MATEMÁTICA FINANCEIRA (1)

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
Reinaldo Cafeo 
www.economiaonline.com.br 
cafeo@economiaonline.com.br 
 
Introdução 
 A Matemática Financeira teve seu 
início exatamente quando o homem 
criou os conceitos de Capital, Juros, 
Taxas e Montante. Daí para frente, 
os cálculos financeiros tornaram-se 
mais justos e exatos, mas é preciso 
conhecê-los, se possível muito bem. 
 
Tópicos 
 Regime de Juros Simples 
 Método Hamburguês 
 Desconto de Duplicatas 
 Juros Compostos 
 Fluxo de Caixa 
 Taxa Nominal x Taxa Efetiva 
 Série Uniforme de Pagamentos 
 Valor Presente Líquido 
 Taxa Interna de Retorno 
Conceitos 
 Capital (C ou PV) é o valor – 
normalmente dinheiro – que você 
pode aplicar ou emprestar. Também 
chamado de Capital Inicial ou 
Principal, representado pela letra “C” 
ou “PV” (Valor Presente – 
abreviação das palavras 
correspondentes em inglês a 
Present Value. Adotaremos “PV”). 
Conceitos 
 JURO é a remuneração do capital 
empregado. 
 Para o INVESTIDOR: é a 
remuneração do investimento 
 Para o TOMADOR: é o custo do 
capital obtido por empréstimo 
Conceitos 
 TAXA DE JUROS: é o índice que 
determina a remuneração de um 
capital num determinado período de 
tempo (dias, meses, anos, etc.) 
 Esse período é representado pela 
letra “n” ou “t”. 
 Taxa percentual: 34% ao mês 
 Taxa unitária: 0,34 ao mês 
Conceitos 
 MONTANTE (M) ou VALOR 
FUTURO (FV – abreviação das 
palavras correspondentes em inglês 
a Future Value) é o capital inicial 
acrescido do rendimento obtido 
durante o período de aplicação e 
representado pela letra “M” ou “FV”, 
ou seja: 
 M = C + J ou FV = PV + J 
Regime de Juros 
 Existem dois regimes de juros: 
 A) simples 
 B) compostos 
Juros Simples 
 No regime de juros simples, a taxa 
incide sobre o capital inicial aplicado, 
sendo proporcional ao seu valor e ao 
tempo de aplicação. 
 
Juros Simples 
 Exemplo 1: Para um capital de $ 
100.000, aplicado à taxa de 10% ao 
mês, durante 3 meses, teríamos: 
 
n PV J juros acumulados Montante (PV+J)
10%
0 100.000 0 0 100.000
1 100.000 10.000 10.000 110.000
2 100.000 10.000 20.000 120.000
3 100.000 10.000 30.000 130.000
Juros Simples 
 Dedução da fórmula: 
 J = PV x i 
100 
 Para os juros acumulados: 
 J = PV . i . n 
 100 
Juros Simples 
 Se: FV = PV + J, temos 
 FV = PV + PV . i . n 
 100 
 Assim: 
 FV = PV (1 + i . n) 
 100 
Juros Simples 
 Os juros simples têm crescimento 
constante ao longo do período de 
aplicação. 
 Os juros simples podem ser: 
 Exatos: calendário civil (365 ou 366 
dias) 
 Ordinários: calendário comercial 
(mês 30 dias, ano de 360 dias) 
Juros Simples 
 Exemplo 2: O Sr. Theobaldo aplicou 
$ 50.000, a juros simples de 5% ao 
mês, por 90 dias. Quanto rendeu 
sua aplicação? Quanto resgatou? 
Juros Simples 
 Observe que o período da aplicação 
está em dias e taxa ao mês. Nesse 
caso precisamos transformá-los para 
mesma periodicidade, ou seja, ou 
passamos a taxa ao dia (dividindo-a 
por 30) ou encontramos o número 
de meses que temos em 90 dias 
(dividindo por 30). Vamos 
transformar “n” em meses: 
 
Juros Simples 
 n = 90 / 30 = 3 meses 
 Aplicando na fórmula: 
 J = 50.000 x 5 x 3 
 100 
 J = 7.500 
 FV = 50.000 + 7.500 
 FV = 57.500 
Juros Simples 
 Contas garantidas e o Método 
Hamburguês 
 Como calcular os juros sobre as 
contas garantidas de pessoas 
jurídicas, ou mesmo sobre contas de 
cheques especiais de pessoas 
físicas? 
 
Juros Simples 
 Essas contas são, na realidade, 
formas de crédito rotativo nas quais 
são definidos limites máximos para 
utilização de recursos. O cliente 
saca a descoberto e juros são 
calculados periodicamente sobre o 
saldo médio utilizado. 
Juros Simples 
 Na maioria dos bancos, os encargos 
financeiros sobre os saldos devedores são 
calculados por capitalização simples, 
através do denominado “Método 
Hamburguês”. 
 Por este método, os juros devidos são 
calculados da seguinte forma: multiplica-se 
a taxa de juros pelo produto do saldo 
devedor e da quantidade de dias que 
esses valores tenham permanecido 
devedores. 
Juros Simples 
 Exemplo 3: O Sr. João Oliveira 
mantém um cheque especial no 
Banco Millenium, com de limite de $ 
25.000. Ao final do mês de abril/96, 
o Banco expede um extrato com a 
movimentação financeira naquele 
mês. Sabendo-se que os encargos 
eram de 12% ao mês, determinar o 
total a ser pago pelo Sr. João. 
Juros Simples 
 
Data Histórico Débito ou Crédito Saldo (D/C)
$ $
01/04/96 Saldo anterior 0 2.250,00 C
03/04/96 Cheque 10.000,00 D -7.750,00 D
08/04/96 Débito automático 5.250,00 D -13.000,00 D
10/04/96 Depósito On line 14.000,00 C 1.000,00 C
24/04/96 Saque 1.500,00 D -500,00 D
29/04/96 Transferência on line 2.500,00 D -3.000,00 D
Extrato de Movimentação Financeira
Juros Simples 
Data Saldo (D/C) $ Número de dias a A x B
A descoberto (B)
01/04/96 2.250,00 0 0
03/04/96 -7.750,00 5 38.750,00 
08/04/96 -13.000,00 2 26.000,00 
10/04/96 1.000,00 0 0
24/04/96 -500,00 5 2.500,00 
29/04/96 -3.000,00 1 3.000,00 
Total 70.250,00 
Tabela para Cálcudo dos juros a serem pagos
Juros Simples 
 Juros = 70.250 x 0,12/30 
 Juros = $ 281,00 
Descontos 
 Conceito: a chamada operação de 
desconto normalmente é realizada 
quando se conhece o valor futuro de 
um título (valor nominal, valor de 
face ou valor de resgate) e se quer 
determinar o seu valor atual. 
 
