lista de exercícios vigas 2019

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I- LISTA DE EXEMPLOS E EXERCÍCIOS: 
DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO 
Docente: Gabrielli Steinhowser Machado Sanches 
1. DIMENSIONAMENTO DE ARMADURA LONGITUDIAL DE ELEMENTO SUJEITO À 
FLEXÃO SIMPLES COM ARMADURA SIMPLES 
EXEMPLO: Calcular a área de aço (As- armadura de flexão) para uma seção retangular, cujos 
dados são: 
-Concreto classe C25 -Aço CA-50 -bw= 30cm -h=45cm -Mk= 140kN.m -d= 42cm 
-Brita 1(dmax=19mm) -cobrimento nominal= 2cm -Estribo=5mm 
SOLUÇÃO 
POR MEIO DAS EQUAÇÕES TEÓRICAS: 
Md=1,4*Mk Md= 1,4*14000=19600 kN.cm 
- Delimitação da posição da linha neutra: x2lim= 0,26d= 0,26*42= 10,92cm; 
x3lim= 0,63d= 0,63* 42=26,46cm 
Isso significa que, para que a minha viga seja dimensionada no domínio 3, a posição da linha 
neutra(x) deve ser= 10,92<x≤26,46cm. 
- Cálculo da posição da linha neutra no elemento: 
Md= 0,68*bw*x*fcd*(d-0,4x)= 0,68*30*x*
𝟐,𝟓
𝟏,𝟒
*(42- 0,4x) 
19600= 1530x-14,57x² 
X1= 90,065 cm> 45cm então não interessa para o caso. 
X2= 14,93cm- esta é a posição da linha neutra no nosso elemento. Perceba que está entre 
x2lim e x3lim, o que significa que essa viga está no domínio 3, portanto pode ser 
dimensionada. 
- Cálculo do coeficiente de ductilidade: β=x/d= 14,93/42= 0,355 
O coeficiente de ductilidade 0,355 é menor do que 0,45, que é o limite para o 
dimensionamento de vigas de concreto armado, PORTANTO ESSA VIGA PODE SER 
DIMENSIONADA COM ARMADURA SIMPLES. 
As=
𝐌𝐝
𝝈𝒔𝒅∗(𝒅−𝟎,𝟒𝒙)
= As=
𝟏𝟗𝟔𝟎𝟎
𝟓𝟎
𝟏,𝟏𝟓
∗(𝟒𝟐−𝟎,𝟒∗𝟏𝟒,𝟗𝟑)
= 12,51 cm² 
Possibilidade: 4φ20mm: 12,60cm² 
 
CÁLCULO POR MEIO DA UTILIZAÇÃO DOS COEFICIENTES K 
Kc=
𝐛𝐰∗𝐝²
𝐌𝐝
= 
𝟑𝟎∗𝟒𝟐²
𝟏𝟗𝟔𝟎𝟎
= 2,7 
Pela tabela A1, concreto C-25 e aço CA-50: 
 
β=0,35- domínio 3, então pode ser dimensionada com armadura simples 
Ks= 0,027 
x= β*d= 0,35*42= 14,7cm 
Cálculo da área de aço necessária: 
As=Ks*
𝐌𝐝
𝐝
= 0,027*
𝟏𝟗𝟔𝟎𝟎
𝟒𝟐
= 12,6cm²- Perceba que o resultado não deu muito diferente 
quando comparado ao dimensionamento utilizando as equações teóricas. 
-Espaçamento horizontal mínimo: 
 
Diâmetro da barra= 2,0cm; 
1,2*dmáx,agr= 1,2*1,9=2,28cm- ENTÃO O ESPAÇAMENTO HORIZONTAL MÍNIMO ENTRE 
BARRAS DEVE SER 2,28cm. 
- Espaçamento vertical mínimo: 
 
Diâmetro da barra= 2,0cm 
0,5*dmáx,agr= 0,5*1,9= 0,95cm- ENTÃO O ESPAÇAMENTO VERTICAL MÍNIMO ENTRE BARRAS 
DEVE SER 2cm. 
 
- Detalhamento na seção: 
 
- Verificação da altura útil d= h-c-φestribo-φ/2 
d= 45-2-0,5-1= 41,5cm- perceba que deu pouca diferença em relação a altura útil considerada, 
então o dimensionamento está correto. 
OBSERVAÇÃO- POR QUESTÕES PRÁTICAS PARA A ARMAÇÃO, APESAR DE ALGUMAS VIGAS 
PERMITIREM O DIMENSIONAMENTO COM ARMADURA SIMPLES, SEMPRE SE UTILIZA DE 
ARMADURAS LONGITUDINAIS CONSTRUTIVAS NA ZONA COMPRIMIDA DO ELEMENTO, E AS 
ARMADURAS CONSTRUTIVAS DEVEM, OBRIGATORIAMENTE, POSSUIR O DIÂMETRO IGUAL 
OU MAIOR AO DIÂMETRO UTILIZADO PARA OS ESTRIBOS. 
 
