EC Aula 05

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Estruturas de Concreto I 
Profa. Jamires Praciano 
jamirescordeiro@gmail.com 
Cálculo da altura mínima de uma seção com 
armadura simples 
A menor altura necessária dmín para a seção resistir a um momento Md é aquela 
onde a linha neutra x está numa posição onde Md é o maior momento que a viga é 
capaz de resistir. Por norma, x/d = 0,45, portanto, para essa profundidade da LN que 
se obtém a menor altura possível dmín. 
 
𝑀𝑑 = 0,68 ∙ 𝑥 ∙ 𝑑 − 0,272 ∙ 𝑥² ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑓𝑐𝑑 
 =
𝑥
𝑑
=
𝜀𝑐
𝜀𝑐 + 𝜀𝑠
  𝑥 =  ∙ 𝑑 
Isolando o d, temos: 
𝑑𝑚í𝑛 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 0,68 ∙  − 0,272 ∙ ²
 
 
 
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Cálculo da altura mínima de uma seção com 
armadura simples 
 Por norma: x/d = 0,45 
 
𝑑𝑚í𝑛 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 0,68 ∙  − 0,272 ∙ ²
 
𝑑𝑚í𝑛 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 0,68 ∙ 0,45 − 0,272 ∙ 0,45²
 
𝑑𝑚í𝑛 = 2,0 ∙
𝑀𝑑
𝑏𝑤 ∙ 𝑓𝑐𝑑
 
 
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Exercício 
Para o exemplo 02, calcular a altura útil mínima. 
Dados: 
 
Aço CA50; 
fyk = 500 MPa 
fck = 20 MPa 
M = 12,2 kNm 
bw = 0,12m 
 
 
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Exercício 
Cálculo da altura útil mínima: 
𝑑𝑚í𝑛 = 2,0 ∙
𝑀𝑑
𝑏𝑤 ∙ 𝑓𝑐𝑑
 
 
𝑑𝑚í𝑛 = 2,0 ∙
17,08
0,12 ∙
20.000
1,4
 
 
𝑑𝑚í𝑛 = 0,1996𝑚 
 
 
 
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Exercício 
Posição da Linha Neutra da peça: 
𝑥
𝑑
= 0,45 
 
𝑥
0,1996
= 0,45 
 
𝑥 = 0,0898𝑚 
 
 
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Exercício 
Cálculo da armadura necessária: 
 
𝑧 = 𝑑 − 0,4 ∙ 𝑥 
𝑧 = 0,1996 − 0,4 ∙ 0,0898 
𝑧 = 0,1634𝑚 
 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑧 ∙ 𝑓𝑦𝑑
 
𝐴𝑠 =
17,08
0,1634 ∙
50
1,15
 
𝐴𝑠 = 2,40 𝑐𝑚² 
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Fórmulas adimensionais para dimensionamento de 
seções retangulares 
Há uma tabela onde se calcula um parâmetro chamado KMD e é possível 
determinar a armadura do aço. Para concretos até C50, temos: 
 
a) Equação de Md: dividindo ambos os membros da equação de Md por bw  d²  fcd 
 
𝑀𝑑
𝑏𝑤 ∙ 𝑑² ∙ 𝑓𝑐𝑑
=
0,68 ∙ 𝑥 ∙ 𝑑 − 0,272 ∙ 𝑥² ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑓𝑐𝑑
𝑏𝑤 ∙ 𝑑² ∙ 𝑓𝑐𝑑
 
 
Chamando 
𝑀𝑑
𝑏𝑤∙𝑑²∙𝑓𝑐𝑑
= 𝐾𝑀𝐷 e 
𝑥
𝑑
=
𝜀𝑐
𝜀𝑐+𝜀𝑠
= 𝐾𝑋, a equação anterior tornar-se: 
 
𝐾𝑀𝐷 = 0,68 ∙ 𝐾𝑋 − 0,272 ∙ 𝐾𝑋 ² 
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Fórmulas adimensionais para dimensionamento de 
seções retangulares 
b) Expressão que fornece o braço de alavanca z (z = d – 0,4  x) 
 
 Dividindo os dois termos por d resulta: 
 
𝑧
𝑑
=
𝑑 − 0,4 ∙ 𝑥
𝑑
 
 
 Chamando 
𝑧
𝑑
= 𝐾𝑍 e como 
𝑥
𝑑
= 𝐾𝑋, temos 
 
𝐾𝑍 = 1 − 0,4 ∙ 𝐾𝑋 
 
 
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Fórmulas adimensionais para dimensionamento de 
seções retangulares 
c) Cálculo da armadura As 
 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑧 ∙ 𝑓𝑠
 
 
Como z = KZ  d: 
 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝐾𝑍 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑠
 
 
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Exercício 
Para a mesma seção do exercício 02, calcular a área de aço usando as fórmulas 
admensionais. 
 
