Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
ESCOLA DE COMUNICAÇÃO, ARTES E TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO Licenciatura em Engenharia Informática Processamento de Sinal e Sinais e Sistemas Colectânea de Exercícios Resolvidos Prof. Doutor João Canto (1) Prof. Doutor Marko Beko (1) Janeiro de 2012 3 Prefácio 1 Este documento destina-se a alunos do curso de Engenharia Informática da Escola de Comunicação, Arquitectura, Artes e Tecnologias de Informação, da ULHT, mais concretamente, àqueles que frequentam as disciplinas de Processamento de Sinal e de Sinais e Sistemas, respectivamente leccionadas no segundo semestre do primeiro ano e no primeiro semestre do segundo ano. Os exercícios que constam desta colectânea, são retirados dos livros que constituem a bibliografia da cadeira, e serão doravante referidos como: (i) I. M. G. Lourtie, Sinais e Sistemas, 2ed, Escolar Editora, Lisboa, 2007: IML; (ii) H. P. Hsu, Signals and Systems, McGraw-Hill, 1995: Hsu. Pontualmente, serão também aqui recordados alguns exemplos, previamente apresentados nos acetatos das aulas teóricas (doravante definidos como AT). Este texto representa a primeira edição, da componente de exercícios resolvidos, da sebenta que engloba a matéria das cadeiras de sinais. Sendo assim pedimos desculpa por eventuais incorrecções e agradecemos o vosso feedback. Doravante, a designação x n representa um sinal definido em instantes de tempo discretos (onde n pertence ao conjunto dos números inteiros), e x t um sinal definido no tempo contínuo (onde t pertence ao conjunto dos números reais). Não obstante, este documento representa apenas um conjunto de alguns exercícios resolvidos, sobre tópicos considerados fundamentais. Não poderá nunca substituir a frequência das aulas teórico-práticas e prático-laboratoriais, bem como o estudo dos livros referenciados na bibliografia. 1 Os autores são doutorados em Engenharia Electrotécnica e de Computadores pelo Instituto Superior Técnico 4 5 Índice Prefácio .......................................................................................................................... 3 Índice ............................................................................................................................... 5 Capítulo 1. Fundamentos de Sinais e Sistemas: Sinais Discretos ............................. 11 (IML 1.8) Classifique quanto à paridade os seguintes sinais discretos.Problema 1.1. .................................................................................................................................... 11 (HSU 1.48c) Determine as componentes par e ímpar dos seguintes Problema 1.2. sinais. .......................................................................................................................... 14 (IML 1.16) Considere dois sinais discretos, x n e y n , tais que ... 17 Problema 1.3. (HSU 1.23) O sinal discreto x n está desenhado na Figura 1.5. Problema 1.4. Represente cada um dos seguintes sinais. .................................................................. 21 (HSU 1.16g) Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Problema 1.5. Caso sejam calcule o período. .................................................................................... 24 (HSU P1.51e) Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Problema 1.6. Caso sejam calcule o período. .................................................................................... 25 (IML 1.11b,c,d) Determine quais dos sinais seguintes são periódicos. Problema 1.7. Para os sinais periódicos indique o período fundamental. ......................................... 26 (IML 1.23a,d,h,i) Um sistema discreto pode ser classificado segundo Problema 1.8. as seguintes propriedades: 1) memória; 2) Causalidade; 3) Invariância no tempo; 4) Linearidade; 5) Estabilidade; 6) Invertibilidade. ........................................................ 29 Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Caso sejam Problema 1.9. calcule o seu período. ................................................................................................. 34 (IML 1.23b,k) Um sistema discreto pode ser classificado segundo as Problema 1.10. seguintes propriedades: 1) memória; 2) Causalidade; 3) Invariância no tempo; 4) Linearidade; 5) Estabilidade; 6) Invertibilidade. ........................................................ 36 Capítulo 2. Representação no Domínio do Tempo para Sistemas LIT Discretos... 39 (HSU 2.30) Avalie y n h n x n , onde x n e h n estão Problema 2.1. representados na Figura 2., usando: a) Uma soma ponderada de impulsos unitários; b) A expressão para a soma de convolução. ................................................................... 39 (HSU 2.28) Considere o SLIT com resposta impulsional Problema 2.2. nh n u n para 0 1 e o sinal de entrada x n u n . Determine a resposta do sistema através de: (a) y n x n h n ; (b) y n h n x n . .... 45 (HSU 2.32) A resposta ao escalão unitário, de um determinado sistema Problema 2.3. LIT é dada por: nuy n u n para 0 1 . Determine a resposta impulsional do sistema. ....................................................................................................................... 50 (HSU 2.38) Considere um sistema LIT com a seguinte resposta Problema 2.4. impulsional: nh n u n . Classifique este sistema quanto à: a) causalidade; b) Estabilidade. ............................................................................................................... 51 6 (HSU 2.56) A resposta impulsional de um sistema LIT é dada por: Problema 2.5. 1 2 n h n u n . Calcule 1y e 4y para o sinal de entrada 2 3x n n n . ........................................................................................... 53 (IML 2.25) Considere um sistema LIT com a seguinte resposta Problema 2.6. impulsional: 2 4nh n u n . Classifique este sistema quanto à: a) causalidade; b) Estabilidade; c) Determine ainda a saída para o sinal de entrada 2 4 1x n n n . ......................................................................................... 54 (IML 2.26) Considere um sistema LIT cuja resposta ao escalão unitário Problema 2.7. é dada por: .................................................................................................................. 56 Capítulo 3. Transformada Z ........................................................................................ 59 (HSU 4.10) Calcule a transformada do Z dos sinais: a) x n u n ; Problema 3.1. b) x n n . ......................................................................................................... 59 (AT Ex. 4, Cap. 3) Calcule a transformada do Z do sinal Problema 3.2. 0j nx n e u n . Encontre também os pólos, zeros e a região de convergência ...... 63 (AT Ex. 5, Cap. 3) Discuta a existência da transformada Z do seguinte Problema 3.3. sinal nx n . .......................................................................................................... 65 (AT Ex. 7, Cap. 3) Calcule a transformada inversa de ........................ 66 Problema 3.4. (AT Ex. 8, Cap. 3) Calcule a transformada inversa de ........................ 71 Problema 3.5. (HSU 4.19a) Calcule a transformada inversade ................................. 75 Problema 3.6. (HSU 4.32) Um sistema LIT causal é descrito por ............................. 77 Problema 3.7. (HSU 4.38a) Considerando o sistema LIT causal descrito por ........... 