2. DIMENSIONAMENTO DE ARMADURA LONGITUDIAL DE ELEMENTO SUJEITO À 
FLEXÃO SIMPLES COM ARMADURA DUPLA 
Quando é necessário utilizar o dimensionamento com armadura dupla? Como 
vimos em sala de aula, a armadura dupla “limita” a posição da linha neutra no nosso 
elemento, e normalmente utiliza-se de armadura dupla quando as vigas não 
apresentam a ductilidade necessária prescrita na norma (β>0,45) para concretos do 
grupo I). Mas por questões práticas, você pode fazer a verificação de armadura simples 
ou dupla de acordo com o cálculo do momento reduzido(µ) e compará-lo o com o 
µlim(tabelado) como feito em sala de aula no exemplo de dimensionamento de 
elementos com armadura simples. Nesta lista de exercícios não se utilizará do cálculo 
momento reduzido, mas a verificação utilizando esse artifício fica a critério de cada 
projetista. 
EXEMPLO: Calcular a armadura de flexão (As e As’) para uma viga de seção retangular, 
cujos dados são: 
Concreto classe C20 -Aço CA-50 -bw= 17cm -h=35cm -Mk= 50kN.m(positivo) -d= 32cm 
-d’= 3cm 
-Brita 1(dmax=19mm) -cobrimento nominal= 2cm -Estribo=6.3mm 
Cálculo utilizando equações teóricas: 
Md= 1,4*5000= 7000kN.cm 
X2lim= 0,26d= 0,26*32= 8,32cm 
X3lim=0,63d= 0,63*32= 20,16cm 
Isso significa que para que a nossa viga esteja dentro do domínio 3 de dimensionamento a 
posição da linha neutra deve estar (8,32<x≤20,16cm). 
- Cálculo da posição da linha neutra no nosso elemento: 
Md= 0,68*bw*x*fcd*(d-0,4x) 
7000= 0,68*17*(
𝟐,𝟎
𝟏,𝟒
)*(32-0,4x) 7000= 16,51*(32-0,4x) 7000= 528,46x-6,61x² 
X1= 63,24> 35cm então não é a posição da linha neutra. 
X2= 16,75- essa é a posição da linha neutra no nosso elemento, e com isso percebemos que a 
viga está no domínio 3. 
- Cálculo do coeficiente de ductilidade (β): 
Β= x/d= 16,75/32= 0,523 
0,523> 0,45- significa que o elemento não possui a ductilidade mínima exigida pela norma. 
Mediante isso, temos que limitar a posição da linha neutra, e o fazemos utilizando armadura 
dupla no elemento. 
-Normalmente limitamos a posição da linha neutra para o valor máximo permitido por norma, 
sendo βlim= 0,45 para concretos do grupo I: 
x=β*d x= 0,45*32= 14,4cm (posição limite e a assumida para a linha neutra 
nesse elemento) 
- Cálculo de M1d (momento máximo para o qual o concreto estará suportando a tensão de 
compressão com a ductilidade mínima necessária (0,45)): 
M1d= 0,68*bw*x*fcd*(d-0,4x) 
M1d= 0,68*17* 14,4*(
𝟐,𝟎
𝟏,𝟒
)*(32-0,4*14,4) M1d= 6240,02kN.cm 
- Cálculo de M2d (parcela de momento responsável pela tensão de compressão que estará 
sendo suportada pela armadura para que o elemento continue com a ductilidade mínima 
necessária (0,45)): 
M2d= Md- M1d 
M2d= 7000- 6240,02= M2d= 759,98kN.cm 
- Cálculo da armadura de compressão As’: 
As’= 
𝐌𝟐𝐝
𝛔′𝐬𝐝(𝐝−𝐝′)
 
d’/d= 3/32= 0,094- conforma a tabela A-5: 
 