Descontos 
 Fórmula: D = FV – PV 
 Onde: 
 D = valor monetário do desconto 
 FV = Valor Futuro (Valor de Face) 
 PV = Valor Presente (Valor creditado 
ou pago ao seu titular) 
Descontos 
 O critério mais utilizado pelo 
mercado é o chamado desconto 
simples, que envolve cálculos 
lineares, com um detalhe: o taxa no 
período incide sobre o valor futuro e 
não sobre o valor presente (como 
são as demais operações) 
Descontos 
 Conhecido no mercado financeiro 
como desconto bancário ou 
comercial, o desconto simples é 
obtido multiplicando-se o valor de 
resgate do título pela taxa de 
desconto e pelo prazo a decorrer até 
o seu vencimento, ou seja: 
Descontos 
 D = FV x i x n 
 Onde: 
 D = Valor do Desconto ($) 
 FV = Valor Futuro ou de Face 
 i = taxa de desconto 
 n = o prazo 
 
 
Descontos 
 Para se obter o chamado valor 
descontado (ou valor presente), 
basta subtrair o valor do desconto do 
valor futuro do título, como segue: 
 PV = FV - D 
Descontos 
 Assim, temos as duas fórmulas 
básicas: 
 D = FV x i x n 
 PV = FV - D 
Descontos 
 Exemplos: 
 1- Qual o valor do desconto simples de um 
título de $ 2.000,00, com vencimento para 
90 dias, à taxa de 2,5% ao mês? 
 Dados: 
 FV = 2.000,00 
 n = 90 dias = 3 meses 
 i = 2,5% ao mês 
 
 
Descontos 
 D = FV x i x n 
 D = 2.000 x 0,025 x 3 
 D = 150,00 
Descontos 
 Cálculo do valor do desconto 
simples para séries de títulos de 
mesmo valor: 
 Fórmulas: 
 PVt = FV x N - Dt 
 Dt = FV x N x i x t1 + t2 
 2 
Descontos 
 Onde: 
 Dt = valor do desconto total 
 N = número de títulos 
 i = taxa de juros 
 t1 + t2 = prazo médio dos títulos 
 2Descontos 
 Exemplo: Calcular o valor líquido 
correspondente ao desconto 
bancário de 12 títulos, no valor de $ 
1.680,00 cada um, vencíveis de 30 a 
360 dias, respectivamente, sendo a 
taxa de desconto cobrada pelo 
banco de 2,5% ao mês. 
Descontos 
 Dados: 
 FV = 1.680,00 
 N = 12 
 t1 = 1 
 tn = 12 
 Pt = ? 
 i = 2,5% 
 
Descontos 
 Solução: 
 Dt = 1.680,00 x 12 x 0,025 x 1 + 12
 2 
 Dt = 3.276,00 
 Pt = (1.680,00 x 12) – 3.276,00 
 Pt = 16.884,00 
 
Descontos 
 Taxa Efetiva de Desconto (ie) 
 É aquela que, como o próprio nome diz, 
remunera efetivamente uma operação de 
desconto. 
 Há uma mudança de enfoque, veja: 
 A loja de eletrodomésticos, ao permitir que 
seus clientes paguem 30 dias após a 
compra, está realidade, abdicando de 
receber $ 900,00, hoje, para receber $ 
1.000,00 daqui a um mês. Quanto ganhará 
com isso? 
 
Descontos 
 O rendimento será de $ 100,00 
sobre os $ 900,00 de hoje. A taxa de 
remuneração ou taxa efetiva será: 
 Ie = 100/900 x 100 = 11,11%. 
Descontos 
 Assim podemos dizer: 
 A taxa nominal de desconto (id) 
incide sobre o valor nominal do 
título. Já a taxa efetiva de desconto 
(ie) é aplicada sobre o valor líquido 
da operação. 
 
Descontos 
 ie = id x 100 
 100 – id 
 Onde: 
 ie = taxa efetiva de desconto 
 id = taxa nominal de desconto 
Juros Simples: Exercícios 
 01- Qual o montante (capital + juros) 
acumulado em 7 meses, a uma taxa de 
10% a.m., no regime de juros simples, a 
partir de um principal de $ 200,00? 
 02- Qual o capital necessário para obter 
um montante de $ 970,00, daqui a 3 
semestres, a uma taxa de 42% ao 
semestre, no regime de juros simples? 
 03- Qual a taxa mensal de juros simples 
que transforma um capital de $ 350,00 
num montante de $ 570,50, daqui a 7 
meses? 
 
