Commande Robuste Alarcon Oliveira

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Anna Luara Alarcon Oliveira
3e année: Option Mécatronique
Bureau d’étude – Commande Robuste
WU Yongxin
École Nationale Supérieure de Mécanique et des Microtechniques
26, rue de l’Épitaphe
25030 Besançon cedex – France
+33 381 40 27 32
http://www.ens2m.fr
Année scolaire 2017-18
Rapport de travaux pratiques
Modélisation, Commande LQR/LQG et Synthèse H∞
Sommaire
Sommaire	2
Introduction	3
1- Modélisation	4
1-1.	Etude basique du système	4
1-2.	Représentation d’état	4
2- Commande LQR/LQG	5
2-1.	Commande LQR (Régulateur Linéaire-Quadratique)	5
2-2.	Commande LQG (Linéaire-Quadratique-Gaussien)	7
2-3.	Commande LQG/LTR	9
3- Synthèse H∞	11
3-1.	Synthèse H∞ par la sensibilité mixte	11
3-1.1.	Système	11
3-1.2.	Réalisation Minimale	13
3-1.3.	Correcteur type H∞	13
3-2.	Synthèse H∞ par la forme à 4 blocs	14
3-2.1.	Solution	14
4- Références	16
Introduction
Le but de ce bureau d’étude est d’étudier et appliquer les techniques de commande apprises pendant le cours de Commande Robuste, plus effectivement sur la commande LQR/LQG et aussi sur la Synthèse H∞.
La Commande Robuste est très utilisée dans le milieu industriel où elle se révèle un outil précieux pour l’analyse et la conception des systèmes asservis, à cause de son caractère appliqué et son adéquation aux problèmes pratiques de l’ingénieur automaticien, et de sa contribution à la systématisation du processus de synthèse d’un asservissement, permettant au système d’avoir le comportement désiré, maintenant ce comportement face aux perturbations. 
Modélisation
Etude basique du système
Le système à modéliser c’est un mécanisme que contient deux masses, un ressort et un amortisseur. L’entrée c’est une force F et la sortie x2 représente le déplacement. Le système est ilustre ci-dessous.
Figure 1 - Le système Masses-Ressort
La modélisation est faite utilisant la loi de Newton, ce qui résulte dans ces équations :
 	 (1.1)
Représentation d’état
Afin de réaliser la représentation d’état du système, d’abord il faut faire le choix du vecteur d’état. Le vecteur choisi contient des positions et vitesses des deux masses. 
Alors, des équations d’état sont données par :
 (1.2)
Mettant en place l’équation (1.1) à la forme de (1.2), cela résulte dans les matrices suivantes :
Les valeurs des coefficients sont :
M1 = M2 = 0,5kg
k = 1N/m
f = 0,0025N.s/m
Le courbe de la figure 2 montre la réponse infinie du système à une entrée unitaire. 
Figure 2 - Réponse du Système
Commande LQR/LQG
Commande LQR (Régulateur Linéaire-Quadratique)
Pour un modèle d'espace d'état en temps continu, la loi de retour d'état , dans lequel K est le gain optimal qui minimise la fonction coût :
 (1.3)
Pour le système étudie ce sont les conditions de la fonction :
 (1.4)
En comparant les équations (1.3) et (1.4), c’est possible conclure que :
N = 0
R = r = 10
Le software MatLab a fait la conception de régulateur linéaire-quadratique pour les systèmes d’espace d’état. Utilisant la fonction lqr est possible calculer le gain optimal.
Les pôles du système en boucle fermé sont : 	
-0.0780 + 2.0076i
 					-0.0780 - 2.0076i
 					-0.4109 + 0.3802i
 					-0.4109 - 0.3802i
	La réponse à une entrée unitaire est montrée dans l’image 3. Observent le graphique c’est évident qu’il a un considérable erreur statique en régime permanent. Pour cet raison sera mise en œuvre une précommande statique H, pour assurer la valeur finale de la sortie.
Figure 3 - Commande LQR
Appliquent la commande LQ avec une précommande statique H, c’est-à-dire , pour assurer que la sortie x2 suivie la consigne xc. Le calcul de la précommande est donné par :
 (1.5)
Figure 4 - Comparaison entre les commande LQR
		
Observent les deux courbes, c’est possible vérifier l’efficace de la précommande en assurer que le système aura la sortie désirée.
 
