
− T
2
25dt +
∫ T
2
− T
2
100cos(θ)dt +
∫ T
2
− T
2
100cos2(θ)dt
)
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Exemplo III
Exemplo: Calcule o tamanho de x(t)
x(t) = 5 + 10cos(θ)
θ =
(
100t +
pi
3
)
T =
1
fo
→ 2pi
100
→ pi
50
Px =
1
T
∫ T
2
− T
2
|x(t)|2dt
Px =
1
T
∫ T
2
− T
2
|5 + 10cos(θ)|2dt → 1
T
∫ T
2
− T
2
25 + 100cos(θ) + 100cos2(θ)dt
Px =
1
T
(∫ T
2
− T
2
25dt +
∫ T
2
− T
2
100cos(θ)dt +
∫ T
2
− T
2
100cos2(θ)dt
)
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Exemplo III
Exemplo: Calcule o tamanho de x(t)
x(t) = 5 + 10cos(θ)
θ =
(
100t +
pi
3
)
T =
1
fo
→ 2pi
100
→ pi
50
Px =
1
T
∫ T
2
− T
2
|x(t)|2dt
Px =
1
T
∫ T
2
− T
2
|5 + 10cos(θ)|2dt → 1
T
∫ T
2
− T
2
25 + 100cos(θ) + 100cos2(θ)dt
Px =
1
T
(∫ T
2
− T
2
25dt +
∫ T
2
− T
2
100cos(θ)dt +
∫ T
2
− T
2
100cos2(θ)dt
)
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Exemplo III
Exemplo: Calcule o tamanho de x(t)
x(t) = 5 + 10cos(θ)
θ =
(
100t +
pi
3
)
T =
1
fo
→ 2pi
100
→ pi
50
Px =
1
T
∫ T
2
− T
2
|x(t)|2dt
Px =
1
T
∫ T
2
− T
2
|5 + 10cos(θ)|2dt → 1
T
∫ T
2
− T
2
25 + 100cos(θ) + 100cos2(θ)dt
Px =
1
T
(∫ T
2
− T
2
25dt +
∫ T
2
− T
2
100cos(θ)dt +
∫ T
2
− T
2
100cos2(θ)dt
)
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Exemplo III
Px =
1
T
(
25(T ) + 0 +
∫ T
2
−T
2
100cos2(θ)dt
)
Px =
1
T
(
25(T ) +
∫ T
2
−T
2
100
2
(1 + cos(2θ)) dt
)
Px =
1
T
(
25(T ) +
100
2
(T )
)
Px =
1
T
(75T )→ 75
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Exemplo III
Px =
1
T
(
25(T ) + 0 +
∫ T
2
−T
2
100cos2(θ)dt
)
Px =
1
T
(
25(T ) +
∫ T
2
−T
2
100
2
(1 + cos(2θ)) dt
)
Px =
1
T
(
25(T ) +
100
2
(T )
)
Px =
1
T
(75T )→ 75
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Exemplo III
Px =
1
T
(
25(T ) + 0 +
∫ T
2
−T
2
100cos2(θ)dt
)
Px =
1
T
(
25(T ) +
∫ T
2
−T
2
100
2
(1 + cos(2θ)) dt
)
Px =
1
T
(
25(T ) +
100
2
(T )
)
Px =
1
T
(75T )→ 75
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Exemplo III
Px =
1
T
(
25(T ) + 0 +
∫ T
2
−T
2
100cos2(θ)dt
)
Px =
1
T
(
25(T ) +
∫ T
2
−T
2
100
2
(1 + cos(2θ)) dt
)
Px =
1
T
(
25(T ) +
100
2
(T )
)
Px =
1
T
(75T )→ 75
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Operac¸o˜es com sinais
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Deslocamento temporal
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Deslocamento temporal
Prof. Ivanovich Lache Sinais e Sistemas Cont´ınuos ilachecefet@gmail.com 14 / 32
Escalamento, expansa˜o e reversa˜o
Comprimir o sinal
φ(t) = x(at)
Expandir o sinal
φ(t) = x
( t
a
)
Reversa˜o
φ(t) = x(−t)
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Escalamento, expansa˜o e reversa˜o
Comprimir o sinal
φ(t) = x(at)
Expandir o sinal
φ(t) = x
( t
a
)
Reversa˜o
φ(t) = x(−t)
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Escalamento, expansa˜o e reversa˜o
Comprimir o sinal
φ(t) = x(at)
Expandir o sinal
φ(t) = x
( t
a
)
Reversa˜o
φ(t) = x(−t)
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Operac¸o˜es combinadas
Algumas operac¸o˜es de sinais, precisam de mais de uma das operac¸o˜es
descritas.