Juros Simples: Exercícios 
 04- Calcular os juros simples recebidos em 
uma aplicação de $ 100,00, a uma taxa de 
10,00% a.m., num prazo de 15 dias. 
 05- A que taxa devemos emprestar $ 
97,00, a juros simples, para que em 10 
meses ele duplique? 
 06- Utilizar o Método Hamburguês para 
apurar os juros a serem pagos em uma 
conta de crédito rotativo de pessoa 
jurídica, que apresenta as seguintes 
características: taxa de juros: 10% ao mês; 
limite de crédito: $ 200.000,00 
Juros Simples: Exercícios Data Histórico Débito ou Crédito Saldo (D/C)
$ $
01/06/02 Saldo anterior 0 0,00 C
05/06/02 Cheque 40.000,00 D -40.000,00 D
09/06/02 Saque 8.000,00 D -48.000,00 D
15/06/02 Depósito 48.000,00 C 0,00 C
23/06/02 Av. de débito 32.000,00 D -32.000,00 D
29/06/02 Saque 10.500,00 D -42.500,00 D
Extrato de Movimentação Financeira
Juros Simples: Exercícios 
 07- Qual a taxa mensal de desconto 
utilizada numa operação a 120 dias cujo 
valor de resgate é de $ 1.000,00 e cujo 
valor atual é de $ 800,00? 
 08- Uma duplicata no valor de $ 6.800,00 é 
descontada por um banco, gerando um 
crédito de $ 6.000,00 na conta do cliente. 
Sabendo-se que a taxa cobrada pelo 
banco é de 3,2% ao mês, determinar o 
prazo de vencimento da duplicata. 
Juros Simples: Exercícios 
 09- Calcular o valor líquido creditado na 
conta de um cliente, correspondente ao 
desconto de uma duplicata no valor de $ 
34.000,00, com prazo de 41 dias, 
sabendo-se que o Banco está cobrando 
nessa operação uma taxa de desconto de 
4,7% ao mês. 
 10- O desconto de uma duplicata gerou 
um crédito de $ 70.190,00 na conta de 
uma empresa. Sabendo-se que esse título 
tem um prazo a decorrer de 37 dias até o 
seu vencimento e que o Banco cobra uma 
taxa de desconto de 5,2% ao mês nessa 
operação, calcular o valor da duplicata. 
Juros Simples: Exercícios 
 11- Quatro duplicatas, no valor de $ 
32.500,00 cada uma, com vencimento para 
90, 120, 150 e 180 dias, são apresentadas 
para desconto. Sabendo-se que a taxa de 
desconto cobrada pelo banco é de 3,45% 
ao mês, calcular o valor do desconto. 
 12- Uma empresa apresenta 9 títulos de 
mesmo valor para serem descontados em 
um banco. Sabendo-se que a taxa de 
desconto é de 2,8% ao mês, que os títulos 
vencem de 30 em 30 dias, a partir da data 
de entrega do borderô, e que o valor 
líquido creditado a empresa foi de $ 
25.000,00, calcular o valor de cada título. 
Juros Simples: Exercícios 
 13-Um consumidor deseja liquidar 
antecipadamente 6 prestações restantes 
de um financiamento obtido para a compra 
de um bem. Sabendo-se que o valor de 
cada prestação é de $ 30.000,00; que a 
primeira prestação vence a 30 dias de hoje 
e a última a 180 dias; e que o desconto 
dado pelo credor é de 1% ao mês 
(desconto simples ou bancário), calcular o 
valor a ser pago pelo financiado para 
liquidar o contrato. 
Juros Simples: Exercícios 
 14- Oito títulos, no valor de $ 1.000,00 
cada um, são descontados por um banco, 
cujo líquido correspondente, no valor de $ 
6.830,00, é creditado na conta do cliente. 
Sabendo-se que os vencimentos desses 
títulos são mensais e sucessivos a partir 
de 30 dias, calcular a taxa de desconto. 
 15- Calcular a taxa efetiva de desconto, 
dada a taxa nominal de 3% ao mês. 
 16- Calcular a taxa efetiva de desconto, 
para o prazo de 45 dias, para uma 
operação com taxa nominal de 3,3% ao 
mês. 
Juros Compostos 
 No regime de juros compostos, os juros 
obtidos a cada novo período são 
incorporados ao capital, formando um 
montante que passará a participar da 
geração de juros no período seguinte, e 
assim sucessivamente. Dessa forma, não 
apenas o capital inicial rende juros, mas 
eles são devidos a cada período de forma 
cumulativa. Daí serem chamados juros 
capitalizados. 
Juros Compostos 
 PV = Capital inicial 
 n = Números de períodos 
 FV = Montante no regime de juros 
compostos 
 No regime de juros compostos, a taxa de 
juros (i) incide sobre o montante (PV+J) do 
período anterior. Portanto, difere do regime 
de juros simples, em que a incidência é 
sempre sobre o capital inicial (PV). 
Juros Compostos 
 Exemplo 1: Para um capital de $ 
100.000,00, aplicado à taxa de 10% 
ao mês, em juros compostos, por 3 
meses, teríamos: 
Juros Compostos 
n PV J juros acumulados Montante (PV+J)
10%
0 100.000 0 0 100.000
1 100.000 10.000 10.000 110.000
2 110.000 11.000 21.000 121.000
3 121.000 12.100 33.100 133.100
Juros Compostos 
 Observe que os juros são cobrados 
a cada período de capitalização que, 
neste caso, é mensal. No período 
n=0, o capital ainda não rendeu 
juros, pois é nesse momento que a 
aplicação se inicia. A remuneração 
(juros) de cada período é obtida pela 
multiplicação do montante do 
período anterior pela taxa de juros. 
Juros Compostos 
 A) Primeiro período: 
 Juros: J1 = PV x i 
 100 
 J1 = 100.000 x 10/100 = 10.000 
 Montante: FV1 = PV + PV x i 
 100 
 FV1 = PV ( 1 + i ) 
 100 
 Montante do primeiro período 
 
Juros Compostos 
 B) Segundo Período 
 Juros: J2 = FV1 x i 
 100 
 J2 = 110.000 x 10/100 = 11.000 
 Verifique que o juro aumentou em 1.000, 
que corresponde à parcela incidente sobre 
os juros do período anterior (10.000 x 
10/100). Por isso os juros compostos são 
chamados de juros sobre juros. 
 
 
Juros Compostos 
 Montante: FV2 = FV1 + J2 
 FV2 = FV1 + FV1 x i 
 100 
 FV2 = FV1 ( 1 + i ) 
 100 
 FV2 = PV ( 1 + i ) x ( 1 + i ) 
 100 100 
 FV2 =PV ( 1 + i )
2 Montante 2.º período 
 100 
 
Juros Compostos 
 C) Terceiro Período: 
 Juros: J3 = FV2 x i 
 100 
 J3 = 121.000 x 10/100 = 12.100 
 
 Montante: FV3 = FV2 + J3 
 FV3 = FV2 + FV2 x i 
 100 
 FV3 = PV ( 1 + i ) 
2 x ( 1 + i ) 
 100 100 
 FV3 = PV ( 1 + i )
3 Montante 3.º período 
 100 
 
 
 
Juros Compostos 
 Portanto, generalizando a fórmula 
para “n” períodos, temos: 
 FVn = PV ( 1 + i )
n 
 100 
 ESTA É A FÓRMULA GERAL DE 
JUROS COMPOSTOS. 
 
Juros Compostos 
 Observação: 
 A unidade de tempo utilizada para o 
período (n) deve ser a mesma da 
taxa de juros (i), ou seja, se o 
período (n) é dado em: 
 Dia – taxa em dia (i% a.d.); 
 Mês – taxa em mês (i% a.m.); 
 Ano – taxa em ano (i% a.a.) 
Juros Compostos 
 Outro exemplo: Uma aplicação de $ 
50.000,00, pelo prazo de 3 meses, a 
uma taxa de 5% a.m. (0,05 a.m.), 
capitalizável mensalmente, quanto 
renderá? 
 FVn = PV ( 1 + i )
n 
 100 
 
 
Juros Compostos 
 FV = 50.000 ( 1,05 )
3 
 FV = 57.881,25 
 Esse é montante, os juros (rendimentos) 
são: 
 J = MONTANTE – CAPITAL INICIAL 
 J = 57.881,25 – 50.000,00 
 J = 7.881,25 
 Veja o que ocorreu em cada período no 
quadro a seguir: 
 