Commande LQG (Linéaire-Quadratique-Gaussien)
Une des approches possibles pour réaliser une loi de contrôle est l'allocation arbitraire de pôles pour la conception de contrôleurs basée sur la loi de contrôle u = -K x.
Une approche alternative pour implémenter la loi de contrôle, est laquelle où K est obtenu en minimisant la fonction coût J, c'est-à-dire par une allocation optimale des pôles, comme fait avec le contrôle LQR.
Le projet des observateurs d'état peut être réalisé via une allocation de pôle arbitraire. Il est donc naturel de réfléchir à la possibilité d'utiliser également une approche optimale du projet de l'observateur.
La création de l'observateur est basée sur une formulation stochastique qui prend en compte l'incidence des bruits dans le processus (w) et l'incidence des bruits de mesure (v).
 (1.6)
La combinaison d'un contrôleur LQR et d'un observateur d'état basé sur le filtre de Kalman est appelée le Linéaire-Quadratique-Gaussien.
 Complètent la synthèse LQ présentée au-dessus par un observateur de Kalman dont les paramètres de réglage ont été choisis de la façon suivante :
Calcule du gain du filtre, utilisant la fonction lqr :
	Les nouvelles matrices :
	La précommande est donnée par :
	La courbe de la figure 5 montre le comportement de la réponse du système à la commande LQG. Ainsi, l'image 6 met en évidence la différence entre les commandes LQG et LQR, montent que la première a moins oscillations en comparaison avec la deuxième. 
Figure 5 - Commande LQG
Figure 6 - Comparaison entre LQR et LQG
Commande LQG/LTR
Le correcteur LQG/LTR est simplement obtenu en diminuant le bruit de mesure dans la synthèse de l’observateur de Kalman du correcteur LQG présenté dans la partie précédente puisque l’on avait pris soin de choisir :
 , dans le critère LQ
 , dans le réglage de l’observateur de Kalman
La covariance du bruit de mesure tend vers zéro, alors .
Il faut donc calculer de gain du système (K), le gain du filtre (Kf), la précommande et les matrices, comme fait dans la partie antérieure.
La figure 7 montre le comportement du système en raison de la commande LQG/LTR. La figure 8 c’est la comparaison entre cette commande et la commande LQG faite précédente, montrant que la commande LQG/LTR a plus oscillations. 
Figure 7 - Commande LQG/LTR
Figure 8 - Comparaison entre LQG et LQG/LTR
Faisant la comparaison entre les courbes des commandes LQR, LQG et LQG/LTR, c’est évident la similitude de comportement entre LQR et LQG/LTR.
Figure 9 - Comparaison entre LQR, LQG et LQG/LTR
Synthèse H∞
Le problème Hest un problème de réjection de perturbation. Il consiste à minimiser l’effet d’une perturbation w sur le comportement du système. Son effet sur le système est mesuré par vecteur z. 
L’entrée du système (P) c’est la commande u et il y a une observation y. Il s’agit donc de synthétiser une loi de commande u = K(s)y qui minimise l’impact de w sur z.
Figure 10 - Problème H infinie standard
Lorsque ce système est rebouclé sur la commande u = K(s)y, le transfert boucle fermée de w à z est donné par la Transformation Linéaire Fractionnelle (LFT). Cette transformation intervient dans la connexion de deux systèmes par feedback suivant le schéma de la Figure 10. 
Le système P(s) décrit la relation entre les signaux d’entrée w et u et les signaux de sortie y et z :
 (1.7)
Synthèse H∞ par la sensibilité mixte
Système
Synthèse H∞ par la sensibilitémixte : On applique la mise en forme de double intégration afin d’assurer le placement des modes rigides dominants en . 
On obtient le alors la forme standard décrit par la figure 10.
Figure 11 - Forme Standard pour la sensibilité mixte
La dynamique attendue donnée par W0 est :
 (1.8)
Les variables d’état du système est donné par le vecteur [x xe]T.
Les matrices qui représentent le système sont :
Par conséquent, le schéma de la figure 10 peut être décrire pour les équations suivantes, où z est forme pour [z1 z2]T :
 (1.9)
Réalisation Minimale
Pour faire la réalisation minimale et annulation de pôle-zéro, existe une fonction de MatLab qu’appelé minreal que produit, pour un modèle d’espace d’état donné, un modèle équivalent où toutes les paires annulantes pôle/zéro ou dynamique d'état non minimale sont éliminées. 
Pour les modèles d'espace d'état, minreal produit une réalisation minimale P où tous les modes incontrôlables ou non observables ont été supprimés.
			Utilisant donc la fonction minreal est obtenu le système P.
Correcteur type H∞
La méthode H∞ permet de garantir théoriquement une certaine robustesse de la stabilité du système tout en assurant les performances de réjection de perturbation.
Utilisant la fonction hinfsyn de MatLab, se peut obtenir le gain K et aussi le système résultant en boucle fermé.
La figure 12 montre la réponse du système. Observent le schéma de la figure 10, on peut regarder qu’il y a deux entrées sur P, alors faisant une entrée unitaire dans le système, c’est-à-dire que w va recevoir le valeur 1. Par contre, la valeur de l’entrée u ne sera pas 1, parce qu’elle est multipliée par le gain K.
Figure 12 - Réponse du système sur le H infini
Synthèse H∞ par la forme à 4 blocs
Solution 
Considèrent la forme standard H∞ par la forme 4 blocs montrée par la figure 13, sera fait le même précédemment de le point précédent pour synthétiser le correcteur H∞. La réponse obtenue en boucle fermé est montrée dans l’image 14.
Figure 13 - Forme standard pour la forme à 4 blocs
Figure 14 – Réponse
Les matrices utilisées pour représenter le système de la figure 13 sont les suivants : 
Les équations qui représentent ce schéma quatre bloc sont :
				
				Où le terme w c’est le vecteur [w1 w2]T et le terme z c’est [z1 z2]T.
Références 
[1] PIERRE APKARIAN - ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE DE LA COMMANDE ROBUSTE