81 Problema 3.8. (HSU 4.38b) Considerando o sistema LIT causal descrito por ........... 84 Problema 3.9. (HSU 4.58) Considerando o sistema LIT causal descrito por ........... 86 Problema 3.10. (HSU 4.59a) Considerando o sistema LIT causal descrito por ......... 88 Problema 3.11. (HSU 4.59b) Considerando o sistema LIT causal descrito por ......... 90 Problema 3.12. (HSU 4.60) Determine o valor final e o valor inicial de x n para Problema 3.13. cada uma das funções de transferência e o ganho estático do sistema: ...................... 93 (AT Ex. 15) Encontre a resposta completa quando a equação às Problema 3.14. diferenças .................................................................................................................... 95 Capítulo 4. Fundamentos de Sinais e Sistemas: Sinais Contínuos ........................... 97 Seja ...................................................................................................... 97 Problema 4.1. Seja ...................................................................................................... 98 Problema 4.2. Seja ...................................................................................................... 99 Problema 4.3. Sejam ................................................................................................. 100 Problema 4.4. Sabe-se que ........................................................................................ 103 Problema 4.5. (IML 1.2d) Considere o sinal representado na Figura 4.5. ............... 104 Problema 4.6. 7 (IML 1.3a) Considere os sinais contínuos representados na Figura 4.7. Problema 4.7. Escreva a expressão que os relaciona. ...................................................................... 105 (IML 1.6a) Esboce graficamente as componentes par e ímpar do sinal Problema 4.8. representado na Figura 4.8. ...................................................................................... 106 (IML 1.7) Sejam dois sinais contínuos relacionados por .................. 108 Problema 4.9. (IML 1.9) Seja x t um sinal contínuo considere-se ..................... 109 Problema 4.10. (IML 1.11a,f) Determine quais dos seguintes sinais são periódicos. Problema 4.11. Para os sinais periódicos determine o período fundamental. ................................... 111 (IML 1.12) Determine o período fundamental de ........................... 112 Problema 4.12. (IML 1.13) Seja ............................................................................... 113 Problema 4.13. (IML 1.14) Considere os sinais contínuos: ..................................... 114 Problema 4.14. (IML 1.18) Esboce graficamente os seguintes sinais contínuos: .... 117 Problema 4.15. (IML 1.20a,b,g) Exprima analiticamente os sinais representados .. 120 Problema 4.16. (IML 1.22c,k) Um sistema contínuo pode classificar-se como: ..... 123 Problema 4.17. Capítulo 5. Representação no Domínio do Tempo de Sistemas LIT Contínuos ... 127 (IML 2.4) Considere um sistema LIT, cuja resposta impulsional é dada Problema 5.1. por ............................................................................................................................. 127 (AT Ex. 1, Cap. 2) Considere o seguinte circuito RLC .................... 130 Problema 5.2. (HSU 2.5) Considere um sistema LIT, cuja resposta impulsional é dada Problema 5.3. por ............................................................................................................................. 133 (IML 2.13) Considere o seguinte sistema ......................................... 136 Problema 5.4. (IML 2.19) Seja ................................................................................. 139 Problema 5.5. Capítulo 6. Transformada de Laplace ...................................................................... 141 (AT Ex. 2, Cap. 3) Determinar a transformada de Laplace do sinal: Problema 6.1. eatx t u t . ...................................................................................................... 141 Determine a transformada de Laplace do sinal ................................. 147 Problema 6.2. (AT Ex. 2, Cap. 3) Determine a transformada de Laplace do sinal: Problema 6.3. 0j tx t e u t . ........................................................................................................ 148 (HSU 3.5c) Determine a transformada de Laplace do sinal: Problema 6.4. 2 3t tx t e u t e u t . ........................................................................................ 149 (IML 3.2a,b,d) Determine a função no tempo, x t , cuja transformada Problema 6.5. de Laplace é: ............................................................................................................. 150 (IML 3.3a,d) Seja .............................................................................. 154 Problema 6.6. (IML 3.7a,b) A Figura 6.4 representa o mapa pólos/ zeros da função de Problema 6.7. transferência de um SLIT. ........................................................................................ 155 (IML 3.14) Considere o SLIT causal cujo mapa pólos/zeros se Problema 6.8. representa na Figura 6.5 . ......................................................................................... 158 8 (IML 3.8) Classifique quanto à estabilidade e à causalidade os SLITs Problema 6.9. cujo mapa palas/zeros se representam na Figura 6.6. Justifique a resposta. ............ 162 (HSU 3.38) Resolva a seguinte equação diferencial de segunda ordemProblema 6.10. .................................................................................................................................. 164 (IML 3.10) Seja ............................................................................... 166 Problema 6.11. (IML 3.18) Considere o sistema causal descrito pela equação Problema 6.12. diferencial de coeficientes constantes....................................................................... 170 Capítulo 7. Transformada de Fourier ...................................................................... 177 (IML 3.26) Determine a transformada de Fourier de cada uma das Problema 7.1. seguintes funções no tempo: ..................................................................................... 177 Encontre x t , sabendo que.............................................................. 183 Problema 7.2. Determine uma representação em séries de Fourier para os seguintes Problema 7.3. sinais ......................................................................................................................... 185 Calcular x t sabendo que ............................................................... 189 Problema 7.4. (IML 3.31) Considere o sinal x t cujo espectro de frequência está Problema 7.5. representado na Figura 7.3 ....................................................................................... 191 (IML 3.32) Sejam x t e y t , respectivamente, os sinais de entrada Problema 7.6. e de saída de um sistema contínuo, cujas transformadas de Fourier se relacionam pela seguinte equação: ...................................................................................................... 193 (IML 3.33) Considere o sistema cuja resposta de frequência é ........ 194 Problema 7.7. (IML 3.34) Seja ................................................................................. 195 Problema 7.8. Anexo A. Fundamentos Matemáticos .......................................................................197 A.1. (IML Anexo A) Noções de trigonometria ........................................................ 