Método das Forças

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Capítulo 4
Método das forças
Esta é uma versão de trabalho desse capítulo, por isso não deixa
de consultar os apontamentos das aulas teóricas!
4.1 Introdução ao Método das Forças
Um modelo estrutural para poder representar adequadamente o comportamento da
estrutura real tem que satisfazer as seguintes relações fundamentais:
• condições de equilíbrio (estáticas), garantem o equilíbrio estático de qualquer
porção isolada da estrutura ou da estrutura como um todo.
• condições de compatibilidade (cinemáticas), entre deslocamentos e deforma-
ções. São condições cinemáticas que devem ser satisfeitas para garantir que a
estrutura, ao se deformar, permaneça contínua e compatível com as suas liga-
ções (apoios) externas. As condições de compatibilidade são: de continuidade
interna (no interior das barras e nas ligações das barras) e de compatibilidade
externa (modelo tem que satisfazer as condições de apoio).
• condições de comportamento dos materiais (leis constitutivas).
O Método das Forças é um método básico de análise para problemas hiperstáticos
que utiliza incógnitas principais forças generalizadas que podem ser reacções ou
esforços internos.
O Método das Forças consta em determinar dentro de um conjunto de soluções
equilibradas (mas não compatíveis), qual é a solução que satisfaz também as con-
dições de compatibilidade.
Na formalização do Método das Forças as condições básicas do problema devem
ser atendidas pela seguinte ordem:
1. condições de equilíbrio ou estáticas;
47
CAPÍTULO 4. MÉTODO DAS FORÇAS 48
2. condições de comportamento dos materiais ou lei constitutiva;
3. condições de compatibilidade ou cinemáticas.
Na prática, para análise de uma estrutura hiperstática somam-se uma série de so-
luções básicas - que satisfazem o equilíbrio mas não satisfazem as condições de
compatibilidade da estrutura original - para restabelecer as condições de compati-
bilidade da estrutura original.
As soluções básicas são obtidas numa estrutura auxiliar isostática obtida a partir
da estrutura original introduzindo libertações e chama-se sistema base. As forças
e/ou momentos correspondentes as ligações eliminadas são incógnitas do problema
hiperstático.
Ao analisar o comportamento de uma estrutura sujeita a uma determinada solici-
tação, as incógnitas de natureza estática são as reacções - que se desenvolvem nos
aparelhos de apoios - e os esforços que se instalam nos elementos resistentes.
As ligações externas e internas servem para suprimir os graus de liberdade do sis-
tema, determinando a sua estatia.
O nosso interesse é saber se a determinação das reacções externas e inter-
nas/esforços pode ser feita através das equações de equilíbrio?
O grau de indeterminação estática duma estrutura pode ser estudada recorrendo a
um dos métodos apresentados no Anexo A.
4.2 Descrição do Método das Forças
Para apresentar a metodologia de análise de uma estrutura hiperstática pelo método
das forças será utilizado um exemplo simples.
B CA
EI
q
L L
Figura 4.1: Estrutura hiperstática αe = 5− 3 = +2; αi = 0; αg = 0
Grau de hiperstaticidade e sistema base
Para analisar a estrutura determina-se o grau de hiperstaticidade ou de indetermi-
nação estática (α = αg) o que representara o número de incógnitas excedentes ao
número de equações de equilíbrio.
CAPÍTULO 4. MÉTODO DAS FORÇAS 49
 
 
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!!!
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!!
!!
 !!
 
 
!!
!!
Sistema base (SB)
∆Bv 6= 0 θ
C 6= 0
X1 CA
X2
B
b)a)
B
l l
C
θC = 0
q
EI
A ∆Bv = 0
q
Figura 4.2: Estrutura utilizada para descrição do método das Forças e escolha do
Sistema Base para (α = 3× 2− 4 = 2)
A solução do problema hiperstático pelo Método das Forças é feita pela sobre-
posição de soluções básicas isostáticas. Para isso cria-se uma estrutura isostática
auxiliar, chamada Sistema Base (SB), que é obtida da estrutura original hipers-
tática pela introdução de libertações. Cada libertação retira uma força externa ou
interna.
A escolha do SB é arbitrária, qualquer estrutura isostática é válida desde que seja
estável estaticamente. Pela introdução das libertações não se deve transformar a
estrutura num mecanismo total ou parcial!
Nota Em situações especificas o número de libertações pode ser menor do que o
grau de hiperstaticidade da estrutura desde que a estrutura hiperstática resultante é
simples e a análise fácil de fazer.
As forças correspondentes as ligações cortadas (reacções externas e/ou
esforços)chamam-se incógnitas hiperstáticas (Xi) onde (i = 1, α) e são as incóg-
nitas da solução pelo Método de Forças.
Reposição das condições de compatibilidade
As libertações introduzem incompatibilidade em deslocamentos. Para corrigir esses
“erros” procuram-se os valores das incógnitas hiperstáticas que restabelecem as
condições de compatibilidade da estrutura original violadas na obtenção do SB.
A determinação das incógnitas (Xi) é feita através da sobreposição das soluções
básicas obtidas no SB. O número destas soluções é igual à (α + 1).
 !!!
 !!!
 
