Prova 1 - Cálculo 2

Prévia do material em texto

Ca´lculo II - Primeira Prova - 22/09/2014
Nome:..................................................................................................................................................
Leia com atenc¸a˜o cada questa˜o e justifique adequadamente cada resposta.
1. Mostre que se ~u e ~v sa˜o vetores de Rn, enta˜o
‖~u− ~v‖ ≥ |‖~u‖ − ‖~v‖|.
Deˆ um exemplo onde onde vale a desigualdade estrita nesta equac¸a˜o.
2. Sejam A e B dois subconjuntos de Rn. Mostre que se A e B sa˜o abertos, enta˜o A∪B tambe´m
e´.
3. Verifique se Q ⊂ R e´ aberto e determine o conjunto de seus pontos de acumulac¸a˜o.
4. Esboce com precisa˜o, justificando cuidadosamente seu desenho, a imagem de
γ(t) = (1 + 2 cos t, 1 + 2 cos t, 2sen t), 0 ≤ t ≤ 2pi.
Determine, caso exista, a reta tangente a tal curva γ em γ(pi). Calcule o comprimento de γ.
5. Mostre, usando a definic¸a˜o de continuidade conforme visto em aula, que f(x, y) = 2x + 3y e´
cont´ınua em todo ponto P de R2.
6. Determine e esboce o domı´nio de
f(x, y) =
y√
x− 1 .
Determine e esboce curvas de n´ıvel de f , indicando direc¸o˜es de crescimento e decrescimento da
func¸a˜o. Esboce o seu gra´fico.
7. Seria poss´ıvel definir uma func¸a˜o g : R2 → R cont´ınua tal que g(x, y) tem a mesma expressa˜o
da func¸a˜o f do item anterior (item 6) no domı´nio de f? Por queˆ? Justifique cuidadosamente.
8. Calcule, caso exista, ou justifique a inexisteˆncia:
a) lim
(x,y)→(0,0)
4yx2
(x2 − 2y2)
b) lim
(x,y)→(0,0)
x2sen (x2 + y2)
x2 + y2