Matematica-Financeira-6-edicao-LIVRO - Completo

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Sumário
Capítulo1 — Fundamentos 1
1.1 Introdução 1
1.2 0 capital e o juro 1
1.3 Relações básicas 2
1.4 Regimes de capitalização 5
1.4.1 Regime de capitalização simples 5
1.4.2 Regime de capitalização composta 5
1.5 Fluxo de caixa de uma operação 7
CccpctuJcr 2 —Juros Simples 10
2.1 Fórmula dos juros e do montante 10
2.2 Taxas equivalentes 76’
2.3 Juro exato e juro comercial 18
2.4 Operações com hot, money 21
2.5 Valor nominal e valor atual (ou presente) 22
CcCpitiFLcr 3 — Descontos Simples 25~~ ■ "■ ■
3.1 Introdução 25
3.2 Desconto comercial ou bancário 25
3.3 Relação entre taxa de desconto e taxa de juros simples 30
Matemática Financeira
3.4 Operações com um conjunto de títulos
3.5 Prazo médio de um conjunto de títulos
36
37
CcCpótuTo- 4 — Juros Compostos 
4.1 Fórmula do montante 41
41
4.2 Períodos não inteiros 50
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9 
4.10
Taxas equivalentes 57
Certificado de depósito bancário e recibo de depósito bancário 
Valor atual e nominal em juros compostos 63 
64
66
Compra à vista e compra a prazo
Capitalização composta com taxas de juros variáveis 
Taxa acumulada de empréstimos com hot money 
Operações em dias úteis e taxa over 69 
Taxa over selic 73
67
4.11 Situação na qual o período da taxa não coincide com o período 
de capitalização 76
4.12 Capitalização contínua 77
60
Ccopütlclcr 5 — Taxa Real de Juros 81
5.1 Introdução 81
5.2 índice de preços 82
5.3 Taxa acumulada 83
5.4 Principais índices agregados de preços - Medidas de inflação 84
5.4.1 índice de Preços por Atacado (IPA) 86
5.4.2 índice de Preço ao Consumidor (IPC) e 
índice de Custo de Vida (ICV) 86
5.4.3 índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC) 86
5.4.4 índice Geral de Preços (IGP) 86
5.5 Taxa real de juros 89
5.6 Atualização monetária 91
5.7 Inflacionamento e deflacionamento de valores monetários 93
5.8 Cadernetas de poupança 98
CcvpCtulcr 6 —Equivalência de Capitais a Juros Compostos 100
6.1 Introdução 100
6.2 Equivalência de dois capitais 101
6.3 Valor atual de um conjunto de capitais 103
Si ifiiiííio
6.4 Conjunto de capitais equivalentes 1086.5 Análise de alternativas de pagamento pelo valí »r atiíal6.6 Análise de alternativas de investimento pelo valor .’ íal6.7 Taxa interna de retorno 1276.8 Operações com debêntures M6‘
114
119
Capítulo- 7 — Sequências da Capitais7.1 Introdução 1507.2 Sequência uniforme 150
150
7.3 Montante de uma se a / 727.4 Si 1787.57.67.77.87.9 7.10
Seqüência uniforme com parcelas adicionais Seqüências em grat lient e 188Sequências em progressão aritmética /91 Seqüências em progressão geométrica 192 Seqüència uniforme infinita (rendas perpétuas)
A o’ j açoes 198
7.11
18!>
195
7.10.1 Modelo com dividendos esperados constantes 1997.10.2 Modelo do crescimento constante (Modelo de Cordon) Operações de arrendamento merer 202 200
Capítulo- 8 — An/orlixação da Empréstimos8.1 Introdução 2058.2 Sistema de amortizações constantes (SA( 1)8.3 Sistema francês (ou Sistema. Price) 2198.4 Cálculo do saldo devedor no sistema francês
205
214
8.5 Sistema americano O tj
Apê'V\tfac& A —Noções Básicas da Calculadora Financeira 11F12C 228
Apêxiâtc&ft — Cálculo Finauceiro com u Planilha Eletrônica Excel 241
Apêxcdtc& C — Tabelas Fiuauceirus 258
is spostas dos Exercícios
Bibliografia 812
z
1.1 INTRODUÇÃOA Matemática Financeira visa a estudar o valor do dinheiro no tempo, nas aplicações de dinheiro e nos pagamentos de empréstimos. Tal definição é bem geral; o leitor terá oportunidade de verificar, ao longo do texto, que a Matemática Financeira fornece instrumentos para o estudo e a avaliação das formas de aplicação de dinheiro, bem como de pagamento de empréstimos.
1.2 O CAPITAL E 0 JUROChamamos de capital qualquer valor monetário que uma pessoa (física ou jurídica) empresta para outra durante certo tempo. Tendo em vista que o emprestador abstém-se de usar o valor emprestado, e ainda, em função da perda de poder aquisitivo do dinheiro pela inflação e do risco de não-paga- mento, surge o conceito de juro, que pode ser definido como o custo do em­préstimo (para o tomador) ou a remuneração pelo uso do capital (para o emprestador).Denominamos taxa de juros o valor do juro em uma certa unidade de tempo, expresso como uma porcentagem do capital. Assim, por exemplo, se um capital de $ 5.000,00 for emprestado por um mês à taxa de 2% a.m. (2% ao mês), o juro será igual a 2% de $ 5.000, que é $ 100,00. Lembre-se de que, para achar 2% de 5.000, basta multiplicar 5.000 por 0,02, que é a forma deci­mal de 2% (2% = 2/100 = 0,02).
Matemática Financeira
>• o empréstimo for devolvido em um único pagamento, o tomador paga­rá, ao final do prazo combinado, a soma do capital com o juro, que é denomi­nada montante. Assim, para um empréstimo de $ 5.000,00 por um mês com juro de $ 100,00, o montante será igual a $ 5.100,00.As operações de aplicação e empréstimos são geralmente realizadas por meio da intermediação de uma instituição financeira, que capta recursos de um lado e os empresta de outro. A captação é feita a uma taxa menor que a de empréstimo, e a diferença é a remuneração da instituição. São várias as op­ções de aplicação (também chamadas de msírtmenfos) que um investidor tem à sua disposição: por exemplo, a Caderneta de Poupança, o Certificado de Depósito Bancário (CDB) etc. Cada opção tem sua taxa, em função do prazo da aplicação e dos riscos envolvidos. Analogamente, os tomadores de empréstimos têm várias opções de financiamento (instrumentos), cujas taxas variam em função dos prazos de pagamento e das garantias oferecidas.De um modo geral, quando as taxas sobem, os aplicadores tendem a au­mentar a oferta de capitais, mas os tomadores tendem a diminuir a demanda por crédito. Na determinação das taxas de juros, o Governo tem uma grande influência, seja regulamentando o funcionamento das instituições financeiras, seja comprando ou vendendo títulos públicos, cobrando impostos etc.Os fundos de investimentos e os fundos de pensão e previdência também têm um importante papel na intermediação financeira. O dinheiro dos investi­dores captado pelos fundos de investimentos é utilizado para a compra de títu­los públicos e privados ou ações. Por meio dos ganhos oferecidos por estes papéis, o investidor recebe remuneração (quando um investidor aplica em um fundo de investimentos, ele adquire um certo número de cotas deste fundo, e a 
valorização da cota é decorrente da rentabilidade de seus papéis). Comporta­mento análogo ocorre com os fundos de previdência e pensão, em que o aplicador visa ao recebimento de uma renda por ocasião de sua aposentadoria.
1.3 RELAÇÕES BASICASChamando de C o capital, M o montante, J o juro e i a taxa (do inglês, 
interest, que significa juro), temos as seguintes relações, de acordo com o que definimos:
j = g 1.1Em que J é o juro no período da taxa.
M = G + J 1-2
M
C 1.3
Fundamentos 3
Em que i éa taxa no período do empréstimo.A relação 1.1 justifica-se pela própria definição de porcentagem. A rela­ção 1.2 é a própria definição de montante. A relação 1.3 justifica-se da seguin­te forma:De 1.1 e 1.2:. _ _ M - c M c M _ 1
1 ~ c ~ c ~ c ~ c ~ c ~ ■
Exemplo l.lUm capital de $ 8.000,00 é aplicado durante um ano à taxa de 22% a.a. (22% ao ano).a) Qual o juro?b) Qual o montante?
Resoluçãoa) J= 8.000(0,22) = 1.760b) M= 8.000 + 1.760 = 9.760
Exemplo 1.2Um capital de $ 12.000,00 foi aplicado durante três meses, gerando um montante de $ 12.540,00. Qual a taxa de juros no período?
ResoluçãoPela relação 1.3, a taxa auferida pelo investidor no período foi:/ - 12.540
12.000
- 1 = 0,045 = 4,5%
EXERCÍCIOS
1) Um capital de $ 2.000,00 é aplicado em cada uma das condições indicadas a seguir. Obtenha o juro e o montante em cada caso.
Taxa Prazo
a) 50% a.a.
• ?/?«?. *’•' /• •? • < •* : '
1 ano
b) 30% a.s. 1 semestre
c) 12% a.t. 1 trimestre
d) 5% a.b. 1 bimestre
e) 1,7% a.m. 1 A1 mes
0 0,03% a.d. 1 dia
4 Matemática Financeira
2) Calcule a taxa de juros auferida (no período) por um investidorem cada uma das situações seguintes.
Montante Capita' Prazo
a) $ 10.000,00 —
r\-
•
r\. W W w . 00 1 ano
b) $ 15.000.00 $ nn\J\J í semestre
c) $ 7.200.0*0
•ovU. 00 1 trimestre
d) ç ons w >-/ —' • ■’V — r> 00 bimestre
e) — 4ÍX) Afi 1 mês
f) $ 4.002.00
9 • S-T 1 dia3) Calcule a taxa de juros (no período) paga por um tomador de emprés­timos em cada uma das situ -. ?: es a seguir.
