Cálculo Diferencial e Integral na Probabilidade

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL NA PROBABILIDADE VOLTADA PARA ENGENHARIA
Na probabilidade e Estatística podemos usar dos mais diversos artifícios para o cálculo de probabilidades, mas em diversos casos o uso de Integrais pode nos trazer resultados rápidos e fáceis para os mais diversos problemas. Iremos falar mais especificamente na aplicação de variáveis aleatórias continuas.
Temos que a caracterização de variáveis cujos possíveis valores ocorrem aleatoriamente e pertencem a um intervalo dos números reais: variáveis aleatórias continuas. Renda, salário, tempo de uso de um equipamento, comprimento de uma peça e área atingida por certa praga agrícola sendo exemplos de quantidades que podem ser modeladas por variáveis continuas, elas podem assumir um número infinito de valores diferentes.
Exemplo 01: No estudo de solo para construir-se um prédio, tem-se conhecimento de um lençol de agua no subsolo desta região. No entanto, sua profundidade ainda não foi determinada, sabendo-se apenas que o lençol pode estar situado em qualquer ponto entre 20 a 100 metros.
Ao escolhermos qualquer ponto deste terreno dispomos de uma sonda que, ao fazer a perfuração, detecta com precisão a profundidade do reservatório de água, onde iremos denotar por X a variável aleatória que representa a profundidade. Sabemos que o espaço amostras corresponde ao intervalo [20, 100] e as profundidades são igualmente prováveis. Podemos dividir este espaço em 8 intervalos de comprimentos de 10 metros, logo podemos atribuir aos intervalos a probabilidade de 1/8, correspondendo a relação entre o comprimento de cada um deles e o comprimento do espaço amostral, ou seja, 10 para 80 ou 1/8.
Vamos construir um histograma, sendo que 1/8 é a frequência relativa da ocorrência de cada um dos intervalos. As ordenadas do gráfico são as densidades, calculadas de modo que a área de cada retângulo seja a frequência relativa (probabilidade) do intervalo.
Podemos caracterizar completamente a atribuição de probabilidade para o caso continuo, definida pela área abaixo de uma função positiva, denominada densidade de probabilidade. Onde a densidade em si não é uma probabilidade, mas uma função matemática que nos auxilia na atribuição de probabilidade, sendo assim, para a variável aleatória continua X representado a profundidade do lençol de água, a função densidade f é dada por
Para este caso a função densidade é bastante simples, a probabilidade de que a profundidade do lençol esteja em um dado intervalo pode ser calculado com o uso de áreas de figuras planas, assim para obter a probabilidade de uma profundidade pelo menos igual a 25, mas inferior a 29, calculamos a área do retângulo:
Portanto, P (25 ≤ x < 29) = 4/80
Função densidade de probabilidade, dizemos que f(x) é uma função continua de probabilidade ou função densidade de probabilidade para uma variável continua X, se satisfaz duas condições:
f(x) ≥ 0, para todo x 
A área definida por f(x) é igual a 1. 
Com o auxílio do cálculo diferencial e integral, podemos caracterizar a condição ii) através de 
Da mesma forma, para calcular probabilidades, temos que para a ≤ b,
A integral, acima, indica a área sob a função f definida pelo intervalo [a,b].
Em cada área sob qualquer valor individual iremos obter zero, sendo, P(X=k) = 0, para qualquer k. Pois em se tratando de variáveis aleatórias contínuas, a probabilidade de ocorrência de um valor isolado é sempre zero, e consequentemente, as probabilidades calculas sobre os intervalos [a,b], [a,b), (a,b] e (a,b) são as mesmas, para quaisquer valores de a e b.
Exemplo 02: Ao efetuar teste em vários materiais, o tempo para a realização de uma baterias de testes físicos e químicos é medido e anotado para ser comparado com um modelo teóricos. Sendo ele utilizado para identificar imperfeições e auxiliar em medidas de correção. O modelo teórico considera T, tempo do teste em minutos, com uma variável aleatória continua com função densidade de probabilidade dada por: 
O gráfico da função densidade é apresentado a seguir. Deve ser notado que, pela definição de f(t), ela se anula para t < 8 ou t > 15.
Para verificar a função f(t) satisfaz a definição de densidade. Para calcular P (9 < T ≤ 12), vamos obter a área sob f(t) no intervalo (9,12]:
Onde P (9 < T ≤ 12) = 7/12, esse valor é obtido pela soma do trapézio definido no intervalo (9,10) com o retângulo determinado pelo intervalo [10,12]. Através do uso da integral, essa mesma probabilidade seria calculada da seguinte forma:
Modelo Uniforme Contínuo, uma variável aleatória X tem distribuição Uniforme Contínua no intervalor [a,b], a < b, se a função densidade de probabilidade é dada por: 
Não há restrições de valores para a e b, exceto o fato de a < b. 
Exemplo: Com o objetivo de verificar a resistência à pressão de água, um engenheiro inspeciona tubos de PVC produzidos por uma determinada empresa. Os tubos inspecionados têm 6 metros de comprimento e são submetidos a grandes pressões até o aparecimento do primeiro vazamento, cuja distancia a uma das extremidades (fixada à priori) é anotada para fins de análise posterior. Escolhe-se um tudo ao acaso para ser inspecionado. Ele quer calcular a probabilidade de que o vazamento esteja, no máximo, a 1 metro das extremidades.
Vamos denotar por X a variável aleatória que indica a distância correspondente ao vazamento. Admitindo igual probabilidade de ocorrência em todos os pontos, temos que X ~ U [0,6], com função densidade de probabilidade dada por:
Para calcular a probabilidade de , podemos obter as áreas dos dois retângulos hachuriados na figura a seguir:
Os intervalos [0,1] e [5,6] são disjuntos e, portanto, a probabilidade da sua união é a soma das probabilidades de ocorrência de casa intervalo.
Modelo Exponencial, uma variável aleatória continua X, assumindo valores não negativos segue o modelo Exponencial com o parâmetro α > 0 se sua densidade é
Exemplo: O intervalo de tempo, em minutos, entre emissões consecutivas de uma fonte radioativa é uma variável aleatória com distribuição Exponencial de parâmetro α = 0,2. Vamos calcular a probabilidade de haver uma emissão em um intervalo inferior a 2 minutos. Temos, 
Podemos também calcular a probabilidade do intervalo ser superior ou igual a 7, sabendo-se que ele é superior ou igual a 5 minutos.
Bibliografia
 MAGALHAES, Marcos Nascimento e MAGALHAES, Antônio Carlos Pedroso de Lima. NOÇÕES DE PROBABILIDADE E ESTATISTICA. 6 ed. São Paulo. 2004.