Juros Compostos 
 
Período Capital Taxa Juros do Período Montante
n PV i J FV
1 50.000,00 5% 2.500,00 52.500,00 
2 52.500,00 5% 2.625,00 55.125,00 
3 55.125,00 5% 2.756,25 57.881,25 
Juros Compostos - 
Exercícios 
 01- Encontrar o montante a ser recebido 
por uma aplicação em juros compostos de 
$ 1.000,00, remunerada a 8,35% ao mês 
durante 10 meses. 
 02- Você deposita a importância de $ 
150,00 em um banco que paga as 
seguintes taxas: 4,5% a.m. no primeiro 
mês de investimento, 5,30% a.m. no 
segundo mês e 5,89% a.m. no terceiro 
mês. Determine o montante que ela 
resgatará após os 3 meses de 
investimento. 
Juros Compostos: 
Exercícios 
 03-Determine o montante produzido pelo 
capital de $ 770,00, aplicado a uma taxa 
de 12,49% a.t., durante 15 meses, com 
capitalização trimestral. 
 04- Calcule o valor de $ 250,00 para os 
próximos 2, 3 e 6 meses, se a taxa se 
mantiver em 3,8% a.m. 
 05- Quanto valia há 8 meses, e quanto 
valerá daqui a 5 meses $ 170,00, 
considerando-se uma taxa de 4,9% a.m.? 
Juros Compostos: 
Exercícios 
 06- Calcular o montante de uma aplicação 
de $ 15.000,00, pelo prazo de 6 meses, à 
taxa de 3% ao mês. 
 07- No final de dois anos, o Sr. Pedro 
deverá efetuar um pagamento de $ 
200.000,00 referente ao valor de um 
empréstimo contraído hoje, mais os juros 
devidos, correspondentes a uma taxa de 
4% ao mês. Pergunta-se: qual o valor 
emprestado? 
Juros Compostos: 
Exercícios 
 08- Determinar o montante correspondente 
a uma aplicação de $ 10.000,00, pelo 
prazo de 7 meses, a uma taxa de 3,387% 
ao mês. 
 09- Determinar o montante, no final de 10 
meses, resultante da aplicação de um 
capital de $ 100.000,00 à taxa de 3,75% 
ao mês. 
 10- Uma empresa obtém um empréstimo 
de $ 700.000,00 que será liquidado, de 
uma só vez, no final de dois anos. 
Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% 
ao semestre, calcular o valor pelo qual 
esse empréstimo deverá ser quitado. 
Juros Compostos: 
Análise de Taxas 
 Muitas vezes, no momento da tomada da 
decisão de realizar uma Operação 
Financeira, nos deparamos com taxas em 
“tempos diferentes”. Essas diferenças se 
não forem reajustadas podem causar 
conclusões errôneas, como por exemplo, 
“achar” que 1% ao dias é igual a 30% ao 
mês. 
 Para que não ocorra tal conclusão, vamos 
utilizar sempre que for necessário, a 
fórmula de “Taxas Equivalentes” no regime 
composto. 
Juros Compostos: 
Análise de Taxas 
 Equivalência de Taxas (fórmula 
adaptada) 
 Fórmula : 
 Taxa que eu quero = [(1 + taxa que eu tenho) prazo que eu quero -1] x 100 
– prazo que eu tenho 
 Ou seja: 
 iq = [(1+it)nq –1] x 100 
 nt 
 
Juros Compostos: 
Análise de Taxas 
 
i tenho 20% a.m. 10% a.m. 5% a.d. 120%a.a
. 
i quero a.d. a.a. a.s. a.t. 
Resultado 
Juros Compostos: 
Análise de Taxas - 
Exercícios 
 01- Qual a taxa mensal equivalente a 
460% ao ano? 
 02- Calcule a taxa anual equivalente a 
13,14% ao mês. 
 03- Calcular a taxa trimestral equivalente a 
uma taxa de 360% ao ano. 
 04- Calcule a taxa mensal equivalente a 
413% ao ano. 
 05- Determinar a taxa diária equivalente a 
25% ao trimestre. 
Juros Compostos: 
Análise de Taxas - 
Exercícios 
 06- Calcule a taxa semestral equivalente a 
5,3% ao mês. 
 07- Determine a taxa diária equivalente a 
15% ao mês. 
 08- Determine a taxa bimestral equivalente 
a 40% ao semestre. 
 09- Calcule as taxas diárias, mensal, 
trimestral, semestral e anual para 365 dias, 
equivalente a 10,70% ao bimestre. 
Taxa Nominal x Taxa 
Efetiva 
 Taxa nominal (in) 
 É uma taxa referente a um período 
que não coincide com o período de 
capitalização de juros. A taxa 
nominal não corresponde, de fato, 
ao ganho/custo financeiro do 
negócio. Geralmente, tem 
periodicidade anual e aparece em 
contratos financeiros. 
Taxa Nominal x Taxa 
Efetiva 
 Lembre-se, na taxa nominal emprega-se 
uma unidade de tempo que não coincide 
com a unidade de tempo dos períodos de 
capitalização! 
 Exemplo 1: 
 35% ao ano, com capitalização mensal; 
 16% ao ano, com capitalização semestral; 
 8 % ao mês, com capitalização diária. 
Taxa Nominal x Taxa 
Efetiva 
 Veja bem: A taxa nominal é muito utilizada 
no mercado, quando da formalização dos 
negócios. Não é, porém, utilizada 
diretamente nos cálculos, por não 
corresponder, de fato, ao ganho/custo 
financeiro do negócio. 
 A taxa que representa o efetivo 
ganho/custo financeiro do negócio é a 
TAXA EFETIVA. 
Taxa Nominal x Taxa 
Efetiva 
 Taxa Efetiva (ie) 
 É a que corresponde, de fato, ao 
ganho/custo financeiro do negócio. Toda 
taxa, cuja unidade de tempo coincide com 
o período de capitalização dos juros, é 
uma taxa efetiva. 
 Exemplo 2: 
 40% ao ano, com capitalização anual; 
 18% ao semestre, com capitalização 
semestral; 
 4% ao mês, com capitalização mensal. 
Taxa Nominal x Taxa 
Efetiva 
 Como se obtém a taxa efetiva para o 
período de capitalização de juros? 
 a) A partir de uma taxa nominal 
 Neste caso, você aplica o conceito 
de taxas proporcionais (juros 
simples): 
Taxa Nominal x Taxa 
Efetiva 
 Ie = i n 
 k 
Onde: 
i e = taxa efetiva para o período de 
capitalização 
i n = taxa nominal 
k = número de capitalizações contidas 
no período da taxa nominal 
 
Taxa Nominal x Taxa 
Efetiva 
 Exemplo 3: 
 36% ao ano, com capitalização 
mensal: 
 (1 ano = 12 meses)  k = 12 
 Ie = i n = 36 = 3 % ao mês 
 k 12 
 
Taxa Nominal x Taxa 
Efetiva 
 Calcule: 
 01- 48% ao ano, com capitalização 
semestral. 
 02- 10% ao ano, com capitalização 
trimestral. 
 03- 30% ao mês, com capitalização 
anual. 
 04- 2% ao dia, com capitalização 
mensal. 
Taxa Nominal x Taxa 
Efetiva 
 b) Obtenção da taxa efetiva a partir 
de outra taxa efetiva, cuja unidade 
de tempo é diferente do período de 
capitalização dos juros. 
Aqui se aplica o conceito de taxas 
equivalentes (juros compostos). 
Taxa Nominal x Taxa 
Efetiva 
 Exemplo: 
 A partir da taxa nominal de 36% ao ano, 
cuja taxa efetiva é de 3% ao mês, 
determinar a taxa efetiva anual 
equivalente. 
 iq = [(1+it)^nq/nt – 1 ] x 100 
 iq = [(1,03)^12/1 – 1] x 100 
 Taxa equivalente = 42,58% ao ano. 
 Assim: A taxa efetiva anual equivalente à 
taxa efetiva de 3% ao mês é de 42,58%, 
enquanto que a taxa nominal ao ano é de 
36%. 
 
