CALCULO III LISTA EXERCICIOS 3 (EDO 1ªordem e aplicacoes) 20181

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UNIVERSIDADE SALVADOR 
Disciplina: Cálculo III 
Semestre: 2018.1 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 3 
Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª ordem e Aplicações 
 
 
Introdução de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) 
 
1. Verifique se as funções abaixo dependentes de constantes arbitrárias satisfazem às equações diferenciais 
ao lado. 
 
Funções Equações Diferenciais 
(a) � = ����� �� + 3� = 0 
(b) � = � ∙ cos	(�) �� + � ∙ tan(�) 
(c) � = �� cos(3�) + �� sen(3�) �" + 9� = 0 
(d) � = ��� ��� = � 
(e) � = �� + ��� + �� �" = �� 
 
 
Método de Resolução de EDO: Por Separação de Variáveis 
 
2. Resolva as seguintes equações diferenciais a variáveis separáveis: 
 
(a) �� + � = 1 
(h) 
���� = ����� !��� � (0) 2�(� + 1) + #� = �#� 
(b)	��� = 3� (i) tan(�) �� = � (p) �� − %�&��� ��� ' %���(� ' = 0 
 
c) �� = −2�� (J) tan(�) )�*�(�)#� + +,)�(�) ∙ +,-.(�)#� = 0 (q) (� + ���)#� + (� + ���)#� = 0 
(d) �� ���/ − - − -� = 0 (k) 3�� ∙ tan(�) #� + (1 − ��))�+�(�)#� = 0 (r) �� = � − 1 + �� − � 
(e) 2 �0�/ + 0� = 4 (l) ���� = 1 − �� (s) (� + 1)#� − (� + 6)#� = 0 
(f) 
�� #� − sen(��) #� = 0 (m) ��#� = 2�#� (t) ���� − ��� = � 
(g) 
���� = ���� (n) �3�/ = 2 + 24 + - + -4 
 
 
 
EAETI 
Escola de Engenharia, 
Arquitetura e 
Tecnologia da Informação 
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3. Para as equações diferenciais a seguir determine as soluções particulares que satisfazem as condições 
iniciais. 
 
(a) ��� = 2�; 			�(−2) = 1 (d) ��)�*(�) = �6*(�); 				� %7�' = � 
(b) (1 + ��)��� = ��; 		�(0) = 1 
 
(e) (√1 − ��) ���� + �� = 0; 		�(1) = 1 
(c)(��� + �)#� + (��� − �)#� = 0; 		�(2) = 1 
 
(f) �)�*(�)#� + (�� + 1)	�9:;	(�)#� = 0; 		� %7�' = 1	
 
 
APLICAÇÕES - Método Por Separação de Variáveis 
 
Decaimento Radioativo 
 
O núcleo de um átomo é constituído por combinações de prótons e nêutrons e muitas dessas combinações 
são instáveis. Em muitos casos os átomos decaem e se transformam em átomos de outra substância e os 
núcleos são chamados de radioativos. Para modelar um decaimento radioativo vamos supor que a taxa 
segundo a qual o núcleo de uma substância decai é proporcional à quantidade de substância presente. 
Supondo que <(-) é a quantidade de substância presente no instante t, temos que �=�/ = ><, sendo > 
uma constante. A meia-vida de uma substância radiativa é o tempo que ela leva para chegar à metade do 
valor inicial. Veja na tabela a seguir alguns exemplos: 
 
 
Substância Meia-vida 
Polônio 218 2 min 45 segundos 
Polônio 214 1,64 x 10 −4 segundos 
Rádio 226 1620 anos 
Rádio 228 6,7 anos 
Rádio 223 11,68 dias 
Rádio 224 3,64 dias 
Estrôncio 90 28 anos 
 
4. Resolva a equação 
�=�/ = ><, supondo que <(0) = <?. Mostre que se a meia vida de uma substância 
radioativa é -@, então > = AB�/C . 
 
5. Depois de três dias uma amostra de radônio-222 decaiu para 58% da sua quantidade original. Com base 
nesses dados, determine a meia-vida do radônio-222. 
 
6. Suponha que um acidente nuclear tenha elevado o nível de radiação por cobalto, em uma certa região, a 
100 vezes o nível aceito para a habitação humana, isto é, <? = 100<D, sendo <D o nível aceito para a 
habitação humana. Ignorando a presença provável de outros elementos radioativos, determine quanto 
tempo deverá passar para que a região seja novamente habitável, sabendo que a meia-vida do cobalto 
radioativo é 5,27 anos. 
 
