2000 - Controle Robusto - UFSC - Alexandre Trofino

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Santa Catarina
Programa de P
�
os-Graduac�
~
ao em Engenharia El
�
etrica
Laborat
�
orio de Controle e Micro-Inform
�
atica
Controle Robusto
Prof. Alexandre Tro�no
Florian�opolis, Agosto de 2000
Pref�acio
Este documento pretende ser uma apostila para a disciplina de Controle Robusto da P�os-Gradua�c~ao da
Engenharia El�etrica da Universidade Federal de Santa Catarina. A id�eia b�asica da apostila �e apresentar
alguns resultados da �area de Controle Robusto e Filtragem Robusta de forma simpli�cada, propor exerc��cios
e um conjunto de refere^ncias bibliogr�a�cas que permitam ao aluno avan�car de forma orientada nos temas
em quest~ao.
Os m�etodos de an�alise e projeto de �ltros e controladores aqui apresentados seguem uma linha central
que consiste em exprimir a solu�c~ao dos problemas de controle e �ltragem como Desigualdes Matriciais
Lineares (LMIs). A grande vantagem de se trabalhar com LMIs �e que estas desigualdes possuem propriedades
importantes tais como convexidade e 
exibilidade para tratar problemas mistos de performance e robustez.
Al�em disso j�a existem no mercado pacotes computacionais e�cientes para se resolver problemas envolvendo
LMIs. Como os problemas de controle e �ltragem n~ao se apresentam naturalmente sob a forma de LMIs,
algumas ferramentas matem�aticas s~ao necess�arias para se obter a respectiva formula�c~ao LMI do problema em
quest~ao. A apostila apresenta as ferramentas mais utilizadas, mostra como utiliz�a-las atrav�es de exemplos e
aponta uma vasta bibliogra�a onde resultados relacionados podem ser encontrados.
A maior parte dos resultados atualmente dispon��veis nessa linha se aplicam na an�alise e s��ntese de contro-
ladores e �ltros para sistemas lineares incertos e muito resta a ser feito, principalmente no caso de sistemas
h��bridos e n~ao lineares. Alguns resultados nessa �areas s~ao discutidos como t�opicos avan�cados no �nal da
apostila.
Gostaria de agradecer o Daniel Coutinho e a Karina Barbosa pelo excelente trabalho de organiza�c~ao e
confec�c~ao dessa apostila. Agrade�co tamb�em o Jos�e de Oliveira e a Sonia Palomino pela confec�c~ao dos
cap��tulos sobre sistemas LPV e sistemas h��bridos.
Finalmente �e importante lembrar que esta apostila �e a primeira vers~ao de um trabalho de equipe e que
certamente necessita de melhoramentos. Mas isso vir�a com o tempo e t~ao mais r�apido quanto maior for a
sua colabora�c~ao.
Florian�opolis, 17 de Agosto de 2000.
Prof. Alexandre Tro�no
Conte�udo
Parte I: Conceitos Fundamentais 1
1 Sistemas Dina^micos Incertos 3
1.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Exemplos de Sistemas Dina^micos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Descri�c~ao das incertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Refere^ncias Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Estabilidade e Performance de Sistemas por LMIs 11
2.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Estabilidade Quadr�atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Inequa�c~oes Matriciais Lineares - LMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1 Propriedades de LMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 Ferramentas para a formula�c~ao de um problema de controle em uma LMI . . . . . . . 17
2.3.3 Problema LMI: Formula�c~ao e Solu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Pacotes Computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.1 Complexidade computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.2 Exemplo de Aplica�c~ao do LMITOOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Normas de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.1 Norma H
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5.2 Norma H
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7 Refere^ncias Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 S��ntese de Controladores 33
3.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Realimenta�c~ao de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
v
3.3 Realimenta�c~ao de Sa��da . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1 Realimenta�c~ao Est�atica de Sa��da . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.2 Realimenta�c~ao Dina^mica de Sa��da . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Controle sujeito a restri�c~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6 Refere^ncias Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 Sistemas Discretos - An�alise, Performance e S��ntese 51
4.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Estabilidade Quadr�atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3 Performance de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4 Realimenta�c~ao de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5 Estabiliza�c~ao Quadr�atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.7 Refere^ncias Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5 Estabilidade Dependente dos Para^metros 61
5.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Estabilidade A�m Quadr�atica (Matriz P(�) a�m em �) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2.1 Sistemas com Incertezas Invariantes no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2.2 Sistemas Incertos com taxa de varia�c~ao limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3 Estabilidade Bi-Quadr�atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5 Refere^ncias Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Parte II: Conceitos Avan�cados 75
6 Sistemas LPV 77
6.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2 Norma H
2
para Sistemas Variantes no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2.1 Norma H
1
para Sistemas Variantes no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.3 An�alise de Sistemas LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.3.1 Estabilidade Robusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 80
6.3.2 Performance robusta em H
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.3.3 Performance robusta em H
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.4 S��ntese para Sistemas LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.4.1 Estabiliza�c~ao robusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.4.2 Estabiliza�c~ao robusta empregando norma H
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.4.3 Estabiliza�c~ao robusta empregando a norma H
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7 An�alise de Sistemas N~ao Lineares 91
7.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2 Formula�c~ao do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.3 Representa�c~ao por Fra�c~oes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.3.1 Representa�c~ao LFR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.3.2 An�alise de Sistemas LFR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.3.3 Regi~ao de Atra�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.4 Fun�c~oes de Lyapunov Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.4.1 Representa�c~ao por Fra�c~oes Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.4.2 An�alise de Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.4.3 Regi~ao de Atra�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.5 Atividades Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.6 Refere^ncias Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8 An�alise de Estabilidade de uma classe de Sistemas H��bridos 109
8.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.2 Sistemas Chaveados: uma classe de Sistemas H��bridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.2.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.3 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.4 Estabilidade de Sistemas H��bridos baseados em LMI's . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.4.1 Fun�c~oes de Lyapunov Quadr�aticas por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.4.2 Fun�c~ao de Lyapunov dependente do estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.5 Sum�ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
9 Problema de Filtragem Robusta 123
9.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.2 M�etodos Cl�assicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.2.1 Observadores de Luenberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.2.2 Filtro de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.3 Modelagem do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.3.1 Abordagem 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.3.2 Abordagem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.4 Exemplo num�erico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.5 Atividades Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.6 Refere^ncias Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Parte I:
Conceitos Fundamentais
Daniel F. Coutinho e Karina A. Barbosa
Cap��tulo 1
Sistemas Dina^micos Incertos
1.1 Introdu�c~ao
Todo modelo matem�atico �e na verdade uma aproxima�c~ao do sistema f��sico real. Consequentemente, o modelo
matem�atico obtido pode apresentar diferentes tipos de incertezas, decorrentes de dina^micas n~ao modeladas,
incertezas param�etricas, ru��dos, lineariza�c~ao, etc. Dependendo da sua origem estas incertezas podem ser
classi�cadas como estruradas, n~ao estruturadas, param�etricas ou n~ao param�etricas.
�
E de suma importa^ncia que as incertezas sejam levadas em conta na an�alise e/ou projeto de controladores
para o sistema. Para tal �e conveniente representar o modelo f��sico por um sistema incerto, constitu��do do
modelo matem�atico (sistema nominal) mais incertezas em torno deste, sendo a an�alise ou projeto feita em
torno do sistema incerto.
V�arias di�culdades surgem ao se trabalhar com sistemas incertos. Uma das principais �e como modelar e
descrever as incertezas no problema. Incertezas descritas de forma gen�erica podem acarretar restri�c~oes na
busca de solu�c~oes. A este processo de busca de solu�c~ao de um problema de controle envolvendo o sistema
nominal e uma fam��lia de incertezas em torno dele, chama-se de Controle Robusto. No Controle Robusto
busca-se tamb�em minimizar o efeito sobre certas vari�aveis do sistema devido a perturba�c~oes externas a este,
como ru��dos, mudan�cas de temperatura, rajadas de vento, etc. Um esquema geral de um sistema de Controle
Robusto pode ser visto na Figura 1.1.
Dina^micas n~ao model�aveis
Planta
Sensor
Controlador
Parcialmente desconhecida
Perturba�c~oes Externas
Geralmente n~ao linear
Ru��dos
Refere^ncia Controle Sa��da Medida
Figura 1.1: Diagrama de Blocos de um sistema de Controle Robusto
Logo, a quest~ao chave em Controle Robusto �e minimizar a in
ue^ncia das incertezas e das perturba�c~oes que
atuam no sistema. Este problema pode ser dividido em duas partes: um problema de estabiliza�c~ao robusta
e outro de desempenho robusto. No primeiro caso, busca-se manter o sistema est�avel para uma dada classe
3
4 CAP
�
ITULO 1. SISTEMAS DIN
^
AMICOS INCERTOS
de incertezas e, no segundo, minimizar a in
ue^ncia das perturba�c~oes externas em rela�c~ao ao crit�erio de
desempenho escolhido.
Para ilustrar como as incertezas e perturba�c~oes podem aparecer na modeliza�c~ao dos sistemas, apresentamos
a seguir dois exemplos. No primeiro, tem-se o problema de controle de posi�c~ao de um pe^ndulo invertido e
no segundo o controle de posi�c~ao longitudinal de um avi~ao.
1.2 Exemplos de Sistemas Dina^micos
Exemplo 1: Controle de Posi�c~ao de um Pe^ndulo Invertido.
O sistema mostrado na Figura 1.2 �e constitu��do de um pe^ndulo invertido de massa uniforme m e de compri-
mento 2l e de um carrinho de massa M . O movimento do sistema �e de�nido pela posi�c~ao z(t) do carrinho e
o a^ngulo �(t) entre o pe^ndulo e o eixo vertical.
C
M
z(t)
2l
z
�(t)
m
u(t)
M
c
m
0
Figura 1.2: Pe^ndulo invertido
Na modelagem matem�atica deste sistema considera-se a presen�ca de atrito entre o pe^ndulo e o carrinho c
m
,
na roda do carrinho C
M
, e J
M
que �e momento de in�ercia. Para evitar a formula�c~ao n~ao linear do sistema,
vamos simpli�c�a-la considerando que o a^ngulo � �e pequeno tal que:
cos(�)
�
=
1 sen(�)
�
=
�
_
�
2
�
�
=
0
Considere que os estados do sistema s~ao
x
p
:= [z; �; _z;
_
�]
0
e a representa�c~ao por vari�aveis de estados do sistema linearizado:
_xp
(t) =
2
6
6
4
0 0 1 0
0 0 0 1
0 a
1
a
2
a
3
0 a
4
a
5
a
6
3
7
7
5
x
p
(t) +
2
6
6
4
0
0
b
1
b
2
3
7
7
5
u(t)
y(t) =
�
c
2
0 0 0
0 c
3
0 0
�
x
p
(t):
(1.1)
1.2. EXEMPLOS DE SISTEMAS DIN
^
AMICOS 5
onde x
p
(t) �e o vetor de estados, u(t) o vetor das vari�aveis de controle e y(t) o vetor de sa��da, e as vari�aveis
escalares s~ao dadas por
a
1
= �
1
d
m
2
gl
2
; a
2
= �
1
d
c
M
(J
m
+ml
2
)
a
3
=
1
d
c
m
l; a
4
=
1
d
mgl(M +m)
a
5
=
1
d
c
M
ml; a
6
= �
1
d
c
m
(M +m)
b
1
=
1
d
c
1
(J
m
+ml
2
); b
2
= �
1
d
c
1
ml
d = (M +m)J
m
+mMl
2
;
(1.2)
Um conjunto de valores num�ericos usado neste sistema pode ser encontrado, por exemplo em [1].
