Projeto+de+Revisão+NBR7117 Extratificação de Solo

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ABNT/CB-03 
1°°°° PROJETO DE REVISÃO ABNT NBR 7117 
SET 2011 
 
NÃO TEM VALOR NORMATIVO 
 
 
Medição da resistividade e determinação da estratificação do solo 
APRESENTAÇÃO 
1) Este 1º Projeto de revisão foi elaborado pela Comissão de Estudo de Segurança no 
aterramento de subestações c.a (CE-03:102.01) do Comitê Brasileiro de Eletricidade 
(ABNT/CB-03), nas reuniões de: 
16.09.2004 23.09.2004 18.11.2004 
09.12.2004 24.02.2005 05.05.2005 
30.06.2005 25.08.2005 29.09.2005 
27.10.2005 02.12.2005 12.04.2006 
05.03.2006 14.06.2006 02.08.2006 
04.10.2006 31.10.2006 04.12.2006 
02.02.2007 13.04.2007 04.05.2007 
02.06.2007 06.07.2007 31.08.2007 
05.10.2007 09.11.2007 07.12.2007 
14.03.2008 11.04.2008 09.05.2008 
15.08.2008 10.10.2008 14.11.2008 
12.12.2008 16.01.2009 13.02.2009 
20.03.2009 03.04.2009 24.04.2009 
15.05.2009 19.06.2009 10.07.2009 
14.08.2009 04.09.2009 09.10.2009 
 
2) Este Projeto é previsto para cancelar e substituir a ABNT NBR 7117:1981 quando 
aprovado, sendo que nesse ínterim a referida Norma continua em vigor; 
3) Não tem valor normativo; 
4) Aqueles que tiverem conhecimento de qualquer direito de patente devem apresentar esta 
informação em seus comentários, com documentação comprobatória; 
5) Este Projeto de Norma deve ser diagramado conforme as regras de editoração da ABNT 
quando de sua publicação como Norma Brasileira. 
 
 
 
 
 
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NÃO TEM VALOR NORMATIVO 2/3 
 
6) Tomaram parte na elaboração deste Projeto: 
Participante Representante 
ABRADEE Carlos Alberto Ribeiro de Avellar 
AES ELETROPAULO Ithamar Sene Jr. 
Sergio L. Caparoz 
AES SUL Renato Oling 
B&M PESQUISA E DESENVOLVIMENTO LTDA Flavio Faria 
BANDEIRANTE ENERGIA Ewaldo C. Nogueira 
CHESF Antônio Varejão de Godoy 
CLARO TELEFONIA CELULAR Carlos Henrique Pessin 
COELBA Raimundo Pedreira 
COLI ENGENHARIA Paulo César A. Coli 
CONSULTOR Pedro S. Sumodjo 
COPEL Rosane Maris Ribas 
CPE ENGENHARIA LTDA. Romildo Leite Sales 
CPFL Alexandre Nogueira Aleixo 
Fumio Nakagawa 
ELETRIZAR ENGENHARIA Gilberto Falcoski 
ELEKTRO Emerson R. Furlaneto 
Laudemir Caritá 
Shiguematsu Nosaki 
Valmir Ziolkowski 
Vinicius M. Benichio 
Wilson Hirakawa 
ELETRO-ESTUDOS ENGENHARIA Paulo Edmundo da Fonseca Freire 
ELETROSUL Dalvir Maquerievki 
Lucio Volnei Galvani 
Oquigibson Lima Costa 
ENCONTRE ENGENHARIA LTDA Duílio Moreira Leite 
ENERSUL Antonio de Pádua Ribeiro 
Gerson de Almeida Costa Nonato 
ENERTEC Sérgio R. Oliveira 
ERICO Marcelo Logli 
FASTWELD Rinaldo Junior Botelho 
FPTE Nemer Paschoal Fioravante Jr. 
FPTE – FUND. PTA. DE TECNOLOGIA E 
EDUCAÇÃO Juliano Munhoz Beltani 
FURNAS Arion Barros 
José Roberto T. Correa 
 
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NÃO TEM VALOR NORMATIVO 3/3 
 
Luiz Carlos da Rocha Santos 
GALENO ENGENHARIA CONSULT. 
TREINAMENTO Galeno Lemos Gomes 
GILCO PROTEÇÃO ELÉTRICA Igidio Castro 
GRUPO REDE Ivan Nord 
GUISMO ENGENHARIA Jobson Modena 
IPT Mario Leite 
LACTEC José Maurílio da Silva 
Luis Ricardo Alfaro Gamboa 
Renata Jacyszyn Bachega 
MANHAHATTAM EL. Juan Alexandre Suarez 
MASUKI ENGENHARIA Luiz Masuki 
MEGABRAS Luis Alberto Pettoruti 
Manuel Jaime Leibovich 
MIOMEGA João G. Cunha 
OFFICINA DE MYDIA Carlos Moreira Leite 
PEA – USP José Roberto Cardoso 
PROELCO Antônio Roberto Panicali 
 
QUEMC Roberto Menna Barreto 
REIS MIRANDA ENGENHARIA Armando Pereira Reis Miranda 
SANPIETRO ENGENHARIA Carlos Antonio Sanpietr 
SOTA CONSULTORIA E PROJETOS SC LTDA André Lima Rodrigues 
Carlos Alberto Sotille 
STS ENGENHARIA Sérgio T. Sobral 
UFMG Silvério Visacro Filho 
 Armindo F. Cadihe 
 Carlos Magno Camargo 
 Ivo Eleutério Bonatti 
 J. Brito 
 José Mak 
 Paulo Jarussi 
 
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NÃO TEM VALOR NORMATIVO 1/66 
 
Medição da resistividade e determinação da estratificação do solo 
Earth resistivity measurements and soil stratification 
Prefácio 
A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) é o Foro Nacional de Normalização. As Normas 
Brasileiras, cujo conteúdo é de responsabilidade dos Comitês Brasileiros (ABNT/CB), dos Organismos 
de Normalização Setorial (ABNT/ONS) e das Comissões de Estudo Especiais (ABNT/CEE), são 
elaboradas por Comissões de Estudo (CE), formadas por representantes dos setores envolvidos, delas 
fazendo parte: produtores, consumidores e neutros (universidades, laboratórios e outros). 
Os Documentos Técnicos ABNT são elaborados conforme as regras da Diretiva ABNT, Parte 2. 
O Escopo desta Norma Brasileira em inglês é o seguinte: 
Scope 
This Standard establishes the requirements for resistivity measurements and bedding of the soil 
determination. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1 Escopo 
Esta Norma estabelece os requisitos para medição da resistividade e determinação da estratificação do 
solo. 
2 Referências normativas 
Os documentos relacionados a seguir são indispensáveis à aplicação deste documento. Para 
referências datadas, aplicam-se somente as edições citadas. Para referências não datadas, aplicam-se 
as edições mais recentes do referido documento (incluindo emendas). 
ABNT NBR 5410:2004, Instalações elétricas de baixa tensão 
ABNT NBR 5456, Eletricidade geral – Terminologia 
ABNT NBR 5460, Sistemas elétricos de potência 
ABNT NBR 14039, Instalações elétricas de média tensão de 1,0 KV a 36,2 kV 
ABNT NBR 15749, Medição de resistência de aterramento e de potenciais na superfície do solo em 
sistemas de aterramento 
ABNT NBR 15751, Sistema de aterramento de subestações – Requisitos 
IEC 61010-1:2010, Safety requirements for electrical equipment for measurement, control, and 
laboratory use – Part 1: General requirements. 
IEC 61557-1, Electrical safety in low voltage distribution system up to 1 000 V a.c. and 1 500 V d.c. – 
Equipment for testing, measuring or monitoring of protective measures – Pat 1: General requirements 
3 Termos e definições 
Para os efeitos deste documento, aplicam-se os termos e definições das ABNT NBR 5456, 
ABNT NBR 5460 e os seguintes. 
3.1 
aterramento 
ligação intencional de parte eletricamente condutiva à terra, através de um sistema de aterramento 
3.2 
condutor de aterramento 
condutor ou elemento metálico que faz a ligação elétrica entre a instalação que deve ser aterrada e o 
eletrodo de aterramento 
3.3 
corrente de interferência (no processo de medição de resistividade do solo) 
qualquer corrente estranha ao processo de medição capaz de influenciar seus resultados 
3.4 
eletrodo de aterramento 
condutor nu ou envolto em material parcialmente condutor (concreto e outros) enterrado no solo com 
função de dissipação de corrente 
 
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NÃO TEM VALOR NORMATIVO 3/66 
 
3.5 
eletrodo natural de aterramento 
elemento condutor ligado diretamente à terra cuja finalidade original não é de aterramento, mas que se 
comporta naturalmentecomo um eletrodo de aterramento 
3.6 
malha de aterramento 
conjunto de condutores, interligados e enterrados no solo 
3.7 
potenciais perigosos 
potenciais que podem provocar danos quando aplicados ao elemento tomado como referência 
3.8 
resistência de aterramento (de um eletrodo) 
resistência ôhmica entre o eletrodo de aterramento e o terra de referência 
3.9 
resistividade aparente do solo 
resistividade vista por um sistema de aterramento qualquer, em um solo com característica de 
resistividade homogênea ou estratificado em camadas, cujo valor é utilizado para o cálculo da 
resistência de aterramento desse sistema 
3.10 
resistividade elétrica do solo, resistência específica do solo ou, simplesmente, resistividade do 
solo 
resistência entre faces opostas do volume do solo, consistindo de um cubo homogêneo e isótropo cuja 
aresta mede uma unidade de comprimento 
3.11 
resistividade média do solo a uma dada profundidade 
valor de resistividade resultante da avaliação das condições locais e do tratamento estatístico dos 
resultados de diversas medições de resistividade do solo para aquela profundidade, efetuada numa 
determinada área ou local, e que possa ser considerado como representativo das características 
elétricas do solo 
3.12 
sistema de aterramento 
conjunto de todos os eletrodos e condutores de aterramento interligados entre si, assim como partes 
metálicas que atuem com a mesma função, tais como: pés de torre, armadura de fundações, estacas 
metálicas e outros 
3.13 
tensão de passo 
diferença de potencial entre dois pontos da superfície do solo, separados pela distância de um passo de 
uma pessoa, considerado igual a 1,0 m 
3.14 
tensão de toque 
diferença de potencial entre uma estrutura metálica aterrada e um ponto da superfície do solo, separado 
por uma distância horizontal equivalente ao alcance normal do braço de uma pessoa, e considerado 
igual a 1,0 m 
 
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3.15 
tensão máxima do sistema de aterramento 
tensão máxima que um sistema de aterramento pode atingir relativamente ao terra de referência, 
quando da ocorrência de injeção de corrente para o solo 
3.16 
terra de referência 
região do solo suficientemente afastada da zona de influência de um eletrodo ou sistema de 
aterramento, tal que a diferença de potencial entre dois quaisquer de seus pontos, devido à corrente 
que circula pelo eletrodo para a terra, seja desprezível. É uma superfície praticamente equipotencial que 
se considera como zero para referência de tensões elétricas 
3.17 
terra de referência para um eletrodo de aterramento (ou ponto remoto) 
região do solo suficientemente afastada da zona de influência de um eletrodo ou sistema de 
aterramento, tal que a diferença de potencial entre dois quaisquer de seus pontos, devido à corrente 
que circula pelo eletrodo para a terra, seja desprezível. É uma superfície praticamente eqüipotencial que 
se considera como zero para referência de tensões elétricas 
4 Geral 
4.1 Composição do solo 
O solo é um meio geralmente heterogêneo, de modo que o valor de sua resistividade varia de local para 
local em função do tipo, nível de umidade, profundidade das camadas, idade de formação geológica, 
temperatura, salinidade e outros fatores naturais, sendo também afetado por fatores externos como 
contaminação e compactação. Exemplos de variação da resistividade em função de alguns destes 
parâmetros são mostrados na Tabela 1 e na Figura 1. 
Tabela 1 — Valores típicos de resistividade de alguns tipos de solo 
Tipos de solo Faixa de resistividades 
(Ω·m) 
Água do mar menor do que 10 
Alagadiço, limo, humus, lama até 150 
Água destilada 300 
Argila 300 – 5 000 
Calcário 500 – 5 000 
Areia 1 000 – 8 000 
Granito 1 500 – 10 000 
Basalto a partir de 10 000 
 
Concretoa 
Molhado: 20 – 100 
Úmido: 300 – 1 000 
Seco: 3 kΩ·m – 2 MΩ·m 
a
 A categoria molhado é típica de aplicação em ambientes 
externos. Valores inferiores a 50 Ω·m são considerados altamente 
 
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corrosivos. 
 
