calculos de processos 3

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*
CAPÍTULO 3
ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
06 de julho de 2017
ENGENHARIA DE PROCESSOS
Análise, Simulação e Otimização de Processos Químicos
*
   
Organização da Análise de Processos
Capítulos
Módulos
*
Módulos
*
PROGRAMA
*
MOTIVAÇÃO PARA O CAPÍTULO 3
*
Forma Geral dos Modelos Matemáticos de Processos
f1(x1, x2, ..., xi ,..., xM) = 0
f2(x1, x2, ..., xi ,..., xM) = 0
 . . . . . .
fN(x1, x2, ..., xi,..., xM) = 0
N equações
M incógnitas
Sistema de equações algébricas
*
A complexidade dos modelos exige o estabelecimento prévio de uma 
Estratégia de Cálculo
Tema deste Capítulo
Fontes de complexidade:
Em geral, os modelos de processos são complexos.
(c) necessidade de cálculos iterativos.
(b) não-linearidade de equações;
(a) grande número de equações e de variáveis;
*
Exemplo: Modelo do Processo Ilustrativo
Revendo do Capítulo 2
*
01. f11 - f12 - f13 = 0 02. W15 - f23 = 0 03. f31 - f32 = 0 04. k – (3 + 0,04 Td) = 0 05. k – x13 / x12 = 0 06. (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 0 07. Vd -  (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 0 08. r - f13/f11 = 0 09. T2 – Td = 0 10. T3 – Td = 0
11. f13 - f14 = 0	
12. f23 - f24 - W5 = 0	
13. W6 - W7 = 0	
14. W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 0	
15. Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 0
16. Qe - Ue Ae e = 0	
17. e - (T6- Te) = 0 18. T4 – Te = 0 19. T5 – Te = 0
extrator
evaporador
*
20. W8 - W9 = 0	
21. W5 - W10 = 0	
22. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 0	
23. W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 0
24. Qc - Uc Ac c = 0	
25. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0
26. W11 - W12 = 0	
27. W10 - W13 = 0	
28. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 0	
29. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 0	
30. Qr - Ur Ar r = 0	
31. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0
32. W13 + W14 - W15 = 0	
33. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 0
34. f11 + f31 - W1 = 0	
35. x11 - f11 / W1 = 0	
36. f12 + f22 – W2 = 0	
37. x12 - f12/ W2 = 0
38. f13 + f23 – W3 = 0	
39. x13 - f13 / W3 = 0	
40. f14 + f24 - W4 = 0	
41. x14 - f14/ W4 = 0
condensador
resfriador
misturador
correntes multicomponentes
*
Modelo Completo
*
Consiste em representar o processo matematicamente utilizando os conhecimentos relativos aos Fundamentos e Equipamentos.
Consiste em utilizar técnicas de processamento de informação para resolver dos modelos.
Competem ao Engenheiro Químico
quanto ao Modelo
(a) Formulação (Modelagem Matemática): 
(b) Resolução : 
Pré-requisito para esta Disciplina.
Palavras-chave 
Formulação e Resolução
Objeto deste Capítulo.
*
 Objetivo de uma Estratégia de Cálculo
Viabilizar a resolução do Modelo com o mínimo esforço computacional. 
(problemas de dimensionamento, simulação e otimização de processos).
*
 3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos
3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares
 3.2.1 Estrutura e representação
 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações
3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos
3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos
 3.4.1 Estratégia Global
 3.4.2 Estratégia Modular
3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade
 3.5.1 Questionamento do Projeto
 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.1 Equações Não - Lineares
*
3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 
Motivação para o estudo de equações não-lineares.
No dimensionamento e na simulação de equipamentos e de 
processos ocorrem sistemas de equações que só podem ser 
resolvidos por métodos iterativos de tentativas.
que podem ser os mesmos empregados na resolução de 
equações isoladas.
*
3.1 Equações Não-Lineares 3.1.2 Métodos Numéricos
3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares
 3.2.1 Estrutura e representação
 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações
3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos
3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos
 3.4.1 Estratégia Global
 3.4.2 Estratégia Modular
3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade
 3.5.1 Questionamento do Projeto
 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.1.1 Representação
*
No contexto desta Disciplina, uma vez formulada para 
representar um fenômeno físico, a equação
 
f (x1*, ..., xi - 1*, xi, xi + 1*,…, xM*) = 0
passa a ser considerada um “processador de informação”
3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 
3.1.1 Representação
incógnita
conhecidas
*
São dois Universos distintos
Saimos do universos físico
Entramos no universo da Informação
*
A dificuldade da resolução de 
f (x1*, ..., xi - 1*, xi , xi + 1*,…, xM*) = 0 
depende da sua forma funcional.
incógnita x2: 
 x1* x2 + ln x1* = 0
incógnita x1
x1 x2* + ln x1 = 0
Solução analítica simples: x2 = - (ln x1*) / x1*
Solução numérica por tentativas
Exemplo 
x1 x2 + ln x1 = 0
*
3.1 Equações Não-Lineares
 3.1.1 Representação
3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares
 3.2.1 Estrutura e representação
 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações
3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos
3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos
 3.4.1 Estratégia Global
 3.4.2 Estratégia Modular
3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade
 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento
 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.1.2 Métodos Numéricos
*
Métodos de 
Aproximações Sucessivas
Há duas famílias importantes de métodos numéricos para a resolução 
 de equações não-lineares.
Métodos de
Redução de Intervalos
Testam valores para a incógnita segundo um algoritmo lógico que promove a redução do intervalo até que se torne menor do que uma tolerância (erro) pré-estabelecida.
Testam valores sucessivos para a incógnita até que a diferença relativa entre 2 valores sucessivos se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida.
Partem de um intervalo inicial. (limites inferior e superior)
Partem de um valor inicial.
3.1.2 Métodos Numéricos
*
Dados os limites superior xs e inferior xi , define-se o 
intervalo de incerteza xs - xi . 
Qualquer valor no interior ou na fronteira do intervalo serve como solução.
(a) Métodos de Redução de Intervalos
Este é reduzido sucessivamente até se tornar 
menor do que uma tolerância  pré-estabelecida: xs - xi  .
*
Um método típico de Redução de Intervalos
Método da Bisseção ou Busca Binária
A cada iteração, o intervalo de incerteza é reduzido à metade.
*
x
ALGORITMO 
f(x)
x
xi
xs
x
f(x)
Se Sinal (f) = Sinal (fi): Então atualizar : xi = x : fi = f
Estabelecer xi, xs,  (tolerância)
Calcular fi em xi
Calcular fs em xs
REPETIR
x = (xi + xs)/2
Calcular f em x
Senão atualizar : xs = x : fs = f
ATÉ xs - xi  
*
Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0
Solução para  = 0,1 : x = 0,4375 f = 0,048
 xi	 fi	 x	 f	 xs	 fs	 	
0,00005	 -11,51	 	 1	 2	 1	
0,00005	 -11,51
 0,5 0,307
0,5 0,307 	
0,375	 -0,231	
0,5 0,307
0,25	 -0,88
0,375	 -0,231	
0,4375	 0,048
0,5 0,307
0,25	 -0,88
0,375	 -0,231
0,4375	0,048
0,5
0,25
0,125
0,0625
f = x1 x2* + ln x1
x2* = 2 : xi = 0 : xs = 1:  = 0,1
*
EFICIÊNCIA DO MÉTODO
Nt : número total de cálculos da função para alcançar o intervalo  
Nm : número de cálculos da função, no meio do intervalo, necessário para alcançar o intervalo  
Como o método se inicia com o cálculo da função nos limites inferior e superior, então: 
Nt = Nm + 2
Sejam
*
Solução para  = 0,1 : x = 0,4375 f = 0,048
 xi	 fi	 x	 f	 xs	 fs	 	
0,00005	 -11,51	 	 1	 2	 10,00005	 -11,51
 0,5 0,307
0,5 0,307 	
0,375	 -0,231	
0,5 0,307
0,25	 -0,88
0,375	 -0,231	
0,4375	 0,048
0,5 0,307
0,25	 -0,88
0,375	 -0,231
0,4375	0,048
0,5
0,25
0,125
0,0625
 = 0,5Nm
ln  = Nm ln 0,5 
Nt = 2 + ln  / ln 0,5
Para uma redução de 10% do intervalo inicial:  = 0,1 N = 5,3  Nt = 6
Para uma redução de 1% do intervalo inicial:  = 0,01 N = 8,6  Nt = 9
Nt = 2 – 1,4 ln 
0,5 0 = 1
*
Atribui-se um valor inicial para a incógnita. 
(b) Métodos de Aproximações Sucessivas
x1
x2
x3
Esse valor é atualizado sucessivamente até que o erro relativo entre duas aproximações sucessivas, abs [(xk - xk-1) / xk], seja menor do que uma tolerância pré-estabelecida.
x4
x5
(x5 – x4) / x4 < 
Solução: x5
*
Um método típico
Método da Substituição Direta
Se a incógnita aparecer em mais de termo da 
equação, ela é explicitada parcialmente: f(xi ) = 0  xi = F(xi)
Exemplo: duas formas de explicitação
x1 = e - x1 x2*
x1 = - (1/ x2*) ln x1
x1 x2* + ln x1 = 0
*
A solução é o valor de xi em que F(xi) = xi .
0,2
0,2
*
ALGORITMO
Convergir = |(F-x)/x| <  (erro relativo)
Estabelecer xinicial,  (tolerância)
REPETIR
 x = F
 Calcular a Função F em x
ATÉ Convergir
xsolução = F
F = xinicial
Como dar a partida ? 
Atribuindo um valor inicial qualquer a F antes do “loop”
o valor arbitrado para xi em cada iteração é o valor de
F(xi - 1) obtido na iteração anterior: xi = F(xi - 1).
Como a solução é o valor em que F(xi) = xi 
*
F(x)
x
Convergir = |(F-x)/x| <  (erro relativo)
Estabelecer xinicial,  (tolerância)
F = xinicial
REPETIR
 x = F
 Calcular a Função F em x
ATÉ Convergir
xsolução = F
x1
x2
x3
Executando o Algoritmo
Em cada iteração, xi = F(xi - 1)
*
Condição para Convergência : |F´(x)| < 1
convergência monotônica
 convergência oscilatória
Nos dois casos convergiu porque |F´(x)| < 1 
Dois tipos de convergência
derivada positiva
derivada negativa
*
Condição para Divergência |F´(x)| > 1
divergência monotônica
divergência oscilatória
Afastamento da Solução
Dois tipos de divergência
Nos dois casos divergiu porque |F´(x)| > 1
derivada positiva
derivada negativa
*
Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0
x1 = F(x1)
(x2* = 2 : x1 inicial = 0,5)
F(x1) = - (1/ x2*) ln x1 
F(x1) = e - x1 x2*
Divergência Oscilatória
 F’(x1) = - 1,17
Convergência Oscilatória
 F’(x1) = - 0,85 
Solução: x = 0,4263
 x	 F	 
0,5	0,346	0,308
0,346	0,529	0,529
0,529	0,317	0,400
0,317	0,573	0,806
0,573	0,278	0,515
 x	 F	 
0,5	0,367	0,264
0,367	0,479	0,302
0,479	0,383	0,199	
0,383	0,464	0,210
0,464	0,395	0,149
Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0
 oscilando para maior
 oscilando para menor
*
Equações que representam processos de operação estável, 
também apresentam comportamento estável, ou seja, 
 convergem.
*
Em resumo
Equações Não-Lineares podem ser resolvidas por métodos:
- redução de intervalos (ex.: bisseção)
- aproximações sucessivas (ex.: substituição direta)
Esses métodos serão evocados a seguir em 
Sistemas de Equações.
*
3.1 Equações Não-Lineares
 3.1.1 Representação
 3.1.2 Métodos Numéricos
 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações
3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos
3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos
 3.4.1 Estratégia Global
 3.4.2 Estratégia Modular
3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade
 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento
 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares
3.2.1 Estrutura e Representação
*
No contexto desta Disciplina, uma vez formulada para 
representar um fenômeno físico, a equação
 