Capital Juro Prazo
a) $ 3.500,00 $ 400,00 1 ano
b) $ 8.000,00 $ 1.200.00 semestre
c) $ 4.300,00 $ 210.00 1 trimestre
d) $ 5.400,00 $ 220,00 i bimestre
e) $ 9.000,00 $ 150,00 1 mês
0 $ 6.700,00 $ 2,50 1 dia4) Calcule o capital recebido por um tomador de empréstimos em cada uma das situações seguintes.
Taxa Prazo juro
a) 28% a.a. 1 ano $ 14.000,00
b) 12% a.s. 1 semestre $ 24.000,00
c) 3,8% a.t. 1 trimestre $ 7.600,00
d) 4% a.b. 1 bimestre $ 10.800,00
e) 1,8% a.m. 1 mês $ 3.600,00
0 0,06% a.d. 1 dia $ 6.000,00
5) Um banco anuncia o seguinte: “aplique hoje $ 666,67 e receba $ 1.000,00 daqui a um ano”. Qual a taxa anual de juros paga pelo banco?
Fundamentos 5
6) Um banco anuncia o seguinte: “aplique hoje S 10.000,00 e receba da­qui a três anos $ 20.000,00”. Qual a taxa paga pelo banco no triênio?
7) Um título, cujo valor de resgate daqui a seis meses é de S 10.000,00, foi adquirido boje por um fundo por $ 9.600,00. Qual a taxa de rendi­mento do papel no período?
8) Um título governamental, cujo valor de resgate daqui a 42 dias é de $ 50.000,00, foi adquirido hoje por um fundo por $ 48.850,00. Qual a taxa de rendimento do papel no período?
9) Hoje o valor da cota de um fundo de investimentos é de 17,24 e, há 65 dias, foi de 16,74. Qual a taxa de rendimento do fundo no período considerado?
1.4 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃOQuando um capital é aplicado por vários períodos, a uma certa taxa por período, o montante poderá aumentar de acordo com duas convenções, deno­minadas regimes de capitalização. Há o regime de capitalização simples (ou juros simples) e o regime de capitalização composta (ou juros compostos).
1.4.1 Regime de capitalização simplesNeste regime, o juro gerado em cada período é constante e igual ao pro­duto do capital pela taxa. Além disso, os juros são pagos somente no final da operação.
Exemplo 1.3Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado durante três anos à taxa de 10% a.a., em regime de juros simples.
ResoluçãoDurante o 1- ano, o juro gerado foi de 1.000(0,10) = 100Durante o 22 ano, o juro gerado foi de 1.000(0,10) = 100Durante o 3- ano, o juro gerado foi de 1.000(0,10) = 100Portanto, somente o capital aplicado é que rende juros. O montante, apóstrês anos, foi de $ 1.300,00. Esquematicamente, temos (Figura 1.1):
Matemática Financeira
100 100 100
1.000%^^ 1 -300________
0 12 3 anosb FIGURA 1,1 Juros simples de $ 1.000 à taxa de 10% a.a.
1.4.2 Regime de capitalização composta
Neste caso, o juro do Ia período (capital vezes a taxa) agrega-se ao capi­
tal, resultando no montante Mx.
O juro do 2e período, que é igual ao produto de pela taxa, agrega-se a 
Mx, resultando no montante ,U_.O juro do 3- período, que é igual ao produto de M2 pela taxa, agrega-se a 
M2, resultando em um montante A/ ,e assim por diante.Portanto, o juro que é gerado em cada período (montante do início do período vezes a taxa) agrega-se ao montante do início do período e esta soma passa a render juro no período seguinte.
Exemplo 1.4Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado durante três anos à taxa de 10% a.a., em regime de juros compostos.
ResoluçãoDurante o 1- ano, o juro gerado foi de 1.000(0,10) = 100, e o montante após um ano foi de $ 1.100,00.Durante o 2- ano, o juro gerado foi de 1.100(0,10) = 110, e o montante após dois anos foi de $ 1.210,00.Durante o 3- ano, o juro gerado foi de 1.210(0,10) = 121, e o montante após três anos foi de $ 1.331,00. Esquematicamente, temos (Figura 1.2):
r
100 110 • 1211.000%^^1.3310 12 3 anos• • « •
FIGURA 1.2 Juros compostos de $ 1.000 à taxa de 10% a.a.
A Figura 1.3 ilustra o montante a juros simples e compostos para efeito de comparação, utilizando um capital de $ 1.000,00, taxa de 10% a.a.. e prazos variando de 1 a 12 anos.
Fundamentos
1.000
Montante a juros simples e compostos
□ Juros simples
4.000O
c 3.000cü
ê 2.000
Juros compostos
FIGO ft A 1.3 Comparação de montantes a juros simples e compostos à taxa de
10% a.a.
1.5 FLUXO DE CAIXA DE UMA OPERAÇÃO
Ofl/uxo de caixa de unia operação é unia representação esquemática muito útil na resolução de problemas. Basicamente, consta de um eixo horizontal em que é marcado o tempo, a partir de um instante inicial (origem); a unidade de tempo pode ser qualquer (ano, mês, dia etc.). As entradas de dinheiro em um determinado instante são indicadas por setas perpendiculares ao eixo horizon­tal, no instante considerado, e orientadas para cima; as saídas de dinheiro são indicadas da mesma forma, só que a orientação das setas é para baixo.
Exemplo 1.5Uma pessoa aplicou $ 50.000,00 em um banco e recebeu $ 6.500,00 de juros após 12 meses. 0 fluxo de caixa, do ponto de vista do aplicador, foi (Figura 1.4):
56.500
Á
▼
50.000
F.iGURA 1 Fluxo de caixa de uma aplicação de $ 50.000 e recebimento de S 56.500.
8 Mdtemática Financeira
E o fluxo de caixa, do ponto de vista do banco, foi (Figura 1.5):
o
FIGURA 1.5.......... .. .
50.000
▲
[____________________________________________________ 12
▼
56.500
Fluxo de caixa do banco que recebeu uma aplicação de $ 50.000 e 
pagou um montante de $ 56.500.
Observações1) Estamos usando o conceito de fluxo de caixa para aplicações e em­préstimos; contudo, a mesma idéia é utilizada por empresas para re­presentar entradas e saídas de dinheiro do caixa.2) As setas do fluxo de caixa não são necessariamente proporcionais aos valores monetários envolvidos.3) Algumas vezes usaremos a notação esquemática de um conjunto de capitais, com setas em geral para cima, a fim de tornar claras certas idéias, sem que a representação indique um íluxo de caixa.
EXERCÍCIOS
10) Um capital de $ 10.000,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 1,5% a.m. Obtenha o montante para os seguintes prazos:a) Dois meses. c) Cinco meses.b) Três meses. • d) Dez meses.
11) Um capital de $ 700,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 20% a.a. Calcule o montante para os seguintes prazos:a) Um ano. c) Cinco anos.b) Dois anos. d) Dez anos.
12) Um capital de $ 10.000,00 é aplicado a juros compostos, à taxa de 10% a.a. Calcule o montante para os seguintes prazos:
Fundamentos 9
a) Um ano. d) Quatro anos.b) Dois anos. e) Cinco anos.c) Três anos.
13) Um capital de $ 20.000,00 é aplicado a juros compostos, à Taxa de 20% a.a. Obtenha o montante para os seguintes prazos:a) Um ano. d) Quatro anos.b) Dois anos. e) Cinco anos.c) Três anos.
14) Um capital A de $ 1.000,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 10% a.a. Um outro capital B de $ 900,00 é aplicado a juros compostos, àtaxa de 12% a.a. A partir de quantos anos de aplicação o montante produzido- por B será superior ao produzido por A?
15) Um capital A de $ 1.000,00 é aplicado ajuros simples, àtaxa de 12% a.a., ao passo que um outro capital B, também de $ 1.000,00, é aplicado a juros compostos, àtaxa de 10% a.a. A partir de quantos anos de aplica­ção o montante produzido por B será superior ao produzido por A?
16) Um investidor aplicou um capital e recebeu, um ano depois, um mon­tante em cada uma das situações a seguir. Calcule a taxa de juros em cada caso.
Juros Simples
2.1 FÓRMULA DOS JUROS SIMPLES E DO MONTANTENo capítulo anterior, vimos que, na capitalização simples, os juros eram iguais em todos os períodos, valendo o produto do capital pela taxa naquele período.Consideremos um capital C, aplicado a juros simples, à taxa i por período, durante n períodos de tempo. Vamos deduzir a fórmula dos juros após os n períodos:Juros após 1 período: J, = CiJuros após 2 períodos: J2 = Ci+ Ci = (Ci)2Juros após 3 períodos: J3 = Ci+ Ci+ Ci= (0)3
Juros após n períodos: J, = Ci+ Ci+ Ci + ... Ci= (Ci)nPortanto, eliminando o índice n quando não houver possibilidade de con­fusão, teremos a fórmula dosjuros simples:
J = Cin 2.1A fórmula do montante é imediata:
Juros Simples
M = C + J 
M = C + Cin 
M= C (1 + in)
Observações51) Na fórmula dos juros e do montante, é necessário que i e n sejam expressos na mesma unidade (por exemplo, se i for taxa mensal. u deve ser expresso em meses).2) Embora a fórmula tenha sido deduzida para ?? intcir ' - ~?r endida para n fracionário.
Exemplo 2.1Um capital de $ 5.0’11'?111 foi aplicado a juros simples, durante três anos, à taxa de 12% a.a.a) Obtenha os juros.b) Obtenha o montante.
Resoluçãoa) J= 5.000(0,12)3 = 1.800b) M = 5.000 + 1.800 = 6.800Portanto, os juros e o montante procurados são $ 1.800 e $ 6.800.
Exemplo 2.2Um capital de $ 7.000 é aplicado a juros simples, durante um ano e meio, à taxa de 8% a.s. (ao semestre).a) Obtenha os juros.b) Obtenha o montante.