 
Figura 1 — Variações típicas de resistividade (ρρρρ) do solo 
5 Condições específicas 
5.1 Medição de resistividade do solo 
5.1.1 Considerações gerais 
A determinação dos valores das resistividades do solo e sua estratificação é de importância 
fundamental para o cálculo das características de um sistema de aterramento, subsidiando o 
desenvolvimento de projetos, bem como a determinação de seus potenciais de passo e toque. 
Em geral, o solo é constituído por diversas camadas, cada uma apresentando um certo valor de 
resistividade e uma espessura própria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5000
1000
500
100
50
ρ ρ ρ ρ (ΩΩΩΩm)
5000
1000
500
100
50
–25 –20 –15 –10 – 5 0 5 10 15 20 25 temperatura (°C) 
5000
1000
500
100
50
5000
1000
500
100
50
ρ ρ ρ ρ (ΩΩΩΩm)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Salinidade (%) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Umidade (%) 
ρ ρ ρ ρ (ΩΩΩΩm)
 
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O valor de resistividade do solo é determinado através de medições, cujos resultados recebem um 
tratamento matemático, de modo a se obter a estratificação do solo em camadas paralelas ou 
horizontais, de diferentes resistividades (ρ) e de espessuras (e) definidas, conforme Figura 2. 
 
 
Legenda 
ρ1, e1 Resistividade e espessura da camada de número 1 
ρ2, e2 Resistividade e espessura da camada de número 2 
ρ3, e3 Resistividade e espessura da camada de número 3 
ρ4, e4 Resistividade e espessura da camada de número 4 
Figura 2 — Solo real (a) e solo estratificado (b) 
Considerando-se, portanto, a heterogeneidade do solo, verificada pela variação de sua resistividade à 
medida em que suas camadas são pesquisadas, há necessidade de se procurar meios e métodos que 
determinem essas variações, sem que seja necessário lançar mão de prospecções geológicas, o que, 
decerto, inviabilizaria os estudos para implantação de sistemas de aterramento. Assim sendo, foram 
desenvolvidos métodos de prospecção geoelétricos que se caracterizam pela facilidade operacional e 
precisão fornecidas. A complexidade adicional causada pelos solos não uniformes é comum, e apenas 
em poucos casos a resistividade é constante com o aumento da profundidade, ou seja, homogênea. 
Basicamente, os métodos que utilizam sondagem elétrica procuram determinar a distribuição vertical de 
resistividade, abaixo do ponto em estudo, resultando então em camadas horizontais, geralmente 
causadas por processos sedimentares. 
Em função de pesquisas já realizadas pode-se dizer que metade da corrente injetada no solo, circula 
acima de uma profundidade igual à metade da distância entre eletrodos, e que grande parte da corrente 
flui acima da profundidade igual à separação entre eles. Para estas conclusões pressupõe-se a 
condição de solos homogêneos, não sendo as mesmas válidas para solos estratificados, nos quais a 
densidade de corrente varia de acordo com a distribuição de resistividades. 
Os gradientes de potencial da superfície do solo, dentro ou adjacentes a um eletrodo, são 
principalmente uma função da resistividade da camada superficial do solo. Em contraste, a resistência 
do eletrodo de terra é primariamente uma função de suas dimensões e das resistividades das camadas 
mais profundas do solo, especialmente se o eletrodo for de grandes dimensões. 
Estratificações oblíquas e verticais, derivadas de acidentesgeológicos, não são objeto de estudo desta 
norma. 
Dispondo-se de dois eletrodos de corrente pelos quais se faz circular uma corrente I, e de dois eletrodos 
de potencial que detectarão uma diferença de potencial V, pode-se mostrar que a resistividade do solo é 
proporcional a V/I, sendo o fator de proporcionalidade uma função do método empregado. 
 
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5.1.2 Metodologia de medição 
São os seguintes os métodos de medição: 
 Amostragem física do solo; 
 Método da variação de profundidade; 
 Método dos dois eletrodos; 
 Método dos quatro eletrodos, com os seguintes arranjos: 
 arranjo do eletrodo central 
 arranjo de Lee 
 arranjo de Wenner 
 arranjo Schlumberger – Palmer 
5.1.2.1 Amostragem física do solo 
A amostragem física do solo está descrita no Anexo E. 
5.1.2.2 Método da variação de profundidade 
Este método também conhecido como “método de três eletrodos” consiste de um ensaio de resistência 
de terra executado para várias profundidades (L) do eletrodo de ensaio de diâmetro (d). O valor da 
resistência medida (Rm) refletirá a variação da resistividade, relativa ao incremento de profundidade. 
Usualmente, o eletrodo de ensaio é uma haste pela facilidade da cravação desta no solo. 
As medições citadas podem ser executadas usando um dos métodos para medição da resistência de 
aterramento, descritos na ABNT NBR 15749. 
O método de variação de profundidade dá informação útil sobre a natureza do solo na vizinhança da 
haste. Contudo, se um grande volume de solo deve ser investigado, é preferível que se use o método 
dos quatros eletrodos, já que o cravamento de hastes longas não é prático. 
Este método supõe que o aterramento a ser ensaiado é composto de uma haste de aterramento de 
comprimento L. O raio r da haste é pequeno ao se comparar com L. Os valores de resistividade obtidos 
com esse método são médios e não podem ser extrapolados. 
A resistência de aterramento de uma haste enterrada em um solo uniforme, para fins práticos é dada 
pela equação: 






−
⋅
= )1)4ln(
2 r
L
L
R
pi
ρ
 (1) 
Dependendo das aproximações usadas para cada comprimento L da haste, o valor R da resistência 
média determina o valor da resistividade aparente que, quando plotado em função de L, fornece uma 
ajuda visual para determinação da variação da resistividade do solo com a profundidade. 
 
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5.1.2.3 Método dos dois eletrodos 
O método dos dois eletrodos está descrito no Anexo D. 
5.1.2.4 Método dos quatros eletrodos (geral) 
É o método mais aplicado para medição da resistividade média de grandes volumes de terra. Pequenos 
eletrodos são cravados no solo a pequenas profundidades, alinhados e espaçados em intervalos não 
necessariamente iguais. A corrente de ensaio I é injetada entre os dois eletrodos externos e a diferença 
de potencial V é medida entre os dois eletrodos internos com um potenciômetro ou um voltímetro de 
alta impedância, conforme Figura 3. A resistividade é dada pela equação (2): 
( ) ( )






×
+
−
+
−+
=
I
V
dddddd 322131
1 1111
2piρ
 (2) 
 
 
Legenda 
I corrente entre os eletrodos de corrente C1 e C2 
V diferença de tensão entre os eletrodos de potencial P1 e P2 
d1 distância entre os eletrodos C1 e P1 
d2 distância entre os eletrodos P1 e P2 
d3 distância entre os eletrodos C2 e P2 
b profundidade de cravação dos eletrodos 
Figura 3 — Método dos quatro eletrodos (geral) 
Algumas variações do método dos quatro eletrodos são apresentadas a seguir. 
5.1.2.4.1 Arranjo do eletrodo central 
O arranjo é recomendado para prospecção a grandes profundidades, ou em locais onde a resistividade 
é elevada. O eletrodo C2 é fixado no centro da área a ser medida, variando-se a posição de C1, P1 e P2, 
e obedecendo-se a condição: d3 muito maior que d1 e d2, conforme Figura 4. A resistividade para uma 
profundidade H (dada pela média aritmética das distâncias d1, d2 e d3) é obtida (admitindo-se erro de 
1 %) pela equação (4): 
 
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3
321 dddH ++= (3) 
Onde 
 
( )
( )
I
V
d
ddd
H ×
+××
=
2
2112piρ (4) 
Em particular, se d1 = d2: 
I
Vd ×××= 14 piρ (5) 
 
Legenda 
I corrente 
P1 e P2 eletrodos de potencial 
C1 e C2 eletrodos de corrente 
d1 distância entre os eletrodos C1 e P1 
d2 distância entre os eletrodos P1 e P2 
d3 distância entre os eletrodos C2 e P2 
ρ1 resistividade aparente da primeira camada 
Figura 4 — Arranjo do eletrodo central 
 
5.1.2.4.2 Arranjo de Lee (ou das cinco hastes) 
É um arranjo que requer duas medidas por espaçamento e permite detectar variações nas espessuras 
das camadas do solo, conforme Figura 5. 
 
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Legenda 
I corrente 
P1 e P2 terminais de potencial para as medições comparativas entre os eletrodos: A – B e B – C 
C1 e C2 eletrodos de corrente 
a distância entre os eletrodos 
Figura 5 — Arranjo de Lee (ou das 5 hastes) 
 
1ª medição: 
I
4 ABa1a
V
×= ρρ 
2ª medição: 
I
4 BCa1a
V
×= ρρ 
 
Figura 6 — Solo com camadas sem variação de espessura 
 
 
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Figura 7 — Solo com camadas de espessuras variáveis 
 
5.1.2.4.3 Arranjo dos quatros pontos igualmente espaçados ou arranjo de Wenner 
Neste arranjo os eletrodos são igualmente espaçados, como mostrado na Figura 8. C1 e C2 são os 
eletrodos de corrente. A tensão é medida entre os eletrodos P1 e P2 do arranjo. Sendo a a distância 
entre eletrodos adjacentes e b a profundidade de cravação destes, a resistividade em função de a e b é 
dada por: 
2222 4
21
4
ba
a
ba
a
I
V
a
+
−
+
+






×××
=
pi
ρ (6) 
 
 
 
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Figura 8 — Arranjo de Wenner 
Na prática são usados quatro eletrodos localizados em uma linha reta em intervalos a, enterrados a 
uma profundidade que não exceda 10 % de a. Quando b ≤ a/10, a equação se torna a equação (7): 






×=
I
V
apiρ 2(a) (7) 
Essa equação é aproximadamente a resistividade média do solo na profundidade a. Um conjunto de 
leituras tomadas com vários espaçamentos entre eletrodos, resulta em um conjunto de resistividades 
que, quando plotadas em função do espaçamento, indicam a variação da resistividade com a 
profundidade. 
Os eletrodos do instrumento devem estar sempre firmes e com boa aderência ao solo; solos arenosos 
ou rochosos podem requerer adição de água ao redor do eletrodo para facilitar o contato elétrico. 
Um conjunto de leituras, tomadas com vários espaçamentos entre hastes, resulta em um conjunto de 
resistividades que, quando plotadas em função do espaçamento, indica a variação da resistividade com 
a profundidade. 
Por exemplo, se o espaçamento for de 4 m e os eletrodos forem cravados a 20 cm, a equação 
simplificadapode ser utilizada mas, se o espaçamento for de 1 m, ter-se-ia que cravar o eletrodo com 
menos de 10 cm, o que geralmente não é suficiente para ter um contato adequado com o solo. 
O número mínimo de linhas de medição, os croquis recomendados para áreas com diversos tamanhos 
e formatos, bem como o procedimento de medição para o arranjo de Wenner, são apresentados no 
Anexo A. 
5.1.2.4.4 Arranjo de Schlumberger 
O arranjo de Schlumberger é uma disposição para o método dos 4 pontos onde o espaçamento central 
é mantido fixo (normalmente igual a 1,0 m), conforme Figura 9, enquanto os outros espaçamentos 
variam de forma uniforme. Daí, uma alta sensibilidade na medição dos potenciais é necessária, 
especialmente se a fonte do terrômetro é de baixa potência. 
 
Ponto 
centra
I I 
a C1 C2 a a 
b Ponto 
central 
V 
P1 P2 
 
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Figura 9 — Arranjo de Schlumberger 
As curvas padrão para arranjo de Schlumberger em duas camadas são obtidas pela equação 8: 
( ) ( ) ( ) ( )( )dxxvxuJxvxuJxK
v
vu
u,v +−−××





×
−
×= ∫
∞
0002
22
1as 2
ρρ (8) 
onde, 
ρas é a resistividade do arranjo de Schlumberger; 
u é a metade do afastamento das hastes de potencial = (1,0)/2; 
v é a metade do afastamento das hastes de corrente = (a + 1,0 + a)/2; 
K(x) é a função kernel das camadas; 
J0 (y) é a função de Bessel de primeira classe de ordem zero. 
5.1.2.4.5 Arranjo Schlumberger – Palmer 
Para medir resistividades com grandes espaçamentos, especialmente em terrenos de alta resistividade 
(da ordem de ou superior a 3 000 Ω×m), pode ser usado o arranjo mostrado na Figura 10, com os 
eletrodos de potencial situados muito próximos aos eletrodos de corrente correspondentes para 
melhorar a resolução da medida da tensão. Mesmo assim, os terrômetros convencionais, de baixa 
potência (com corrente compatível com a sensibilidade do aparelho), dificilmente operam de forma 
eficiente. 
 