197 A.2. (IML Anexo A) Definição de número complexo. ............................................ 199 A.3. (IML Anexo A) Prova de relações trigonométricas ......................................... 202 A.4. (IML Anexo A) Séries Geométricas ................................................................. 203 A.5. Expresse os seguintes números complexos na forma cartesiana e determine o seu módulo, inverso e conjugado. ................................................................................... 205 A.6. Expresse os seguintes números complexos na forma polar, determine o seu módulo, inverso e conjugado, e represente-o no plano complexo. ........................... 208 A.7. Expresse os seguintes números complexos na forma cartesiana. ..................... 211 A.8. Determine as soluções das seguintes equações. ............................................... 213 A.9. Calcule as seguintes expressões........................................................................ 215 A.10. Mostre que as seguintes expressões são verdadeiras. ..................................... 218 Anexo B. Fundamentos Matemáticos: Parte 2 ......................................................... 219 B.1. Integrais. Mostre que as seguintes expressões são verdadeiras. ....................... 219 B.2. Expanda em fracções simples as seguintes funções racionais. ......................... 223 Anexo C. Testes Resolvidos ....................................................................................... 227 9 C.1. Processamento de Sinal: Teste 1. ...................................................................... 227 C.2. Processamento de Sinal: Teste 2. ...................................................................... 237 C.3. Sinais e Sistemas: Teste 1. ................................................................................ 243 C.4. Sinais e Sistemas: Teste 2. ................................................................................ 250 Anexo D. Formulários ................................................................................................ 259 D.1. Formulário para processamento de sinal. ......................................................... 259 D.2. Formulário para sinais e sistemas. .................................................................... 263 10 11 Capítulo 1. Fundamentos de Sinais e Sistemas: Sinais Discretos (IML 1.8) Classifique quanto à paridade os seguintes Problema 1.1. sinais discretos. Para avaliar a paridade de um determinado sinal, é necessário considerar as definições respectivas dos sinais pares e ímpares x n x n , (1.1) x n x n . (1.2) a) 1 ; 0 0 ; 0 n x n n n Para avaliar a paridade de a), é necessário verificar se respeita as definições (1.1) – (1.2) , ou seja, é necessário calcular x n e verificar se este se relaciona com x n , através de uma relação de paridade. Directamente da definição de x n e (1.2) obtém-se 1 ; 0 0 ; 0 n x n x nn n . (1.3) O sinal é ímpar porque respeita a condição (1.2), como pode ser observado pela Figura 1.1a. b) 2 1 ; 02 3 ; 0 0 n n x n n Analogamente à alínea anterior, após alguma álgebra, obtém-se 12 2 2 11 ; 0 ; 022 33 ; 0 ; 0 00 nn n n x n x n n n . (1.4) O sinal é par porque verifica a relação (1.1), como pode ser observado pela Figura 1.1b. c) 3 1 ; 0 ; 00 n n x n n Analogamente à alínea anterior, após alguma álgebra, obtém-se 3 1 ; 0 ; 00 n n x n n . (1.5) O sinal não é par nem ímpar porque não verifica nenhuma das condições de paridade, como pode ser observado pela Figura 1.1c. d) ; 04 1 ; 00 n n x n n Analogamente à alínea anterior, após alguma álgebra, obtém-se 1 4; 0 ; 0 ; 04 1 4 1 1 ; 0 ; 0 ; 00 0 0 n n nn n n x n x n n n n . (1.6) O sinal é par porque verifica a relação (1.1), como pode ser observado pela Figura 1.1d. 13 Figura 1.1. Representação de x n . a b c d 14 (HSU 1.48c) Determine as componentes par e ímpar dos Problema 1.2. seguintes sinais. Para obter as componentes par e ímpar de um determinado sinal, é necessário considerar as seguintes definições 1 2 px n x n x n , (1.7) 1 2 ix n x n x n , (1.8) que correspondem respectivamente às componentes par e ímpar de um sinal. Estas relações podem ser facilmente demonstradas através dos seguintes passos 1 1 2 2 p px n x n x n x n x n x n , (1.9) 1 1 1 2 2 2 i ix n x n x n x n x n x n x n x n . (1.10) c) 0 2j nx n e O primeiro passo na resolução é a aplicação da fórmula de Euler, que resulta em 0 2 0 0cos sin 2 2 j n x n e n j n . (1.11) Através do círculo trigonométrico é possível identificar cos sin 2 x x , sin cos 2 x x , (1.12) que aplicado em (A.67) permite obter 0 0sin cosx n n j n . (1.13) A partir deste ponto, é possível resolver o problema de duas formas distintas: i) Por inspecção: Sabendo que a função seno é ímpar, e a função co-seno é par, é possível afirmar que (1.13) já se encontra escrita na forma 15 i px n x n x n , (1.14) onde 0sinix n n , (1.15) 0cospx n j n , (1.16) são respectivamente as componentes ímpar e par do sinal. ii) Pela definição (1.7) podemos então obter 0 0 0 0 1 sin cos sin cos 2 px n j n n j n . (1.17) Finalmente, considerando o resultado sobre a paridade das funções seno e co-seno cos cosx x , sin sinx x , (1.18) facilmente se chega a 0 0 0 0 0 1 sin cos sin cos cos 2 px n j n n j n j n . (1.19) Analogamente, para a componente ímpar, utilizando as definições (1.8) e (1.18) chega- se a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 sin cos sin cos 2 1 sin cos sin cos sin 2 ix n j n n j n n j n n j n n . (1.20) A representação gráfica dos sinais pode ser observada na Figura 1.2 16 Figura 1.2. Representação de x n . 17 (IML 1.16) Considere dois sinais discretos, x n e y n , Problema 1.3. tais que 2 3y n x n . (1.21) Um sinal discreto diz-se periódico, quando existe um inteiro 0N , tal que respeita a condição x n x n N , n . (1.22) O período fundamental 0N define-se como o menor inteiro positivo queverifica (1.22). Qualquer inteiro positivo e múltiplo de 0N é também um período de x n . Pode ainda ser demonstrado que, para um sinal do tipo 0sin n , 0cos n ou 0j ne , onde 0 é a frequência fundamental, e 2M , seja periódico, é necessário que se verifique 0 M , (1.23) onde é o conjunto dos números racionais. a) Se x n é par logo y n é par? Para averiguar a veracidade de a), é necessário verificar se (1.21) cumpre (1.7). Uma vez que 2 3y n x n y n , (1.24) e sendo que x n é par vem ainda 2 3 2 3 2 3x n x n y n x n , (1.25) pelo que a) é falso. Note-se que, um deslocamento, tipicamente, altera a paridade do sinal. No entanto, se x n for periódico, de período 0 1,2,3,6N , tem-se que 18 2 3 2 3x n x n y n , ou seja, a paridade do sinal seria mantida e y n seria par. b) Se x n é periódico logo y n também o é? Se sim calcule o período de y n . (i) Resolução intuitiva Por observação de (1.21) verifica-se que estão patentes duas operações: (a) Uma mudança de escala temporal, correspondente ao termo 2n ; (b) Um deslocamento temporal, correspondente ao termo 3 . Note-se que, uma mudança de escala altera o período de um sinal, enquanto que, um deslocamento não. Represente-se o sinal periódico x n , de período 0N , na forma 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 0 0 1 2 ... 1 1 ... 2 1 2 ... ...k k n N N N N N x n x x x x x x x x . (1.26) Torna-se então necessário separar os casos em que 0N é par ou ímpar. Quando 0N é par tem-se que 0 0 0 2 4 0 0 1 2 ... 