Na pr�atica, os valores dos coe�cientes de atrito c
m
e C
M
s~ao incertos, ou seja tem-se apenas uma no�c~ao
de que faixa de valores que eles podem assumir. Assume-se que estes dois para^metros s~ao incertos com a
seguinte varia�c~ao :
c
m
�
=
(1 + �
1
)c
m
e C
M
�
=
(1 + �
2
)C
M
Com isso o sistema (1.1) pode ser reescrito como
_x
p
(t) = A(�)x
p
(t) +Bu(t)
y(t) = Cx
p
(t)
(1.3)
onde
A(�) =
2
6
6
4
0 0 1 0
0 0 0 1
0 a
1
(1 + �
1
)a
2
(1 + �
2
)a
3
0 a
4
(1 + �
1
)a
5
(1 + �
2
)a
6
3
7
7
5
; B =
2
6
6
4
0
0
b
1
b
2
3
7
7
5
; C =
�
c
2
0 0 0
0 c
3
0 0
�
(1.4)
1.2.1 Descri�c~ao das incertezas
Um grande problema ao se trabalhar com sistemas incertos �e como tratar a incerteza na formula�c~ao �nal
do problema, pois dependendo do tipo de incerteza, pode-se inserir mais restri�c~ao na busca de solu�c~ao do
problema.
Uma primeira alternativa seria descrever os poss��veis valores que a matriz A(�) pode assumir atrav�es de uma
combina�c~ao convexa dos valores extremos assumidos pelas incertezas. Supondo que:
� 2 B
�
= f �
i
: j�
i
j � �
i
, i = 1; :::; qg
onde B
�
representa um politopo
1
com 2
q
v�ertices, onde q �e o numeros de incertezas no problema.
Para o exemplo suponhe-se que ��
1
< �
1
< �
1
e ��
2
< �
2
< �
2
e
A(�) = A
1
q
1
+A
2
q
2
+A
3
q
3
+A
4
q
4
Com q
1
+ q
2
+ q
3
+ q
4
= 1 e q
i
� 0, onde as matrizes A
i
s~ao constru��das nos v�ertices do Politopo, mostrado
na Figura 1.3.
1
Politopo �e um conjunto convexo fechado, que pode ser representado pela combina�c~ao convexa dos v�ertices, ou por inequa�c~oes
matriciais, para mais detalhes sobre politopo veja [2]
6 CAP
�
ITULO 1. SISTEMAS DIN
^
AMICOS INCERTOS
A
1
(�
1
; �
2
) =
2
6
6
4
0 0 1 0
0 0 0 1
0 a
1
(1 + �
1
)a
2
(1 + �
2
)a
3
0 a
4
(1 + �
1
)a
5
(1 + �
2
)a
6
3
7
7
5
A
2
(��
1
; �
2
) =
2
6
6
4
0 0 1 0
0 0 0 1
0 a
1
(1� �
1
)a
2
(1 + �
2
)a
3
0 a
4
(1� �
1
)a
5
(1 + �
2
)a
6
3
7
7
5
A
3
(�
1
;��
2
) =
2
6
6
4
0 0 1 0
0 0 0 1
0 a
1
(1 + �
1
)a
2
(1� �
2
)a
3
0 a
4
(1 + �
1
)a
5
(1� �
2
)a
6
3
7
7
5
A
4
(��
1
;��
2
) =
2
6
6
4
0 0 1 0
0 0 0 1
0 a
1
(1� �
1
)a
2
(1� �
2
)a
3
0 a
4
(1� �
1
)a
5
(1� �
2
)a
6
3
7
7
5
(��
1
; �
2
)
�
2
�
1
(��
1
;��
2
) (�
1
;��
2
)
(�
1
; �
2
)
Figura 1.3: Representa�c~ao de um politopo
Este tipo de abordagem para descrever as incertezas �e conhecido como abordagem polit�opica e formalmente
�e enunciada a seguir.
De�ni�c~ao 1.2.1 A classe de matrizes A(�) com incertezas na forma polit�opica pode ser descrita pelo con-
junto
A = fA : A =
j
X
i=1
q
i
A
i
;
j
X
i=1
q
i
= 1; q
i
� 0g (1.5)
onde o conjunto A �e convexo, fechado e as matrizes A
i
s~ao conhecidas.
���
Uma caracter��stica importante deste tipo de abordagem para descrever as incertezas �e a convexidade do
conjunto resultante, isto �e, tem-se pela propriedade de convexidade que se um conjunto de restri�c~oes de
desigualdades e igualdades estiver satisfeito nos v�ertices, ent~ao garante-se que estas mesmas restri�c~oes est~ao
satisfeitas no interior da regi~ao formada por estes v�ertices. Entretanto, surge o problema da explos~ao
1.2. EXEMPLOS DE SISTEMAS DIN
^
AMICOS 7
exponencial das condi�c~oes a serem testadas, pois ao testar, por exemplo, as condi�c~oes para um sistema com
3 elementos incertos, tem-se que veri�car 2
3
v�ertices, ou seja, tem-se que testar as condi�c~oes 8 vezes.
Outra forma de declarar as incertezas, �e representar o sistema por LFT
2
(Linear Fractional Transformation).
Basicamente, nesta formula�c~ao, busca-se representar o sistema incerto atrav�es de um sistema invariante no
tempo interconectado a um bloco incerto, como no sistema realimentado mostrado na Figura 1.4.
_x = A
0
x+ Ew
z = Hx
�
w z
Figura 1.4: Sistema LFT
Assim pode-se descrever o sistema (1.3) n~ao for�cado, ou seja, somente a parte incerta, como:
_x = A
0
x + Ew
z = Hx (1.6)
w = �z
onde
A
0
=
2
6
6
4
0 0 1 0
0 0 0 1
0 a
1
a
2
a
3
0 a
4
a
5
a
6
3
7
7
5
, E =
2
6
6
4
0 0
0 0
a
2
a
3
a
5
a
6
3
7
7
5
, H =
�
0 0 1 0
0 0 0 1
�
, � =
�
�
1
0
0 �
2
�
Em geral, o bloco incerto � �e uma matriz bloco diagonal, limitada em norma. Com isso a incerteza na
representa�c~ao LFT �e vista como uma restri�c~ao
3
.
Note que esta forma de representa�c~ao �e equivalente a rede�nirmos a matriz incerta A(�) da seguinte forma:
A(�) = A
0
+E�H . Desta forma pode-se apresentar a seguinte de�ni�c~ao
De�ni�c~ao 1.2.2 A classe de matrizes A(�) com incerteza limitada em norma pode ser descrita pelo conjunto
A = A(�) = fA : A = A
0
+E�Hg (1.7)
onde � = diag(I
i
�
i
) i : 1; :::; q e k�k � �.
���
Exemplo 2: Controle de Posi�c~ao Longitudinal de uma Aeronave
O avi~ao F-8 �e um projeto antigo que tem sido utilizado pela NASA no seu projeto de pesquisa \
y-by-wire",
[7]. Assumindo que a aeronave esteja voando a uma altitude constante em equil��brio, podemos linearizar as
equa�c~oes aerodina^micas n~ao lineares. Desta forma, desacoplamos a dina^mica longitudinal da lateral, [8].
Pode-se caracterizar a dina^mica longitudinal da aeronave pela seguinte escolha de vari�aveis , veja detalhes
na �gura (1.5).
2
Mais detalhes sobre sistemas na forma LFT podem ser obtidos em [3, 4, 5, 6].
3
Veja exemplo (2.3.5).
8 CAP
�
ITULO 1. SISTEMAS DIN
^
AMICOS INCERTOS
� �(t) �e a velocidade horizontal;
� �(t) �e o a^ngulo de inclina�c~ao com a horizontal (\pitch angle");
� q(t) �e a taxa de varia�c~ao de �(t);
� �(t) �e o a^ngulo de ataque;
� �(t) = �(t)� �(t) �e o a^ngulo de voo.
Para controlar o movimento longitudinal existem os \elevators", u
e
(t), e os \
aperons", u
f
(t), que s~ao iguais
aos \elevators" exceto pelo movimentona mesma dire�c~ao.
As vari�aveis mensur�aveis s~ao os a^ngulos de inclina�c~ao horizontal e de vo^o y(t) =
�
�(t) �(t)
�
0
.
Figura 1.5: De�ni�c~ao das Vari�aveis para a dina^mica longitudinal para o F-8
As rajadas de vento, w(t), provocam dist�urbios no movimento longitudinal do avi~ao, afetando primeiro o
a^ngulo de ataque �(t).
Outro problema a ser considerado �e a dina^mica n~ao modelada associada a 
exibilidade da estrutura do avi~ao
ocasionando incertezas no modelo do movimento longitudinal do avi~ao.
Considerando o seguinte vetor de estados
x(t) =
�
�(t) �(t) q(t) �(t)
�
0
podemos modelar as equa�c~oes linearizadas do movimento longitudinal do avi~ao F-8 pela seguinte represen-
ta�c~ao por vari�aveis de estado
(
_x(t) = A(�) x(t) + B
u
u(t) + B
w
w(t)
y(t) = C x(t)
(1.8)
com u(t) =
�
u
e
(t) u
f
(t)
�
0
e
A(�) =
2
6
6
4
0 0 1 0
(1:5 + 0:1�) �(1:5 + 0:5�) 0 0:0057
�(12 + 1�) (12 + 1�) �(0:6 + 0:06�) �0:0344
�(0:8520+ 0:1�) (0:29 + 0:1�) 0 �0:014
3
7
7
5
; B
u
=
2
6
6
4
0 0
0:16 0:8
�19 �3
�0:015 �0:0087
3
7
7
5
;
B
w
=
�
0 1:71885 �13:7508 �0:332311
�
0
; C =
�
1 0 0 0
0 1 0 0
�
1.3. ATIVIDADES 9
A varia�c~ao param�etrica � e sua taxa de varia�c~ao ao longo do tempo,
_
�, est~ao limitadas as seguintes regi~oes:
� 2 f�1; 1g e
_
� 2 f�10; 10g.