Legenda 
A Amperímetro 
V Voltímetro 
 
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b Profundidade dos eletrodos 
c Distância entre os eletrodos de potencial 
d Distância entre os eletrodos de corrente e os eletrodos de potencial 
Figura 10 — Arranjo Schlumberger – Palmer 
Se a profundidade b do eletrodo é pequena comparada com as separações d e c então a resistividade 
medida pode ser calculada pela seguinte equação (9): 
I
V
c
dcd
×
+×
=
)(piρ
 (9) 
5.1.3 Procedimentos da medição 
5.1.3.1 Número e localização das linhas de medição 
Uma medição é definida como o conjunto de leituras obtidas em uma mesma direção de cravamento e 
diversos espaçamentos entre hastes, conforme 5.1.2.4. 
A localização dos pontos e das direções das medições dependem da geometria da área e das 
características locais. O número mínimo de linhas de medição bem como os croquis recomendados 
para medições em áreas retangulares são apresentados na Tabela 2. 
Tabela 2 — Área do terreno e número mínimo de linhas de medição 
Área do terreno 
(m2) 
Número mínimo de 
linhas de medição 
Croquis para as linhas de 
medição 
S ≤ 1 000 
1 000 < S ≤ 2 000 
2 000 < S ≤ 5 000 
5 000 < S ≤ 10 000 
10 000 < S ≤ 20 000 
2 
3 
4 
5 
6 
Figura 11-(a) 
Figura 11-(b) 
Figura 11-(c) 
Figura 11-(d) 
Figura 11-(e) 
 
 
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NOTA Para medições em áreas acima de 20 000 m2 recomenda-se dividir o terreno remanescente em áreas 
de até 10 000 m2, acrescentando-se linhas de medição equivalentes às descritas na tabela adicional. Assim, para 
uma área de 25 000 m2 executa-se (6 + 4) = 10 linhas de medição. 
Legenda 
A,B,C,D,E,F Linhas de medição 
 
Figura 11 — Croquis para medições de resistividade 
 
Além da área, outros aspectos devem ser observados na determinação do número de medições, 
ressaltando-se: 
 As variações nas características do solo local, devendo-se medir separadamente a resistividade 
nos diferentes tipos de terreno existentes; 
A=B
A
B C D
AB C
A
C
B D
E
Figura 16 - (a) Figura 16 - (b)
Figura 16 - (c) Figura 16 - (d)
A=B D
E
C
F
Figura 16 - (e)
(d) 
(a) (b) 
(e) 
(c) 
 
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 As variações entre os resultados obtidos nas diversas linhas de medição para uma mesma 
distância entre eletrodos; quanto maior a discrepância entre os resultados, maior deve ser o 
número de linhas de medição. 
5.1.3.2 Condições mínimas a serem observadas 
Deve ser considerada a variação sazonal da resistividade do solo, devendo ser realizada uma medição 
no período mais crítico; 
De maneira geral, a situação mais crítica é a de solo seco, que ocorre após um período de 7 dias sem 
chuvas. Esse período deve ser observado sempre para comprovação da situação mais crítica, caso seja 
necessária; 
Para estimativa de projeto ou casos especiais podem ser efetuadas medições com o solo na situação 
que não seja a mais crítica. Uma medição posterior é necessária, caso acordado entre as partes; 
Em áreas onde seja necessário corrigir o nível do terreno, pelo menos uma das medições deverá ser 
realizada após a conclusão da terraplenagem; 
Pontos de uma mesma área em que sejam obtidos valores de resistividade com desvio superior a 50 % 
em relação ao valor médio das medições realizadas podem vir a caracterizar uma sub-área específica, 
devendo ser realizadas medições complementares ao seu redor, para ratificação do resultado; se isso 
não for possível, considerar a conveniência de descartar a linha de medição; 
No caso de medições de resistividade próximas a malhas existentes, objetos condutores enterrados ou 
cercas aterradas, deve-se afastar a linha de medição a uma distância onde as interferências sejam 
reduzidas e utilizar instrumentos que possuam filtros que separem os resultados do sinal injetado para 
evitar ou atenuar os efeitos da proximidade com circuitos energizados; 
Para projetos de linhas de transmissão devem ser realizadas duas medições em direções ortogonais 
nos pontos escolhidos, preferencialmente no sentido longitudinal ao encaminhamento da linha de 
transmissão e outra perpendicular, que devem coincidir com a localização das estruturas; 
Cada linha de medição deve possuir no mínimo 5 medidas com distâncias diferentes entre eletrodos; 
A linha de medição deve ser prospectada a partir de uma distância entre eletrodos de 1 m e prosseguir, 
se possível, em potência de 2, a saber: 1; 2; 4; 8; 16... m. Podem ser utilizadas distâncias entre 
eletrodos intermediárias. 
Condições diferentes das acima indicadas só podem ser definidas sob justificativas técnicas e após 
expressa concordância entre os agentes envolvidos, observadas as condições específicas do local. 
Na execução das medições deve-se anotar todas as características locais e os resultados obtidos em 
planilhas como a apresentada no Anexo B. 
5.1.4 Instrumentos de medição 
As características de instrumentos de medição estão descritas no Anexo C. 
5.1.5 Cuidados na medição 
Durante a medição de resistividade deve-se tomar alguns cuidados como: 
 
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 não fazer medições sob condições atmosféricas adversas, tendo-se em vista a possibilidade de 
ocorrência de descargas atmosféricas; 
 utilizar Equipamentos de Proteção Individual (EPI’s) compatíveis com o tipo e o local da medição aser realizada; 
 evitar que pessoas estranhas e animais se aproximem do local; 
 não tocar nos eletrodos durante a medição. 
5.1.6 Interpretação das medidas 
A interpretação dos resultados obtidos no campo é a parte mais crítica do processo de medição e, 
conseqüentemente, necessita maiores cuidados na sua validação. Como já mencionado, a variação da 
resistividade do solo pode ser grande e complexa por causa da sua heterogeneidade. Exceto para 
alguns casos é essencial estabelecer uma equivalência simples para a estrutura do solo. Esta 
equivalência depende: 
 da exatidão e extensão das medições; 
 do método usado; 
 da complexidade matemática envolvida; 
 da finalidade das medições. 
Para a maioria das aplicações, o modelo da redução a duas camadas equivalentes é adequado, 
dispensando detalhamento matemático mais complexo. 
5.1.6.1 Método dos quatro eletrodos 
A interpretação do método dos quatro eletrodos é similar àquela do método de profundidade já descrito. 
No caso do arranjo de Wenner, a resistividade medida é registrada em função do espaçamento a do 
eletrodo. A curva resultante indica a estrutura do solo. A interpretação da curva obtida pode indicar 
desvios nas medições ou necessidade de informação adicional sobre o solo, inclusive de medições em 
profundidades adicionais. 
5.2 Modelagem matemática do solo para duas camadas 
5.2.1 Modelagem convencional 
Dependendo da finalidade da medição da resistividade do solo, um modelo equivalente de duas 
camadas pode vir a ser eficaz em termos de resultados. Neste modelo o solo é caracterizado pelos 
seguintes parâmetros: 
 espessura da primeira camada, h; 
 resistividade da primeira camada, ρ1; 
 resistividade da camada mais profunda, ρ2; 
 coeficiente de reflexão k. 
 
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A determinação da resistividade usando o arranjo de Wenner resulta em uma resistividade equivalente 
que é função da separação de eletrodos a. A resistividade equivalente é mostrada pela equação (10): 
(ver Figura 12). 


































+
−






+
+= ∑
∞
−1 22
1(a)
2421
41
n
nn
a
h
n
k
a
h
n
kρρ (10) 
onde o coeficiente de reflexão k é dado por: 
12
12
ρρ
ρρ
+
−
=k (11) 
 
Figura 12 — Solo estratificado em duas camadas 
5.2.2 Método semiesférico 
O método semiesférico pode ser empregado para avaliar a resistividade aparente em malhas de 
aterramento situadas em estratificações horizontais e com componentes verticais (beira de rios em 
malhas de usinas, por exemplo). 
Este método considera uma malha de terra com raio equivalente r instalada na superfície de uma calota 
semi-esférica (Figura 13) de solo estratificado em duas camadas radiais, com resistividade inicial ρ1, de 
espessura d, e resistividade da segunda camada ρ2. Ver Figura 13. 
 
 
 
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Figura 13 — Solo modelado em duas camadas semi-esféricas 
A resistividade aparente ρa é usualmente definida considerando: 
d é a espessura da primeira camada, de resistividade superficial, ρ1; 
a é o raio da semi-esfera da malha de aterramento; 
b é a distância do centro da malha até a interface entre ρ1 e ρ2; 
r é o raio do círculo de área igual à da malha de aterramento (r = 2a). 
Como d = b − a, chega-se à expressão: 
a
d 21
1
1 1
2
1
2
+
−
+=
ρ
ρ
ρ
ρ
 (12) 
A partir desta expressão, para diversas condições de r/d e ρ2/ρ1 são construídas as curvas da 
Figura 14. 
Com o valor r/d, intercepta-se (ou interpola-se) a curva correspondente de ρ2/ρ1 e desta forma obtém-se 
o valor de ρa/ρ1. O produto deste valor com ρ1 fornecerá ρa. 
Neste modelo, a camada de resistividade mais elevada mantém maior influência na resistividade 
aparente, para quaisquer valores de r/d. 
 
 
 
 
 
 
ρ1 
ρ2 
 a b 
 d 
 
 
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0,01
0,1
1
10
100
0,01 0,1 1 10 100
r/d
ρρρρ2/ρρρρ1
 50
0,2
 0,1
 0,05
 0,02
 0,01
 0,5
 20
 10
 5
 2
 1
 100
ρρρρa/ρρρρ1
 
Figura 14 — Curvas utilizadas pelo método semi-esférico 
 
6 Estratificação do solo 
6.1 Métodos gráficos 
Os métodos gráficos normalmente adotados são apresentados no Anexo A. 
O método simplificado, detalhado em A.1, é aplicado a solos de duas camadas. 
O método das curvas padrão e auxiliar, detalhado em A.2, aplica-se a solos de duas ou mais camadas. 
O método da queda de potencial é recomendado para medição de resistência de aterramento através 
de equipamento específico (terrômetro). 
As curvas padrão, conforme Sunde, para o arranjo de Wenner (aw) em duas camadas obedecem a 
equação (13): 
 
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( ) ( ) ( ) ( )( )dxaxJaxJxKaaaw ××−××××= ∫∞ 22 0001ρρ (13) 
onde 
ρaw é a resistividade medida; 
a é o espaçamento; 
ρ1 é a resistividade da primeira camada; 
K(x) é a função kernel das camadas; 
J0(y) é a função de Bessel de primeira classe de ordem zero; 
x é a variável de integração. 
A função K(x), para as curvas padrão em solos de duas camadas, é dada por: 
hx
hx
ek
ek
xK
⋅⋅−
⋅⋅−
⋅−
⋅+
= 2
2
1
1)( (14) 
onde k é o coeficiente de reflexão entre as resistividades das camadas 1 e 2 obtido pela equação 11 e h 
é a espessura da primeira camada. 
Para solos com mais de duas camadas é necessária a utilização de curvas auxiliares. 
Exemplos de aplicação são apresentados no Anexo B. 
6.2 Métodos computacionais 
A solução das equações 13 e 14 pode ser uma tarefa complexa, o que motiva o desenvolvimento de 
métodos computacionais para a estratificação de solos. 
Os softwares existentes estratificam o solo em camadas e são adequados à grande maioria dos casos. 
No entanto, a utilização de programas computacionais não exime o projetista da interpretação física dos 
resultados para verificar a aplicabilidade da modelagem obtida do solo. 
A parte contratual que recebe as medições e as estratificações do solo pode especificar limites ou 
condições que venham a comprovar as interpretações físicas dadas à modelagem obtida. 
Casos especiais merecem cuidados adicionais de interpretação. 
6.3 Exemplos de curvas de resistividade e quantidades de camadas do solo 
O número de camadas de uma estratificação é, matematicamente: 
 Ncam = 1 + Npi 
Onde Npi é o número de pontos de inflexão da curva; assim, um solo homogêneo tem como curva uma 
reta, um solo de duas camadas tem uma curva com um ponto de inflexão etc., ou, visto de outra forma, 
uma curva com um ponto de inflexão significa um solo de duas camadas. 
 