f (x1*, ..., xi - 1*, xi, xi + 1*,…, xM*) = 0
passa a ser considerada um “processador de informação”.
incógnita
conhecidas
3.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO – LINEARES
 3.2.1 Estrutura e Representação
*
Então um sistema de equações 
pode ser representado por um 
sistema de processadores.
Os elementos são as equações.
As conexões são as variáveis comuns.
*
Neste contexto, imagina-se a ocorrência de um
Fluxo de Informação 
de um processador para o seguinte.
No mundo da Informação 
 não importa o significado físico das equações.
*
Estruturas Básicas
Os sistemas de equações podem assumir as mais variadas estruturas combinando as
*
Estrutura acíclica: resolução trivial por encadeamento sucessivo a partir que qualquer variável conhecida (xo, por exemplo).
Estrutura cíclica: solução somente por tentativas (exemplo: conhecida xo, o cálculo de x1 depende de x3 ainda não calculada).
?
f1(xo, x1) = 0 f2(x1, x2) = 0
f3(x2, x3) = 0
f1(xo, x1, x3 ) = 0 f2(x1, x2) = 0
f3(x2, x3) = 0
Quanto mais complexa a estrutura, mais difícil é a resolução do sistema.
*
1. f1(x1, x2, x4 ) = 0 2. f2(x2, x3, x13 ) = 0 3. f3(x3, x4, x5) = 0 4. f4(x5, x6, x7, x10) = 0 5. f5(x6, x8, x9) = 0 6. f6(x8, x10, x11) = 0 7. f7(x7, x9, x12) = 0 8. f8(x11, x12, x13, x14) = 0
*
Exemplo de um Sistema de Equações típico 
de um Modelo de Processo
1. f1(xo*, x1) = 0 2. f2(x1, x2) = 0 3. f3(x2, x3, x6) = 0 4. f4(x3, x4) = 0 5. f5(x4, x5) = 0 6. f6(x5, x6) = 0 7. f7(x6, x7) = 0 8. f8(x7, x8) = 0
Da forma como está não se consegue depreender a sua estrutura.
Torna-se necessária uma forma de representá-lo.
*
Representações
Através da representação é possível enxergar como os 
processadores trocam informações.
E, assim, conceber métodos eficientes de resolução.
Dois tipos de representação:
(a) Gráfica: GRAFO
(b) Matricial: Matriz Incidência
*
O primeiro tipo de representação é o que já foi apresentado
GRAFO
*
1. f1(xo*,x1) = 0 2. f2(x1,x2) = 0 3. f3(x2,x3,x6) = 0 4. f4(x3,x4) = 0 5. f5(x4,x5) = 0 6. f6(x5,x6) = 0 7. f7(x6,x7) = 0 8. f8(x7,x8) = 0
GRAFO
Ciclo !
*
Grafos estão presentes na representação de inúmeros problemas do dia-a-dia.
Existe um campo da Matemática que estuda as propriedades dessas figuras ajudando a resolver esses problemas:
TEORIA DOS GRAFOS
Livro: Paulo Oswaldo Boaventura Neto
Professor da Eng. de Produção, meu contemporâneo na EQ.
*
*
1. f1(xo*,x1) = 0 2. f2(x1,x2) = 0 3. f3(x2,x3,x6) = 0 4. f4(x3,x4) = 0 5. f5(x4,x5) = 0 6. f6(x5,x6) = 0 7. f7(x6,x7) = 0 8. f8(x7,x8) = 0
Representação Matricial
Apropriada para a execução de algoritmos lógicos voltados à resolução dos sistemas.
*
Matrizes Esparsas !
1. f1(xo*,x1) = 0 2. f2(x1,x2) = 0 3. f3(x2,x3,x6) = 0 4. f4(x3,x4) = 0 5. f5(x4,x5) = 0 6. f6(x5,x6) = 0 7. f7(x6,x7) = 0 8. f8(x7,x8) = 0
Representação Matricial
Característica dos Modelos de Processos
Pequeno número de variáveis em cada equação; nem todas as variáveis figuram em todas as equações.
*
3.1 Equações Não-Lineares
 3.1.1 Representação
 3.1.2 Métodos Numéricos
3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares
 3.2.1 Estrutura e Representação
3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos
3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos
 3.4.1 Estratégia Global
 3.4.2 Estratégia Modular
3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade
 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento
 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.2.2 Resolução
*
3.2.2 Resolução
Os sistemas de equações podem ser resolvidos por 
- métodos simultâneos
- método sequencial.
*
Métodos Simultâneos 
Calcular F1
x1(k+1) = F1
Calcular F2
x2(k+1) = F2
TESTE
TESTE 
x1 = x1(k+1)
x1k
x2k
x1(k+1)
x2(k+1)
x2 = x2(k+1)
Diversos métodos são descritos em livros texto e abordados em disciplinas de Métodos Numéricos.
Exemplo: Newton-Raphson, Wegstein, ...
Todas as variáveis são alteradas simultaneamente.
*
Método Sequencial 
É um método alternativoem que as equações são acionadas 
sequencialmente, formando um 
Fluxo de Informação 
segundo uma sequência lógica previamente estabelecida. 
Este método é chamado de 
Resolução pelas Equações
 
"equation oriented".
*
O Fluxo de Informação é estabelecido pelo
ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES
AOE
Peça principal deste Capítulo
*
É um algoritmo de atribuição de tarefas
Algoritmo de Ordenação de Equações (AOE)
1. Atribui a cada equação a tarefa de calcular uma das incógnitas 
 do sistema.
2. Ao mesmo tempo, organiza as equações segundo uma
 
Sequencia de Cálculo 
que minimiza o esforço computacional.
*
Outros resultados
4. Em problemas com graus de liberdade, indica as variáveis de 
projeto compatíveis com o esforço computacional mínimo.
3. Efetua automaticamente a partição do sistema
5. Em problemas com ciclos, indica as variáveis de abertura
(a definir). 
O que é Partição ???
*
Consiste em identificar e decompor o sistema em 
sub-sistemas
PARTIÇÃO "partitioning"
1. f1(xo,x1) = 0 2. f2(x1,x2) = 0 3. f3(x2,x3,x6) = 0 4. f4(x3,x4) = 0 5. f5(x4,x5) = 0 6. f6(x5,x6) = 0 7. f7(x6,x7) = 0 8. f8(x7,x8) = 0
Os sub-sistemas são resolvidos sequencialmente
*
Vamos ao ALGORITMO
*
Algoritmo de Ordenação de Equações
Enquanto houver equações 
*
Pode-se observar que o Algoritmo possui três 
personagens básicos
Equações de Incógnita Única
Variáveis de Frequência Unitária
Ciclos
*
Algoritmo de Ordenação de Equações
Enquanto houver equações 
*
Vamos montar o Algoritmo através de ações intuitivas óbvias... .
*
1. f1(xo*, x1) = 0 2. f2(x1, x2) = 0 3. f3(x2, x3, x6) = 0 4. f4(x3, x4) = 0 5. f5(x4, x5) = 0 6. f6(x5, x6) = 0 7. f7(x6, x7) = 0 8. f8(x7, x8) = 0
Equações de Incógnita Única
São equações em que todas as variáveis têm os seus valores conhecidos, menos uma!
Exemplo: equação 1
Uma vez resolvida para x1
a equação 2 fica com incógnita única
podendo ser resolvida para x2


Não há mais equações de incógnita única
*
Enquanto houver equações com incógnita única 
atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação
Então, o Algoritmo pode começar assim:
(c) remover a variável da lista das incógnitas
(b) colocar a equação no primeira posição disponível na Sequencia de Cálculo


2. x2
1. x1
Não há mais equações de incógnita única
Sequência
de Cálculo
*
Varáveis de Frequência Unitária
São variáveis que pertencem a uma só equação
Só pode ser calculada pela Eq. 8 depois de conhecida x7 




Exemplo: x8
Então x7 só pode ser calculada pela Eq.7 ficando com frequência unitária
Só pode ser calculada pela Eq. 7 depois de x6 
Não há mais variáveis de frequência unitária
*
Enquanto houver variáveis de frequência unitária
atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação
Então, o Algoritmo pode prosseguir assim:
(c) remover a variável da lista das incógnitas
(b) colocar a equação na última posição disponível na Sequencia de Cálculo
1. x1
2. x2 -
-
- -
 




8. x8
7. x7
Não há mais variáveis de frequência unitária
Sequência
de Cálculo
*
1. x1
2. x2 -
-
- -
 




8. x8
7. x7
Sequência
de Cálculo
Se ainda houver equações depois de executadas essas duas etapas do Algoritmo, significa que existe um Ciclo no Sistema.

