Lista 4

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Economia Matemática
Lista de Exercícios : Integrais
Professor: Rodolfo Campos
1. Determine as integrais por substituição:
(a)
Z
x (x+ 1)
2
3 dx
(b)
Z
dxp
25�16x2
(c)
Z
x
x4+3
dx
(d)
Z
x2p
1�x6dx
(e)
Z
dx
x
p
4x2�9
2. Faça mudança de variáveis para provar que:
(a)
R bc
ac
f(t)dt = c
R b
a
f(x)dx
(b)
R b+c
a+c
f(x� c)dx = R b
a
f(u)du
3. Seja g : R �! R a função dada por g(x) = x2 (x� 5)10. Determinar todas as primitivas
de g e calcule o valor da integral
R 6
5
g(x)dx.
4. Resolva as integrais utilizando o método da integração por partes:
(a)
Z
xe�2xdx
(b)
R
ln(1� x)dx
(c)
R
e
1
x
x3
dx
(d)
R p
x lnxdx
(e)
R
ee
x
exdx
5. Prove que
R 1
0
x�xdx =
1P
n=1
n�n. (Dica: Escreve xx usando exponencial; expanda uti-
lizando a série de Taylor da exponencial; integre termo a termo por partes.)
6. Use integração por partes para provar as fórmulas de redução de integral:
(a) Se Im =
R
xmexdx, então Im = xmex �mIm�1.
(b) Se Ln =
R
(lnx)n dx, então Ln = x (lnx)
n � nLn�1.
(c) Se Im =
R
dx
(x2+1)m
, então Im = x2(m�1)(x2+1)m�1 � 2m�32(m�1)Im�1.
1
7. Calcule as integrais inde…nidas utilizando o método das frações parciais:
(a)
R
6x2�2x�1
4x3�x dx
(b)
R
x2x+2
x2�1 dx
(c)
R
x2+x+2
x2�1 dx
(d)
R
2x4�2x+1
2x5�x4 dx
(e)
Z
dx
16x4�8x+1
(f)
Z
dx
9x4+x2
(g)
Z
x2�4x�4
x3�2x2+4x�8dx
(h)
Z
x2+2x�1
27x3�1 dx
8. Um fabricante que começou a operar quatro anos atrás determinou que seu rendimento
das vendas vem crescendo estavelmente à taxa de t
3+3t2+6t+7
t2+3t2+2
, onde t é o número de anos
que a fábrica vem operando. Estima-se que o rendimento total das vendas continuará
crescendo à mesma taxa nos próximos dois anos. Se o rendimento total do ano que
acabou foi de $ 6 milhões, qual será o redimento total das vendas esperado para daqui
a um ano? Dê a resposta com precisão de $100.
9. Calcule
R
du
u2�a2 .
10. Determine
R
Ax+B
ax2+2bx+c
dx se:
(a) 4 = b2 � ac > 0
(b) 4 < 0
(c) 4 = 0
11. Se f(x) é contínua e f(x) �M para todo x 2 [a; b], provar que R b
a
f(x)dx �M �(b� a).
Ilustrar gra…camente supondo que f(x) � 0.
12. Se f(x) é contínua e m � f(x) para todo x 2 [a; b], provar que m � (b� a) � R b
a
f(x)dx.
Ilustrar gra…camente supondo que m > 0.
13. Calcule a área da região limitada pelas curvas:
(a) y = x3, y = x+ 3 e 2y + x = 0
(b) 2y2 = x+ 4 e x = y2
(c) y = 1
x
, y =
p
x e y = 2
(d) y = ex + 2, y = ex e x = 0 e x = 5
2
14. Determine se a integral imprópria é convergente (possui um valor …nito) ou divergente.
Caso seja convergente, determine o seu valor:
(a)
Z +1
�1
xe�x
2
dx
(b)
Z +1
1
log x
x2
dx
(c)
Z +1
�1
dx
1+x2
dx
(d)
Z +1
1
dxp
x
dx
(e)
Z 0
�1
e2xdx
(f)
R 16
0
dx
4px
3