2 2 0 2 4 ... ... n N x n x x x x N x x x x , (1.27) logo o período de 2x n é dado por 0 2N N . Uma vez que a próxima operação, o deslocamento, não altera a periodicidade, o período de y n é 0 2yN N . Para o caso em que 0N é ímpar, 0 2N N não é inteiro, pelo que não pode ser um período de y n . Para este caso, tem-se que 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 1 3 0 1 1 3 0 1 2 ... ... 2 2 2 2 0 2 4 ... 1 1 3 ... 2 ... ...k N N N n N x n x x x x N x N x N x N x x x x x x x ,(1.28) 19 logo o período de 2x n é dado por 0N N . Novamente, o deslocamento não altera a periodicidade, e o período de y n é 0yN N . Ambas as componentes e a sua periodicidade podem ser observadas na Figura 1.3 e Figura 1.4. (ii) Resolução pela definição Aplicando (1.22) à definição do sinal, resulta imediatamente que n , yy n N y n . (1.29) Desenvolvendo (1.29), esta ainda pode ser reescrita como n , 2 3 2 2 3 2 3y yx n N x n N x n . (1.30) Para que esta tenha solução, é necessário que 0 02 2 y y N N mN N m , m , (1.31) onde 0N é o período fundamental de x n . O período fundamental de y n é então o menor inteiro positivo que cumpre (1.31), o que corresponde a 0 0 0 0 1 , par 2 2 , ímpar y N m N N m N N . (1.32) Note-se que, uma vez que o período tem de ser um inteiro positivo, apenas no caso em que 0N é par é que 0 2yN N é inteiro. Para o caso em que 0N é ímpar apenas se poderá ter 0yN N . 20 Figura 1.3. Representação do caso 0N par. Figura 1.4. Representação do caso 0N ímpar. 21 (HSU 1.23) O sinal discreto x n está desenhado na Problema 1.4. Figura 1.5. Represente cada um dos seguintes sinais. A representação de x n e u n pode ser observada na Figura 1.5. Figura 1.5. Representação de x n . a) 1x n u n Para calcular este resultado, comece-se por identificar que ao sinal escalão unitário, se aplicaram duas operações: (i) Inversão; (ii) Deslocamento. Pelo que, partindo da definição analítica do escalão unitário, e aplicando sucessivamente as operações referidas, é possível chegar a ( ) ( ) 1 ; 0 1 ; 0 1 ; 1 1 0 ; 0 0 ; 0 0 ; 1i ii n n n u n u n u n n n n . (1.33) Este sinal está representado na Figura 1.6. Efectuando finalmente a multiplicação, ponto por ponto, dos dois sinais chega-se ao resultado também apresentado na Figura 1.6. Figura 1.6. Representação de 1x n u n . 22 b) 2x n u n u n Para o primeiro membro da soma, pode então identificar-se uma operação de deslocamento, pelo que, se obtém a partir da definição de escalão unitário que 1 ; 0 1 ; 2 2 0 ; 0 0 ; 2 n n u n u n n n . (1.34) Efectuando a operação de subtracção vem que 1 ; 2 1 2 0 ; outros n u n u n . (1.35) Multiplicando os sinais ponto por ponto chega-se ao resultado da Figura 1.7. Figura 1.7. Representação de 1x n u n . c) 1x n n Para este caso, pode também identificar-se uma operação de deslocamento, pelo que, se obtém a partir da definição de impulso unitário que 1 ; 0 1 ; 1 1 0 ; 0 0 ; 1 n n n n n n . (1.36) Multiplicando os sinais ponto por ponto chega-se ao resultado da Figura 1.8. 23 Figura 1.8. Representação de 1x n u n . 24 (HSU 1.16g) Determine se os seguintes sinais são ou não Problema 1.5. periódicos. Caso sejam calcule o período. a) 4j nx n e Para que x n seja periódico é necessário que verifique a definição (1.22). Substituindo substituir n por n N em a), e aplicando (1.22) obtém-se a equação 4 4j n N j ne e . (1.37) Desenvolvendo o primeiro membro de (1.37) chega-se a 4 4 4j n N j ne e . (1.38) Para que x n seja periódico, (1.38) tem de ter solução, pelo que é necessário garantir a seguinte condição: 2 8 4 N m N m , m . (1.39) Atribuindo valores a m , obtém-se o menor inteiro positivo que verifica (1.39), 01 8m N . (1.40) onde 0 8N é o período fundamental. Uma vez que (1.39) tem solução, e x n é uma função exponencial complexa, a condição (1.23) é verificada 0 14 2 8 8 1 M . (1.41) 25 (HSU P1.51e) Determine se os seguintes sinais são ou Problema 1.6. não periódicos. Caso sejam calcule o período. a) 4 n j x n e Novamente, para que x n seja periódico é necessário que verifique a definição (1.22). Substituindo substituir n por n N em a), e aplicando (1.22) obtém-se a equação 4 4n N nj je e (1.42) Desenvolvendo o primeiro membro de (1.42), chega-se a 4 4 4n N nj je e (1.43) Para que x n seja periódico, (1.43) tem de ter solução, pelo que é necessário garantir a condição: 2 8 4 N m N m , m . (1.44) Uma vez que é irracional, qualquer múltiplo deste também será irracional, sendo impossívelobter um período inteiro. Note-se ainda que, como (1.44) não tem solução, e x n é uma função exponencial complexa, a condição (1.23) não é verificada 0 1 14 2 8 1 M . (1.45) 26 (IML 1.11b,c,d) Determine quais dos sinais seguintes são Problema 1.7. periódicos. Para os sinais periódicos indique o período fundamental. b) sin 5 2 4 x n n Note-se que, uma translação no tempo não afecta o período de um sinal, mas, uma mudança de escala sim. Uma vez que, o período fundamental da função seno é 2M , verifique-se se após a mudança de escala, o sinal continua a ser periódico. Para calcular o período fundamental, substitua-se n por n N em b), e aplique-se (1.22) à definição do sinal obtendo a equação sin 5 2 sin 5 2 4 4 n N n . (1.46) Desenvolvendo o primeiro membro de (1.46), chega-se a sin 5 2 5 sin 5 2 4 4 4 n N n . (1.47) Para que x n seja periódico, (1.47) tem de ter solução. Então, os argumentos das funções seno têm de estar relacionados, através de um múltiplo do período fundamental da função seno ( 2M ): 8 5 5 2 4 4 5 N mM N m N m , m . (1.48) O menor número inteiro que verifique (1.48) é então o período fundamental, que neste caso, corresponde a 5m que resulta em 0 8N . Novamente, uma vez que (1.39) tem solução, e x n é uma função seno, a condição (1.23) é verificada 0 5 5 54 2 8 8 1 M . (1.49) c) 1 cos 2 x n n 27 Para calcular o período fundamental, substitua-se n por n N em c), e aplique-se (1.22) à definição do sinal, obtendo a equação 1 1 cos cos 2 2 n N n . (1.50) Desenvolvendo o primeiro membro de (1.50), chega-se a 1 1 1 cos cos 2 2 2 n N n . (1.51) Para que x n seja periódico, (1.51) tem de ter solução. Então, os argumentos das funções co-seno têm de estar relacionados através de um múltiplo do período fundamental da função co-seno ( 2M ): 1 2 4 2 N m N m , m . (1.52) Uma vez que é irracional, qualquer múltiplo deste também será irracional, sendo impossível obter um período inteiro. Como (1.51) não tem solução, e x n é uma função co-seno, a condição (1.23) não é verificada 0 1 12 2 4 1 M . (1.53) d) 2cos 5x n n Novamente, substituindo n por n N em d) e aplicando (1.22), chega-se a 2 2cos 5 cos 5n N n . (1.54) Desenvolvendo o primeiro membro de (1.54) permite ainda obter 2 2 2cos 5 10 5 cos 5n nN N n . (1.55) Novamente, de (1.55) obtém-se a condição 28 2 2510 5 2 5 2 nN N m m nN N , m . (1.56) Uma vez que m é um número inteiro, o segundo membro de (1.56) também tem de ser inteiro. Desta forma, uma vez que 5nN já é um inteiro ( n e N são inteiros) é necessário que 2 0 5 2 2 N N . (1.57) Tendo (1.57) solução, e sendo x n uma função co-seno, a condição (1.23) é verificada 0 5 5 51 2 2 2 1 M . (1.58) 29 (IML 1.23a,d,h,i) Um sistema discreto pode ser Problema 1.8. classificado segundo as seguintes propriedades: 1) memória; 2) Causalidade; 3) Invariância no tempo; 4) Linearidade; 5) Estabilidade; 6) Invertibilidade. Para classificar os seguintes sistemas, é necessário conhecer as propriedades gerais dos sistemas lineares. Estas podem ser definidas da seguinte forma: 1) Memória: Um sistema não tem memória quando, num