 
!!!
!!!
 
 
!!!
!!!
 
 
!!!
!!!
 
 
!!!
!!!
∆B10 θ20
Α
C
δ22
X =12
δ12Α
C
δ21δ11
X =11
Α
C
q
∆10 = − 5ql
4
24EI
; ∆20 = − ql
3
3EI
δ11 =
l3
6EI
; δ21 =
l2
4EI
δ12 =
l2
4EI
; δ22 =
2l
3EIc)
b)
a)
Figura 4.3: Incompatibilidades no Sistema Base
CAPÍTULO 4. MÉTODO DAS FORÇAS 50
Calculam-se os deslocamentos no SB provocados pela solicitação externa (forças
externas aplicadas, variação da temperatura, assentamento de apoios, etc...) se-
gundo a direcção das incógnitas hiperstáticas, Figura 4.3.a.
O ∆i0 representa o deslocamento no SB segundo a direcção da incógnita hiperstá-
tica Xi devido a solicitação externa.
Calculam-se os deslocamentos no SB devido a acção isolada das incógnitas hi-
perstáticas nos mesmos pontos e segundo as mesmas direcções di = Xjδij , fi-
gura 4.3.b,c.
O termo δij representa o deslocamento no SB segundo a direcção da incógnita
hiperstáticaXi devido a solicitaçãoXj = 1.
Nota Para cálculo de deslocamentos nesse Capítulo será utilizado o Princípio do
Trabalho Virtual Complementar ou Princípio das Forças Virtuais.
A partir dos resultados obtidos, utilizando a sobreposição dos efeitos, escrevem-se
as condições de compatibilidade para eliminar os “erros” introduzidos no SB.
∆BV = 0 : ∆10 + δ11X1 + δ12X2 = 0
θC = 0 : ∆20 + δ21X1 + δ22X2 = 0
Estas condições são em número (α) e a solução do sistema obtida representa o
valor da incógnita hiperstática (X1 e X2) para qual se verifica a anulação das in-
compatibilidades.
Em geral a condição de compatibilidade é:
∆i0 +
α∑
j=1
δijXj = ∆i , i = 1, α (4.1)
Desta forma atingiu-se a solução correta para a estrutura original, pois além de
satisfazer as condições de equilíbrio (sempre satisfeita no SB) também satisfaz as
condições de compatibilidade.
Determinação dos esforços internos
Depois de obter os valores correctos das incógnitas hiperstáticas é necessário obter
os diagramas de esforços e deslocamentos na estrutura.
Os diagramas de esforços podem ser obtidos por um dois seguintes métodos:
1. Aplicando a SB o carregamento externo em simultâneo com as incógnitas
hiperstáticas.
2. Utilizando a sobreposição dos efeitos uma vez que já estão disponíveis os
esforços no SB da acção isolada da solicitação externa e das incógnitas hi-
perstáticas.
CAPÍTULO 4. MÉTODO DAS FORÇAS 51
(Esf)f = (Esf)0 +
α∑
i=1
Xi (Esf)i
onde o (Esf)f representa o esforço final na estrutura original, (Esf)0 o es-
forço no SB devido a solicitação externa, (Esf)i o esforço no SB originado
pela solicitação isolada da incógnitaXi = 1.
4.3 Matriz de flexibilidade
A equação de compatibilidade (4.1) pode ser escrita sob forma matricial:FX =∆−∆0 (4.2)
em que:
• F[δij ] – é a matriz de flexibilidade e δij representa o coeficiente de flexibili-
dade, isto é translação ou rotação no SB segundo a direcção da incógnita Xi
devido a carregamentoXj = 1.
• X[Xj] – é o vector das incógnitas hiperstáticas;
• ∆[∆i] – vector dos deslocamentos impostos. ∆i representa o deslocamento
imposto segundo a direcção da incógnita hiperstática Xi;
• ∆0[∆i0] – vector das descontinuidades. ∆i0 representa o deslocamento se-
gundo a direcção da incógnita hiperstáticaXi devido a solicitação externa;
Para o exemplo considerado temos:
F =
[
δ11 δ12
δ21 δ22
]
=


