CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE MECÂNICA DOS FLUIDOS

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Cap´ıtulo 2
Conceitos Fundamentais
2.1 O Fluido como Cont´ınuo
Os fluidos, de uma maneira geral, sa˜o classificados como newtonianos e na˜o-newtonianos.
Um fluido e´ newtoniano quando a tensa˜o cisalhante aplicada e´ diretamente proporcional a` taxa
de deformac¸a˜o sofrida por um elemento de fluido. Caso contra´rio, e´ considerado na˜o-newtoniano.
Exemplo: a a´gua, o o´leo e o ar sa˜o fluidos newtonianos.
Todos os fluidos newtonianos obedecem a` lei de Newton de viscosidade, que diz que a tensa˜o
de cisalhamento e´ proporcional ao gradiente de velocidade, ou seja, a variac¸a˜o de velocidade em
func¸a˜o do deslocamento:
τ α
dv
dy
ou τ = −µ dv
dy
O gradiente de uma grandeza fornece a sua taxa de variac¸a˜o ma´xima em relac¸a˜o a` distaˆncia.
Assim, considerando um campo de temperatura descrito por T = T (x, y, z) , o gradiente e´ dado
por:
−→∇T = ∂T
∂x
−→
i +
∂T
∂y
−→
j +
∂T
∂z
−→
k
No caso da velocidade, temos:
−→∇v = ∂v
∂x
−→
i +
∂v
∂y
−→
j +
∂v
∂z
−→
k
As grandezas envolvidas num sistema podem ser classificadas como:
• Grandezas extensivas: sa˜o aquelas que dependem do volume ou da massa do sistema e sa˜o
consideradas propriedades do sistema com um todo.
Exemplo: massa, energia, quantidade de movimento.
• Grandezas intensivas: sa˜o aquelas definidas em um ponto e que na˜o dependem do volume ou
da massa do sistema.
Exemplo: velocidade, acelerac¸a˜o, temperatura.
Em muitos casos, as grandezas intensivas possuem valores diferentes em pontos distintos do
sistema, criando um campo.
Campo e´ uma distribuic¸a˜o cont´ınua de uma grandeza intensiva, descrita por func¸o˜es de coorde-
nadas espaciais e do tempo. Se a grandeza e´ escalar, cria-se um campo escalar; se e´ vetorial, cria-se
um campo vetorial.
11
2.2 Campo de Velocidades
Podemos descrever o movimento de um fluido de duas formas diferentes:
• Regime permanente: quando a velocidade e suas componenetes na˜o sa˜o func¸o˜es do tempo.
Assim, temos:
−→v = −→v [x, y, z, t]
−→vx = −→vx(x, y, z)
−→vy = −→vy(x, y, z)
−→vz = −→vz(x, y, z)
Como −→a = d
−→v
dt
, podemos escrever:
−→a = ∂
−→v
∂x
dx
dt
+
∂−→v
∂y
dy
dt
+
∂−→v
∂z
dz
dt
mas
dx
dt
= −→vx , dy
dt
= −→vy , dz
dt
= −→vz
enta˜o temos:
−→a = ∂
−→v
∂x
−→vx + ∂
−→v
∂y
−→vy + ∂
−→v
∂z
−→vz
e
−→ax = ∂
−→vx
∂x
−→vx + ∂
−→vx
∂y
−→vy + ∂
−→vx
∂z
−→vz
−→ay = ∂
−→vy
∂x
−→vx + ∂
−→vy
∂y
−→vy + ∂
−→vy
∂z
−→vz
−→az = ∂
−→vz
∂x
−→vx + ∂
−→vz
∂y
−→vy + ∂
−→vz
∂z
−→vz
Exemplo 2.1 Dado um campo de velocidades por vx = 2xy+3 e vy = x
2y , calcular o valor
da acelerac¸a˜o no ponto P (x, y) , com x = 1 cm e y = 1 cm .
Soluc¸a˜o
Nesse caso, o regime e´ permanente porque as componentes de velocidade na˜o dependem do
tempo.