x(at − b)
Deslocamento temporal de x(t) em b para obter x(t-b). Escalamento
temporal por a gerando x(at-b)
Escalamento temporal de x(t) em a para obter x(at). Deslocamento
temporal por ba gerando x(at-b)
Exemplo: Realize a operac¸a˜o x(2t-4)
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Operac¸o˜es combinadas
Algumas operac¸o˜es de sinais, precisam de mais de uma das operac¸o˜es
descritas.
x(at − b)
Deslocamento temporal de x(t) em b para obter x(t-b). Escalamento
temporal por a gerando x(at-b)
Escalamento temporal de x(t) em a para obter x(at). Deslocamento
temporal por ba gerando x(at-b)
Exemplo: Realize a operac¸a˜o x(2t-4)
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Operac¸o˜es combinadas
Algumas operac¸o˜es de sinais, precisam de mais de uma das operac¸o˜es
descritas.
x(at − b)
Deslocamento temporal de x(t) em b para obter x(t-b). Escalamento
temporal por a gerando x(at-b)
Escalamento temporal de x(t) em a para obter x(at). Deslocamento
temporal por ba gerando x(at-b)
Exemplo: Realize a operac¸a˜o x(2t-4)
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Operac¸o˜es combinadas
Algumas operac¸o˜es de sinais, precisam de mais de uma das operac¸o˜es
descritas.
x(at − b)
Deslocamento temporal de x(t) em b para obter x(t-b). Escalamento
temporal por a gerando x(at-b)
Escalamento temporal de x(t) em a para obter x(at). Deslocamento
temporal por ba gerando x(at-b)
Exemplo: Realize a operac¸a˜o x(2t-4)
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Classificac¸a˜o de Sinais
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1 Sinais Cont´ınuos e Discretos no tempo.
2 Sinais Analo´gicos e Digitais
3 Sinais Perio´dicos e na˜o perio´dicos: Estes u´ltimos tem as seguintes
propriedades:
I x(t) = x(t + T0) para todo t
I Podem ser gerados pela extensa˜o perio´dica de x(t) com durac¸a˜o de T0
4 Sinais de Energia e Poteˆncia.
5 Sinais Determin´ısticos ou aleato´rios
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1 Sinais Cont´ınuos e Discretos no tempo.
2 Sinais Analo´gicos e Digitais
3 Sinais Perio´dicos e na˜o perio´dicos: Estes u´ltimos tem as seguintespropriedades:
I x(t) = x(t + T0) para todo t
I Podem ser gerados pela extensa˜o perio´dica de x(t) com durac¸a˜o de T0
4 Sinais de Energia e Poteˆncia.
5 Sinais Determin´ısticos ou aleato´rios
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1 Sinais Cont´ınuos e Discretos no tempo.
2 Sinais Analo´gicos e Digitais
3 Sinais Perio´dicos e na˜o perio´dicos: Estes u´ltimos tem as seguintes
propriedades:
I x(t) = x(t + T0) para todo t
I Podem ser gerados pela extensa˜o perio´dica de x(t) com durac¸a˜o de T0
4 Sinais de Energia e Poteˆncia.
5 Sinais Determin´ısticos ou aleato´rios
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1 Sinais Cont´ınuos e Discretos no tempo.
2 Sinais Analo´gicos e Digitais
3 Sinais Perio´dicos e na˜o perio´dicos: Estes u´ltimos tem as seguintes
propriedades:
I x(t) = x(t + T0) para todo t
I Podem ser gerados pela extensa˜o perio´dica de x(t) com durac¸a˜o de T0
4 Sinais de Energia e Poteˆncia.
5 Sinais Determin´ısticos ou aleato´rios
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1 Sinais Cont´ınuos e Discretos no tempo.