As’= 
𝟕𝟓𝟗,𝟗𝟖
𝟒𝟑,𝟓(𝟑𝟐−𝟑)
= 0,6cm² 
Sugestão: 2φ6.3mm= 0,62cm² 
- Cálculo da armadura de tração: 
As1= 
𝐌𝟏𝐝
𝛔𝐬𝐝(𝐝−𝟎,𝟒𝐱)
= = 
𝟔𝟐𝟒𝟎,𝟎𝟐
𝟓𝟎
𝟏,𝟏𝟓
(𝟑𝟐−𝟎,𝟒∗𝟏𝟒,𝟒)
= 5,47cm² 
As2=
𝐌𝟐𝐝
𝛔𝐬𝐝(𝐝−𝐝′)
= 
𝟕𝟓𝟗,𝟗𝟖
𝟓𝟎
𝟏,𝟏𝟓
(𝟑𝟐−𝟑)
= 0,602 cm² 
As= As1+As2= 5,47+ 0,602= 6,072cm² 
Sugestão: 3φ16mm= 6cm² 
ATENÇÃO NA ESCOLHA DAS BITOLAS E DO NÚMERO DE BARRAS- TEM QUE TER ESPAÇO 
SUFICIENTE RESPEITANDO-SE OS ESPAÇAMENTOS MÍNIMOS- ESSA VIGA TEM UM bw= 17cm 
 
 
Cálculo mediante utilização dos coeficientes K: 
Kc=
𝐛𝐰∗𝐝²
𝐌𝐝
=𝟏𝟕∗𝟑𝟐²
𝟕𝟎𝟎𝟎
=2,49 
Pela tabela A-1 temos= 
 
Pela tabela percebemos que a viga está no domínio de dimensionamento 3, entretanto 
possui um coeficiente de ductilidade maior(β=0,52) do que o exigido pela norma que é 0,45. 
Com isso temos que limitar a posição da linha neutra, e podemos fazer isso utilizando o 
dimensionamento com armadura dupla. 
-Para limitar a posição da linha neutra (x) também utilizamos a tabela A-1, encontramos o 
coeficiente de ductilidade limite (β=0,45 para concretos do grupo I) na coluna da esquerda e 
na linha correspondente encontramos os valores de Kclim e Kslim: 
 
Encontramos que Kclim= 2,8 e 
Kslim= 0,028 
Com esses valores conseguimos calcular as parcelas de momentos M1d e M2d, já explicadas 
anteriormente: 
M1d=
𝐛𝐰∗𝐝²
𝐊𝐜𝐥𝐢𝐦
=
𝟏𝟕∗𝟑𝟐²
𝟐,𝟖
= 6217,143 kN.cm 
A segunda parcela do momento fletor resistente é dada: 
M2d= Md-M1d M2d= 7000-6217,143= 782,857 Kn.cm 
d’/d= 3/32= 0,094- conforma a tabela A-5: 
 
- Cálculo da armadura de compressão mediante utilização dos coeficientes K: 
As’= Ks’ 
𝐌𝟐𝐝
𝐝−𝐝′
= 𝟎, 𝟎𝟐𝟑 ∗
𝟕𝟖𝟐,𝟖𝟓𝟕
𝟑𝟐−𝟑
= 0,62cm² 
- Cálculo da armadura de tração mediante utilização dos coeficientes K: 
As= Kslim 
𝐌𝟏𝐝
𝐝
 + 
𝐌𝟐𝐝
𝐟𝐲𝐝(𝐝−𝐝′)
= = 0,028* 
𝟔𝟐𝟏𝟕,𝟏𝟒𝟑
𝟑𝟐
 + 
𝟕𝟖𝟐,𝟖𝟓𝟕
𝟓𝟎
𝟏,𝟏𝟓
(𝟑𝟐−𝟑)
= 6,06cm² 
-Perceba que as áreas de açocalculadas pelos dois métodos são sempre muito parecidas a 
sugestão ainda continua a mesma dada no cálculo pelo método das equações teóricas, mas 
ainda deve-se calcular os espaçamentos verticais e horizontais mínimos. 
Espaçamento horizontal mínimo: 
 
Diâmetro da barra= 1,6cm; 
1,2*dmáx,agr= 1,2*1,9=2,28cm- ENTÃO O ESPAÇAMENTO HORIZONTAL MÍNIMO ENTRE 
BARRAS DEVE SER 2,28cm. 
- Espaçamento vertical mínimo: 
 
Diâmetro da barra= 1,6cm 
0,5*dmáx,agr= 0,5*1,9= 0,95cm- ENTÃO O ESPAÇAMENTO VERTICAL MÍNIMO ENTRE BARRAS 
DEVE SER 2cm. 
- E o detalhamento na seção transversal fica: 
 
Verificação de d e d’ 
d=35-2-0,63- (1,6/2)= 31,57cm- valor bem próximo de 32cm utilizado, então não há 
necessidade de fazer o redimensionamento. 
d’= 2+0,63+(0,63/2)= 2,945- valor bem próximo de 3cm utilizado, então não há necessidade 
de fazer o redimensionamento. 
3. DIMENSIONAMENTO DE VIGAS À FORÇA CORTANTE (ESTRIBOS) 
EXEMPLO: Calcular a armadura transversal (estribos) de uma viga bi apoiada, são conhecidos: 
Concreto C25 
Aço CA-50 
c(cobrimento)=2 cm 
d= 27cm 
Gráfico de força cortante no elemento: 
 