Taxa Nominal x Taxa 
Efetiva 
 01- Qual a taxa efetiva mensal e a taxa 
efetiva anual equivalente da caderneta de 
poupança? 
 02- Dada a taxa de 60% ao ano, com 
capitalização bimestral, calcule a taxa 
efetiva ao ano. 
 03- Obter a taxa efetiva anual equivalente 
a uma taxa nominal de 24% ao ano, com 
período de capitalização mensal. 
Taxa Nominal x Taxa 
Efetiva 
 04- Determine a taxa efetiva mensal 
equivalente a uma taxa nominal de 7,5% 
ao mês com capitalização diária 
(calendário comercial). 
 05- Obter a taxa efetiva anual equivalente 
a uma taxa nominal de 78,01% ao ano 
com capitalização semestral. 
 06- Foi aplicado $ 10.000,00 à taxa de 
60,00% ao mês capitalizada diariamente. 
Determine o montante resgatado ao final 
de 4 dias. 
Taxa Nominal x Taxa 
Efetiva 
 Complete o quadro a seguir, 
calculando as taxas efetivas 
correspondentes à taxas nominais 
dadas: 
 
Taxa Nominal x Taxa 
Efetiva 
 
Taxa Capitalização trimestre semestre ano 33 dias
A 7,97% a.a. mensal
B 45% a. s mensal
C 8,5% a.a. semestral
D 17% a.m. diária
E 6% a.a. bimestral
F 1,51% a.t. diária
Taxa Nominal Taxa Efetiva
Taxas Unificadas (iu) 
 Algumas modalidades financeiras 
possuem taxas compostas por um 
indexador e determinada taxa de juros. 
 É o caso, por exemplo, da caderneta de 
poupança. Seu rendimento é TR (Taxa 
Referencial) mais 0,5% ao mês. 
 O rendimento total é obtido com a 
unificação dessas duas taxas. Veja bem: 
unificar as taxas e não somar as taxas! 
Taxas Unificadas (iu) 
 A utilização de taxas unificadas é muito útil 
em regimes de economia inflacionária, 
como no caso vivido no Brasil, onde vários 
indexadores – na verdade taxas de 
correção monetária – são colocadas no 
mercado (IGP-M, TR, etc) para tentar zerar 
ou equilibrar a perda monetária provocada 
pela inflação. 
 Nosso problema é, tendo duas taxas (i1 e 
i2), torná-las única iu de forma que 
provoque o mesmo ganho/custo financeiro, 
se aplicadas isoladamente uma sobre a 
outra. 
Taxas Unificadas (iu) 
 Cuidado! Unificar duas taxas não 
significa somá-las: 
 i u = i 1 + i 2 
 A fórmula de unificação é: 
 i u = [ ( 1 + i1 ) x ( 1 + i2 ) –1 ] x 100 
 
Taxas Unificadas 
 01: A TR que remunera a caderneta de 
poupança para o dia 22/01 é 0,328%. 
Calcular o rendimento total proporcionado às 
poupanças desta data. 
 02- Unificar as taxas 10% ao mês e 5% ao 
mês. 
 03- O Governo resolve dar reajuste de 30% 
aos funcionários públicos, sendo a primeira 
parcela de 10% em janeiro e o restante em 
março. Calcular o percentual da segunda 
parcela. 
 04- Encontrar a taxa unificada referente à 
atualização monetária de 15% e taxa de 
juros de 1,3% incidentes sobre o mesmo 
capital. 
 
Taxas Unificadas 
 05- Unificar as seguintes taxas: 
 a) 30% e 2% 
 b) 115% e 10% 
 c) 0,8426% e 0,5% 
 d) 13%, 12%, 5% e 4% 
 06- Encontrar a taxa que atinja um reajuste 
total de 80%, dado em duas parcelas, 
sendo a primeira de 40%. 
 07- Qual é o percentual de reajuste que 
falta para atingir o aumento salarial de 
35%, em duas parcelas, sendo que a 
primeira foi de 10%? 
Taxa Real 
 É importante ressaltar que muita 
gente confunde taxa efetiva com 
taxa real. 
 TAXA REAL (i r ) é a taxa efetiva (i e ) 
excluída dos efeitos inflacionários (I). 
TAXA REAL refere-se a JURO 
REAL, que pode ser um GANHO 
REAL ou um CUSTO FINANCEIRO 
REAL. 
Taxa Real 
 Fórmula: 
 
 i r = ( 1 + i e - 1 ) x 100 
 1 + I 
 
Taxa Real 
 01- Se um determinado banco conceder a 
seus funcionários um reajuste de 25% para 
um período de 12 meses em que a inflação 
tiver sido de 20%, qual será o ganho real? 
 02- Foi emprestado um capital, à taxa de 
26,83%, a título de juros e correção 
monetária. Sabendo-se que a inflação no 
período foi de 23,79%, calcular a taxa real. 
 03- Emprestamos um dinheiro a 4,36%. Se 
a inflação foi de 1% no período, qual a taxa 
real da operação? 
 
