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Profa. Dra. Silvana Pucetti
UNIDADE III
Álgebra
 Seja G um conjunto munido de uma operação ∗ (tem de ser binária, isto é, uma regra que faz 
corresponder, a cada par de elementos do conjunto G, um único elemento desse mesmo 
conjunto). Diremos que G tem uma estrutura de grupo ou é um grupo em relação à operação 
∗, ou ainda que (G, ∗) é um grupo se:
Estrutura de grupo 
I. a operação ∗ é associativa, isto é: 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐, quaisquer que sejam a, b, c ∈ G; 
II. existe, em A, o elemento neutro 𝑒 para a operação ∗, isto é: a ∗ 𝑒 = 𝑎 = 𝑒 ∗𝑎, para todo a ∈ G; 
III. cada elemento a ∈ A admite um simétrico a’ para a operação ∗, isto é: 𝑎′ ∗ a = e = a ∗ a’, 
para todo a ∈ G.
Estrutura de grupo 
 Caso as condições anteriores sejam satisfeitas, então (G, ∗) é um grupo. Em outras palavras, 
se (G, ∗) satisfaz às três propriedades anteriores e também atende à seguinte propriedade: 
IV. a operação ∗ é comutativa, isto é: a ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎, quaisquer que sejam a, b ∈ G.
 Então, (G, ∗) é um grupo abeliano ou comutativo.
Grupo comutativo ou abeliano 
 Exemplo 1: verificar se (ℤ, +), sendo + a adição usual um grupo. 
 Para ∀ a, b c ∈ ℤ, temos 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐, logo, vale a associativa. 
 O elemento 0 ∈ ℤ é tal que 0 + a = a + 0 = a, ∀ a ∈ ℤ. Logo, 0 é o elemento neutro de ℤ. 
 Todo a ∈ ℤ possui simétrico, a saber, - a ∈ ℤ , pois a + (- a) = 0. 
 ∴ (ℤ, +) é um grupo. 
Exemplo de grupo
 Exemplo 2: verificar se (ℤ, +), sendo + a adição usual um grupo abeliano. 
 Já foi verificado no exemplo anterior que é grupo.
 Agora temos que a + b = b + a, para ∀ a, b ∈ ℤ, ou seja, em ℤ vale a comutativa para a 
adição. Logo, (ℤ, +) é um grupo abeliano. 
Exemplo de grupo abeliano ou comutativo
 O subgrupo de um grupo G possui uma estrutura com a mesma operação definida no 
grupo G.
 Todo grupo G possui no mínimo dois subgrupos, G e {e}, denominados subgrupos triviais; 
são eles o próprio grupo G e o grupo formado apenas pelo elemento neutro. 
 Consideremos H≠∅ um subconjunto de G se, e somente se:
a) a operação entre dois elementos de H ainda pertencer a H, 
isto é, para todo x, y ∈ H, temos x . y ∈ H;
b) o elemento neutro pertencer a H;
c) o inverso de todo elemento de H também pertencer a H, ou 
seja, para todo x ∈ H, temos 𝑥−1 ∈ H. 
Subgrupo
 Exemplo: verifique se A = {x ∈ ℚ / x > 0} é subgrupo multiplicativo ℚ*.
Observe que A ⊂ ℚ * e é obviamente não vazio. Então, 𝑎. 𝑏−1 ∈ A, ∀ a, b ∈ A.
Sejam a, b ∈ A. Então, a, b ∈ ℚ e a, b > 0. Além disso: 
Exemplo de subgrupo
Um semigrupo é um conjunto S com uma operação binária, na qual se verificam as 
seguintes propriedades:
a) Sejam a, b ∈ S o resultado da operação de a e b pertencente a S (a ∗ 𝑏 ∈ 𝑆), que é 
denominada propriedade de fechamento.
b) Para qualquer a, b, c ∈ 𝑆, temos (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐, que é denominada 
propriedade associativa.
Semigrupo
 Um monoide é um semigrupo com elemento neutro. Em outras palavras, é um conjunto que 
possui a propriedade associativa e tem o elemento neutro. 
 Exemplo: verificar se (ℤ∗, .) é um monoide. 