*
Ciclos
x6 = f6(x5) = f6(f5(x4)) = f6(f5(f4(x3))) = f6(f5(f4(f3(x2,x6)))) = F(x6)
São conjuntos cíclicos de equações em que cada variável vem a ser função dela mesma.
Solução exclusivamente por métodos iterativos
*
Preparação do sub-sistema cíclico para resolução por tentativas
(d) Estabelecer o esquema de convergência 
(a) Selecionar uma Equação Final (qualquer uma pertencente ao Ciclo)
(b) Retornar à Etapa 2 (VFU)
(c) Identificar a Variável de Abertura (não atribuída a qualquer equação)
5. x5
4. x4
3. x3
6. final
Sequência
de Cálculo
Equação Final e Variável de Abertura participam intensamente no promoção da convergência dos procedimentos.
*
META DO ALGORITMO
Sequencia de Cálculo Resultante
*
ALGORITMO PRONTO
Tal como programado
AOE.xls
*
Algoritmo de Ordenação de Equações (A.O.E.)
Enquanto houver equações 
*
ESTABELECIMENTO DO ESQUEMA DE CONVERGÊNCIA
Para resolver o Ciclo, insere-se um Promotor de Convergência
São apresentados dois Promotores de Convergência baseados nos métodos para equações não-lineares: (a) Bisseção (b) Substituição Direta
*
Relembrando o Método da Bisseção
*
A cada iteração:
x
xi
xs
x
f(x)
3. f3(x2, x3, x6) = 0 4. f4(x3, x4) = 0 5. f5(x4, x5) = 0 6. f6(x5, x6) = 0
BISSEÇÃO Adotando
- arbitra-se x6a.
- resolve-se sucessivamente as equações 3, 4 e 5.
- pela equação 6 calcula-se f6 (x5, x6).
avalia-se a convergência pelo critério do método da bisseção.
*
Relembrando o Método da Substituição Direta
*
(b) SUBSTITUIÇÃO DIRETA
Arbitra-se x6c inicial.
A cada iteração:
 toma-se x6a = x6c . 
 resolve-se sucessivamente as equações 3, 4, 5 e 6, que calcula x6c.
 avalia-se a convergência através do erro relativo
3. f3(x2, x3, x6) = 0 4. f4(x3, x4) = 0 5. f5(x4, x5) = 0 6. f6(x5, x6) = 0
f3 (x2,x3,x6) = 0
f4 (x3,x4) = 0
f5 (x4,x5) = 0
f6 (x5,x6) = 0
ABS (x6c – x6a) / x6a
*
COMPARAÇÃO DOS PROMOTORES DE CONVERGÊNCIA
(b) Substituição Direta
Arbitra-se x6a . A cada iteração, a eq.6 calcula x6c = f6(x5) : x6a = x6c (até convergir). 
f6 (x5, x6)
Arbitra-se x6a. A cada iteração, a eq.6 calcula f6 (x5, x6) (até convergir)
(a) Bisseção
*
APLICAÇÃO AO SISTEMA ILUSTRATIVO
*
1. f1(xo*, x1) = 0 2. f2(x1, x2) = 0 3. f3(x2, x3, x6) = 0 4. f4(x3, x4) = 0 5. f5(x4, x5) = 0 6. f6(x5, x6) = 0 7. f7(x6, x7) = 0 8. f8(x7, x8) = 0
Do ponto de vista prático, o Algoritmo é aplicado sobre a 
Matriz Incidência
*
1 -
2 -
3 -
4 -
5 -
6 -
7 -
8 -
Seqüência
Equações de Incógnita Única (EIU)
Círculo na variável  inscrição no primeiro lugar  x na vertical
*
Seqüência
1 - x1
2 -
3 -
4 -
5 -
6 -
7 -
8 -
Equações de Incógnita Única (EIU)
Círculo na variável  inscrição no primeiro lugar  x na vertical
*
1 - x1
2 - x2
3 -
4 -
5 -
6 -
7 -
8 -
Seqüência
Equações de Incógnita Única (EIU)
Não há mais Equações de Incógnita Única (EIU) 
*
Estado atual da Sequência de Cálculo
*
1
2
X
O
*
X
1
X
2
*
Seqüência
1 - x1
2 - x2
3 -
4 -
5 -
6 -
7 -
8 -
Variáveis de Frequência Unitária (VFU)
Círculo na variável  inscrição no último lugar  x na horizontal
*
1 - x1
2 - x2
3 -
4 -
5 -
6 -
7 -
8 - x8
Seqüência
Variáveis de Frequência Unitária (VFU)
Círculo na variável  inscrição no último lugar  x na horizontal
*
1 - x1
2 - x2
3 -
4 -
5 -
6 -
7 - x7
8 - x8
Seqüência
Variáveis de Frequência Unitária (VFU)
Círculo na variável  inscrição no último lugar  x na horizontal
*
1 - x1
2 - x2
3 -
4 -
5 -
6 -
7 - x7
8 - x8
Seqüência
Não há mais Variáveis de Frequência Unitária (VFU)
*
Estado atual da Sequência de Cálculo
*
*
1 - x1
2 - x2
3 -
4 -
5 -
6 -
7 - x7
8 - x8
Seqüência
*
Em princípio, qualquer uma do ciclo
A figura motiva a 6 !
*
Equação Final: 6
1 - x1
2 - x2
3 -
4 -
5 -
6 final
7 - x7
8 - x8
Seqüência
*
1 - x1
2 - x2
3 -
4 -
5 -
6 - final
7 - x7
8 - x8
Seqüência
Variáveis de Frequência Unitária (VFU)
Volta-se a buscar...
*
1 - x1
2 - x2
3 -
4 -
5 -
6 - final
7 - x7
8 - x8
Seqüência
Aqui há 2 VFU: X5 e X6. 
A ordem em que são escolhidas não importa. Uma não afeta a outra.
Ela poderiam ser até resolvidas em paralelo.
Na verdade, elas poderiam ser calculadas em paralelo porque
*
1 - x1
2 - x2
3 -
4 -
5 - x5
6 - final
7 - x7
8 - x8
Seqüência
*
1 - x1
2 - x2
3 -
4 - x4
5 - x5
6 - final
7 - x7
8 - x8
Seqüência
*
1 - x1
2 - x2
3 - x3
4 - x4
5 - x56 - final
7 - x7
8 - x8
Seqüência
*
Variável de Abertura: x6
1 - x1
2 - x2
3 - x3
4 - x4
5 - x5
6 - final
7 - x7
8 - x8
x6
Seqüência
*
SEQUÊNCIA DE CÁLCULO FINAL 
x6
*
Mostrar o Programa AOE.xls
*
Pode-se demonstrar a aplicabilidade geral deste Algoritmo 
testando nas
4 situações típicas em Engenharia de Processos.
Antecipando...
*
MODELO
*
LE
E
x
1
4
3
2
1
x
4
x
3
x
2
x
1
x
2
x
3
x
4
AVALIAÇÃO
ECONÔMICA
Sol.única sem ciclo no modelo
Otimização com ciclo no modelo
Sol.única com ciclo no modelo
Otimização sem ciclo no modelo
x4
x1
x1
MODELO
MODELO
MODELO
*
Ciclo potencial: 
a confirmar, haverá uma 
variável de abertura
G = 0 : solução única, sem variável de projeto
*
Algoritmo de Ordenação de Equações
Enquanto houver equações com incógnita única 
(c) remover a variável.
 4 x4
 3 x3
 2 x2
 1 x1
Seqüência de Cálculo
Equação
Variável
Matriz Incidência
 x1 x2 x3 x4 1 * * 
2 * * *
3 * *
4 *
X
X
X
X
(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.
(b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.
Só foi necessária a primeira etapa do Algoritmo !
*
G = 0 : Solução Única, sem variável de projeto
Processo : sequência direta (sem ciclos)
Ao transmitir x4 para eq. 2 o ciclo é desfeito
*
G = 1 : problema de otimização, haverá uma variável de projeto.
Ciclo potencial: 
a confirmar, haverá uma 
variável de abertura
*
Algoritmo de Ordenação de Equações
Enquanto houver equações com incógnita única 
(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.
(b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.
(c) remover a variável.
 4 x5
 3 x3
 2 x2
 1 x1
Seqüência de Cálculo
Equação
Variável
Matriz Incidência
 x1 x2 x3 x4 x5 1 * * 
2 * * *
3 * *
4 * *
X
X
X
X
X
Enquanto houver equações 
 Enquanto houver variáveis de freqüência unitária
(c) remover a equação.
x4 variável de projeto
(a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.
(b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.
Só foi necessária a segunda etapa do Algoritmo !
*
Como x4 resultou como Variável de Projeto o ciclo desapareceu
G = 1 : Otimização, uma variável de projeto
Processo : sequência direta (sem ciclos)
*
Ciclos potenciais: a confirmar haverá variáveis de abertura
G = 0 : solução única, sem variável de projeto
*
 4 x4
 3 x3
 1 x2
 2 final
Seqüência de Cálculo
Equação
Variável
X
X
X
X
X
X
x1: Variável de Abertura
*
x1 : variável de abertura
Aqui, o ciclo persistiu e teve que ser aberto.
G = 0 : Solução Única, sem variável de projeto
Processo : sequência com ciclo e uma variável de abertura
*
G = 1 : problema de otimização, haverá uma variável de projeto.
Ciclos potenciais: a confirmar haverá variáveis de abertura
*
Matriz Incidência
 x1 x2 x3 x4 x5 1 * * 
2 * * * *
3 * *
4 * *
X
X
X
X
X
 4 x5
 3 x3
 1 x2
 2 final
Seqüência de Cálculo
Equação
Variável
X
X
Sobram x1 e x4
Uma de projeto
Outra de abertura
Eqs 1 e 3 independentes: qualquer uma
*
x4: variável de abertura
x1 : variável de projeto
G = 1: Otimização, com uma variável de projeto
 Processo: Sequência Cíclica com uma variável de abertura
Opção 1:
*
x4: variável de projeto
x1 : variável de projeto
Opção 2:
G = 1: Otimização, com uma variável de projeto
 Processo: Sequência Cíclica com uma variável de abertura
*
RESUMO DOS 4 TIPOS DE PROBLEMAS
*
MODELO
*
LE
E
x
1
4
3
2
1
x
4
x
3
x
2
x
1
x
2
x
3
x
4
AVALIAÇÃO
ECONÔMICA
Sol.única sem ciclo no modelo
Otimização com ciclo no modelo
Sol.única com ciclo no modelo
Otimização sem ciclo no modelo
x4
x1
x1
MODELO
MODELO
MODELO
*
REGRAS COMPLEMENTARES NA APLICAÇÃO DO
ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES
- Variáveis discretas
- Variáveis de cálculo direto e iterativo
- Variáveis limitadas
- Ciclos múltiplos
- Variáveis de abertura e de projeto
- Eliminação de ciclos.
*
Variáveis Discretas
Seus valores são limitados a um conjunto finito.
Exemplos: 
- tipos de insumos: utilidades, solventes, catalisadores.
- diâmetros comerciais de tubos.
- número de estágios.
Em problemas com G > 0 elas têm preferência como Variáveis de Projeto.
Assim: 
- assumem apenas os valores viáveis atribuídos pelo otimizador.
- não sendo calculadas, não há risco de assumirem valores inviáveis.
*
Para x = 1 : y = 0,75  a = 0,75 (não existe !)
Para: a = 0,5 : x = 1  y = 0,5
Para: a = 1 : y = 1  x = 1
x
y
a = 1
a = 0,5
V = 3 : N = 1 : G = 2 (duas variáveis de projeto)