Taxa Real 
 04- Um gerente empresta um dinheiro à 
taxa de 8,00% ao mês. A inflação do mês 
foi de 0,80%. Quanto foi a taxa real? 
 05- Um capital de $ 300,00 foi aplicado 
durante 3 meses, e resultou $ 373,37. 
Sabendo-se que a inflação média mensal 
foi de 1,20%, calcule: 
 a) taxa efetiva mensal; 
 b) taxa real mensal. 
Taxa Real 
 06- Um cliente aplicou $ 2.500,00 em um 
fundo de renda variável e obteve $ 
2.518,75. Considerando que a inflação no 
período foi de 1,3%, calcular o ganho ou 
perda real do investimento. 
 07- Um capital de $ 789.000,00 foi 
aplicado durante 5 meses e resultou em $ 
2.483.464,50. Se a inflação média mensal 
no período foi 25,10%, calcule: 
 a) taxa efetiva no período; 
 b) taxa real no período; 
 c) taxa efetiva mensal; 
 d) taxa real mensal. 
Taxa Over 
 Com base no cenário financeiro, o Banco 
Central do Brasil realiza, periodicamente, 
leilões de Títulos Públicos (LTN, LBC, etc), 
dando oportunidade às Instituições 
Financeiras de adquirirem esses papéis. 
 Diante da expectativa de inflação, os 
bancos interessados tentam obter o maior 
desconto (deságio) possível, como no 
exemplo: 
Taxa Over 
 01- Um banco adquire um título, com 
vencimento para 30 dias, por $ 800,00, 
cujo preço de face é $ 1.000,00. Note que 
se trata de uma operação de desconto cuja 
taxa é de 20%. 
 Passo 1: Calcular a taxa efetiva, no caso, 
25% (para 30 dias). 
 O mercado financeiro considera apenas os 
dias úteis, não os dias corridos, como no 
cálculo acima. Imaginemos, assim, que 
este período (30 dias corridos) contenha 
22 dias úteis e que desejamos encontrar a 
taxa efetiva para 1 dia útil. 
Taxa Over 
 Passo 2: Calcular a taxa equivalente 
(importante: 25% já a taxa efetiva 
para 22 dias úteis): 
 Taxa Equivalente = 1,02% a.d. 
 Se multiplicarmos este resultado por 
30 obtemos uma taxa nominal 
mensal: 1,02 x 30 = 30,58% ao mês. 
 A ESTA TAXA NOMINAL DÁ-SE O 
NOME DE TAXA OVER. 
 
Taxa Over 
 Taxa Over é uma taxa nominal, 
mensal, que o mercado adotou para 
mensurar e/ou comparar ativos 
financeiros. É tão somente a taxa 
efetiva de 1 (um) dia, multiplicado 
por 30. 
 Taxa Over = Taxa Efetiva (dia) x 30 
Taxa Over 
 02- Determinar a taxa over 
considerando a compra de um título 
público, com vencimento para 28 
dias corridos (17 dias úteis) por $ 
918,70, cujo preço de face é $ 
1.000,00. 
Séries Uniformes de Pagamentos 
e de Desembolsos 
 Diz-se que uma série é uniforme 
quando todos os seus termos 
(pagamentos ou desembolsos) são 
iguais e é feita em períodos 
homogêneos (a cada dia, mês, 
bimestre, semestre, ano, etc.). 
 
Séries Uniformes de Pagamentos 
e de Desembolsos 
 Vejamos o fluxo abaixo: 
 Série de Pagamentos 
 PV 
 0 1 2 3 4 5 
Séries Uniformes de Pagamentos 
e de Desembolsos 
 Série de desembolsos 
 
 
 0 1 2 3 4 FV 
Séries Uniformes de Pagamentos 
e de Desembolsos 
 Quando as entradas ou saídas 
destinam-se ao pagamento de umadívida, chamam-se SÉRIES 
UNIFORMES DE PAGAMENTOS 
 Quando destinam-se a constituir um 
capital futuro, tomam o nome de 
SÉRIES DE DESEMBOLSO. 
Séries Uniformes de Pagamentos 
e de Desembolsos 
 Principais fórmulas utilizadas em 
séries uniformes 
 Tabela financeira; 
 1- FACs (Fator de Acumulação de 
Capital) 
 Dado o Valor Presente, achar o 
Valor Futuro 
 FACs = ( 1 + i ) n 
Séries Uniformes de Pagamentos 
e de Desembolsos 
 02- FAC (relativo a uma série 
uniforme de pagamento) 
 Dada a Prestação, achar o Valor 
Futuro. 
 FAC = ( 1 + i ) n - 1 
 i 
Séries Uniformes de Pagamentos 
e de Desembolsos 
 03- FVAs (Fator de Valor Atual) 
 Dado o Valor Futuro, achar o Valor 
Presente. 
 FVAs = 1 
 ( 1 + i ) n 
Séries Uniformes de Pagamentos 
e de Desembolsos 
 04- FVA (relativo a uma série 
uniforme de pagamentos) 
 Dada Prestação, achar Valor 
Presente 
 FVA = 1 - ( 1 + i ) – n 
 i 
Séries Uniformes de Pagamentos 
e de Desembolsos 
 05- FFC (Fator de Formação de 
Capital) 
 Dado Valor Futuro, achar a 
Prestação. 
 FFC = i 
 ( 1 + i )n - 1 
 
 
Séries Uniformes de Pagamentos 
e de Desembolsos 
 06- FRC (Fator de Recuperação de 
Capital) 
 Dado o Valor Presente, achar a 
Prestação 
 FRC = i 
 1 - ( 1 + i ) - n 
Sistemas de Amortização 
 Amortização é o processo de liquidação de 
uma dívida através de pagamentos 
periódicos. 
 A amortização de uma dívida pode ser 
processada de várias formas, dependendo 
das condições pactuadas. 
 Vejamos algumas situações: 
 1) Pagamento da dívida em prestações 
periódicas, representadas por parcelas de 
juros mais capital; 
 2) Prestações constituídas exclusivamente 
de juros, ficando o capital pagável de uma 
só vez, no vencimento da dívida. 
Sistemas de Amortização 
 03) Juros capitalizados para 
pagamento, junto com o capital, ao 
final da dívida. 
 Em razão disso, são conhecidos 
diversos sistemas de amortização, 
dos quais destacamos, em razão de 
serem mais utilizados, o SAC e o 
PRICE. 
Sistemas de Amortizações 
Constantes (SAC) 
 No SAC as prestações são decrescentes e 
formadas por parcelas do capital mais 
juros. 
 O valor da amortização do capital é 
constante em todos os períodos. Já a 
parcela dos juros diminui a cada período, 
uma vez que a taxa de juros é aplicada 
sobre o saldo devedor. 
 Veja o gráfico: 
SAC 
 Gráfico SAC 
prestação 
Amortização (capital) 
juros 
prestação 
períodos 
SAC 
 Exemplo 1: Uma composição de 
divida de $ 8.000.000,00 a ser paga 
em quatro prestações anuais, com 
taxa de juros de 36% ao ano. Para 
elaborar a planilha de pagamentos, 
seguiremos o seguinte 
procedimento: 
 
