Modulo2 - Propriedades da representação de estados

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Mo´dulo 2
Propriedades da Representac¸a˜o de Estados
Neste mo´dulo estudaremos algumas propriedades fundamentais da representac¸a˜o de
estados de um sistema linear invariante no tempo e tambe´m algumas relac¸o˜es entre a
representac¸a˜o de estados e a sua matriz de transfereˆncia.
1 Soluc¸a˜o da equac¸a˜o de estados
Um sistema linear invariante no tempo pode ser descrito por
x˙ = Ax+Bu (1)
y = Cx+Du (2)
onde x ∈ Rn e´ o vetor de estados, y ∈ Rm e´ o vetor das varia´veis de sa´ıda (que representam
as varia´veis medidas ou as varia´veis a serem controladas) , u ∈ Rq e´ o vetor de entrada
(que representa um sinal externo ou o sinal de controle), A ∈ Rn×n e´ a matriz de dinaˆmica
das varia´veis de estado, B ∈ Rn×q e´ a matriz de entrada do sinal u, C ∈ Rm×n e´ a matriz
de sa´ıda e D ∈ Rm×q a matriz de transfereˆncia direta entrada-sa´ıda.
A resposta do sistema (1) possui duas componentes distintas: uma que depende das
condic¸o˜es iniciais x(t0) e outra que depende do sinal de entrada u(t). Podemos encontrar
essas duas componentes com o aux´ılio da transformada de Laplace. De (1) temos
sX(s)− x(t0) = AX(s) +BU(s) (3)
Y (s) = CX(s) +DU(s) (4)
onde X(s) = L{x(t)}, U(s) = L{u(t)}, Y (s) = L{y(t)} sa˜o respectivamente as transfor-
madas de Laplace de x(t), u(t), y(t). Isolando X(s) na primeira equac¸a˜o temos
X(s) = (sI − A)−1BU(s) + (sI − A)−1x(t0) (5)
Voltando ao domı´nio do tempo encontramos
x(t) = eAtx(t0) +
∫ t
t0
eAτBu(t− τ)dτ (6)
onde eAt e´ a matriz de transic¸a˜o de estados dada pela transformada inversa
eAt = L−1 {(sI − A)−1} (7)
Podemos notar em (6) as duas componentes da soluc¸a˜o da equac¸a˜o de estado. A primeira
indica como o sistema responde para uma dada condic¸a˜o inicial x(t0) e a segunda, que e´
uma integral de convoluc¸a˜o, indica como o sistema evolui para um dado sinal de entrada.
O calculo da matriz de transic¸a˜o de estados e´ feito tomando-se a transformada inversa
de cada um dos elementos da matrix (sI − A)−1.
1
Exemplo 1 Considere o sistema x˙ = Ax onde
A =
[ −1 0
2 −2
]
A matriz de transic¸a˜o de estados e´ dada por
eAt = L−1 {(sI − A)−1} = L−1{[ s+ 1 0−2 s+ 2
]−1}
= L−1
{[ 1
s+1
0
2
(s+1)(s+2)
1
s+2
]}
=
[
e−t 0
2e−t − 2e−2t e−2t
]
Uma propriedade importante da matriz de transic¸a˜o e´ que podemos representa´-la pela
sua se´rie de Taylor
eAt =
∞∑
n=0
(At)n
n!
(8)
que e´ uma extensa˜o natural da se´rie de Taylor no caso escalar (quando A e´ escalar)1.
Com o estado dado por (6) podemos construir a sa´ıda do sistema com (2), o que
resulta em
y(t) = CeAtx(t0) +
∫ t
t0
CeAtBu(t− τ)dτ +Du(t) (9)
= CeAtx(t0) +
∫ t
t0
[CeAtB +Dδ(t)]u(t− τ)dτ (10)
onde δ(t) e´ o impulso unita´rio na origem. Definiremos agora
g(t) = CeAtB +Dδ(t) (11)
como sendo a resposta ao impulso do sistema pois
g(t) = L−1 {G(s)} = L−1 {C(sI − A)−1B +D} (12)
e assim a resposta y(t) do sistema pode ser expressa na forma convoluc¸a˜o da entrada com
a resposta ao impulso.