O objetivo de controle do sistema �e diminuir os efeitos da perturba�c~ao do vento, apesar das varia�c~oes no
para^metro � e das restri�c~oes nas entradas de controle (satura�c~ao): ju
e
(t)j � u
e
e ju
f
(t)j � u
f
.
1.3 Atividades
1. No exemplo (1) o efeito das perturba�c~oes externas n~ao foi modelado. Mas na pr�atica sabe-se que o
sistema sempre sofre algum tipo de perturba�c~ao. Considere ent~ao que o sistema est�a sujeito a in
ue^ncia
de uma rajada de vento, na base do carrinho de dire�c~ao contr�aria �a for�ca aplicada e de intesidade de
for�ca b
w
. Insira no modelo matem�atico esta perturba�c~ao.
2. Considerando o sistema do exemplo (2):
� Obtenha a representa�c~ao polit�opica.
� Obtenha a descri�c~ao na forma LFT, abaixo descrita, com incerteza limitada em norma;
8
>
>
>
<
>
>
>
:
_x = Ax+B
p
p+B
u
u+B
w
w
q = C
q
x+D
qp
p+D
qu
u+D
qw
w
y = C
y
x+D
yp
p+D
yw
w
p = �q , j�j � �
� O modelo (1.8) �e uma aproxima�c~ao linear em torno do ponto de equil��brio do sistema n~ao linear
real. Como poder��amos incluir neste sistema os erros entre o modelo linear e o n~ao linear.
3. Para os artigos [9, 10, 11, 12, 13, 14, 15] analise os sistemas a serem controlados com rela�c~ao aos
seguintes itens:
� Modelo Linear ou N~ao Linear;
� Perturba�c~oes;
� Incertezas;
� Restri�c~oes no Controle;
� Outras fontes de erro.
4. Considere o seguinte sistema meca^nico, visto na �gura (1.6).
m
y(t)
ck
F
Figura 1.6: Sistema Massa-Mola-Amotecedor
10 CAP
�
ITULO 1. SISTEMAS DIN
^
AMICOS INCERTOS
A equa�c~ao dina^mica de movimento do sistema pode ser descrita por:
y +
c
m
_y +
k
m
y =
F
m
onde y �e o deslocamento vertical, m �e a massa do bloco, k �e a constante da mola, c �e o coe�ciente de
amortecimento e F �e a for�ca externa aplicada ao bloco.
Suponha que os para^metros f��sicos k, c, n~ao s~ao conhecidos exatamente, mas acredita-se pertencerem
a um intervalo conhecido. Em particular, o coe�ciente de amortecimento c encontra-se entre +=�
20% do seu valor nominal c
0
, e a constante da mola est�a entre +=� 30% do seu valor nominal k
0
.
Introduzindo vari�aveis param�etricas �
c
, �
k
2 B
�
= f�1; 1g, podemos rede�nir c, k como
c = c
0
(1 + 0:2�
c
) , k = k
0
(1 + 0:3�
k
)
Para o sistema acima, determine as representa�c~oes polit�opica e na forma LFT. Considere a seguinte
de�ni�c~ao de vari�aveis: x
1
= y, x
2
= _y, u = F , �
c
= �
1
e �
k
= �
2
.
1.4 Refere^ncias Complementares
Alem das refere^ncias j�a citadas, pode-se buscar mais informa�c~oes a respeito de controle Robusto e sistemas
com incertezas nos livros [16, 17, 18], nas disserta�c~oes de mestrado [19, 20, 21] e nos exames de quali�ca�c~ao
[22, 23].
Cap��tulo 2
Estabilidade e Performance de
Sistemas por LMIs
2.1 Introdu�c~ao
A teoria de controle robusto evoluiu consideravelmente ao longo das �ultimas d�ecadas, apresentando solu�c~oes
para v�arios tipos de problemas de An�alise, Performance e S��ntese de sistemas lineares incertos. Essas
solu�c~oes faziam uso de um ferramental diverso, envolvendo problemas de otimiza�c~ao, teorema do pequeno
ganho, equa�c~oes de Riccati, valores singulares (�-analysis), fun�c~oes de pondera�c~ao, transforma�c~oes lineares,
teoria estat��stica, entre outras.
Recentemente, as inequa�c~oes matriciais lineares (LMI) se tornaram, com o surgimento de pacotes compu-
tacionais e�cientes, uma excelente ferramenta na procura de solu�c~oes para os mais diversos problemas de
controle. Uma das grandes virtudes da abordagem LMI �e a de possibilitar o tratamento simulta^neo de v�arios
requisitos de performance e robustez.
Neste cap��tulo, apresentamos os conceitos b�asicos para formula�c~ao LMI na an�alise e performance de sistemas
lineares para os casos invariante no tempo e incerto. Para tal, este cap��tulo esta dividido da seguinte maneira.
� Se�c~ao (2.2): revis~ao da Teoria de estabilidade de Lyapunov, conceito de estabilidade quadr�atica, exem-
plos de an�alise de estabilidade e inequa�c~ao matricial de Lyapunov.
� Se�c~ao (2.3): a inequa�c~ao de Lyapunov dentro da abordagem LMI, ferramentas matem�aticas mais
utilizadas para obten�c~ao da formula�c~ao LMI e exemplos de aplica�c~ao.
� Se�c~ao (2.4): pacotes computacionais para solu�c~ao de problemas LMI, complexidade computacional e
exemplos.
� Se�c~ao (2.5): crit�erios de desempenho (performance) de sistemas, normas H
2
e H
1
de sistemas e
exemplos de determina�c~ao das normas por LMIs.
� Se�c~ao (2.6): exerc��cios e atividades complementares.
� Se�c~ao (2.7): refere^ncias bibliogra�cas complementares.
Nota�c~ao
Neste texto utiliza-se a nota�c~ao usual. I
n
indica uma matriz identidade de ordem n � n, 0
n�m
indica uma
matriz de zeros de ordem n�m e 0
n
indica uma matriz de zeros n� n. P > 0 (� 0) signi�ca que P �e uma
matriz sim�etrica de�nida positiva (semi-de�nida positiva). A derivada temporal da fun�c~ao v(t) �e simbolizada
por _v(t) onde o argumento (t) ser�a sempre omitido. A regi~ao polit�opica B
�
representa os valores admiss��veis
das incertezas. A regi~ao B
x
representa uma regi~ao na vizinhan�ca da origem do espa�co de estados x(t).
11
12 CAP
�
ITULO 2. ESTABILIDADE E PERFORMANCE DE SISTEMAS POR LMIS
2.2 Estabilidade Quadr�atica
A estabilidade de um ponto de equil��brio �e usualmente caracterizada pela teoria de Lyapunov. Intuitivamente,
a estabilidade de um sistema dina^mico est�a relacionada com a fun�c~ao \energia" deste sistema. Se a fun�c~ao
energia do sistema �e sempre n~ao negativa e decrescente com rela�c~ao ao tempo, as trajet�orias do sistema
tendem �a origem
1
.
Fazendo uma an�alise mais gen�erica, a teoria de Lyapunov garante, para sistemas invariantes no tempo, que
o ponto de equil��brio �e est�avel se existe uma fun�c~ao escalar (tipo energia) v(x) tal que:
� v(x) > 0 , 8 x 6= 0 2 B
x
, e
� _v(x) < 0 , 8 x 6= 0 2 B
x
onde B
x
caracteriza uma regi~ao na vizinhan�ca do ponto de equil��brio (origem).
A caracteriza�c~ao de estabilidade para sistemas variantes no tempo deve ser maisrigorosa que a condi�c~ao
acima.
Considere o seguinte sistema n~ao linear, variante no tempo.
_x = f(t; x) (2.1)
com f(t; 0) = 0, onde x representa o vetor de estados e f(t; x) : [0;1)� R
n
7! R
n
satisfaz as condi�c~oes de
existe^ncia e unicidade de solu�c~ao. O pr�oximo teorema caracteriza a estabilidade segundo Lyapunov para o
sistema (2.1), a prova e maiores detalhes sobre este teorema s~ao encontrados em [24].
Teorema 2.2.1 (Estabilidade Segundo Lyapunov)
Seja v(t; x) : [0;1) � B
x
7! R uma fun�c~ao continuamente diferenci�avel e sejam �
1
(�), �
2
(�), �
3
(�) fun�c~oes
de classe K tais que as seguintes condi�c~oes sejam satisfeitas para todo t � t
0
e todo x 2 B
x
.
�
1
(kxk) � v(t; x) � �
2
(kxk)
_v(x) � ��
3
(kxk) (2.2)
Logo, as seguintes senten�cas s~ao verdadeiras.
� A origem do sistema �e Uniformemente Assint�oticamente Est�avel.
� Se existirem constantes positivas �
1
, �
2
, �
3
, tal que � �
1
(kxk) � �
1
kxk
�
, �
2
(kxk) � �
2
kxk
�
e
�
3
(kxk) � �
3
kxk
�
, ent~ao a origem do sistema �e exponencialmente est�avel.
���
Note que, se todas as condi�c~oes do teorema forem satisfeitas globalmente e �
1
(kxk) for radialmente ilimitada,
ent~ao a estabilidade da origem �e global
2
. Finalmente, para sistemas invariantes no tempo, v(t; x) pode ser
escolhida independente de t e a quali�ca�c~ao uniformemente pode ser suprimida.
Uma das maiores di�culdades na utiliza�c~ao do teorema (2.2.1) �e a da obten�c~ao de uma fun�c~ao de Lypunov
adequada para representar a estabilidade de um sistema dina^mico. Note que este teorema prop~oem con-
di�c~oes apenas su�cientes para estabilidade
3
e uma escolha inadequada de v(x) pode provocar um resultado
conservativo.
1
Que, sem perda de generalidade, consideraremos como sendo o ponto de equil��brio de interesse do sistema dina^mico.
2
Para sistemas lineares as condi�c~oes de estabilidade s~ao sempre globais.
3
No caso de sistemas lineares invariantes no tempo, as condi�c~oes s~ao necess�arias e su�cientes.
2.2. ESTABILIDADE QUADR
�
ATICA 13
A classe de fun�c~oes escalares v(x) para a qual a de�ni�c~ao de sinal pode ser facilmente veri�cada �e a das
fun�c~oes quadr�aticas
v(x) = x
0
Px (2.3)
onde P �e uma matriz constante, real e sim�etrica. Por exemplo, a condi�c~ao v(x) = x
0
Px > 0 para todo
x 2 B
x
�e equivalente a determinarmos uma matriz P = P
0
> 0. Se exisir uma matriz P satisfazendo as
condi�c~oes do teorema (2.2.1) dizemos que o sistema dina^mico �e quadraticamente est�avel e que v(x) �e fun�c~ao
de Lyapunov quadr�atica. Observe que, como estamos restringindo a classe de fun�c~oes candidatas a Lyapunov,
a estabilidade quadr�atica �e potencialmente restritiva.