instante de tempo, a saída apenas depende da entrada nesse mesmo instante, i.e., 1 1 1n y n f x n . (1.59) e.g., 3y n x n não tem memória, enquanto que 3 1y n x n tem. 2) Causalidade: Um sistema é causal quando, para qualquer instante de tempo, a saída depende da entrada apenas em instantes passados. Portanto, para dois sinais idênticos até ao instante 0n , as saídas são idênticas até ao mesmo instante, i.e., 1 2 0 1 2 0x n x n n n y n y n n n . (1.60) Por conseguinte, um sistema sem memória é necessariamente causal, e.g., 3y n x n e 3 1y n x n são causais, enquanto que 3 1y n x n não. 3) Invariância no tempo: Um sistema diz-se invariante no tempo, quando uma deslocação no sinal de entrada conduz à mesma deslocação no sinal de saída, i.e., 0 0x n y n x n n y n n , 0n . (1.61) 4) Linearidade: Um sistema é linear quando uma combinação linear de sinais à entrada conduz, na saída, à mesma combinação linear das saídas elementares para cada sinal de entrada, i.e., 1 1 1 2 1 2 2 2 x n y n ax n bx n ay n by n x n y n . (1.62) 30 5) Estabilidade: Um sistema diz-se estável de entrada limitada / saída limitada quando qualquer entrada limitada dá origem a uma saída limitada, i.e., 0 : 0 :x x y yA x n A n A y n A n . (1.63) 6) Invertibilidade: Um sistema é invertível quando, sinais de entrada distintos resultam em sinais de saída distintos (a aplicação da entrada na saída é injectiva), i.e., 1 2 1 2x n x n y n y n . (1.64) a) ny n x n Pela propriedade (1.59) verifica-se que o sistema não tem memória. Pela propriedade (1.60) verifica-se que o sistema é causal. Quanto à invariância no tempo, é necessário aplicar a propriedade (1.61). Considerando um sinal auxiliar 1 0x n x n n resulta que 1 1 0 n ny n x n x n n . (1.65) No entanto, uma vez que, 00 0 n n y n n x n n , (1.66) é diferente de (1.65) o sistema é variante no tempo. Quanto à linearidade, aplicando (1.62), tem-se que 1 1 ny n x n , 2 2 ny n x n pelo que 1 2 1 2 1 2 n ax n bx n ax n bx n ay n by n , (1.67) logo o sistema é não linear. Por exemplo, escolhendo 1a b no ponto 2n , vem para quaisquer dois sinais de entrada 1x n e 2x n 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2x x x x y y . (1.68) 31 Neste caso, o sistema não é estável, o que pode ser provado por contra-exemplo. Considere-se o sinal de entrada limitado 2x n , n , pelo que vem 2 limn n y n y n , (1.69) ou seja, para uma entrada limitada, a saída é ilimitada, pelo que o sistema é instável. Para provar a não invertibilidade recorrer-se-á, novamente, ao contra exemplo. Definam-se dois sinais diferentes tais que 1 1 2 2 1, 1 1, 1, 0 1 , 0 1, 2, 0 2 , 0 n n n x n n y n n n n x n y n n n n . (1.70) A partir de (1.70) verifica-se que, 1 2 1 2x n x n y n y n , (1.71) logo, pela propriedade (1.64), o sistema é não invertível. (Note-se que o sistema perde a informação do sinal de entrada no instante 0n ). b) Esta alínea corresponde à resolução emparalelo dos problemas IML 1.23h, i, representando um grau de dificuldade interessante. Verifiquem-se as diferenças entre os dois sistemas semelhantes, , 1 0 , 0 1 , 1 h x n n y n n x n n , , 1 0 , 0 , 1 i x n n y n n x n n . (1.72) Note-se que, considerando a propriedade (1.59), se pode observar que hy n tem memória enquanto que iy n não tem memória. Mais ainda, aplicando (1.60), pode observar-se que hy n é não causal enquanto que iy n é causal. Quanto à invariância temporal, aplicando (1.61) resulta que, as saídas 0y n n são dadas por 0 0 0 0 0 0 , 1 0 , 1 , 1 h x n n n n y n n n n x n n n n , 0 0 0 0 0 0 , 1 0 , , 1 i x n n n n y n n n n x n n n n . (1.73) 32 Considerando novamente sinais auxiliares do tipo 0x n x n n resulta que, 0 0 , 1 0 , 0 1 , 1 h x n n n y n n x n n n , 0 0 , 1 0 , 0 , 1 i x n n n y n n x n n n . (1.74) Uma vez que os resultados (1.74) e (1.73) são diferentes, verifica-se que ambos os sistemas são variantes no tempo. Aplicando agora a propriedade (1.62), dos sistemas lineares verifica-se que, o sistema hy n , 1 2 1 2 ,1 ,2 1 2 , 1 0 , 0 1 1 , 1 h h h ax n bx n n ax n bx n y n n ay n by n ax n bx n n , (1.75) bem como o sistema iy n 1 2 1 2 ,1 ,2 1 2 , 1 0 , 0 , 1 i i i ax n bx n n ax n bx n y n n ay n by n ax n bx n n , (1.76) são lineares. Mais ainda, quanto à estabilidade, verifica-se que a condição (1.63) é sempre cumprida, para qualquer entrada limitada, para ambos os sistemas, pelo que estes são estáveis. Quanto à invertibilidade, note-se que, o sistema iy n perde a informação da entrada no instante 0n enquanto que o sistema hy n não. Desta forma, por contra-exemplo considerem-se os sinais 1 ,1 2 ,2 0 2 0 i i x n n y n x n n y n , (1.77) ou seja, 1 2 ,1 ,2i ix n x n y n y n , (1.78) logo o sistema iy n é não invertível. Pelo contrário, hy n é invertível, e o seu sistema inverso é dado por 1 , 0 1 , 0 h h h h y n n y n z n y n n . (1.79) 33 d) y n n x n Pela propriedade (1.59) verifica-se que o sistema não tem memória. Aplicando ainda (1.60), e uma vez que o sistema não tem memória, tem-se que o sistema é causal. Para averiguar se o sistema é invariante no tempo, aplique-se (1.61), considerando 1 0x n x n n , pelo que se tem 1 1 0y n n x n n x n n . (1.80) No entanto, uma vez que 0 0 0y n n n n x n n , (1.81) tem-se que (1.81) é diferente de (1.80) pelo que o sistema é variante no tempo. Quanto à linearidade, aplicando (1.62), tem-se que 1 1y n n x n e 2 2y n n x n , pelo que 1 2 1 2 1 2 1 2ax n bx n n ax n bx n an x n bn x n ay n by n , (1.82) logo o sistema é linear. A estabilidade pode ser novamente comprovada por contra exemplo, i.e., se 3x n , n , verifica-se que, 3 lim n y n n y n , (1.83) ou seja, para uma entrada limitada, a saída é ilimitada, pelo que o sistema é instável. Novamente, note-se que o sistema perde a informação do sinal de entrada em 0n . Considerando os dois sinais seguintes, 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 3 3 3 0 0 0 x n n y n n n x n n y n n n . (1.84) A partir de (1.84), verifica-se que, 1 2 1 2x n x n y n y n , (1.85) logo, pela propriedade (1.64), o sistema é não invertível. 34 Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Problema 1.9. Caso sejam calcule o seu período. a) 2 tan 3 x n n Novamente, para que x n seja periódico é necessário que verifique a definição (1.22). Substituindo n por n N em a), e aplicando (1.22) obtém-se a equação 2 2 tan tan 3 3 n N n , (1.86) Desenvolvendo o primeiro membro de (1.42), chega-se a 2 2 2 tan tan 3 3 3 n N n , (1.87) Para que x n seja periódico, (1.87) tem de ter solução, pelo que é necessário garantir a seguinte condição: 2 2 3 3 3 2 N Mm N m N m , m . (1.88) O menor número inteiro que verifique (1.88) é então o período fundamental, que neste caso, corresponde a 2m que resulta em 0 3N . Note-se que, o período fundamental da função tangente é M . b) 3 2 sin tan 2 3 x n n n Novamente, para que x n seja periódico é necessário que verifique a definição (1.22). No entanto, uma vez que x n é dado pela soma de dois sinais distintos, é necessário primeiro averiguar qual a periodicidade de ambas as componentes. Assim, substituindo n por n N em b), e aplicando (1.22) obtêm-se as equações 35 1 2 3 3 sin sin 2 2 2 2 tan tan 3 3 n N n n N n . (1.89) Analogamente à alínea anterior chega-se a duas condições: 1 1 1 2 2 2 3 4 2 42 3 2 33 3 2 N m N m N N N m N m , m . (1.90) O período fundamental do sinal é o mínimo múltiplo comum entre os períodos fundamentais 1N e 2N das duas componentes, i.e., 0 12N . 