y(t) = CeAtx(t0) +
∫ t
t0
g(t)u(t− τ)dτ (13)
2 Realizac¸a˜o de estados
Vimos que a aplicac¸a˜o da transformada de Laplace nos leva uma func¸a˜o de trans-
fereˆncia para o sistema2. Em particular, para uma dada equac¸a˜o de estados (1) encon-
tramos a func¸a˜o de transfereˆncia (28). Nesta sec¸a˜o estudaremos o caminho reverso, isto
e´, dada a func¸a˜o de transfereˆncia (28) encontre a respectiva representac¸a˜o de estados.
1A se´rie de Taylor de va´rias func¸o˜es escalares f(at) podem ser generalizadas para o caso matricial
f(At) onde A e´ matriz. Para detalhes veja qualquer livro de algebra de func¸o˜es matriciais.
2Sempre que nos referimos a` func¸a˜o de transfereˆncia estaremos assumindo que as condic¸o˜es iniciais
sa˜o nulas.
2
Podemos facilmente verificar que este problema na˜o tem soluc¸a˜o u´nica. Para ver esse
fato considere duas representac¸o˜es de estados
x˙ = A1x+B1u1 (14)
y1 = C1x+D1u1 (15)
e
z˙ = A2z +B2u2 (16)
y2 = C2z +D2u2 (17)
e suponha que as matrizes das representac¸o˜es acima estejam relacionadas entre si da
seguinte forma
A2 = TA1T
−1 B2 = TB1 C2 = C1T−1 D2 = D1 (18)
onde T e´ uma matriz invers´ıvel. A func¸a˜o de transfereˆncia para o primeiro (14) e´
G1(s) = C1(sI − A1)−1B1 +D1 (19)
e para o segundo
G2(s) = C2(sI − A2)−1B2 +D2 (20)
= C1T
−1(sI − TA1T−1)−1TB1 +D1 (21)
= G1(s) (22)
Logo todas as representac¸o˜es de estados que se relacionam atrave´s de (18) possuem a
mesma func¸a˜o de transfereˆncia. Dizemos que (A1, B1, C1, D1) e (A2, B2, C2, D2) sa˜o re-
alizac¸o˜es de estados ”equivalentes”, isto e´, resultam na mesma func¸a˜o de transfereˆncia.
Para cada matriz T invers´ıvel escolhida teremos uma realizac¸a˜o de estados diferente e a
relac¸a˜o entre os estados de uma e outra representac¸a˜o e´ z = Tx.
Exemplo 2 Considere um circuito RLC se´rie com tensa˜o de entrada v(t). A dinaˆmica
do sistema pode ser expressa pelas equac¸o˜es[
I˙(t)
v˙c(t)
]
=
[ −R
L
− 1
L
1
C
0
] [
I(t)
vc(t)
]
+
[
1
L
0
]
v(t) (23)
vc(t) =
[
0 1
] [ I(t)
vc(t)
]
(24)
onde I(t), vc(t) sa˜o as varia´veis de estado do sistema e correspondem a` corrente do cir-
cuito e a tensa˜o no capacitor respectivamente. A segunda equac¸a˜o define a sa´ıda do sis-
tema e representa o fato que estamos medindo a tensa˜o no capacitor com ganho unita´rio.
Trocando a varia´vel de estado I(t) por vr(t) que e´ a tensa˜o no resistor a nova repre-
sentac¸a˜o de estados fica[
v˙r(t)
v˙c(t)
]
=
[ −R
L
−R
L
1
RC
0
] [
vr(t)
vc(t)
]
+
[
R
L
0
]
v(t) (25)
vc(t) =
[
0 1
] [ vr(t)
vc(t)
]
(26)
A relac¸a˜o entre as duas representac¸o˜es e´ dada por[
vr(t)
vc(t)
]
=
[
R 0
0 1
] [
I(t)
vc(t)
]
(27)
3
Para sistemas SISO existem procedimentos bastante simples de realizac¸a˜o de estados.