2 Sinais Analo´gicos e Digitais
3 Sinais Perio´dicos e na˜o perio´dicos: Estes u´ltimos tem as seguintes
propriedades:
I x(t) = x(t + T0) para todo t
I Podem ser gerados pela extensa˜o perio´dica de x(t) com durac¸a˜o de T0
4 Sinais de Energia e Poteˆncia.
5 Sinais Determin´ısticos ou aleato´rios
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Modelos u´teis de Sinais
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Degrau unita´rio
u(t) =
{
1→ t ≥ 0
0→ t < 0
Esta func¸a˜o e´ muito u´til pois ajuda na definic¸a˜o de outros sinais
Exemplo:
x(t)=u(t-2)-u(t-4)
x(t)=e−tu(t + 2)
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Degrau unita´rio
u(t) =
{
1→ t ≥ 0
0→ t < 0
Esta func¸a˜o e´ muito u´til pois ajuda na definic¸a˜o de outros sinais
Exemplo:
x(t)=u(t-2)-u(t-4)
x(t)=e−tu(t + 2)
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Func¸a˜o Impulso unita´rio
δ(t) =
{
∞→ t = 0
0→ t 6= 0∫ ∞
−∞
δ(t)dt = 1
Esta func¸a˜o na˜o pode ser gerada na pra´tica!!
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Func¸a˜o Impulso unita´rio
δ(t) =
{
∞→ t = 0
0→ t 6= 0
∫ ∞
−∞
δ(t)dt = 1
Esta func¸a˜o na˜o pode ser gerada na pra´tica!!
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Func¸a˜o Impulso unita´rio
δ(t) =
{
∞→ t = 0
0→ t 6= 0∫ ∞
−∞
δ(t)dt = 1
Esta func¸a˜o na˜o pode ser gerada na pra´tica!!
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Func¸a˜o Impulso unita´rio
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Func¸a˜o Impulso unita´rio
Multiplicando a func¸a˜o impulso...
Suponhamos que temos uma func¸a˜o x(t). Qual e´ o resultado da
multiplicac¸a˜o x(t)δ(t)?
x(t)δ(t) = x(0)δ(t)
x(t)δ(t − T ) = x(T )δ(t − T )
Essa carater´ıstica da func¸a˜o impulso unita´rio gera a propriedade de
amostragem
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Func¸a˜o Impulso unita´rio
Multiplicando a func¸a˜o impulso...
Suponhamos que temos uma func¸a˜o x(t). Qual e´ o resultado da
multiplicac¸a˜o x(t)δ(t)?
x(t)δ(t) = x(0)δ(t)
x(t)δ(t − T ) = x(T )δ(t − T )
Essa carater´ıstica da func¸a˜o impulso unita´rio gera a propriedade de
amostragem
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Func¸a˜o Impulso unita´rio
Multiplicando a func¸a˜o impulso...
Suponhamos que temos uma func¸a˜o x(t). Qual e´ o resultado da
multiplicac¸a˜o x(t)δ(t)?
x(t)δ(t) = x(0)δ(t)
x(t)δ(t − T ) = x(T )δ(t − T )
Essa carater´ıstica da func¸a˜o impulso unita´rio gera a propriedade de
amostragem
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Func¸a˜o Impulso unita´rio
Multiplicando a func¸a˜o impulso...
Suponhamos que temos uma func¸a˜o x(t). Qual e´ o resultado da
multiplicac¸a˜o x(t)δ(t)?
x(t)δ(t) = x(0)δ(t)
x(t)δ(t − T ) = x(T )δ(t − T )
Essa carater´ıstica da func¸a˜o impulso unita´rio gera a propriedade de
amostragem
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Func¸a˜o Impulso unita´rio
∫ ∞
−∞
x(t)δ(t)dt = x(0)
∫ ∞
−∞
δ(t)dt
∫ ∞
−∞
x(t)δ(t)dt = x(0)
Se aplicamos um deslocamento no impulso temos:
Amostragem
∫ ∞
−∞
x(t)δ(t − T )dt = x(T )
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Func¸a˜o Impulso unita´rio
∫ ∞
−∞
x(t)δ(t)dt = x(0)
∫ ∞
−∞
δ(t)dt∫ ∞
−∞
x(t)δ(t)dt = x(0)
Se aplicamos um deslocamento no impulso temos:
Amostragem
∫ ∞
−∞
x(t)δ(t − T )dt = x(T )
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Func¸a˜o Impulso unita´rio
∫ ∞
−∞
x(t)δ(t)dt = x(0)
∫ ∞
−∞
δ(t)dt∫ ∞
−∞
x(t)δ(t)dt = x(0)
Se aplicamos um deslocamento no impulso temos:
Amostragem
∫ ∞
−∞
x(t)δ(t − T )dt = x(T )
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Func¸a˜o Exponencial
Este sinal e´ o sinal mais versa´til nos sinais e sistemas lineares!!
est ⇒ s = a + jw
e(a+jw)t = eate jwt
e(a+jw)t = eatcos(wt) + jsen(wt)
Como e´ o gra´fico de estt quando s=0?,
Quando w = 0
Quando s = ±jw
Quando s = a + jw?