Dados: 
 
M = 12,2 kNm 
fck = 20 MPa 
d = 0,29m 
bw = 0,12m 
Aço CA50 
 
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Exercício 
Cálculo do KMD: 
𝐾𝑀𝐷 =
𝑀𝑑
𝑏𝑤 ∙ 𝑑² ∙ 𝑓𝑐𝑑
 
 
𝐾𝑀𝐷 =
17,08
0,12 ∙ 0,29² ∙
20.000
1,4
 
 
𝐾𝑀𝐷 = 0,12 
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 Exercício 
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Domínio?? 
 
KX = 
𝑥
𝑑
= 0,1911 
 
0  
𝑥
𝑑
  0,259  Domínio 2 e 
𝑥
𝑑
≤ 0,45 𝑂𝐾! 
 
 
Cálculo da Armadura: 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝐾𝑍 ∙ 𝑑 ∙ 𝑓𝑠
=
17,08
0,9236 ∙ 0,29 ∙
50
1,15
= 1,47 𝑐𝑚² 
 
 
Cálculo de seções de Armadura Dupla 
 Podem ocorrer situações em que, por imposições de projeto, arquitetônicas, etc, 
seja necessário utilizar para viga uma altura menor que a altura mínima exigida 
pelo momento fletor atuante de cálculo Md. 
 
 Nesse caso, determina-se o momento (Mlim) que a seção consegue resistir com a 
sua altura real e a armadura apenas tracionada (armadura simples As1), 
trabalhando no limite da relação x/d = 0,45 (Domínio 3). A diferença entre o 
momento atuante Md e o momento Mlim, que será chamada de M2 = Md – Mlim, 
será resistida por uma armadura de compressão, e para que seja mantido o 
equilíbrio, por uma adicional de tração. 
 
 Nessa situação, a viga terá uma armadura inferior tracionada e uma superior 
comprimida (armadura dupla). 
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Cálculo de seções de Armadura Dupla 
 Mlim = Momento obtido impondo que a seção trabalhe no limite da ductilidade 
x/d = 0,45; É resistido pelo concreto comprimido e por uma armadura 
tracionada As1; 
 
 M2 = Momento que será resistido por uma armadura comprimida A’s e, para que 
haja equilíbrio, por uma armadura tracionada As2 (Além de As1 já calculada para 
Mlim); 
 
 
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Armadura dupla 
 Passo a passo: 
 Com x/d = 0,45 determina-se Mlim; 
 Com Mlim determina-se a As1 e o M2 (M2 = Md – Mlim) 
 Com M2 calcula-se As2 e A’s 
 Verificar se o aço escoou em f’s 
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Armadura dupla 
x/d = 0,45  xlim = 0,45  d 
 
𝑧𝑙𝑖𝑚 = 𝑑 − 0,4 ∙ 𝑥𝑙𝑖𝑚 
 
𝑀𝑙𝑖𝑚 = 𝐹𝑐 ∙ 𝑧𝑙𝑖𝑚 
 
𝑀𝑙𝑖𝑚 = 0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 0,8 ∙ 𝑥𝑙𝑖𝑚 ∙ 𝑑 − 0,4 ∙ 𝑥𝑙𝑖𝑚 
 
𝑀𝑙𝑖𝑚 = 0,251 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
2 ∙ 𝑓𝑐𝑑 
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Armadura dupla 
Para obter a armadura As1: 
𝑧𝑙𝑖𝑚 = 𝑑 − 0,4 ∙ 𝑥𝑙𝑖𝑚 
 
𝑀𝑙𝑖𝑚 = 0,251 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
2 ∙ 𝑓𝑐𝑑 
Logo: 
 
𝐴𝑠1 =
𝑀𝑙𝑖𝑚
𝑧 ∙ 𝑓𝑦𝑑
=
𝑀𝑙𝑖𝑚
𝑑 − 0,4 ∙ 𝑥𝑙𝑖𝑚 ∙ 𝑓𝑦𝑑
 
 
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Armadura dupla 
Fazendo o equilíbrio da seção com M2 (não há colaboração do concreto), pode ser 
obtida a armadura As2, correspondente ao momento M2: 
 