Por exemplo, dado a func¸a˜o de transfereˆncia
G(s) =
Y (s)
U(s)
=
b0s
q + b1s
q−1 + · · ·+ bq
sq + a1sq−1 + · · ·+ aq (28)
podemos encontrar uma representac¸a˜o de estados procedendo da seguinte forma. Primeiro
iremos introduzir uma varia´vel intermedia´ria Z(s) que satisfaz
G(s) =
Y (s)
U(s)
=
Y (s)
Z(s)
Z(s)
U(s)
=
b0s
q + b1s
q−1 + · · ·+ bq
sq + a1sq−1 + · · ·+ aq (29)
e que sera´ definida da seguinte forma:
Y (s)
Z(s)
= b0s
q + b1s
q−1 + · · ·+ bq ; Z(s)
U(s)
=
1
sq + a1sq−1 + · · ·+ aq (30)
Lembrando que as condic¸o˜es iniciais sa˜o nulas nas equac¸o˜es acima e usando a transfor-
mada inversa, podemos reescrever (30) no domı´nio do tempo como se segue
y(t) = b0z(t)
[q]+ b1z(t)
[q−1]+ · · ·+ bqz(t) ; u(t) = z(t)[q]+a1z(t)[q−1]+ · · ·+aqz(t) (31)
onde z(t)[n] representa a derivada temporal3 de ordem n da varia´vel z(t). Escolhendo
como varia´veis de estado
x1(t) = z(t) ; x2(t) = z(t)
[1] ; x3(t) = z(t)
[2] ; x4(t) = z(t)
[3] ; . . . ; xi+1(t) = z(t)
[i] (32)
ate´ i = q − 1, temos as seguintes relac¸o˜es:
x˙1(t) = x2(t) ; x˙2(t) = x3(t) ; . . . ; x˙q−1(t) = xq(t) (33)
x˙q(t) = z(t)
[q] = −a1xq(t)− · · · − aqx1(t) + u(t)
que nos conduz a` equac¸a˜o de estados
x˙(t) =

0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
...
...
...
...
...
0 0 0 . . . 1
−aq −aq−1 −aq−2 . . . −a1
x(t) +

0
0
...
0
1
u(t) ; x =

x1
x2
...
xq−1
xq
 (34)
Ale´m disso (31) e (33) implicam
y(t) = b0z(t)
[q] + b1z(t)
[q−1] + · · ·+ bqz(t)
= (bq − aqb0)x1(t) + (bq−1 − aq−1b0)x2(t) + · · ·+ (b1 − a1b0)xq(t) + b0u(t) (35)
Logo a equac¸a˜o de sa´ıda e´ dada por
y(t) =
[
bq − aqb0 bq−1 − aq−1b0 . . . b1 − a1b0
]
x(t) + b0u(t)
A representac¸a˜o de estados acima, que pode ser representada de forma compacta por
x˙(t) = Acx(t) +Bcu(t) (36)
y(t) = Ccx(t) +Dcu(t) (37)
recebe o nome de forma canoˆnica de controlabilidade. Note a estruturaparticular das
matrizes Ac, Bc. Veja que a u´ltima linha de Ac possui os mesmos elementos da equac¸a˜o
caracter´ıstica do sistema, como pode ser visto a partir de (28).
3Por simplicidade de notac¸a˜o usaremos z(t)[1] = z˙(t) sempre que isso for conveniente.
4
Exerc´ıcio 1 Obtenha a representac¸a˜o de estados na forma canoˆnica de controlabilidade
para o circuito RLC em (23).
Note que na˜o existem zeros na func¸a˜o de transfereˆncia de U(s) para Z(s). Logo na˜o
pode haver cancelamento po´lo/zero nessa parte do sistema que define a ac¸a˜o de controle.