O pr�oximo corol�ario prop~oe condi�c~oes su�cientes para an�alise de estabilidade de sistemas na forma (2.1)
considerando as fun�c~oes na forma quadr�atica (2.3).
Corol�ario 2.2.1 (Estabilidade Quadr�atica)
Seja B
x
uma regi~ao na vizinhan�ca da origem.
O sistema (2.1) �e quadraticamente est�avel se existirem escalares positivos �
1
, �
2
, �
3
e uma matriz P sim�etrica
tal que as seguintes condi�c~oes estejam satisfeitas para todo x 2 B
x
e todo t > t
0
.
�
1
x
0
x � v(x) = x
0
Px � �
2
x
0
x
_v(x) � ��
3
x
0
x (2.4)
Em caso a�rmativo, v(x) = x
0
Px �e uma fun�c~ao de Lyapunov para a origem do sistema (2.1).
���
Exemplo 2.2.1 (An�alise de Estabilidade de um sistema LTI)
Considere o seguinte sistema linear invariante no tempo (LTI).
_x = Ax (2.5)
onde x representa os estados do sistema e A �e uma matriz constante.
Utilizando a no�c~ao de estabilidade quadr�atica, obtenha uma condi�c~ao su�ciente para a estabilidade do sistema
(2.5).
) Solu�c~ao:
Para determinarmos a estabilidade quadr�atica de um sistema linear invariante no tempo, devemos procurar
uma fun�c~ao de Lyapunov v(x) > 0 tal que _v(x) < 0.
Considere uma fun�c~ao quadr�atica, v(x) = x
0
Px, e o sistema (2.5). A express~ao de _v(x) �e dada por:
_v = _x
0
Px+ x
0
P _x = x
0
(A
0
P + PA)x
Ent~ao, podemos escrever que: v(x) > 0 , 9 P = P
0
> 0 e _v(x) < 0 , (A
0
P + PA) < 0.
Logo, uma condi�c~ao necess�aria e su�ciente para este sistema ser globalmente quadraticamente est�avel �e:
9 P = P
0
> 0 : A
0
P + PA < 0 (2.6)
A rela�c~ao acima �e conhecida na literatura como inequa�c~ao de Lyapunov para sistemas lineares.
14 CAP
�
ITULO 2. ESTABILIDADE E PERFORMANCE DE SISTEMAS POR LMIS
444
Exemplo 2.2.2 Determine analiticamente a estabilidade do seguinte sistema LTI, utilizando as condi�c~oes
propostas no exemplo anterior.
�
_x
1
_x
2
�
=
�
�1 0
0 �1
� �
x
1
x
2
�
(2.7)
Considere a fun�c~ao de Lyapunov: v(x) = x
0
Px com P dado por:
P =
�
a 0
0 b
�
) Solu�c~ao:
O sistema (2.7) �e quadraticamente est�avel se:
� 9 a > 0, b > 0 tais que A
0
P + PA < 0 )
�
�1 0
0 �1
� �
a 0
0 b
�
+
�
a 0
0 b
� �
�1 0
0 �1
�
=
�
�a 0
0 �b
�
+
�
�a 0
0 �b
�
=
�
�2a 0
0 �2b
�
< 0
� Isto �e, 9 P = P
0
> 0 8 a; b > 0 tal que A
0
P + PA < 0, assegurando a estabilidade do sistema.
Logo, o sistema LTI (2.7) �e quadraticamente est�avel.
444
Exemplo 2.2.3 (Sistema Linear a Para^metro Variante - LPV)
Um sistema linear variante no tempo (LTV) �e um sistema linear governado por equa�c~oes de estado na forma
(
_x = A(t)x +B(t)u
y = C(t)x+D(t)u
(2.8)
onde as matrizes da representa�c~ao, A(t), B(t), C(t), D(t), dependem do tempo.
A busca de solu�c~ao para problemas nesta representa�c~ao, exige o conhecimento da depende^ncia temporal e
da representa�c~ao de estados fA(t); B(t); C(t); D(t)g, para uma solu�c~ao geral em tempo real. Devido a esta
di�culdade, a representa�c~ao de sistemas nesta formula�c~ao n~ao apresenta grande interesse pr�atico, [22].
Visando solucionar problemas de controle de sistemas LTV, podemos parametrizar a depende^ncia temporal
das matrizes A, B, C e D. Os sistemas que admitem esta parametriza�c~ao s~ao conhecidos como lineares a
para^metro variante (LPV) e s~ao apresentados a seguir.
(
_x = A(�(t))x +B(�(t))u
y = C(�(t)) +D(�(t))u
(2.9)
onde �(t) representa o vetor de para^metros incertos, limitados a um conjunto de valores admiss��veis B
�
4
.
Note que:
4
Em alguns casos os valores da taxa de varia�c~ao,
_
�(t), tamb�em s~ao limitados a uma dada regi~ao de valores admiss��veis.
2.3. INEQUAC�
~
OES MATRICIAIS LINEARES - LMI 15
� Esta representa�c~ao n~ao �e gen�erica mas existem in�umeros problemas pr�aticos que admitem esta formu-
la�c~ao.
� A depende^ncia temporal da representa�c~ao de estado aparece atrav�es da depende^ncia param�etrica �(t).
� Os sistemas LPV admitem uma representa�c~ao polit�opica ou limitada em norma.
O sistema (2.9) n~ao for�cado, u(t) = 0, �e quadraticamente est�avel se existe uma matriz P sim�etrica, de�nida
positiva, tal que a seguinte condi�c~ao seja satisfeita para todo � 2 B
�
:
A(�)
0
P + PA(�) < 0 , 8 � 2 B
�
(2.10)
Em caso a�rmativo, v(x) = x
0
Px �e uma fun�c~ao de Lyapunov para a origem do sistema (2.9) n~ao for�cado.
444
Observe que a condi�c~ao proposta no exemplo (2.2.3) �e um problema de dimens~ao in�nita. Entretanto, como
veremos a seguir, este problema torna-se um problema fact��vel de dimens~ao �nita. A determina�c~ao num�erica
de fun�c~oes de Lyapunov para sistemas incertos pode ser obtida atrav�es do \framework" LMI, se�c~ao (2.3).2.3 Inequa�c~oes Matriciais Lineares - LMI
O uso de Inequa�c~oes Matriciais Lineares(LMIs), na teoria de controle come�cou a se desenvolver apartir da
d�ecada de 80, com a cria�c~ao e aperfei�coamento de algoritmos de otimiza�c~ao convexa, como pontos interiores.
A partir de ent~ao muitos dos resultados usuais da teoria de controle e sistemas, est~ao sendo reescritos como
LMIs. Veja por exemplo [25, 26].
Mas o que �e uma LMI?
LMIs s~ao Inequa�c~oes Matriciais Lineares, cuja sigla vem do Ingle^s \ Linear Matrix Inequalities". Matema-
ticamente ela �e de�nida como:
De�ni�c~ao 2.3.1 Uma LMI tem a seguinte estrutura
F (x)
�
= F
0
+
m
X
i=1
x
i
F
i
> 0 (2.11)
onde x = (x
1
; x
2
; :::; x
m
) �e o vetor de vari�aveis de decis~ao; F
i
2 R
n�n
para i = 0; :::;m s~ao matrizes
sim�etricas dadas.
���
Normalmente uma LMI n~ao aparece na forma (2.11), mais sim na forma matricial como a inequa�c~ao de
Lyapunov (2.6). Para reescrever esta inequa�c~ao na forma (2.11), busca-se encontrar os valores de F
i
tal que:
F (P ) = A
0
P + PA = F
0
+
X
x
i
F
i
x
i
= fP
kj
; :::P
nn
g (2.12)
No exemplo a seguir, note que a transposi�c~ao da forma (2.11), para a forma matricial �e apenas uma quest~ao
de nota�c~ao. Entretanto, esta transforma�c~ao n~ao �e necess�aria, j�a que a forma matricial �e a forma padr~ao de
entrada dos pacotes computacionais existentes.
16 CAP
�
ITULO 2. ESTABILIDADE E PERFORMANCE DE SISTEMAS POR LMIS
Exemplo 2.3.1 Considere
_x =
�
�1 1
1 �2
�
x (2.13)
pela condi�c~ao de estabilidade de Lyapunov este sistema ser�a est�avel se 9P > 0 tal que V (x) = x
0
Px > 0 com
P > 0 e
_
V (x) = x
0
(A
0
P + PA)x < 0, onde P =
�
P
1
P
2
P
0
2
P
4
�
.
Fazendo x
1
= P
1
; x
2
= P
2
; x
3
= P
0
2
; x
4
= P
4
; em (2.12) tem-se que
�
�1 1
1 �2
�
0
P + P
�
�1 1
1 �2
�
= F
0
+ P
1
F
1
+ P
2
(F
2
+ F
3
) + P
4
F
4
Resolvendo a multiplica�c~ao matricial em (2.12) e igualando com (2.11) obt�em-se
F
1
=
�
�2 1
1 0
�
; F
2
=
�
1 �3
0 1
�
;
F
3
=
�
1 0
�3 1
�
; F
4
=
�
0 1
1 2
�
444
Note que um conjunto de n LMIs pode ser visto como uma �unica LMI. Por exemplo, procurar a solu�c~ao de
F
1
(x) > 0, F
2
(x) > 0, ... F
n
(x) > 0 �e equivalente a procurar a solu�c~ao para
F (x) = diag(F
1
(x); : : : F
n
(x)) > 0;
onde diag(F
1
(x); : : : F
n
(x)) �e uma matriz bloco diagonal com F
1
(x); : : : F
n
(x) na diagonal.
Mas qual a vantagem em se ver um problema de controle como uma LMI?
Uma das facilidades no uso de LMIs na teoria de controle �e a existe^ncia de pacotes computacionais para a
sua solu�c~ao num�erica de forma e�ciente. Outro ponto de suma importa^ncia �e que na abordagem LMI a busca
de solu�c~oes para problemas mais complexos, principalmente quando h�a presen�ca de elementos incertos, pode
ser simpli�cada devido as propriedades de convexidade e linearidade.
2.3.1 Propriedades de LMI
� Linearidade
Na realidade a fun�c~ao F (x) �e uma fun�c~ao a�m, pois em (2.11) para x=0 tem-se F (0) = F
0
. Mas
tornou-se usual chama-la de LMI pois tem-se que esta inequa�c~ao a�m pode facilmente ser transposta
numa inequa�c~ao linear pela simples troca de coordenadas. Para mais detalhes veja [21, 2].