As equac¸o˜es de acelerac¸a˜o ficam:
12
−→ax = ∂
−→vx
∂x
−→vx + ∂
−→vx
∂y
−→vy + ∂
−→vx
∂z
−→vz
−→ay = ∂
−→vy
∂x
−→vx + ∂
−→vy
∂y
−→vy + ∂
−→vy
∂z
−→vz
onde:
∂−→vx
∂x
= 2y ,
∂−→vx
∂y
= 2x ,
∂−→vx
∂z
= 0
∂−→vy
∂x
= 2xy ,
∂−→vy
∂y
= x2 ,
∂−→vy
∂z
= 0
Enta˜o:
−→ax = 2y.(2xy + 3) + 2x.(x2y) + 0 = 4xy2 + 6y + 2x3y
−→ay = 2xy.(2xy + 3) + x2.(x2y) + 0 = 4x2y2 + 6xy + x4y
No ponto P (1, 1) :
−→ax = 4.1.12 + 6.1 + 2.13.1 = 12
−→ay = 4.12.12 + 6.1.1 + 14.1 = 11
A acelerac¸a˜o, portanto, sera´:
−→a =
√−→ax2 +−→ay2
−→a =
√
122 + 112
−→a ∼= 16 cm/s2
Exemplo 2.2 Num escoamento, o campo de velocidades e´ dado por:
vx = xy
2 , vy = xy e vz =
√
xyz. (cm/s)
Determine:
a) a velocidade no ponto P (1, 2, 1)
b) a acelerac¸a˜o no ponto P (2, 1, 2)
13
Soluc¸a˜o
a) No ponto P (1, 2, 1) , temos:
vx = 1 · 22 = 4
vy = 1 · 2 = 2
vz =
√
1 · 2 · 1 =
√
2
v =
√
v2x + v
2
y + v
2
z
∼= 4, 7 cm/s
b) As derivadas parciais sa˜o:
∂−→vx
∂x
= y2 ,
∂−→vx
∂y
= 2xy ,
∂−→vx
∂z
= 0
∂−→vy
∂x
= y ,
∂−→vy
∂y
= x ,
∂−→vy
∂z
= 0
∂−→vz
∂x
=
yz
2
√
xyz
,
∂−→vz
∂y
=
xz
2
√
xyz
,
∂−→vz
∂z
=
xy
2
√
xyz
As componentes de acelerac¸a˜o ficam:
−→ax = y2.(xy2) + 2xy.(xy) + 0 = xy4 + 2x2y2
−→ay = y.(xy2) + x.(xy) + 0 = xy3 + x2y
−→az = yz
2
√
xyz
.(xy2) +
xz
2
√
xyz
.(xy) +
xy
2
√
xyz
.(
√
xyz) =
xy3z
2
√
xyz
+
x2yz
2
√
xyz
+
xy
2
No ponto P (2, 1, 2) :
−→ax = 10 , −→ay = 6 , −→az = 4
A acelerac¸a˜o, portanto, sera´:
−→a =
√−→ax2 +−→ay2 + +−→az2
−→a =
√
102 + 62 + 42
−→a ∼= 12, 33 cm/s2
14
• Regime variado: descreve-se o movimento das part´ıculas ao longo de suas trajeto´rias em
func¸a˜o do tempo, ja´ que nesse caso, as coordenadas de posic¸a˜o variam com o tempo. Dessa
forma, podemos escrever:
−→v = −→v [x(t), y(t), z(t), t]
−→vx = −→vx(x, y, z, t)
−→vy = −→vy(x, y, z, t)
−→vz = −→vz(x, y, z, t)
A acelerac¸a˜o e´ calculada por:
−→a = ∂
−→v
∂x
−→vx + ∂
−→v
∂y
−→vy + ∂
−→v
∂z
−→vz + ∂
−→v
∂t
e
−→ax = ∂
−→vx
∂x
−→vx + ∂
−→vx
∂y
−→vy + ∂
−→vx
∂z
−→vz + ∂
−→vx
∂t
−→ay = ∂
−→vy
∂x
−→vx + ∂
−→vy
∂y
−→vy + ∂
−→vy
∂z
−→vz + ∂
−→vy
∂t
−→az = ∂
−→vz
∂x
−→vx + ∂
−→vz
∂y
−→vy + ∂
−→vz
∂z
−→vz + ∂
−→vz
∂t
Podemos desmembrar a acelerac¸a˜o em duas partes:
– acelerac¸a˜o de transporte ( ou convectiva): variac¸a˜o da velocidade com mudanc¸a de
posic¸a˜o
– acelerac¸a˜o local: variac¸a˜o de velocidade com o tempo
Portanto,temos:
−→a = −→a transporte +−→a local
onde:
−→a transporte = ∂
−→v
∂x
−→vx + ∂
−→v
∂y
−→vy + ∂
−→v
∂z
−→vz
−→a local = ∂
−→v
∂t
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Exemplo 2.3 Num escoamento no plano Oxy , o campo de velocidades e´ dado por vx = 2xt e
vy = y
2t . Determinar a acelerac¸a˜o na origem e no ponto P (x, y) , com x = 1 cm e y = 2 cm , no
instante t = 5 seg .