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Solo 
homogêneo 
 
Com 2 camadas 
 
Com 3 camadas 
 
Com 4 camadas 
 
 
Legenda 
ρ Resistividade 
a Distância entre eletrodos 
 
Figura 15 — Exemplos típicos de curvas para diversas estratificações 
 
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Anexo A 
(normativo)Métodos gráficos de estratificação do solo 
A.1 Métodos gráficos 
O solo é formado por diversas camadas cujo perfil pode ser: horizontal; paralelo à superfície, inclinado e 
até vertical, devido à formação geológica. A estratificação é a determinação destas camadas pelas suas 
resistividades e respectivas profundidades. Os métodos de estratificação apresentados nesta Norma 
consideram as camadas aproximadamente horizontais. 
São os seguintes os principais métodos: 
 método simplificado; 
 método gráfico de curvas padrão e auxiliar; 
 método de Pirson; 
 2º método de Tagg. 
A.1.1 Método simplificado 
Este método é apropriado para solos de duas camadas. A curva ρ = f(a) deve ter uma das formas 
típicas indicadas na Figura A.1. 
 
Figura A.1 – Curvas típicas de solos de duas camadas 
 
Determinam-se as resistividades e profundidades das camadas através da seguinte rotina: (ver 
Figura A.2). 
 prolongar a curva ρ×a até interceptar o eixo das ordenadas, o qual indica o valor da resistividade da 
camada superior do solo (ρ1); 
 
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 traçar a assíntota à curva ρ×a e prolongá-la até o eixo das ordenadas, indicando o valor da 
resistividade da camada inferior do solo (ρ2); 
 através da relação ρ2/ρ1 determinar o valor de Mo na tabela abaixo; 
 calcular ρm = Mo×ρ1; 
 na curva ρ×a localiza-se ρm para obter o valor da camada superior do solo, h. 
 O exemplo abaixo é para ρ2/ρ1 = 4. A Tabela A.1 fornece Mo = 1, 26. Então, da Figura A.2 obtem-
se: 
ρm = 1,26×ρ1 → h ≈ 2,7 m 
 
Figura A.2 – Curva ρρρρ×a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabela A.1 – Mo em função de ρρρρ2/ρρρρ1 
ρρρρ2/ρρρρ1 Mo ρρρρ2/ρρρρ1 Mo ρρρρ2/ρρρρ1 Mo 
0,001 0,684 0,70 0,936 14,5 1,413 
0,002 0,684 0,75 0,948 15,0 1,416 
0,003 0,685 0,80 0,959 15,5 1,418 
0,003 0,685 0,85 0,970 16,0 1,421 
0,004 0,686 0,90 0,981 16,5 1,423 
0,005 0,686 0,95 0,990 17,0 1,425 
0,005 0,686 1,0 1,000 17,5 1,427 
0,006 0,687 1,5 1,078 18,0 1,429 
0,007 0,687 2,0 1,134 18,5 1,430 
0,008 0,688 2,5 1,177 19 1,432 
0,009 0,688 3,0 1,210 20 1,435 
0,010 0,689 3,5 1,237 30 1,456 
0,015 0,691 4,0 1,260 40 1,467 
0,02 0,694 4,5 1,278 50 1,474 
0,03 0,699 5,0 1,294 60 1,479 
0,04 0,704 5,5 1,308 70 1,482 
0,05 0,710 6,0 1,320 80 1,484 
0,06 0,715 6,5 1,331 90 1,486 
0,07 0,720 7,0 1,334 100 1,488 
0,08 0,724 7,5 1,349 110 1,489 
0,09 0,729 8,0 1,356 120 1,490 
0,10 0,734 8,5 1,363 130 1,491 
0,15 0,757 9,0 1,369 140 1,492 
0,20 0,778 9,5 1,375 150 1,493 
0,25 0,798 10,0 1,380 160 1,494 
0,30 0,817 10,5 1,385 180 1,495 
0,35 0,835 11,0 1,390 200 1,496 
0,40 0,852 11,5 1,394 240 1,497 
0,45 0,868 12,0 1,398 280 1,498 
0,50 0,883 12,5 1,401 350 1,499 
0,55 0,897 13,0 1,404 450 1,500 
0,60 0,911 13,5 1,408 640 1,501 
0,65 0,924 14,0 1,410 1 000 1,501 
 
 
 
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A.1.2 Método gráfico de curvas padrão e auxiliar 
A estratificação do solo parte de equações matemáticas, desenvolvidas pelas transformadas de Laplace 
e aplicação da equação de Bessel. Para maior praticidade deve-se utilizar as curvas de Hummel: 
“curvas-padrão”, (ver Figura A.3) e “Curvas Auxiliares”, (ver Figura A.4) que foram montadas de forma a 
determinar a resistividade e profundidade das camadas do solo, como descrito a seguir: 
 traçar a curva ρ×a, em papel transparente (A5), com escala bilogarítmica de módulo idêntico ao das 
curvas-padrão e auxiliares; 
 dividir a curva ρ×a em trechos ascendentes e descendentes; 
 colocar a curva ρ×a sobre as curvas padrão e pesquisar a que mais se identifica com o primeiro 
trecho da curva ρ×a, mantendo-se os eixos paralelos; 
 marcar a origem das curvas padrão no gráfico ρ×a, chamando este ponto de pólo 01 e anotar a 
relação ρ2/ρ1; 
 na curva ρ×a são lidas as coordenadas do pólo 01, que representam a profundidade , em a1 e a 
resistividade da primeira camada do solo (ρ1); 
 obtém-se a resistividade da segunda camada (ρ2) pela relação (ρ2/ρ1); 
 a seguir colocar o pólo 01 da curva ρ×a sobre a origem das curvas auxiliares e tracejar a curva 
auxiliar de relação ρ2/ρ1; 
 voltar às curvas-padrão mantendo sua origem sob a curva tracejada, até identificar uma outra 
curva-padrão para o segundo trecho da curva ρ×a, mantendo-se os eixos paralelos; 
marcar a origem das curvas-padrão no gráfico ρ×a, chamando este ponto de pólo 02 e anotar a 
relação ρ3/ρ’2; 
 na curva ρ×a são lidas as coordenadas do pólo 02, que representam a profundidade a2 e a 
resistividade ρ’2 
 obtém-se a resistividade da terceira camada (ρ3) pela relação: ρ3/ρ’2; 
 havendo mais trechos ascendentes e/ou descendentes, prossegue-se analogamente, obtendo-se 
os demais pólos 03, 04 e outros. 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura A.3 – Curvas-padrão 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 40 50 60 70 80 90 100 
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1,5
1
0,9 
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,15
0,1 
10 
 
9 
 
8 
 
 
7 
 
6 
 
 
5 
 
 
4 
 
 
 
3 
 
2,5 
 
 
2 
 
 
 
1,5 
 
 
 
 
1 
 
 
 
1/1,5 
 
 
 
 
1/2 
 
 
1/2,5 
 
1/3 
 
 
 
1/4 
 
 
1/5 
 
 
1/6 
 
1/7 
 
1/8 
 
 
1/10 
 
ρρρρ2/ρρρρ1 = ∞ 50 20 15 
0 1/15 
ρρρρ2/ρρρρ1 
a/d1 
 
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NÃO TEM VALOR NORMATIVO 28/66 
 
 
Figura A.4 – Curvas auxiliares 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 40 50 60 70 80 90 100 
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1,5
1
0,9 
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,15
0,1 
ρρρρ2/ρρρρ1 = ∞ 50 20 15 
10 
 
 
8 
 
 
7 
 
 
6 
 
 
 
5 
 
4 
 
 
 
3 
 
2,5 
 
 
2 
 
 
 
1,5 
 
 
 
 
1 
 
 
 
1/1,5 
 
 
 
 
1/2 
 
 
1/2,5 
 
 
1/3 
 
 
 
1/4 
 
 
1/5 
 
 
1/6 
 
1/7 
 
1/8 
 
 
1/10 
 
 
 
1/20 1/15 
ρρρρ2/ρρρρ1 
d2/d1 
 
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NÃO TEM VALOR NORMATIVO 29/66 
 
 
Figura A.5 – Curvas em papel transparente 
 
 
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NÃO TEM VALOR NORMATIVO 30/66 
 
A estratificação pode ser resumida para maior clareza conforme a Figura A.6. 
 
Legenda 
ρ1 Resistividade da primeira camada d1 Espessura da primeira camada 
ρ2 Resistividade da segunda camada d2 Espessura da segunda camada 
ρA Resistividade da camada A dA Espessura da camada A 
ρA+1 Resistividade da camada A+1 ∞ Infinito 
a1 Profundidade até a segunda camada a2 Profundidade até a terceira camada 
aA Profundidade até a camadaA + 1 
Figura A.6 – Estratificação do solo em n camadas 
A.1.3 Método de Pirson 
A partir da curva de resistividade ρ×a, construída conforme mostrado na Figura A.2 conforme o descrito 
a seguir: 
A.1.3.1 A resistividade da primeira camada, ρ1, é determinada através de uma série de medições com 
pequenos espaçamentos de eletrodos (entre 1,5 m e 6,0 m), prolongando a curva média dos resultados 
obtidos até encontrar o eixo das resistividades. A interseção da curva no eixo determina o valor de ρ1. 
A.1.3.2 Supor um valor de a1, contido na primeira parte da curva ρ×a, determinando sua respectiva 
resistividade ρ(a1). “As partes das curvas são definidas como trechos entre dois pontos de inflexão da 
curva ρ×a dada”. 
0
2
2
=





da
d ρ
 
A.1.3.3 Uma vez escolhido a, e conseqüentemente determinado o valor de ρ(a1) estabelecer a 
seguinte relação: 
( ) ( )1111 aa ρρρρ =′ , se a curva for ascendente (k > 0) e 
( ) ( ) 1111 ρρρρ aa =′ , se a curva for descendente (k < 0). 
 
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NÃO TEM VALOR NORMATIVO 31/66 
 