Resolução 
J = 7.000(0,08)3 = 1.680 
M= 7.000 + 1.680 = 8.680Assim, os juros e o montante procurados valem, respectivamente, $ 1.680,00 e $ 8.680,00.
Exemplo 2.3Que capital rende juros simples de $ 3.000,00 no prazo de cinco meses, se a taxa for de 2% a.m.?
12 Matemática Financeira
ResoluçãoSeja C o capital procurado. Assim:
3.000 = C (0,02) 5 
3.000 = C(0,1) 
3.000
C = = 30.000
0,1Portanto, o capital procurado vale $ 30.000,00.
Exemplo 2.4Uma televisão é vendida à vista por $ 1.500,00 ou, então, a prazo com $ 300,00 de entrada mais uma parcela de $ 1.308,00 após três meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento?
Resolução• Capital financiado: C = 1.500 - 300 = 1.200
• Montante: M = 1.308• Juros: J = 1.308 - 1.200 = 108Seja i a taxa mensal procurada. Pela fórmula dos juros simples, teremos:
108 = 1.200/3 
3.600/= 108
108
/' = —— = 0,03 = 3% a.m.
3.600
Exemplo 2.5Uma aplicação financeira tem prazo de cinco meses, rende juros simples à taxa de 22% a.a. e incide imposto de renda igual a 20% do juro; o imposto é pago no resgate.a) Qual o montante líquido de uma aplicação de $ 8.000,00? (o montante líquido é igual ao montante menos o imposto de renda).b) Qual capital deve ser aplicado para resultar em um montante líquido dc $ 9.500?
Resoluçãoa) Seja IR o imposto de renda e M’ o montante líquido. Assim:
M' = C +
M' = C +
M' = C +
J - IR 
J - 0,20 J
0,8 J = 8.000 + 0,8
8.000(0,22)-^ = 8.586,67
Juros Simples 13
Observemos que, sendo a taxa dada ao ano, o prazo tem de ser expresso. , , 5em anos, isto e, n = ~^Rb) Chamando de C o capital procurado, devemos ter:
9.500 = C + J-IFI
9.500 = C + J - 0,22
9.500 = C + 0,8J
9.500 = C + 0,8 C(0,22)
5
12
9.500 = 1,0733 C
9.500
c= wsy =8'851'21
Exemplo 2.6Divida $ 3.000,00 em duas partes, de forma que a primeira, aplicada a juros simples à taxa de 4% a.m., durante seis meses, renda o mesmo juro que a segunda, aplicada a 2% a.m., durante oito meses.
ResoluçãoSeja C uma das partes. A outra será 3.000 - C. Assim, teremos:• Juros da 1 - parte: C(0,04)6 = o,24C• Juros da 2- parte: (3.000 - C)0,02(8) = 480 - O,16C Igualando os juros:
0,24C = 480-0,16C
0,40C = 480
C = =1,200
0,40Portanto, as partes procuradas são $ 1.200,00 e $ 1.800,00
EXERCÍCIOS
1) Determine os juros simples obtidos nas seguintes condições:
Capital Taxa Prazo
a) $ 2.000,00 1,2% a.m. 5 meses
b) í 3.000,00 21% a.a. 2 anos
c) $ 2.000,00 1,3% a.m. 3 anos
d) $ 6.000,00 15% a.t. 2 anos e meio
Matemática Financeira
2) Qual o montante de uma aplicação de $ 16.000,00 a juros simples, du­rante cinco meses, à taxa de 80% a.a.?
3) Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado, por dois meses, a juros simples à taxa de 42% a.a. Qual o montante?
4) Bruno aplicou $ 30.000,00 a juros simples, pelo prazo de seis meses, e recebeu $ 9.000,00 de juros. Qual a taxa mensal da aplicação?
5) Em uma aplicação de $ 3.000,00 a juros simples e à taxa de 10% a.a., o montante recebido foi de $ 4.800,00. Determine o prazo da aplicação.
6) Paula aplicou uma certa quantia a juros simples à taxa de 1,8% a.m., pelo prazo de quatro meses. Obtenha o juro auferido nesta aplicação, sabendo-se que o montante recebido foi de $ 5.360,00.
7) Mara aplicou $ 800,00 a juros simples à taxa de 12% a.a. Se ela rece­beu $ 384,00 de juros, obtenha, o prazo da aplicação.
8) Uma geladeira é vendida à vista por $ 1.500,00 ou, então, a prazo com $ 450,00 de entrada mais uma parcela de $ 1.200,00 após quatro me­ses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento?
9) Um vestido de noiva é vendido à vista por $ 2.400,00 ou, então, a prazo com 20% de entrada mais uma parcela de $ 2.150,00 dois meses após a compra. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento?
10) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros simples e à taxa de 8% a.a. para que duplique?
11) (Concurso para Controlador de Arrecadação Federal) Um capital aplicado à taxa de juros simples de 8% a.m. triplica em que prazo?
12) Um determinado capital, aplicado a juros simples durante 16 me­ses, rendeu um certo juro. Em que prazo deveriamos aplicar o quá­druplo deste capital para dar o mesmo juro, sabendo-se que a taxa é a mesma?
Juros Simples 15
13) Dois capitais, um de $ 200.000,00 e outr ■> 222.857,00, foram apli­cados em uma mesma data, ajuros simple s. s er- 1 ■ primeiro à taxa de168% a.a. e o segundo à de 120% a.a. Qual r raz para que os mon­tantes se igualem?
14) Dois capitais, o primeiro igual a $ 1.100,00 e o segur.d ‘ igual a > 5<%>.Ü0,estiveram aplicados ajuros simples durante três meses. A n-1axa fr>i aplicado o primeiro se o segundo, aplicado à taxa dei' . m.. rendeu$ 246,00 menos que o primeiro?
15) Cleide aplicou metade de seu capital ajuros simples e à taxa de 3 a.a..durante um ano; o restante foi dividido em duas partes iguais, aplica­das por um ano, sendo a primeira à taxa de 28% a.a. e a segunda a le 32% a.a. Determinar a taxa anual de juros simples a que todo o capital de Cleide deveria ser aplicado por um ano para que o juro obtido fosse igual à soma dos juros das t rês aplicações mencionadas.
16) (Concurso para Controlador de Arrecadação Federal) Um fazendei­ro possui um estoque de 1.000 sacas de cafe e, na expectativa de alta de preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de $ 3.000,00 por saca. Três meses mais tarde, forçado pelas circunstâncias, vende o estoque por $ 2.400,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 5% a.m., calcule o prejuízo real do fazendeiro na data dc venda da mercadoria, utilizando o regime de capitalização simples.
17) Um produtor de milho, possuidor de um estoque de 30.000 sacas, na expectativa de alta do preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de $ 5,00 por saca. Seis meses mais tarde, vende o estoque por $ 12,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros simples de mercado é de 12% a.m., calcule o lucro (ou prejuízo) real do pro­dutor, utilizando o regime de juros simples.
18) Um capital ficou depositado durante 10 meses à taxa de 8% a.m. n regime de juros simples. Findo este prazo, o montante auferido f i aplicado durante 15 meses ajuros simples à taxa de 10% a.m. Calcule o valor do capital inicial aplicado, sabendo-se que o montante final re­cebido foi de $ 1.125.000,00
Matemática Financeira
19) Uma aplicação financeira tem prazo de três meses, rende juros simples à taxa de 1,8% a.m., mas o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido.a) Qual o montante líquido (montante após o pagamento do imposto de renda) de uma aplicação de $ 4.000,00?b) Qual capital deve ser aplicado para resultar em mu montante líquido de $ 3.600,00?
20) Uma aplicação financeira tem prazo de quatro meses, rende juros sim­ples à taxa de 22% a.a., mas o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido.a) Qual o montante líquido (montante após o pagamento do imposto de renda) de uma aplicação de $ 12.000,00?b) Qual capital deve ser aplicado para resultar em um montante líquido de $ 11.500,00?
21) Divida $ 1.200,00 em duas partes, de forma que a primeira, aplicada a juros simples à taxa de 8% a.m., durante dois meses, renda o mesmo juro quea segunda, aplicada a 10% a.m., durante três meses.
22) Bruno, dispondo de $ 3.000,00, resolve aplicá-los em dois bancos. No primeiro, aplicou uma parte a juros simples à taxa de 8% a.m., por seis meses, e no segundo, aplicou o restante também a juros simples, por oito meses, à taxa de 10% a.m. Quanto foi aplicado em cada banco, sabendo-se que o total dos juros auferidos foi de $ 1.824,00?
2.2 TAXAS EQUIVALENTESNa fórmula dos juros simples, sabemos que o prazo deve ser expresso na mesma unidade da taxa. O procedimento inverso também pode ser adotado, ou seja, podemos expressar a taxa na mesma unidade do prazo; para isto, devemos saber converter taxas de um período para outro.Dizemos que duas taxas são equivalentes a juros simples quando, aplica­das em um mesmo capital e durante um mesmo prazo, derem juros iguais. Embora este prazo referido possa ser qualquer um, habitualmente é utilizado o prazo de um ano.
Exemplo 2.7Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 1% a.m.?
Juros Simples 17
ResoluçãoSeja i a. taxa anual procurada, C o capital aplicado - m. nio< prazo Deve­mos ter:
C/1 = C(0,01)12
/= (0,01)12 = 0,12 = 12% a.a.Portanto, a taxa anual equivalente á 1% a.m. é 12% a.a. Notemos que. s- tivéssemos adotado um outro prazo, por exemplo, dois anos, chegaríamos ao mesmo resultado. A equação correspondente seria:
C/2=C(0,01)24
2/= (0,01)24 
(0,01)24
' ~ 2 = 0,12 =12% a.a.
Exemplo 2.8Em juros simples, qual a taxa mensal equivalente a 9% a.t.?