� Convexidade
De�ni�c~ao 2.3.2 Um conjunto X �e convexo se 8x; y 2 R e todo � com 0 � � < 1 tem-se
�x + (1� �)y 2 X
���
Ou seja um conjunto X ser�a convexo se para quaisquer dois pontos x e y 2 X o segmento de reta
unindo estes pontos tamb�em perten�ca a este conjunto.
Pela teoria dos conjuntos tem-se que todo conjunto a�m ser�a sempre convexo
5
. Ent~ao tem-se que o
conjunto solu�c~ao de uma LMI sendo a�m �e tamb�em convexo. Note que uma LMI ser�a tamb�em convexa
nos dados se as matrizes F
i
s~ao a�ns em �.
5
O contr�ario n~ao �e verdade, pois nem todo conjunto convexo �e a�m, veja por exemplo o caso de um cubo no R
n
, que �e
convexo mas n~ao a�m.
2.3. INEQUAC�
~
OES MATRICIAIS LINEARES - LMI 17
A caracter��stica de convexidade �e das mais importantes propriedades das LMI, pois facilita, principalmente,
a busca de solu�c~ao para sistema incertos. Por exemplo, considere que no exemplo anterior a matriz A na
equa�c~ao (2.13) dependa de �, ou seja,
A(�) =
�
�1 1
1 + � �2
�
Estamos interessados em analisar a estabilidade deste sistema, considerando que as incertezas estejam des-
critas na forma politopica, para tal considere que � 2 B
�
= f�
min
� � � �
max
g. Note que para veri�car a
estabilidade deste sistema temos que testar a condi�c~ao de Lyapunov (2.6) para todos os valores de � 2 B
�
,
ou seja, encontrar uma matriz positiva de�nida P tal que
8� 2 B
�
: A(�)
0
P + PA(�) < 0
Note que este �e um problema de dimens~ao in�nita, de di�cil solu�c~ao. Mas como a matriz A(�) �e a�m em
� e aparece de forma linear na inequa�c~ao de Lyapunov, pode-se pela propriedade de convexidade testar a
condi�c~ao acima apenas para os v�ertices da regi~ao B
�
. Ou seja, se existe uma matriz P > 0 tal que
A(�
min
)
0
P + PA(�
min
) < 0
A(�
max
)
0
P + PA(�
max
) < 0
garantimos, assim, que para toda a regi~ao B
�
o sistema ser�a est�avel e v(x) = x
0
Px ser�a uma fun�c~ao de
Lyapunov para o sistema.
2.3.2 Ferramentas para a formula�c~ao de um problema de controle em uma LMI
Nem todo resultado da teoria de controle aparece diretamente na forma de uma LMI, como a equa�c~ao de
Lyapunov. Mas algumas ferramentas da �algebra matricial ajudam a transpor estes resultados para uma
formula�c~ao LMI. As ferramentas mais utilizados durante este curso ser~ao enunciadas nesta se�c~ao, outros
resultados podem ser visto em [25].
Complemento de Schur
O Complemento de Schur �e um resultado da Teoria de Matrizes, que ajuda na transforma�c~ao de inequa�c~oes
n~ao lineares para a forma de LMI. Muitos dos resultados j�a existentes da teoria de controle s~ao postos na
forma LMI, pelo aplica�c~ao deste resultado.
De�ni�c~ao 2.3.3 (Complemento de Schur) Sejam Q; R; S matrizes de dimens~oes compat��veis, com Q,
R sim�etricas. Ent~ao as seguintes condi�c~oes s~ao equivalentes para o:
� caso estrito
�
Q S
S
0
R
�
> 0() R > 0; Q� SR
�1
S
0
> 0 (2.14)
� caso n~ao estrito
�
Q S
S
0
R
�
� 0() R � 0; Q� SR
+
S
0
� 0; S(I �RR
+
) = 0 (2.15)
onde R
+
�e a pseudo-inversa da matriz R.
���
A prova deste resultado pode ser vista em [25]
18 CAP
�
ITULO 2. ESTABILIDADE E PERFORMANCE DE SISTEMAS POR LMIS
Exemplo 2.3.2 Considere a desigualdade matricial para veri�car a performance H
1
do seguinte sistema:
_x = Ax+Bu
y = Cx
dada por
A
0
P + PA+ PBB
0
P + C
0
C < 0 (2.16)
com P = P
0
> 0; sendo as vari�aveis. Perceba que a inequa�c~ao (2.16) n~ao �e linear em P . Aplicando o
complemento de Schur com:
Q = A
0
P + PA+ C
0
C
S = PB
R = �I
Obt�em-se a seguinte LMI equivalente �a (2.16)
�
A
0
P + PA+ C
0
C PB
B
0
P �I
�
< 0 (2.17)
444
S-Procedure
O S-Procedure �e empregado para se obter uma formula�c~ao LMI para a seguinte classe de problemas.
Garantir que : f
1
(x) > 0 8x : f
2
(x) � 0
O caso de desigualdades estritas ser�a apresentado a seguir. O caso de desigualdades n~ao estritas pode ser
encontrado em [25].
De�ni�c~ao 2.3.4 (S-Procedure)Sejam T
0
; ::::; T
p
2 R
n�n
matrizes sim�etricas, considere a seguinte con-
di�c~ao em T
0
; ::::; T
p
:
 
T
T
0
 > 0 8 6= 0 e 
T
T
i
 � 0; i = 1; :::; p: (2.18)
Ent~ao (2.18) �e veri�cada se existem escalares �
i
> 0 tais que
T
0
�
p
X
i=1
�
i
T
i
> 0 (2.19)
Al�em disso (2.19) e (2.18) s~ao equivalentes quando p = 1. Quando T
i
s~ao fun�c~oes a�ns de um conjunto de
para^metros a condi�c~ao (2.19) ainda implica (2.18).
���
Exemplo 2.3.3 O seguinte problema surge em sistemas incertos com incertezas limitadas em norma. Para
mais detalhes sobre este tipo de restri�c~ao veja o Cap. 5 de [25].
2.3. INEQUAC�
~
OES MATRICIAIS LINEARES - LMI 19
O problema �e encontrar P tal que:
�
�
�
�
0
�
A
0
P + PA PB
B
0
P 0
��
�
�
�
< 0 , 8 � : �
0
� � �
0
C
0
C� (2.20)
A primeira restri�c~ao em � e � pode ser reescrita como:
�
�
�
�
0
�
�CC
0
0
0 I
��
�
�
�
� 0 (2.21)
Aplicando S-Procedure a restri�c~ao 2.20 �e equivalente a existe^ncia de � � 0 tal que:
�
A
0
P + PA+ �C
0
C PB
B
0
P ��I
�
< 0
que �e uma LMI em P e � .
444
Lema de Finsler
O resultado a seguir �e uma particularidade do Lema de Finsler [25]. Este resultado ser�a bastante utilizado
para a elimini�c~ao de vari�aveis no caso de sistemas com para^metros incertos e tamb�em no caso de sistemas
n~ao lineares.
De�ni�c~ao 2.3.5 (Lema de Finsler - Particularidade) Dada a matriz sim�etrica 	 e a matriz C
a
de
dimens~oes compat��veis e seja X uma matriz tal que C
a
X = 0. Ent~ao tem-se que
x
0
	x < 0 (2.22)
se e somente se 9 L tal que
	+ LC
a
+ C
0
a
L
0
< 0 (2.23)
���
Exemplo 2.3.4 O tipo de restri�c~ao a seguir aparece no problema de an�alise da estabilidade de sistemas
Descritores [27].
Encontre P tal que:
�
x
z
�
0
�
J
0
1
P + PJ
1
J
2
P
PJ
0
2
0
� �
x
z
�
< 0; 8
�
x
z
�
:
�
J
3
J
4
�
�
x
z
�
= 0 (2.24)
Aplicando o lema de Finsler, obt�em-se a representa�c~ao LMI:
�
J
0
1
P + PJ
1
J
2
P
PJ
0
2
0
�
+ L
�
J
3
J
4
�
+
�
J
3
J
4
�
0
L
0
(2.25)
444
20 CAP
�
ITULO 2. ESTABILIDADE E PERFORMANCE DE SISTEMAS POR LMIS
D-G scaling
Este resultado foi proposto inicialmente em [28]. Ser�a apresentada aqui a forma proposta por [29]. Esta
t�ecnica permite tratar de forma convexa problemas com restri�c~oes de estrutura do tipo Limitada em Norma,
ou seja,veri�car se
f(p; q) > 0 8 p; q : p = �q; j�j � �
onde p; q s~ao vetores auxiliares, � um escalar cujo m�odulo �e limitado por �.
De�ni�c~ao 2.3.6 (D-G scaling) Seja p 2 R
k
e q 2 R
k
. Ent~ao existe um escalar � tal que
p = �q 8� j�j � �
se e somente se existem matrizes D; G 2 R
n
i
�n
i
tais que
�
p
0
Dp � �
2
q
0
Dq; D > 0
p
0
Gq � q
0
Gp; G = �G
0
;
(2.26)
���
O resultado acima permite transformar restri�c~oes do tipo limitada em norma em desigualdades do tipo
(2.26), que podem ser tratadas pelo S-procedure
Exemplo 2.3.5 Considere o sistema LPV, abaixo descrito
_x = Ax+Bp
q = Cx+Dp (2.27)
p = �q , k�k � �
�1
onde a matriz � representa os para^metros incertos do sistema na forma � = diagfI
i
�
i
g. O sistema (2.27)
�e est�avel se existir uma matriz P > 0 sim�etrica que satizfa�ca a seguinte condi�c~ao:
�
x
p
�
0
�
A
0
P + PA PB
B
0
P 0
� �
x
p
�
< 0 , 8 k�k � �
�1
(2.28)
A limita�c~ao em norma pode ser transformada em uma condi�c~ao do tipo �
0
F(�)� � 0 aplicando a t�ecnica do
DG Scaling:
�
2
p
0
Sp � q
0
Sq , S = S
0
, S > 0
p
0
Gq � q
0
Gp = 0 , G = �G
0
(2.29)
onde S, G s~ao bloco diagonais com a mesma estrutura de �. Considerando que q = Cx +Dp, a express~ao
(2.29) pode ser reescrita na forma
�
x
p
�
0
�
�C
0
SC �(C
0
SD + C
0
G)
�(D
0
SC �GC) �(D
0
SD � �
2
S +D
0
G�GD)
��
x
p
�
� 0 (2.30)
Aplicando o S-Procedure, a condi�c~ao (2.28) �e reescrita na seguinte formula�c~ao LMI:
�
A
0
P + PA+ C
0
SC (PB + C
0
SD + C
0
G)
(B
0
P +D
0
SC �GC) (D
0
SD � �
2
S +D
0
G�GD)
�
< 0
444
2.4. PACOTES COMPUTACIONAIS 21
2.3.3 Problema LMI: Formula�c~ao e Solu�c~ao
Um problema LMI pode ser dividido em tre^s categorias.