Soluc¸a˜o
Como as componentes de velocidade sa˜o func¸o˜es do tempo, o regime de movimento e´ variado.
Logo:
−→ax = ∂
−→vx
∂x
−→vx + ∂
−→vx
∂y
−→vy + ∂
−→vx
∂z
−→vz + ∂
−→vx
∂t
−→ay = ∂
−→vy
∂x
−→vx + ∂
−→vy
∂y
−→vy + ∂
−→vy
∂z
−→vz + ∂
−→vy
∂t
onde:
∂−→vx
∂x
= 2t ,
∂−→vx
∂y
= 0 ,
∂−→vx
∂z
−→vz = 0 , ∂
−→vx
∂t
= 2x
∂−→vy
∂x
= 0 ,
∂−→vy
∂y
= 2yt ,
∂−→vy
∂z
−→vz = 0 , ∂
−→vy
∂t
= y2
Enta˜o:
−→ax = 2t.2xt+ 0.y2t+ 0.0 + 2x = 4xt2 + 2x
−→ay = 0.2xt+ 2yt.y2t+ 0.0 + y2 = 2y3t2 + y2
Na origem, temos x = y = 0 . Logo −→ax = −→ay = 0.
No ponto P (1, 2) , apo´s decorridos 5 segundos:
−→ax = 4.1.52 + 2.1 = 102
−→ay = 2.23.52 + 22 = 404
A acelerac¸a˜o, portanto, sera´:
−→a =
√−→ax2 +−→ay2
−→a =
√
1022 + 4042
−→a ∼= 417 cm/s2
2.3 Campo de tenso˜es
Como ja´ foi visto anteriormente, a tensa˜o envolve uma forc¸a de contato e a a´rea em que ela atua e
pode ser escrita como:
Tij = lim
∆Ai→0
∆Fj
∆Ai
onde:
Tij e´ a componente de tensa˜o
i e´ a direc¸a˜o normal ao plano no qual a forc¸a atua
j e´ a direc¸a˜o da componente da forc¸a.
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Para um elemento de a´rea ∆Ax , com normal na direc¸a˜o x, sobre o qual atuam as componentes
de forc¸a ∆Fx , ∆Fy e ∆Fz , resultam uma componente de tensa˜o normal σxx e duas componentes
de tensa˜o cisalhante τxy e τxz , que sa˜o definidas pelas equac¸o˜es:
σxx = lim
∆Ax→0
∆Fx
∆Ax
τxy = lim
∆Ax→0
∆Fy
∆Ax
τxz = lim
∆Ax→0
∆Fz
∆Ax
Analogamente, considerando elementos de a´reas nas direc¸o˜es y e z , encontraremos mais uma
tensa˜o normal e duas cisalhantes em cada direc¸a˜o. A tensa˜o total no ponto e´ especificada pelas 9
componentes da matriz
T =
σxx τxy τxzτyx σyy τyz
τzx τzy σzz

e e´ conhecida como tensor de tenso˜es.
Os fluidos submetidos a esforc¸os normais sofrem variac¸o˜es volume´tricas finitas.Quando essas
variac¸o˜es sa˜o muito pequenas considera-se os fluidos incompress´ıveis. Em geral os l´ıquidos sa˜o
incompress´ıveis e os gases sa˜o compress´ıveis. Para um fluido em repouso, a tensa˜o e´ exclusivamente
normal, sendo seu valor chamado de pressa˜o esta´tica p que, em um ponto, e´ igual em todas as
direc¸o˜es, ou seja
σxx = σyy = σzz = −p (Principio de Pascal)
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Supondo duas placas paralelas, com um so´lido entre elas e aplicando-se uma forc¸a constante
sobre a placa superior, o so´lido se deforma angularmente ate´ alcanc¸ar uma nova posic¸a˜o de equil´ıbrio
esta´tico.