Exemplo: y = a x O parâmetro a só pode assumir 2 valores: 1 ou 0,5
Logo: a tem que ser uma das duas variáveis de projeto
0,5
1
1
0,75
a = ?
Mas...
*
Variáveis de Cálculo Direto ou Iterativo
Nesta equação: 
-  é uma variável de cálculo direto (dadas as temperaturas)
- qualquer T é de cálculo iterativo (dado  e as demais T’s)
As variáveis de cálculo direto têm preferência para a condição de calculadas.
Variáveis de cálculo direto são aquelas que podem ser facilmente explicitadas numa equação e calculadas sem necessidade de iterações.
*
Varáveis Limitadas
Os seus valores variam entre limites bem definidos.
Exemplos:
- frações mássicas ou molares
- temperaturas em trocadores de calor
Variáveis limitadas devem ter preferência para atuar como 
variáveis de abertura e de projeto.
Durante a execução do Algoritmo, 
deve-se postergar ao máximo a sua atribuição para cálculo 
para que essa preferência seja concretizada.
*
Ciclos Múltiplos 
Exemplo de Ciclos em Sequência
Primeira entrada de x7: eq. 5
Primeira entrada de x3: eq. 1
Fechar o ciclo com a final mais próxima
Um sistema de equações pode exibir diversos ciclos.
Sequência de Cálculo
Bisseção ou SD
Bisseção ou SD
MODELO
*
Exemplo de Ciclos Aninhados (“nested”)
Ciclos Múltiplos
Primeira entrada de x7: eq. 7
Primeira entrada de x4: eq. 4
Fechar o ciclo com a final mais próxima
Sequência de Cálculo
Bisseção ou SD
Bisseção ou SD
MODELO
*
Variáveis de Abertura e de Projeto Simultâneas
Em problemas com G > 0 e com ciclo, a variável de abertura deve ser aquela que fecha, com a Equação Final, um ciclo com o menor número de equações.
*
Eliminação de Ciclos
31. x31 = 1 – x11* 
02’. x12 = x11* (1 – r) / [x31 + x11* (1 – r)]
32. x32 = 1 – x12
04. x13 = k x12 / [1 + (k – 1) x12]
07. W3 = W1* x11* r / x13
01. W2 = W1* x31 / x32
Sequência com Ciclo
Sequência sem Ciclo
Substituição Algébrica
Equação Final 
02. W1* x11* – W2 x12 – W3 x13 = 0
W2 da eq.01:
02’. W1* x11* - [W1* x31 / x32] x12 – W3 x13 = 0
W3 da eq. 07:
02’. W1* x11* - [W1* x31 / x32] x12 – [W1* x11* r / x13] x13 = 0
x13 da eq. 04 e x32 da eq.32:
02’. x12 = x11* (1 – r) / [x31 + x11* (1 – r)]
*
3.1 Equações Não - Lineares
 3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos
3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares
 3.2.1 Estrutura e representação
 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações
3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos
 3.4.1 Estratégia Global
 3.4.2 Estratégia Modular
3.5 Incertezae Análise de Sensibilidade
 3.5.1 Questionamento do Projeto
 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos
*
3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos
Adquirir familiaridade com os equipamentos 
enquanto livre de interações. 
Motivação para estudar os equipamentos isolados:
Analogia
testar os solistas isolados 
antes de reger a orquestra.
*
O Processo será fragmentado
*
Fragmentando o Processo
*
Segue um problema de 
dimensionamento e outro de simulação
para cada um dos equipamentos do Processo.
*
As metas serão estabelecidas artificialmente para zerar G.
Aqui, os equipamentos estarão ligados a tanques imaginários.
Quando integrados no Processo, as metas para cada um 
serão ditadas pelos antecessores e sucessores no fluxograma.
*
No decorrer dos exercícios serão montadas as rotinas de 
dimensionamento e simulação
que integram o programa de análise do processo.
*
ROTINAS
*
01. Balanço Material do Ácido Benzóico:
 f11 - f12 - f13 = 0	
02. Balanço Material do Benzeno:
 W15 - f23 = 0	
03. Balanço Material da Água:
 f31 - f32 = 0	
04. Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido:
 x13 - k x12 = 0	
05. Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido:
 k – (3 + 0,04 Td) = 0 06. Balanço de Energia:
 (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 0 07. Equação de Dimensionamento:
 Vd -  (f11 / 1 + W15 / 2 + f31 / 3) = 0	
08. Fração Recuperada de Ácido Benzóico:
 r - f13 / f11 = 0 09. Fases em Equilíbrio T2 – Td = 0 10. Fases em Equilíbrio T3 – Td = 0
EXTRATOR
34. Vazão Total na Corrente 1:
 f11 + f31 - W1 = 0	
35. Fração Mássica na Corrente 1:
 x11 - f11 / W1 = 0
36. Vazão Total na Corrente 2:
 f12 + f32 – W2 = 0	
37. Fração Mássica na Corrente 2:
 x12 - f12 / W2 = 0
38. Vazão Total na Corrente 3:
 f13 + f23 – W3 = 0	
39. Fração Mássica na Corrente 3:
 x13 - f13 / W3 = 0
*
Problema proposto: determinar o volume do decantador e a vazão de benzeno necessários para recuperar 60% do ácido benzóico presente a 0,2% nos 100.000 kg/h de alimentação, a 25 oC, com um tempo de residência de 5 min (0,0833 h). Determinar as concentrações das correntes de extrato e de rafinado. A temperatura do benzeno é 25 oC. 
DIMENSIONAMENTO DO EXTRATOR
Por enquanto, o extrator é apenas uma figura (não existe)
Traduzindo o enunciado em fluxograma
Balanço de Informação V = 22 N = 16 C = 4 G = 2 !
Metas Máximo = 2
Balanço de Informação
V = 22 N = 16 C = 4 M = 2 G = 0
W*1= 100.000 kg/h x*11 = 0,002 T*1 = 25 oC
T*15 = 25 oC 
Conhecidas
*= 0,0833 h
r* = 0,60
*
Ordenação das Equações pelo Algoritmo AOE
Quando ocorre um ciclo, o programa busca uma equação final de cima para baixo e toma a primeira que encontra (no caso, a eq 02)
*
Montagem da rotina Dimensionar Extrator do programa BenzoDSO (ciclo eliminado)
f11 = x11 * W1 '35
f13 = r * f11 '08
f12 = f11 - f13 '01
f31 = W1 - f11 '34
f32 = f31 '03
W2 = f12 + f32 '36
x12 = f12 / W2 '37
W = Cp1 * f11 + f31
a = (25 / x12) * (W + f13 * Cp2l)
b = W * (T15 + 75) - f13 * Cp2l * (T15 + 75 + 25 / x12)
c = f13 * Cp2l * (T15 + 75)
discr = Sqr(b ^ 2 + 4 * a * c)
x13 = (discr + b) / (2 * a) '06' (Variável de abertura)
W3 = f13 / x13 '39 (Início do Ciclo)
k = x13 / x12 '04
f23 = W3 - f13 '38
Td = 25 * (k - 3) '05
W15 = f23 '02 (Final do Ciclo)
Vd = Tau * (f11 / Ro1 + W15 / Ro2 + f31 / Ro3) '07
T2 = Td '09
T3 = Td '10
Aqui aparece a sequência com a eq. 06 como final e x13 var. de abertura
*
*
Problema proposto: determinar o volume do decantador e a vazão de benzeno necessários para recuperar 60% do ácido benzóico presente a 0,2% nos 100.000 kg/h de alimentação, a 25 oC, com um tempo de residência de 5 min (0,0833 h). Determinar as concentrações das correntes de extrato e de rafinado. A temperatura do benzeno é 25 oC. 
W*1= 100.000 kg/h x*11 = 0,002 T*1 = 25 oC
1
15
Alimentação
Extrato
3
EXTRATOR
Rafinado
BOMBA
2 
T*15 = 25 oC 
*= 0,0833 h
r* = 0,60
W2 = 99.880 kg/h x12 = 0,0008 T2 = 25 oC f12 = 80 kg/h f32 = 99.800 kg/h
W3 = 37.490 kg/h x13 = 0,0032 T3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = 37.370 kg/h
f11 = 200 kg/h f31 = 99.800 kg/h
W15 = 37.370 kg/h
Vd = 11.855l
DIMENSIONAMENTO DO EXTRATOR
O Extrator, antes apenas uma figura, agora passa a existir, com o seu volume.
Extrator dimensionado
*
Uma vez dimensionado, o Extrator pode ser submetido a um 
“test-drive” para ver como se comporta (grau de violação das 
metas) com diferentes condições de entrada.
Por Simulação
*
Problema proposto: determinar as vazões e as concentrações das correntes de extrato e de rafinado, a fração recuperada de ácido benzóico e o tempo de residência, caso o extrator de Vd = 11.855L fosse alimentado com 50.000 kg/h de benzeno, e não com os 37.370 kg/h de projeto (as demais condições de entrada permanecendo as mesmas de projeto). 
SIMULAÇÃO DO EXTRATOR
G = 0 !
Extrator dimensionado
Traduzindo o enunciado em fluxograma
Conhecidas
W*1= 100.000 kg/h x*11 = 0,002 T*1 = 25 oC f11 f31
W*15 = 50.000 kg/h T*15 =25 oC 
V*d = 11.855 l
Em simulação não há metas
*
Ordenação das Equações pelo Algoritmo AOE
Quando ocorre um ciclo, o programa examina as equações de cima para baixo e toma a primeira candidata como eq. Final (no caso, a eq 04)
*
f23 = W15 '02
f11 = W1 * x11 '35
f31 = W1 - f11 '34
f32 = f31 '03
a = f11 * Cp1 + f31 * Cp3
b = W15 * Cp2l
Td = (a * T1 + b * T15) / (a + b) '06
Tau = Vd / (f11 / Ro1 + W15 / Ro2 + f31 / Ro3) '07
k = 3 + 0.04 * Td '05
T2 = Td 			 '09
T3 = Td 			 '10
a = k - 1: 'Cells(24, 7) = a
b = k * (f11 + f23) + f32 - f11: 'Cells(25, 7) = b
c = f11 * f32: Cells(26, 7) = c
discr = Sqr(b ^ 2 - 4 * a * c): 'Cells(27, 7) = discr
f12 = (b - discr) / (2 * a) 		'04' Variável de Abertura
f13 = f11 - f12 			'01 Início do Ciclo
W2 = f12 + f32 		'36
x12 = f12 / W2 		'37
W3 = f13 + f23 		'38
x13 = f13 / W3 		'39 Final de Ciclo
r = f13 / f11 			'08
Montagem da rotina Simular Extrator do programa BenzoDSO (ciclo eliminado)
Aqui aparece a sequência com a eq. 04 como final e f12 var. de abertura
*
*
SIMULAÇÃO DO EXTRATOR
Extrator simulado
Extrator dimensionado
*
 
