Roteiro aula 04

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Roteiro de Estudos - Aula 04: Representação analítica de um
vetor a partir de suas componentes
21 de março de 2013
1 Objetivo
1. Qual é mesmo o objetivo da aula?
2. Você acredita que ele foi cumprido? Se não, o que faltou?
2 Relações métricas em um triângulo retângulo
1. O que é mesmo um triângulo retângulo?
2. Como se chamam os três lados de um triângulo retângulo?
3. Qual é o nome do maior lado?
4. Fixado um ângulo que não seja o de 90o , por exemplo, o ângulo β da figura da página 1,como
saber quem é o cateto oposto e quem é o adjacente?
5. Podemos afirmar que o cateto adjacente a β é o cateto oposto a θ? E o contrário?
6. Como se define a relação chamada seno de um ângulo, no triângulo retângulo?
7. Como se define a relação chamada cosseno de um ângulo, no triângulo retângulo?
8. Como se define a relação chamada tangente de um ângulo, no triângulo retângulo?
9. Como definir a tangente de um ângulo a partir do seno e do cosseno?
10. Enuncie o famoso Teorema de Pitágoras, que deu origem à fórmula a2 = b2 + c2 da página 4.
3 Componentes de um vetor
Essa é a parte mais importante da aula. Você deverá saber como decompor um vetor e como escrever
um vetor analiticamente. Vamos explicar melhor isso em seguida. Por enquanto, observe atentamente a
figura a seguir:
1
A sua atenção maior tem que estar sobre o vetor
−→
A , desenhado em preto. Observe que ele forma
um ângulo θ em relação ao eixo X. As linhas pontilhadas mostram que, partindo da ponta do vetor A
e atingindo-se os eixos X e Y em um ângulo reto, obtêm-se dois outros vetores,
−→
AX e
−→
AY , desenhados
em vermelho. Esses vetores são o que chamados de componentes do vetor
−→
A , ou seja, são o resultado
da decomposição do vetor
−→
A . O interessante é que, somando-se as componentes, obtêm-se novamente o
vetor
−→
A . Observe a figura anterior e note que, se aplicarmos a regra do paralelogramo às componentes
do vetor
−→
A , o resultado da soma vetorial é o próprio vetor
−→
A , como estamos afirmando! Se aplicarmos
a regra do polígono teremos o mesmo resultado, como mostra a figura a seguir:
2
Podemos, então, escrever o vetor
−→
A da seguinte maneira:
−→
A =
−→
AX+
−→
AY
Nosso estudo ainda não está completo, pois ainda precisamos dizer como escrever o módulo das
componentes
−→
AX e
−→
AY em função do módulo do vetor
−→
A . Isso está explicado detalhadamente na página
5 mas, basicamente, vamos aplicar o seno do ângulo θ para achar o módulo de
−→
AY , pois essa componente
é o cateto oposto a θ e aplicar o cosseno do ângulo θ para achar o módulo de
−→
AX , pois essa outra
componente é o cateto adjacente a θ.
A partir de agora vamos retirar a setinha de cima das componentes e do vetor
−→
A , pois estamos nos
referindo aos seus módulos. Então:
Para a componente X:
cos θ = AXA ⇒ AX = A. cos θ
Para a compoente Y:
senθ = AYA ⇒ AY = A.senθ
4 Vetores unitários
Essa também é uma parte importante da aula. Vamos entender o que são vetores unitários, também
chamados de versores e qual a sua real utilidade. Os vetores unitários são assim chamados porque têm
módulo igual a 1 (unidade lembra 1 ou unitário). Os mais conhecidos são os versores
−→
i e
−→
j . O primeiro
3
está na direção X e aponta para a direita e o segundo está na direção Y e aponta para cima, como mostra
a figura a seguir:
A principal utilidade de um versor é que ele permite atribuir direção e sentido às componentes de um
vetor, quando quisermos escrevê-las analiticamente. Se escrevêssemos
−→
AX = AX , estaríamos cometendo
um erro grave, pois o lado esquerdo da igualdade traz um vetor, enquanto o lado direito da igualdade
traz o módulo de um vetor. Lembre-se: para ser um vetor, o �bicho� precisa ter, além de módulo, direção
e sentido. Como resolver esse problema? É simples, basta multiplicarmos o módulo AX do vetor pelo
versor
−→
i que está tudo bem. Veja:
−→
AX = AX
−→
i . Agora, temos um vetor de cada lado do igual, pois
o termo AX
−→
i é exatamente igual ao vetor
−→
AX . O mesmo pode-se dizer sobre a componente
−→
AY e o
versor
−→
j , ou seja,
−→
AY = AY
−→
j .