Para o caso de um fluido entre placas, nota-se que o movimento causado pela aplicac¸a˜o da forc¸a
na placa superior, parte de uma velocidade nula e, a partir de certo instante, atinge uma velocidade
constante v0 .
Em cada sec¸a˜o normal a`s placas, surge um diagrama de velocidades, onde cada camada de
fluido desliza sobre a adjacente, originando uma tensa˜o de cisalhamento.
Como, para fluidos newtonianos, a tensa˜o cisalhante e´ proporcional ao gradiente de velocidade,
temos
τyx = −µ dvx
dy
Para pequenos movimentos, quando a distaˆncia d entre as placas e´ pequena, podemos considerar
que a variac¸a˜o de v com y e´ linear, sem grandes erros e sem que tenhamos que enfrentar ca´lculos
mais sofisticados. Dessa forma, podemos ter
τyx = −µ v0
d
18
Exemplo 2.4 Considere um escoamento de a´gua entre duas placas, onde µ = 0, 001 Pa.s , vx =
1 m/s e d = 0, 005 m . Calcular:
a) o gradiente de velocidade
b) a tensa˜o de cisalhamento no placa superior
Soluc¸a˜o
a)
dvx
dy
=
v0
d
=
1
0, 005
= 200 s−1
b) τ = −µ dvx
dy
= −0, 001× 200 = −0, 2 Pa
Exemplo 2.5 No exemplo anterior, considere que existe um o´leo no lugar da a´gua e que seja
necessa´ria uma tensa˜o cisalhante de 40 Pa para que a velocidade permanec¸a constante. Determine
a viscosidade dinaˆmica desse o´leo.
Soluc¸a˜o
−40 = −µ 1
0, 005
⇒ µ = 0, 2 Pa.s
Exemplo 2.6 O perfil da velocidade do escoamento de o´leo em um tubo de diaˆmetro D = 20 cm
e´ expresso por:
v = 10
[
1−
( r
R
)2]
(m/s)
onde R e´ o raio do tubo. Sabendo que ρo´leo = 905 kg/m
3 e µo´leo = 0, 02 Pa.s , calcule:
a) a velocidade de uma part´ıcula situada em r = R2 .
b) a acelerac¸a˜o de uma part´ıcula situada em r = 0.
c) a tensa˜o de cisalhamento na parede do tubo.
Soluc¸a˜o
a)v = 10[1− (R/2R )2] = 10[1− (12)2] = 10[1− (14)] = 10(34) = 7, 5m/s
b) a =
dv
dr
= −20r
R2
∣∣
r=0 = 0m/s
2
c) τ = −µ dv
dr
= −0, 02(−20R
R2
) = −0, 02(−20
R
) = −0, 02(−20
0, 1
) = 4Pa.
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Tensa˜o Superficial:
A superf´ıcie livre de um l´ıquido assemelha-se a uma pel´ıcula esticada, de maneira que existe
uma tensa˜o atuando no plano da superf´ıcie. Esta tensa˜o esta´ associada a` falta de simetria de forc¸as
atuando sobre as mole´culas do fluido na interface de separac¸a˜o l´ıquido - vapor.
Suas principais caracter´ısticas sa˜o:
• e´ definida como forc¸a por unidade de comprimento ( N/m ), por atuar sobre a linha da
superf´ıcie
• diminui com o aumento da temperatura
• depende do fluido que esta´ sobre a superf´ıcie livre.
• e´ responsa´vel pelas gotas de l´ıquido serem esfe´ricas, por esta ser a forma geome´trica que
apresenta menor a´rea de superf´ıcie por igual volume.
A tensa˜o superficial tem como principal efeito a capilaridade, que e´ o fenoˆmeno de subida e
descida de um l´ıquido dentro de um tubo de pequenas dimenso˜es.
Temos que:
W = mg = ρV g ∼= ρ(pir2h)g
F = 2pirσs cos θ
Pelo balanc¸o de forc¸as:
F = W ⇔ h = 2σs
ρrg
cos θ
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Observac¸o˜es:
1. Quando o l´ıquido molha a superf´ıcie (a´gua-vidro, a´gua-madeira) o aˆngulo θ e´ muito pequeno,
de modo que podemos considerar cos θ = 1.