ResoluçãoSeja i a taxa mensal procurada, C o capital aplicado e um ano o prazo. Devemos ter:
C/12 = C (0,09) 4
(0,09)4 
' ~ 12 0,03 = 3% a.m.Como pudemos observar nos exemplos precedentes, as taxas equivalen­tes são proporcionais aos respectivos prazos a que se referem. Isto pode ser justificado da seguinte forma: sejam q e i2 duas taxas equivalentes e sejam d} e os prazos (em dias) das referidas taxas. Como elas são equivalentes, con­siderando um capital C e um prazo de aplicação de um ano, devemos ter:
360 360
C'i
d
C/2 d
'1 d
Z2 d2Esta última relação 2.3 justifica, então, o fato de as taxas serem propor o - nais aos respectivos prazos. Note-se que utilizamos o ano comercial (36< iias e os prazos expressos em dias, sem perda de generalidade.
Matemática Financeira
Assim, por exemplo:• 4% a.b. (ao bimestre) é equivalente a 2% a.m.• 6% a.t. (ao trimestre) é equivalente a 2% a.m.• 12% a.s. (ao semestre) é equivalente a 2% a.m.• 24% a.a. (ao ano) é equivalente a 2% a.m.
Exemplo 2.9Qual a taxa anual de juros simples que um fundo de investimento rendeu, sabendo-se que o capital aplicadc foi de S 5.000,00 e que o valor de resga­te foi de $ 5.525,00 após sete meses?
ResoluçãoOs juros simples da aplicação foram de $ 525,00 (diferença entre o valor de resgate e o capital aplicado). Chamando de i a taxa mensal de juros, teremos:
525 = 5.000/(7)
35.000/= 525 
525
/ = = 0,015 =1,5% a.m.
35.000Consequentemente, a. taxa anual foi de 12(1,5%) = 18% a.a.
2.3 JURO EXATO E JURO COMERCIALÉ muito comum certas operações ocorrerem por um ou alguns dias ape­nas. Nesses casos, é conveniente utilizarmos a taxa, diária equivalente. O cál­culo pode ser feito segundo duas convenções:Ia) Considerando o ano civil, que tem 365 (ou 366) dias, e cada mês com seu número real de dias.2a) Considerando o ano comercial, com 360 dias, e o mês comercial com 30 dias.Os juros obtidos segundo a primeira convenção são chamados de juros 
exatos, e aqueles obtidos pela segunda convenção, de juros comerciais. Em geral, a convenção adotada é a de juros comerciais.
Exemplo 2.8 0Um capital de $ 5.000,00 foi aplicado por 42 dias à taxa de 30% a.a. no regime de juros simples.a) Obtenha os juros exatos.b) Obtenha os juros comerciais.
Juros Simples
Resolução
j= 5.000 42 = 172,60J 365
b) J=5.000 0,30
360
42 = 175,00
Exemplo 2.1 IUm capital de $ 4.000,00 foi aplicado a juros simples por 72 dias: um outro capital de $ 5.000,00 foi também aplicado a juros simples, à mesma taxa, durante 45 dias. Determine a taxa anual (convenção de juros comerciais), sabendo-se que a diferença entre os juros da 1- aplicação e da 2- são iguais a $31,50.
ResoluçãoSeja i a taxa diária da aplicação. Teremos:• Juros da Ia aplicação: 4.000/(72) = 288.000/• Juros da 2a aplicação: 5.000/(45) = 225.000/Portanto:
288.000/-225.000/= 31,50 
63.000/ = 31,50
= 31,50 _ = 0 ooo5 = 0,05% a. d.
63.000Consequentemente, a taxa anual vale 360(0,05%) = 18% a.a.
EXERCÍCIOS
23) Em juros simples, determine a taxa anual equivalente às seguintes taxas:a) 1,5% a.m. d) 4,5% a.q.b) 2,5% a.b. e) 6,5% a.s.c) 3,5% a.t.
24) Em juros simples, qual a taxa trimestral equivalente a 4,4% a.b.?
25) Calcule os juros simples auferidos em uma aplicação de $ 4.000,00 à taxa de 35% a.a. pelo prazo de sete meses.
26) Calcule o montante de uma aplicação de $ 5.000,00 a juros simples à taxa de 48% a.a. pelo prazo de cinco meses.
Matemática Financeira
27) Um capital de $ 25.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa de 30% a.a. pelo prazo de 67 dias. Obtenha os juros exatos e comerciais para esta aplicação.
28) Um determinado capital aplicado a juros simples exatos, e a uma certa taxa anual, rendeu $ 240,00. Determine os juros auferidos nessa apli­cação se fossem comerciais.
29) Uma aplicação de $ 800,00 a juros simples comerciais teve um resgate de $ 908,00 após 135 dias. Determine a taxa mensal desta aplicação.
30) Um capital de $ 5.000,00 foi aplicado a juros simples àtaxa de 24% a.a.a) Qual o montante após seis meses?b) Após quanto tempo de aplicação os juros auferidos formarão uma quantia igual ao capit al inicialmente empregado?
31) Calcule a t axa anual de jur■ s simples que rendeu um fundo de investi­mento, sabendo-se que : capital aplicado foi de $ 4.000,00 e que o valor de resgate foi de 8 5.21" o.00 após seis meses.
32) Um capital de S 3.000.0o foi aplicado em 23 de março de 1999 a juros simples e à taxa de 96% a.a. O resgate foi feito em 17 de setembro de 2000. Determine os juros exatos e comerciais desta aplicação (o nú­mero de dias decorridos foi de 544).
33) {Concurso para Controlador de Arrecadação Federal} Um capital de $ 2.000.000,00 é aplicado por quatro meses, correspondendo a um resgate final de $ 2.600.000,00. Calcule a taxa de juros simples anual desta operação.
34) Mônica depositou em uma instituição financeira a quantia de $ 680,00 por 83 dias e, em outra, depositou $ 800 por 47 dias. Os juros auferidos na primeira aplicação excederam cm $ 94,20 os juros auferidos na se­gunda. Determine a taxa anual de juros, sabendo-se que foi a mesma em ambas as aplicações. Use a convenção de juros comerciais.
35) Um capital acrescido dos juros simples pelo prazo de três meses e meio resulta em mu montante de $ 448.000,00. O mesmo capital, acrescido
Juros Simples
dos juros simples pelo prazo de oito meses, resulta em um montante de $ 574.000,00. Calcule o valor do capital aplicado e a taxa anual de juros.
36) Paulo obteve dois empréstimos, os quais totalizavam $ 2.000,00. O pri­meiro, a juros simples à taxa de 200% a.a., e o segundo, também a juros simples, mas à taxa dc 220% a.a. Sabendo-se que o prazo de cada empréstimo foi de 45 dias, obtenha o valor de cada um, considerando juros comerciais e juro total pago igual a $ 520,00.
t
2.4 OPERAÇÕES COM HOT MONEYSão operações de empréstimos de curtíssimo prazo (em geral, de um único dia útil) concedidos por instituições financeiras a empresas. Geralmen­te, estes empréstimos visam a suprir necessidades momentâneas de caixa dasempresas.O critério de cálculo é o de capitalização simples com juros comerciais, sendo as taxas dadas em termos mensais. Frequentemente estas operações são feitas em um único dia útil, com eventuais renovações, desde que acorda­das entre as partes.
Exemplo 2.12Uma empresa recebeu um empréstimo tipo hot money no valor de $ 500.000,00, pelo prazo de um dia, à taxa de 3% a.m. No dia seguinte, sem condições de pagar o montante, a empresa solicitou a renovação do em­préstimo por mais um dia. Sabendo-se que a renovação foi feita à taxa de3,2% a.m., obtenha:a) O montanteao final dos dois dias.b) A taxa efetiva de juros no período considerado.
Resoluçãoa) l* 2 dia
J =500.000 1 = 500OU
M = 500.500
2- dia
0 03?
500.500 ’ 1 = 533,87
30
M- 501.033,87
Maten lática Financeira
Portanto, o montante pago ao final foi de $ 501.033,87.
b) A taxa no período é dada por:
501.033,87
500.000
-1 = 0,002068 = 0,2068%
2.5 VALOR NOMINAL E VALOR ATUAL (OU PRESENTE)
Consideremos que uma pessoa tenha uma dívida de $ 11.000,00 a ser paga daqui a cinco meses. Se ela puder aplicar seu dinheiro hoje, a juros sim­ples e à taxa de 2% a.m., quanto precisará aplicar para poder pagar a dívida no seu vencimento?Em situações como esta, costuma-se chamar o valor da dívida, na data de seu vencimento, de valor nominal} ao valor aplicado a juros simples, em uma dat a anterior até a data de vencimento e que proporcione um montante igual ao valor nominal chamamos de valor atual (ou valor presente').Indicando por N o valor nominal, por Vo valor atual, por i a taxa e por n o prazo da aplicação até o vencimento, teremos esquematicamente (Figura 2.1):
A N
V
0 n
Valor nominal e valor atual.FIGURA 2.1
Portanto:
V + Vin = NAssim, no exemplo citado, teremos:
V+ V (0,02)5 = 11.000 
1,1V = 11.000
11.000
1,1
= 10.000
Então, esta pessoa deverá aplicar $ 10.000,00 hoje para saldar o compro­misso mencionado daqui a cinco meses.
Juros Simples 23
Exemplo 2.13Consideremos que um investidor tenha adquirido por $ 17.000,00 um título de uma empresa, cujo valor nominal (ou valor de resgate) seja de $ 20.000,00, sendo o prazo de vencimento igual a 12 meses. Esta operação dará ao investidor o direito de receber $ 20.000,00 daqui a 12 meses.a) Qual a taxa de juros desta aplicação, no período e ao mês. no regime dejuros simples? -b) Supondo que seis meses antes do vencimento do título, o investidor, pre­cisando de dinheiro, decida vender o título para outro investidor; su­pondo ainda que, nesta data, a taxa de juros para este tipo de aplicação tenha caído para 1,3% a.m., diga qual o preço de venda do título.
a) 20.000
17000
-1 =1765% a.p. (ao período)Portanto, a taxa mensal foi de 1/o =1,47% a.m.b) O investidor que adquiriu o título exigiu uma taxa de juros de 1,3% a.m. Assim sendo, chamando de V o valor que ele pagou pelo título, deve­mos ter:
l/+l/(0,013)6 =20.000
1,0781/=20.000
17=18.552,88Portanto, o valor pago pelo título, na data considerada, foi de $ 18.552,88.