SAC 
 1) Calcular a amortização – dividir o valor 
da operação pelo número de prestações. 
 2) Calcular a parcela de juros – fazer 
incidir a taxa de juros sobre o saldo 
devedor do período anterior. 
 3) Calcular a prestação – somar o valor da 
amortização com a parcela de juros. 
 4- Apurar o saldo devedor do período – 
subtrair o valor da amortização do saldo 
devedor do período anterior. 
SAC n.º prestações 4
taxa de juros (a a) 36%
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 - - - 8.000.000,00 
1 4.880.000,00 2.880.000,00 2.000.000,00 6.000.000,00 
2 4.160.000,00 2.160.000,00 2.000.000,00 4.000.000,00 
3 3.440.000,00 1.440.000,00 2.000.000,00 2.000.000,00 
4 2.720.000,00 720.000,00 2.000.000,00 - 
SAC 
 Exemplo 2: 
 Uma operação no valor de $ 
70.000,00 foi contratada para ser 
paga em quatro prestações anuais, 
com taxa de juros de 17,00% ao 
ano. Como será sua planilha de 
pagamento? 
SAC 
n.º prestações 4
taxa de juros (a a) 17%
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0
1
2
3
4
Sistema Francês ou Tabela Price 
 As prestações são constantes em todos os 
períodos e formadas por parcelas do 
capital mais juros. A parcela referente à 
amortização do capital aumenta a cada 
período, ao passo que a referente aos 
juros diminui no mesmo valor, mantendo 
assim iguais as prestações em todos os 
períodos. 
 Este sistema de amortização é um dos 
mais usados, pois o fato de as prestações 
terem valores constantes permite ao 
devedor um melhor planejamento dos 
pagamentos. É amplamente utilizado em 
CDC, leasing e outros. 
Price 
 Vejamos o gráfico: 
 
prestação 
amortização 
juros 
períodos 
prestação 
Price 
 Exemplo 1: O valor do financiamento é de 
$ 600.000,00, à taxa de 37% ao ano, para 
ser pago em três parcelas. Para elaborar a 
planilha de pagamento, adotaremos os 
seguintes procedimentos: 
 1) Calcular a prestação (FRC – fórmula 6) 
 2) Calcular a parcela de juros – fazer 
incidir a taxa de juros sobre o saldo 
devedor no período anterior. 
 3) Calcular a amortização – obtê-la pela 
diferença entre a prestação e os juros do 
período. 
 4) Apurar o saldo devedor do período – 
subtrair o valor da amortização do saldo 
devedor do período anterior. 
Price 
n.º prestações 3
taxa de juros (a a) 37%
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 - - - 600.000,00 
1 363.279,52 222.000,00 141.279,52 458.720,48 
2 363.279,52 169.726,58 193.552,94 265.167,53 
3 363.279,52 98.111,99 265.167,53 - 
Sistema SAC ou Tabela Price, qual dos dois 
é melhor? 
 Matematicamente não é possível afirmar 
qual o melhor plano, pois são equivalentes: 
 a) reembolsam ao financiador o principal; 
 b) remuneram, a uma taxa contratada, 
todo o capital, pelo tempo em que 
permanecer nas mãos do financiado. 
 Devem-se observar as condições que 
envolvem o negócio, como capacidade de 
pagamento, necessidade de caixa, etc. 
SAC x PRICE 
 Utilize o exemplo 2 (SAC) e calcule 
o planilha de financiamento pela 
Tabela Price e compare as duas 
situações. 
 Lembrando que era: valor financiado 
$ 70.000,00, 4 prestações anuais, 
com juros de 17% ao ano. 
SAC x PRICE n.º prestações 4
taxa de juros (a a) 17%
Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0
1
2
3
4
SAC e PRICE: 
Exercícios 
 01- Um cliente propôs pagar o saldo 
devedor de um empréstimo de $ 
120.000,00 em 4 parcelas mensais, 
mas sugeriu que as prestações 
fossem decrescentes. Assim, o ideal 
seria a amortização pelo sistema 
SAC. Preencha a grade, sabendo 
que a taxa de juros é de 10% ao 
mês. 
SAC e PRICE: 
Exercícios 
 02- A composição de uma dívida de 
$ 5.000,00 será paga em 5 
prestações, com taxa de 15% ao 
ano, pelo sistema SAC. Encontrar os 
valores de cada prestação, juros e 
amortização anual. 
SAC e PRICE: 
Exercícios 
 03- Uma geladeira no valor de $ 
1.200,00 é financiada pela Tabela 
Price em 4 parcelas mensais, sem 
entrada. Encontrar o valor da 
prestação mensal e as parcelas de 
juros e amortização do capital de 
cada período, sabendo que a taxa 
de financiamento é de 11% ao mês. 
ANÁLISE DE FLUXO DE 
CAIXA 
 É o principal objetivo do matemática 
financeira. 
 O fluxo de caixa de um investimento, 
empréstimo ou financiamento, ou 
mesmo de umaempresa, é o nome 
dado ao conjunto das entradas e 
saídas do dinheiro ao longo do 
tempo. 
Fluxo de Caixa 
 A matemática financeira, portanto, nos 
permite comparar fluxos de caixas distintos 
para identificarmos a melhor alternativa de 
empréstimo, investimento ou 
financiamento. 
 Ao fazermos uma pesquisa de preços, por 
exemplo, para aquisição de uma televisão, 
encontramos diversas alternativas de 
pagamento nas várias lojas pesquisadas: 
 Somente a vista 
 Sem entrada + 2, + 3, + 4 prestações 
 E assim por diante. 
Fluxo de Caixa 
 Onde deverei comprar? 
 Somente poderemos dizer qual é a melhor 
opção de compra, se analisarmos cada 
fluxo de caixa e transformarmos cada 
proposta em seu valor equivalente à vista. 
 A matemática financeira dá as 
“ferramentas” básicas que nos permitem 
comparar diferentes alternativas de 
investimento de um mesmo período. 
Fluxo de Caixa 
 Existem vários métodos de análise 
de investimento. Contudo, em 
função de serem os mais utilizados 
pelo mercado, iremos enfocar três: o 
Prazo de Retorno – Payback, o 
Valor Presente Líquido – NPV (Net 
Present Value) e a Taxa Interna de 
Retorno – IRR (Internal Rate 
Return). 
Payback 
 O payback (prazo de retorno) é um 
método simples, fácil de calcular, é 
definido por: prazo de tempo 
necessário para que os 
desembolsos sejam integralmente 
recuperados. 
Payback 
 Supondo o quadro (resultado do 
investimento) 
 Anos Fluxo de Caixa 
 0 $ (-) 30 
 1 $ (-) 15 
 2 $ 20 
 3 $ 25 
 4 $ 40 
Payback 
 Fluxo de Caixa 
 
 
 
30 15 
20 25 40 
0 1 2 3 4 
Payback 
 
 No exemplo, temos: 
 ANOS FLX CX ACUMULADO 
 0 - 30 - 30 
 1 - 15 - 45 
 2 20 - 25 
 3 25 0 
 4 40 40 
 O prazo de retorno foi de 3 anos. 
 