26. Balanço Material da Água:
 W11 - W12 = 0	
27. Balanço Material do Benzeno:
 W10 - W13 = 0	
28. Balanço de Energia na Corrente de Água:
 Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 0	
29. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno:
 Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 0	
30. Equação de Dimensionamento:
 Qr - Ur Ar r = 0	
31. Definição do T Médio Logarítmico (r ):
 r - [(T10 - T12) - (T13 - T11) ] / ln[(T10 - T12) / (T13 - T11)] = 0
RESFRIADOR
*
DIMENSIONAMENTO DO RESFRIADOR
Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica do resfriadornecessárias para resfriar 36.345 kg/h de benzeno liquido saturado até 25 oC. A água se encontra a 15 oC e deve sair a 30 oC. 
Traduzindo o enunciado em fluxograma
T*13 = 25 oC
T*12 = 30 oC
T*11 = 15 oC
W*10 = 36.345 kg/h T*10 = 80 oC
Conhecidas
Balanço de Informação V = 11 N = 6 C = 3 M = 2 G = 0 !
Metas
*
Ordenação das Equações pelo Algoritmo AOE
*
27. W13 = W10 29. Qr = W10 Cp2l (T10 - T13) 28. W11 = Qr / (Cp3 (T12 - T11)) 26. W12 = W11 d1 = T10 - T12: d2 = T13 - T11 31. dr = (d1 - d2) / ln (d1 / d2) 30. Ar = Qr / (Ur dr ) 
Resultando a rotina DimensionarResfriador
*
*
DIMENSIONAMENTO DO RESFRIADOR
Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica do resfriador necessárias para resfriar 36.345 kg/h de benzeno liquido saturado até 25 oC. A água se encontra a 15 oC e deve sair a 30 oC. 
Resultado
Ar = 362 m2
W11 = 59.969 kg/h
W11 = 59.969 kg/h
W10 = 36.345 kg/h
*
 SIMULAÇÃO DO RESFRIADOR
Problema proposto: pretende-se determinar as temperaturas de saída do benzeno e da água, caso o resfriador projetado para 361 m2 fosse alimentado com 20.000 kg/h de benzeno ao invés de 36.345 kg/h, mantidas a vazão e a temperatura da água de resfriamento. 
Resultado do dimensionamento
Balanço de Informação
V = 11 N = 6 E = 5 G = 0 !
Traduzindo o enunciado em fluxograma
Conhecidas
A*r = 362 m2
W*10 = 20.000 kg/h T*10 = 80 oC
W*11 = 59.969 kg/h T*11 = 15 oC
Benzeno
Em simulação não há metas
*
Ordenação das Equações pelo Algoritmo AOE
Logo de saída são ordenadas as duas EIU
As 4 demais equações formam um ciclo.
Qualquer uma pode ser escolhida como final.
Por experiência, a única que permite e explicitação da variável de abertura é a 30.
*
Ordenação das Equações pelo Algoritmo AOE
Este é o resultado apresentado pelo AOE com a equação 28 como final e r como variável abertura.
*
Esta é a sequência com a equação 30 como final e Qr como variável de abertura. 
*
Resultou a rotina SimularResfriador
W12 = W11 				 '26
W13 = W10 				 '27
a =T10 – T11: b = 1/(W11*cp3) : c = 1/(W10*cp2l) : d = 1/(Ur * Ar) : e = exp ((c-d)/b)
Qr = a*(e-1)/(c*e-b) ‘(30’) Var. Abert.
T12 = T11 + Qr * a2 			 '28 
T13 = T10 - Qr * a1 					 ‘29
d1 = T10 - T12: d2 = T13 - T11
If Abs(d1 - d2) < 0.00001 Then dr = d1 Else dr = (d1 - d2) / Log(d1 / d2) '31
*
*
 SIMULAÇÃO DO RESFRIADOR
Problema proposto: pretende-se determinar as temperaturas de saída do benzeno e da água, caso o resfriador projetado para 361 m2 fosse alimentado com 20.000 kg/h de benzeno ao invés de 36.345 kg/h, mantidas a vazão e a temperatura da água de resfriamento. 
Resultado do dimensionamento
Resultado da simulação
W13 = 20.000 kg/h T13 = 16,8 oC
Benzeno
W12 = 59.969 kg/h T12 = 24,5 oC
*
20. Balanço Material da Água:
 W8 - W9 = 0	
21. Balanço Material do Benzeno:
 W5 - W10 = 0	
22. Balanço de Energia na Corrente de Água:
 Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 0	
23. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno:
 W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 0	
24. Equação de Dimensionamento:
 Qc - Uc Ac c = 0	
25. Definição do T Médio Logarítmico (c):
 c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0
CONDENSADOR
Benzeno
*
DIMENSIONAMENTO DO CONDENSADOR
Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica necessárias para condensar 36.345 kg/h de benzeno de vapor saturado a líquido saturado. A água se encontra a 15 oC e deve sair a 30 oC . 
Balanço de Informação
V = 11 N = 6 C = 3 M = 2 G = 0 !
Traduzindo o enunciado em fluxograma
Conhecidas
T*9 = 30 oC
T*8 = 15 oC
W*5 = 36.345 kg/h 
T*5 = 80 oC
T*10 = 80 oC
Metas
*
*
21. W10 = W5 23. Qc = W5 2
 d1 = T5 - T9: d2 = T10 - T8 22. W8 = Qc / (Cp3 * (T9 - T8))
20. W9 = W8
25. dc = (d1 - d2) / ln (d1 / d2)
24. Ac = Qc / (Uc * dc)
Resultando a rotina DimensionarCondensador
*
*
DIMENSIONAMENTO DO CONDENSADOR
Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica necessárias para condensar 36.345 kg/h de benzeno de vapor saturado a líquido saturado. A água se encontra a 15 oC e deve sair a 30 oC . 
Resultado
W9 = 228.101 kg/h
W8 = 228.101 kg/h
W10 = 36.345 kg/h
Ac = 120 m2
*
SIMULAÇÃO DO CONDENSADOR
Problema proposto: determinar a vazão de água necessária para condensar 20.000 kg/h de benzeno, ao invés dos 36.345 kg/h para os quais foi calculada a área de 119 m2. Pretende-se que o benzeno deixe o condensador como líquido saturado. A água se encontra a 15 oC.
resultado do dimensionamento
Balanço de Informação
V = 11 N = 6 C = 5 M = 1 G = - 1 !!!
Pretendido na simulação:
 Vapor saindo liquido saturado 
Traduzindo o enunciado em fluxograma
Benzeno
A*c = 120 m2
W*5 = 20.000 kg/h T*5 = 80 oC
W8 = 228.101 kg/h T*8 = 15 oC
T*10 = 80 oC
Meta em simulação?
Conhecidas
*
Este problema difere da simulação do extrator e do resfriador porque contem 
uma meta: o benzeno deve sair como líquido saturado, logo, a 80 oC. 
Balanço de Informação
V = 11 N = 6 C = 5 M = 1 G = - 1 !!!
T*10 = 80 oC
Meta em simulação?
*
V = 11 N = 6 C = 5 M = 1 G = -1 !!!
O problema só pode ser resolvido se for subtraída alguma condição conhecida
Uma solução consiste em transformar W8 em incógnita..
V = 11 N = 5 C = 5 M = 1 G = 0
O seu valor calculado pode ser tomado como set-point de um sistema de controle que a utilize como variável de controle
*
*
21. W10 = W5
23. Qc = W5 2
24. dc = Qc / (Uc Ac)
25. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0 (Resolução por Bisseção)
22. W8 = Qc / (Cp3 (T9 - T8)) 20. W9 = W8
Resulta a rotina SimularCondensador
*
*
*
11. Balanço Material do Ácido Benzóico:
 f13 - f14 = 0	
12. Balanço Material do Benzeno:
 f23 - f24 - W5 = 0	
13. Balanço Material do Vapor:
 W6 - W7 = 0	
14. Balanço de Energia na Corrente de Vapor:
 W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 0	
15. Balanço de Energia na Corrente de Processo:
 Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 0
16. Equação de Dimensionamento:
 Qe - Ue Ae e = 0	
17. Definição da Diferença de Temperatura (e):
 e - (T6 - Te) = 0 18. Fases em Equilíbrio T4 – Te = 0 19. Fases em Equilíbrio T5 – Te = 0
EVAPORADOR
38. Vazão Total na Corrente 3:
 f13 + f23 – W3 = 0	
39. Fração Mássica na Corrente 3:
 x13 - f13 /W3 = 0	
40. Vazão Total na Corrente 4:
 f14 + f24 - W4 = 0	
41. Fração Mássica na Corrente 4:
 x14 - f14/W4 = 0
*
DIMENSIONAMENTO DO EVAPORADOR
Problema proposto: determinar a vazão de um vapor a 150 oC e a área de troca térmica necessárias para obter um concentrado com 10% de ácido benzóico, a partir de uma corrente com 37.545 kg/h de uma solução de 0,32% de ácido benzóico em benzeno, a 25 oC. O condensado deve sair como líquido saturado a 150 oC . O evaporador opera a 1 atm.
V = 20 N = 13 C = 4 M = 3 G = 0 !
Traduzindo o enunciado em fluxograma
Conhecidas
W*3 = 37.345 kg/h x*13 = 0,0032 T*3 = 25 oC
T*6 = 150 oC
Te* = 80 oC
Metas
x*14 = 0,10
T*7 = 150 oC
*
*
15. De = T6 - T
35. f13 = W3 x13
09. f14 = f13
34. f23 = W3 - f13
37. W4 = f14 / x14
36. f24 = W4 - f14
10. W5 = f23 - f24
13. Qe = (f13 Cp1 + f23 Cp2l) (T - T3) + W5 L2
12. W6 = Qe / (L 3 + Cp3 (T6 - T7))
11. W7 = W6
14. Ae = Qe / (Ue De)
Resulta a rotina DimensionarEvaporador
*
*
DIMENSIONAMENTO DO EVAPORADOR
Problema proposto: determinar a vazão de um vapor a 150 oC e a área de troca térmica necessárias para obter um concentrado com 10% de ácido benzóico, a partir de uma corrente com 37.545kg/h de uma solução de 0,32% de ácido benzóico em benzeno, a 25 oC. O condensado deve sair como líquido saturado a 150 oC . O evaporador opera a 1 atm.
Evaporar dimensionado
*
 SIMULAÇÃO DO EVAPORADOR
Problema proposto: determinar as vazões de vapor e de evaporado, a vazão e a concentração do concentrado, caso o evaporador, com os mesmos 124 m2 de área de projeto, fosse alimentado com 50.000 kg/h de solução e não mais com 37.545 kg/h. Pretende-se que o condensado saia como líquido saturado (150 oC).
V = 20 N = 13 C = 7 M = 1 G = -1 !!!
pretendido na simulação
resultado do dimensionamento
Conhecidas
W*3 = 50.000 kg/h x*13 = 0,0032 T*3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = 37.425 kg/h
W6 = 8.615 kg/h T*6 = 150 oC
Ae=124 m2
Te* = 80 oC
T*7 = 150 oC
Meta em simulação?
*
V = 20 N = 13 C = 7 M = 1 G = -1 !!!
W5 = T5 =
Uma solução consiste em transformar W6 em incógnita. O seu valor calculado pode ser tomado como set-point de um sistema de controle que a utilize como variável de controle.
Situação semelhante à da simulação do condensador
V = 20 N = 13 C = 6 M = 1 G = 0
*
*
15. De = T6 - T
14. Qe = Ue Ae De 12. W6 = Qe / (l3 + Cpv * (T6 - T7))
11.W7 = W6
35. f13 = W3 * x13
09. f14 = f13
34. f23 = W3 - f13
13. W5 = (Qe - (f13 * Cp1 + f23 * Cp2l) * (T - T3)) / l2
10. f24 = f23 - W5
36. W4 = f14 + f24
37. x14 = f14 / W4
Resulta a rotina SimularEvaporador
*
*
*
3.1 Equações Não-Lineares
 3.1.1 Representação
 3.1.2 Métodos Numéricos
3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares
 3.2.1 Estrutura e representação
 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações
3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos
 3.4.2 Estratégia Modular
3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade
 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento
 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos
 3.4.1 Estratégia Global
*
3.4 DIMENSIONAMENTO E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS 
Todas as equações são consideradas simultaneamente, independentemente dos equipamentos a que pertencem.
É a estratégia mais indicada para dimensionamento.
O Algoritmo de Ordenação de Equações é executado como se fosse para um equipamento isolado.
3.4.1 ESTRATÉGIA GLOBAL
Existem duas estratégias básicas: 
- Estratégia Global
- Estratégia Modular
*
Dimensionamento do Processo – Estratégia Global
01. f11 - f12 - f13 = 0 02. W15 - f23 = 0 03. f31 - f32 = 0 04. k – (3 + 0,04 Td) = 0 05. k - x13 / x12= 0 06. (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 0 07. Vd -  (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 0 08. r - f13/f11 = 0 09. T2 – Td = 0 10. T3 – Td = 0
11. f13 - f14 = 0	
12. f23 - f24 - W5 = 0	
13. W6 - W7 = 0	
14. W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 0	
15. Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 0	
16. Qe - Ue Ae e = 0	
17. e - (T6- Te) = 0 18. T4 – Te = 0 19. T5 – Te = 0
20. W8 - W9 = 0	
21. W5 - W10 = 0	
22. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 0	
23. W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 0	
24. Qc - Uc Ac c = 0	
25. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0
26. W11 - W12 = 0	
27. W10 - W13 = 0	
28. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 0	
29. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 0	
30. Qr - Ur Ar r = 0	
31. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0
32. W13 + W14 - W15 = 0	
33. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 0
34. f11 + f31 - W1 = 0	
35. x11 - f11 /W1 = 0	
36. f12 + f22 – W2 = 0	
37. x12 - f12/W2 = 0
38. f13 + f23 – W3 = 0	
39. x13 - f13 /W3 = 0	
40. f14 + f24 - W4 = 0	
41. x14 - f14/W4 = 0
*
EXTRATOR
		DIMENSIONAMENTO DO EXTRATOR
		