� Problema de Factibilidade
Encontrar a solu�c~ao x tal que
F (x) > 0
� Problema de minimiza�c~ao de uma fun�c~ao objetivo linear:
Encontrar a solu�c~ao x tal que
min
x
h(x)
sujeito �a
�
F (x) > 0
G(x) = 0
(2.31)
� Problema de minimiza�c~ao de autovalores generalizados
6
Encontrar a solu�c~ao x tal que
min � sujeito �a
8
<
:
A(x) < �B(x)
B(x) > 0
C(x) < 0
(2.32)
onde h(x), F(x), G(x), A(x), B(x) e C(x) s~ao fun�c~oes a�ns em x.
A busca da solu�c~ao num�erica para estes problemas �e uma problema de Programa�c~ao Semi De�nida(SDP).
Diversos pacotes computacionais tem sido testados para a solu�c~ao deste problema. Na pr�oxima se�c~ao tem-se
uma r�apida vis~ao sobre os pacote computacionais existentes para a solu�c~ao de SDP.
2.4 Pacotes Computacionais
Com o surgimento de algoritmos de pontos interiores para a solu�c~ao de problemas de otimiza�c~ao convexa,
tornou-se poss��vel solucionar numericamene LMIs de forma mais r�apida e e�ciente.
Desde ent~ao muitas pesquisas vem sendo desenvolvidas para a cria�c~ao ou melhora de pacotes computacionais
para a solu�c~ao de problemas de otimiza�c~ao convexa. Os pacotes computacionais mais conhecidos para a
solu�c~ao de LMIs s~ao
� LMIlab presente no Matlab que usa o M�etodo Projetivo, criado por Nesterov e Nemirovskii [30] para
a solu�c~ao do problema. Mais detalhes sobre o LMIlab podem ser obtido em[31].
� LMITOOL presente no Scilab e Matlab que usa o M�etodo Primal-Dual desenvolvido por [32] .
Al�em destes dois m�etodos de solu�c~ao existem novas abordagens, que buscam melhorar estes algoritmos,
buscando principalmente uma melhor e�cie^ncia do m�etodo para sistemas esparsos. Mais detalhes sobre estes
m�etodos podem ser vista em [26].
Neste curso, iremos utilizar o LMITOOL, do Scilab para a solu�c~ao de LMIs. Mais detalhes sobre o LMITOOL
podem ser obtido no site: www.rocq.inria.fr/scilab Um exemplo da aplica�c~ao do LMITOOL �e dada no �nal
desta se�c~ao.
6
Este �e uma problema de otimiza�c~ao quasi convexa
22 CAP
�
ITULO 2. ESTABILIDADE E PERFORMANCE DE SISTEMAS POR LMIS
2.4.1 Complexidade computacional
Como j�a salientamos, umas das mais importantes vantagens no uso de LMI �e a existe^ncia de pacotes compu-
tacionais para a sua solu�c~ao. Mas como todo problema de otimiza�c~ao convexa, ou SDP(programa�c~ao semi-
de�nida ), pode-se ter di�culdades num�ericas na busca de solu�c~oes de uma LMI.
Algumas destas di�culdades podem ocorrer devido ao mal condicionamento num�erico dos dados, capacidade
de mem�oria das m�aquinas, erros de precis~ao.
Outro grande problema �e o esfor�co computacional necess�ario para solucionar as LMIs. Grandes progressos
foram feitos com o uso de algoritmos de pontos interiores para a sua solu�c~ao, garantindo a solu�c~ao do
problema em ordem polinomial, ao inv�es da ordem exponencial dada por outros algoritmos.
Uma aproxima�c~ao da ordem de grandeza do numero de opera�c~oes �e dada por:
Primal dual: O(m
�
L
�
)
Projetivo: O(Lm
3
log(V=�))onde m �e o n�umero de vari�aveis e L �e o n�umero de LMIs e �
�
=
2:1 e �
�
=
1:2. Perceba que o n�umero de
opera�c~oes para a solu�c~ao do problema via LMI, �e dependente do n�umeros de LMIs e do n�umeros de vari�aveis
a ser buscada. Os softwares hoje existentes s~ao capazes de manipular algumas centenas de vari�aveis de
decis~ao.
2.4.2 Exemplo de Aplica�c~ao do LMITOOL
Para exempli�car o uso do LMITOOL do scilab, considere o caso de an�alise da estabilidade do seguinte
sistema:
_x = A(�)x
onde
A(�) =
�
�1 1
1 + �
1
�2 + �
2
�
(2.33)
Busca-se veri�car para que valores de �
i
2 B
�
f�
i
: j�
i
j < �
i
g o sistema ser�a quadraticamente est�avel. Em
muitos casos �e de interesse pr�atico obter uma fun�c~ao de Lyapunov que tenha um sinal de energia m��nimo.
Aqui s�o para ilustrar, vamos supor que a matriz P da fun�c~ao de Lyapunov deva ter os autovalores mais
pr�oximos poss��veis de 1.
) Solu�c~ao:
� Considere primeiro o caso nominal, ou seja, �
i
= 0.
Aplicando a inequa�c~ao de Lyapunov para veri�car a estabilidade busca-se encontrar P > 0 tal que
v(x) = x
0
Px > 0 e _v(x) < 0. Para aproximar P da identidade, buca-se minimizar o tra�co(P) para
P � I .
O programa para solu�c~ao desta problema �e listado a seguir:
function [p]=lyap(A)
// Generated by lmitool on Mon Nov 10 16:19:05 EDT 1997
Mbound = 1e3;
abstol = 1e-10;
nu = 10;
maxiters = 100;
reltol = 1e-10;
2.4. PACOTES COMPUTACIONAIS 23
options=[Mbound,abstol,nu,maxiters,reltol];
///////////Dados
///////////DEFINE INITIAL GUESS AND PRELIMINARY CALCULATIONS BELOW
p_init=eye(A);
///////////
XLIST0=list(p_init)
XLIST=lmisolver(XLIST0,lyap_eval,options)
[p]=XLIST(:)
/////////////////EVALUATION FUNCTION////////////////////////////
function [LME,LMI,OBJ]=lyap_eval(XLIST)
[p]=XLIST(:)
/////////////////DEFINE LME, LMI and OBJ BELOW
LME=list()
LME(1)=p-p';
LMI=list()
LMI(1)=-(A'*p+p*A);
LMI(2)=p-eye(p);
OBJ=trace(p)
E a sa��da do programa �e
[p]=lyap(A)
Construction of canonical representation
Basis Construction
FEASIBILITY PHASE.
primal obj. dual obj. dual. gap
1.00e-05 -1.49e+03 1.49e+03
-1.25e+03 -1.49e+03 2.41e+02
Target value reached
feasible solution found
OPTIMIZATION PHASE.
OPTIMIZATION PHASE.
primal obj. dual obj. dual. gap
3.51e+03 -1.75e+02 3.69e+03
1.37e+02 -6.19e+00 1.43e+02
1.12e+01 -6.08e+00 1.73e+01
1.00e-00 -7.20e-01 1.72e+00
7.88e-02 -2.45e-01 3.24e-01
... .... ....
1.30e-08 -2.18e-08 3.48e-08
24 CAP
�
ITULO 2. ESTABILIDADE E PERFORMANCE DE SISTEMAS POR LMIS
1.27e-09 -1.70e-09 2.97e-09
optimal solution found
p =
! 1. 5.683E-10 !
! 5.683E-10 1. !
� Agora vamos analisar a estabilidade para o sistema incerto.
Tem-se que achar para que valores de �
i
, o sistema continua quadraticamente est�avel.
Como vimos no Cap��tulo 1, pode-se descrever as incertezas de duas formas, atrav�es da abordagem
polit�opica ou da Limitada em Norma. A solu�c~ao para a abordagem Politopica ser�a dada a seguir. O
caso de incertezas na forma Limitada em Norma �car�a como exerc��cio.
Abordagem Politopica
Considere que j�
1
j < � e j�
2
j < �.
O problema �e encontrar para que valores de � e � o sistema continua quadraticamente est�avel.
Veja que como tem-se 2 para^metros incertos, testa-se a LMI: A
0
P + PA < 0 para a combina�c~ao dos
v�ertices. Ou seja 2 para^metros incertos, tem-se 2
2
= 4 LMIs para serem resolvidas conjuntamente.
function [p]=lyappoli(a,b)
// Generated by lmitool on Mon Nov 10 16:19:05 EDT 1997
Mbound = 1e3;
abstol = 1e-10;
nu = 10;
maxiters = 100;
reltol = 1e-10;
options=[Mbound,abstol,nu,maxiters,reltol];
///////////Dados
A=list()
A(1)=[-1 1;1+a -2+b];
A(2)=[-1 1;1+a -2-b];
A(3)=[-1 1;1-a -2-b];
A(4)=[-1 1;1-a -2+b]
///////////DEFINE INITIAL GUESS AND PRELIMINARY CALCULATIONS BELOW
p_init=eye(A(1));
///////////
XLIST0=list(p_init)
XLIST=lmisolver(XLIST0,lyappoli_eval,options)
[p]=XLIST(:)
/////////////////EVALUATION FUNCTION////////////////////////////
function [LME,LMI,OBJ]=lyappoli_eval(XLIST)
[p]=XLIST(:)
/////////////////DEFINE LME, LMI and OBJ BELOW
LME=list()
LME(1)=p-p';
LMI=list()
LMI(1)=-(A(1)'*p+p*A(1));
LMI(2)=-(A(2)'*p+p*A(2));
LMI(3)=-(A(3)'*p+p*A(3));
LMI(4)=-(A(4)'*p+p*A(4));
LMI(5)=p-eye(p);
OBJ=trace(p)
2.5. NORMAS DE SISTEMAS 25
Assim obt�em-se
optimal solution found
p =
! 1.1783701 - 0.0151278 !
! - 0.0151278 1.001283 !
com � = 0:4 e � = 0:59.
444
Al�em do problema de an�alise da estabilidade, outro problema �e garantir que o sistema tenha algum tipo de
performance garantida. Esta classe de problemas pode ser tamb�em resolvida atrav�es de LMIs, como ser�a
visto na pr�oxima se�c~ao.
2.5 Normas de Sistemas
Um dos principais objetivos dos sistemas de controle �e o de atingir certas especi�ca�c~oes de performance al�em
de garantir a estabilidade interna. Certamente, uma medida da energia de determinados sinais de interesse
�e uma das maneiras mais utilizadas para atender os requisitos de performance, pois podemos ter uma id�eia
do grau de in
ue^ncia da perturba�c~ao externa sobre a sa��da de interesse (ou vari�avel de performance).