-Cortantes máximas 60kN e -60kN. 
-Cálculo da força cortante de projeto (majoração): 
Vsd= 60*1,4= 84kN 
DIMENSIONAMENTO SEGUNDO O MODELO DE CÁLCULO II COM BIELAS DE COMPRESSÃO A 
30° (θ= 30°, POIS ENSAIOS DEMONSTRAM QUE PARA SEÇÕES RETANGULARES É A INCLINAÇÃO 
MAIS RECORRENTE DAS BIELAS DE COMPRESSÃO). 
-Da tabela para o dimensionamento de estribos, temos que a força cortante última relativa à 
ruína das diagonais comprimidas no concreto(VRd2) é: 
 
 
VRd2= 0,87*bw*d*senθ*cosθ Vrd2= 142,4kN 
- Com isso comparamos a força cortante solicitante com a força cortante última, e temos que 
84< 142,4kN, com essa comparação concluímos que não haverá o esmagamento das bielas 
de compressão do concreto da viga. 
- Cálculo da força cortante máxima suportada por uma viga sem estribos (cortante máxima 
suportada pelo concreto): 
Vc0= 0,6*fctd*bw*d 
fctd= 
𝒇𝒄𝒕𝒌,𝒊𝒏𝒇
𝜸𝒄
= 
𝟎,𝟕∗𝒇𝒄𝒕𝒎
𝜸𝒄
= 
𝟎,𝟕∗𝟎,𝟑
𝟏,𝟒
*√𝒇𝒄𝒌²𝟑 = 
𝟎,𝟕∗𝟎,𝟑
𝟏,𝟒
*√𝟐𝟓²
𝟑
= 1,28Mpa ou 0,128kN/cm² 
Vc0= 0,6*0,128*14*27= 29,08kN 
- Com isso calculamos a parcela da força cortante que será suportada pelos estribos (Vsw): 
Vsw= Vsd- Vc0= 84- 29,08= 54,92kN 
- Antes de calcular a armadura para esse esforço cortante (Vsw- que é a parcela do esforço 
cortante que será suportada pelos estribos), devemos fazer a verificação da força cortante 
mínima para a qual a armadura deve ser dimensionada, e ela é dada segundo a tabela vista 
acima: 
Vsd,min= 0,04*bw*d*cotgθ+Vc1 
OBS: Cotgθ= Cosθ/Senθ 
Onde Vc1 é a força cortante proporcionada pelos mecanismos complementares ao de treliça 
(considera-se a armadura da viga como uma treliça). 
Vc1= Vc0* 
𝐕𝐑𝐝𝟐−𝐕𝐬𝐝
𝐕𝐑𝐝𝟐−𝐕𝐜𝟎
= = 29,08* 
𝟏𝟒𝟐,𝟒−𝟖𝟒
𝟏𝟒𝟐,𝟒−𝟐𝟗,𝟎𝟖
= 14,99kN 
Vsd,mín= 0,04*14*27*cotg30+14,99= 41,18kN 
-Como Vsd> Vsd,min, então fazemos o dimensionamento dos estribos com o valor da força 
cortante de projeto-Vsd: 
Segundo a tabela: 
Asw= 2,55*tgθ* 
𝐕𝐬𝐝−𝐕𝐜𝟏
𝐝
= 2,55*tg 30°* 
𝟖𝟒−𝟏𝟒,𝟗𝟗
𝟐𝟕
= 3,76cm²/m 
 
DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS 
VERIFICAÇÃO DO DIÂMETRO MÁXIMO DOS ESTRIBOS A SEREM UTILIZADOS: 
Segundo a normativa: 
5mm<φt< bw/10 
5mm<φt< 12mm 
 
 
 
 
CÁLCULO DO ESPAÇAMENTO MÁXIMO(s) ENTRE ESTRIBOS: 
Segundo a normativa: 
-Espaçamento mínimo: 
 
-Espaçamento máximo: 
 
-0,67*VRd2= 142,4*0,67= 95,408 
Vsd≤VRd2 então smáx= 0,6d= 0,6*27= 16,2cm 
-O ESPAÇAMENTO MÁXIMO ENTRE ESTRIBOS É DE 16,2cm. 
- ESPAÇAMENTO MÁXIMO ENTRE RAMOS VERTICAIS(st) DO ESTRIBO: 
O que são ramos verticais: 
 
 
-0,20*VRd2= 0,20* 142,4= 28,48cm 
Vsd≤VRd2 então o espaçamento máximo entre os ramos verticais dos estribos deve ser 27cm. 
 