 
 
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Datação por Rádio Carbono 
 
Uma importante ferramenta na pesquisa arqueológica é a determinação da idade por radio carbono. Este é 
o modo de determinar a idade de certos restos de madeira, plantas, ossos humanos ou de animais, 
artefatos, etc. O procedimento foi desenvolvido pelo químico W. Libby (1908-1980) no início dos anos 50 e 
isso lhe deu o prêmio Nobel de Química em 1960. A determinação de idade por radio carbono está baseada 
no fato de que alguns restos de madeira ou plantas contém quantidades residuais de carbono 14 – C14, 
isótopo radioativo de carbono. Este isótopo é acumulado durante a vida da planta e começa a decair com a 
sua morte. Uma vez que a meia vida do carbono 14 é longa (aproximadamente 5745 anos), quantidades 
mensuráveis de carbono 14 estão presentes após milhares de anos. Libby mostrou que se aproximadamente 
0,002 ou mais da quantidade original de carbono 14 ainda está presente, então pode-se determinar 
precisamente a proporção de quantidade original de carbono 14 que resta, por dosagem de laboratório 
adequada. 
 
7. Suponha que se descubram certos restos arqueológicos em que a quantidade residual de carbono 14 seja 
de 20% da quantidade original. Determine a idade desses restos. 
 
8. Em 1988 o Vaticano autorizou o Museu Britânico a datar a relíquia de pano conhecida como o Sudário de 
Turim, possivelmente o sudário de Jesus de Nazaré. Este pano que apareceu em 1356 contém o negativo da 
imagem de um corpo humano que se acreditava no mundo inteiro ser o de Jesus Cristo. O relatório do 
Museu Britânico mostrou que as fibras no pano continham aproximadamente 92% do carbono original. 
Estime a idade do sudário. 
 
9. Numa caverna da França, famosa pelas pinturas pré-históricas, foram encontrados pedaços de carvão 
vegetal nos quais a radioatividade do C14 era 0,145 vezes a radioatividade normalmente encontrada num 
pedaço de carvão feito hoje. Calcule a idade do carvão encontrado e com isto dê uma estimativa para a 
época em que as pinturas foram feitas. 
 
Lei do Resfriamento de Newton 
 
Conhecemos de observações experimentais, que a temperatura superficial de um objeto varia numa taxa 
proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do meio ambiente. Esta é a lei do resfriamento 
de Newton. Portanto, se T(t) é a temperatura do objeto no tempo t e aT é a temperatura ambiente 
constante, temos a relação ( ) , adT k T T kdt = − ∈ℜ depende do material de que é constituída a superfície 
do objeto. 
 
10. Considere uma substância posta numa corrente de ar. Sendo a temperatura do ar 30oC e resfriando a 
substância de 100oC para 70oC em 15 minutos, encontre o momento em que a temperatura da substância 
será de 40oC. 
 
11. O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto. O perito da polícia chegou à 1:00h da madrugada 
e, imediatamente, tomou a temperatura do cadáver, que era de 34,8oC. Uma hora mais tarde ele tomou 
novamente a temperatura e encontrou 34,1oC. A temperatura do quarto onde se encontrava a vítima era 
constante a 20oC. Use a lei do resfriamento de Newton para estimar a hora em que se deu a morte, 
admitindo que a temperatura normal de uma pessoa viva é 36,5oC. 
 
12. Um termômetro é retirado de uma sala e colocado do lado de fora em que a temperatura é de 10°C. 
Depois de 1 minuto a leitura do termômetro é de 15°C e após 2 minutos 12°C. Use a “Lei do resfriamento de 
Newton” para determinar qual a temperatura da sala onde se encontrava o termômetro inicialmente. 
 
4 
 
13. Um objeto com temperatura desconhecida é colocado em um quarto que é mantido à temperatura 
constante igual a 20°C. Se, após 10 minutos, a temperatura do objeto é de 30°C e após 20 minutos a 
temperatura é de 25°C, determine a temperatura inicial do corpo, supondo válida a Lei do Resfriamento de 
Newton. 
 