Relembrando que:
� as perturba�c~oes consistem de dist�urbios externos (temperatura ambiente, rajadas de vento, etc.) e
ru��dos de medi�c~ao,
� os componentes da vari�avel de performance s~ao todos os sinais os quais desejamos controlar ou que
forne�cam alguma informa�c~ao importante para a dina^mica do sistema (sinal de erro, sinal de controle,
etc.),
o objetivo nesta se�c~ao �e veri�car se a vari�avel de performance se mant�em pequena na presen�ca do sinal de
perturba�c~ao.
Considere a seguinte classe de sistemas LTI
(
_x = Ax+B
w
w
z = Cx+D
w
w
(2.34)
com x 2 R
n
denotando o vetor de estados, w 2 R
r
denotando o vetor das entradas de pertuba�c~ao e z 2 R
q
denotando o vetor das sa��das de interesse. Para este sistema o operador perturba�c~ao/sa��da de interesse
7
G
wz
�e dado por: G
wz
(s) = C(sI �A)
�1
B
w
+D
w
.
Portanto, a performance do sistema depende do tamanho do operador entre w(t) e z(t), que denotaremos
por G
wz
.
Uma quest~ao que se coloca �e: Como medir o tamanho do operador G
wz
?. As duas maneiras mais comuns e
com signi�cado f��sico para quanti�car o tamanho de sistemas s~ao as normas H
2
e H
1
. Na seque^ncia desta
se�c~ao, apresentamos as de�ni�c~oes de norma H
2
e H
1
para sistemas lineares invariantes no tempo (LTI).
Para tal, vamos primeiro de�nir a classe de sistemas a ser considerada nesta se�c~ao.
7
No caso monovari�avel �e a pr�opria fun�c~ao de transfere^ncia.
26 CAP
�
ITULO 2. ESTABILIDADE E PERFORMANCE DE SISTEMAS POR LMIS
2.5.1 Norma H
2
Quando as perturba�c~oes que afetam o sistema s~ao sinais de forma conhecida, �e poss��vel represent�a-las como a
sa��da de um sistema dina^mico excitado por um impulso, logo esta dina^mica pode ser incorporada ao operador
G
wz
(s). Desta forma, podemos considerar que o sistema G
wz
(s) �e excitado por sinais w(t) impulsionais e
de�nir a norma H
2
de G
wz
(s) como sendo a energia da resposta ao impulso que �e a energia do sinal de sa��da
z(t).
Observe que para esta de�ni�c~ao de norma H
2
, a energia de sa��da z(t) ser�a �nita se assumirmos que o sistema
(2.34) �e estritamente pr�oprio e est�avel, isto �e, a matriz A �e Hurwitz e D
w
� 0. Na seque^ncia formalizamos
este conceito de norma.
De�ni�c~ao 2.5.1 (Norma H
2
de Sistemas)
A norma H
2
do operador entrada/sa��da,G
wz
(s), �e de�nida como
kG
wz
k
2
=
s
Z
1
0
tra�co [g(t)
0
g(t)] dt (2.35)
onde g(t) �e a resposta impulsiva do sistema (2.34) com A Hurwitz, D
w
� 0 e g(t) = 0 para �1 < t < 0.
���
A normaH
2
de sistemas esta relacionada com a teoria de estabilidade de Lyapunov. Esta rela�c~ao nos permite
calcular a norma kG
wz
k
2
atrav�es de condi�c~oes LMI.
Considere a condi�c~ao de estabilidade (2.6) para sistemas LTI reescrita na seguinte maneira:
Dada uma matriz Q = Q
0
> 0 9 P = P
0
> 0 : A
0
P + PA = �Q (2.36)
A solu�c~ao da express~ao (2.36), conhecida como equa�c~ao de Lyapunov para sistemas lineares, �e dada por
8
:
P :=
Z
1
0
e
A
0
t
Qe
At
dt (2.37)
Na de�ni�c~ao (2.5.1) da norma H
2
, o operador entrada/sa��da tem a forma G
wz
(s) = C(sI � A)
�1
B
w
e sua
resposta impulsiva
9
�e dada por g(t) = Ce
At
B
w
. Ent~ao, podemos escrever que
kG
wz
k
2
2
=
Z
1
0
tra�co
h
B
0
w
e
A
0
t
C
0
Ce
At
B
w
i
dt = tra�co
�
B
0
w
�
Z
1
0
e
A
0
t
C
0
Ce
At
dt
�
B
w
�
Note que o termo
R
1
0
e
A
0
t
C
0
Ce
At
dt, conhecido como Gramiano de Observabilidade, �e uma solu�c~ao para a
equa�c~ao de Lyapunov (2.36) com Q = C
0
C � 0. Logo, podemos determinar a norma H
2
por:
kG
wz
k
2
2
= tra�co
h
B
0
w
P
o
B
w
i
(2.38)
onde P
o
�e a solu�c~ao da equa�c~ao A
0
P
o
+ P
o
A+ C
0
C = 0.
A comutatividade da fun�c~ao tra�co, isto �e: tra�co [h(t)
0
h(t)] = tra�co [h(t)h(t)
0
], nos permite calcular a vers~ao
Dual para a norma H
2
pelo Gramiano de controlabilidade, da seguinte maneira.
kG
wz
k
2
2
= tra�co
�
C
�
Z
1
0
e
At
B
w
B
0
w
e
A
0
t
dt
�
C
0
�
= tra�co [CP
c
C
0
] (2.39)
8
Veja maiores detalhes em [24].
9
Considerando condi�c~oes iniciais nulas.
2.5. NORMAS DE SISTEMAS 27
onde P
c
�e a solu�c~ao da equa�c~ao AP
c
+ P
c
A
0
+B
w
B
0
w
= 0.
A determina�c~ao da norma H
2
pode ser facilmente obtida atrav�es de um problema de otimiza�c~ao convexa.
Por exemplo, considerando o Gramiano de observabilidade, se P
o
satizfaz A
0
P
o
+ P
o
A + C
0
C = 0 e existe
uma matriz P = P
0
> 0 : A
0
P + PA + C
0
C < 0 ent~ao P > P
o
. Portanto, a norma H
2
pode ser calculada
mediante a resolu�c~ao do seguinte problema de otimiza�c~ao na forma LMI.
kG
wz
k
2
2
< min (tra�co [B
0
PB]) :
(
P = P
0
> 0
A
0
P + PA+ C
0
C < 0
(2.40)
onde a diferen�ca da estimativa da norma H
2
e o seu valor real �e t~ao pequena quanto se queira.
Exemplo 2.5.1 (Determina�c~ao da norma H
2
)
Determine a estabilidade e norma H
2
do seguinte sistema linear:
8
>
>
>
<
>
>
>
:
_x
1
= �2x
1
+�w
_x
2
= �3x
2
+ 2w
z
1
= x
1
z
2
= x
1
+ x
2
(2.41)
) Solu�c~ao:
Matrizes da representa�c~ao no espa�co de estados:
A =
�
�2 0
0 �3
�
; B
w
=
�
�1
2
�
; C =
�
1 0
1 1
�
Problema de otimiza�c~ao:
min tra�co
h
B
0
w
PB
w
i
:
(
P = P
0
> 0
A
0
P + PA+ C
0
C < 0
-->P
P =
! .5000000 .2 !
! .2 .1666667 !
-->sqrt(h) // Norma H2
ans =
.6055301
444
Custo Garantido
A seguir �e apresentada uma interpreta�c~ao alternativa da norma H
2
que pode ser aplicada a sistemas n~ao
lineares. Considere o sistema
_x = Ax; x(0) = x
0
z = Cx
(2.42)
28 CAP
�
ITULO 2. ESTABILIDADE E PERFORMANCE DE SISTEMAS POR LMIS
onde x 2 R
n
�e o vetor de estados, z 2 R
q
representa a sa��da de desempenho, para uma dada condi�c~ao x
0
.
Deseja-se analisar a energia da resposta do sistema dado um estado inicial x
0
. Ou seja, deseja-se encontrar
a constante J , dada por
J =
Z
1
0
z
0
zdt
e conhecida como Custo Garantido.
Para tal, suponha que exista uma fun�c~ao de Lyapunov quadr�atica v(�) = �
0
P� tal que:
P > 0
_v(x) � �z
0
z (2.43)
para todo x e z satisfazendo (2.42). Integrando ambos os lados da inequa�c~ao (2.43) de 0 a T tem-se
v(x(T ))� V (x(0)) � �
Z
T
0
z
0
zdt:
para todo T � 0. Como v(x(T )) � 0, pode-se concluir que V (x(0)) = x
0
0
Px
0
� J , portanto V (x(0)) �e um
limitante superior para a energia da sa��da z para a condi�c~ao inicial x
0
. As condi�c~oes x
0
0
Px
0
� J e (2.43)
podem ser descritas na seguinte forma LMI
x
0
0
Px
0
� J;
�
A
0
P + PA C
0
C �I
�
< 0 (2.44)
Note que (2.44) e (2.40) s~ao express~oes semelhantes e coincidem quando B
w
= x
0
, o que �e poss��vel quando
w 2 R, ou seja, tem-se apenas uma entrada no sistema (2.34). Para que as express~oes sejam inde^nticas no
caso geral deve-se rede�nir a fun�c~ao custo como sendo
J
0
=
r
X
i=1
Z
1
0
z
0
i
z
i
dt
onde r �e o n�umero de entradas em (2.34) e z
i
�e a resposta de (2.34) para a condi�c~ao inicial
x
0
i
= B
w
i
sendo B
w
i
a i-�esima coluna da matriz de entrada B
w
. Em outras palavras,
w =
2
6
4
w
i
.
.
.
w
r
3
7
5
B
w
=
�
B
w
i
: : : B
w
r
�
e note que B
w
w =
P
r
i=1
B
w
i
w
i
. Por linearidade e superposi�c~ao pode-se determinar a resposta z
i
para cada
entrada w
i
. Calculando a energia de cada resposta z
i
com (2.44). Pode-se, assim, calcular J
0
somando a
energia dos resultados individuais obtidos. Note ainda que
J
0
�
r
X
i=1
x
0
0
i
Px
0
i
=
r
X
i=1
B
0
w
i
PB
w
i
= Tr(B
0
w
PB
w
)
e portanto J
0
� Tr[N ] j�a que N > B
0
w
PB
w
. Assim, para sistemas lineares o crit�erio H
2
na forma convexa �e
equivalente ao custo garantido J
0
, obtido apartir de uma escolha adequada das condi�c~oes iniciais do problema.