36 (IML 1.23b,k) Um sistema discreto pode ser classificado Problema 1.10. segundo as seguintes propriedades: 1) memória; 2) Causalidade; 3) Invariância no tempo; 4) Linearidade; 5) Estabilidade; 6) Invertibilidade. b) x ny n ne Pela propriedade (1.59) verifica-se que o sistema não tem memória. Pela propriedade (1.60) verifica-se que o sistema é causal. Quanto à invariância no tempo, é necessário aplicar a propriedade (1.61). Considerando um sinal auxiliar 1 0x n x n n resulta que 1 01 x n x n n y n ne ne . (1.91) No entanto, uma vez que, 00 0 x n n y n n n n e , (1.92) é diferente de (1.91) o sistema é variante no tempo. Quanto à linearidade, aplicando (1.62), e considerando duas entradas/saídas elementares 11 x n y n ne e 22 x n y n ne tem-se que 1 2 1 21 2 1 2 ax n bx n ax n bx n ax n bx n ne ne e a y n b y n , (1.93) logo o sistema é não linear. A estabilidade, pode ser comprovada por contra exemplo, i.e., se 2x n , n , verifica-se que, 2 lim n y n ne y n , (1.94) ou seja, para uma entrada limitada, a saída é ilimitada, pelo que o sistema é instável. Note-se que o sistema perde a informação do sinal de entrada em 0n . Considerando os dois sinais seguintes, 37 1 2 1 1 2 3 2 2 , 01 0, 02 , 02 0, 03 n n n n x n n y n n e n n n x n n y n n e n , (1.95) a partir de (1.95), verifica-se que, 1 2 1 2x n x n y n y n , (1.96) logo, pela propriedade (1.64), o sistema é não invertível. k) 5 4y n x n Pela propriedade (1.59) verifica-se que o sistema tem memória. Pela propriedade (1.60) verifica-se que o sistema é não causal. Quanto à invariância no tempo, é necessário aplicar a propriedade (1.61). Considerando um sinal auxiliar 1 0x n x n n resulta que 1 1 05 4 5 4y n x n x n n . (1.97) No entanto, uma vez que, 0 05 4y n n x n n , (1.98) é diferente de (1.91) o sistema é variante no tempo. Quanto à linearidade, aplicando (1.62), e considerando duas entradas/saídas elementares 1 1 5 4y n x n e 2 2 5 4y n x n tem-se que 1 2 1 2 1 25 5 4ax n bx n ax n bx n a y n b y n , (1.99) logo o sistema é não linear. A estabilidade, pode ser comprovada considerando que xx n A , n , é possível obter 5 4 5 4 4x yy n x n x n A A , (1.100) 38 ou seja, para uma entrada limitada a saída é limitada, pelo que o sistema é estável. Para provar que o sistema não é invertível , considerem-se os dois sinais seguintes: 1 1 2 2 1, 5 4 5 1, múltiplode5 5 4 5 0, c.c. x n n y n x n n x n y n x n n . (1.101) Note-se que, qualquer inteiro multiplicado por 5 resulta necessariamente num múltiplo de 5 . A partir de (1.101), verifica-se que, 1 2 1 2x n x n y n y n , (1.102) logo, pela propriedade (1.64), o sistema é não invertível. 39 Capítulo 2.Representação no Domínio do Tempo para Sistemas LIT Discretos (HSU 2.30) Avalie y n h n x n , onde x n e h n Problema 2.1. estão representados na Figura 2., usando: a) Uma soma ponderada de impulsos unitários; b) A expressão para a soma de convolução. Figura 2.1. Representação de x n e de h n . Para um dado sistema linear e invariante no tempo, caracterizado pela sua resposta impulsional h n , designe-se por x n o sinal de entrada e por y n o sinal de saída (Figura 2.2). Figura 2.2. Sistema LIT, com resposta impulsional h n , entrada x n e saída y n . Como é conhecido, a resposta deste sistema a qualquer sinal de entrada pode ser obtida através da soma de convolução da seguinte forma k y n x k h n k x n h n . (2.1) Para obter a saída do sistema, é necessário efectuar os seguintes passos, para cada instante n : h n y n x n 40 1. Determinar a reflexão em relação à origem da resposta impulsional h k do SLIT, obtendo: z k h k . 2. Atrasar o sinal z k de n unidades (correspondentes ao instante n ) obtendo a sequência: w k z k n h n k 3. Multiplicar ponto a ponto a sequência w k pela entrada: x k h n k . 4. Somar todos os pontos da sequência resultante, de modo a obter a soma de convolução correspondente ao instante n . Este processo é então repetido para todos os instantes n . A soma de convolução goza ainda das seguintes propriedades: 1) Comutatividade: x n h n h n x n . (2.2) 2) Associatividade: 1 2 1 2x n h n h n x n h n h n . (2.3) 3) Distributividade: 1 2 1 2x n h n h n x n h n x n h n . (2.4) Destas propriedades consegue deduzir-se que a resposta impulsional de dois SLITs em série é dada pela convolução das respostas impulsionais de cada um dos SLITs. Da mesma forma se pode demonstrar que a resposta de dois SLITs em paralelo é a soma das respostas impulsionais de cada um. Este resultado encontra-se esquematizado na Figura 2.3. Figura 2.3. Respostas impulsionais de: (a) SLITs em série; (b) SLITs em paralelo. 1 2h n h n 1h n 2h n a 1 2h n h n 1h n 2h n b a b 41 Note-se ainda que, a função impulso unitário exibe uma propriedade interessante face á convolução, 0 0x n n n x n n . (2.5) a) Para resolver este problema, considerando uma soma de impulsos unitários, é necessário escrever o sinal de entrada, bem como a resposta impulsional, na forma 1 2 3x n n n n n , (2.6) 1 2h n n n n . (2.7) Torna-se então possível obter a convolução x n h n através da aplicação das propriedades (2.2) – (2.5). Indicando a convolução 1 2x n h n x n n n n , (2.8) e aplicando (2.4) é possível escrever 1 2x n h n x n n x n n x n n . (2.9) Recorrendo a (2.5) ainda se pode obter 1 2x n h n x n x n x n . (2.10) Substituindo x n em (2.10), após alguma álgebra, obtem-se 2 1 3 2 3 3 2 4 5y n n n n n n n . (2.11) A forma do sinal de saída encontra-se representada na Figura 2.7. b) Para facilitar a compreensão desta resolução vão ser apresentados graficamente todos os passos. Atendendo aos passos acima descritos, que indicam a forma de calcular explicitamente uma soma de convolução, é necessário obter a reflexão em relação à origem da resposta impulsional z k h k do sistema. Em seguida, é necessário atrasar z k de n unidades e multiplicá-lo por x k . Através da Figura 2.4 e Figura 2.5 42 verifica-se que h n k não se sobrepõe com x k para 0n e 5n . Assim, x k h n k e consequentemente a resposta y n são nulos neste intervalo. Figura 2.4. Representação de x k , h k , x k h n k e h n k para 2n . Figura 2.5. Representação de x k h n k e h n k para 6n . Para o intervalo 0 5n , onde x k h n k não é nulo, o seu valor é representado na Figura 2.6. 43 44 Figura 2.6. Representação de x k h n k e h n k para 0 5n . Finalmente, para obter a resposta y n , é necessário, para cada instante n , somar as contribuições de x k h n k , o que resulta na resposta representada na Figura 2.7. Figura 2.7. Representação da saída y n . 45 (HSU 2.28) Considere o SLIT com resposta impulsional Problema 2.2. nh n u n para 0 1 e o sinal de entrada x n u n . Determine a resposta do sistema através de: (a) y n x n h n ; (b) y n h n x n . a) y n x n h n Considerando a definição da soma de convolução (2.1) primeiro é necessário obter a reflexão em relação à origem da resposta impulsional z k h k . Em seguida, é necessário deslocar z k de n unidades e multiplicar ponto a ponto pela entrada x k . Note-se que, tal como representado na Figura 2.8, quando se obtém h n k ocorrem duas situações possíveis para a multiplicação x k h n k : (i) Para 0n não existe sobreposição entre x k e h n k ; (ii) Para 0n , x k e h n k encontram-se sobrepostos entre 0 k n . Figura 2.8. Representação de x k , h k e h n k para 0n e 0n . 