Entretanto, se existem cancelamentos po´lo/zero em G(s), isto e´, de U(s) para Y (s), esses
cancelamentos ocorrem na func¸a˜o de transfereˆncia de Z(s) para a sa´ıda Y (s). A matriz Ac
com a estrutura acima recebe o nome de ”forma companheira”. A equac¸a˜o caracter´ıstica
de toda matriz companheira pode ser diretamente escrita com os coeficientes da sua
u´ltima linha, isto e´, det(sI −Ac) = sq + a1sq−1+ · · ·+ aqs. Como a realizac¸a˜o de estados
de uma dada func¸a˜o de transfereˆncia na˜o e´ u´nica existem outras formas de se obter a
representac¸a˜o de estados do sistema. Por exemplo, uma forma alternativa e´
x˙(t) = Aox(t) +Bou(t) (38)
y(t) = Cox(t) +Dou(t) (39)
onde Ao = A
′
c, Bo = C
′
c, Co = B
′
c e Do = Dc. Para se chegar nessa representac¸a˜o de
estados, conhecida como forma canoˆnica de observabilidade, basta definir as varia´veis de
estado de forma conveniente. Veja por exemplo [2].
O mesmo procedimento acima pode ser usado para se obter uma realizac¸a˜o de estado
no caso MIMO. Para ilustrar a ide´ia, sejam duas func¸o˜es de transfereˆncias escalares
G1(s) e G2(s). Usando o procedimento acima podemos facilmente encontrar as matrizes
de estado para cada uma delas.
G1(s) = C1(sI − A1)−1B1 +D1
G2(s) = C2(sI − A2)−1B2 +D2
Para sistemas MIMO podemos obter a func¸a˜o de transfereˆncia de cada entrada para cada
sa´ıda, como se fossem sistemas SISO desacoplados, e em seguida acopla´-los, dois a` dois,
da seguinte forma:[
G1(s)
G2(s)
]
=
[
C1 0
0 C2
] [
sI − A1 0
0 sI − A2
]−1 [
B1
B2
]
+
[
D1
D2
]
(40)
[
G1(s) G2(s)
]
=
[
C1 C2
] [ sI − A1 0
0 sI − A2
]−1 [
B1 0
0 B2
]
+
[
D1 D2
]
Exerc´ıcio 2 Obtenha a realizac¸a˜o de estados do sistema cuja matriz de transfereˆncia e´
indicada abaixo.
G(s) =
[ 1
s
0
1
(s+1)(s+2)
2
s+1
]
Definic¸a˜o 1 (Realizac¸a˜o Mı´nima) A realizac¸a˜o de estado (A,B,C,D) de um sistema
e´ dita ser mı´nima se a matriz de dinaˆmica A possui a menor dimensa˜o poss´ıvel.
O procedimento para realizac¸a˜o de estados descrito acima e´ simples mas normalmente
na˜o conduz a` uma realizac¸a˜o mı´nima. Para se obter uma realizac¸a˜o de estados mı´nima4
partir de uma realizac¸a˜o na˜o mı´nima basta se eliminar os estados associados a po´los e zeros
que se cancelam. Para identificar esses estados precisamos da noc¸a˜o de controlabilidade
e observabilidade que veremos a seguir.
4No MATLAB a func¸a˜o ss.m encontra a representac¸a˜o de estado de um sistema a partir de sua
transfereˆncia G(s). A realizac¸a˜o mı´nima e´ fornecida pela func¸a˜o minreal.m.
5
3 Propriedades estruturais
Dentre as propriedades de um sistema linear de malha aberta, duas delas merecem
destaque: controlabilidade e observabilidade. Quando a estrutura do sistema apresenta
essas propriedades temos garantia de poder projetar um controlador de tal forma que os
po´los da malha fechada possam ser escolhidos de forma arbitra´ria pelo projetista.
Os conceitos de controlabilidade e observabilidade foram introduzidos por Kalman em
1960 [3].
Definic¸a˜o 2 (Controlabilidade) Um sistema e´ controla´vel se for poss´ıvel, por meio
de um vetor de controle sem restric¸o˜es em seus elementos, transferir o sistema de qualquer
estado inicial x(t0) para qualquer outro estado x(tf ) em um intervalo finito de tempo
tf − t0.
Da definic¸a˜o acima podemos construir um teste para a controlabilidade de um sistema.