l3
6EI
l2
4EI
l2
4EI
2l
3EI


X =
[
X1
X2
]
; ∆ =
[
∆1
∆2
]
= 0 ; ∆0 =
[
∆10
∆20
]
= − ql
3
24EI
[
5l
8
]
A matriz de flexibilidade (F ) depende das propriedades da estrutura e do SB esco-
lhido.
Nota 1: A matriz da flexibilidade é uma matriz simétrica (pode ser demonstrado
pelo teorema de Maxwell):
δij = δji e δii > 0
CAPÍTULO 4. MÉTODO DAS FORÇAS 52
Nota 2: Os coeficientes de flexibilidade que correspondem a um dado caso básico
tem o mesmo índice j (cada coluna da matriz representa os deslocamentos obtidos
para o mesmo carregamento unitárioXj = 1).
O vector das descontinuidades depende da solicitação externa e da propriedade da
estrutura. Para um outro carregamento mantendo o mesmo SB é necessário recal-
cular apenas o vector das descontinuidades.
A solução da equação (5.2) é:
X = F−1 (∆−∆0)
Para o caso analisado temos:
F
−1 =
12EI
7l3
[
8 −3l
−3l 2l2
]
⇒ X = ql
14
[
16
l
]
Os esforços podem ser obtidos resolvendo a estrutura isostática com o carrega-
mento representado ou aplicando a sobreposição dos efeitos.
X1 =
8ql
7
; X2 =
ql2
14
 !!
 !!
1/14ql2
A
B
C
q
8/7ql
l l
4.4 Sistematização de aplicação do método das for-
ças
O método das forças para solução de estruturas estaticamente indeterminadas con-
siste dos seguintes passos. Para exemplificação considere-se o caso das estruturas
planas reticuladas.
O SB é composto por nb barras, l + n apoios elásticos e solicitado por cargas
aplicadas, k assentamentos de apoio e variação da temperatura actuante em j barras.
1. Identificação do grau de hiperstaticidade ou de indeterminação estática (α)
da estrutura, igual ao número de incógnitas excedentes ao número de equa-
ções de equilíbrio.
2. Constituição do Sistema Base (SB): obtenção de um sistema estrutural isos-
tático, através da eliminação de ligações internas e/ou externas e introdução
das incógnitas hiperstáticas correspondentes as ligações eliminadas.
3. Cálculo do sistema base para acções consideradas. Obtenção dos diagramas
M0, N0 e V0 (Condições de equilíbrio satisfeitas).
CAPÍTULO 4. MÉTODO DAS FORÇAS 53
4. Cálculo do sistema base para acções unitárias em correspondência com as
incógnitas hiperstáticas. Obtenção do diagramas para cada carga unitária:mi,
ni e vi (Obtenção de α sistemas equilibrados).
5. Cálculo dos deslocamentos (∆i0) no sistema base para acções consideradas
segunda a direcção das incógnitas hiperstáticas, utilizando o PFV e os siste-
mas equilibradas obtidas na alínea anterior. (Relações de elasticidade satis-
feitas).
∆i0 =
∑
nb
∫ l
0
(
N0ni
EA
+
V0vi
GA⋆
+
M0mi
EI
)
dx−
∑
k
rki∆
k
0 +
+
∑
j
∫ l
0
(
αt0ni + α
∆t
h
mi
)
dx+
∑
l
niN0
k
+
∑
n
miM0
kθ
6. Cálculo dos deslocamentos (δij) no sistema base para cada uma das cargas
unitárias (Xj = 1) segundo a direcção das incógnita hiperstáticas (Xi) , uti-
lizando o PFV e os sistemas equilibradas obtidas. (Relações de elasticidade
satisfeitas).
δij =
∑
nb
∫ l
0
(
ninj
EA
+
vivj
GA⋆
+
mimj
EI
)
dx+
∑
l
ninj
k
+
∑
n
mimj
kθ
7. Imposição dos valores dos deslocamentos pretendidos na direcção das incóg-
nitas hiperstáticas, utilizando o princípio da sobreposição dos efeitos. (Impo-
sição das condições de compatibilidade).
∆i0 + δi1X1 + δi2X2 + · · ·+ δiαXα = ∆i
8. Resolução do sistema de equações:

δ11X1 + δ12X2 + · · ·+ δ1αXα = ∆1 −∆10
δ21X1 + δ22X2 + · · ·+ δ2αXα = ∆2 −∆20
· · · · ··
δα1X1 + δα2X2 + · · ·+ δααXα = ∆α −∆α0
9. Determinação das restantes quantidades que interessam (S(x)): deslocamen-
tos dos outros pontos, reacções, esforços/diagramas etc. a partir do SB ou por
sobreposição dos efeitos.
S(x) = S0(x) + s1(x)X1 + s2(x)X2 + · · ·+ sα(x)Xα
4.5 Exemplos de aplicação do método das Forças
O sistema base pode ser obtida introduzindo na estrutura hiperstática libertações
externas (eliminar apoios) ou libertações internas (introduzir libertações de esfor-
ços).
CAPÍTULO 4. MÉTODO DAS FORÇAS 54
4.5.1 Sistema base obtido por eliminação de apoios
Exemplo 4.9 Determine os diagramas de esforços na estrutura:
 