 
Payback 
 A aplicação do método na empresa é feito 
do seguinte modo: a empresa fixa um 
prazo limite para recuperação dos 
investimentos e são aceitos projetos cujo 
tempo de recuperação for menor ou igual a 
este limite. 
 Deficiência do método: 
 1) Não reconhece as entradas de caixa 
previstas para ocorrerem após a 
recuperação do investimento; 
 2) Não avalia adequadamente o valor do 
dinheiro no tempo. 
 
Exercícios 
 01- Escolha o melhor projeto do 
ponto de vista do payback, 
justificando a escolha: 
Payback: exercícios 
Dados PROJETOS 
A B C
Investimento Inicial ($) 20.000 20.000 20.000
Entradas Líquidas de Caixa ($)
1.º ano 6.000 7.500 9.000
2.º ano 7.000 7.500 8.000
3.º ano 8.000 7.500 7.000
4.º ano 9.000 7.500 6.000
Valor Presente Líquido 
(NPV) 
 Antes de aplicar o método do VPL 
vamos recordar a capitalização e 
descapitalização. 
 Capitalizar – a partir de um valor 
presente (PV) obter um valor futuro 
(FV). 
 PV 
(conhecido) 
FV 
(desconhecido) 
0 1 2... n períodos 
NPV 
 Descapitalizar – a partir de um valor 
futuro (FV) obter um valor presente 
(PV). 
0 1 2 n períodos 
PV (desconhecido) 
FV (conhecido) 
NPV 
 Exemplo 1: 
 Considere que você tomou um empréstimo 
de $ 1.000,00, no dia 10 de janeiro para 
pagar após 6 meses, ou seja, no dia 10 de 
julho, de uma só vez, à taxa de 5% ao mês 
(capitalizados mensalmente). 
 a) encontre o valor a ser pago no 
vencimento (10/7); 
 b) caso você deseje liquidar 
antecipadamente a dívida, em 10 de abril, 
que valor deverá ser pago? 
NPV 
 NPV é a soma das entradas e saídas, 
descapitalizadas, uma a uma, até o 
momento zero. 
 Modelo matemático do Valor Presente 
Líquido – NPV: 
 Sejam: 
 PV = investimento inicial (momento zero) 
 PMTj = fluxos subseqüentes ao momento 
“zero” (j = 1,2,...,n) 
 
NPV 
 NPV = -PV + PMT1 + PMT2 + ... + PMTn 
 (1+i)
1 (1+i)2 (1+i)n 
NPV 
 Exemplo 1: 
 O Sr. Chico Cavalcante emprestou 
hoje $ 100.000,00 a um amigo que 
lhe prometeu pagar $ 60.000,00 
daqui a 1 mês e $ 75.000,00 daqui a 
2 meses. 
 Sabendo que a taxa é de 20% ao 
mês, calcule o valor presente 
líquido. 
NPV 
 02- Calcule o valor presente líquido do 
fluxo abaixo, considerando que a taxa de 
juros é de 25% ao ano. 
 Anos Fluxo de Caixa 
 0 $ (-) 30 
 1 $ (-) 15 
 2 $ 20 
 3 $ 25 
 4 $ 40 
 
NPV 
 03- Calcule o NPV dos projetos 
abaixo, considerando uma taxa de 
juros anual de 20%, avaliando quais 
serão aceitos e qual a sua indicação 
para a tomada de decisão do 
empresário: 
 
NPV 
Dados PROJETOS 
A B C
Investimento Inicial ($) 20.000 20.000 20.000
Entradas Líquidas de Caixa ($)
1.º ano 6.000 7.500 9.000
2.º ano 7.000 7.500 8.000
3.º ano 8.000 7.500 7.000
4.º ano 9.000 7.500 6.000
TAXA INTERNA DE 
RETORNO (IRR) 
 É a taxa que torna nulo o Valor 
Presente Líquido (NPV) de um fluxo 
de caixa. 
 Exemplo 1: 
 Suponhamos o seguinte fluxo de 
caixa: 
IRR 
Dados PROJETO
Investimento Inicial ($) 4.500
Entradas Líquidas de Caixa ($)
1.º ano 1.000
2.º ano 2.000
3.º ano 3.000
IRR 
 Calcule o NPV para a taxa de juros igual a 
10% ao ano e 15% ao ano. 
 Teremos: 
 A) 10%  NPV = 315,93 
 B) 15%  NPV = (-) 145,60 
 Portanto, a taxa está entre 10% e 15% ao 
ano. 
 Agora vem a técnica da interpolação linear. 
 Neste caso aplica-se a regra de 3 simples: 
IRR 
 Quando variamos as taxas: 
 10% para 15%, portanto, 5%, o valor em $ 
variou de 315,93 para (-) 145,60, ou seja: 
 Variando: 5 pontos percentuais, o valor 
variou $ 461,53. 
 Pergunta-se: quanto deve variar a taxa 
para absorver somente $ 315,93? 
 Assim: 5 p.p está para $ 461,53, assim 
como X p.p. está para $ 315,93. 
 Resultado: 3,42 p.p. 
 Desta forma a IRR = 10% + 3,42% = 
13,42% ao ano. 
IRR 
 Importante: como trata-se de 
interpolação linear, quanto maior for 
a diferença entre as taxas, menos 
preciso será o resultado. Por este 
método chegamos a uma taxa 
aproximada. 
 As calculadoras financeiras indicam 
uma taxa mais precisa. 
IRR 
315,93 
-145,60 5% 
GRÁFICO DO IRR 
10% 15% 
13,42% 
IRR: Exercícios 
 01- Calcular a Taxa Interna de 
Retorno para: 
 Anos Fluxo de Caixa 
 0 $ (-) 30 
 1 $ (-) 15 
 2 $ 20 
 3 $ 25 
 4 $ 40 
 
IRR: Exercícios 
 02- Calcule o IRR dos projetos 
abaixo, escolhendo o melhor, 
justificando sua escolha: 
 
Dados PROJETOS 
A B C
Investimento Inicial ($) 20.000 20.000 20.000
Entradas Líquidas de Caixa ($)
1.º ano 6.000 7.500 9.000
2.º ano 7.000 7.500 8.000
3.º ano 8.000 7.500 7.000
4.º ano 9.000 7.500 6.000
IRR: Exercícios 
 03- Uma geladeira é vendida por $ 
800,00 a vista, ou em 5 parcelas, 
sem entrada, de $ 184,78. Qual a 
taxa de juros deste crediário? 
 04- Uma TV é vendida por $ 900,00 
a vista, ou podendo ser parcelada 
em 6 vezes (entrada + 5), de $ 
180,26. Qual a taxa de juros deste 
crediário?