Para que um sistema seja controla´vel devera´ existir um sinal de controle no intervalo
de tempo [0, t1] que leve o estado do sistema, inicialmente na origem x(0) = 0, para
qualquer estado final x(t1). Note que a soluc¸a˜o do sistema no intervalo de tempo [0, t1],
com x(0) = 0, e´ dada por
x(t1) =
∫ t1
0
eAτBu(t− τ)dτ (41)
Por outro lado a expansa˜o por Taylor da matriz de transic¸a˜o de estados e´
eAτ =
∞∑
k=0
(Aτ)k
k!
(42)
Assim (41) fica
x(t1) =
∞∑
k=0
AkB
∫ t1
0
τ k
k!
u(t− τ)dτ (43)
Pelo teorema de Cayley-Hamilton sabemos que
An = −an−1An−1 − · · · − a1A− a0I
onde an−1, . . . , a0 sa˜o os coeficientes do polinoˆmio caracter´ıstico da matriz A e n e´ a
dimensa˜o do vetor de estados. Isto implica que Ak, para k ≥ n, pode ser reescrita
como uma combinac¸a˜o linear de An−1, . . . , A, I. Podemos enta˜o concluir que cada ele-
mento do somato´rio em (43) pode ser visto como uma combinac¸a˜o linear das matrizes
B,AB, . . . , An−1B. Da´ı para que x(t1) possa ser qualquer elemento do espac¸o de estado
o conjunto das colunas das matrizes B,AB, . . . , An−1B devem conter uma base para este
espac¸o. Isto ocorre quando a matriz abaixo, conhecida como matriz de controlabilidade
possuir posto igual ao nu´mero de varia´veis de estado.
Mc =
[
B AB . . . An−1B
]
(44)
Por outro lado quando posto(Mc) e´ inferior ao nu´mero de varia´veis de estado na˜o
e´ poss´ıvel atender a definic¸a˜o de controlabilidade. Logo, posto(Mc) = n e´ a condic¸a˜o
(necessa´ria e suficiente) para que um sistema seja controla´vel. Quando a matriz de
6
controlabilidade possui posto r, inferior ao nu´mero de varia´veis de estado, enta˜o existe
uma transformac¸a˜o de similaridade5 T unita´ria (T ′ = T−1) tal que
A˜ = TAT−1 =
[
Anc 0
A21 Ac
]
, B˜ = TB =
[
0
Bc
]
, C˜ = CT−1 =
[
Cnc Cc
]
onde Ac ∈ Rr×r, Anc ∈ Rn−r×n−r sa˜o quadradas e todos os autovalores de Anc sa˜o os
autovalores na˜o controla´veis do sistema, o par (Ac, Bc) e´ controla´vel e a seguinte igualdade
se verifica6:
Cc(sI − Ac)−1Bc = C(sI − A)−1B
Observe com a expressa˜o acima que a func¸a˜o de transfereˆncia do sistema na˜o se altera se
descartamos os estados na˜o controla´veis.
Definic¸a˜o 3 (Estabilizabilidade) O sistema e´ dito ser estabiliza´vel quando os auto-
valores na˜o controla´veis sa˜o esta´veis, isto e´ os autovalores de Anc possuem parte real
negativa.
Definic¸a˜o 4 (Observabilidade) Um sistema e´ observa´vel se todo estado inicial x(t0)
puder ser determinado a partir do conhecimento das varia´veis medidas y(t) e do controle
aplicado u(t) durante um intervalo de tempo finito, t0 ≤ t ≤ t1.
Da definic¸a˜o acima podemos construir um teste para a observabilidade de um sistema
(1),(2).
