Slides Álgebra Aula 3

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Prof. Nacib Mattar Jr.
Álgebra Linear
Espaços Vetoriais
Aula Teórica 3
Organização da Aula
 Espaços Vetoriais: definição 
e exemplos
 Subespaços Vetoriais: definição 
e exemplos
 Combinação Linear
FIM
Espaços Vetoriais: 
Definição e Exemplos
Espaços Vetoriais
 Um conjunto V não vazio 
será um espaço vetorial se, 
e somente se, satisfaz todos 
os axiomas a seguir, sendo 
u, v e w pertencentes a 
V e k e l escalares:
1. Se u e v pertencem a V então 
u + v também pertence a V
2. u + v = v + u
3. u + (v + w) = (u + v) + w
4. Há um objeto “0” pertencente 
a V tal que 0 + u = u + 0 = u 
para todo u pertencente a V
5. Para cada u pertencente 
a V há um objeto –u também 
pertencente a V tal que 
u + (– u) = (– u) + u = 0
6. Dado um escalar k e um objeto 
u qualquer de V, ku pertence a V
7. k(u + v) = (ku + kv)
8. (k + l)u = ku + lu
9. K(lu) = (kl)u
10.1u = u
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• R²: conjunto de vetores (x,y)
• Adição usual: (a,b) + (c,d) = 
(a + b , c + d)
• Produto por escalar usual: 
k(a,b) = (ka , kb)
 Exemplo: R² 6. Dado um escalar k e um objeto 
u qualquer de V, ku pertence a V
7. k(u + v) = (ku + kv)
8. (k + l)u = ku + lu
9. K(lu) = (kl)u
10.1u = u
ܴ௡: ݑ = ܽଵ,ܽଶ, ܽଷ, … , ܽ௡
௡ܲ: ݑ = ܽଵ + ݔܽଶ + ݔଶܽଷ + ⋯+ ݔ௡ିଵܽ௡
ܯ௠௫ଵ:ݑ = ௔భభ௔మభ…
௔೘భ
	݋ݑ	ݑ = ௔భ௔మ…
௔೘
 Exemplos: espaços vetoriais 
com as operações usuais
Subespaços Vetoriais: 
Definição e Exemplos
 Dado um espaço vetorial V 
qualquer, um subconjunto W de 
V que, com a mesma adição e a 
mesma multiplicação por 
escalar, seja um espaço vetorial, 
será chamado de subespaço 
vetorial de V
Subespaços Vetoriais  Seja V um espaço vetorial e W 
um subconjunto não vazio de V. 
W é um subespaço vetorial de V 
se, e somente se, as condições a 
seguir se verificam:
I. Se u e v pertencem W, então u 
+ v pertence a W
II.Se v pertence a W, então kv
também pertence a W, sendo k 
um escalar
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• Rଶ é um subespaço vetorial 
de R୬
• Pଶ é subespaço vetorial de P୬
• Mଶ୶ଵ é subespaço vetorial de M୫୶ଵ que, por sua vez, é 
subespaço vetorial de M୫୶௡
 Exemplos:
• Mostrar que o conjunto W de 
todos os vetores 
ݔ
ݕ
−ݕ
ݔ
é um 
subespaço vetorial de ܴସ
• W é um conjunto não nulo: 
por exemplo, 0= 
0000 ∈ W
• Sejam u = ݔଵݕଵ−ݕଵ
ݔଵ
݁	ݒ = ݔଶݕଶ−ݕଶ
ݔଶ
	vetores	de	W. Assim:
u + ݒ = ݔଵݕଵ−ݕଵ
ݔଵ
+ ݔଶݕଶ−ݕଶ
ݔଶ
u + ݒ = ݔଵ + ݔଶݕଵ + ݕଶ−ݕଵ + (−ݕଶ)
ݔଵ + ݔଶ 	 ∈ ܹ
• Multiplicação por escalar em W:
Sejam u = ݔଵݕଵ−ݕଵ
ݔଵ
݁	݇ ∈ ܴ. Tem-se que:
ku = ݇ ȉ ݔଵݕଵ−ݕଵ
ݔଵ
ku = ݇ݔଵ݇ݕଵ
݇ −ݕଵ
݇ݔଵ
∈ ܹ
• Mostrar que uma reta r 
qualquer de R³ que passe 
pela origem é um subespaço 
vetorial de R³
 Exemplo
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• R³ é um espaço vetorial
• Uma reta r de R³ que passe 
pela origem é um subconjunto 
não vazio de R³
• Dados dois vetores u e v em r, 
a soma u + v é um vetor em r:
u v
u+v
r
• R³ é um espaço vetorial
• Uma reta r de R³ que passe 
pela origem é um subconjunto 
não vazio de R³
• Dados dois vetores u e v em r, 
a soma u + v é um vetor em r.
• Dados um vetor u em r e um 
escalar k, ku também está em 
r:
u
ku
r
 Exemplo: Teorema
• Dado um sistema linear 
homogêneo A.X=B de m 
equações e n incógnitas, 
o conjunto dos seus 
vetores-solução é um 
subespaço vetorial de ܴ௡
Combinação Linear
 Um vetor w é uma combinação 
linear dos vetores ࢜૚,࢜૛, … ,࢜࢔
se w puder ser escrito na 
forma ܟ = ࢉ૚.࢜૚ + ࢉ૛. ࢜૛ + ⋯+
ࢉ࢔.࢜࢔, sendo ࢉ૚, ࢉ૛, … , ࢉ࢔
escalares
 Exemplo
• Mostre que é uma 
combinação linear de 
࢛૚,࢛૛ࢋ	࢛૜, sendo:
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 Deve-se mostrar que existem 
escalares ࢉ૚, ࢉ૛, … , ࢉ࢔ tais que:
Quando são conhecidos os 
vetores ࢜૚,࢜૛, … ,࢜࢔, a equação 
ܟ = ࢉ૚.࢜૚ + ࢉ૛.࢜૛ + ⋯+ ࢉ࢔.࢜࢔
resulta em um sistema de 
equações lineares nas incógnitas 
ࢉ૚, ࢉ૛, … , ࢉ࢔ que:
• pode ter solução única (SPD)
• pode ter inúmeras soluções 
(SPI)
• pode não ter solução (SI)
 Exemplo
• Mostre que w = 0 54 3 não é 
uma combinação linear de 
• ݑଵ = −2 96 0 ,ݑଶ =
−3 21 2 ݁	ݑଷ = 1 75 1
ଵܿ .ݑଵ + ܿଶ.ݑଶ + ܿଷ .ݑଷ = ݓ
ଵܿ. −2 96 0 + ܿଶ. −3 21 2 + ܿଷ. 1 75 1 = 0 54 3
−2 ଵܿ 9 ଵܿ6 ଵܿ 0 + 	 −3ܿଶ 2ܿଶܿଶ 2ܿଶ + 	 ܿଷ 7ܿଷ5ܿଷ ܿଷ = 0 54 3
−2 ଵܿ − 3ܿଶ + ܿଷ 9 ଵܿ + 2ܿଶ + 7ܿଷ6 ଵܿ + ܿଶ + 5ܿଷ 2ܿଶ + ܿଷ = 0 54 3
ܵ݅ݏݐ݁݉ܽ	ܫ݉݌݋ݏݏíݒ݈݁