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Func¸a˜o Exponencial
Este sinal e´ o sinal mais versa´til nos sinais e sistemas lineares!!
est ⇒ s = a + jw
e(a+jw)t = eate jwt
e(a+jw)t = eatcos(wt) + jsen(wt)
Como e´ o gra´fico de estt quando s=0?,
Quando w = 0
Quando s = ±jw
Quando s = a + jw?
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Func¸a˜o Exponencial
Este sinal e´ o sinal mais versa´til nos sinais e sistemas lineares!!
est ⇒ s = a + jw
e(a+jw)t = eate jwt
e(a+jw)t = eatcos(wt) + jsen(wt)
Como e´ o gra´fico de estt quando s=0?,
Quando w = 0
Quando s = ±jw
Quando s = a + jw?
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Func¸a˜o Exponencial
Este sinal e´ o sinal mais versa´til nos sinais e sistemas lineares!!
est ⇒ s = a + jw
e(a+jw)t = eate jwt
e(a+jw)t = eatcos(wt) + jsen(wt)
Como e´ o gra´fico de estt quando s=0?,
Quando w = 0
Quando s = ±jw
Quando s = a + jw?
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Func¸a˜o Exponencial
Este sinal e´ o sinal mais versa´til nos sinais e sistemas lineares!!
est ⇒ s = a + jw
e(a+jw)t = eate jwt
e(a+jw)t = eatcos(wt) + jsen(wt)
Como e´ o gra´fico de estt quando s=0?,
Quando w = 0
Quando s = ±jw
Quando s = a + jw?
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Func¸a˜o Exponencial
Este sinal e´ o sinal mais versa´til nos sinais e sistemas lineares!!
est ⇒ s = a + jw
e(a+jw)t = eate jwt
e(a+jw)t = eatcos(wt) + jsen(wt)
Como e´ o gra´fico de estt quando s=0?,
Quando w = 0
Quando s = ±jw
Quando s = a + jw?
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Func¸a˜o Exponencial, O plano S
O plano S pode se apresentar da seguinte forma
Como posso gerar, usando combinac¸a˜o de func¸o˜es exponenciais, um sinal
do tipo 2cos(θ)?
2cos(θt) = e jθt + e−jθt
2cos(θt) = cos(θt) + jsen(θt) + cos(θt)− jsen(θt)
2cos(θt) = 2cos(θt)
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Func¸a˜o Exponencial, O plano S
O plano S pode se apresentar da seguinte forma
Como posso gerar, usando combinac¸a˜o de func¸o˜es exponenciais, um sinal
do tipo 2cos(θ)?
2cos(θt) = e jθt + e−jθt
2cos(θt) = cos(θt) + jsen(θt) + cos(θt)− jsen(θt)
2cos(θt) = 2cos(θt)
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Func¸a˜o Exponencial, O plano S
O plano S pode se apresentar da seguinte forma
Como posso gerar, usando combinac¸a˜o de func¸o˜es exponenciais, um sinal
do tipo 2cos(θ)?
2cos(θt) = e jθt + e−jθt
2cos(θt) = cos(θt) + jsen(θt) + cos(θt)− jsen(θt)
2cos(θt) = 2cos(θt)
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Func¸a˜o Exponencial, O plano S
O plano S pode se apresentar da seguinte forma
Como posso gerar, usando combinac¸a˜o de func¸o˜es exponenciais, um sinal
do tipo 2cos(θ)?
2cos(θt) = e jθt + e−jθt
2cos(θt) = cos(θt) + jsen(θt) + cos(θt)− jsen(θt)
2cos(θt) = 2cos(θt)
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Func¸a˜o Exponencial, O plano S
Algumas formas do plano s
Fonte:https://jyotsnaj.wordpress.com
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Func¸o˜es par e ı´mpar
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Func¸o˜es Par e I´mpar
Outra forma de classificar func¸o˜es e´ baseada na sua denominac¸a˜o par ou
ı´mpar.