Para que o sistema seja observa´vel devera´ existir alguma informac¸a˜o sobre a condic¸a˜o
inicial x(0) = x0 contida nas varia´veis y(t), u(t) que sera˜o medidas num intervalo de tempo
[0, t1]. Note que a resposta do sistema no intervalo de tempo [0, t1], com x(0) = x0, e´
dada por
y(t1) = Ce
At1x0 +
∫ t1
0
CeAτBu(t− τ)dτ (45)
Como o problema e´ encontrar x0 a partir dos sinais dispon´ıveis no intervalo de tempo
considerado, veja que a parcela
y0(t1) = y(t1)−
∫ t1
0
CeAτBu(t− τ)dτ
e´ a parcela conhecida da resposta que na˜o depende de x0. Assim para encontrar x0
devemos resolver a equac¸a˜o y0(t1) = Ce
At1x0 para x0, dado y0(t1). Usando a expansa˜o
por Taylor da matriz de transic¸a˜o (42) temos
y0(t1) =
∞∑
k=0
CAk
tk1
k!
x0
e lembrando que Ak, para k ≥ n, pode ser rescrita como uma combinac¸a˜o linear de
An−1, . . . , A, I, podemos concluir que cada parcela do somato´rio acima e´ uma combinac¸a˜o
5No matlab essa transformac¸a˜o e´ feita com a func¸a˜o ctrbf.m do control system toolbox.
6Para verificar a igualdade basta utilizar o seguinte resultado de inversa˜o de matrizes[
M1 0
M2 M3]−1
=
[
M−11 0
−M−13 M2M−11 M−13
]
ou
[
M1 M2
0 M3
]−1
=
[
M−11 −M−11 M2M−13
0 M−13
]
7
linear das matrizes CAn−1, . . . , CA,C. Assim, podemos representar a equac¸a˜o acima na
forma
y0(t1) =
n−1∑
k=0
CAkαkx0 =
[
α0I . . . αn−1I
]

C
CA
...
CAn−1
 x0 (46)
onde α0, . . . , αn−1 sa˜o as constantes de combinac¸a˜o linear (dependentes de t1). Quando
a matriz
Mo =

C
CA
...
CAn−1
 (47)
conhecida como matriz de observabilidade, possuir posto igual ao nu´mero de varia´veis de
estado basta escrever a equac¸a˜o (46) para va´rios instantes de tempo dentro do intervalo
[0, t1] que poderemos determinar x0 de forma u´nica atrave´s de pseudo inversa. Por outro
lado, quando posto(Mo) e´ inferior ao nu´mero de varia´veis de estado podemos encontrar
x0 tal que Mox0 = 0. Logo, independentemente do instante t1 teremos y0(t1) = 0 e
nesse caso na˜o sera´ poss´ıvel reconstruir a condic¸a˜o inicial indicando que o sistema na˜o e´
observa´vel. Isso mostra que posto(Mo) = n e´ uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para a
observabilidade do sistema.
Quando a matriz de observabilidade possui posto r, inferior ao nu´mero de varia´veis de
estado, o sistema pode ser representado na forma canoˆnica de detectabilidade indicada
abaixo enta˜o existe uma transformac¸a˜o de similaridade7 T unita´ria (T ′ = T−1) tal que
A˜ = TAT−1 =
[
Ano A12
0 Ao
]
, B˜ = TB =
[
Bno
Bo
]
, C˜ = CT−1 =
[
0 Co
]
onde Ao ∈ Rr×r, Ano ∈ Rn−r×n−r e todos os autovalores de Ano sa˜o os autovalores na˜o
observa´veis do sistema, o par (Ao, Bo) e´ observa´vel e a seguinte igualdade se verifica:
Co(sI − Ao)−1Bo = C(sI − A)−1B
Observe com a expressa˜o acima que a func¸a˜o de transfereˆncia do sistema na˜o se altera
se descartamos os estados na˜o observa´veis.
Definic¸a˜o 5 (Detectabilidade) O sistema e´ dito ser detecta´vel quando os autovalores
na˜o observa´veis sa˜o esta´veis, isto e´ os autovalores de Ano possuem parte real negativa.
As noc¸o˜es de controlabilidade e observabilidade nos permitem caracterizar melhor
alguns resultados, ja´ estudados anteriormente, e que esta˜o relacionados a cancelamentos
po´lo/zero.
Por exemplo, todo sistema SISO observa´vel pode ser representado na forma canoˆnica
de observabilidade (38) e todo sistema SISO controla´vel pode ser representado na forma
canoˆnica de controlabilidade (36). Sistemas MIMO possuem uma forma canoˆnica, co-
nhecida como decomposic¸a˜o de Kalman8, onde os estados na˜o controla´veis e os na˜o ob-
serva´veis podem ser diretamente obtidos a partir dela [3],[4].