46 Uma vez que, para 0n , as componentes x k e h n k não se sobrepõem, temos que 0x k h n k , e por conseguinte 0, 0 k y n x k h n k n . (2.12) Para o caso em que 0n , as componentes x k e h n k estão sobrepostas no intervalo 0 k n . Neste intervalo tem-se que 1x k e n kh n k , pelo que atendendo à definição (2.1) a saída é dada por 0 , 0 n n k k k y n x k h n k n . (2.13) Efectuando uma mudança de variável, m k n k , segundo (A.100) vem que 0 0 , 0 n m m m n m y n n . (2.14) É então possível identificar (2.14) com uma série geométrica do tipo (A.87) onde , 1N n e 0k . Uma vez que 0 1 a soma de (2.14) é dada por 1 1 0 1 1 , 0 1 1 n n y n n . (2.15) Finalmente, considerando o resultado nos dois ramos de n é possível escrever 1 11 , 0 1 1 1 0, 0 n nn y n u n n , (2.16) uma vez que 0u n para 0n . Para representar o gráfico de y n é útil obter o valor de 11 1 lim lim 1 1 n n n y n . (2.17) A resposta final do sistema pode ser observada na Figura 2.9. 47 Figura 2.9. Representação de x k , h k e h n k para 0n e 0n . b) y n h n x n Note-se que, uma vez que a convolução é comutativa, o resultado final será o mesmo do obtido na alínea anterior. Note-se que, k y n h n x n h k x n k . (2.18) Como representado na Figura 2.10, quando se obtém x n k ocorrem duas situações possíveis para a multiplicação de h k x n k : (i) Para 0n não existe sobreposição entre h k e x n k ; (ii) Para 0n , h k e x n k encontram-se sobrepostos entre 0 k n . 48 Figura 2.10. Representação de x k , h k e x n k para 0n e 0n . Novamente, para 0n , as componentes h k e x n k não se sobrepõem, então 0h k x n k , e por conseguinte 0, 0 k y n h k x n k n . (2.19) Para o caso em que 0n , as componentes h k e x n k estão sobrepostas no intervalo 0 k n . Neste intervalo tem-se que, 1x n k e kh k , pelo que, atendendo à definição (2.1) a saída é dada por 0 , 0 n k k k y n h k x n k n . (2.20) É então possível identificar (2.20) com uma série geométrica do tipo (A.87) onde , 1N n e 0k . Uma vez que 0 1 a soma de (2.14) é dada por 1 1 0 1 1 , 0 1 1 n n y n n . (2.21) 49 Finalmente, considerando o resultado nos dois ramos de n é possível escrever 1 11 , 0 1 1 1 0, 0 n nn y n u n n , (2.22) uma vez que 0u n para 0n . Como esperado, a resposta final do sistema é a mesma que a obtida em (2.16). 50 (HSU 2.32) A resposta ao escalão unitário, de um Problema 2.3. determinado sistema LIT é dada por: nuy n u n para 0 1 . Determine a resposta impulsional do sistema. Note-se que, como é descrito nos apontamentos teóricos (Capítulo 2), é possível calcular a resposta ao escalão unitário, de um sistema LIT, a partir da resposta ao impulso 1, n u k k k n y n u n k h k h k . (2.23) Consequentemente, a resposta ao impulso, pode ser obtida em função da resposta ao escalão através de 1 1 n n u u k k h n y n y n h k h k . (2.24) a) Considerando a definição (2.24), é possível obter a resposta impulsional do sistema 11 1n nu uh n y n y n u n u n . (2.25) Após alguma álgebra, obtém-se o resultado final 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n h n u n u n n u n u n n u n n u n . (2.26) 51 (HSU 2.38) Considere um sistema LIT com a seguinte Problema 2.4. resposta impulsional: nh n u n . Classifique este sistema quanto à: a) causalidade; b) Estabilidade. A classificação de um sistema LIT, face às suas propriedades pode ser efectuada através do estudo da resposta impulsional: 1) Memória: Um sistema diz-se sem memória quando a sua saída num dado instante de tempo depende apenas da entrada nesse instante de tempo. A resposta impulsional de um sistema discreto sem memória é dada por um impulso na origem de amplitude K h n K n , (2.27) e.g., 2h n n não tem memória, enquanto que 2 1h n n tem. 2) Causalidade: Um sistema é causal quando, para qualquer instante de tempo, a saída depende da entrada apenas em instantes passados. Portanto, a resposta impulsiva de um sistema causal é dada por 0 0h n n , (2.28) e.g., h n u n é causal, enquanto que 1h n u n não. 3) Estabilidade: Um sistema diz-se estável de entrada limitada / saída limitada quando qualquer entrada limitada dá origem a uma saída limitada. A resposta impulsional de um sistema estável é uma função absolutamente somável, i.e., k h k . (2.29) 4) Invertibilidade: Um sistema é invertível quando, sinais de entrada distintos resultam sinais de saída distintos (a aplicação da entrada na saída é injectiva). A convolução entre a resposta impulsional de um sistema invertível e do seu inverso é um impulso unitário, i.e., Ih n h n n . (2.30) 52 Note-se que, esta condição é necessária, mas não suficiente. a) Considerando a definição (2.28), uma vez que 0h n para 0n verifica-se que o sistema é causal. b) Considerando a definição (2.29), é possível averiguar se o sistema é estável obtendo 0 k k k k k h k u k . (2.31) Note-se que, (2.31) é uma série geométrica, cujasoma é dada por (A.88) 0 1 , 1 1 k k . (2.32) Ou seja, (2.32) verifica a condição (2.29), pelo que o sistema é estável, quando 1 e não verifica a condição (2.29), pelo que é instável, quando 1 . 53 (HSU 2.56) A resposta impulsional de um sistema LIT é Problema 2.5. dada por: 1 2 n h n u n . Calcule 1y e 4y para o sinal de entrada 2 3x n n n . Método 1. Resolução através das propriedades de um sistema LIT. Note-se que, o sinal de entrada já está escrito sob a forma de uma soma ponderada de impulsos unitários. Porque o sistema é LIT, a resposta ao sinal de entrada é uma soma ponderada de respostas impulsionais. Uma vez que, 3 3n h n , (2.33) o cálculo da saída é imediato 1 1 1 12 3 2 3 2 3x n x n x n y n y n y n h n h n . (2.34) Método 2. Resolução através da definição de convolução. A resposta do sistema pode ser obtida pela definição de convolução (2.1) 2 3 2 3 y n x n h n h n n n h n n h n n . (2.35) Aplicando agora a propriedade (2.5) obtém-se 2 3y n h n h n . (2.36) Substituindo a definição de h n em (2.34) resulta que 3 1 1 2 3 2 2 n n y n u n u n . (2.37) Por substituição directa de 1n e 4n em (2.37) vem finalmente 1 1 3 2 1 1 1 1 1 2 1 1 3 2 0 1 2 2 2 2 y u u . (2.38) 4 4 3 4 1 1 1 1 1 1 5 4 2 4 4 3 2 2 2 2 2 8 2 8 y u u . (2.39) 54 (IML 2.25) Considere um sistema LIT com a seguinte Problema 2.6. resposta impulsional: 2 4nh n u n . Classifique este sistema quanto à: a) causalidade; b) Estabilidade; c) Determine ainda a saída para o sinal de entrada 2 4 1x n n n . a) Considerando a definição (2.28), uma vez que 0h n para 0n verifica-se que o sistema é não causal. b) Considerando a definição (2.29), é possível averiguar se o sistema é estável: 4 2 4 2k k k k k h k u k . (2.40) Note-se que, (2.40) é uma série geométrica, cuja soma é dada por (A.88) 4 2k k . (2.41) Ou seja, (2.41) não verifica a condição (2.29), pelo que o sistema é instável. c) Esta alínea pode ser resolvida pode dois métodos. Método 1. Resolução através das propriedades de um sistema LIT. Novamente, uma vez que o sistema em causa é LIT, e a entrada já está escrita como uma soma ponderada de impulsos unitários, é possível dizer que 1 1 1 12 4 1 2 4 1 2 4 1x n x n x n y n y n y n h n h n . (2.42) Método 2. Resolução através da definição de convolução. A saída para o sinal de entrada x n pode ser obtida pela definição (2.1) 55 2 4 1 2 4 1 y n x n h n h n n n h n n h n n . (2.43) Aplicando agora a propriedade (2.5) obtém-se 2 4 1y n h n h n . (2.44) Substituindo a definição de h n em (2.42) resulta que 1 1 1 2 4 3 2 4 4 8 n ny n u n u n n n . (2.45) 56 (IML 2.26) Considere um sistema LIT cuja resposta ao Problema 2.7. escalão unitário é dada por: 0 , 2, 2, 5 3 , 1 2 , 0 4 , 1 3 , 3 1 , 4 u n n n n n y n n n n . (2.46) Determine: a) A resposta impulsional do sistema; b) Se o sistema é causal; c) Se o sistema é estável; d) A saída do sistema para o sinal de entrada 2 1x n