Gráficos de Funções de Duas Variáveis e Otimização

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Primeira Atividade de ma211ab, ps2014
(1) Nesta questa˜o diga o que entende por gra´fico de uma func¸a˜o de duas varia´veis e como
empregamos no mathematica o comando Plot3D [ ] para desenha´-lo. Ale´m disso, trabalhe com
os seguintes exemplos
(a) A func¸a˜o de Heaviside e´ uma func¸a˜o dada por h(t) = 0 se t < 0 e h(t) = 1 se t ≥ 0.
Empregamos esta func¸a˜o de uma varia´vel para definir outra, de duas varia´veis, dada por
g(x, y) = h(
√
x2 + y2)− h(−1 +
√
x2 + y2). Desenhe o gra´fico de g, tente explicar por que
tem esta forma.
(b) No texto do Edwards e Penney, que empregamos esta semana, eles explicam por que motivo
o gra´fico de f(x, y) = (3/4)y2 + (1/24)y3 − (1/32)y4 − x2 tem a forma de duas montanhas
separadas por um vale. Repita, com suas palavras, fazendo desenhos etc. . . a explicac¸a˜o dos
autores. Repita novamente esta estrate´gia e resolva o exerc´ıcio 40 da pa´gina 9 do texto.
(2)Nesta questa˜o primeiro conte como os comandos ContourPlot[ ] e RegionPlot[ ] do mathematica
podem ser utilizados para resolver problemas de otimizac¸a˜o visualmente. Em seguida considere o
seguinte problema, tirado do livro do Boldrini e da Sueli. Um fabricante de mo´veis fabrica mesas
e cadeiras. Ele tem lucro de 45 reais por cadeira e 80 por mesa e vende tudo que fabrica. Sua
produc¸a˜o e´ limitada em dois aspectos. Cada cadeira produzida utiliza 5 unidades de jacaranda´,
ja´ a mesa necessita de 20 unidades. Ele dispo˜e apenas de 400 unidades desta madeira no per´ıodo
considerado. Ale´m disso cada cadeira produzida gasta 10 homens-hora e cada mesa 15 . . . o
comerciante dispo˜e de 450 homens-hora no per´ıodo considerado. Qual a quantidade de cadeiras
e mesas produzidas no per´ıodo considerado que dariam lucro ma´ximo ao fabricante? A resposta
deve ser dois nu´meros inteiros, ne´?
(3) Explique como funciona o comando Manipulate [ ] e diga como usaria este comando para
mostrar as curvas de n´ıvel da func¸a˜o g(x, y) = xy fazendo um plano de altura varia´vel cortar
seu gra´fico. Fac¸a a troca de varia´veis x =
√
2
2 u +
√
2
2 v e y =
√
2
2 u −
√
2
2 v, interprete u e v como
novos eixos no plano xy e conclua que g e´ essencialmente a mesma func¸a˜o que aparece no final
da pa´gina 5 do texto que empregamos segunda, cujo gra´fico e´ uma sela.
Boa Sorte. Ma´rcio.
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