A.1.3.4 A partir da relação definida anteriormente, extrair das Tabelas A.2 ou A.3 a série de valores de 
a/a1, dada em função da série de valores de k. 
Tabela A.2 – Valores de ρρρρ(an)/ρρρρ’n para k negativo 
a/a1 
 Valores de k negativo 
−−−− 0,100 0 −−−− 0,200 0 −−−− 0,300 0 −−−− 0,400 0 −−−− 0,500 0 −−−− 0,600 0 −−−− 0,700 0 −−−− 0,800 0 −−−− 0,900 0 −−−− 1,000 0 
0,000 0 0,818 2 0,666 7 0.538 5 0,423 6 0,333 3 0,250 0 0,175 5 0,111 1 0,052 5 0,000 0 
0,025 0 0,818 5 0,667 1 0,538 9 0,429 0 0,333 7 0,250 3 0,179 7 0,111 2 0,052 7 0,000 0 
0,050 0 0,819 4 0,668 3 0,540 2 0,430 1 0,334 7 0,251 0 0,177 2 0,111 6 0,052 9 0,000 0 
0,075 0 0,820 8 0,670 4 0,542 3 0,432 1 0,336 3 0,252 4 0,178 2 0,112 2 0,053 2 0,000 0 
0,100 0 0,822 9 0,673 3 0,545 4 0,435 0 0,338 8 0,254 4 0,179 7 0,113 2 0,053 6 0,000 0 
0,125 0 0,825 5 0,677 1 0,549 6 0,439 0 0,342 3 0,257 2 0,181 8 0,114 6 0,054 3 0,000 1 
0,150 0 0,828 7 0,681 9 0,554 8 0,444 1 0,346 9 0,261 0 0,184 7 0,116 6 0,055 4 0,000 3 
0,175 0 0,832 4 0,687 6 0,561 3 0,450 7 0,353 0 0,266 3 0,189 0 0,119 8 0,057 5 0,001 2 
0,200 0 0,836 6 0,694 1 0,569 1 0,458 7 0,360 7 0,273 3 0,195 0 0,124 6 0,061 0 0,003 4 
0,225 0 0,841 2 0,701 5 0,578 1 0,468 3 0,370 3 0,282 3 0,203 1 0,131 6 0,066 7 0,007 7 
0,250 0 0,846 1 0,709 7 0,588 2 0,479 4 0,381 7 0,293 5 0,213 6 0,141 1 0,075 0 0,014 7 
0,275 0 0,851 2 0,718 4 0,599 3 0,492 0 0,394 9 0,306 8 0,226 5 0,153 3 0,086 2 0,024 7 
0,300 0 0,856 6 0,727 7 0,611 3 0,505 7 0,409 7 0,322 1 0,241 8 0,168 1 0,100 4 0,037 9 
0,325 0 0,862 1 0,737 3 0,623 9 0,520 6 0,426 0 0,339 1 0,259 2 0,185 5 0,117 4 0,054 2 
0,350 0 0,867 6 0,747 2 0,637 1 0,536 2 0,443 3 0,357 7 0,278 5 0,205 1 0,137 0 0,073 5 
0,375 0 0,873 2 0,757 1 0,650 6 0,552 4 0,461 6 0,377 5 0,299 4 0,226 7 0,158 8 0,095 4 
0,400 0 0,878 7 0,767 1 0,664 2 0,569 0 0,480 5 0,398 2 0,321 5 0,249 7 0,182 5 0,119 4 
0,425 0 0,884 1 0,777 1 0,677 9 0,585 8 0,499 9 0,419 6 0,344 4 0,273 9 0,207 6 0,145 2 
0,450 0 0,889 4 0,786 9 0,691 6 0,602 6 0,519 4 0,441 3 0,368 0 0,298 9 0,233 8 0,172 3 
0,475 0 0,894 6 0,796 5 0,705 0 0,619 3 0,538 8 0,463 2 0,391 8 0,324 5 0,260 7 0,200 3 
0,500 0 0,899 6 0,805 9 0,718 2 0,635 8 0,558 2 0,485 0 0,415 8 0,350 2 0,288 1 0,229 0 
0,525 0 0,904 5 0,815 0 0,731 0 0,651 9 0,577 2 0,506 5 0,439 5 0,376 0 0,315 5 0,257 9 
0,550 0 0,909 2 0,823 8 0,743 5 0,667 6 0,595 8 0,527 7 0,463 0 0,401 5 0,342 8 0,286 8 
0,575 0 0,913 6 0,832 3 0,755 5 0,682 9 0,613 9 0,548 4 0,486 1 0,426 6 0,369 8 0,315 5 
0,600 0 0,917 9 0,840 4 0,767 1 0,697 6 0,631 5 0,568 6 0,508 6 0,451 2 0,396 3 0,343 7 
0,625 0 0,922 0 0,848 2 0,778 3 0,711 8 0,648 5 0,588 1 0,530 4 0,475 2 0,422 2 0,371 4 
0,650 0 0,925 9 0,855 7 0,789 0 0,725 5 0,664 9 0,607 0 0,551 6 0,498 4 0,447 4 0,398 4 
0,675 0 0,929 6 0,863 8 0,799 2 0,738 5 0,680 6 0,625 1 0,572 0 0,520 9 0,471 8 0,424 6 
0,700 0 0,933 1 0,869 5 0,808 9 0,751 0 0,695 7 0,642 6 0,591 6 0,542 6 0,495 4 0,449 9 
0,725 0 0,936 5 0,876 0 0,818 2 0,763 0 0,710 1 0,659 3 0,610 4 0,563 4 0,518 1 0,474 4 
0,750 0 0,939 6 0,882 1 0,827 0 0,774 3 0,723 8 0,675 2 0,628 5 0,583 4 0,539 9 0,497 9 
0,775 0 0,942 6 0,887 8 0,835 4 0,785 2 0,736 9 0,690 4 0,645 7 0,602 5 0,560 8 0,520 5 
0,800 0 0,945 5 0,893 3 0,843 4 0,795 5 0,745 4 0,705 0 0,662 2 0,620 8 0,580 9 0,542 1 
0,825 0 0,948 1 0,898 5 0,850 9 0,805 2 0,761 2 0,718 8 0,677 9 0,638 3 0,600 0 0,562 9 
0,850 0 0,950 7 0,903 5 0,858 1 0,814 5 0,772 5 0,732 0 0,692 8 0,654 9 0,618 2 0,582 6 
0,875 0 0,953 1 0,908 1 0,864 9 0,823 3 0,783 2 0,744 5 0,707 0 0,670 8 0,635 6 0,601 6 
0,900 0 0,955 4 0,912 5 0,871 3 0,831 7 0,793 4 0,756 4 0,720 5 0,685 9 0,652 2 0,619 5 
0,925 0 0,957 5 0,916 7 0,877 4 0,839 6 0,803 0 0,767 6 0,733 4 0,700 2 0,668 0 0,636 7 
0,950 0 0,959 5 0,920 7 0,883 2 0,847 1 0,812 1 0,778 3 0,745 6 0,713 8 0,683 0 0,653 0 
0,975 0 0,961 5 0,924 4 0,888 7 0,854 2 0,820 8 0,788 5 0,757 2 0,726 8 0,697 3 0,668 5 
1,000 0 0,963 3 0,927 9 0,893 8 0,860 9 0,829 0 0,798 1 0,768 2 0,739 1 0,710 8 0,683 3 
1,025 0 0,965 0 0,931 3 0,898 7 0,867 3 0,836 8 0,807 3 0,778 6 0,750 8 0,723 7 0,697 3 
1,050 0 0,966 6 0,934 4 0,903 3 0,873 3 0,844 2 0,815 9 0,788 5 0,761 9 0,735 9 0,710 7 
1,075 0 0,968 1 0,937 4 0,907 7 0,879 0 0,851 2 0,824 2 0,797 9 0,772 4 0,747 6 0,723 4 
1,100 0 0,969 6 0,940 2 0,911 9 0,884 4 0,857 8 0,832 0 0,806 8 0,782 4 0,758 6 0,735 4 
1,125 0 0,971 0 0,942 9 0,915 8 0,889 6 0,864 1 0,839 4 0,815 3 0,791 9 0,769 1 0,746 8 
1,150 0 0,972 3 0,945 5 0,919 5 0,894 4 0,870 0 0,846 4 0,823 3 0,800 9 0,779 0 0,757 7 
1,175 0 0,973 5 0,947 9 0,923 1 0,899 0 0,875 7 0,853 0 0,830 9 0,809 5 0,788 5 0,768 1 
1,200 0 0,974 6 0,950 1 0,926 4 0,903 4 0,881 0 0,859 3 0,838 2 0,817 6 0,797 5 0,777 9 
 
ABNT/CB-03 
1°°°° PROJETO DE REVISÃO ABNT NBR 7117 
SET 2011 
 
NÃO TEM VALOR NORMATIVO 32/66 
 
Tabela A.2 (continuação) 
a/a1 
 Valores de k negativo 
−−−− 0,100 0 −−−− 0,200 0 −−−− 0,300 0 −−−− 0,400 0 −−−− 0,500 0 −−−− 0,600 0 −−−− 0,700 0 −−−− 0,800 0 −−−− 0,900 0 −−−− 1,000 0 
1,225 0 0,975 7 0,952 3 0,929 6 0,907 5 0,886 1 0,865 3 0,845 0 0,825 3 0,806 0 0,787 2 
1,250 0 0,976 8 0,954 3 0,932 6 0,911 5 0,891 0 0,871 0 0,851 6 0,832 6 0,814 1 0,796 0 
1,275 0 0,977 8 0,956 3 0,935 4 0,915 2 0,895 5 0,876 4 0,857 7 0,839 6 0,821 8 0,804 5 
1,300 0 0,978 7 0,958 1 0,938 1 0,918 7 0,899 9 0,881 5 0,863 6 0,846 2 0,829 1 0,812 5 
1,325 0 0,979 6 0,959 9 0,940 7 0,922 1 0,904 0 0,886 4 0,869 2 0,852 5 0,836 1 0,820 1 
1,350 0 0,980 4 0,961 5 0,943 1 0,925 3 0,907 9 0,891 0 0,874 5 0,858 4 0,842 7 0,827 3 
1,375 0 0,981 2 0,963 1 0,945 5 0,928 3 0,911 7 0,895 4 0,879 6 0,864 1 0,849 0 0,834 2 
1,400 0 0,982 0 0,964 6 0,947 7 0,931 2 0,915 2 0,899 6 0,884 4 0,869 5 0,855 0 0,840 8 
1,425 0 0,982 7 0,966 0 0,949 7 0,933 9 0,918 6 0,903 6 0,888 9 0,874 7 0,860 7 0,847 0 
1,450 0 0,983 4 0,967 3 0,951 7 0,936 5 0,921 8 0,907 4 0,893 3 0,879 5 0,866 1 0,853 0 
1,475 0 0,984 1 0,968 6 0,953 6 0,939 0 0,924 8 0,911 0 0,897 4 0,884 2 0,871 3 0,858 7 
1,500 0 0,984 7 0,969 8 0,955 4 0,941 4 0,927 7 0,914 4 0,901 4 0,888 6 0,876 2 0,864 0 
1,525 0 0,985 3 0,971 0 0,957 1 0,943 6 0,930 5 0,917 6 0,905 1 0,892 9 0,880 9 0,869 2 
1,550 0 0,985 8 0,972 1 0,958 8 0,945 8 0,933 1 0,920 8 0,908 7 0,896 9 0,885 4 0,874 1 
1,575 0 0,986 4 0,973 2 0,960 3 0,947 8 0,935 6 0,923 7 0,912 1 0,900 7 0,889 6 0,878 7 
1,600 0 0,986 9 0,974 2 0,961 8 0,949 8 0,938 0 0,926 6 0,915 4 0,904 4 0,893 7 0,883 2 
1,625 0 0,987 4 0,975 1 0,963 2 0,951 6 0,940 3 0,929 3 0,918 5 0,907 9 0,897 6 0,887 5 
1,650 0 0,987 8 0,976 0 0,964 6 0,953 4 0,942 5 0,931 8 0,921 4 0,911 2 0,901 3 0,891 5 
1,675 0 0,988 3 0,976 9 0,965 8 0,955 1 0,944 5 0,934 3 0,924 2 0,914 4 0,904 8 0,895 4 
1,700 0 0,988 7 0,977 7 0,967 1 0,956 7 0,946 5 0,936 60,926 9 0,917 5 0,908 2 0,899 1 
1,725 0 0,989 1 0,978 5 0,968 2 0,958 2 0,948 4 0,938 9 0,929 5 0,920 4 0,911 4 0,902 7 
1,750 0 0,989 5 0,979 3 0,969 4 0,959 7 0,950 2 0,941 0 0,932 0 0,923 2 0,914 5 0,906 1 
1,775 0 0,989 9 0,980 0 0,970 4 0,961 1 0,952 0 0,943 1 0,934 3 0,925 8 0,917 5 0,909 3 
1,800 0 0,990 2 0,980 7 0,971 5 0,962 4 0,953 6 0,945 0 0,936 6 0,928 4 0,920 3 0,912 4 
1,825 0 0,990 6 0,981 4 0,972 4 0,963 7 0,955 2 0,946 9 0,938 8 0,930 8 0,923 0 0,915 4 
1,850 0 0,990 9 0,982 0 0,973 4 0,964 8 0,956 7 0,948 7 0,940 8 0,933 2 0,925 6 0,918 2 
1,875 0 0,991 2 0,982 6 0,974 3 0,965 1 0,958 2 0,950 4 0,942 8 0,935 4 0,928 1 0,920 9 
1,900 0 0,991 5 0,983 2 0,975 1 0,967 2 0,959 6 0,952 1 0,944 7 0,937 5 0,930 5 0,923 6 
1,925 0 0,991 8 0,983 7 0,975 9 0,963 3 0,960 9 0,953 6 0,946 5 0,939 6 0,932 7 0,926 1 
1,950 0 0,992 0 0,984 3 0,976 7 0,969 4 0,962 2 0,955 1 0,948 2 0,941 5 0,934 9 0,928 5 
1,975 0 0,992 3 0,984 8 0,977 5 0,970 4 0,963 4 0,956 6 0,949 9 0,943 4 0,937 0 0,930 7 
2,000 0 0,992 5 0,985 3 0,978 2 0,971 3 0,964 6 0,958 0 0,951 5 0,945 2 0,939 0 0,932 9 
 