𝑀2 = 𝐹𝑠2 ∙ 𝑑 − 𝑑
′ = 𝐴𝑠2 ∙ 𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝑑 − 𝑑′ 
 
𝐴𝑠2 =
𝑀2
𝑑 − 𝑑′ ∙ 𝑓𝑦𝑑
=
𝑀𝑑 − 𝑀𝑙𝑖𝑚
𝑑 − 𝑑′ ∙ 𝑓𝑦𝑑
 
 
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Armadura dupla 
Sendo As a armadura total tracionada, então 
 
𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 + 𝐴𝑠2 
 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑙𝑖𝑚
𝑑 − 0,4 ∙ 𝑥𝑙𝑖𝑚 ∙ 𝑓𝑦𝑑
+
𝑀𝑑 − 𝑀𝑙𝑖𝑚
𝑑 − 𝑑′ ∙ 𝑓𝑦𝑑
 
 
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Armadura dupla 
Fazendo o equilíbrio de momentos em relação ao Centro de Gravidade (CG) da 
armadura tracionada na seção com M2, obtém-se A’s: 
 
𝑀2 = 𝐴′𝑠 ∙ 𝑓′𝑠 ∙ 𝑑 − 𝑑′ 
 
𝐴′𝑠 =
𝑀2
𝑑 − 𝑑′ ∙ 𝑓′𝑠
=
𝑀𝑑 − 𝑀𝑙𝑖𝑚
𝑑 − 𝑑′ ∙ 𝑓′𝑠
 
 
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Armadura dupla 
Finalmente, é preciso conhecer a deformação específica da armadura comprimida 
’s para encontrar a tensão na armadura comprimida f’s. O valor de é obtido da 
figura: 
0,35
𝑥𝑙𝑖𝑚
=
𝜀′𝑐
𝑥𝑙𝑖𝑚 − 𝑑′
 → 𝜀′𝑐 =
0,35 ∙ 𝑥𝑙𝑖𝑚 − 𝑑′
𝑥𝑙𝑖𝑚
 
 
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Armadura dupla - Exercício 
Para um momento M = 45 kNm (Momento 
permanente), calcular a armadura necessária de 
uma seção retangular bw = 0,12m e d = 0,29m, com 
aço CA50 e fck = 20 MPa. Considere estribos de  = 
6mm e barras longitudinais (comprimidas ou 
tracionadas) de  = 10mm e cobrimento de 2,5 cm 
(CAA I). 
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Armadura dupla - Exercício 
 Passo 1: Verificar se a seção resiste ao momento aplicado 
 
𝑑𝑚í𝑛 = 2,0 ∙
𝑀𝑑
𝑏𝑤 ∙ 𝑓𝑐𝑑
 
𝑑𝑚í𝑛 = 2
1,4 ∙ 45
0,12 ∙
20.000
1,4
 
𝑑𝑚í𝑛 = 0,383𝑚 
 
d = 0,29 m < dmín = 0,383m  Necessário Armadura Dupla! 
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Armadura dupla - Exercício 
 Passo 2: Cálculo do momento limite Mlim 
 
𝑀𝑙𝑖𝑚 = 0,251 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
2 ∙ 𝑓𝑐𝑑 
 
𝑀𝑙𝑖𝑚 = 0,251 ∙ 0,12 ∙ 0,29
2 ∙
20.000
1,4
 
 
𝑀𝑙𝑖𝑚 = 36,19 𝑘𝑁𝑚 
 
 
 
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Armadura dupla - Exercício 
 Passo 3: Cálculo de M2 
 
𝑀2 = 𝑀𝑑 − 𝑀𝑙𝑖𝑚𝑀2 = 1,4 ∙ 45 − 36,19 
 
𝑀2 = 26,81 𝑘𝑁𝑚 
 
 
 
 
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Armadura dupla - Exercício 
 Passo 4: Cálculo de As1 
 
𝐴𝑠1 =
𝑀𝑙𝑖𝑚
𝑑 − 0,4 ∙ 𝑥𝑙𝑖𝑚 ∙ 𝑓𝑦𝑑
 
 
𝐴𝑠1 =
36,19
0,29 − 0,4 ∙ 0,45 ∙ 0,29 ∙
50
1,15
 
 
𝐴𝑠1 = 3,50 𝑐𝑚² 
 
 
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