04 AULA COURNOT

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Teoria dos jogos 
AULA 05: MODELO DE COURNOT 
TEORIA DOS JOGOS 
Aula 05: Modelo de Cournot 
Teoria dos jogos 
AULA 05: MODELO DE COURNOT 
DATAS OBJETIVOS CONTEÚDO 
 
06 MAR 
 
AULA 05 
 
 
Aplicar o conceito de reação, representado pelas 
curvas de reação, para solucionar o problema do 
oligopólio de Cournot, determinando o equilíbrio. 
 
1. Problema do Duopolista de Cournot 
2. Conjectura de Cournot 
3. As curvas de reação 
4. Solução Gráfica 
5. Solução Algébrica 
O modelo de Cournot 
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Oligopólio é um termo utilizado em Economia onde há poucas firmas 
que competem entre si e que tem certo poder de mercado. 
 
Quando nenhuma firma tem um monopólio, mas os produtores 
percebem que eles podem afetar os preços de mercado, uma indústria 
é caracterizada por competição imperfeita. 
OLIGOPÓLIO 
Quando apenas uma empresa tem exclusividade de exploração ou domina a produção de 
um determinado produto, dá-se o nome de monopólio. 
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 Modelos de Oligopólio 
 
 
• Existem três modelos de oligopólio dominantes 
– Cournot – Quantidades 
– Bertrand – Preços 
– Stackelberg – líder-seguidora (ou de liderança de quantidade) 
 
•Todos possuem o conceito de equilíbrio de Nash 
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Tempo de decisão das firmas 
 
•1. Ação simultânea: 
 – Modelos de Bertrand e de Cournot 
 
•2. Ação não-simultânea: 
– Modelos de liderança de preços e de quantidade 
• Eles são distinguidos pela 
– variável de decisão que a firma escolhe (Prioridade na determinação do preço ou 
quantidade) 
– E variam também quanto à simultaneidade ou não da decisão sobre as escolhas das 
firmas (pelo“timing”do jogo) 
 
Modelos de Oligopólio 
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O modelo de Cournot 
O Duopólio é um tipo específico de oligopólio em que apenas 
dois produtores existem em um mercado. 
 
Esta definição é geralmente usada apenas quando duas 
empresas têm o controle dominante do mercado. 
 
No duopólio, os dois únicos produtores de uma mercadoria, 
concordam em estabelecer um preço, não aumentando ou 
diminuindo este. Desta forma, eles estão associados. 
É um modelo muito semelhante ao monopólio. 
Por simplicidade, iremos nos concentrar em 
modelos com apenas 2 firmas, ou seja, duopólios. 
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TIPOS DE DUOPÓLIO 
•Modelo de duopólio de Cournot: reação de duas empresas, para 
cada mudança na produção (quantidade produzida) da 
empresa concorrente, até que ambos cheguem ao equilíbrio de 
Nash. 
 
•Modelo de duopólio de Bertrand: entre duas empresas, sendo 
que cada uma assumirá que a sua concorrente não mudará 
seus preços em resposta à queda da quantidade produzida. 
Quando ambos usam esta estratégia, eles chegam a 
um equilíbrio de Nash. 
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P = A - BQ = A -B(q1+ q2) 
 
Tal que 
 
q1 é o produto da firma 1 
e 
q2 é o produto da firma 2 
O Modelo de Cournot 
Duas firmas fazem um produto idêntico 
 
•A demanda por este produto é 
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•O custo marginal de cada firma é constante a c por 
unidade 
 
•Para ter a demanda pelo produto de uma firma nós 
tomamos o produto da outra firma como constante 
 
•Portanto para a firma 2, a demanda é P = (A - Bq1) - Bq2 
O Modelo de Cournot 
P = A - BQ = A - B(q1+ q2) = (A – Bq1) – Bq2 
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Receita marginal, custo marginal, 
e maximização de lucros 
• Determinação do nível de produção que maximiza os lucros 
– Lucro ( ) = Receita total - Custo total 
– Receita total (R) = Pq 
– Custo total (C) = Cq 
– Logo: 