																																																		Eq.		Var.
		1		X		O		X																																										35		f11
		2								O		X																																						8		f13
		3												X		O		k																																1		f12
		4				X		X				O				X		X																																34		f31
		5																O		X																														3		f32
		6		X						X				X						X		X		X				t																						36		W2
		7		X						X				X												O		X		r																				37		x12
		8		X				O																						X																		Td		5		k
		9																		X												O																		4		f23
		10																		X														O																2		W15
		34		X										O																						X														6
		35		O																																X		X												7		Vd
		36				X										X																								O										38		W3
		37				X																																		X		O								39		x13
		38						X				X																																O						9		T2
		39						X																																				X		O				10		T3
		
		SIMULAÇÃO DO EXTRATOR
																																																		Eq.		Var.
		1		X		X		O																																										2		f23
		2								X		O																																						35		f11
		3												X		O		k																																6		Td
		4				X		X				X				X		X																																5		k
		5																O		X																														9		T2
		6		X						X										O		X		X				t																						10		T3
		7		X						X				X												X		O		r																				34		f31
		8		X				O																						O																				3		f32
		9																		X												O																		7		t
		10																		X														O														f12		1		f13
		34		X										O																						X														4
		35		O																																X		X												8		r
		36				X										X																								O										36		W2
		37				X																																		X		O								37		x12
		38						X				X																																O						38		W3
		39						X																																				X		O				39		x13
RESFRIADOR
		DIMENSIONAMENTO DO RESFRIADOR
		