2. No caso de l´ıquidos que na˜o molham a superf´ıcie, como e´ o caso do mercu´rio, temos θ > pi/2 ,
tal que cos θ < 0 , o que torna h negativo.
Exemplo 2.7 Determine a altura h acima do n´ıvel de um reservato´rio em que a a´gua se eleva
em um tubo capilar de diaˆmetro d = 2 mm, sabendo que a uma temperatura T = 20oC , σs =
0, 074 N/m e γ = 9810 N/m3.
Soluc¸a˜o:
Temos que γ = ρ.g = 9810 N/m3 e θ ∼= 0.
Logo:
h =
2σs
γ r
=
2× 0, 074 N/s2
9810 N/m3 × 0, 001 m = 0, 015 m = 1, 5 cm
2.4 Viscosidade
Sobre a viscosidade, ja´ sabemos do cap´ıtulo anterior que:
• e´ uma propriedade do fluido associada a` resisteˆncia que ele oferece a` deformac¸a˜o por cisalha-
mento.
• e´ causada fundamentalmente pelo atrito entre mole´culas, quando ha´ gradiente de velocidade
na direc¸a˜o transversal ao movimento do fluido.
• e´ func¸a˜o da temperatura.
Os gases, por terem menos coliso˜es entre part´ıculas, possuem baixa viscosidade. Entre os
l´ıquidos , verificamos o grau de viscosidade pela capacidade de se moldarem aos recipientes que os
conteˆm. Entre a a´gua e a glicerina, podemos notar que este u´ltimo e´ mais viscoso.
Em va´rias equac¸o˜es de mecaˆnica dos fluidos, aparece o quociente entre a viscosidade dinaˆmica
e a massa espec´ıfica de um fluido, sendo convenientemente definida como viscosidade cinema´tica,
ou seja:
ν =
µ
ρ
Exemplo 2.8 Considerando ainda o exemplo 2.4 anterior e supondo que a massa espec´ıfica do
o´leo seja ρ = 0, 85 kg/m3 , qual e´ o valor da viscosidade cinema´tica?
Soluc¸a˜o
ν =
0, 2 Pa.s
0, 85 kg/m3
= 0, 2353 m2/s
Observac¸a˜o: 1 Pa = 1 N/m2 e 1 N = 1 kg.m/s2
Exemplo 2.9 Um pista˜o de peso W = 4 N desliza dentro de um cilindro vertical com uma
velocidade constante v = 2 m/s . Sabendo que o diaˆmetro do cilindro e´ dc = 10, 1 cm e o do pista˜o
e´ dp = 10 cm , determine a viscosidade do lubrificante colocado na folga entre o pista˜o e o clindro.
21
Dado: comprimento do pista˜o: L = 5 cm.
Soluc¸a˜o
Se v = cte , enta˜o a = 0.
Logo, o pista˜o esta´ em equil´ıbrio dinaˆmico e:
F = m.a = 0
Para manter esse equil´ıbrio, a forc¸a causada pela tensa˜o de cisalhamento dever ser igual ao
peso do pista˜o, ou seja:
F = W
τ.A = W
µ
dv
dy
pi.dp.L = G
Como a distaˆncia entre o pista˜o e o cilindro e´ muito pequena ( d = 0, 05 cm), podemos considerar
o perfil de velocidade linear, de modo que:
dv
dy
=
v
d
Assim:
µ
v
d
pi.dp.L = G
µ =
d.W
v.pi.dp.L
µ =
0, 05× 10−2 × 4
2pi × 0, 1× 0, 05
µ = 6, 37× 10−2 n.s/m2
22
2.5 Descric¸a˜o e classificac¸a˜o dos movimentos dos fluidos
Aqui sera˜o apresentados alguns conceitos u´teis para a representac¸a˜o de escoamentos, sua classi-
ficac¸a˜o e uma descric¸a˜o dos movimentos dos fluidos.
2.5.1 Conceitos
• Trajeto´ria: a trajeto´ria de uma part´ıcula fluida consiste no caminho percorrido pela part´ıcula,
em func¸a˜o do tempo, ao longo do escoamento.
