Teoria dos conjuntos

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TEORIA DOS CONJUNTOS – 2017
Prof. Marcone Soares da Silva
Teoria dos conjuntos é o ramo da matemática que estuda conjuntos, que são coleções de elementos. Embora qualquer tipo de elemento possa ser reunido em um conjunto, a teoria dos conjuntos é aplicada na maioria das vezes a elementos que são relevantes para a matemática.
A ideia de conjunto era um conceito primitivo e autoexplicativo de acordo com a teoria; não necessitaria de definição.
Conjunto: representa uma coleção de objetos.
Exemplo: O conjunto de todos os números naturais.
Elemento: é um dos componentes de um conjunto, são os objetos.
Exemplo:10 é um elemento do conjunto dos números naturais.
Representação: Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração de seus elementos que deverá está entre chaves e seus elementos separados por vírgulas é denominada "forma de listagem", Todo conjunto tem um nome que são as letras maiúsculas do nosso alfabeto A, B, C, .... Z. Poderia também se representar o mesmo conjunto por uma determinada propriedade de seus elementos, sendo x, por exemplo, um número qualquer do conjunto Z representado abaixo:
Z = {1,3,5,7,9,11, ... } teríamos, concluindo:
Z = { x | x é ímpar e positivo } = { 1,3,5, ... }.
Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os conjuntos são mostrados graficamente. 
 A
Como definição intuitiva de conjuntos, dadas por Cantor, surgiam em sua teoria exemplos como:
Conjunto unitário: possui um único elemento. Exemplo: A = { 2 }
Conjunto vazio: é o conjunto que não possui nenhum elemento. 
Notação { }ou 
Conjuntos Iguais: Dois conjuntos são iguais se possuem exatamente os mesmos elementos
Exemplo: A = {a, e, i, o, u}; B ={ x/x é vogal}, dizemos A = B.
Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo. 
Os conjuntos podem ser finitos ou infinitos. Um conjunto finito pode ser definido reunindo todos os seus elementos separados por vírgulas. Já um conjunto infinito pode ser definido por uma propriedade que deve ser satisfeita por todos os seus membros.
Exemplo: A ={ a, e, i, o, u}; B = { x/x é uma vogal}. Indica-se A = B.
Merece destaque outras relações básicas, que independem de um cálculo matemático mais complexo, utilizando-se lógica básica e pura. São exemplos desta afirmação as relações a seguir: Símbolos de pertinência: ∈ pertence ou ∉ .
Símbolos de Pertinência
1 - Pertinência, que estabelece se um elemento pertence ou não pertence a um conjunto pré-estabelecido:
- dado um número x, caso ele pertença ao conjunto, escrevemos x ∈ A, ou "x" pertence ao conjunto A
- caso "x" não pertença ao conjunto, registra-se x ∉ A
Seja A = { 1, 3, 4, 5, 7}, dizemos 3 x ∈ A e 2 ∉ A.
Subconjuntos: Dados os conjuntos A e B não vazio. Caso todo o elemento do conjunto A pertença também ao conjunto B, sem que todos os elementos deste segundo grupo pertençam todos a B, diremos que "A é subconjunto de B": Notação A ⊂ B . A está contido em B ou BA. B contém A.
Exemplo Dado: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = { 1,3, 5}, dizemos A ⊂ B ou BA.
Propriedades do subconjunto:
1) ⊂  A, A. O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja 
2) A ⊂ A, A. Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja ; 
Operações com conjuntos
a) Reunião: 
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B ou A B = { x: x ∈  A ou ∈  B } 
Notação: A U B. 
Exemplo: Se A = {a, e ,i, 0} e B = {3, 4} então A B = {a, e,i, 0, 3, 4}.
b) Interseção de conjuntos:
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B ou A B = { x: x ∈ A e x ∈ B } 
Notação: A B .
Exemplo: Se A = {a, e, i, o ,u} e B = {1, 2 ,3, 4} então A B = Ø.
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.
c) Diferença de conjuntos:
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
A - B = {x/ x ∈ A e x∉ B}
d) Complementar de um conjunto:
O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por 
B, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:
Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a palavra complementar no lugar de complemento.
Exemplos: Øc=U e Uc=Ø.
Conjunto das partes de um conjunto:
Dado um conjunto A, chama-se partes de um conjunto ao conjunto formado por todos os subconjuntos possíveis que podemos formar com os elementos do conjunto A.
Notação: P(A).
Número de subconjuntos das partes de A:
 
Se um conjunto A possuir n elementos, então existirão 2n subconjuntos de A.