 
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q
ll l
EI
X1 X2
SB
p(2l)2/2
pl2/2
X2 = 1
l
2l l
M0
X1 = 1
m2
m1
Estatia: αg = α = 5− 3 + 0 = 2
Incompatibilidades:
∆10 =
∫
M0m1
EI
dx
∆20 =
∫
M0m2
EI
dx
δ11 =
∫
m1m1
EI
dx
δ22 =
∫
m2m2
EI
dx
δ12 = δ21 =
∫
m1m2
EI
dx
Calculo dos deslocamentos (incompatibilidades):
 
 
 
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l
p(2l)2/2
pl2/8
pl2/2
pl2/8
EI∆10 =
2
3
p l2
8
l × 1
2
l − 1
2
l × 2 p l2 × 2
3
l +
+
2
3
p l2
8
l × 1
2
l − 1
2
l × 3
2
p l2 × 2
3
l −
− p l
2
2
l × l
2
= −4
3
p l4
 
 
 
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pl2/8
2pl2
p(2l)2/8
2l
EI∆20 =
2
3
p l2
8
l × 1
2
2 l − 1
2
l × 2 p l2 × 2
3
2 l +
+
2
3
p (2 l)2
8
(2 l)× 1
2
(2 l)−
− 1
2
(2 l) 2 p l2 × 2
3
(2 l) = −13
4
p l4
CAPÍTULO 4. MÉTODO DAS FORÇAS 55
δ11 =
∫
m1m1
EI
dx =
1
2
l × l × 2
3
l +
1
2
l × l × 2
3
l =
2
3
l3
EI
δ22 =
∫
m2m2
EI
dx =
1
2
l × (2 l)× 2
3
(2 l) +
1
2
(2 l)× (2 l)× 2
3
(2 l) =
4 l3
EI
 
 
 
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!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!
 
 
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l
2l
l
2l
l
δ12 =
∫
m1m2
EI
dx
=
1
2
l × l × 2
3
2 l +
1
2
l × l × ( l
3
+
2
3
(2 l)1
δ12 =
3
2
l3
EI
Imposição das condições de compatibilidade:
{
δ11X1 + δ12X2 +∆10 = 0
δ21X1 + δ22X2 +∆20 = 0
⇔


2
3
l3
EI
X1 +
3
2
l3
EI
X2 − 43EI p l4 = 0
3
2
l3
EI
X1 +
4 l3
EI
X2 − 134EI p l4 = 0


2
3
X1 +
3
2
X2 =
4
3
p l
3
2
X1 + 4X2 =
13
4
p l
⇔


X1 =
11
10
p l
X2 =
2
5
p l
Esforços finais são obtidos por sobreposição dos efeitos:
 
 
!!!
!!!
 
 
!!!
!!!
 
 
!!
!!
 
 
!!
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4 (pl2)/5
Mf =M0 +m1X1 +m2X2
X1m1
X2m2
pl2/10
(−1/8 + 1/5)pl2 = 3(pl2)/40
(−9/8 + 11/20 + 3/5)pl2 = (pl2)/40
M0
ll l
EI
q
11 (pl2)/10
p(2l)2/2
(pl2)/2
9(pl2)/8
2(pl2)/5
CAPÍTULO 4. MÉTODO DAS FORÇAS 56
4.5.2 Sistema base obtido por introdução de rótulas internas
Exemplo 4.10 Escolhendo outro sistema base.
 
 
!!!
!!!
 
 
!!!
!!!
 
 
!!
!!
 
 
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!!
 !!
 
 
!!
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!!
!!
 
 
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!!!!!!!!!!!!!
 
 
!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!
 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!
M0
q
ll l
EI
m2
m1
X1 X2
SB
X2 = 1
X1 = 1
q
pl2/8
EI∆10 = 2×
(
2
3
p l2
8
l × 1
2
)
=
pL3
12
∆20 = ∆10
EIδ11 = 2×
(
1
2
l × 1× 2
3
× 1
)
=
2
3
l
δ22 = δ11
EIδ12 = EIδ21 =
1
2
l × 1× 1
3
=
l
6


2
3
l
EI
X1 +
l
6EI
X2 +
p l2
12EI
= 0
l
6EI
X1 +
2
3
l
EI
X2 +
p l2
12EI
= 0
⇔
{
X1 = X2 = −p l210
Esforços finais são obtidos por sobreposição dos efeitos:
 
 
!!
!!
 !!
 