• Linha de corrente: e´ uma linha imagina´ria trac¸ada no campo de escoamento, num instante
de tempo, de forma que, em cada ponto, os vetores velocidade de escoamento sa˜o tangentes
a ela. Essas linhas fornecem informac¸o˜es sobre as direc¸o˜es e as velocidades dos escoamentos.
Uma linha de corrente pode ser descrita em func¸a˜o das componentes de velocidade de esco-
amento num ponto, relacionando as componentes de velocidade com a geometria do campo
de escoamento. Num escoamento bidimensional, descrito em relac¸a˜o a um sistema de coor-
denadas cartesianas, o vetor velocidade ~v e´ tangente a L.C., de forma que
~v =
d~r
dt
=
dx
dt
~i+
dy
dt
~j
onde
dx
dt
= vx
dy
dt
= vy
Dessa forma, para um mesmo intervalo de tempo dt , podemos ter:
dx
vx
=
dy
vy
Para um escoamento tridimensional:
dx
vx
=
dy
vy
=
dz
vz
Observac¸a˜o: As linhas de corrente nunca se cruzam, pois uma part´ıcula fluida na˜o pode ter
duas velocidades diferentes simultaneamente.
23
• Linha de emissa˜o: a linha de emissa˜o de um ponto,num instante de tempo, pode ser definida
como a linha formada por todas as part´ıculas fluidas que passaram anteriormente pelo ponto.
Observac¸a˜o: Quando o escoamento e´ invariante no tempo (regime permanente), tem-se que
as trajeto´rias, as linhas de corrente e as linhas de emissa˜o, com origem no mesmo ponto, sa˜o
coincidentes.
2.5.2 Classificac¸a˜o
Os escoamentos podem ser classificados, de acordo com alguns crite´rios, de diversas maneiras:
• permanente ou variado
• incompress´ıvel ou compress´ıvel
• uni, bi ou tridimensional
• laminar ou turbulento
a) Escoamento permanente e variado: um escoamento e´ chamado de permanente ou estaciona´rio
quando as suas propriedades, em qualquer ponto, permanecem invariantes no tempo. Isto significa
que, apesar de o fluido estar em movimento, a configurac¸a˜o de suas propriedades em qualquer
instante permanece a mesma. Caso contra´rio, quando as condic¸o˜es do fluido em alguns pontos ou
regio˜es variam com o passar do tempo, o escoamento e´ chamado de regime variado.
b) Escoamento incompress´ıvel e compress´ıvel: escoamento incompress´ıvel e´ aquele em que as va-
riac¸o˜es de massa espec´ıfica sa˜o insignificantes. Quando essas variac¸o˜es na˜o podem ser desprezadas,
dizemos que o escoamento e´ compress´ıvel. Os l´ıquidos sa˜o incompress´ıveis e escoam dessa forma;
os gases sa˜o compress´ıveis, mas podem escoar de forma incompress´ıvel quando as velocidades de
escoamento sa˜o pequenas.
c) Escoamento uni, bi e tridimensional: a classificac¸a˜o se da´ em func¸a˜o do nu´mero de coorde-
nadas espaciais necessa´rias para a especificac¸a˜o do campo de velocidade.
d) Escoamento laminar e turbulento: um escoamento e´ laminar quando o movimento do fluido
se da´ como se fosse constitu´ıdo de placas paralelas que deslizam umas sobre as outras, sem troca
de massa entre elas. No escoamento turbulento, as part´ıculas fluidas se movem em trajeto´rias
irregulares e ocorrem misturas, geralmente atrave´s de turbilho˜es.
Observac¸o˜es:
1. Os escoamentos laminares e turbulentos esta˜o diretamente vinculados ao Nu´mero de Reynolds,
que estabelece uma relac¸a˜o entre a velocidade de escoamento, o diaˆmetro do tubo, a massa
espec´ıfica e a viscosidade dinaˆmica do fluido e e´ definido por
Re =
ρ v d
µ
Para Re < 2100 , o escoamento e´ laminar. Para Re > 2500 , o escoamento e´ turbulento. Na
regia˜o de transic¸a˜o, onde 2100 < Re < 2500 , o escoamento pode ser laminar ou turbulento,
dependendo das condic¸o˜es ambientais, principalmente da existeˆncia de vibrac¸o˜es no sistema.