 Tabela A.3 – Valores de ρρρρ(an)/ρρρρ’n para k positivo 
a/a1 
 Valores de k positivos 
0,100 0 0,200 0 0,300 0 0,400 0 0,500 0 0,600 0 0,700 0 0,800 0 0,900 0 1,000 0 
0,000 0 0,818 2 0,666 7 0,538 5 0,423 6 0,333 3 0,250 0 0,175 5 0,111 1 0,052 5 0,000 0 
0,025 0 0,818 6 0,667 6 0,539 9 0,430 6 0,336 1 0,253 8 0,181 8 0,118 8 0,064 3 0,018 1 
0,050 0 0,818 9 0,670 2 0,543 9 0,436 3 0,343 6 0,263 4 0,193 9 0,133 6 0,081 8 0,036 1 
0,075 0 0,822 0 0,674 4 0,550 2 0,444 6 0,354 2 0,276 2 0,208 8 0,150 6 0,100 0 0,054 2 
0,100 0 0,824 8 0,679 8 0,558 1 0,454 9 0,366 6 0,290 7 0,225 1 0,168 2 0,118 4 0,072 3 
0,125 0 0,686 2 0,567 2 0,466 5 0,380 4 0,306 3 0,242 1 0,186 1 0,136 7 0,090 3 
0,150 0 0,832 1 0,693 5 0,577 3 0,479 0 0,394 9 0,322 4 0,259 4 0,204 2 0,155 0 0,108 4 
0,175 0 0,836 5 0,701 4 0,588 1 0,492 1 0,409 9 0,338 8 0,276 9 0,222 2 0,173 2 0,126 5 
0,200 0 0,841 2 0,709 7 0,599 4 0,505 7 0,425 2 0,355 5 0,294 4 0,240 3 0,191 4 0,144 5 
0,225 0 0,846 1 0,708 5 0,611 1 0,519 6 0,440 8 0,372 3 0,312 0 0,258 4 0,209 6 0,162 6 
0,250 0 0,851 2 0,727 4 0,623 0 0,533 7 0,456 5 0,389 1 0,329 6 0,276 4 0,227 7 0,180 7 
 
ABNT/CB-03 
1°°°° PROJETO DE REVISÃO ABNT NBR 7117 
SET 2011 
 
NÃO TEM VALOR NORMATIVO 33/66 
 
Tabela A.3 (continuação) 
a/a1 
 Valores de k positivos 
0,100 0 0,200 0 0,300 0 0,400 0 0,500 0 0,600 0 0,700 0 0,800 0 0,900 0 1,000 0 
0,275 0 0,856 5 0,736 6 0,635 0 0,547 9 0,472 3 0,406 0 0,347 2 0,294 3 0,245 8 0,198 7 
0,300 0 0,861 8 0,745 8 0,647 1 0,562 1 0,488 1 0,422 8 0,364 7 0,312 3 0,263 8 0,216 8 
0,325 0 0,867 2 0,755 1 0,659 3 0,576 4 0,503 8 0,439 6 0,382 2 0,330 1 0,281 8 0,234 8 
0,350 0 0,872 5 0,764 3 0,6714 0,590 5 0,519 5 0,456 3 0,399 6 0,347 9 0,299 8 0,252 9 
0,375 0 0,877 8 0,773 5 0,683 3 0,604 6 0,535 0 0,472 9 0,416 9 0,365 6 0,311 7 0,270 9 
0,400 0 0,883 0 0,782 5 0,695 3 0,618 5 0,550 4 0,489 4 0,434 1 0,383 3 0,335 6 0,288 9 
0,425 0 0,888 1 0,791 4 0,706 9 0,632 2 0,565 6 0,505 7 0,451 1 0,400 8 0,353 4 0,306 9 
0,450 0 0,893 1 0,800 1 0,718 3 0,645 7 0,580 6 0,521 8 0,468 0 0,418 2 0,371 1 0,324 8 
0,475 0 0,897 9 0,808 6 0,729 5 0,659 0 0,595 4 0,537 7 0,484 7 0,425 4 0,388 6 0,342 6 
0,500 0 0,902 6 0,816 8 0,740 5 0,672 0 0,609 9 0,553 4 0,501 2 0,452 4 0,406 1 0,360 4 
0,525 0 0,907 2 0,824 8 0,751 1 0,684 6 0,624 2 0,568 8 0,517 4 0,469 3 0,423 4 0,378 0 
0,550 0 0,911 5 0,832 6 0,761 5 0,697 0 0,638 1 0,583 9 0,533 4 0,486 0 0,440 5 0,395 5 
0,575 0 0,915 7 0,840 0 0,771 5 0,709 0 0,651 7 0,598 7 0,549 2 0,502 4 0,457 4 0,412 9 
0,600 0 0,919 7 0,847 2 0,781 2 0,720 7 0,665 0 0,613 1 0,564 6 0,518 6 0,474 1 0,430 0 
0,625 0 0,923 6 0,855 1 0,790 6 0,732 1 0,677 9 0,627 3 0,579 7 0,534 4 0,490 6 0,447 0 
0,650 0 0,927 3 0,860 8 0,799 6 0,743 0 0,690 4 0,641 1 0,594 5 0,550 0 0,506 8 0,463 8 
0,675 0 0,930 8 0,867 1 0,808 3 0,753 6 0,702 6 0,654 5 0,608 9 0,565 3 0,522 7 0,480 3 
0,700 0 0,934 1 0,873 2 0,816 7 0,763 9 0,714 3 0,667 5 0,623 0 0,580 2 0,538 4 0,496 5 
0,725 0 0,937 3 0,879 0 0,824 7 0,773 8 0,725 7 0,680 2 0,636 7 0,594 8 0,553 7 0,512 6 
0,750 0 0,940 3 0,884 6 0,832 4 0,783 3 0,736 7 0,692 5 0,650 1 0,609 0 0,568 6 0,528 2 
0,775 0 0,943 2 0,889 9 0,839 7 0,792 4 0,747 4 0,704 3 0,663 0 0,622 9 0,583 3 0,543 6 
0,800 0 0,945 9 0,8950 0,8468 0,8011 0,7576 0,715 8 0,675 6 0,636 3 0,597 6 0,558 5 
0,825 0 0,948 5 0,8998 0,8536 0,8095 0,7674 0,726 9 0,687 7 0,649 4 0,611 5 0,573 3 
0,850 0 0,951 0 0,9044 0,8600 0,8176 0,7769 0,737 6 0,699 5 0,662 1 0,625 0 0,587 6 
0,875 0 0,953 3 0,9087 0,8662 0,8253 0,7860 0,748 0 0,710 9 0,674 5 0,638 2 0,601 5 
0,900 0 0,955 5 0,9129 0,8720 0,8327 0,7947 0,757 9 0,721 9 0,686 4 0,651 0 0,615 2 
0,925 0 0,957 6 0,9168 0,8776 0,8398 0,8031 0,767 4 0,732 5 0,698 0 0,663 4 0,628 3 
0,950 0 0,959 5 0,9206 0,8830 0,8465 0,8112 0,776 6 0,742 7 0,709 1 0,675 4 0,641 3 
0,975 0 0,961 4 0,9241 0,8880 0,8530 0,8189 0,785 4 0,752 5 0,719 9 0,687 0 0,653 7 
1,000 0 0,963 2 0,9275 0,8929 0,8592 0,8262 0,793 9 0,762 0 0,730 3 0,698 3 0,665 7 
1,025 0 0,964 9 0,9307 0,8975 0,8651 0,8333 0,802 1 0,771 2 0,740 3 0,709 2 0,677 4 
1,050 0 0,966 5 0,9338 0,9019 0,8707 0,8400 0,809 9 0,779 9 0,750 0 0,719 7 0,688 9 
1,075 0 0,968 0 0,9367 0,9061 0,8760 0,8465 0,817 3 0,788 3 0,759 3 0,729 8 0,699 8 
1,100 0 0,969 4 0,9394 0,9100 0,8812 0,8527 0,824 5 0,796 4 0,768 3 0,739 6 0,710 4 
1,125 0 0,970 7 0,9420 0,9138 0,8861 0,8586 0,831 4 0,804 2 0,776 9 0,749 0 0,720 8 
1,150 0 0,972 0 0,9445 0,9174 0,8907 0,8643 0,838 0 0,811 7 0,785 2 0,758 1 0,730 6 
1,175 0 0,973 2 0,9469 0,9209 0,8952 0,8697 0,844 3 0,818 8 0,793 1 0,766 9 0,740 1 
1,200 0 0,974 4 0,9491 0,9241 0,8994 0,8748 0,850 3 0,825 7 0,800 8 0,775 5 0,749 3 
1,225 0 0,975 5 0,951 3 0,927 3 0,903 5 0,879 8 0,856 1 0,832 2 0,808 1 0,783 4 0,758 1 
1,250 0 0,976 5 0,953 3 0,930 2 0,907 3 0,884 5 0,861 6 0,838 5 0,815 2 0,791 2 0,766 8 
1,275 0 0,977 5 0,955 2 0,933 0 0,911 0 0,889 0 0,866 9 0,844 6 0,822 0 0,798 7 0,775 0 
1,300 0 0,978 5 0,957 0 0,935 7 0,914 5 0,893 3 0,871 9 0,850 4 0,828 5 0,805 9 0,782 9 
1,325 0 0,979 3 0,958 8 0,938 3 0,917 9 0,897 4 0,876 8 0,855 9 0,834 7 0,812 8 0,790 5 
1,350 0 0,980 2 0,960 4 0,940 8 0,921 0 0,901 3 0,881 4 0,861 3 0,840 7 0,819 5 0,797 8 
1,375 0 0,981 0 0,962 0 0,943 1 0,924 1 0,905 0 0,885 8 0,866 3 0,846 5 0,825 9 0,805 1 
1,400 0 0,981 7 0,963 5 0,945 3 0,927 0 0,908 6 0,890 0 0,871 2 0,852 0 0,832 0 0,811 8 
1,425 0 0,982 5 0,964 9 0,947 4 0,929 8 0,912 0 0,894 1 0,875 9 0,857 2 0,837 9 0,818 3 
1,450 0 0,983 2 0,966 3 0,949 4 0,932 4 0,915 3 0,898 0 0,880 4 0,862 3 0,843 6 0,824 5 
 
ABNT/CB-03 
1°°°° PROJETO DE REVISÃO ABNT NBR 7117 
SET 2011 
 
NÃO TEM VALOR NORMATIVO 34/66 
 
 
Tabela A.3 (continuação) 
a/a1 
 Valores de k positivos 
0,100 0 0,200 0 0,300 0 0,400 0 0,500 0 0,600 0 0,700 0 0,800 0 0,900 0 1,000 0 
1,475 0 0,983 8 0,967 6 0,951 3 0,935 0 0,918 4 0,901 7 0,884 7 0,867 2 0,849 0 0,830 5 
1,500 0 0,984 4 0,968 8 0,953 2 0,937 4 0,921 4 0,905 2 0,880 8 0,871 8 0,854 3 0,836 3 
1,525 0 0,985 0 0,970 0 0,954 9 0,939 7 0,924 3 0,908 6 0,892 7 0,876 3 0,859 3 0,841 8 
1,550 0 0,985 6 0,971 1 0,956 6 0,941 9 0,927 0 0,911 9 0,896 5 0,880 6 0,864 1 0,847 5 
1,575 0 0,986 1 0,972 2 0,958 2 0,944 0 0,929 6 0,915 0 0,900 1 0,884 8 0,868 7 0,852 6 
1,600 0 0,986 7 0,973 2 0,959 7 0,946 0 0,932 1 0,918 0 0,903 6 0,888 7 0,873 2 0,857 5 
1,625 0 0,987 2 0,974 2 0,961 2 0,947 9 0,934 5 0,920 9 0,906 9 0,892 5 0,877 4 0,862 2 
1,650 0 0,987 6 0,975 1 0,962 5 0,949 8 0,936 8 0,923 6 0,910 1 0,896 1 0,881 6 0,866 3 
1,675 0 0,988 1 0,976 0 0,963 9 0,951 5 0,939 0 0,926 2 0,913 2 0,899 6 0,885 6 0,871 1 
1,700 0 0,988 5 0,976 9 0,965 1 0,953 2 0,941 1 0,928 8 0,916 1 0,903 0 0,889 3 0,875 3 
1,725 0 0,988 9 0,979 7 0,966 4 0,954 8 0,943 1 0,9312 0,918 9 0,906 2 0,892 9 0,879 4 
1,750 0 0,989 3 0,978 5 0,967 5 0,956 4 0,945 1 0,933 5 0,921 6 0,909 3 0,896 4 0,883 3 
1,775 0 0,989 7 0,979 2 0,968 6 0,957 9 0,946 9 0,935 7 0,924 2 0,912 2 0,899 7 0,887 3 
1,800 0 0,990 0 0,980 0 0,969 7 0,959 3 0,948 7 0,937 8 0,926 7 0,915 1 0,903 0 0,890 9 
1,825 0 0,990 4 0,980 6 0,970 7 0,960 6 0,950 4 0,939 9 0,929 0 0,917 8 0,906 1 0,894 3 
1,850 0 0,990 7 0,981 3 0,971 7 0,961 9 0,952 0 0,941 8 0,931 3 0,920 5 0,909 0 0,897 7 
1,875 0 0,991 0 0,981 9 0,972 6 0,963 2 0,953 6 0,943 7 0,933 5 0,923 0 0,911 9 0,900 8 
1,900 0 0,991 3 0,982 5 0,973 5 0,964 4 0,955 1 0,945 5 0,935 6 0,925 0 0,914 7 0,903 9 
1,925 0 0,991 6 0,983 1 0,974 4 0,965 5 0,956 5 0,947 2 0,937 7 0,927 8 0,917 3 0,906 9 
1,950 0 0,991 9 0,983 6 0,975 2 0,966 7 0,957 9 0,948 9 0,939 6 0,930 0 0,919 9 0,909 7 
1,975 0 0,992 1 0,984 1 0,976 0 0,967 7 0,959 2 0,950 5 0,941 4 0,932 2 0,922 3 0,912 5 
2,000 0 0,992 4 0,984 7 0,976 8 0,968 7 0,960 5 0,952 0 0,943 3 0,934 2 0,924 7 0,915 1 
 
NOTA As tabelas foram elaboradas a partir da equação de 5.2.1, onde k = coeficiente de reflexão, dado por: 
n1n
n1n
ρρ
ρρ
+
−
=
+
+k
 (A.1) 
ρ’n é igual a resistividade equivalente das camadas superiores à n + 1. 
 