 
!!!
!!!
 
 
!!
!!
 
 
!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!
 
 
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
 
 
!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!
 
 
 
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
q
ll l
EI
pl2/8
M0
X1m1
pl2/10
X2m2
pl2/10
pl2/10
M =M0 +m1X1 +m2X2
(−1/20− 1/20 + 1/8)pl2 = pl2/40
(−1/20 + 1/8)pl2 = 3/40pl2
CAPÍTULO 4. MÉTODO DAS FORÇAS 57
4.6 Análise de estruturas sujeitas a variação da tem-
peratura e a pré-esforço
4.6.1 Variação da temperatura
A variação da temperatura no exemplo apresentado, Figura 4.4, é constante ao
longo do eixo da barra e varia linearmente na altura da secção, sendo te > ti > 0
O sistema base é obtido libertando o apoio em B.
Para considerar o efeito da temperatura, esta é decomposta nas parcelas∆ t e t0. O
deslocamento provocado em B pela variação da temperatura (parcela ∆ t) é dada
por:
∆B = ∆10 =
∫
mα
∆ t
h
dx
o que deve ser corrigido pelo deslocamento provocado pela incógnita hiperstática
X = X1, que produz o deslocamento δB1 = δ11:
EIδ11 =
∫
mmdx
A condição da compatibilidade é:
∆10 + δ11 = 0 ; → X = −∆B
δB1
 !!
 !!
 
 
!!!
!!!
 
 
!!
!!
 !!
 
 
!!!
!!!
 !!
 !! !!
 
 
!!!
!!!
 !! !!
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!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
 
 
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!!!!!!!!!!!!!!!!!
 
 
 
 
 
!!!
!!!
!!!
!!!
!!!
Α Β C
Α C
δB1
SB
tiX1
αt0
α∆t/h
m
n
∆Bv = 0
te
t0 =
ti+te
2
ti ∆ t/2
∆ t = ti − te
te
ti
te
∆C∆ t+ t0
∆B
X1 = 1
te
∆ t
t0
X1
ti
Figura 4.4: Variação de temperatura constante ao longo do eixo da barra e linear na
altura da secção
CAPÍTULO 4. MÉTODO DAS FORÇAS 58
4.6.2 Pré-esforço
O sistema base é obtida libertando o momento no apoio B.
 
 
!!
!!
 !!!
 !!!
 !!
 !!
 
 
!!
!!
 !!
 
 
 
 
!!!
!!!
!!!
!!!
 
 
 
 
!!
!!
!!
!!
Α
Β
C
Α
Α Β
SB
X1
X1
∆B
δB
MB = X1
cabo de pre-esforço
∆B + δB X1 = 0
X = −∆B
δB
O deslocamento provocado pelo cabo de pré-esforço no sistema base é a rotação
em B que está corrigido pela rotação provocada pela incógnita hiperstática X1.
4.7 Análise de estruturas com assentamento de apoio
ou apoios elásticos
Estrutura sujeite a solicitação simultânea de uma carga distribuída e um desloca-
mento∆ imposto:
• assentamento de apoio (deslocamento imposto - valor definido)
• apoio elástico (mola de translação - deslocamento com valor em função do
esforço e a rigidez da mola. Exemplo |∆| = |R|/k para uma fundação elás-
tica de rigidez k.
∆
l
h
q q
∆
X1
X2
X3
SB
A B
O sistema base é obtida libertando o apoio em B (X1, X2 e X3).
CAPÍTULO 4. MÉTODO DAS FORÇAS 59
Os deslocamentos provocados pela acção isolada das solicitações obtêm-se com
base em soluções básicas (Xi = 1).
 
 
!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!
 
 
 
 
 
 
 
 
!
!
!
!
!
!
!
!
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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!!
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!!
!!
 