																												Eq.		Var
		26		X		O																						27		W13
		27						X		O		Qr																29		Qr
		28		O								X		X		X												28		W11
		29						X				O						X		X		Ar						26		W12
		30										X										O		X				30		Ar
		31												X		X		X		X				O				31
		
		SIMULAÇÃO DO RESFRIADOR
		
																												Eq.		Var
		26		X		O																						26		W12
		27						X		O		Qr																27		W13
		28		X								X		X		O												28		T12
		29						X				X						X		O		Ar						29		T13
		30										X										X		X		Qr		31
		31												X		X		X		X				O				30
CONDENSADOR
		DIMENSIONAMENTO DO CONDENSADOR
		
																												Eq.		Var
		20		X		O																						21		W10
		21						X		O		Qc																23		Qc
		22		O								X		X		X												25
		23						X				O						X		X		Ac						22		W8
		24										X										O		X				20		W9
		25												X		X		X		X				O				24		Ac
		
		SIMULAÇÃO DO CONDENSADOR
		
																												Eq.		Var
		20		X		O																						21		W10
		21						X		O		Qc																23		Qc
		22		O								X		X		X												24
		23						X				O						X		X		Ac				Biss		25		T9
		24										X										X		O				22		W8
		25												X		O		X		X				X				20		W9
EVAPORADOR
		DIMENSIONAMENTO DO EVAPORADOR
		
																																														Eq		Var
		11		X		O																																								17
		12						X		X		O																																		18		T4
		13												X		O						Qe																								19		T5
		14												O				X		X		X																								39		f13
		15		X				X				X										O		X		X		Ae																		11		f14
		16																				X						O		X																38		f23
		17																X						X						O																41		W4
		18																						X								O														40		f24
		19																						X										O												12W5
		38		X				O																												X										15		Qe
		39		O																																X		X								16		Ae
		40				X				O																														X						14		W6
		41				X																																		O		X				13		W7
		
		SIMULAÇÃO DO EVAPORADOR
																																														Eq		Var
		11		X		O																																								17
		12						X		O		X																																		16		Qe
		13												X		O						Qe																								14		W6
		14												O				X		X		X																								13		W7
		15		X				X				O										X		X		X		Ae																		18		T4
		16																				O						X		X																19		T5
		17																X						X						O																39		f13
		18																						X								O														11		f14
		19																						X										O												38		f23
		38		X				O																												X										15		W5
		39		O																																X		X								12		f24
		40				X				X																														O						40		W4
		41				X																																		X		O				41		x14
MISTURADOR
		DIMENSIONAMENTO DO MISTURADOR
		