u n u n . a) Através da definição (2.24), é possível obter a resposta impulsional do sistema, a partir da resposta ao escalão unitário 0 , 2, 2, 5 0 , 1 2, 1 2, 1 5 3 , 1 3 , 1 1 2 , 0 2 , 1 0 1 4 , 1 4 , 1 1 3 , 3 3 , 1 3 1 , 4 1 , 1 4 u u n n n n n n n n n n h n y n y n n n n n n n . (2.47) Após alguns passos algébricos obtém-se 0 , 2, 2, 5 0 , 1, 3, 6 3 , 1 3 , 0 2 , 0 2 , 1 4 , 1 4 , 2 3 , 3 3 , 4 1 , 4 1 , 5 n n n n n n n n n n h n n n n n n n , (2.48) 57 0 , 2 3 , 1 1 , 0 2 , 1 4 , 2 3 , 3 2 , 4 1 , 5 0 , 6 n n n n h n n n n n n . (2.49) b) Considerando a definição (2.28), uma vez que 0h n para 0n verifica-se que o sistema é não causal. c) Considerando a definição (2.29), é possível averiguar se o sistema é estável: 16 k h k . (2.50) Ou seja, (2.50) verifica a condição (2.29), pelo que o sistema é estável. d) Novamente, o sistema em questão é LIT. O sinal de entrada já está escrito como uma soma ponderada de escalões unitários. Mais ainda, a resposta a 1u n já foi calculada na alínea a). Aplicando então os resultados obtidos em (2.48), tem-se que a resposta ao sinal x n é dada por 0 , 2, 2, 5 0 , 1, 3, 6 3 , 1 3 , 0 2 , 0 2 , 1 2 1 2 4 , 1 4 , 2 3 , 3 3 , 4 1 , 4 1 , 5 u u n n n n n n n n n n y n y n y n n n n n n n , (2.51) que após alguma álgebra, permite obter 58 0 , 2 3 , 1 4 , 0 0 , 1 2 1 8 , 2 3 , 3 5 , 4 6 , 5 0 , 6 u u n n n n y n y n y n n n n n n . (2.52) 59 Capítulo 3.Transformada Z (HSU 4.10) Calcule a transformada do Z dos sinais: a) Problema 3.1. x n u n ; b) x n n . A transformada Z, bilateral, e a sua inversa são dadas pelas seguintes expressões: n n X z x n z , (3.1) 1 1 2 nx n X z z dz j . (3.2) Note-se que, para que exista transformada, é necessário que se verifique n n I z x n z . (3.3) A transformada Z observa então as seguintes propriedades: 1) Linearidade: Se, 1 1 1 2 2 2 , . . , . . x n X z R C R x n X z R C R , (3.4) onde . .R C é a região de convergência, então, 1 2 1 2ax n bx n aX z bX z , 1 2. .R C R R . (3.5) 2) Translação no tempo: Se x n X z , . .R C R (3.6) então, 00 n x n n z X z , . .R C R , (3.7) excepto para a possível inclusão/exclusão de 0z ou z . 60 3) Multiplicação por exponencial complexa: Se, x n X z , . .R C R(3.8) então, 0 0 n zz x n X z , 0. .R C z R . (3.9) 4) Mudança de escala: Seja ; múltiplo 0 ; . . x n n x n c c , (3.10) Se, x n X z , . .R C R (3.11) então, 1x n X z , . .R C R . (3.12) 4.1) Inversão temporal: Para o caso particular em que 1 , dá-se uma inversão temporal, sem perda de informação, pelo que 1 x n X z , 1 . .R C R (3.13) 5) Convolução: Se, 1 1 1 2 2 2 , . . , . . x n X z R C R x n X z R C R . (3.14) então, 1 2 1 2x n x n X z X z , 1 2. .R C R R . (3.15) 61 6) Diferenciação no domínio da transformada: Se, x n X z , . .R C R (3.16) então, dX z nx n z dz , . .R C R . (3.17) 7) Soma no domínio do tempo: Se, x n X z , . .R C R (3.18) então,. 1 1 1 n k x k X z z , . . 1R C R z . (3.19) a) Método 1. Resolução através da definição. Aplicando a definição (3.1) ao sinal definido no enunciado, tem-se que 0 0 n n n n n n X z u n z z z . (3.20) Utilizando o resultado conhecido, para a soma de séries geométricas (A.36), vem finalmente, 0 1 , 1 1 n n z z z . (3.21) Para que exista transformada, é necessário verificar (3.3). Note-se que, (3.21) converge, i.e., I z sempre que 1z , ou seja, a região de convergência da transformada é dada por 1z . O resultado final pode então ser escrito na forma 1 1 X z z , . . : 1R C z . (3.22) 62 Método 2. Resolução utilizando as tabelas das transformadas. Pelas tabelas das transformadas, sabe-se que 1 1 1 x n u n X z z , . . : 1R C z . (3.23) Aplicando a propriedade (3.13), obtém-se directamente 1 1 1 1 11 1 u n X z z z , . . : 1R C z . (3.24) b) Recorrendo à definição da transformada (3.1), tem-se que n n X z n z . (3.25) Note-se que, o delta de Dirac verifica a seguinte propriedade 0n f n n f . (3.26) Assim, aplicando (3.26) a (3.25) pode facilmente escrever-se que 0 1 n n X z n z n , (3.27) tal como vem indicado nas tabelas das transformadas. 63 (AT Ex. 4, Cap. 3) Calcule a transformada do Z do sinal Problema 3.2. 0j nx n e u n . Encontre também os pólos, zeros e a região de convergência A propriedades da região de convergência da transformada Z são as seguintes 1. A . .R C de X z consiste numa coroa circular centrada na origem do plano z . 2. A . .R C não contém pólos. 3. Se x n for de duração finita, então a . .R C é o próprio plano z , exceptuando eventualmente 0z e/ou z . Quando, 2 1 n n n n X z x n z , (3.28) 3.1. Se o sinal possui componentes causais, ou seja, 2 0n , logo X z possui o termo 1z e por isso 0 . .z R C 3.2. Se o sinal possui componentes não-causais, ou seja, 1 0n , logo X z possui o termo z e por isso . .z R C 3.3. O único sinal cuja . .R C é todo o plano z é x n a n . 4. Se x n for um sinal direito, e se a sua circunferência de raio 0z r pertencer à . .R C , então todos os valores finitos de z tais que 0z r também pertencem à . .R C . 5. Se x n for um sinal esquerdo, e se a sua circunferência de raio 0z r pertencer à . .R C , então todos os valores finitos de z tais que 00 z r também pertencem à . .R C 64 6. Se x n for um sinal bilateral, e se a sua circunferência de raio 0z r pertencer à . .R C , então a . .R C é uma coroa circular do plano z que contém a circunferência 0z r . a) Pela definição tem-se que 0j n n n X z e u n z . (3.29) É ainda possível reescrever (3.29) na forma 0 0 0 0 n j j n n n n e X z e z z . (3.30) Novamente, para que exista transformada, é necessário verificar (3.3), pelo que, aplicando o resultado das séries geométricas (A.36), surge a condição 0 1 1 j e z z . (3.31) Desta forma, a transformada é dada por, 0 0 1 1 j j z X z e z e z , . . : 1R C z . (3.32) Sendo iz as raízes do numerador (zeros), e ip as raízes do denominador (pólos), tem-se 0iz , 0jip e . (3.33) 65 (AT Ex. 5, Cap. 3) Discuta a existência da transformada Z Problema 3.3. do seguinte sinal nx n . Utilizando a definição (3.1), tem-se que 1 0 n n n n n n n n n X z z z z . (3.34) Ainda é possível reescrever (3.34) na forma 1 0 1 n n n n X z z z . (3.35) Efectuando uma mudança de variável m n (A.100), obtém-se finalmente 1 0 0 0 1 n n m m m n m n X z z z z z . (3.36) Para que exista transformada, é necessário verificar (3.3). Considerando a soma de uma série geométrica, (A.88), obtém-se as seguintes condições, 1z , 1 z . (3.37) Substituindo uma condição na outra, obtém-se que, 1 z . (3.38) Esta condição implica que as séries de (3.36) apenas convergem quando 1 , e desta forma existe uma região de convergência para a transformada do sinal. Assim, aplicando (A.88) vem para a transformada do sinal 1 1 1 1 1 X z z z , 1 . . :R C z , 1 . (3.39) 66 (AT Ex. 7, Cap. 3) Calcule a transformada inversa de Problema 3.4. a) 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 z z X z z z z , . . : 1 2 1R C z (3.40) b) 2 1 1 1 1 2 1 X z z z , . . : 2R C z (3.41) Considere-se o problema de decompor em fracções simples X z , escrita na forma, 1 1 1 0 1 2 m m m m n n b z b z b z b X z a z p z p z p . (3.42) Para decompor (3.42) em fracções simples é necessário efectuar os seguintes passos: (i) Verificar se a fracção é própria, i.e., m n (o número de zeros não é superior ao número de pólos); (ii) Caso a fracção não verifique (i) é necessário efectuar uma sucessão de divisões polinomiais até obter uma fracção própria; (iii) Efectuar a separação em fracções simples. Sendo X z uma fracção própria, com k pólos distintos tais que o pólo
Compartilhar