 
!!!!!!!!!!
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m1 v1 n1
m2 v2
v3 n3
M0 V0 N0
m3
δ12 δ32
δ22
n2
δ31
δ21
δ11
∆10 ∆30
∆20
q
pl2/2
pl
pl
1
11
h
1
δ13
δ23
δ33
X1 = 1
X2 = 1
X1 = 1
l
1
As equações de compatibilidade escrevem-se:

∆10 + δ11X1 + δ12X2 + δ13X3 = 0
∆20 + δ21X1 + δ22X2 + δ23X3 = −∆⋆
∆30 + δ31X1 + δ32X2 + δ33X3 = 0
onde ∆⋆ = ∆ no caso do assentamento de apoio ou ∆⋆ = X2
k
quando existe uma
mola.
Exemplo de aplicação
Exemplo 4.11 Cálculo dos esforços numa barra bi-encastrada quando se dá um
deslocamento unitário numa direcção sendo os outros nulos.
CAPÍTULO 4. MÉTODO DAS FORÇAS 60
 
 
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n2
m1
m3
6
4
12
3
l
5
M0 = 0 V0 = 0 N0 = 0
∆1
X3 = 1
l
X2 = 1
1
∆1
SB
X1 = 1
l
1
v1
v2 = 0
n1 = 0
v3 = 0
n3 = 0
m2 = 0
X3
X1
X2
δ11 =
1
EI
1
2
l2 × 2
3
l +
1
GA⋆
l × 1× 1 = l
3
3EI
+
l
GA⋆
δ21 = 0
δ31 =
1
EI
1
2
l2 × 1 = l
2
2EI
δ12 = 0 ;
δ22 =
1
EA
l × 1× 1 = l
EA
;
δ32 = 0 ;
δ13 =
1
EI
1
2
l2 × 1 = l
2
2EI
δ23 = 0
δ33 =
1
EI
l × 1× 1 = l
EI
• ∆1 =1 ↑ 

(
l3
3EI
+ l
GA⋆
)
X1 + 0 +
l2
2EI
X3 = 1
0 + l
EA
X2 + 0 = 0
l2
2EI
X1 + 0 +
l
EI
X3 = 0
X1 =
1
l3
12EI
+ l
GA⋆
; X2 = 0 ; X3 = − 1l2
6EI
+ 2
GA⋆
Cálculo dos esforços nas direcções 4, 5 e 6:
X4 = −X1 ; X5 = 0 ; X6 = X3 +X1 l = 1l2
6EI
+ 2
GA⋆
CAPÍTULO 4. MÉTODO DAS FORÇAS 61
Desprezando a contribuição do esforço transverso para a deformação, te-
mos:
1
12 EI
l3
6 EI
l2
6 EI
l2
12 EI
l3
• ∆2 = 1→ 

(
l3
3EI
+ l
GA⋆
)
X1 + 0 +
l2
2EI
X3 = 0
0 + l
EA
X2 + 0 = 1
l2
2EI
X1 + 0 +
l
EI
X3 = 0
X1 = X3 = 0 ; X2 =
EA
l
Cálculo dos esforços nas direcções 4, 5 e 6:
X5 = −X2 ; X4 = X6 = 0
1
EA
l
EA
l
• ∆3 = 1 

(
l3
3EI
+ l
GA⋆
)
X1 + 0 +
l2
2EI
X3 = 0
0 + l
EA
X2 + 0 = 0
l2
2EI
X1 + 0 +
l
EI
X3 = 1
X1 = − 1l2
6EI
+ 2
GA⋆
; X2 = 0 ; X3 =
1
l
EI
+ GA
⋆l3
12EI2
+
1
3
GA⋆l
+ 4 l
EI
Desprezando a contribuição do esforço transverso para a deformação, te-
mos:
X1 = −6EI
l2
; X2 = 0 ; X3 =
4EI
l
Cálculo dos esforços nas direcções 4, 5 e 6:
X4 = −X1 ; X5 = 0 ; X6 = X3 +X1 l = 4EI
l
− 6EI
l2
l = −2EI
l
CAPÍTULO 4. MÉTODO DAS FORÇAS 62
1
2 EI
l2
6 EI
l2
4 EI
l2
6 EI
l2
Observação: Designa-se por (kij) a força que se desenvolve na direcção (i)
quando se dá um deslocamento unitário na direcção (j). Conhecendo os deslo-
camentos na extremidade da barra δ1, δ2 e δ3 podem calcular-se as forças (F1, F2
e F3 ): 

k11 δ1 + k12 δ2 + k13 δ3 = F1
k21 δ1 + k22 δ2 + k23 δ3 = F2
k31 δ1 + k32 δ2 + k33 δ3 = F3
Inversamente, conhecendo as forças F1, F2 e F3 resultam os deslocamentos δ1, δ2
e δ3. Esta ideia está na base do método dos deslocamentos.
4.8 Análise de estruturas mistas
Por estrutura mista entende-se uma estrutura composta por elementos solicitados
apenas a esforço normal enquanto outros elementos são solicitados apenas a flexão
e ainda contem elementos que podem ser solicitados a flexão e a esforço normal.
Exemplo:
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!!
!!
60◦ 45
◦
1.8m
3m
A B
C
D
AB : EA→∞ , EI
BC ,BD : EA =
20
3
EI
NBD =?
α = 3× 2− 3− 2 = 1
Escolhendo o esforço axial na barra BD como incógnita hiperstática a equação de
compatibilidade vai impor nulo o deslocamento relativo entre as secções a esquerda
e a direita do corte:
∆DB + δDBX1 = 0 ; ∆10 + δ11X1 = 0
 !!
 