 
-CONSIDERAÇÕES SOBRE ANCORAGEM DE ESTRIBOS 
“A ancoragem dos estribos deve necessariamente ser garantida por meio de ganchos ou 
barras longitudinais soldadas”. (NBR 6118, item 9.4.6). 
 Os ganchos dos estribos, conforme a NBR 6118(item 9.4.6.1) podem ser: 
“a) semicirculares ou em ângulo de 45°(interno), com ponta reta de comprimento igual a 5φt, 
porém não inferior a 5cm; 
b) em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10φt, porém não inferior 
a 7cm (este tipo de gancho não pode ser utilizado para barras e fios lisos)”. 
 
 
-Para este exercício considera-se a ancoragem em ângulo reto. 
-ESCOLHA DO DIÂMETRO DAS BARRAS DOS ESTRIBOS: 
- PARA A ÁREA DE AÇO CALCULADA: 
Asw= 2,55*tgθ* 
𝐕𝐬𝐝−𝐕𝐜𝟏
𝐝
= 2,55*tg 30°* 
𝟖𝟒−𝟏𝟒,𝟗𝟗
𝟐𝟕
= 3,76cm²/m 
- Para a escolha dos estribo com auxílio da tabela A1 para dimensionamento de estribos, deve-
se dividir a área de aço calculada por ramo de estribo, considerando que para esse caso, 
utilizaremos e ramos: 
Asw por ramo= 
𝟑,𝟕𝟔
𝟐
 = 1,88 cm²/m 
-Pela tabela A1 pode-se optar pelo diâmetro de 5mm que é o mínimo exigido pela norma, com 
espaçamento de 10cm, obtendo assim uma área de aço de 2cm²/m. 
Sendo 10cm< do que o espaçamento máximo calculado anteriormente (16,2cm). 
A distância entre ramos será menor do que o espaçamento máximo entre ramos calculado 
anteriormente que é de 28,48cm. 
 
 
-DETALHAMENTO: 
Para o detalhamento, calcula-se o comprimento de ancoragem dos estribos, que serão 
dobrados em ângulo reto para esse situação: 
10*0,5= 5cm< 7cm 
Então o comprimento de ancoragem para os estribos é lb= 7cm. 
Cálculo do número de estribos= 600/10= 60 estribos. 
Comprimento da barra para a dobragem do estribo= ((bw-2c)*2)+((h-2c)*2)+((2*lb))= 
((14-4)*2)+((30-4)*2)+(2*7)= 20+52+14= 86cm 
 
 
-ALTERNATIVA ECONÔMICA: QUANDO POR MOTIVOS DE ECONOMIA, DESEJAR-SE OTIMIZAR 
O DIMENSIONAMENTO DOS ESTRIBOS, PODE-SE DESENHAR O GRÁFICO DE ESFORÇO 
CORTANTE DETALHADAMENTE, E A PARTIR DO ESFORÇO CORTANTE MÍNIMO (V=Vsd,min) 
CALCULADO ANTERIORMENTE E ENCONTRADO NO GRÁFICO, PODE-SE EMPREGAR A 
ARMADURA MÍNIMA PARA ESSA CORTANTE MÍNIMA(V=Vsd,min) ATÉ A DIREÇÃO CONTRÁRIA 
(-Vsd,min). 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. EXEMPLO PRÁTICO DE DIMENSIONAMENTO DE VIGA 
CONSIDERE A PLANTA DE UM APARTAMENTO TIPO COM PÉ DIREITO DE 3,10m E LAJE DO 
BANHEIRO REBAIXADA 5cm: 
 
-COM A PLANTA PRONTA, LOCA-SE OS PILARES, VIGAS E LAJES, PARA AÍ COMEÇAR O 
DIMENSIONAMENTO DESSES ELEMENTOS: 
 
Dimensões dos pilares: 15X40cm 
Dimensões das vigas (a princípio)= 15X35cm 
EXEMPLO: DIMENSIONAMENTO DA VIGA 6: 
 
-Cálculo comprimento efetivo da viga: lef= lo+a1+a2 
a1 e a2 ≤ t1/2= 15/2= 7,5cm (bw pilar/2) ou 0,3*hviga= 0,3*35= 10,5 
-Então o comprimento efetivo é 330+7,5+7,5= 345cm 
-CÁLCULO DAS AÇÕES NA VIGA 6 
Ações atuantes: 
 Peso próprio; 
 Carga de parede (considerar: tijolo furado espessura 15cm, pé direito 3,10m); 
 Carga da laje; 
 Carga acidental (utilização). 
-CÁLCULO DO PESO PRÓPRIO: 
gpp= bw*h*γconcreto armado= 0,15*0,35*25= 1,3125kN/m. 
-CARGA DE PAREDE 
Gpar= e*h*γalvenaria= 0,15*3,10*13= 6,035kN/m. 
- CARGA DA LAJE (espessura da laje para esse caso- 10cm) 
Cálculo do vão efetivo da laje: 
lef= lo+a1+a2 
 