Uma func¸a˜o e´ par quando:
xp(t) = xp(−t)
Uma func¸a˜o e´ ı´mpar quando:
xi (t) = −xi (−t)
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Func¸o˜es Par e I´mpar
Outra forma de classificar func¸o˜es e´ baseada na sua denominac¸a˜o par ou
ı´mpar.
Uma func¸a˜o e´ par quando:
xp(t) = xp(−t)
Uma func¸a˜o e´ ı´mpar quando:
xi (t) = −xi (−t)
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Func¸o˜es Par e I´mpar
Todo sinal pode ser descrito como a soma de componentes pares e´ ı´mpares
A componente par de qualquer sinal pode ser calculada como
xp(t) =
1
2
[x(t) + x(−t)]
A componente ı´mpar de qualquer sinal pode ser calculada como
xi (t) =
1
2
[x(t)− x(−t)]
x(t) como soma de sinais par e ı´mpar
x(t) = xp + xi
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Func¸o˜es Par e I´mpar
Todo sinal pode ser descrito como a soma de componentes pares e´ ı´mpares
A componente par de qualquer sinal pode ser calculada como
xp(t) =
1
2
[x(t) + x(−t)]
A componente ı´mpar de qualquer sinal pode ser calculada como
xi (t) =
1
2
[x(t)− x(−t)]
x(t) como soma de sinais par e ı´mpar
x(t) = xp + xi
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Func¸o˜es Par e I´mpar
Todo sinal pode ser descrito como a soma de componentes pares e´ ı´mpares
A componente par de qualquer sinal pode ser calculada como
xp(t) =
1
2
[x(t) + x(−t)]
A componente ı´mpar de qualquer sinal pode ser calculada como
xi (t) =
1
2
[x(t)− x(−t)]
x(t) como soma de sinais par e ı´mpar
x(t) = xp + xi
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Func¸o˜es Par e I´mpar
Todo sinal pode ser descrito como a soma de componentes pares e´ ı´mpares
A componente par de qualquer sinal pode ser calculada como
xp(t) =
1
2
[x(t) + x(−t)]
A componente ı´mpar de qualquer sinal pode ser calculada como
xi (t) =
1
2
[x(t)− x(−t)]
x(t) como soma de sinais par e ı´mpar
x(t) = xp + xi
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Func¸o˜es Par e I´mpar
Identifique as componentes par e ı´mpar do seguinte sinal x(t) = t2u(t).
Utilizando a nossa definic¸a˜o tempos que:
xp(t) =
1
2
[x(t) + x(−t)]
xp(t) =
1
2
[
t2u(t) + (−t)2u(−t)]
xi (t) =
1
2
[x(t)− x(−t)]
xp(t) =
1
2
[
t2u(t)− (−t)2u(−t)]
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Func¸o˜es Par e I´mpar
Identifique as componentes par e ı´mpar do seguinte sinal x(t) = t2u(t).
Utilizando a nossa definic¸a˜o tempos que:
xp(t) =
1
2
[x(t) + x(−t)]
xp(t) =
1
2
[
t2u(t) + (−t)2u(−t)]
xi (t) =
1
2
[x(t)− x(−t)]
xp(t) =
1
2
[
t2u(t)− (−t)2u(−t)]
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Func¸o˜es Par e I´mpar
Identifique as componentes par e ı´mpar do seguinte sinal x(t) = t2u(t).
Utilizando a nossa definic¸a˜o tempos que:
xp(t) =
1
2
[x(t) + x(−t)]
xp(t) =
1
2
[
t2u(t) + (−t)2u(−t)]
xi (t) =
1
2
[x(t)− x(−t)]
xp(t) =
1
2
[
t2u(t)− (−t)2u(−t)]
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Func¸o˜es Par e I´mpar
Identifique as componentes par e ı´mpar do seguinte sinal x(t) = t2u(t).
Utilizando a nossa definic¸a˜o tempos que:
xp(t) =
1
2
[x(t) + x(−t)]
xp(t) =
1
2
[
t2u(t) + (−t)2u(−t)]
xi (t) =
1
2
[x(t)− x(−t)]
xp(t) =
1
2
[
t2u(t)− (−t)2u(−t)]
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Func¸o˜es Par e I´mpar
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	Introdução
	Apresentação
	Sinais contínuos
	Tamanho de um sinal
	Operações com sinais