																		Eq.		Var.
		32		X		O		X										32		W14
		33		X		X		X		X		X		O				33		T15
		
		SIMULAÇÃO DO MISTURADOR
		
																		Eq.		Var.
		32		X		X		O										32		W15
		33		X		X		X		X		X		O				33		T15
PROCESSODIM
																																																																																																																						E		V
		1		*		O		*																				Extrator																																																																																										5		k
		2								O		*																																																																																																										9		T2
		3												*		O		k																																																																																																				10		T3
		4				*		*				O				*		*																																																																																																				17
		5																O		X																																																																																																		18		T4
		6		*										*						X		X		O				t																																																																																										19		T5
		7		*						*				*												O		X		r																																																																																								25
		8		*				O																						X																																																																																								35		f11
		9																		X												O																																																																																						8		f13
		10																		X														O																																																																																				1		f12
		11						*																												O																Evaporador																																																																		11		f14
		12										*																										*		O																																																																														34		f31
		13																																								*		O																																																																										3		f32
		14																																								O				X		X		*																																																																				4		f23
		15						*				*																						*						*										O		X																																																																		2		W15
		16																																																*				O		*																																																														6		T15
		17																																												X						X				O																																																														7		Vd
		18																																																		X						O																																																												36		W2
		19																																																		X								O																																																										37		x12
		20																																																												*		O				Condensador																																																		38		W3
		21																																						*																										O																																																				39		x13
		22																																																												O						*		X		X																																														41		W4
		23																																						*																				*								O						X																																												40		f24
		24																																																																		*								O		*																																								12		W5
		25																																																										*										X		X		X				O																																								15		Qe
		26																																																																														*		O						Resfriador																														14		W6
		27																																																																*																		O																																		13		W7
		28																																																																														O						*		X		X																												16		Ae
		29																																																																*								X												O						*																										21		W10
		30																																																																																				*								O		*																						23		Qc
		31																																																																								X														X		X		*				O																						22		W8
		32								*																																						Misturador																																				*														O																				20		W9
		33																						*																																																												*								O						*		X																		24		Ac
		34		*										O																				Correntes Multicomponentes																																																																				X																27		W13
		35		O																																																																																																		X		X														32		W14
		36				*										*																																																																																										O												33		T14
		37				*																																																																																																				*		O										31
		38						*				*																																																																																																		O								29		Qr
		39						*																																																																																																						*		O						28		W11
		40																																		*		O																																																																												*				26		W12
		41																																		*																																																																														O		X		30		Ar
PROCESSOSIM
																																																																																																																						E		V
		1		X		X		O																				Extrator																																																																																										35		f11
		2								X		O																																																																																																										34		f31
		3												X		O		k																																																																																																				3		f32
		4				X		X				X				X		X
		5																O		X																																																																																														f12				1		f13
		6		X						X				X						X		X		O				t																																																																																										2		f23
		7		X						X				X												X		O		r32		W13
		8		X				X																						O																																																																																								27		W10
		9																		X												O																																																																																						21		W5
		10																		O														X																																																																																				16
		11						X																												O																Evaporador																																																																		17		Te
		12										X																										O		X																																																																														15		T3
		13																																								X		O																																																																										10		Td
		14																																								O				X		X		X																																																																				5		k
		15						X				X																						O						X										X		X																																																																		4
		16																																																X				X		O																																																														6		T15
		17																																												X						O				X																																																														7		t
		18																																																		X						O																																																												8		r
		19																																																		X								O																																																										9		T2
		20																																																												X		O				Condensador																																																		11		f14
		21																																						O																										X																																																				12		f24
		22																																																												O						X		X		X																																														14		W6
		23																																						X																				X								O						X																																												13		W7
		24																																																																		O								X		O																																								18		T4
		25																																																										X										O		X		X				X																																								19		T5
		26																																																																														X		O						Resfriador																														23		Qc
		27																																																																O																		X																																		24
		28																																																																														O						X		X		X																												25		T9
		29																																																																X								X												X						X																										22		W8
		30																																																																																				X								X		O																						20		W9
		31																																																																								X														X		O		X				X																						33		T13
		32								X																										Misturador																																																O														X																				30
		33																						X																																																												X								O						X		X																		31		T12
		34		X										O																				Correntes Multicomponentes																																																																				X																28		W11
		35		O																																																																																																		X		X														26		W12
		36				X										X																																																																																										O												36		W2
		37				X																																																																																																				X		O										37		x12
		38						X				X																																																																																																		O								38		W3
		39						X																																																																																																						X		O						39		x13
		40																																		X		X																																																																												O				40		W4
		41																																		X																																																																														X		O		41		x14
*
Dimensionar Processo
(03) T3 = T2
(13) T4 = T5 				
(16) e = T6 - T5 			
(22) D1 = T5 - T9: D2 = T10 - T8 : c = (D1 - D2) / ln (D1 / D2)
(32) f11 = W1 x11 
(08) f13 = f11 r
(31) f31 = W1 - f11 				
(01) f12 = f11 - f13 				
(09) f14 = f13 				
(03) f32 = f31 				
(04) f23 = f13 f32 / (k f12)
(34) W4 = f14 / x14 
(02) W15 = f23
(33) f24 = W4 - f14 				
(05) T15 = T2 - (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - T2) / (W15 Cp2l) 		
(07) Vd =  (f11 / 1 + W15 /  2 + f31 /  3) 			
(10) W5 = f23 - f24 				
(14) Qe = (f13 Cp1 + f23 Cp2l) (T5 - T3) + W52
*
(18) W10 = W5 				 
(20) Qc = W5 (2 + Cp2l (T5 - T10)) 			
(12) W6 = Qe / ( 3 + Cp3 (T6 - T7)) 		
(15) Ae = Qe / (Ue  e) 		
(24) W13 = W10 		
(19) W8 = Qc / (Cp3 (T9 - T8)) 		
(21) Ac = Qc / (Uc  c) 		
(11) W7 = W6 		
(29) W14 = W15 - W13 		
(17) W9 = W8 		
(30) T13 = T15 + W14 (T15 - T14) / W13 		
(26) Qr = W10 Cp2l (T10 - T13) 			 
(28) D1 = T10 - T12: D2 = T13 - T11:  r = (D1 - D2) / ln (D1 / D2)
(25) W11 = Qr / (Cp3 (T12 - T11)) 			 
(27) Ar = Qr / (Ur  r) 
(23) W12 = W11 				
*
*
3.1 Equações Não-Lineares
 3.1.1 Representação
 3.1.2 Métodos Numéricos
3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares
 3.2.1 Estrutura e representação
 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações
3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos
3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos
 3.4.1 Estratégia Global
3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade
 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento
 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.4.2 Estratégia Modular
*
3.4.2 Estratégia Modular
Para cada problema, os módulos são seqüenciados convenientemente segundo o fluxograma material do processo.
Havendo a presença de reciclos no fluxograma, torna-se necessária a abertura de um certo número de correntes e a
 inserção de um módulo promotor de convergência para cada uma.
É a estratégia mais indicada para simulação.
Utiliza módulos criados previamente para cada equipamento.Cada módulo contem as equações já ordenadas para dimensionamento ou simulação (Seção 3.3).
*
*
Simulação do Processo Ilustrativo Estratégia Modular
*
W6 =8.594 kg/h T*6 = 150 oC
W10 =36.284 kg/h T*10 = 80 oC
W13 = 36.284 kg/h T13 = 25 oC
W11 = 59.969 kg/h T*11 = 15 oC
W8 = 232.603 kg/h T*8 = 15 oC
W*1 = 150.000 kg/h x*11 = 0,002
T*1 = 25 oC f11 = 300 kg/h f31 = 149.700 kg/h
W7 = 8.594 kg/h T*7 = 150 oC
W5 = 36.284 kg/h T*5 = 80 oC
W3 = 37.477 kg/h x13 = 0,004
T3 = 25 oC f13 = 149 kg/h f23 = 37.328 kg/h
W4 = 1.130 kg/h x14 = 0,12
T4 = 80 oC f14 = 150 kg/h f24 = 1.080 kg/h
W12 = 59.969 kg/h T12 = 29 oC
W12 = 232.603 kg/h T12 = 29 oC
W*14 = 1.080 kg/h T*14 = 25 oC
W2 = 149.850 kg/h x12 = 0,001
T2 = 25 oC f12 = 150 kg/h f32 = 149.700 kg/h
EXTRATOR
Extrato
Rafinado
EVAPORADOR
CONDENSADOR
RESFRIADOR
MISTURADOR
BOMBA
1
2 
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
V*d = 11.859 l
 = 0,0617 h
r = 0,50
A*e = 124 m2
A*c = 119 m2
A*r = 361 m2
W15 = 37.328 kg/h T13 = 25 oC
O fluxograma exibe um reciclo.
A cada iteração o módulo confere a convergência e atualiza o valor de W5
O valor inicial arbitrado para W5 pode ser aquele obtido no
Dimensionamento.
Implementa-se um módulo promotor de convergência: no caso, o de
Substituição Direta.
Seleciona-se uma corrente de abertura com o menor número possível
de variáveis (simplificar o gerenciamento da convergência): no caso, foi 
selecionada a corrente 5 (é preciso gerenciar apenas W5).
*
 Simulação do Processo Ilustrativo - Estratégia Modular
EXTRATOR
RESFRIADOR
MISTURADOR
CONDENSADOR
EVAPORADOR
SS
18. W10 20. Qc 19. c 22'. T9 21. W8 17. W9
24. W13 23. W12 25'. Qr 28. T13 27. T12 26. r
29. W15 30. T15
02. f23 32. f11 31. f31 03. f32 05. T2 07.  06. T3 01' f12 04. f13 08. r
W1 T1 x11 f11 f31
W15 T15
W45 T14
W13 T13
W10 T10
f13 f23 T3
W4 T4 x14 f14 f24
09. f14 13. T4 16. e 15. Qe 12. W6 14. W5 10. f24 11. W7 33. W4 34. x14
T5
T2 f12 f32
W5a
W5c
Repetição até convergir |W5c – W5a| / W5a   erro relativo
*
SUB SimularOProcesso
'----------------------------------------------------------------------------
INPUT "W5= "; W5c
W5$ = "W5 = " + STR$(INT(W5c))
NoDeIteracoes = 0
DO
 W5a = W5c
 SimularOCondensador
 SimularOResfriador
 SimularOMisturador
 SimularOExtrator
 SimularOEvaporador
 MostrarOResultado
 NoDeIteracoes = NoDeIteracoes + 1
 ErroRelativo = ABS(W5a - W5c) / W5a
 PausaSeQuizer
LOOP UNTIL Convergir
END SUB
*
*
Mostrar o Programa BenzoDSO.xls
*
Simulação de Processos com Estrutura Complexa
*
 Uma coisa é simular um processo com apenas um ciclo
*
Outra é simular um processo como este...
*
Outra é simular um processo como este...
Problema:
Estabelecer uma estratégia de cálculo e implementá-la sob a forma de um algoritmo executável em computador.
Cada equipamento é representado por um módulo computacional em que as equações se encontram ordenadas para simulação.
A estratégia de cálculo é a ordem em que os equipamentos devem ser simulados.
*
Simulação de Processos com Estrutura Complexa
Procedimento:
(a) identificação dos ciclos.
(b) seleção das correntes de abertura
(c ) construção do algoritmo de simulação
Dificuldade: os diversos reciclos
*
(a) Identificação dos Ciclos
Pode-se utilizar o Método do Traçado de Percursos (labirinto)
Percorre-se o fluxograma anotando, numa lista dupla, as correntes (LC) e os equipamentos visitados (LE). 
Corrente: 1 2 3 4 
Destino : 1 2 3 1
Um ciclo é identificado ao se chegar a um equipamento já visitado.
Equipamento 1 já visitado : ciclo 2 3 4
*
(a) Identificação dos Ciclos
ALGORITMO RESUMIDO
Colocar uma corrente conhecida na LC (toda corrente colocada fica “aberta”) Colocar o seu destino na LE REPETIR O destino já está na LE: registrar o ciclo formado por todas as correntes abertas após o primeiro registro do destino) e fechar as correntes até à última aberta; tomar a última corrente aberta e colocar seu destino na LE. O destino não está na LE: colocar as suas correntes de saída na LC; colocar o destino da primeira delas na LE. ATÉ NÃO MAIS HAVER CORRENTES ABERTAS 
*
MATRIZ CICLO - CORRENTE
Os Ciclos encontrados são registrados na
*
APLICAÇÃO AO PROBLEMA ILUSTRATIVO
*
C: D:
 1 1
 2 2
 3 3
5 4 1
 C: 1 2 3 5 D: 1 2 3 4
7 6 5
 8 6
11 10 4
 7 C: 1 2 3 5 6 8 11 D: 1 2 3 4 5 6 8
 13 2
C: 1 2 3 5 7 D: 1 2 3 4 7
12 9 5
 8 6
11 10 4
 12 C: 1 2 3 5 7 9 8 11 D: 1 2 3 4 7 5 6 8
13 2
C: 1 2 3 5 7 12 D: 1 2 3 4 7 8
 13 2
Colocar uma corrente conhecida na LC (toda corrente colocada fica “aberta”) Colocar o seu destino na LE REPETIR O destino já está na LE: registrar o ciclo formado por todas as correntes abertas após o primeiro registro do destino) e fechar as correntes até à última aberta; tomar a última corrente aberta e colocar seu destino na LE. O destino não está na LE: colocar as suas correntes de saída na LC; colocar o destino da primeira delas na LE. ATÉ NÃO MAIS HAVER CORRENTES ABERTAS
*
(b) Seleção das Correntes de Abertura
Matriz Ciclo - Corrente
ALGORITMO
Calcular os elementos de C
Repetir
 Identificar a corrente com o maior valor em C (pode ser a primeira encontrada)
 Inscrever a corrente em A
 Remover os ciclos abertos pela corrente (anular os elementos na linhas correspondentes)
 Atualizar C 
Até C = 0
*
*
*
(c) Construção do Algoritmo de Simulação
Abrir C3
REPETIR
Simular E3 (C4,C5)
Simular E1 (C2)
REPETIR
Simular E6 (C10,C11)
Simular E4 (C6,C7 )
Simular E7 (C9, C12)
Simular E5 (C8)
ATÉ Convergir C8
Simular E8 (C13, C14)
Simular E2 (C3)
ATÉ Convergir C3
Abrir C8
Corrente 1: única conhecida
*
3.1 Equações Não-Lineares
 3.1.1 Representação
 3.1.2 Métodos Numéricos .
3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares
 3.2.1 Estrutura e representação
 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações
3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos
3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos
 3.4.1 Estratégia Global
 3.4.2 Estratégia Modular
 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento
 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade
*
3.5 INCERTEZA E ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
modelos matemáticos: aproximações lineares, coeficientes 
 constantes...
A Análise de Processos é executada em ambiente de muita incerteza.
A avaliação dos efeitos da incerteza é efetuada através da
(b) parâmetros físicos e econômicos: valores incertos (aproximados e variáveis).
Fontes de incerteza:
Análise de Sensibilidade
*
MODELAGEM MATEMÁTICA
01. f11 - f12 - f13 = 0 02. W15 - f23 = 0 03. f31 - f32 = 0 04. k – (3 + 0,04 Td) = 0 05. k - x13 / x12= 0 06. (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 0 07. Vd -  (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 0 08. r - f13/f11 = 0 09. T2 – Td = 0 10. T3 – Td = 0
11. f13 - f14 = 0	
12. f23 - f24 - W5 = 0	
13. W6 - W7 = 0	
14. W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 0	
15. Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 0	
16. Qe - Ue Ae e = 0	
17. e - (T6- Te) = 0 18. T4 – Te = 0 19. T5 – Te = 0
20. W8 - W9 = 0	
21. W5 - W10 = 0	
22. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 0	
23. W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 0	
24. Qc - Uc Ac c = 0	
25. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0
26. W11 - W12 = 0	
27. W10 - W13 = 0	
28. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 0	
29. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 0	
30. Qr - Ur Ar r = 0	
31. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0
32. W13 + W14 - W15 = 0	
33. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 0