 
Lembre que as lajes são apoiadas nas vigas então t1 e t2 são o bw das vigas em que estão 
apoiadas. 
t1/2= 15/2= 7,5 
0,3*h= 0,3*10= 3 cm 
 
 Então as dimensões da minha LAJE 1 são: 
 (290+3+3)X(330+3+3)= 296X336cm 
 CONSIDERAÇÕES SOBRE OS APOIOS DA LAJE 1- OBSERVE QUE A LAJE TEM TODOS OS 
BORDOS LIVRES, POIS A LAJE VIZINHA DO BANHEIRO É REBAIXADA E TEM O COMPRIMENTO 
MAIOR DE QUE 2/3 DO COMPRIMENTO TOTAL DA LAJE 1, ENTÃO SEGUNDO O MÉTODO DAS 
LINHAS DE RUPTURA AS ÁREAS DE INFLUÊNCIA SÃO: 
 
Carga da laje na viga 6: 
qi= 
𝑨𝟏∗𝒉𝒍𝒂𝒋𝒆∗𝜸𝒄𝒐𝒏𝒄𝒓𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒓𝒎𝒂𝒅𝒐
𝒍𝒆𝒇 𝒗𝒊𝒈𝒂
= 
𝟐,𝟕𝟖𝟐𝟒∗𝟎,𝟏𝟎∗𝟐𝟓
𝟑,𝟒𝟓
= 2,02kN/m 
 
CARGA ACIDENTAL DE UTILIZAÇÃO 
-Da ABNT NBR 6120: 
 
qacidental= 
𝑨𝟏∗𝑪𝒂𝒓𝒈𝒂
𝒍𝒆𝒇 𝒗𝒊𝒈𝒂
= 
𝟐,𝟕𝟖𝟐𝟒∗𝟏,𝟓
𝟑,𝟒𝟓
= 1,21 kN/m 
- OBSERVAÇÃO SOBRE OS APOIOS DAS VIGAS EM PROJETOESTRUTURAL: DEPENDE DOS 
OBJETIVOS DO PROJETISTA, DEVE-SE SEMPRE LEVAR EM CONSIDERAÇÃO O FATO DE QUE O 
ENGASTAMENTO TORNA A ESTRUTURA MAIS RÍGIDA, MENOS DESLOCÁVEL E MAIS ONEROSA, 
CONSIDERANDO A VIGA 6 COMO ENGASTADA NOS PILARES: 
 
- E o gráfico de momentos na viga fica: 
 
SUGESTÃO DE LEITURA: https://suporte.altoqi.com.br/hc/pt-br/articles/115001285093-
Comparativo-entre-vincula%C3%A7%C3%B5es-de-vigas 
- O gráfico de esforço cortante fica: 
 
- DIMENSIONAMENTO DA VIGA 6, CONSIDERANDO- CONCRETO C-25, AÇO CA-50, 
COBRIMENTO DE 2cm, E BRITA 1 (dmax=1,9mm): 
- PARA O MOMENTO NEGATIVO 
 
bw= 15
h= 35
d= 32
Mk= 1050
Md= 1470
Aço= 50
fck= 25
fcd= 1,785714286
x2lim= 8,32
x3lim= 20,16
a= 7,285714286
b= -582,8571429
c= 1470
x1= 77,39298456
x2= 2,607015442
x= 2,607015442
Situação= ok
β= 0,081469233
Dimensionamento= armadura simples
https://suporte.altoqi.com.br/hc/pt-br/articles/115001285093-Comparativo-entre-vincula%C3%A7%C3%B5es-de-vigas
https://suporte.altoqi.com.br/hc/pt-br/articles/115001285093-Comparativo-entre-vincula%C3%A7%C3%B5es-de-vigas
PERCEBA QUE ESSA VIGA SE ENCONTRA NO DOMÍNIO DE DIMENSIONAMENTO 2: 
X<X2LIM- ISSO SIGNIFICA QUE ESSA VIGA SE ENCONTRA NO DOMÍNIO 2, A NBR 6118 PERMITE 
O DIMENSIONAMENTO DE VIGAS NOS DOMÍNIOS 2 E 3 MAS NÃO NO DOMÍNIO 4, SE A VIGA 
ESTIVER NO DOMÍNIO 4 ELA DEVE SER REDIMENSIONADA. 
COMO O COEFICIENTE DE DUCTILIDADE β<0,45, ESSA VIGA PERMITE O DIMENSIONAMENTO 
COM ARMADURA SIMPLES. 
 