 Inicialmente, verificar se vale a associativa a, b, c ∈ ℤ∗
𝑎 . (𝑏 . 𝑐) = (𝑎 . 𝑏) . 𝑐
𝑎 . 𝑏 . 𝑐 = 𝑎 . 𝑏 . 𝑐
 Como vale a associativa, então (ℤ∗, .) é “semigrupo”. 
Monoide
 E agora vamos verificar se tem elemento neutro.
𝑎 , 𝑒 ∈ ℤ∗
𝑎 . 𝑒 = 𝑒 . 𝑎 = 𝑎
𝑎 . 𝑒 = 𝑎 ⟹ 𝑒 = 1 e 𝑒. 𝑎 = 𝑎 ⇒ 𝑒 = 1 
Como tem elemento neutro, então (ℤ∗ , .), 
além de ser um semigrupo, é um monoide.
Monoide
Sendo E = ℝ (conjunto dos números reais), e a operação definida por , podemos 
afirmar que:
a) A propriedade comutativa foi satisfeita, então (E, *) forma um grupo comutativo. 
b) A propriedade associativa não foi satisfeita, então (E, *) não possui a estrutura de grupo. 
c) A propriedade associativa foi satisfeita, então (E, *) forma um grupo comutativo.
d) A propriedade elemento neutro foi satisfeita, então (E, *) forma um grupo comutativo.
e) Existe o elemento simetrizável, então (E, *) forma um grupo comutativo.
Interatividade
Sendo E = ℝ (conjunto dos números reais), e a operação definida por , podemos 
afirmar que:
a) A propriedade comutativa foi satisfeita, então (E, *) forma um grupo comutativo. 
b) A propriedade associativa não foi satisfeita, então (E, *) não possui a estrutura de grupo. 
c) A propriedade associativa foi satisfeita, então (E, *) forma um grupo comutativo.
d) A propriedade elemento neutro foi satisfeita, então (E, *) forma um grupo comutativo.
e) Existe o elemento simetrizável, então (E, *) forma um grupo comutativo.
Resposta
 Seja A um conjunto não vazio, no qual estejam definidas duas operações: adição e 
multiplicação, chamaremos (A, +, .) de anel se as seguintes propriedades forem verificadas 
para quaisquer a, b, c ∈ A:
I. associativa da adição: a + (b + c) = (a + b) + c; 
II. existe, em A, o elemento neutro 0 para a adição, isto é: a + 0 = a = 0 + a; 
III. cada elemento a ∈ A admite um simétrico, denotado por -a para a adição, isto é:
-a + a = 0 = a + (-a), para todo a ∈ A;
e mais...
Anéis 
IV. comutativa da adição: a + b = b + a;
V. associativa da multiplicação: a . (b . c) = (a . b) . c; 
VI. distributiva da multiplicação em relação à adição (esquerda e direita):
a . (b + c) = a . b + a . c (a + b) . c = a . c + b . c 
 Se forem satisfeitas as propriedades anteriores, diremos que A, munido das operações de 
adição e multiplicação, forma uma estrutura de anel, ou simplesmente que (A, +, .) é um 
anel.
Anéis 
 Mostre que o conjunto ℚ dotado das leis ∗ e ∆ definidas a seguir é um anel. 
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 - 1 𝑎 ∆ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 - 𝑎𝑏
a) (ℚ, ∗) satisfaz a associativa, pois (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)
(𝑎 + 𝑏 - 1) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐 - 1)
𝑎 + 𝑏 - 1 + 𝑐 - 1 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 - 1 - 1
Exemplo de anel
b) (ℚ, ∗) possui elemento neutro, pois: 
Por outro lado:
Exemplo de anel
c) Exemplo: (ℚ, ∗) possui elemento simetrizável, pois:
Por outro lado: 
Exemplo de anel
d) (ℚ, ∗) satisfaz a comutativa, pois:
e) (ℚ, ∆) satisfaz a associatividade, pois:
Exemplo de anel
f) (ℚ, ∗, ∆) satisfaz a distributiva: a ∆ (b * c) = a ∆ b * a ∆ c 
Exemplo de anel
 Anel com identidade.
Se um anel satisfizer à propriedade: existe 1 ∈ A, 0 ≠ 1, tal que a . 1 = a = 1 . a, para qualquer 
a ∈ A, dizemos que (A, +, .) é um anel com unidade ou anel com identidade. 
 Anel comutativo.
Se um anel satisfizer à propriedade: a . b = b . a, para quaisquer a, b ∈ A, dizemos que (A, +, .) 