7No matlab essa transformac¸a˜o e´ feita com a func¸a˜o obsvf.m do control system toolbox.
8No matlab essa decomposic¸a˜o pode ser obtida com a func¸a˜o minreal.m.
8
Teorema 1 Seja um sistema com representac¸a˜o de estados (1),(2). Enta˜o existe uma
transformac¸a˜o de estados x˜ = Tx tal que
˙˜x1
˙˜x2
˙˜x3
˙˜x4
 =

A˜11 0 A˜13 0
A˜21 A˜22 A˜23 A˜24
0 0 A˜33 0
0 0 A˜43 A˜44


x˜1
x˜2
x˜3
x˜4
+

B˜1
B˜2
0
0
u (48)
y =
[
C˜1 0 C˜3 0
] 
x˜1
x˜2
x˜3
x˜4
 (49)
onde
• O par (A˜11, B˜1) e´ controla´vel e (A˜11, C˜1) e´ observa´vel.
• Os autovalores controla´veis e observa´veis de A sa˜o os autovalores de A˜11.
• Os autovalores controla´veis e na˜o-observa´veis de A sa˜o os autovalores de A˜22.
• Os autovalores na˜o-controla´veis e observa´veis de A sa˜o os autovalores de A˜33.
• Os autovalores na˜o-controla´veis e na˜o-observa´veis de A sa˜o os autovalores de A˜44.
• A func¸a˜o de transfereˆncia correspondente e´
G(s) = C(sI − A)−1B = C˜1(sI − A˜11)−1B˜1
Ja´ vimos que todo po´lo de G(s) e´ um autovalor de A, pore´m o contra´rio na˜o e´ verdade
em geral pois cancelamentos po´los/zeros podem ocorrer nas func¸o˜es Gij(s). Podemos
mostrar as seguintes relac¸o˜es [4]:
Teorema 2 Seja G(s) = C(sI − A)−1B +D. Enta˜o as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o verda-
deiras:
a Se (A,B) e´ controla´vel e (A,C) observa´vel enta˜o todos os autovalores de A sa˜o po´los
de G(s).
b Se (A,B) e´ estabiliza´vel e (A,C) detecta´vel enta˜o todos os autovalores de A localizados
no semiplano complexo direito (parte real positiva ou nula) sa˜o po´los de G(s).
c Todos os autovalores de A que na˜o sa˜o po´los de G(s) ou sa˜o na˜o controla´veis ou na˜o
observa´veis.
Teorema 3 Uma realizac¸a˜o de estados com matrizes (A,B,C,D) e´ mı´nima se e somente
se (A,B) e´ controla´vel e (A,C) e´ observa´vel. Ale´m disso, todas as realizac¸o˜es de estado
mı´nimas de um sistema sa˜o equivalentes, isto e´ satisfazem (18) para alguma matriz de
transformac¸a˜o T .
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Para verificar um resultado interessante seja (v0, s0) um par autovetor/autovalor de A,
isto e´ v∗0A = s0v
∗
0 e suponha que v
∗
0B = 0. Enta˜o o autovalor s0 na˜o e´ controla´vel pois
v∗0Mc = 0 e isto implica que o posto da matriz de controlabilidadeMc e´ inferior ao nu´mero
de varia´veis de estado. Ale´m disso note que
[
v∗0 0
]
R(s0)=0. Logo todo autovalor na˜o
controla´vel de A e´ um zero invariante do sistema.
Por outro lado se Av0 = s0v0 e Cv0 = 0 enta˜o s0 e´ um autovalor na˜o observa´vel de
A ja´ que M0v0 = 0 indicando que o posto da matriz de observabilidade e´ menor que o
nu´mero de varia´veis de estado. Ale´m disso note que
R(s0)
[
v0
0
]
= 0
Logo todo autovalor na˜o observa´vel de A e´ um zero invariante do sistema.