Então, voltando-se à expressão do vetor
−→
A , temos:
−→
A =
−→
AX+
−→
AY
−→
A =AX
−→
i +AY
−→
j
Essa última importante expressão permite escrever um vetor na sua forma analítica. Em outras pala-
vras, significa transformar a representação gráfica de um vetor (desenho) em uma expressão matemática
(fórmula). Isso facilita muito o trabalho com vetores e será um procedimento muito utilizado em todo o
curso de Engenharia de Produção. Você se lembrará dessa aula muitas vezes, acredite!
5 Módulo e direção de um vetor expresso na forma analítica
O módulo A de um vetor
−→
A , quando ele estiver expresso na forma analítica
−→
A =AX
−→
i +AY
−→
j pode
ser encontrado facilmente utilizando-se a fórmula:
A =
√
A2x +A
2
y
A direção de um vetor
−→
A , quando ele estiver expresso na forma analítica
−→
A =AX
−→
i +AY
−→
j pode ser
encontrado facilmente utilizando-se a fórmula a seguir. Geralmente a direção é dada pelo ângulo θ que o
vetor forma com a direção X, sempre tomado no sentido anti-horário.
4
θ = tan−1
(
Ay
Ax
)
A expressão tan−1ou arctan significa arctangente e pode ser utilizada na calculadora Cássio FX 82
MS pressionando-se a tecla Shift antes de se apertar a tecla tan.
6 Exemplos resolvidos:
1. Dado os vetores
−→
A e
−→
B da figura, escreva-os na forma analítica. Os módulos dos vetores são A = 10,0
m e B = 6,0 m.
Solução:
Primeiro calcula-se o módulo das componentes:
Para o vetor
−→
A :
AX = A. cos θ⇒ AX = 10, 0m. cos 60o = 5, 0m
AY = A.senθ⇒ Ay = 10, 0m.sen60o = 8, 7m
Para o vetor
−→
B :
BX = B. cos θ⇒ BX = 6, 0m. cos 120o = −3, 0m
BY = B.senθ⇒ By = 6, 0m.sen120o = 5, 2m
Observação: para se calcular isso na calculadora Cássio FX 82 MS, basta digitar como se escreve. Por
exemplo, digite [10× cos 60 =]para calcular AX (os colchetes não são necessários).
Agora vamos escrever os vetores na forma analítica, substituindo os resultados anteriores:
−→
A =AX
−→
i +AY
−→
j ⇒ −→A = 5, 0m−→i + 8, 7m−→j
−→
B =BX
−→
i +BY
−→
j ⇒ −→B = −3, 0m−→i + 5, 2m−→j
2. Utilize as expressões analíticas dos vetores
−→
A e
−→
B para encontrar seus módulos e suas direções:
Solução:
Módulos:
5
A =
√
A2x +A
2
y ⇒ A =
√
5, 02 + 8, 72 = 10, 0m
B =
√
B2x +B
2
y ⇒ B =
√
(−3, 0)2 + 5, 22 = 6, 0m
Direções:
θA = tan
−1
(
Ay
Ax
)
= tan−1
(
8, 7
5, 0
)
= 60o
θB = tan
−1
(
By
Bx
)
= tan−1
(
5, 5
−3, 0
)
= −60o ou 120o
Observação: veja a página 8 para entender o resultado de θB . Observe também a figura abaixo:
7 Exercícios:
1.Repita os procedimentos dos dois exercícios anteriores para os vetores
−→
A e
−→
B a seguir, cujos módulos
são 8,0 m e 5,0 m, respectivamente:
6
2. Determine o módulo e a direção dos vetores a seguir e desenhe-os no plano XY.
−→
A = 3, 0m
−→
i + 4, 0m
−→
j
−→
B = −3, 0m−→i + 4, 0m−→j
−→
C = −3, 0m−→i − 4, 0m−→j
−→
D = 3, 0m
−→
i − 4, 0m−→j
7