EXERCÍCIOS
37) Uma empresa recebeu um empréstimo tipo hot money de $ 4.000.000,00 por um dia à taxa de 5% a.m. Sabendo-se que este empréstimo foi renovado por mais dois dias úteis, às taxas de 5,4% a.m. e 5,6% a.m.,obtenha:a) O montante final.b) A taxa efetiva de juros no período.
38) Resolva o problema anterior considerando, respectivamente, as seguin­tes taxas: 2,4% a.m., 2% a.m. e 1,9% a.m.
39) Em três dias úteis consecutivos, vigoraram as seguintes taxas nas ope­rações com hot money: 2,6% a.m., 2,6% a.m. e 2,9% a.m. Qual a taxa acumulada de juros no período?
24 Maten tática Financeira
40) A taxa de 2,8% a.m. vigorou em cada um de quatro dias úteis consecuti­vos em operações com hot money. Qual a taxa acumulada no período?
41) Uma dívida de $ 50.000,00 vence daqui a oito meses. Considerando uma taxa de juros simples de 2% a.m., calcule seu valor atual:a) Hoje.
b) Três meses antes do vencimento.
c) Daqui a dois meses.
42) Um título de $ 24.000,00 vence daqui a dez meses.a) Qual seu valor atual hoje, se a taxa de juros simples para esse título hoje for de 2,2% a.m.?b) Qual seu valor atual três meses antes do vencimento, se, nesse mo­mento, a taxa de juros simples para este título for de 2,6% a.m.?c) Qual seu valor atual 65 dias antes do vencimento, se, nessa data, a taxa de juros simples para este título for de 2,1% a.m.?
43) João fez uma aplicação de $ 50.000,00 ajuros simples à taxa de 2,5% a.m. pelo prazo de nove meses. No entanto, dois meses antes do ven­cimento, precisando de dinheiro, vendeu o título a Pedro. Determine o valor de venda (valor atual dois meses antes do vencimento), sa­bendo-se que, nesta data, a taxa de juros simples para este título era de 2,8% a.m.
44) Com relação ao exercício anterior, determine a taxa efetiva de juros no período auferida por João.
45) Carlos fez uma aplicação de $ 60.000,00 ajuros simples, pelo prazo de nove meses, à taxa de 32% a.a. No entanto, quatro meses antes do vencimento, precisando de dinheiro, vendeu o título a Vera. Determi­ne o valor de venda (valor atual na data da venda), sabendo-se que, no momento da venda, a taxa de juros simples era de 27% a.a.
46) Nas condições do exercício anterior, qual a taxa efetiva de juros no período auferida por Carlos?
Descontos Simples
3.1 INTRODUÇÃOA idéia de desconto está associada com o abatimento dado a um valor monetário em determinadas condições. Assim, por exemplo, quando uma com­pra é feita em grande quantidade, é comum o vendedor conceder algum des­conto no preço por unidade. No comércio, também é bastante comum o ven­dedor conceder um prazo para o pagamento; caso o comprador queira pagar à vista, geralmente é proporcionado um desconto sobre o preço oferecido.Nestas situações, o desconto costuma ser expresso por um porcentual aplicado sobre o preço. No primeiro exemplo, consideremos que o preço co­brado por unidade seja $ 20,00, e que, caso o comprador compre mais de 100 unidades, haja um desconto de 5%. Nestas condições, o desconto é igual a $ 1,00 (5% de $ 20,00), e o novo preço passa a ser $ 19,00. No segundo exemplo, consideremos que o preço de um produto seja $ 500,00 para paga­mento dentro de 40 dias; caso o vendedor conceda um desconto de 3% para pagamento à vista, o valor do desconto será de $ 15,00 (3% de $ 500,00), e o preço à vista será $ 485,00.Uma outra situação envolvendo o conceito de descont o ocorre quando uma empresa vende mu produto a prazo; nesse caso, o vendedor emite uma duplica­ta que lhe dará o direito de receber do comprador o valor combinado na data fut ura. Caso o vendedor precise de dinheiro, ele poderá ir a um banco e efetuar um desconto da duplicata. Resumidamente, ocorre o seguinte: a empresa cede ao banco o direit o do recebimento da duplicata em troca de dinheiro recebido
Matei i tática Finances!a26
antecipadamente. Por exemplo, consideremos que, em uma certa venda, uma empresa emitiu uma duplicata de $ 5.000,00 para vencimento dentro de dois meses. Precisando de dinheiro, a empresa levou a duplicata a um banco, que lire propôs adiantar $ 4.800,00 em troca da duplicata. Dizemos, neste caso, que o banco propôs um desconto de $ 200,00 ($ 5.000,00 menos $ 4.800,00).De modo análogo ao desconto de duplicatas, uma empresa pode descon­tar notas promissórias em um banco. As notas promissórias surgem quando, por alguma razão, um devedor assume uma dívida perante um credor; a nota promissória é um papel que representa uma promessa de pagamento ao cre­dor, a qual é feita pelo devedor.As operações de desconto de duplicat as e promissórias, sendo bastante comuns no sistema financeiro, possuem uma sistemática de cálculo bem ca­racterizada, chamada de desconto comercial ou bancário, a qual passare­mos a estudar.
3.2 DESCONTO COMERCIAL OU BANCARIOChamamos de valor nominal (ou valor deface} c indicamos por N o valor do tít ulo a ser descontado. Seja n o prazo de vencimento do título e d a taxa de desconto utilizada na operação (em porcentagem por período). O desconto comercial ou bancário (D) é dado por:
D = Ndn 3.1A diferença N-D é chamada de valor descontado ou valor atual co­
mercial ou, ainda, valor líquido do título-, vamos indicar esta diferença por 
Vd, isto é:
Fd = /V-D 3.2
Exemplo 3.1Uma duplicata de $ 18.000,00 foi descontada em um banco dois meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2,5% a.m.a) Obtenha o desconto.b) Obtenha o valor líquido recebido pela empresa.c) Obtenha o fluxo de caixa da operação do ponto de vista do banco. Cal­cule também a taxa efetiva de juros da operação.
Resoluçãoa) 0= 18.000(0,025)2 = 900b) VÇ= 18.000-900 = 17.100c) O fluxo de caixa do banco é (Figura3.1):
Descontos Simples
18.000
A
20
▼
17.100
Fluxo de caixa do banco que adiantou $17.100 por uma duplicata de 
$ 18.000.
18.000
17100
0,0526 =5,26% a.b.
No regime de juros simples, tal taxa é equivalente a 5,26%2 = 2,63% a.m. Ximportante notar que a taxa de juros simples mensal é diferente da taxa men­sal de desconto. Isto porque a taxa de juros incide no valor inicial ($ 17.100) para dar $ 900,00, ao passo que a taxa de desconto incide no valor final ($ 18.000) para dar o resultado $ 900,00 (as pequenas diferenças obser­vadas decorrem do arredondamento feito).
Exemplo 3.2Uma nota promissória de $ 12.000,00 foi descontada em um banco 42 dias antes do vencimento, a tuna taxa de descont o comercial de 2% a.m.a) Q.ual o desconto?b) Qual o valor líquido recebido pela empresa, sabendo-se que o banco cobrou uma taxa de serviço de 0,5% do valor da promissória, pago no dia em que a empresa a descontou?c) Qual a taxa efetiva de juros da operação no período?
Resoluçãoa) D = 12.000 (~y)42 =336b) Taxa de serviço: 0,005(12.000) = 60Valor recebido pela empresa: 12.000 - 336 - 60 = 11.604c) Taxa efetiva de juros: / = 12,000
11,604
-1 = 3,41% a.p. (ao período)
Mate/1 lática Financeira
Exemplo 3.3Um banco cobra, em suas operações de desconto de duplicatas, uma taxa de desconto comercial de 3% a.m. Qual a taxa, efetiva de juros simples se os prazos de vencimento forem:a) Um mês.b) Dois meses.
Resoluçãoa) Como o valor da duplicata não é fornecido, vamos considerar um valor arbitrário, digamos $ 100,00. Assim:
D= 100(0,03)1 = 3 
VÇ=97Portanto, o fluxo de caixa da operação, do ponto de vista do banco, é (Fi­gura 3.2):
100
Á
7
97
FIGURA 3.2 Fluxo de caixa de um banco que adiantou $97 por uma duplicata de 
$ 100.
1 = 3,09% a.m.É importante observar que, caso se atribua à duplicata qualquer outro va­lor, a resposta será a mesma.Evidentemente, a resolução poderia ser feita, literalmente, da seguinte forma:• Valor da duplicata: N• Desconto: D = /V(O,O3)1 = 0,03/V• Valor líquido: N-0,03N = 0,97/v
N• Taxa efetiva de juros: / = • Q Q7N • - 1 = o,0309 = 3,09% a.m.b) Analogamente ao item anterior, se considerarmos uma duplicata de valor $ 100, teremos:
Descontos Simples 29
D = 100(0,03)2 = 6 
Vd=94Portanto, a taxa efetiva de juros no período é:
100
/ =------ --- 1 = 6,38% a.b.
94Isso equivale, em juros simples, a 3,19% a.m.
Exemplo 3.4Ao descontar uma duplicata com prazo de 72 dias até o vencimento, um banco pretende ganhar uma taxa de juros de 6% no período. Qual taxa de desconto mensal deverá cobrar?