 
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!!
 
 
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 !!
 
 
!!!
!!!
 !!
 
 
!!
!!
60◦
C
A
B
C 60
◦
nBAA
B
nBC
X1 = 1
A B
C D
X1
SB
60◦
4 kN/m4 kN/m
CAPÍTULO 4. MÉTODO DAS FORÇAS 63
Para X1 = 1 temos:{ →: 1× sin 45◦ − nBA + nBC cos 60◦ = 0
↑: −1× cos 45◦ + nBC sin 60◦ = 0 ⇒
{
nBC = 0.816
nBA = 1.115
Sistema base sob acção da carga distribuída:


MeB : 6× 1− VA × 3 = 0
↑: VC = 4 kN
M bB : 4× 1.8sin 60◦ cos 60◦ −HC 1.8sin 60◦ sin 60◦ = 0
→: HA = 2.309 kN
⇒


VA = 2 kN ↑
VC = 4 kN ↑
HC = 2.309 kN →
HA = 2.309 kN ←
NBC = 4× sin 60◦ + 2.309 cos 60◦ = 4.61 kN(C)
 
 
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M0 N0
2.31
4.62
n
0.81
1
1.15
∆10 =
∑∫ (M0m
EI
+
N0n
EA
)
dx =
∑ N0n
EA
li
∆10 =
4.62× 0.816× 3
20EI
× 1.8
sin 60◦
=
1.175
EI
δ11 =
∑∫ (mm
EI
+
nn
EA
)
dx =
∑ N0n
EA
li
δ11 =
0.8162 × 3
20EI
× 2.08 + 1
2 × 3
20EI
× 1.8
sin 45◦
=
0.589
EI
X1 = −∆10
δ11
= −1.99 kN (C)
4.9 Análise de estruturas hiperstáticas articuladas
Como em treliças hiperstáticas apenas existem esforços axiais, o cálculo dos coefi-
cientes da matriz de flexibilidade e do vector das descontinuidades toma uma forma
particular.
Pretende-se determinar os esforços nas barras da treliça da figura 4.9.
Estuda da estatia da estrutura:
αe = 4− 3 = +1 αi = 3× 4︸︷︷︸
MF
− 12︸︷︷︸
MLi
= 0; αg = 1 + 0 = 1
CAPÍTULO 4. MÉTODO DAS FORÇAS 64
10 kN 10 kN
2 m 2 m
2 m
Figura 4.5: Treliça hiperstática e discretização
A treliça é hiperstática em primeiro grau e o SB pode ser obtida por eliminação de
uma ligação externa ou libertação do esforço axial numa das barras como se mostra
a seguir:
X1 1
∆1 = ∆10 + δ11X1
X1 1
0 = ∆10 + δ11X1
X1
X1
1
1
−X1 L1
EA1
= ∆10 + δ11X1
A solução é apresentada utilizando um sistema base obtido pela eliminação de um
apoio simples.
X1 1
A equação de compatibilidade força o deslocamento do ponto de aplicação da in-
cógnita hiperstática X1 a ser nulo (ou um valor imposto no caso de um assenta-
CAPÍTULO 4. MÉTODO DAS FORÇAS 65
mento de apoio).
∆10 + δ11X1 = 0 ⇒ X1 = −∆10
δ11
∆10 =
∫
N1N0
EA
ds =
∑
i
N1iN0i
EiAi
Li δ11 =
∫
N21
EA
ds =
∑
i
N21i
EiAi
Li
1
10 10
1
2
20
30
230 −30 −10
10
−10
20 2 10 2
−1
1
11
2
− 2− 2
D E F
A B C A B C
D E F
Barra L EA N0 N1
N0N1
EA
L
N2
1
EA
L N = N0 +N1X1
AB 2 EA 10 −1 −20/EA 2/EA
BC 2 EA 0 0 0 0
DE 2 EA −30 2 −120/EA 8/EA
. . .
Barra L EA N0 N1
N0N1
EA
L
N2
1
EA
L N = N0 +N1X1
AB 2 EA 10 −1 −20/EA 2/EA −2.8
BC 2 EA 0 0 0 0 0
DE 2 EA −30 2 −120/EA 8/EA −4.4
EF 2 EA −10 1 −20/EA 2/EA 2.8
AD 2 EA 0 0 0 0 0
BE 2 EA −10 1 −20/EA 2/EA 2.8
CF 2 EA 0 1 0 2/EA 12.8
AE 2
√
2 EA 20
√
2 −√2 −80√2/EA 4√2/EA 10.2
BF 2
√
2 EA 10
√
2 −√2 −40√2/EA 4√2/EA −4∑ −180+120√2
EA
16+8
√
2
EA
X1 = −∆10
δ11
=
108 + 120
√
2
16 + 8
√
2
≃ 12.8 kN
CAPÍTULO 4. MÉTODO DAS FORÇAS 66
4.10 Cálculo dos deslocamentos em estruturas hi-
perstáticas