é um anel comutativo.
Anel 
 Domínio de integridade.
Se um anel satisfizer à propriedade: a . b = 0 → a = 0 ou b = 0, para quaisquer a, b ∈ A, 
dizemos que (A, +, .) é um anel sem divisores de zero. 
Se (A, +, .) é um anel comutativo, com unidade e sem divisores de zero, dizemos que 
(A, +, .) é um domínio de integridade.
Anel 
Está incorreto o que se afirma em:
a) Anel comutativo dos números inteiros (ℤ, +, .).
b) Anel comutativo dos números racionais (ℚ, +, .).
c) Anel comutativo dos números reais (ℝ, +, .). 
d) Anel comutativo dos números complexos (ℂ, +, .).
e) O conjunto ℕ é anel de integridade ou domínio de integridade.
Interatividade
Está incorreto o que se afirma em:
a) Anel comutativo dos números inteiros (ℤ, +, .).
b) Anel comutativo dos números racionais (ℚ, +, .).
c) Anel comutativo dos números reais (ℝ, +, .). 
d) Anel comutativo dos números complexos (ℂ, +, .).
e) O conjunto ℕ é anel de integridade ou domínio de integridade.
Resposta
 Se um domínio de integridade (A, +, .) satisfaz à propriedade: 
 para qualquer a ∈ A, a ≠ 0, existe b ∈ A, tal que a . b = b . a = 1, dizemos que (A, +, .) é um 
corpo ou que tem uma estrutura de corpo, pois este possui um elemento inverso com relação 
à multiplicação. 
 Um exemplo interessante:
Corpo 
 Dizemos que a é congruente ab módulo m, isto é, a ≡ b (mod m), se existir um inteiro k, tal 
que a = b + km. Note que b equivale ao resto da divisão de a por m. Com esse conceito, 
podemos definir como sendo o conjunto formado pelos restos da divisão de um 
número inteiro por m. 
 Desse modo, temos {0, 1, 2, 3}, visto que o menor resto de uma divisão por 4 é 0 
e o maior possível é 3.
Corpo
 A seguir, apresentamos as tabelas de operações de nas quais aparecem apenas os 
restos das divisões de qualquer número inteiro por 4. 
Corpo
 é um exemplo de um anel que não é domínio de integridade, que, por sua vez, 
não pode ser um corpo. 
 Lembrando que, para ser domínio de integridade, é preciso satisfazer à condição: a . b = 0 → 
a = 0 ou b = 0, para quaisquer a, b ∈ A. Nessa categoria, estão todos os casos de 
para m não primo. 
Corpo
 Avaliando a tabela multiplicativa, podemos ver que 2 • 2 = 
0 e, como 2 ≠ 0, não é domínio de integridade.
 Outro exemplo interessante: a seguir, apresentamos as tabelas de operações de 
em que aparecem apenas os restos das divisões de qualquer número inteiro por 5.
Corpo 
 Avaliando a tabela multiplicativa, podemos ver que sempre 
quando a . b = 0, implica em a ser zero ou b ser zero. Logo, 
é domínio de integridade.
 é um exemplo de um anel que, mais do que ser domínio de integridade, é um 
corpo, pois obedece à condição: a . b = 0 → a = 0 ou b = 0, para quaisquer a, b ∈ A. 
 Nessa categoria, estão todos os casos de , para p primo, então, a estrutura é um corpo 
e, portanto, um domínio de integridade. 
Corpo 
Anéis de polinômios: 
 Considere , em que
é um polinômio sobre S. 
Podemos definir operações de adição e multiplicação para dois polinômios:
, com m < n, da seguinte forma:
Anéis de polinômios 
Adição: 
. Fazemos 
apenas as somas de termos com o mesmo expoente. Nesse caso, foi considerado como 0 os 
termos de n > m.
Multiplicação:
, em que:
Anéis de polinômios 
 Exemplo: temos (ℝ [X], +, .) como um anel comutativo, com elemento neutro chamado de 
anel de polinômios sobre R. É fácil ver que:
 o elemento neutro da adição é (0, 0, 0, ....); 
 o elemento neutro da multiplicação é (1, 0, 0, ...).