)()()( qCqRq 
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• Receita marginal é a receita adicional 
proveniente da produção de uma unidade a 
mais de produto. 
• Custo marginal é o custo adicional associado 
à produção de uma unidade a mais de 
produto. 
Receita marginal, custo marginal, 
e maximização de lucros 
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Receita marginal, custo marginal, 
e maximização de lucros 
0 
Custo, 
receita e 
lucro 
(dólares por ano) 
Produção (unidades por ano) 
R(q) 
Receita total 
Inclinação de R(q) = RMg 
Maximização de lucros no curto prazo 
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0 Produção (unidades por ano) 
Receita marginal, custo marginal, 
e maximização de lucros 
C(q) 
Custo total 
Inclinação de C(q) = CMg 
Por que o custo é positivo quando q é zero? 
Maximização de lucros no curto prazo 
Custo, 
receita e 
lucro 
(dólares por ano) 
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• Comparando R(q) e C(q) 
– Nível de produção: 0- q0: 
• C(q)> R(q) 
– Lucro negativo 
• CF + CV > R(q) 
• RMg > CMg 
– Indica que o lucro 
deve aumentar com a 
expansão da 
produção 
0 
Custo, 
receita 
 e lucro 
(dólares por ano) 
Produção (unidades por ano) 
R(q) 
C(q) 
A 
B 
q0 q
* 
)(q
Receita marginal, custo marginal, 
e maximização de lucros 
q
C
CMg



q
R
 RMg



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• Comparando R(q) e C(q) 
– Pergunta: por que o lucro é 
negativo quando a 
produção é zero? 
Receita marginal, custo marginal, 
e maximização de lucros 
R(q) 
0 
Custo, 
receita e 
lucro 
(dólares por ano) 
Produção (unidades por ano) 
C(q) 
A 
B 
q0 q
* 
)(q
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• Comparando R(q) e C(q) 
– Nível de produção: q0- q
* 
• R(q)> C(q) 
• RMg > CMg 
– Indica que o lucro 
deve aumentar com a 
expansão da 
produção 
– Lucro é crescente 
R(q) 
0 
Custo, 
receita 
e lucro 
(dólares por ano) 
Produção (unidades por ano) 
C(q) 
A 
B 
q0 q
* 
)(q
Receita marginal, custo marginal, 
e maximização de lucros 
q
C
CMg



q
R
 RMg



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• Comparando R(q) e C(q) 
– Nível de produção: q* 
• R(q)= C(q) 
• RMg = CMg 
• Nível máximo de lucro 
R(q) 
0 
Custo, 
receita e 
lucro 
(dólares por ano) 
Produção (unidades por ano) 
C(q) 
A 
B 
q0 q
* 
)(q
Receita marginal, custo marginal, 
e maximização de lucros 
q
C
CMg



q
R
 RMg



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• Pergunta 
– Por que o lucro 
diminui quando a 
produção se torna 
maior ou menor que 
q*? 
R(q) 
0 
Custo, 
receita e 
lucro 
(dólares por ano) 
Produção (unidades por ano) 
C(q) 
A 
B 
q0 q
* 
)(q
Receita marginal, custo marginal, 
e maximização de lucros 
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• Comparando R(q) e C(q) 
– Nível de produção maior 
que q*: 
• R(q)> C(q) 
• CMg > RMg 
• Lucro é decrescente 
Receita marginal, custo marginal, 
e maximização de lucros 
R(q) 
0 
Custo, 
receita e 
lucro 
(dólares por ano) 
Produção (unidades por ano) 
C(q) 
A 
B 
q0 q
* 
)(q
q
C
CMg



q
R
 RMg



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• Logo, podemos dizer 
que: 
– Os lucros são 
maximizados quando 
CMg = RMg. 
Receita marginal, custo marginal, 
e maximização de lucros 
R(q) 
0 
Custo,receita e 
lucro 
(dólares por ano) 
Produção (unidades por ano) 
C(q) 
A 
B 
q0 q
* 
)(q
q
R
 RMg



q
C
CMg



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C - R Receita marginal, custo marginal, e maximização de lucros q
R
 RMg



q
C
CMg



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ou 0 
q
quando smaximizado são lucros Os









q
C
q
R
CMg(q)RMg(q)
uCMgRMg

 o0
Receita marginal, custo marginal, 
e maximização de lucros 
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A receita marginal para a firma 2 é 
RM2 = (A -Bq1) -2Bq2 
RM2 = CM 
A - Bq1 - 2Bq2 = c ∴ q*2 = (A - c)/2B - q1/2 
 