Os deslocamentos em estruturas hiperstáticas podem ser obtidas por aplicação do
Princípio do Trabalho Virtual Complementar ou pelo teorema de Castigliano.
Segue-se o procedimento geral da aplicação do Princípio do Trabalho Virtual Com-
plementar ou Princípio das Forças virtuais para o cálculo dos deslocamentos duma
estrutura hiperstática.
Considerando um caso geral de carregamento e os diagramas de esforços finais
correspondentes,Nf ,Mf , . . . , obtidos através de um dos métodos conhecidos como
por exemplo método das forças ou teorema de Menabrea. Pretende-se calcular os
deslocamentos em pontos definidos.
A solução do problema hiperstático corresponde a um campo de deslocamentos
compatível (real).
∆i
δA
q
O PFV exige um campo de esforços virtuais n¯, m¯, . . . quaisquer, em equilíbrio com
a força unitária aplicada.
Ri
1
Observação: No caso de estruturas isostáticas, existe um único campo de esforços
em equilíbrio com a força unitária aplicada. Contudo, no caso de estruturas hipers-
táticas, existem vários campos de esforços equilibrados.
Para não ser necessário o cálculo da estrutura hiperstática (determinação do m¯)
para a acção unitária esta aplica-se num sistema base qualquer (o que for mais
conveniente).
CAPÍTULO 4. MÉTODO DAS FORÇAS 67
∆i
q
Diagramas de esforços: Nf ,Mf , . . .
Ri
1
Diagramas de esforços: n¯, m¯, . . .
1× δ =
∫
NN¯
EA
dx+
∫
MM¯
EA
dx+ · · ·+
∫
N¯αt0 dx+
∫
M¯
α∆t
h
dx−
∑
R¯i∆i
Exemplo 4.12 AdmitindoEI ,EA→∞, calcule o deslocamento vertical no meio
vão, para a viga representada.
X2X1
M1
M2
M0
qL /8
2
q
L
q
1
1
∆10 = − 1
EI
(
2
3
qL28
L
1
2
)
= − qL
3
24EI
∆20 = − qL
3
24EI
δ11 =
1
EI
(
1
2
1L
2
3
)
=
L
3EI
δ12 =
1
EI
(
1
2
1L
1
3
)
=
L
6EI
δ22 =
L
3EI
∆i0 +
∑
j
δijXj = 0 ⇒ X1 = X2 = qL
2
12
Os resultados obtidos permitem obter os diagramas de esforços no sistema compa-
tível.
CAPÍTULO 4. MÉTODO DAS FORÇAS 68
qL /12
2
qL /24
2
q
L
M
L/4
M
1
O sistema equilibrado virtual está obtida numa
viga simplesmente apoiada solicitada a uma força
virtual unitária no meio vão:
1× δ =
∫
MM¯
EI
dx
δ =
2
EI
[
1
2
L
4
L
2
(
−1
3
qL2
12
+
2
3
qL2
24
)
+
2
3
qL2
32
L
2
L
8
]
⇓
δ =
qL4
384EI
O mesmo resultado é obtido obtendo o sistema virtual equilibrado numa consola
com uma carga unitária.
qL /12
2
qL /24
2
M
q
L
M
1
L/2
1× δ =
∫
MM¯
EI
dx
δ =
1
EI
[
1
2
L
2
L
2
(
2
3
qL2
12
− 1
3
qL2
24
)
− 2
3
qL2
32
L
2
L
4
]
⇓
δ =
qL4
384EI
Bibliografia
[1] A. Ghali and A. M. Neville. Structural Analysis. A unified classical and matrix
approach. E & FN Spon, 4th edition edition, 1997.
[2] J. A. Teixeira de Freitas. Análise de estruturas I. IST, 1986.
[3] Raimundo Delgado. Teoria de estruturas. Acetatos de apoio às aulas teóricas.
FEUP - Disponíveis na página da disciplina, 2003.
[4] R. C. Hibbeler. Structural Analysis. Prentice Hall, 5th edition edition, 2001.
[5] Luiz Fernando Martha. Métodos básicos da análise de estruturas. PUC-Rio.
69