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NÃO TEM VALOR NORMATIVO 35/66 
 
A.1.3.5 Multiplicar a série de valores de a/a1 pelo valor de a1 escolhido em A.1.3.2, obtendo-se uma 
série de valores de a. 
A.1.3.6 Esta série de valores de a, com os respectivos valores de k, deve ser lançada num gráfico k×a, 
obtendo-se uma curva. 
A.1.3.7 Repetir o procedimento desde A.1.3.2 até A.1.3.6, escolhendo um novo valor de a1
 
dentro da 
primeira parte da curva. 
A.1.3.8 As curvas obtidas em A.1.3.6 e A.1.3.7 devem se cruzar em dado ponto, que corresponde aos 
valores reais de a1 e k1. Para assegurar a precisão dos valores de a1 e k1, o procedimento pode ser 
repetido mais uma vez. 
A.1.3.9 O valor de a1
 
obtido em A.1.3.8 é a profundidade da 1ª camada e a resistividade da 2ª camada 
é dada pela seguinte equação: 
1
1
12 1
1
k
k
−
+
×= ρρ
 (A.2) 
A.1.3.10 Estimar a profundidade da 2ª camada pelo método de Lancaster-Jones. Assim: a3 = d1 + d2 = (2/3) re onde re é a distância até o ponto de inflexão do 2º trecho da curva ρ×a. 
A.1.3.11 Calcular a resistividade média ρ’2 das duas camadas de resistividade ρ1 e ρ2, paralelas, pela 
equação de Hummel: 
2
2
1
1
2
21
ρρρ
dddd
+=
+
 (A.3) 
A.1.3.12 Repetir o procedimento de A.1.3.2 a A.1.3.8. isto dá uma série de curvas de k×a. Elas vão 
convergir num ponto que dá um valor de a2 e o coeficiente de reflexão k2, de acordo com a seguinte 
equação A.4: 
( ) ( )
2
2
2323232 1
1
k
kk
−
+
×=∴′+′−= ρρρρρρ
 (A.4) 
A.1.3.13 Se a convergência não ficar bem definida, repetir o procedimento desde A.1.3.11, usando o 
valor de a2 obtido em A.1.3.12. Isto permite a obtenção de um resultado mais exato. 
A.1.3.14 Para estimar a profundidade da 3ª camada, repetir o procedimento A.1.3.10. Assim, d1 + d2 + d3 
= (2/3) e sendo re a distância até o ponto de inflexão do 3º trecho da curva. 
A.1.3.15 Calcular a resistividade média ρ’3 das três camadas em paralelo, ρ1, ρ2 e ρ3 
3
3
2
2
1
1
3
321
ρρρρ
dddddd
++=
′
++
 (A.5) 
A.1.3.16 Repetir o procedimento de A.1.3.2 a A.1.3.9. O resultado é o valor de a3 = d1 + d2 + d3 e um 
valor de k3 = (ρ4 − ρ’2)/(ρ4 + ρ’3). 
3
3
34 1
1
k
k
−
+
×′= ρρ
 (A.6) 
 
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NÃO TEM VALOR NORMATIVO 36/66 
 
A.1.3.17 O processo pode ser repetido para todos os pontos de inflexão definidos na curva ρ×a. 
A.1.4 Segundo método de Tagg para determinação da resistividade da primeira camada 
Definida a curva de resistividade ρ×a (ver Figura A.2), prosseguir conforme descrito a seguir: 
A.1.4.1 Escolher um valor de a1 e respectivo ρa1. 
A.1.4.2 Escolher um valor de na1 e respectivo ρna1 no primeiro trecho da curva ρ×a (n > 1). 
A.1.4.3 Calcular a seguinte relação: 
1
1
na
a
ρ
ρ
 se a curva neste trecho for ascendente, ou 
1
1
a
na
ρ
ρ
 se a curva neste trecho for descendente 
A.1.4.4 Para a relação calculada em A.1.4.3, calcular os valores de a/a1 a partir da equação dada em 
A.1.3.4: 
k = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9 (curvas ascenden
k = − 0,1; − 0,2; − 0,3; − 0,4; − 0,5; − 0,6; − 0,7; − 0,8; − 0,9 (curvas descendentes) 
NOTA Para facilitar os cálculos, as Tabelas de A.4 a A.9 dão os valores ρa1, ρna1 e ρna1/ρa1, para n = 1,5; 2,0; 
e 3,0. 
A.1.4.5 Multiplicar os valores (a/a1) por a1. 
A.1.4.6 Plotar os valores de a e respectivos k num gráfico. 
 
 
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NÃO TEM VALOR NORMATIVO 37/66 
 
 
Tabela A.4 – Valores de ρρρρa1/ρρρρna1 para k positivo e n ==== 1,5 
a/a1 
Valores de k positivos e n ==== 1,5 
0,100 0 0,200 0 0,300 0 0,400 0 0,500 0 0,600 0 0,700 0 0,800 0 0,900 0 1,000 0 
2,000 0 0,987 1 0,974 2 0,961 4 0,948 6 0,935 7 0,922 6 0,909 3 0,895 6 0,881 4 0,866 5 
1,950 0 0,986 5 0,973 0 0,959 5 0,946 0 0,932 6 0,918 9 0,905 1 0,890 9 0,876 1 0,860 6 
1,900 0 0,985 7 0,971 6 0,957 4 0,943 3 0,929 2 0,915 0 0,900 6 0,886 2 0,870 4 0,854 4 
1,850 0 0,985 0 0,970 1 0,955 3 0,940 6 0,925 8 0,911 0 0,895 8 0,880 5 0,864 7 0,847 7 
1,800 0 0,984 2 0,968 5 0,953 0 0,937 6 0,922 1 0,906 7 0,891 0 0,875 1 0,858 8 0,841 1 
1,750 0 0,983 3 0,966 9 0,950 6 0,934 4 0,918 3 0,902 2 0,885 9 0,869 3 0,852 3 0,834 3 
1,700 0 0,982 4 0,965 1 0,948 1 0,931 2 0,914 4 0,897 5 0,880 6 0,863 4 0,845 6 0,827 2 
1,650 0 0,981 6 0,963 4 0,945 5 0,927 8 0,910 2 0,892 7 0,875 1 0,857 4 0,838 9 0,820 0 
1,600 0 0,980 5 0,961 5 0,942 7 0,924 1 0,905 8 0,887 6 0,869 3 0,850 9 0,831 9 0,811 9 
1,550 0 0,979 5 0,959 5 0,939 8 0,920 4 0,901 3 0,882 4 0,863 5 0,844 3 0,824 8 0,803 8 
1,500 0 0,978 5 0,957 4 0,936 7 0,916 6 0,896 7 0,877 0 0,857 3 0,837 7 0,817 4 0,796 0 
1,450 0 0,977 2 0,955 1 0,933 6 0,912 5 0,891 9 0,871 3 0,851 0 0,830 7 0,809 8 0,787 8 
1,400 0 0,976 1 0,952 8 0,930 3 0,908 3 0,886 9 0,865 7 0,844 7 0,823 6 0,802 2 0,779 3 
1,350 0 0,974 8 0,950 5 0,926 9 0,904 1 0,881 7 0,859 9 0,838 2 0,816 5 0,794 4 0,771 1 
1,300 0 0,973 5 0,948 0 0,923 5 0,899 7 0,876 5 0,853 9 0,831 5 0,809 1 0,786 4 0,762 4 
1,250 0 0,972 2 0,945 5 0,919 9 0,895 2 0,871 2 0,847 8 0,824 8 0,801 8 0,778 6 0,753 9 
1,200 0 0,970 8 0,943 0 0,916 4 0,890 7 0,866 0 0,841 8 0,818 2 0,794 6 0,770 6 0,745 4 
1,150 0 0,969 4 0,940 3 0,912 7 0,886 2 0,860 6 0,835 8 0,811 5 0,787 4 0,763 0 0,737 0 
1,100 0 0,967 9 0,937 7 0,909 1 0,881 7 0,855 4 0,830 0 0,805 1 0,780 3 0,755 4 0,728 9 
1,050 0 0,966 5 0,935 1 0,905 5 0,877 3 0,850 4 0,824 2 0,798 8 0,773 6 0,748 1 0,720 7 
1,000 0 0,965 2 0,932 6 0,902 0 0,873 0 0,845 5 0,818 8 0,792 8 0,767 1 0,740 9 0,713 2 
0,950 0 0,963 9 0,930 9 0,898 8 0,869 1 0,840 8 0,813 7 0,787 2 0,761 0 0,734 4 0,705 8 
0,900 0 0,962 5 0,928 0 0,895 9 0,865 5 0,836 8 0,808 9 0,782 1 0,755 5 0,728 3 0,699 0 
0,850 0 0,961 4 0,926 1 0,893 2 0,862 3 0,833 0 0,805 0 0,777 6 0,750 5 0,722 8 0,692 8 
0,800 0 0,960 6 0,924 5 0,891 1 0,859 7 0,830 0 0,801 7 0,773 7 0,746 3 0,718 0 0,687 3 
0,750 0 0,959 9 0,923 4 0,889 6 0,857 9 0,827 9 0,799 1 0,771 0 0,742 9 0,714 2 0,682 3 
0,700 0 0,959 5 0,922 8 0,888 7 0,856 9 0,826 6 0,797 6 0,769 1 0,740 5 0,710 9 0,678 1 
0,650 0 0,959 5 0,922 7 0,888 8 0,856 9 0,826 5 0,797 2 0,768 3 0,739 3 0,709 0 0,674 6 
0,600 0 0,9601 0,923 6 0,890 0 0,858 2 0,827 7 0,798 2 0,768 9 0,739 1 0,707 9 0,671 9 
0,550 0 0,961 1 0,925 3 0,892 1 0,860 7 0,830 3 0,800 4 0,770 8 0,740 1 0,707 7 0,669 8 
0,500 0 0,962 7 0,928 2 0,895 8 0,864 7 0,834 6 0,804 4 0,774 1 0,742 8 0,708 7 0,668 2 
0,450 0 0,965 0 0,932 1 0,900 9 0,870 5 0,840 7 0,810 3 0,779 3 0,746 8 0,710 9 0,667 5 
0,400 0 0,968 0 0,937 4 0,907 5 0,878 2 0,848 5 0,818 1 0,786 3 0,752 2 0,714 4 0,667 0 
0,350 0 0,971 7 0,944 0 0,916 1 0,887 9 0858 6 0,828 2 0,795 5 0,760 0 0,719 3 0,666 8 
0,300 0 0,976 1 0,951 6 0,926 3 0,899 7 0,871 1 0,840 8 0,807 2 0,769 5 0,725 5 0,666 5 
0,250 0 0,981 0 0,960 6 0,938 2 0,913 9 0,887 0 0,856 7 0,822 4 0,782 2 0,734 0 0,666 7 
0,200 0 0,986 1 0,970 3 0,951 9 0,930 7 0,906 0 0,876 7 0,841 9 0,799 6 0,746 1 0,666 7 
0,150 0 0,991 2 0,980 2 0,966 7 0,949 7 0,928 3 0,901 7 0,867 8 0,823 7 0,763 9 0,667 0 
0,100 0 0,995 4 0,990 0 0,982 1 0,971 3 0,956 5 0,935 4 0,905 5 0,861 7 0,793 4 0,666 2 
0,050 0 0,999 8 0,997 4 0,995 1 0,991 3 0,985 4 0,975 7 0,958 4 0,926 1 0,857 4 0,667 6 
0,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 
 