 
Problema de Mistura 
 
Consideremos um tanque com uma solução (soluto + solvente) (por exemplo, sal e água) de volume inicial E?, com fluxo de entrada e saída. Mantendo-se essa solução uniformemente misturada vamos calcular a 
quantidade Q(t) de soluto no tanque no instante t. A variação da quantidade de soluto no tanque é obtida 
pela diferença entre a quantidade de soluto que entra e que sai do tanque. Por outro lado, se E(-)	é o 
volume no instantet, temos que: 
�=�/ = �=�F ∙ �F�/ , em que �=�F é a variação da concentração e �F�/ 	é a taxa 
de variação do volume, ou seja, a vazão. 
 
Assim, 
�=�/ = �=�F ∙ �F�/ é igual a concentração x vazão. Logo, se há um fluxo de entrada e saída temos: 
 
�=�/ = �GEG − �HEH , em que: I�G − +,*+�*-JKçã,	#�	�*-JK#KEG − NKOã,	#�	�*-JK#K�H − +,*+�*-JKçã,	#�	)Kí#KEH − NKOã,	#�	)Kí#K Q. 
 
Como 		�H = �=F(/) = =(/)FR	�	FS	/�	FT	/ , 
 
em que E? 	+ 	EG	- − 	EH	- = N,64U�	V*V+VK6 + N,64U�	W4�	�*-JK − N,64U�	W4�	)KV. 
 
A equação final fica: 
�=�/ = �GEG − =(/)FR�FS/�FT/ ∙ EH . 
 
 
Se a vazão de entrada for igual à vazão de saída ou a concentração de entrada for zero então a equação 
acima é de variáveis separáveis. 
 
14. Um tanque de 400 litros enche-se com uma solução de 60kg de sal em água. Depois faz-se entrar água 
nesse tanque à razão de 8L/min e a mistura, mantida homogênea por agitação, sai na mesma razão. Qual a 
quantidade de sal existente no tanque ao fim de 1 hora? 
 
15. Um tanque com capacidade de 1000 galões contém, inicialmente, 500 galões de água poluída com 100 
galões de poluentes. No instante t = 0, água pura é acrescentada a uma taxa de 10 galões por minuto e a 
solução misturada é drenada a uma taxa de 5 galões por minuto. Determine quanto poluente haverá no 
tanque no instante do transbordamento. 
 
16. Uma solução de 60kg de sal em água enche um tanque de 400L. Outra solução em que cada 5L contém 
1kg de sal é lançada no tanque a uma razão de 10L/min e a mistura, mantida homogênea por agitação, sai na 
razão de 15L/min. Ache a quantidade de sal existente no tanque ao fim de 1 hora. 
 
17. Um reservatório de 500 galões contém inicialmente 100 galões de água fresca. Começando no instante t 
= 0 escoa para o reservatório água contendo 50% de poluidores, à taxa de 2 gal/min e a mistura bem agitada 
deixa-o à taxa de 1 gal/min. Determine a concentração de poluidores no reservatório no instante do 
transbordamento. 
5 
 
18. Uma bebida contendo 5% de álcool por litro é bombeada em um tonel que contém inicialmente 200 
litros de bebida com 10% de álcool. A taxa de bombeamento é de 2 litros por minuto, enquanto o líquido 
misturado é drenado a uma taxa de 3 litros por minuto. Determine: 
 
(a) Quantos litros de álcool Q(t) há no tanque num instante t qualquer? 
(b) Quando o tanque estará vazio? 
 
 
Equações Diferenciais Exatas 
 
19. Verifique se as equações a seguir são exatas ou não exatas. Para as equações exatas, encontre a 
solução. 
 
(a) �� = ���!������ (b) (2��� + 2�) + (2��� + 2�)�� = 0 
 (b) 
���� = ��	HGB(�)�GYHGB(�)GY 9:;(�)�� 9:;(�) (d) (��)�*(�) + 3�)#� − (3� − ��)�*(�)#� = 0 
(e) (�6*(�) + ��)#� + (�6*(�) + ��)#� = 0 (f) %�� + 6�'#� + (ln(�) − 2)#� = 0 
(g) (3�� − 2�� + 2)#� + (6�� − �� + 3)#� = 0 (h) (��� + �)#� + (� + ���)#� = 0 
 
20. Encontre o valor da constante b para que as equações a seguir sejam exatas e resolva a equação com o 
valor de b encontrado. 
 
(a) (��� + [���)#� + (� + �)��#� = 0 (b) (����� + �)#� + [�����#� = 0 
 
21. Mostre que as equações a seguir não são exatas, mas se tornam exatas quando multiplicadas 
pelo fator )y,x(λ Resolva as equações exatas assim obtidas. 
 