ResoluçãoAdmitamos uma duplicata de valor igual a $ 100,00, por exemplo. Assim, sendo Vd o valor descontado, teremos:
100 , 100
——1=0,06 1/,= -—=94,34
Portanto, o desconto é igual a 100 - 94,34 = 5,66. Considerando a fórmula do desconto D = Ndn e que queremos a taxa d em termos mensais, pode­mos escrever:
5,66 =100P 72
30
30(5,66)
100(72)
0,0236 = 2,36% a.m.
Exemplo 3.5Ao descontar uma duplicata com prazo de 42 dias até o vencimento, um banco pretende ganhar uma taxa de juros de 3% a.m. Qual taxa de descon­to mensal deverá cobrar?
ResoluçãoAdmitamos uma duplicata de valor igual a $ 100,00, por exemplo. Primeiro, vamos obter a taxa de juros no período da operação. Assim:
o o/Taxa no período: (42) = 4,2%Sendo Vd o valor descontado, teremos:
100 1Z 100 
------ --- 1 = 0,042 => V, = --------- = 95,97
V. 1,042Portanto, o desconto é igual a 100 - 95,97 = 4,03. Considerando a fórmula do desconto D = Ndn e que queremos a taxa d em termos mensais, pode­mos escrever:
30 Matemática Financeira
4,03 = 100c/
42
30
c/ = 30(4,03) 
100(42)
= 0,0288 =2,88% a.m.
3.3 RELAÇÃO ENTRE TAXA DE DESCONTO E TAXA DE JUROS 
SIMPLESVimos, nos exemplos anteriores, como calcular a taxa de juros dada a taxa de desconto e vice-versa, usando o fluxo de caixa da operação. Vejamos, a se­guir, como estabelecer uma relação entre ambas. Consideremos que a taxa de desconto d e a taxa de juros simples i estejam na mesma unidade de tempo e seja n o prazo de vencimento do título (expresso na mesma unidade de tempo de d e ?}. Sendo TV o valor nominal do título cDo desconto, o fluxo de caixa da operação de desconto, do ponto de vista do banco, é dado pela. Figura 3.3:
AN
n0
▼ N-D
Fluxo de caixa de uma operação de desconto do ponto de vista do banco.
Portanto:
N
in = -1
N-D
m =
N-(N-D)
N-D
Dm =
m
N-D
Ndn
N-Ndn
Ndn
m
N0 -dn)
Descontos Simples 31
Por meio desta última relação, podemos achar o valor de i dado o valor de 
d e vice-versa.
Exemplo 3.6Se a taxa de desconto comercial for de 4% a.m., e o prazo de vencimento de uma duplicata for de três meses, qual a taxa mensal de juros simples da operação?
Resolução Temos: 
d = 4% e n = 3 Portanto:
i = ------2:21------= 0.0455 =4,55%
1-(0,04)3Assim, a taxa de juros simples da operação vale 4,55% a.m.
Exemplo 3.7Uma duplicata com prazo de vencimento de dois meses foi descontada em um banco, proporcionando-lhe uma taxa efetiva de juros simples igual a •3% a.m. Qual a taxa de desconto utilizada?
ResoluçãoTemos:
/ = 3% e n = 2.Portanto, usando a mesma relação do exemplo anterior:
d
0,03 =-----------
1-d2
0,03 (1-2d) = d 
0,03-0,06d = d 
-1,06d = -0,03 '
d= = 0,0283 = 2,83%
1,06Assim, a taxa de desconto procurada vale 2,83% a.m.
EXERCÍCIOS1) Uma duplicata de valor nominal igual a $ 9.000,00 foi descontada em 
um banco dois meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2% a.m. Obtenha:
32 Mdtemática Financeira
a) 0 desconto comercial.b) 0 valor descontado (ou valor atual comercial) do título.c) A taxa efetiva de juros no período.d) A taxa efetiva de juros simples mensal da operação.2) Umã promissória de $ 20.000,00 foi descontada em um banco três meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 1,8% a.m. Pergunta-se:a) Qual o desconto comercial?b) Qual o valor atual comercial do título?c) Qual a taxa efetiva de juros no período?d) Qual a taxa efetiva de juros simples mensal da operação?3) Uma duplicata de $ 12.000,00 foi descontada em um banco 48 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial simples de 2,1% a.m. Obtenha:a) O desconto.b) O valor líquido recebido pela empresa.c) A taxa efetiva de juros no período.d) A taxa efetiva de juros simples mensal da operação.
4) Uma empresa descontou em um banco um título de valor nominal igual a $ 90.000,00 40 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto bancário de 30% a.a.a) Qual o desconto bancário?b) Qual o valor líquido recebido pela empresa, sabendo-se que o ban­co cobrou uma taxa de serviço igual a 1% do valor nominal do título?
5) Um título governamental com valor de face de $ 100.000,00 foi adqui­rido 70 dias antes do vencimento, com desconto comercial simples, sen­do a taxa igual a 25% a.a.a) Qual o preço de aquisição?b) Qual a taxa efetiva de juros no período proporcionada pela aplicação?
6) Um fundo de investimento adquiriu por $ 48.800,00 um título governa­mental com valor de resgate de $ 50.000,00. Sabendo-se que o prazo de vencimento do título era de 49 dias, calcule:a) A taxa efetiva de juros no período.b) A taxa efetiva de juros simples mensal da operação.
Descontos Simpíes 33
7) Com relação ao exercício anterior, calcule a taxa mensal de desconto comercial utilizada.
8) Uma empresa descontou uma duplicata de $ 12.000.00 4-5 dias an­tes do vencimento. Sabendo-se que ela recebeu um valor líquido de $ 11.720,00, calcule a taxa de desconto comercial mensal da operação.
9) Uma duplicata de $ 8.000,00 foi descontada em um banco, proporcio­nando um valor descontado (valor líquido) de $ 7.500,00. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial utilizada foi de 2,2% a.m., obtenha o prazo de vencimento deste título.
10) Uma duplicata, cujo prazo até o vencimento era de 90 dias, foi descon­tada em um banco à taxa de desconto comercial de 1,8% a.m. Calcule o valor de face do título, sabendo-se que a empresa recebeu um valor líquido de $ 3.500,00 e que o banco cobrou uma taxa de serviço igual a 1% do valor nominal (valor de face) do título.
11) Uma empresa descontouem um banco uma duplicata de $ 15.000,00 67 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 3,5% a.m. Obtenha o valor líquido recebido pela empresa, consideran­do que esta pagou, na data da operação, um imposto (imposto sobre operações financeiras) igual a 0,0041% ao dia, aplicado sobre o valor nominal do título.
12) Para pagar uma dívida de $ 1.055.500,00, uma empresa juntou um che­que de $ 266.500,00 à importância líquida proveniente do desconto comercial de uma duplicata de $ 980.000,00, três meses antes do ven­cimento. Determine a taxa mensal de desconto comercial utilizada.
13) Um banco oferece empréstimos pessoais mediante o preencliimento de uma promissória pelo cliente com prazo de vencimento igual ao prazo pedido para pagamento. Em seguida, o banco desconta a promissória a uma taxa de desconto comercial de 4% a.m. e entrega ao cliente o valor líquido. Se uma pessoa precisar hoje de $ 7.000,00, para pagamento daqui a três meses, que valor da promissória deverá assinar?
14) Resolva o exercício anterior, considerando uma taxa de desconto co­mercial de 3% a.m., prazo de pagamento de 47 dias e valor que o cliente precisa hoje igual a $ 12.600,00.
Matemática Financeira
15) Um banco realiza operações cie desc onto cie duplicatas utilizando uma taxa de desconto comercial de 3% a.m. Qual a taxa efetiva de juros simples mensal se os prazos de vencimento forem:a) Um mês. c) Cinco meses.b) Dois meses.
16) Um banco realiza operações de desconto de duplicatas utilizando uma taxa de desconto comercial de 2% a.m. e cobrando uma taxa de despe­sas administrativas igual a 1% do valor da duplicata. Qual a taxa efetiva de juros simples mensal se os prazos forem:a) Um mês. b) Três meses.
17) Uma empresa, precisando de capital de giro, decide descontar uma duplicata de dois meses até o vencimento. Tal operação pode ser feita em um banco A ou em um banco B. O banco A utiliza tuna taxa de desconto comercial de 2,5% a.m. mais tuna taxa de serviço igual a 0,8% do valor do título; o banco B utiliza uma taxa de desconto comercial de 3,1% a.m. sem taxa de serviço. Qual banco a empresa deverá escolher?
18) Se um determinado banco cobra 1% como taxa de serviço e 36% a.a. como taxa de desconto comercial em desconto de duplicatas, que taxa efetiva de juros simples mensal estará ganhando se os prazos de venci­mento forem:a) Dois meses. b) Quatro meses.
19) Se um banco deseja ganhar a taxa efetiva de juros simples mensal de 3% a.m. em operações de desconto de duplicatas, que taxa mensal deAdesconto comercial deverá cobrar se os prazos de vencimento forem: a) Um mês. b) Três meses.
20) Para promissórias com prazos de vencimento de dois meses, que taxa mensal de desconto comercial proporciona uma taxa efetiva de juros de 6% no período?
21) Para duplicatas com prazos de vencimento de três meses, que taxa mensal de desconto comercial proporciona uma taxa efetiva de juros de 2% a.m.?
22) Uma taxa efetiva de juros de 14% cm um período corresponde a que taxa de desconto comercial no mesmo período?
Descontos Simples 53
23) Um título com vencimento em 74 dias foi descontado, sendo a taxa efetiva de juros no período igual a 12%.a) Qual a taxa de desconto no período?b) Qual a taxa mensal de desconto?
24) Se mu banco deseja ganhar uma taxa efetiva de juros simples mensal de 3% a.m. em operações de desconto de duplicatas, que taxa mensal de desconto comercial deverá utilizar se os prazos de vencimento forem:a) Um mês. c) Vinte e cinco dias.b) Três meses.
(Concurso para Controlado?- de Arrecadação Federal) Uma finan­ceira deseja obter uma taxa efetiva de 40% a.a. em uma operação de três meses. Nestas condições, a empresa deverá cobrar a taxa anual de desconto comercial simples de:a) 36,36% a.a.b) 37,05% a.a. c) 38,06% a.a.d) 38,5% a.a.