 
ABNT/CB-03 
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SET 2011 
 
NÃO TEM VALOR NORMATIVO 38/66 
 
Tabela A.5 – Valores de ρρρρa1/ρρρρna1 para k positivo e n ==== 2,0 
a/a1 
Valores de k positivos e n ==== 2,0 
0,100 0 0,200 0 0,300 0 0,400 0 0,500 0 0,600 0 0,700 0 0,800 0 0,900 0 1,000 0 
2,000 0 0,970 6 0,941 9 0,914 1 0,887 0 0,860 2 0,833 9 0,807 8 0,781 7 0,755 2 0,727 5 
1,950 0 0,969 3 0,939 5 0,910 6 0,882 4 0,854 9 0,827 7 0,800 9 0,774 1 0,746 8 0,718 6 
1,900 0 0,967 9 0,937 0 0,907 0 0,877 7 0,849 3 0,821 4 0,793 8 0,766 6 0,738 4 0,709 5 
1,850 0 0,966 6 0,934 3 0,903 2 0,873 1 0,843 6 0,814 8 0,786 5 0,758 3 0,729 8 0,699 9 
1,800 0 0,965 2 0,931 5 0,899 2 0,868 0 0,837 7 0,808 2 0,779 0 0,750 1 0,720 9 0,690 5 
1,750 0 0,963 6 0,928 7 0,895 3 0,862 9 0,831 7 0,801 3 0,771 4 0,741 8 0,712 0 0,681 0 
1,700 0 0,962 1 0,925 8 0,891 1 0,857 7 0,825 5 0,794 1 0,763 6 0,733 2 0,702 8 0,671 3 
1,650 0 0,960 4 0,922 8 0,886 9 0,852 3 0,819 2 0,787 0 0,755 6 0,724 7 0,693 6 0,661 8 
1,600 0 0,958 7 0,919 6 0,882 4 0,846 8 0,812 8 0,779 7 0,747 7 0,716 0 0,684 4 0,651 3 
1,550 0 0,957 0 0,916 4 0,877 8 0,841 3 0,806 3 0,772 3 0,739 5 0,707 4 0,675 0 0,641 4 
1,500 0 0,955 2 0,913 1 0,873 3 0,835 6 0,799 5 0,765 0 0,731 4 0,698 6 0,665 6 0,631 6 
1,450 0 0,953 3 0,909 7 0,868 7 0,829 9 0,792 9 0,757 5 0,723 2 0,689 8 0,656 4 0,621 7 
1,400 0 0,951 5 0,906 3 0,864 0 0,824 1 0,786 2 0,750 0 0,715 1 0,681 0 0,647 1 0,611 6 
1,350 0 0,949 6 0,902 9 0,859 2 0,818 2 0,779 5 0,742 6 0,707 0 0,672 4 0,637 8 0,602 0 
1,300 0 0,947 7 0,899 5 0,854 5 0,812 5 0,772 9 0,735 3 0,699 1 0,663 9 0,628 9 0,592 4 
1,250 0 0,945 8 0,897 0 0,849 9 0,806 9 0,766 4 0,728 1 0,691 4 0,655 5 0,620 1 0,582 9 
1,200 0 0,943 9 0,892 6 0,845 4 0,801 3 0,760 2 0,721 0 0,683 8 0,647 6 0,611 3 0,573 9 
1,150 0 0,942 1 0,889 4 0,841 0 0,796 0 0,754 0 0,714 4 0,676 6 0,639 8 0,603 4 0,565 2 
1,100 0 0,940 3 0,886 3 0,836 8 0,791 0 0,748 3 0,708 2 0,669 8 0,632 6 0,595 6 0,556 7 
1,050 0 0,938 6 0,883 3 0,832 8 0,786 3 0,743 1 0,702 3 0,663 4 0,625 7 0,588 3 0,548 7 
1,000 0 0,937 1 0,880 6 0,829 3 0,782 1 0,738 2 0,697 1 0,657 7 0,619 5 0,581 6 0,541 4 
0,950 0 0,935 8 0,878 3 0,826 2 0,778 5 0,734 0 0,692 4 0,652 6 0,614 0 0,575 4 0,534 2 
0,900 0 0,934 7 0,876 4 0,823 7 0,775 4 0,730 6 0,688 5 0,648 3 0,609 3 0,570 0 0,528 0 
0,850 0 0,933 9 0,875 1 0,822 0 0,773 2 0,728 0 0,685 6 0,644 9 0,605 3 0,565 4 0,522 3 
0,800 0 0,933 5 0,874 3 0,821 1 0,772 1 0,726 5 0,683 7 0,642 5 0,602 4 0,561 6 0,517 3 
0,750 0 0,933 5 0,874 4 0,820 9 0,771 9 0,726 2 0,682 9 0,641 3 0,600 3 0,558 7 0,512 9 
0,700 0 0,934 1 0,875 3 0,822 1 0,773 0 0,727 3 0,683 6 0,641 4 0,599 6 0,556 8 0,509 4 
0,650 0 0,935 2 0,877 2 0,824 5 0,775 8 0,729 7 0,685 7 0,642 9 0,600 2 0,556 0 0,506 3 
0,600 0 0,937 0 0,880 3 0,828 3 0,779 9 0,734 0 0,689 6 0,645 9 0,602 2 0,556 4 0,504 2 
0,550 0 0,939 7 0,884 7 0,833 9 0,786 1 0,740 2 0,695 3 0,650 9 0,605 6 0,558 0 0,502 4 
0,500 0 0,943 1 0,890 5 0,841 3 0,794 2 0,748 5 0,703 1 0,657 6 0,611 0 0,560 7 0,501 4 
0,450 0 0,947 4 0,898 0 0,850 8 0,804 7 0,759 2 0,713 5 0,666 7 0,617 9 0,564 8 0,500 6 
0,400 0 0,952 7 0,907 0 0,862 1 0,817 6 0,772 5 0,726 4 0,678 2 0,626 9 0,570 3 0,500 2 
0,350 0 0,958 7 0,917 7 0,875 9 0,833 4 0,789 0 0,742 5 0,692 9 0,638 7 0,577 7 0,500 2 
0,300 0 0,965 5 0,929 9 0,892 1 0,852 2 0,809 1 0,762 5 0,711 3 0,653 9 0,587 6 0,500 0 
0,250 0 0,973 0 0,943 4 0,910 4 0,874 1 0,833 3 0,787 2 0,734 5 0,673 3 0,600 4 0,499 7 
0,200 0 0,980 5 0,957 9 0,931 1 0,899 5 0,862 2 0,817 7 0,764 6 0,700 0 0,618 6 0,500 3 
0,150 0 0,987 9 0,972 5 0,953 1 0,928 2 0,896 9 0,856 7 0,804 9 0,737 5 0,645 2 0,500 0 
0,100 0 0,992 8 0,985 9 0,974 6 0,959 1 0,937 3 0,906 1 0,861 4 0,794 3 0,690 9 0,499 3 
0,050 0 0,999 6 0,996 1 0,992 6 0,986 9 0,978 2 0,963 6 0,937 6 0,889 2 0,786 1 0,501 4 
0,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 1,000 0 
 
 
 
ABNT/CB-03 
1°°°° PROJETO DE REVISÃO ABNT NBR 7117 
SET 2011 
 
NÃO TEM VALOR NORMATIVO 39/66 
 
Tabela A.6 – Valores de ρρρρa1/ρρρρna1 para k positivo e n ==== 3,0 
a/a1 
Valores de k positivos e n ==== 3,0 
0,100 0 0,200 0 0,300 0 0,400 0 0,500 0 0,600 0 0,700 0 0,800 0 0,900 0 1,000 0 
2,000 0 0,936 8 0,878 4 0,824 5 0,774 3 0,727 3 0,682 8 0,640 4 0,599 7 0,559 5 0,518 9 
1,950 0 0,934 9 0,875 2 0,819 9 0,768 6 0,720 7 0,675 6 0,632 7 0,591 4 0,550 9 0,509 8 
1,900 0 0,932 9 0,872 3 0,815 2 0,762 9 0,714 1 0,668 3 0,624 9 0,583 4 0,542 3 0,500 7 
1,850 0 0,931 0 0,868 7 0,810 4 0,757 1 0,707 6 0,661 0 0,617 1 0,574 8 0,533 7 0,491 6 
1,800 0 0,929 0 0,864 5 0,805 6 0,751 3 0,701 0 0,653 8 0,609 3 0,566 7 0,525 0 0,482 7 
1,750 0 0,927 0 0,860 9 0,800 8 0,745 4 0,694 2 0,646 5 0,601 5 0,558 5 0,516 5 0,473 9 
1,700 0 0,924 9 0,857 3 0,795 9 0,739 6 0,687 7 0,639 3 0,593 7 0,550 3 0,508 0 0,465 1 
1,650 0 0,922 9 0,853 9 0,791 2 0,733 8 0,681 1 0,632 2 0,586 1 0,542 4 0,499 7 0,456 5 
1,600 0 0,920 9 0,850 2 0,786 3 0,728 0 0,674 6 0,625 1 0,578 5 0,534 3 0,491 4 0,447 6 
1,550 0 0,918 9 0,846 6 0,781 5 0,722 4 0,668 2 0,618 1 0,571 1 0,526 5 0,483 3 0,439 1 
1,500 0 0,916 9 0,843 1 0,776 9 0,716 9 0,661 9 0,611 4 0,563 9 0,518 9 0,475 4 0,430 9 
1,450 0 0,914 8 0,839 6 0,772 2 0,711 4 0,655 8 0,604 6 0,556 8 0,511 5 0,467 6 0,422 7 
1,400 0 0,913 0 0,836 3 0,767 8 0,706 1 0,649 9 0,598 2 0,550 0 0,504 3 0,460 1 0,414 7 
1,350 0 0,911 1 0,833 1 0,763 5 0,701 1 0,644 2 0,592 0 0,543 4 0,497 4 0,452 8 0,407 1 
1,300 0 0,909 3 0,830 0 0,759 5 0,696 2 0,638 8 0,586 2 0,537 1 0,490 8 0,445 8 0,399 6 
1,250 0 0,907 7 0,827 1 0,755 8 0,691 8 0,633 7 0,580 6 0,531 2 0,484 5 0,439 2 0,392 4 
1,200 0 0,906 2 0,824 5 0,752 4 0,687 7 0,629 2 0,575 6 0,525 7 0,478 6 0,432 8 0,385 6 
1,150 0 0,904 9 0,822 1 0,749 2 0,684 0 0,624 9 0,570 9 0,520 7 0,473 1 0,426 9 0,379 0 
1,100 0 0,903 7 0,820 1 0,746 5 0,680 8 0,621 4 0,566 8 0,516 2 0,468 2 0,421 5 0,372 9 
1,050 0 0,902 7 0,814 5 0,744 4 0,678 2 0,618 5 0,563 4 0,512 4 0,463 9 0,416 6 0,367 1 
1,000 0 0,902 2 0,817 4 0,742 9 0,676 3 0,616 1 0,560 7 0,509 2 0,460 1 0,412 1 0,361 8 
0,950 0 0,901 9 0,816 9 0,742 1 0,675 3 0,614 6 0,558 8 0,506 8 0,457 2 0,408 4 0,356 8 
0,900 0 0,901 9 0,817 0 0,742 1 0,675 0 0,614 2 0,557 9 0,505 2 0,455 0 0,405 2 0,352 4 
0,850 0 0,902 5 0,817 9 0,743 1 0,675 9 0,614 7 0,558 0 0,504 7 0,453 6 0,402 9 0,348 4 
0,800 0 0,903 6 0,819 6 0,745 2 0,678 0 0,616 5 0,559 3 0,505 2 0,453 1 0,401 2 0,345 0 
0,750 0 0,905 2 0,822 3 0,748 4 0,681 3 0,619 7 0,561 9 0,507 0 0,453 9 0,400 5 0,342 1 
0,700 0 0,907 6 0,826 2 0,753 1 0,686 3 0,624 4 0,566 1 0,510 2 0,455 7 0,400 5 0,339 6 
0,650 0 0,910 7 0,831 3 0,759 4 0,693 1 0,630 9 0,572 0 0,514 9 0,458 8 0,401