Para X(s) = (sI − A)−1BU(s) a definic¸a˜o de zero invariante recupera a definic¸a˜o
de zero de transmissa˜o. Assim, todo zero de transmissa˜o e´ tambe´m um zero invariante.
Num sistema controla´vel e observa´vel o conjunto de zeros invariantes e de transmissa˜o
coincidem.
Questa˜o 1: Considere o sistema na˜o linear abaixo.
x˙1 = x2 + 1
x˙2 = −(x2 + 1)2 − 2x1(x2 + 1)− x1 + 1 (50)
Obtenha o modelo linearizado em torno de um ponto de operac¸a˜o. Suponha que dispo-
mos de um medidor (ganho unita´rio) para a varia´vel y = x1+x2. O sistema e´ observa´vel
ou pelo menos detecta´vel? Justifique.
Questa˜o 2: Considere o sistema x˙ = Ax+B u onde
A =
[ −2 0
1 2
]
, B =
[
0
1
]
, x =
[
x1
x2
]
(51)
Pede-se:
(a) Verifique a estabilidade do sistema em malha aberta e a controlabilidade.
(b) Obtenha os po´los e os autovalores do sistema de malha aberta.
(c) Verifique se sistema e´ estabiliza´vel . Comente o resultado.
(d) Quais sa˜o os zeros do sistema?.
Laborato´rio
1. Explique os diagramas de simulac¸a˜o linear e na˜o linear fornecidos. O que eles
representam? Explique o que executa o arquivo varia´veis2.m tambe´m fornecido.
2. Escolha um ponto de equil´ıbrio e linearize h˙ = f(h, v) em torno deste ponto. O
equil´ıbrio analisado e´ esta´vel? Verifique o resultado obtido atrave´s de simulac¸o˜es e
dos autovalores da matriz J(f,h).
3. Para o mesmo ponto de equil´ıbrio, simule os sistemas linear x˙ = Ax + Bu e na˜o-
linear h˙ = f(h, v) e discuta as diferenc¸as. Atenc¸a˜o para as diferentes varia´veis das
duas equac¸o˜es! E lembre-se: x = h− h¯ e u = v − v¯.
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4. Recalcule o ponto de equil´ıbrio anterior fazendo γ1 = 1 ? As condic¸o˜es para ob-
tenc¸a˜o do modelo linear esta˜o satisfeitas ? Isto e´, podemos obter um modelo line-
arizado nesse novo ponto de equil´ıbrio? Explique.
5. O sistema na˜o linear e´ controla´vel quando γ1 = 1? Analise os valores singulares da
matriz de controlabilidade quando γ1 se aproxima da unidade. O que acontece com
o esforc¸o de controle quando a matriz de controlabilidade esta´ pro´xima de perder o
posto (algum valor singular muito pro´ximo de zero)?
6. O sistema e´ observa´vel? Verifique se o sistema seria observa´vel ou detecta´vel se os
medidores fossem localizados nos tanques 1 e 4. Use a rotina obsvf.m do matlab
para encontrar a matriz Ano.
7. O sistema e´ controla´vel? O sistema e´ controla´vel se γ1 = 0 ?
O fato de a bomba ter uma vaza˜o limitadaafeta a ana´lise de controlabilidade ?
8. Quais sa˜o os autovalores, po´los, zeros de transmissa˜o, zeros invariantes, realizac¸a˜o
de estados mı´nima e func¸a˜o de transfereˆncia do sistema nas situac¸o˜es seguintes: (a)
medidores nos tanques 1 e 2 e (b) nos tanques 3 e 4?
Refereˆncias
[1] Karl Henrik Johansson, The Quadruple-Tank Process: A Multivariable Laboratory Process
with an Adjustable Zero,IEEE TRANSACTIONS ON CONTROL SYSTEMS TECHNO-
LOGY, VOL. 8, NO. 3, MAY 2000.
[2] K.Ogata, ”Engenharia de controle moderno”, Prentice Hall do Brasil, 2a
¯
edic¸a˜o, 1990.
[3] T.Kailath, ”Linear Systems”, Prentice Hall, 1980.
[4] U. Mackenroth, ”Robust Control Systems”, Springer Verlag, Berlin, 2004.
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