 
- PARA O MOMENTO POSITIVO 
 
 
Equações Teóricas
As= 1,092153255 cm²
Asmin= 0,7875 cm²
Mediante coeficiente K
Kc= 10,44897959
β= 0,08
x= 2,56
Ks= 0,024
As= 1,1025 cm²
bw= 15
h= 35
d= 32
Mk= 520
Md= 728
Aço= 50
fck= 25
fcd= 1,785714286
x2lim= 8,32
x3lim= 20,16
a= 7,285714286
b= -582,8571429
c= 728
x1= 78,73084599
x2= 1,269154006
x= 1,269154006
Situação= ok
β= 0,039661063
Dimensionamento= armadura simples
Equações Teóricas
As= 0,531684875 cm²
Asmin= 0,7875 cm²
 
PERCEBAM QUE A ÁREA DE AÇO MÍNIMA PRESCRITA POR NORMA (0,0015*bw*h) DEU MAIOR 
DO QUE A CALCULADA, ENTÃO DEVE-SE UTILIZAR A ÁREA DE AÇO MÍNIMA PRESCRITA POR 
NORMA (0,7875 CM²). 
Sugestões: 
-Para o momento negativo: 3φ8mm= 1,5cm² 
 
 
- Para o momento positivo (armadura mínima= 0,0015*bw*h)= 3φ6.3mm= 0,93cm² 
 
-CÁLCULO DOS ESPAÇAMENTOS HORIZONTAIS E VERTICAIS MÍNIMOS: 
Espaçamento horizontal mínimo: 
Kc= 21,0989011
β= 0,04
x= 1,28
Ks= 0,023
As= 0,52325 cm²
Mediante coeficiente K
 
Diâmetro da barra= 0,8cm; 
1,2*dmáx,agr= 1,2*1,9=2,28cm- ENTÃO O ESPAÇAMENTO HORIZONTAL MÍNIMO ENTRE 
BARRAS DEVE SER 2,28cm. 
- Espaçamento vertical mínimo: 
 
Diâmetro da barra= 0,8cm 
0,5*dmáx,agr= 0,5*1,9= 0,95cm- ENTÃO O ESPAÇAMENTO VERTICAL MÍNIMO ENTRE BARRAS 
DEVE SER 2cm. 
-DIMENSIONAMENTO DOS ESTRIBOS 
 
Área por ramo(considerando estribo com 2 ramos)= (1,53/2)= 0,765cm²/m 
Cálculo do espaçamento máximo entre estribos: 
Espaçamento máximo: 
Vk= 18,3
Vsd= 25,62
θ= 30
sen= 0,5
cos= 0,866025
cotg= 1,732051
fck= 25
bw= 15
h= 35
d= 32
Vc1= 39,84007
fctd= 0,128248
Vc0= 36,93548
Vsw= -11,3155
VRd2= 180,8261
Vsd,min= 73,09544
tg= 0,57735
Vsd= 73,09544
Asw= 1,53
 
-0,67*VRd2= 180,82*0,67= 121,13kN 
Vsd≤VRd2 então smáx= 0,6d= 0,6*32= 19,2cm 
-Sugestão: 19 estribos espaçados a cada 19,2cm- o fator limitante para esse caso é o 
espaçamento máximo entre estribos. 
 
COMPRIMENTO DE ANCORAGEM DOS ESTRIBOS: CONSIDERANDO A UTILIZAÇÃO COM 
DOBRAS A 90°, O COMPRIMENTO MÍNIMO DE ANCORAGEM DOS ESTRIBOS DEVE SER O 
MAIOR VALOR ENTRE 10*DIÂMETRO DA BARRA OU 7CM, ENTÃO PARA ESSE CASO O 
COMPRIMENTO DE ANCORAGEM DOS ESTRIBOS DEVE SER 7CM. 
-COMPRIMENTO DE ANCORAGEM DAS BARRAS LONGITUDINAIS DE FLEXÃO: 
- Para armadura negativa (trabalhar tudo em Mpa ou tudo em kN/cm²): 
 
-Para armadura positiva: 
 
-COMPRIMENTO DE ANCORAGEM NECESSÁRIO: leva em consideração a existência ou 
não de gancho e a relação entre a armadura calculada (As,calc) e a armadura 
efetivamente disposta: 
 