26) Uma determinada loja efetua suas vendas dando ao cliente três meses de prazo para pagamento. Se o cliente optar pelo pagamento à vista, receberá um desconto de 10% sobre o valor nominal da compra. Qual taxa efetiva de juros no período está sendo cobrada pela loja? (neste tipo de situação, isto é, desconto para pagamento à vista, a taxa de desconto utilizada c a taxa no período, neste caso, três meses).
27) Um desconto de 20% para pagar à vista um produto cujo preço é dado para pagamento em quatro meses corresponde a que taxa efetiva de juros no período?
28) (Palestra do professor Mário Henrique Simonsen na FGV-Rio) “Em 1964, foi oferecido a um executivo um empréstimo a uma taxa de des­conto de 4,5% a.m., por seis meses, e ele não aceitou, preferindo a mesma taxa por um período de 12 meses. Result,ado: pagou uma taxa efetiva de 117,39% a.a., em vez de 87,65% a.a., e perdeu o emprego.”Confirme o resultado anterior, utilizando o conceito de taxa efetiva de juros.
29) Dois títulos, um para 50 dias e outro para 90 dias, foram descontados a uma taxa de desconto comercial de 6% a.m. Sendo de $ 900.00ti.00 a
soma dc seus valores nominais e de $ 128.400,00 a soma dos descon­tos, determine o valor nominal de cada título.
30) Dois títulos, um de $ 376.2 . 10 e outro de $ 253.800,00, foram des­contados a uma taxa de desconto de 6% a.m., sofrendo um desconto total de $ 71.748.00. O vencimento do primeiro ocorre 20 dias depois do vencimento do segundo. Determine os prazos de vencimento de cada título.
3.4 OPERAÇÕES COM UM CONJUNTO DE TÍTULOSVimos, nos itens anteriores, como proceder para descontar mu único título. Caso tenhamos um conjunto dc títulos (chamado borderô, no caso de duplica­tas), o seu valor atual comercial (ou valor líquido) é a soma dos valores atuais de cada título.
Exemplo 3.8Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas a seguir, para serem des­contadas em um banco à taxa de desconto comercial de 2% a.m. Qual o valor líquido recebido pela empresa?
Duplicata Valor Prazo até o vencimento
A $ 20.000 30 dias
B $ 40.000 65 dias
C $ 80.000 82 dias
Resolução• Duplicata A
Da = 20.000(0,02)1 = 400 •
V = 19.600• Duplicata B
D., = 40.000 -^—-65 = 1.733,33 
B 30
V. =38.266,67•70 ’Duplicata C
Descontos Simpies 37
Dc = 80.000 -^-82 =4.373,33
jU
V = 75.626,67Desta forma, o valor líquido liberado para a empresa foi de:
19.600 + 38.266,67 + 75.626,67 = 133.493,34O mesmo resultado poderia. ser obtido subtraindo-se do total do borderô ($ 140.000,00) a soma dos descontos ($ 6.506,66). O fluxo de caixa da operação, do ponto de vista do banco, é (Figura 3.4):
—rFIGURA 3.4 Fluxo de caixa de um banco que adiantou $ 133.493,34 para receber 
duplicatas de $ 20.000, $ 40.000 e $ 80.000.
Para o cálculo da taxa efetiva de juros, o procedimento é um pouco mais complexo do que com um único título. No caso de vários títulos, a taxa efetiva de juros é a taxa interna de retorno do fluxo de caixa da operação, assunto que estudaremos no Capítulo 6.
3.5 PRAZO MÉDIO DE UM CONJUNTO DE TÍTULOSChama-se de prazo médio de um conjunto de títulos ao prazo em que se deve descontar o valor total do conjunto, a uma certa taxa de desconto comercial, para, obter o mesmo resultado que a soma dos descontos de cada título, à mesma taxa de desconto.Sejam:
Nb N2,N3,..., Np os valores dos títulos com prazos respectivos iguais a n}, 
7iã, n3, ..., np, e d a taxa de desconto comercial.Chamando de n o prazo médio, teremos, por definição:
(A/, + N„ + N, +
(A/, + A/., + N +
+ N ) dn - N.dn. + A/ dn., + N dn., + ... + N dnp 7 £12 2 3 3 r
+ Nj) dn = d(Ntnt + N.,n, +N.,n.. + ... + NrnJI I 3 3 p p-
38__________
Portanto:
Mâtemáticâ Financeira
A/,n, + A/;)n.,+AZ,n3 + •• ~
AZ, + A/2 + A/3+ .. + AZ.Isto é, o prazo médio é a média ponderada dos prazos dos títulos, sendo os pesos iguais aos valores de cada título.
Exemplo 3.9Qual o prazo médio do borderô do exemplo 3.8? 
Resolução
n =
(20.000)30 + (40.000)65 + (80.000)82 
20.000+40.000 + 80.000
= 69,71 diasPortanto, se descontarmos o valor total do borderô (S 140.000,00) a uma taxa de 2% a.m. no prazo de 69,71 dias, obteremos:
D = (140.000)
0,02
30
(69,71) = 6.506,27O resultado obtido é o mesmo do exemplo 3.8, desconsiderando os arre­dondamentos.O prazo médiotambém pode ser obtido usando-se teclas de média ponde­rada de calculadoras financeiras. Exemplificaremos com a calculadora HP12C:
f CLEARREG306582
ENTER
ENTER
ENTER
20.00040.00080.000 z+
EXERCÍCIOS31) Em cada borderô a seguir, suponha, que as duplicatas sejam desconta­das à taxa de desconto de 1,8% a.m. Obtenha o valor líquido do borderô cm cada caso.
Descontos Simples
a) Duplicata Valor Prazo até o vencimento
A $ 45.000 16 dias
B $ 60.000 38 dias
b) Duplicata Valor Prazo até o vencimento
P $ 15.000 20 dias
Q $ 27.000 32 dias
R $ 19.000 45 dias
c) Duplicata Valor Prazo até o vencimento
M $ 26.000 16 dias
N $ 15.000 25 dias
O $ 40.000 35 dias
P $ 62.000 40 dias
32) Com relação aos dados do exercício anterior, calcule o prazo médio de cada borderô e mostre que, descontando-se o valor total de cada um, no seu prazo médio e à taxa dada, chega-se aos mesmos valores líqui­dos do exercício anterior.33) Mostre que, se um borderô tem todas as duplicatas do mesmo valor, o prazo médio é igual à média aritmética dos prazos das duplicatas deste borderô.34) No seguinte borderô, suponha que cada duplicata seja, descontada à taxa de desconto indicada. Qual seu valor líquido?
Duplicata ; Valor
Prazo até o
vencimento
Taxa de
desconto
A $ 40000 20 dias 1,5% a.m.
B $ 50.000 35 dias 2% a.m.
C F $ 25.000 50 dias 2,5% a.m.
35) Com relação ao exercício anterior, com qual taxa (constante) de des- conto deveriamos descontar o total do borderô, no seu prazo médio, para obtermos o mesmo valor líquido do exercício anterior?
/ tmaaca Financeira
36) Duas duplicatas, uma de $ 25.000,00 e 18 dias até o vencimento, outra ■de $ 32.000,00 e 38 dias até o vencimento, foram descontadas em um banco: a primeira a uma taxa de desconto de 3% a.m. e a segunda a uma taxa de 4% a.m.a) Qual o valor líquido?b) Qual o prazo médio do borderô?c) Com qual taxa (constante) deveriamos descontar o total do borderô, no seu prazo médio, para obtermos o valor líquido do item a?
Juros Compostos
4,1 FÓRMULA DO MONTANTEVimos, no Capítulo 1, que, no regime de capitalização composta, os juros gerados em cada período agregam-se ao montante do período anterior, pas­sando este novo montante a produzir juros no período seguinte.Consideremos um capital C, uma taxa de juros i e calculemos o montante obtido a juros compostos, após n períodos de tempo (expresso na unidade de tempo da taxa).• Montante após 1 período: 
m7 = c + C/'= C(1 + /)• Montante após 2 períodos:
M2= M1 + M.i = A4.(1 + z) = C(1 + /) (1 + z) = C(1 + i)2• Montante após 3 períodos:
M3 = M2, M2i = A42(1 + z) = C(1 + z)2 (1 + z) = C(1 + z)3E fácil perceber, por generalização, que, após n períodos, o montante será dado por:
M, = C(1 +iy
Maten lática Financeira
Não havendo possibilidade de confusão, podemos omitir o índice n e es­crever simplesmente:
A4=C(1+/)"
Observações1) O fator (1 + iy\ chamado de fator de acumulação de capital para pagamento único, pode ser calculado diretamente com uma calcula­dora, ou, ainda, pode ser obtido em tabelas financeiras - como as que constam no final do livro. E importante ressaltar que n deve ser ex­presso sempre na uni .iade de tempo estipulada na taxa. O procedi­mento de se alterar a tax t1 ara que ela fique de acordo com a unidade de tempo de será vist: nc item seguinte.2) As calculadoras financeiras permitem calcular diretamente qualquer valor das quatro variáveis da fórmula, dados os valores das outras três. A terminologia utilizada é a seguinte:(do inglês Present Valm representa o capital (do inglês Put lire í>.cT representa o montante representa a taxa de jurosrepresenta o número de períodosXE important e destacar que, na maioria das calculadoras, os valores de PV e FVaparecem um com sinal positivo e outro com sinal negativo. Isto porque, nas teclas financeiras, uma entrada de caixa é representada por um número positivo, ao passo que uma saída é representada por mu número negativo. Assim, em uma operação a juros compostos com pagamento único, para o tomador do empréstimo, PV é positivo e FV é negativo; para o emprestador, 
PV é negativo e FV é positivo (Figura 4.1).