Anéis de polinômios
Seja = {0, 1, 2, 3, 4} como sendo o conjunto formado pelos restos da divisão de um 
número inteiro por 5, é correto afirmar que:
a) Menor resto de uma divisão por 5 é 1 e o maior possível é 2.
b) Menor resto de uma divisão por 5 é 1 e o maior possível é 5.
c) Menor resto de uma divisão por 5 é 0 e o maior possível é 4.
d) Menor resto de uma divisão por 5 é 0 e o maior possível é 3.
e) Menor resto de uma divisão por 5 é 1 e o maior possível é 4.
Interatividade
Seja = {0, 1, 2, 3, 4} como sendo o conjunto formado pelos restos da divisão de um 
número inteiro por 5, é correto afirmar que:
a) Menor resto de uma divisão por 5 é 1 e o maior possível é 2.
b) Menor resto de uma divisão por 5 é 1 e o maior possível é 5.
c) Menor resto de uma divisão por 5 é 0 e o maior possível é 4.
d) Menor resto de uma divisão por 5 é 0 e o maior possível é 3.
e) Menor resto de uma divisão por 5 é 1 e o maior possível é 4.
Resposta
 Homomorfismo de grupos.
Tomemos dois conjuntos, A e B não vazios, que possuem, respectivamente, as operações 
binárias * e º. Se A e B são grupos: ((A, *) e (B, º)), uma função f de A em B será, então, um 
homomorfismo se: 
Homomorfismo de grupos corresponde às aplicações que preservam a operação. 
Homomorfismo 
 Exemplo 1: mostre que, considerando os grupos (ℤ, +) e (ℂ ∗, .), a função definida por 
é um homomorfismo de grupos.
Sejam m, n ∈ ℤ. Logo, 
Então, f é um homomorfismo de grupos.
Homomorfismo de grupos 
 Exemplo 2: 𝑓: (ℤ, .) → (ℤ, .) definida por 𝑓 (𝑎) = 2𝑎, ∀ a ∈ ℤ não é homomorfismo, pois:
𝑓 (𝑎 . 𝑏) = 2 (𝑎 . 𝑏) = 2 (𝑎 . 𝑏) = (2𝑎) . 𝑏 ≠ 𝑓 (𝑎). 𝑓 (𝑏) = (2𝑎) . (2𝑏)
Homomorfismo de grupos 
 Homomorfismo de anéis. 
Dados a, b ∈ A e 𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑏) ∈ B, podemos representar o homomorfismo da seguinte maneira:
𝑓(𝑎 + 𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) e 𝑓(𝑎.𝑏) = 𝑓(𝑎) . 𝑓(𝑏)
 Homomorfismo de anéis corresponde às aplicações que preservam as operações.
Homomorfismo de anéis
 Exemplo 1: sabemos que o conjunto dos números reais e o conjunto de matrizes (2 x 2) são 
anéis, tendo como operações a adição e a multiplicação. Podemos definir uma função entre 
esses anéis da seguinte forma:
Logo, f será um homomorfismo de anéis, pois preservará a operação de adição, ou seja, 
𝑓(𝑎 + 𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) e também preservará a operação de multiplicação, ou seja, 
𝑓(𝑎.𝑏) = 𝑓(𝑎) . 𝑓(𝑏).
Homomorfismo de anéis
 Homomorfismo de anéis – operação de adição:
 Homomorfismo de anéis – operação de multiplicação:
Homomorfismo de anéis
Tipos de homomorfismo:
 Monomorfismo é homomorfismo quando a aplicação f é injetora.
 Epimorfismo é um homomorfismo quando a aplicação f é sobrejetora. 
 Isomorfismo é um homomorfismo quando a aplicação f é bijetora. Dizemos que f é um 
isomorfismo ou que um conjunto é isomorfo a outro conjunto. 
Tipos de homomorfismo 
 Exemplo: a função
É homomorfismo de grupo, pois: 2(𝑎 + 𝑏) = 2𝑎 + 2𝑏
 Tomando todos os inteiros (ℤ, +) no conjunto domínio, teremos todos os pares de cada um 
deles no conjunto imagem. Não teremos elementos sobrando no contradomínio, o que 
caracteriza uma função bijetora. 
 Sempre que a função for bijetora, o homomorfismo tem o 
nome especial de isomorfismo. 
