Zeros de Funções

Prévia do material em texto

Clique para editar o estilo do título mestre
Clique para editar o estilo do subtítulo mestre
*
*
*
Zeros Reais de Funções Reais
*
*
*
Métodos iterativos - Zeros
Método da Bissecção 
Método da Posição Falsa 
Método do Ponto Fixo
Método de Newton-Raphson
Método da Secante
*
*
*
Introdução
Zero real da função real :
Comentário: Nesta aula estamos interessados somente em zeros reais de funções reais.
*
*
*
Introdução
Graficamente, os zeros reais de 
 são as abscissas dos pontos da intersecção da curva com eixo 
*
*
*
Introdução
A obtenção dos zeros da função é dividida bem duas fases.
Parte 1: Isolamento das raízes (obter um intervalo que contém uma raiz)
Parte 2: Refinamento (refinar a aproximação iniciai até obter uma aproximação para a raiz dentro de uma certa precisão prefixada)
*
*
*
Parte 1 – ISOLAMENTO DA RAIZ
Teorema 1. Seja contínua em Se , então existe pelo menos um em que é zero de 
*
*
*
Parte 1 – ISOLAMENTO DA RAIZ
Teorema 2. Seja contínua em . Se 
 e se existir, que preserva o sinal em , então este intervalo contem um único zero de
*
*
*
Parte 1
Formas de se localizar as raízes de : 
Tabelar e analisar as mudanças de sinal de e o sinal da derivada nos intervalos em que mudou de sinal.
Análise gráfica da função .
*
*
*
Parte 1- Exemplo 1 / Método1
Seja . Sinais de
As raízes estão nos intervalos de mudança de 
sinal de . Veja .....
*
*
*
Parte 1- Exemplo 1 / Método 2
Façamos o gráfico de
Novamente temos os intervalos dos zeros.
*
*
*
Parte 1- Exemplo 1 / Método 3
Façamos o gráfico da função equivalente
Novamente temos os intervalos dos zeros
*
*
*
Parte 1- Exemplo 2
Seja para . 
Sinais de
 Logo temos uma única raiz!!!!!
Sinais de
Temos uma raiz no intervalo 
*
*
*
Parte 2 - Refinamento
Refinamento por métodos iterativos 
Métodos iterativos=Seqüência de ciclos
Iteração=um ciclo (loop)
Iteração k depende da iteração anterior k-1
Testes (critérios) verificam se resultado da iteração k atingiu resultado esperado.
*
*
*
Parte 2 - Refinamento
Critérios de parada: 
 está suficientemente próximo da raiz exata?
Métodos iterativos podem ser representados por um diagrama de fluxo
*
*
*
Parte 2 - Refinamento
Dados iniciais
k=1
Cálculo da nova aproximação
A aproximação está suficientemente 
próxima da solução exata?
k=k+1
Cálculos finais
Sim
Não
*
*
*
Critérios de parada
Teste para verificar se está suficientemente próximo da raiz exata . 
Então, é a raiz aproximada com precisão , 
se: i) ou ii) 
Não conhecemos 
Nem sempre é possível satisfazer (i) e (ii)
simultaneamente. 
*
*
*
Critérios de parada 
Caso 1 Caso 2
 
*
*
*
Critérios de parada 
Note que satisfazer não implica que .
Note que satisfazer não implica que 
 .
Métodos numéricos satisfazem os dois critérios, preferencialmente.
Programas estipulam um número máximo de iterações (evitar looping)
*
*
*
Critérios de parada – Método Geral
Reduzir o intervalo que contém a raiz a cada iteração. Se um intervalo é tal que 
 Então pode ser 
*
*
*
Métodos iterativos - Zeros
I. Método da Bissecção
Seja contínua em , tal que 
 . Se preserva o sinal em , então o intervalo contem uma única raiz de .
Objetivo: reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até que , dividindo ao meio sucessivamente. 
*
*
*
Métodos iterativos - Zeros
I. Método da Bissecção
Seja com zero em 
As iterações são realizadas da forma
1)
2)
 
3) Continue o processo até que e 
*
*
*
Método da Bissecção
b=b0
a=a0
x0
||
a1
||
x1 
b2
||
a3
a2
||
b1
||
x2 
||
b3
*
*
*
Método da Bissecção
I. Método da Bissecção-Exemplo
 Seja com e .
 Temos 
Obtemos em dez iterações.
*
*
*
Método da Bissecção
Note que (bk-ak)<
*
*
*
Método da Bissecção
I. Estudo da Convergência
Teorema: O método da bissecção gera uma seqüência convergente se for contínua em com e se 
 preserva o sinal em .
*
*
*
Método da Bissecção
I. Estimativa do numero de iterações
Dada a precisão e um intervalo inicial , qual será o número de iterações para que .
Tomando o logarítmo da equação,
*
*
*
Método da Bissecção
I. Estimativa do numero de iterações - Exemplo
Queremos o zero da função no intervalo com precisão . O número de iterações a realizar pelo método da bissecção é:
*
*
*
Métodos iterativos - Zeros
II. Método da Posição Falsa
Seja contínua em , tal que 
 . Se preserva o sinal em então o intervalo contem uma única raiz de .
Objetivo: reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até que , dividindo por meio de uma média aritmética ponderada em .
*
*
*
Método da Posição Falsa
II. Média Ponderada
Para e . 
Como , podemos supor que o zero está mais próximo de 
 . Assim, fazemos uma média ponderada, de modo que fique mais próximo de .
*
*
*
Método da Posição Falsa
II. Método da Posição Falsa
Seja com um zero em .
As iterações são realizadas da forma
1)
2) Continue o processo até que e .
*
*
*
Método da Posição Falsa
II. Método da Posição Falsa - Exemplo
Seja com e .
Temos . 
Obtemos em três iterações. O Método da bissecção necessitava de 10 iterações para tal precisão.
Um dos critérios de parada foi atingido
*
*
*
Método da Posição Falsa
I. Estudo da Convergência
Teorema: O método da posição falsa gera uma seqüência convergente se for contínua em 
 com e se preserva o sinal em .
Comentário: A convergência é mais rápida que no método da bisecção.