Considere agora a condi�c~ao inicial
2.5. NORMAS DE SISTEMAS 29
x
0
R
=
r
X
i=1
x
0
i
=
r
X
i=1
B
w
i
e de�na z
R
como a resposta do sistema para esta condi�c~ao inicial. Por linearidade e superposi�c~ao pode-se
deduzir que o crit�erio J calculado para x
0
R
satisfaz a seguinte rela�c~ao J � J
0
.
Para o caso estoc�astico pode-se supor que a condi�c~ao inicial x
0
�e uma vari�avel aleat�oria com m�edia nula e
varia^nciaE[x
0
x
0
0
] = B
w
B
0
w
. Assim, pode-se usar este mesmo procedimento para o c�alculo do custo garantido,
neste caso limita-se a energia da varia^ncia do sinal de sa��da z em rela�c~ao �a x
0
[25].
2.5.2 Norma H
1
A norma H
1
est�a associada ao maior ganho que pode existir de alguma das entradas para alguma das sa��das,
ao longo de todo o espectro de sinais, isto �e, ela quanti�ca o maior acr�escimo de energia que pode ocorrer
entre as entradas e sa��das de um determinado sistema. A seguir, apresentamos uma de�ni�c~ao mais formal,
em termo do ganho L
2
de sistemas que coincide com a norma H
1
no caso linear.
De�ni�c~ao 2.5.2 (Norma H
1
)
Considere o sistema (2.34). A norma H
1
do operador entrada/sa��da, Gwz
(s), �e o valor supremo entre a
energia dos sinais de sa��da e entrada, para todo w de energia limitada.
kG
wz
k
1
= sup
kzk
2
kwk
2
kwk
2
6= 0 (2.45)
onde o supremo �e calculado para todas as trajet�orias n~ao nulas do sistema (2.34) com x(0) = 0.
���
No caso escalar a norma H
1
de um sistema LTI coincide com o m�aximo ganho da fun�c~ao de transfere^ncia
G
wz
(s) em todo o espectro de freque^ncias. Isto decorre do teorema de Parseval.
Da mesma forma que no caso H
2
, utilizaremos a teoria de Lyapunov para determinarmos numericamente o
valor da norma H
1
de sistemas.
Considere que existam uma fun�c~ao de Lyapunov quadr�atica, v(x) = x
0
Px, para o sistema (2.34) e um escalar
 > 0 tal que
_v(x) + z
0
z � 
2
w
0
w < 0 (2.46)
Integrando a express~ao a express~ao acima de 0 a T , com x(0) = 0, temos que:
v(x(T )) +
Z
T
0
(z
0
z � 
2
w
0
w)dt < 0
visto que v(x(T )) � 0, isto implica em
 �
kzk
2
kwk
2
Isto �e, o valor m��nimo de 
 que satisfaz (2.46) �e a norma H
1
do sistema (2.34).
Visto que _v(x) = x
0
(A
0
P + PA)x+ 2w
0
B
0
w
Px e z = Cx +D
w
w, a express~ao (2.46) torna-se:
x
0
(A
0
P + PA+ C
0
C)x+ 2w
0
(B
0
w
P +D
0
w
C)x+ w
0
(D
0
w
D
w
� 
2
I
r
)w < 0
30 CAP
�
ITULO 2. ESTABILIDADE E PERFORMANCE DE SISTEMAS POR LMIS
A express~ao acima em termos do vetor auxiliar
�
x w
�
0
pode ser reescrita na seguinte maneira:
�
x
w
�
0
�
A
0
P + PA+ C
0
C PB
w
+ C
0
D
w
B
0
w
P +D
0
w
C D
0
w
D
w
� 
2
I
r
� �
x
w
�
< 0
Logo, podemos determinar a norma H
1
pelo seguinte problema de otimiza�c~ao.
min 
2
:
8
>
<
>
:
P = P
0
> 0
"
A
0
P + PA+ C
0
C PB
w
+ C
0
D
w
B
0
w
P +D
0
w
C D
0
w
D
w
� 
2
I
#
< 0
(2.47)
Exemplo 2.5.2 Determine a estabilidade e, se poss��vel, a norma H
1
do seguinte sistema LTI.
2
6
6
4
_x
1
_x
2
_x
3
_x
4
3
7
7
5
=
2
6
6
4
0 0 1 0
0 0 0 1
�1 1 �0:2 0:2
0:5 �2:5 0:1 �0:15
3
7
7
5
2
6
6
4
x
1
x
2
x
3
x
4
3
7
7
5
+
2
6
6
4
0 0
0 0
1 0
0 0:5
3
7
7
5
�
w
1
w
2
�
�
z
1
z
2
�
=
�
1 0 0 0
0 1 0 0
�
2
6
6
4
x
1
x
2
x
3
x
4
3
7
7
5
) Solu�c~ao:
A condi�c~ao (2.47) para determinar a norma H
1
j�a pressup~oe a estabilidade do sistema, portanto se existir
a norma H
1
o sistema ser�a est�avel.
Observe que para este sistema D
w
= 0 e r = 2 (n�umero de entradas de perturba�c~ao). Aplicando os valores
num�ericos do exemplo, no problema de otimiza�c~ao (2.47), obtemos os seguintes valores.
-->P
P =
! 37.984518 - 99.050459 4.3028045 4.8463528 !
! - 99.050459 368.14477 - 17.362734 .0152050 !
! 4.3028045 - 17.362734 22.933598 - 30.652182 !
! 4.8463528 .0152050 - 30.652182 134.78685 !
-->sqrt(hinf) // Norma H_inf
ans =
11.470397
444
2.6 Atividades
1. Considere o exemplo (2.2.1). Prove que as condi�c~oes (2.6) s~ao equivalentes as do corol�ario (2.2.1).
2. Mostre que a estabilidade quadr�atica implica em estabilidade exponencial.
2.6. ATIVIDADES 31
3. Veri�que nas refere^ncias [9, 10, 11, 12, 13, 14] quais s~ao os sistemas que admitem a representa�c~ao LPV.
4. Mostre que as condi�c~oes para estabilidade quadr�atica de sistemas LPV, apresentadas no exemplo
(2.2.3), s~ao equivalentes as do corol�ario (2.2.1).
5. Determine uma regi~ao polit�opica B
�
na qual o sistema apresentado no exemplo 2, se�c~ao (1.2), seja ex-
ponencialmente est�avel. Utilize o resultado apresentado no exemplo (2.2.3). Lembre-se da convexidade
do conjunto solu�c~ao de uma LMI.
6. Determinar a estabilidade quadr�atica do sistema linear incerto da �gura (1.6) n~ao for�cado (u � 0) com
incerteza limitada em norma. Utilize o resultado apresentado na t�ecnica do DG-Scaling. Considere os
seguintes valores num�ericos: m = 10 kg, k
0
= 2 kg/s
2
e c
0
= 1 kg/s.
7. Para o exemplo apresentado na se�c~ao 2.4, analise a estabilidade do sistema supondo que as incertezas
est~ao descritas na forma Limitada em Norma. Compare com o resultado dado para o caso de incertezas
na forma Polit�opica.
8. Para o mesmo exemplo, calcule o valor aproximado do n�umero de opera�c~oes necess�arias para solucionar
o problema nos tre^s casos:
� Sistema Nominal
� Abordagem Politopica
� Abordagen Limitada em Norma
Repita o calculo supondo que agora tenha 3 para^metros incertos em vez de 2. Compare os resultados.
9. A de�ni�c~ao (2.5.1) de normaH
2
n~ao �e usual. Em geral ela �e de�nida no espa�co frequencial pela seguinte
de�ni�c~ao:
kG
wz
k
2
=
s
1
2�
Z
1
0
tra�co [G
�
wz
(j!)G
wz
(j!)] d!
onde G
�
wz
(j!) �e o complexo conjugado transposto de G
wz
(j!). Mostre que as duas de�ni�c~oes s~ao
equivalentes (Teorema de Parseval).
10. Demonstre o resultado apresentado na equa�c~ao (2.39).
11. Determine uma formula�c~ao LMI para o c�alculo da norma H
2
de sistemas LTI utilizando o Gramiano
de controlabilidade.
12. Obtenha uma formula�c~ao LMI, utilizando o Gramiano de observabilidade e controlabilidade, para
estimar a norma H
2
do seguinte sistema incerto:
(
_x = A(�)x +B
w
(�)w
z = C(�)x
onde as matrizes A(�), B
w
(�) e C(�) s~ao a�ns no para^metro incerto � 2 B
�
. Lembre-se que n~ao
podemos aplicar diretamente as condi�c~oes (2.40) para sistemas LTI devido ao termo quadr�atico em �
(C(�)
0
C(�))
10
.
13. A de�ni�c~ao da norma H
1
em termos do ganho L
2
n~ao �e usual para sistemas lineares. Em geral, ela
tem a seguinte de�ni�c~ao
kG
wz
k
1
= sup �
max
[G
wz
(j!)]
!
onde �
max
�e o valor singular m�aximo de G
wz
(j!). Mostre que estas duas de�ni�c~oes de norma s~ao
equivalentes para sistemas LTI.
14. Obtenha uma vers~ao para a determina�c~ao da norma H
1
para sistemas LTI em termos de uma matriz
Q = P
�1
similar ao caso H
2
. Esta vers~ao �as vezes �e denominada de vers~ao Dual.
10
Dica: utilize o complemento de Schur.
32 CAP
�
ITULO 2. ESTABILIDADE E PERFORMANCE DE SISTEMAS POR LMIS
15. Obtenha as formula�c~oes em termos de P e Q, para estimar a norma H
1
do seguinte sistema incerto:
(
_x = A(�)x +B
w
(�)w
z = C(�)x+D(�)w
onde as matrizes A(�), B
w
(�), C(�), D(�) s~ao a�ns no para^metro incerto � 2 B
�
. Lembre-se que n~ao
podemos aplicar diretamente as condi�c~oes (2.47) para sistemas LTI devido aos termos quadr�aticos em
� (C(�)
0
C(�) e D(�)
0
D(�)).
16. Considere um sistema meca^nico massa-mola-amortecedor, onde a massa m e o coe�ciente de amorte-
cimento c s~ao variantes no tempo e limitados, com a seguinte representa�c~ao no espa�co de estados.
�
_x
1
_x
2
�
=
�
0 1
�2 �(0:5 + 0:2�
1
)
� �
x
1
x
2
�
+
�
0
(1 + 0:2�
2
)
�
w
z =
�
0 1
�
�
x
1
x
2
�
onde �
1
, �
2
2 B
�
= f�1; 1g.
Determine as normas H
2
e H
1
, nas formula�c~oes Primal e Dual. Compare os resultados. Note que os
valores obtidos para as duas vers~oes s~ao diferentes. Por que?
2.7 Refere^ncias Complementares
Na an�alise de estabilidade segundo Lyapunov,