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1 UNIVERSIDADE SALVADOR Disciplina: Cálculo III Semestre: 2018.1 LISTA DE EXERCÍCIOS Integral Dupla e Aplicações Integrais Duplas em Regiões Retangulares 1. Calcule ∬ ���, �� � , sendo: ������, �� = � ∙ ���; � = ���, �� ∈ ℛ�/ 1 ≤ � ≤ 3 � 0 ≤ � ≤ 1� (b) ���, �� = � cos���� ; � = ���, �� ∈ ℛ�/ 0 ≤ � ≤ 2 � 0 ≤ � ≤ 2"� (c) ���, �� = � ln �x�; � = ���, �� ∈ ℛ�/ 1 ≤ � ≤ 3 � 0 ≤ � ≤ 1� (d) ���, �� = � &' ���� ; � = ���, �� ∈ ℛ �/ 1 ≤ � ≤ 2 � − 1 ≤ � ≤ 1� Integrais Duplas em Regiões Genéricas 2. Esboce a região de integração e calcule as seguintes integrais: (a) ) ) �2� + 4�� � ���� , - (b) ) ) ���� + �� � � � .� � - (c) ) ) � � � , &' ��� / , (d) ) ) � � �0,.� 1 - , - (e) ) ) � � � √3.�1 √,.�1 , ., (f) ) ) ��� − 2��� � � |�| ., , ., 3. Esboce a região de integração e inverta a ordem nas seguintes integrais: (a) ) ) ���, �� � �� �⁄- 3 - (b) ) ) ���, �� � � �1 �6 , - (c) ) ) ���, �� � � 7� �� , - 4. Identifique a região de integração e inverta a ordem para resolver as seguintes integrais: (a) ) ) ,� cos 8 � �9 � � � √� 3 - (b) ) ) :0� ;�<��0��= � � >1 3⁄ �1 > �⁄ - (c) ) ) �∙/1? 3.� � � 3.�1 - � , 5. Calcule: ��� ∬ �8 − � − �� � �� , sendo R a região delimitada por � = �� e � = 4. (b) ∬ � � , sendo R a região interior ao círculo de centro na origem e de raio 2 e acima da reta � = 1, no 1º quadrante. (c) ∬ �� + �� � �� , sendo R a região delimitada por � = �� + 1, � = −�� − 1, � = −1 � � = 1. EAETI Escola de Engenharia, Arquitetura e Tecnologia da Informação 2 (d) ∬ ��1 � �� , sendo R a região delimitada pela reta � = �, o eixo OX e as retas � = 0 e � = 1. (e) ∬ �� + �� � �� , sendo R a região hachurada na figura a seguir: Aplicações de Integrais Duplas Cálculo de Área e Volume (em regiões genéricas) 6. Usando integral dupla calcule o volume do sólido Q nos seguintes casos: (a) Q é limitado lateralmente pelos planos � = 0, � = 0; � = 1 � � = 2, inferiormente pelo plano A = 0 e superiormente pela superfície cilíndrica A = 1 + ��. (b) Q é o tetraedro limitado no 1º octante pelo plano de equação B 7+ � � + � , = 1. (c) Q está acima do plano XY limitado pelo cilindro parabólico A = 1 − ��; e pelos planos � = 0 e � = 2. Integrais Duplas em Coordenadas Polares 7. Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais: ��� ∬ �8 − � − �� � �� , sendo R a região delimitada por � = �� + ��. Interprete geometricamente. (b) ∬ D<��� + ��� � �� , sendo R a região o anel delimitado por �� + �� = 16 e �� + �� = 25. (c) ∬ ����1G�1� � �� , sendo R a região limitada pelo círculo �� + �� = 4. (d) ∬ 0�� + �� � , sendo R a região limitada pelas curvas: H = 2IJ;K (círculo de centro em (1,0) e raio 1); H = 4IJ;K (círculo de centro em (2,0) e raio 2). Considere K = >L � K = > 3. 3 8. Esboce a região de integração e calcule as seguintes integrais mudando para a forma polar: (a) ) ) ��,G�1G�1�1 � � √,.