P = (A -Bq1) -Bq2 
A escolha de produto da 
 firma 2 depende do 
 produto da firma 1 
Equilíbrio Cournot-Nash 
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q*2= (A -c)/2B -q1/2 
 Esta é a função de melhor resposta para a firma 2 
 
Isto nos dá a escolha de produto da firma 2 para qualquer nível de produto escolhido 
pela firma 1 
Esta também é uma função melhor-resposta da firma 1 
Exatamente pelo mesmo argumento ela pode ser escrita como: 
 q*1= (A -c)/2B -q2/2 
O equilíbrio Cournot-Nash requer que ambas as firmas usem suas funções de 
melhor-resposta. 
O Modelo de Cournot 
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q*1 = (A - c)/2B - q*2/2 
q*2 = (A - c)/2B - q*1/2 
∴ q*2 = (A - c)/2B -(A - c)/4B + q*2/4 
∴ 3q*2/4 = (A - c)/4B 
 
∴ q*2 = (A - c)/3B 
∴ q*1 = (A - c)/3B 
Equilíbrio Cournot-Nash 
Algebricamente, o equilíbrio 
é um par de quantidades 
(q*1, q*2) tal que as duas 
condições de 1ª ordem são 
satisfeitas 
As firmas escolhem quantidade 
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 ∴ q*1 = (A - c)/3B ∴ q*2 = (A - c)/3B 
Equilíbrio Cournot-Nash 
As firmas escolhem quantidade 
As equações de q1 e q2 correspondem às funções de reação de cada 
uma das empresas; 
 
 FUNÇÃO DE REAÇÃO 
 
Relação entre a quantidade de produção que maximiza os lucros de 
uma empresa e a quantidade que ela imagina que seus concorrentes 
produzirão 
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Duopólio à Cournot - modelação 
Procura inversa (preço em função da quantidade total) 
 P(Q) = a – b Q 
Custos 
 Empresa 1 : C (q1) = c q1 
 Empresa 2 : C (q2) = c q2 
Maximização do lucro de cada empresa 
 Empresa 1 : max π1 (q1) = [a − b (q1 + q2)] q1 − c q1 
 Empresa 2 : max π2 (q2) = [a − b (q1 + q2)] q2 − c q2 
 como Q = q1 + q2 e P(Q) = a – b (q1 + q2), então 
 Empresa 1 : π1 (q1) = [a − b (q1 + q2)] q1 − c q1 
 Empresa 2 : π2 (q2) = [a − b (q1 + q2)] q2 − c q2 
Empresa 1 : π1 (q1) = P(Q) q1 − c q1 
Empresa 2 : π2 (q2) = P(Q) q2 − c q2 
Teoria dos jogos 
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O modelo de Cournot 
Duopólio à Cournot – função de reação 
Condição de optimalidade 
 Empresa 1 : π’1 (q1) = 0  (a − c − b q2) − 2 b q1 = 0 
 Empresa 2 : π’2 (q2) = 0  (a − c − b q1) − 2 b q2 = 0 
 
Funções de reação (ou melhor resposta) 
 Empresa 1 : q*1 (q2) = (a − c − b q2) / 2 b 
 Empresa 2 : q*2 (q1) = (a − c − b q1) / 2 b 
Teoria dos jogos 
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Função de reação da empresa 1 
 q*1 = (a − c − b q2) / 2 b 
Função de reação da empresa 2 
 q*2 = (a − c − b q1) / 2 b 
Equilíbrio de Nash 
Ambas as empresas jogam a sua melhor resposta 
Duopólio à Cournot – equilíbrio de Nash 
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Quantidade de cada empresa 
 q*1 = (a − c) / 3 b 
 q*2 = (a − c) / 3 b 
Quantidade total 
 Q* = 2 (a − c) / 3 b 
Preço de mercado 
 P* = a – b Q* = (a + 2 c) / 3 
Lucro de cada empresa 
 π1(q*1) = 1/b [(a - c) / 3]
2 
 π2(q*1) = 1/b [(a - c) / 3]
2 
Lucro do setor 
 π (Q*) = 2/b [(a - c) / 3]2 
Duopólio à Cournot 
– equilíbrio de Nash 
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O modelo de Cournot 
Oligopólio 
Cournot com n empresas 
Quantidade de cada empresa 
 q* = (a − c) / [b (n+1)] 
Quantidade total 
 Q* = n (a − c) / [b (n+1)] 
Preço de mercado 
 P* = (a + n c) / (n+1) 
Lucro de cada empresa 
 π(q*) = 1/b [(a - c) / (n+1)]2 
Lucro do setor 
 π (Q*) = n/b [(a - c) / (n+1)]2 
Cournot com n empresas 
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Equilíbrio de Nash 
Graficamente 
b
ca
q
mon
2