2. Para um escoamento laminar em dutos circulares, o perfil da velocidade numa sec¸a˜o e´ pa-
rabo´lico, e dado pela expressa˜o
v(r) = vmax
[
1−
( r
R
)2]
24
onde vmax e´ a velocidade de escoamento no centro da sec¸a˜o e R e´ o raio do duto.
3. Para um escoamento turbulento em dutos circulares, o perfil da velocidade numa sec¸a˜o e´ dado
pela expressa˜o
v(r) = vmax
[
1−
( r
R
)]1/7
2.5.3 Outros conceitos
• Vaza˜o em volume:
Define-se vaza˜o em volume como sendo o volume de fluido que atravessa certa sec¸a˜o do
escoamento por unidade de tempo, ou seja
Q =
V
t
e pode ser expressa nas unidades m3/s, l/s,m3/h, l/min, ... .
Existe uma relac¸a˜o importante entre a vaza˜o volume´trica e a velocidade do fluido.
Num intervalo de tempo t , o fluido se desloca atrave´s da sec¸a˜o de a´rea A a uma distaˆncia
igual a s . O volume que atravessa a sec¸a˜o A nesse intervalo de tempo e´ dado por
V = sA
Logo, podemos afirmar que a vaza˜o pode ser escrita como
Q =
V
t
=
sA
t
Como
s
t
= v , temos
Q = vA
Observac¸a˜o: A expressa˜o acima so´ e´ va´lida para o caso em que a velocidade e´ uniforme na
sec¸a˜o. Num caso geral, em que a velocidade e´ diferente em cada ponto, temos
dQ = v dA
ou
Q =
∫
A
vdA
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• Velocidade me´dia
Define-se velocidade me´dia da sec¸a˜o como sendo a velocidade uniforme que , substitu´ıda no
lugar da velocidade real, reproduziria a mesma vaza˜o, ou seja
Q =
∫
A
vdA = vmA
Portanto:
vm =
1
A
∫
A
vdA
Exemplo 2.10 No escoamento bidimensional abaixo, determinar a velocidade me´dia do di-
agrama de velocidades.
Soluc¸a˜o
Inicialmente, temos que determinar v = ay + b atrave´s das condic¸o˜es de contorno.
– para y = 0→ v = 0→ b = 0
– para y = h→ v = v0 → a = v0
h
Logo:
v =
v0
h
y
A velocidade me´dia sera´:
vm =
1
A
∫
A
vdA
onde: A = sh e dA = sdy .
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Logo:
vm =
1
sh
∫ h
0
v0
h
y sdy =
v0
h2
∫ h
0
y dy =
v0
2
• Vaza˜o em massa
Analogamente a` vaza˜o em volume, podemos definir a vaza˜o em massa como sendo
Qm =
m
t
=
ρ V
t
Como
V
t
= Q e Q = vmA , podemos escrever
Qm = ρQ = ρ vmA
Exemplo 2.11 Um ga´s escoa em regime permanente no trecho de tubulac¸a˜o da figura abaixo.
Na sec¸a˜o (1) tem-se A1 = 20 cm
2, ρ1 = 4 kg/m
3 e v1 = 30 m/s. Na sec¸a˜o (2) os valores
sa˜o: A2 = 10 cm
2 e ρ2 = 12 kg/m
3. Determine a velocidade me´dia na sec¸a˜o (2).
Soluc¸a˜o
A equac¸a˜o de continuidade de um fluido para um regime permanente nos permite escrever
que
Qm1 = Qm2
ou
ρ1 v1A1 = ρ2 v2A2
Logo:
v2 = v1
ρ1
ρ2
A1
A2
= 30
4
12
20
10
= 20 m/s
Exemplo 2.12 Resolver o problema anterior supondo que, em vez de ga´s, exista a´gua (
ρ = 1.000 kg/m3 ) escoando pelo tubo.
Soluc¸a˜o
Como a a´gua e´ um fluido incompress´ıvel, na˜o havera´ variac¸a˜o da massa espec´ıfica durante o
escoamento, ou seja:
ou
ρ v1A1 = ρ v2A2
Logo:
v2 = v1
A1
A2
= 30
20
10
= 60 m/s
Observac¸a˜o: Atrave´s do exemplo anterior, podemos notar que a vaza˜o em volume de um
fluido incompress´ıvel e´ a mesma em qualquer sec¸a˜o do escoamento.
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