(a) ���� + �(1 + ��)�� = 0; \(�, �) = ���( 
 (b) %HGB(�)� − 2��� ∙ )�*(�)' #� + %9:;(�)��G^Y9:;	(�)� ' #� = 0; 				\(�, �) = ��� 
Observação: A função \(�, �) é chamada de fator integrante ou fator de integração para a 
equação. 
Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem 
 
22. Uma equação diferencial linear de 1a ordem se escreve na forma 
���� + a(x)y = f(x). Verifique quais das 
seguintes equações são lineares, identificando as funções a(x)	e f(x) e resolva as equações lineares 
 
(a) �� + ��� = ���� (b) �� + 2� = 2�� (c) ��� + � + 4 = 0 
(d) ��� = �� + )�*(�) (e) (� − )�*(�)#� + �#� = 0 (f) �� − 4� = 2� − 4�� 
 
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Miscelânea 
23. Resolva as equações a seguir que podem ser: variáveis separáveis, exatas ou lineares. 
 
(a) �� = � − 1 + �� − � (b) ���� − ��� = � 
(c) (�)�*(�) − tan(�))#� + (1 − cos(�))#� = 0 (d) ��� + � = 2� + �� 
(e) (2�� + 1)#� + (�� + 4�)#� = 0; 		�(1) = 1 (f) �� − �� = � − 2,					�(�) = 0 
 
APLICAÇÕES – Equações Diferenciais Lineares 1ª ordem 
 
A 2ª Lei de Newton: Movimento de Queda Livre 
 
Consideremos um corpo de massa m em queda vertical influenciada apenas pela gravidade g e pela 
resistência do ar proporcional à velocidade do corpo. Admitamos que tanto a gravidade como a massa 
permaneçam constantes e, por conveniência, escolhemos o sentido “para baixo” como sentido positivo. 
 
De acordo com a Segunda Lei de Newton do Movimento, a força resultante que atua sobre o corpo é b = U �c�/ , em que v é a velocidade do corpo, no instante t. 
 
Neste modelo, há duas forças atuando sobre o corpo: 
 
(1) A força devido à gravidade, dada pelo peso do corpo que é igual a mg. 
(2) A força devido à resistência do ar, dada por kv, onde 0≥k é uma constante de proporcionalidade. 
 
O sinal negativo se torna necessário por que a força se opõe à velocidade; isto é, atua no sentido “para 
cima”, ou seja, no sentido negativo. Desta forma, a força resultante é b = U. − >N. Obtemos então: 
 U. − >N = U �c�/ ou �c�/ + d@ N = . 
 
como equação diferencial do movimento do corpo. 
 
24. Lança-se uma pedra do solo, verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 20m/s. Considere 
nula a resistência do ar e g=10m/s. Observe que, neste caso, usaremos a equação 
gdt
dv
−= (Justifique!) 
 
(a) Quanto tempo levará e qual será sua velocidade quando a pedra atingir novamente o solo? 
(b) Quanto tempo levará a pedra para atingir altura máxima e qual será essa altura? 
 
25. Um paraquedista, pesando 70 kg, salta de um avião e abre o paraquedas após 10 segundos. Antes da 
abertura do paraquedas, o seu coeficiente de atrito é >Hef = 5	>./), depois é >ief = 100	>./). 
 
(a) Qual a velocidade do paraquedista no instante em que se abre o paraquedas? 
(b) Qual a distância percorrida em queda livre? 
(c) Qual a velocidade mínima que o paraquedista poderá atingir após a abertura do paraquedas? 
 (jV+K:	N@0B = lim/→o N(-)). 
 
 
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Circuitos Elétricos 
 
 
Se i(t) é a corrente elétrica em um circuito em série RC, então a queda de voltagem através do , resistor e 
capacitor é apresentada no quadro abaixo: 
 
 RESISTOR CAPACITOR 
 Resistência: R ohms Capacitância: C farads 
Queda de voltagem VR 1� 	q 
 
Pela 2a Lei de Kirchoff, a soma dessas voltagens é igual à voltagem E(t) impressa no circuito, isto é, 
 
1 ( )Ri q E t
C
+ = ( I ) 
Por outro lado, a carga q(t) no capacitor está relacionada com a corrente i(t) por 
dqi
dt
= ( 1 ) 
 
Para um circuito do tipo RC consistindo de uma resistência R, um capacitor C (em farads), uma força 
eletromotriz E, a equação que rege a quantidade de carga elétrica q (em coulombs) no capacitor é: 
 
1dq Eq
dt RC R
+ = (2) 
 
Observe, que no caso em que a força eletromotriz E(t) é constante a equação (2) é uma equação por 
variáveis separáveis. Caso contrário, é uma equação diferencial linear de 1ª ordem. 
 