b
ca
q
mon
2


b
ca
q
cp 
q1 
q1(q2) 
b
ca
q
cp 
q2(q1) 
b
ca
qcournot
3


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Exercício 
Considere um mercado com uma função de procura inversa dada por P(Q) = 180 - 7 Q 
, onde P é o preço de mercado e Q a quantidade total procurada. Neste mercado 
existem 2 empresas com um custo de produção dado por C(q) = 12 q. 
 
a) Determine a quantidade ótima de produção de cada empresa; 
b) Determine o preço de mercado; 
c) Calcule o lucro total das empresas 
Exercício 
Oligopólio à Cournot 
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•Em equilíbrio cada firma produz: qC1= qC2= (A -c)/3B 
•Então, o produto total é: Q* = 2(A -c)/3B 
•Relembre que a demanda é P = A -BQ 
•Então o preço de equilíbrio é P* = A -2(A -c)/3 = (A + 2c)/3 
•Lucro da firma 1 e da firma 2 é: π(q*) = 1/B [(A - c) / (n+1)]2 
•Lucro do setor π (Q*) = n/B [(A - c) / (n+1)]2 
•Um monopolista deveria produzir: QM= (A -c)/2B 
Duopólio à Cournot – equilíbrio de Nash 
Formulário 
Teoria dos jogos 
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Determine a quantidade ótima de 
produção de cada empresa 
q*1 = q*2 = (a − c) / 3 b = 
 
q*1 = q*2 = (180 – 12) / 3.7 = 
 
q*1 = q*2 = 168 / 21 = 8 
 
 
SOLUÇÃO 
 Letra “a” 
DADOS: 
 
P(Q) = 180 - 7 Q 
C(q) = 12 q 
 
 
P = a – b.Q 
a = 180 
b = 7 
c = 12 
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SOLUÇÃO 
 Letra “b” 
DADOS: 
 
P(Q) = 180 - 7 Q 
C(q) = 12 q 
 
 
P = a – b.Q 
a = 180 
b = 7 
c = 12 
 
q1 = q2 = 8 
Determine o preço de mercado 
 
P(Q) = 180 - 7 Q 
P(Q) = 180 – 7. (q1 + q2) 
P(Q) = 180 – 7. (8 + 8) 
P(Q) = 180 – 112 
P(Q) = 68 
 
 ou 
 
P = (a + 2c) / 3 
P = (180 + 2.12) / 3 = 68 
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SOLUÇÃO 
 Letra “c” DADOS: 
 
P(Q) = 180 - 7 Q 
C(q) = 12 q 
 
 
P = a – b.Q 
a = 180 
b = 7 
c = 12 
 
q1 = q2 = 8 
P = 68 
Calcule o lucro total das empresas e o excedente 
 do consumidor 
Lucro do setor 
 π (Q*) = 2/b [(a - c)]2 / 9 
 
 π (Q*) = 2/7 [(180 - 12)]2 / 9 
 
 π (Q*) = 2/7 [(180 - 12)]2 / 9 
 
 π (Q*) = 896 
 
 
 
 
 
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•A concorrência entre as duas firmas fazem com que: 
- o produto total exceda o produto total ofertado pelo monopólio 
- o preço, por sua vez, é menor do que o de monopólio 
 
•Mas o produto ainda é menor do que o de uma indústria competitiva 
(A -c)/B onde o preço é igual ao custo marginal 
Duopólio à Cournot – equilíbrio de Nash 
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VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS? 
 
 
Modelo Bertrand 
Propriedades do cartel. 
 
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TRABALHO COMPLEMENTAR À AV1 
(Vale 2,0 pontos para a AV1) 
Assunto: Modelo de Stackelberg 
 
Desenvolvimento: 
 - Breve histórico 
 - Características 
 - Fundamento do Modelo 
 - Observações sobre Quantidade, Lucro,Custo e Preço 
 - Curva de Isolucro 
Prazo: até a data da AV1 
Observações: o trabalho será individual, deve ser confeccionado em folha A4, 
podendo ser impresso e deverá possuir capa e estar identificado.