�1 - , ., (b) ) ) � �� � � 03.�1 - � - Aplicações de Integrais Duplas Cálculo de Área e Volume (em coordenadas polares) 9. Usando integral dupla calcule o volume dos seguintes sólidos, resolvendo a integral correspondente na forma polar: (a) Sólido acima do plano xy delimitado pelo paraboloide A = 4 − 2�� − 2��. Esboce o sólido. (b) Sólido acima do plano xy delimitado lateralmente pelo cilindro �� + �� = 1 e superiormente pelo paraboloide A = �� + �� . Esboce o sólido. (c) Sólido limitado inferiormente pelo plano xy, lateralmente por �� + �� = 4 e superiormente por � + A = 8. 10. Calcule, usando integral dupla, a área da região R delimitada pela região exterior ao círculo H = 2 e interior ao círculo H = 4 IJ;K (centro (2,0) e raio 2. Aplicações de Integrais Duplas (em algumas áreas de conhecimento) 11. Usando integral dupla, podemos calcular a massa (M) de uma lâmina plana não homogênea, com a forma de uma região (R) e com densidade de massa em ponto ( x,y) de R, dada pela função contínua M = M��, ��, através da integral dupla N = ∬ M��, �� � . (a) Calcule a massa de uma lâmina com a forma de um círculo de raio 3 cm, se a sua densidade de massa num ponto O��, �� é dada por M��, �� = P��� + ���, k constante real. (b) Uma lâmina plana tem a forma da região delimitada pelas curvas � = �� + 1 e � = � + 3. Sua densidade de massa no ponto O��, �� é proporcional a distância desse ponto ao eixo x. Calcule a massa dessa lâmina. 12. Se uma carga elétrica está distribuída sobre uma região plana R e a densidade de carga (unidades de carga por unidade de área) é dada pela função Q��, �� em um ponto (x,y) de R, então a carga total é igual a R = ∬ Q��, �� � . Considere a região triangular R de vértices nos pontos (1,0); (1,1) e (0,1) tal que uma carga está distribuída sobre R com densidade de carga Q��, �� = �� IJSDJTU;/T� . Determine a carga total. 4 Gabaritos 1. (a) �7 − � − 2 (b) 4 "V (c) �3 2⁄ �D<3 − 1 (d) 0 2. (a) 8 3⁄ (b) 0 (c) ���/4� − �3 4� ⁄ (d) 1 3⁄ (e) 0 (f) −1 2⁄ 3. (a) ) ) ���, �� � �3�� � - (b) ) ) ���, �� � � √�6 √� , - (c) ) ) ���, �� � � + ) ) ���, �� � � , � 7V 7 � � �V� 7V � - 4. (a) ) ) ,� cos 8 � �9 � � = 1 − cos 2 �1 - � - (b) ) ) :0� ;�<��0��= � � √� - = >1 3 − ;�<� >1 3⁄ - >1 3 ) (c) ) ) �∙/ 1? 3.� � � = /W., 3 03.� - 3 - 5. (a) 896 15⁄ (b) 5 6⁄ (c) 0 (d) �� − 1� 2⁄ (e) 2 6. 8 3 S. Z.⁄ (b) 1 S. Z. (c) 8 3 S. Z.⁄ 7. (a) 8" (Volume do tronco de um cilindro reto de raio de base 1 e limitado superiormente pe3lo plano de equação A = 8 − � − �� (b) 2"[25 ln�5� − 32 ln�2� − �9/2� (c) �" 2⁄ ���\ − 1� (d) ]^ �10√2 − 11� 8. (a) ) ) �_`_`a�,G_1�1 � � = > � , - > - (b) ) ) H3IJ;K;�<�K H K = 7� ,b � - > �⁄ - 9. (a) 4π u.v. (b) " 2 S. Z.⁄ (c) 32π u.v. 10. (a) 3 4⁄ u.a (b) 3>7 + 2√3 u.a. 11. (a) \,c> � (b) 11,7 k 12. 5 24⁄ IJSDJTU;
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