Isomorfismo 
 Nos grupos (ℤ, +) e (ℚ∗, +), na aplicação f: (ℤ, +) → (ℚ ∗, +), em que f(x) = 4x, temos uma 
aplicação de um grupo em outro e notamos que se trata de uma aplicação que é injetora, 
mas não é sobrejetora, pois nela há elementos de ℚ que não são imagem de nenhum 
elemento de ℤ (é fácil ver que a multiplicação de 4 por um inteiro nunca resultará em uma 
fração racional não inteira: etc.). 
 Então, pelas definições dos homomorfismos, vemos que se encaixa no monomorfismo.
Monomorfismo
 Nos grupos (ℂ*, .) e (ℝ+
∗, .), na aplicação f: ℂ* → ℝ+
∗, em que f(z) = |z|, temos uma aplicação 
que não é injetora, pois para mais de um valor diferente de z resulta no mesmo valor de f(z).
 Por exemplo, |1| = |i| = |–i| = 1, ou seja, três valores diferentes de z resultam no mesmo valor 
de f(z). 
 No entanto, ela é uma aplicação sobrejetora, pois todo número sempre poderá ser o módulo 
de algum número complexo. 
 Temos, então, um exemplo de função que é um epimorfismo.
Epimorfismo
Se G = (ℚ∗, .) e J = (ℝ∗, .), então 𝑓: ℚ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥2:
a) Não é homomorfismo de grupos, porque 𝑓(𝑥.𝑦) = (𝑥.𝑦)2 = 𝑥2 . 𝑦2 = 𝑓(𝑥) . 𝑓(𝑦), ∀ x, y ∈ ℚ. 
b) Não é homomorfismo de grupos, porque 𝑓(𝑥.𝑦) = (𝑥.𝑦)2 ≠ 𝑥2 . 𝑦2 ≠ 𝑓(𝑥) . 𝑓(𝑦), ∀ x, y ∈ ℚ. 
c) É um homomorfismo de grupos, porque 𝑓(𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥2 . 𝑦2 = 𝑓(𝑥) . 𝑓(𝑦), ∀ x, y ∈ ℚ. 
d) É um homomorfismo de grupos, porque 𝑓(𝑥.𝑦) = (𝑥.𝑦)2 = 𝑥2 . 𝑦2 = 𝑓(𝑥) . 𝑓(𝑦), ∀ x, y ∈ ℚ.
e) É um homomorfismo de grupos, porque 𝑓(𝑥 - 𝑦) = (𝑥 - 𝑦)2 = 𝑥2 : 𝑦2 = 𝑓(𝑥) : 𝑓(𝑦), ∀ x, y ∈ ℚ.
Interatividade
Se G = (ℚ∗, .) e J = (ℝ∗, .), então 𝑓: ℚ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥2:
a) Não é homomorfismo de grupos, porque 𝑓(𝑥.𝑦) = (𝑥.𝑦)2 = 𝑥2 . 𝑦2 = 𝑓(𝑥) . 𝑓(𝑦), ∀ x, y ∈ ℚ. 
b) Não é homomorfismo de grupos, porque 𝑓(𝑥.𝑦) = (𝑥.𝑦)2 ≠ 𝑥2 . 𝑦2 ≠ 𝑓(𝑥) . 𝑓(𝑦), ∀ x, y ∈ ℚ. 
c) É um homomorfismo de grupos, porque 𝑓(𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥2 . 𝑦2 = 𝑓(𝑥) . 𝑓(𝑦), ∀ x, y ∈ ℚ. 
d) É um homomorfismo de grupos, porque 𝑓(𝑥.𝑦) = (𝑥.𝑦)2 = 𝑥2 . 𝑦2 = 𝑓(𝑥) . 𝑓(𝑦), ∀ x, y ∈ ℚ.
e) É um homomorfismo de grupos, porque 𝑓(𝑥 - 𝑦) = (𝑥 - 𝑦)2 = 𝑥2 : 𝑦2 = 𝑓(𝑥) : 𝑓(𝑦), ∀ x, y ∈ ℚ.
Resposta
 CARVALHO, Valéria de; RIBEIRO, Rogério Marques; TRINDADE, Deyler Ranyere. Álgebra. 
São Paulo: Editora Sol, 2021. 140p., Il Cadernos de Estudos e Pesquisas da UNIP, Série
Didática.
 IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemáticaelementar 1: conjuntos, funções. 9. ed. São 
Paulo: Atual, 2013.
Referências
ATÉ A PRÓXIMA!