26. Um circuito RC tem força eletromotriz, r(-), de 5 volts, resistência de 10 ohms, capacitância de 10-2 
farads e inicialmente uma carga de 5 coulombs no capacitor. Determine a carga no capacitor num instante 
qualquer. 
 
27. Suponha num circuito s�, em que s = 20	,ℎU), � = 0,01	uKJK#, r(-)	decaindo exponencialmente, 
ou seja, r(-) = 60���/	N,6-) e W(0) = 0.	Determine: 
 
(a) W(-) 
(b) O instante em que W(-) atinge um máximo e a carga máxima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
Respostas 
 
1.a) sim. b) sim. c) sim. d) sim. e) não. f) sim 
2. a) y = 1 − Ce−x. b) x3 = Cy. c) 
2xy Ce−= d) 
2 4
2 4
y t te C= + + . e) / 48 ti Ce−= − 
 
f) y2 + cos(x2) = C. g) 
01Cee yyx
=+++ . h) 2 + y2 = C ( 4 + x2 ) i) y = C sen(x) 
 
j) tg2(x) −cotg2(y) = C k) ( ) ( )31 xe Ctg y− = l) ( )2 2 2lny x x C= − + m) 2 2x xy xe e C− −= − − + 
 
n ) 2 ln(1+u) = 4t + t2 + C 0) C1xlnxy2 ++−= p) 4 arctgy = x4 −4x2 +4lnx + C 
 
q) (1+y2) = C(1+x2)–1 r) ln( 1+y)2 = x2 −2x + C s) C1xln5xy +++= t) lny = −1/x + x + C 
3. a) y = x2/4. b) ( )22 ln 14 x
ey e = + 
 
 c) (x2 −1)(y2 +1) = 6. d) lny = cossecx – cotgx 
 e) ( )21 12 2arcsen xy
pi−
= + . f) ( ) ( )cos 22 2ln 3xe y y− + + = . 
4. ( ) ktoQ t Q e= 5. a) Aproximadamente 3,8 dias. b) 694 6. (5,27) ln100 35ln 2t anos= ≅ 
7. 
( )ln 2
5745
k
−
= ; ( )
( )ln 2
5745 t
oQ t Q e
 
 
 
 
−
= 
( )
( ) ( )
ln 5
5745
ln 2
t anos= 8. Aproximadamente 604 anos 
9.
( )
( )
ln 0,145
.5745
ln 2
t = − (aproximadamente 16000 anos atrás) 10 . t ≈ 52 min 11. t ≅ 2,24 horas 
12. 22,5° 13. 40 °C 14. Q = 60 e−6/5 kg 15. 50 galões 16. Q = 315/16 kg 
18. a) 
3
3
200 10( ) (200 )
20 (200)
tQ t t−= + − b) Após 200 minutos 
19. a) não é exata b) x2y2 +2xy = C; c) ex seny +2ycosx = C d) e e) não são exatas 
 
f) ylnx+3x2 –2y = C g) x3 − x2y +2x +2y3 + 3y = C h) xex −ex + xy + yey −ey = C 
 
20. a) b = 3; x2y2 + 2x3y = C b) b = 1; e2xy + x2 = C 
21. a) x2 + lny2 − y−2 = C b) exseny +2ycosx = C 
22. a) não é linear b) y = (2/3)
2xx Cee
−+ c) y = 
4x
C
− d) não é linear e) 
C cosxy
x
−
= f) y = x2+Ce4x 
23. a) ln(1+y)2 = x2 – 2x + C b) lny = −1/x + x + C c) y – ycosx + ln(cosx) = C 
 d) y = ( 1/x) (x2 + ex + C) e) 04y2xyx 22 =−++ f) x)e2(xlnx2xy 2 −+−= 
24. (a) t = 4s; v = −20m/s; (b) t = 2s; smax = 20m. 
25. (a) 70 m/s (b) 392 m (c) 6,86 m/s 
26. 
101 99( )
20 20
tq t e−= + coulombs 
27. a) q(t) = e−2t − e−5t b) 
ln(5 / 2)
3
t = e a carga máxima é 
2 /33 2
5 5
q  =  
 
coulombs