 
-Comprimento de ancoragem necessário para a armadura negativa: 
As,cal=Vd/fyd= 18,3/(50/1,15)=0,4209cm² 
As,ef=1,5cm² 
CONSIDERANDO O DIMENSIONAMENTO DE ANCORAGEM SEM GANCHO 
lb,nec= 𝟏 ∗ 𝟐𝟏 ∗
𝟎,𝟒𝟐𝟎𝟗
𝟏,𝟓
= 5,89cm 
0,3*lb= 0,3* 6,79= 2,037 
10*0.08= 0,8 
10cm> 5,89 - ENTÃO O COMPRIMENTO DE ANCORAGEM PARA A ARMADURA NEGATIVA É DE 
10CM. 
-Comprimento de ancoragem necessário para a armadura negativa: 
As,cal=Vd/fyd= 18,3/(50/1,15)= 0,4209cm² 
As,ef=0,93cm² 
CONSIDERANDO O DIMENSIONAMENTO DE ANCORAGEM SEM GANCHO 
lb,nec= 𝟏 ∗ 𝟏𝟕 ∗
𝟎,𝟒𝟐𝟎𝟗
𝟎,𝟗𝟑
= 7,69cm 
0,3*lb= 0,3* 5,35= 1,605cm 
10*0.063= 0,63 
10cm> 2,42cm- ENTÃO O COMPRIMENTO DE ANCORAGEM PARA A ARMADURA POSITIVA É 
DE 10CM. 
-COMO PARA ESSE CASO NÃO HAVERÁ CORTE DE BARRAS, NÃO É NECESSÁRIO FAZER A 
DECALAGEM, QUANDO AS BARRAS SÃO CORTADAS E HÁ A EMENDA DE BARRAS É 
NECESSÁRIO FAZER A DECALAGEM. 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS- DIMENSIONAMENTO DE VIGAS 
OBSERVAÇÃO: PARA OS EXERCÍCIOS DEVE-SE FAZER A VERIFICAÇÃO DA POSIÇÃO DA LINHA 
NEUTRA E O CÁLCULO DO COEFICIENTE DE DUCTILIDADE β, SE A LINHA NEUTRA ESTIVER 
X>X3LIM, O ELEMENTO DEVE SER REDIMENSIONADO E SE O COEFICIENTE DE DUCTILIDADE 
FOR MAIOR QUE β>0,45 DEVE SER EMPREGADO ARMADURA DUPLA PARA LIMITAR A 
POSIÇÃO DA LINHA NEUTRA E GARANTIR QUE O ELEMENTO SEJA DIMENSIONADO NOS 
DOMÍNIOS 2 OU 3. 
EXERCÍCIO 1: Calcular a área de aço (armadura de flexão) para uma seção retangular, cujos 
dados são: 
-Concreto classe C20 -Aço CA-50 -bw= 25cm -h=40cm -Mk= 100kN.m -d= 37cm 
-Brita 1(dmax=19mm) -cobrimento nominal= 2cm -Estribo=5mm 
 
EXERCÍCIO 2: Calcular a área de aço (armadura de flexão) para uma seção retangular, cujos 
dados são: 
-Concreto classe C30 -Aço CA-50 -bw= 17cm -h=35cm -Mk= 75kN.m -d= 32cm 
-Brita 1(dmax=19mm) -cobrimento nominal= 2cm -Estribo=6.3mm 
 
EXERCÍCIO 3: Calcular a área de aço ( armadura de flexão) para uma seção retangular, cujos 
dados são: 
-Concreto classe C40 -Aço CA-50 -bw= 30cm -h=45cm -Mk= 190kN.m -d= 42cm 
-Brita 1(dmax=19mm) -cobrimento nominal= 2cm -Estribo=6.3mm 
 
EXERCÍCIO 4: Calcular a armadura transversal (estribos) de uma viga bi apoiada, são 
conhecidos: 
Concreto C25 Aço CA-50 c(cobrimento)=2 cm bw=20cm h=30cm d=27cm Vk= 130kN 
 
EXERCÍCIO 5: Calcular a armadura transversal (estribos) de uma viga bi apoiada, são 
conhecidos: 
Concreto C30 Aço CA-50 c(cobrimento)=2 cm bw=15cm h=35cm d=32cm Vk= 100kN 
 
EXERCÍCIO 6: Calcular a armadura transversal (estribos) de uma viga bi apoiada, são 
conhecidos: 
Concreto C40 Aço CA-50 c(cobrimento)=2 cm bw=30cm h=45cm d=42cm Vk= 250kN 
 
EXERCÍCIO 7: Fazer o dimensionamento da viga 8 do exemplo 4. Dica- para a determinação de 
momentos fletores máximos e cortantes utilize o programa ftool e para encontrar as áreas de 
influência utilize o auto-cad. Considere a espessura da laje 5 como sendo 15cm.