PV
Á
FV
▲
▼ ▼
FV PV
Tomador do empréstimo Emprestador
Fluxo de caixa para o tomador do empréstimo e para ó emprestador.
Juros Compostos
Geralmente, nas calculadoras financeiras, um número negativo é introdu­zido digitando-se seu valor absoluto seguido da tecla f + j| ou da tecla fOHS 
(Change Sign) no caso da calculadora HP12C.Antes dc utilizarmos as teclas financeiras, devemos limpar os registrado- res financeiros. No caso da calculadora HP12C, isso pode ser feito acionando- se a tecla amarela CLEAR FIN (situada na terceira linha c quarta coluna, da calculadora). Também podemos utilizar a tecla amarela ICLEAR REG (situa­da na terceira linha e quinta coluna), só que, nesse caso, serão apagadas tam­bém as memórias e a pilha operacional da calculadora.
Exemplo 4.1Um capital de $ 6.000,00 foi aplicado ajuros compostos durante três me­ses, à taxa de 2% a.m.a) Qual o montante?b) Qual o total de juros auferidos?
a) c = 6.000 /' = 2% a.m. n = 3 meses
M = 6.000(1 + 0,02)3 = 6.000(1,02)3 = 6.367,25Para resolvermos pela calculadora financeira, temos de proceder como segue:
32 I = -6.367,256.000
b) J = 6.367,25 - 6.000 = 367,25Assim, o montante foi de $ 6.367,25 e o juro igual a $ 367,25
Exemplo 4.2Que capital, aplicado ajuros compostos à taxa de 2,5% a.m., produz um montante de $ 3.500,00 após um ano?
ucao
M = 3.500
44 Matemática Financeira
i = 2,5% a.m.
n = 12 (pois n deve ser expresso na unidade da taxa) Portanto:
3.500 = C(1,025)12
3.500 = C1,3449
3.500 = C(1,025),:>
3.500 =C 1,3449
>
3.500
1,3449
= 2.602,42C =O resultado da operaçã: 1 : ?i arredondado acima para quatro ca­sas decimais. Caso tivéssemos armazenado na memória tal resultado e fei­to a divisão de 3.5 r .: -5 . :~n ; s 5: tido o resultado 2.602,45, ligeira­mente diferente do anterior.É bastante comum esse tipo de c:: rrência e julgamos que não deve haver preocupação com esse fato, pelo m- r. $ não nessa etapa do aprendizado. A resolução pela calculadora finane eira é feita da seguinte forma:
122,53.500 = -2.602,45
Exemplo 4.3
——— - «WS- ■— ■ .Um capital de $ 2.500,00 foi aplicado a juros compostos durante quatro me­ses, produzindo um montante de $ 3.500,00. Qual a taxa mensal de juros?X
Resolução ;
C = 2.500 n = 4 meses M = 3.500
3.500 = 2.500(1 + /j4 
(1 + /)4= 1,4Elevando os dois membros a expoente teremos:
1 1 .» 
((1+/)4)4 = (1,4)4
(1 + /)’ = (1,4)°^’
1 + / =1,0878 
/ = 0,0878 = 8,78% a.m.
Juros Compostos 45
A resolução pela calculadora financeira é feita da seguinte forma:
42.500 = 8,78% a.m.3.500 CHS
Exemplo 4.4Durante quanto tempo um capital de $ 1.000,00 deve ser aplicado ajuros compostos à taxa de 10% a.a. para resultar em um montante de $ 1.610,51? 
Resolução
C= 1.000 /=10%a.a. M= 1.610,51f.ówr = ?.«,
(1,1)" = 1,61051Tomando o logaritmo natural (LN) de ambos os membros, teremos:
Z_A/(1,1)n = L/V(1,61051) 
nLN(],V) = LN (1,61051)
LN (1,61051) 0,476551
n =-------- ---------------=------------------ = 5 anos
ZJV(1,1) 0,09531A resolução pela calculadora financeira é feita da seguinte forma:
= 5 anos1.610,51
ObservaçãoNas calculadoras modelo HP12C, o valor de n é arredondado para mais quando são usadas as teclas financeiras. Assim, quando não se sabe sen é inteiro ou não, recomenda-se o uso da fórmula (a menos que o prazo seja dado em dias, quando, então, o arredondamento é praticamente irrelevante).
Maten lática Financeira
Exemplo 4.5Uma empresa vende determinada matéria-prima por $ 1.500,00 a tonela­da, sendo o pagamento feito dois meses após a compra. Para pagamento à vista, a empresa dá um descem le 5 sobre os $ 1.500,00. Qual a taxa mensal de juros compostos pagos no financiamento?
Resolução
O desconto para pagamento à vista é igual a (0,05)1.500 = 75. Portanto: o preço para pagamento à vista é $ 1.425,00.Assim, caso o pagamento seja feito a prazo, o capital financiado é $ 1.425 e o montante correspondente, após dois meses, é $ 1.500,00. Portanto, ataxa mensal de juros compostos do financiamento é obtida pela relação:
1.500 = 1.425(1 + i)2 
(1 + í)2 = 1,0526Elevando ambos os membros a expoente p teremos:i i
((1 + /)V = (1,0526p 
(1+/')’= (1,0526)°'5 
1 + / =1,0260 
/ = 0,0260 = 2,60% a.m.A resolução pela calculadora financeira é feita da seguinte forma:
1.425 I----- :1.500
Exemplo 4.6Uma duplicata de $ 6.000,01) foi descontada em um banco à taxa de des­conto comercial de 2% a.m., quatro meses antes do vencimento.a) Qual o valor líquido da duplicata?b) Qual a taxa mensal de juros compostos da operação?
a) D = 6.000(0,02)4 = 480.Assim, o valor líquido da duplicata foi de 6.000 - 480 = 5.520.
Juros Compostos 47
b) 0 fluxo de caixa da operação, do ponto de visoa do banco, foi (Figura 4.2):
▼
5.520
...—~~
Fluxo do caixa do banco quo adiantou $ 5.520 por uma duplicata de 
$ 6.000.
Assim, a taxa mensal de juros compostos (i) é dada por:
6.000 = 5.520(1 + /)■■'
(1 + // = 1,0870 
1
1 + / = (1,0870)4 =1,0211
i= 0,0211 = 2,11% a.m.Usando as teclas financeiras, teremos:
5.5206.000
EXERCÍCIOS1) Qual o montante de uma. aplicação de $ 50.000,00 a juros compostos, pelo prazo de seis meses, à taxa de 2% a.m.?
2) Obtenha o montante das aplicações a. seguir, considerando o regime de juros compostos:
48 Matemática Financeira
Capitai Taxa Prazo
a) $ 80.000,00 36% a.a. 2 anos
b) $ 65.000,00 3% a.m. 1 ano
c) $ 35.000,00 7% a.t. 1 ano e meio
3) Um capital le 5 7. . i aplicado a juros compostos, durante um
ano e meio, à taxa de 2,5% a.m. Calcule os juros auferidos no período.
4) Uma pessoa aplica hoje 5 4. h i.OO e aplicará $ 12.000,00 daqui a três meses em um fundo que rende juros compostos à taxa de 2,6% a.m. Qual seu montante daqui a seis meses?
5) Qual o capital que, aplicado a jur -s compostos, durante nove anos, à taxa de 10% a.a., produz um montante de $ 175.000,00?
6) Um capital de $ 3.000,00 foi aplica io a juros compostos, durante dez meses, gerando um montante de S 3.500,00. Qual a taxa mensal?
7) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante dez meses, rendendo um juro igual ao capital aplicado. Qual a taxa mensal desta aplicação?
8) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante nove meses, ren­dendo um montante igual ao triplo do capital aplicado. Qual a taxa trimestral da aplicação?
9) Um fogão é vendido à vista por $ 600,00, ou, então, a prazo, sendo 20% do preço à vista como entrada, mais uma parcela de $ 550,00 dois meses após a compra. Qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento?a
10) Durante quanto tempo um capital de $ 5.000,00 deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 1,8% a.m., para gerar um montante de $ 5.767,00?
11) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 2,2%, para que duplique?
12) Alberto aplicou $ 6.000,00 a juros compostos, durante um ano, à taxa de 24% a.a.a) Qual o montante?
Juras Compostos 49
b) Qual a taxa mensal cie juros cia aplicação?c) Qual a taxa semestral cie juros cia aplicação?
13) Gisele aplicou $ 6.000,00 ajuros compostos, sendo uma parte no banco A, à taxa de 2% a.m., e outra no banco B, à taxa de 1,5% a.m. O prazo das duas aplicações foi de seis meses. Calcule quanto foi aplicado em cada banco, sabendo-se que os montantes resultantes foram iguais.
14) Aplique hoje $ 55.000,00 e receba após seis meses $ 60.000,00. Qual a taxa mensal de rendimento desta aplicação, considerando o regime de juros compostos?
15) Milena adquiriu um aparelho de som há seis meses por $ 800,00. Es­tando o aparelho em ótimo estado de conservação, e desejando vendê-lo com um retorno de 2% a.m. sobre o capital aplicado na compra, calcule o preço cie venda, considerando o regime de juros compostos.
16) Uma empresa vende um componente eletrônico por $ 200,00 a unida­de, sendo o pagamento feito clois meses após a compra. Para pagamen­to à vista, o preço é $ 192,00. Qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento?
17) A política, de vendas de uma empresa produtora de materiais de constru­ção é conceder três meses de prazo para pagamento; se o pagamento for feito à vista, há um desconto de 6% sobre o preço para pagamento em três meses. Qual a taxa trimestral de juros compostos do financiamento?
18) Uma empresa descontou em um banco uma duplicata de $ 18.000,00 dois meses antes do vencimento, à taxa de desconto comercial de 2,3% a.m.a) Qual o valor líquido recebido pela empresa?b) Qual a taxa mensal de juros simples da operação?c) Qual a taxa mensal de juros compostos da operação?
19) A empresa Vesúvio Ltcla. descontou em um banco A uma duplicata de $ 100.000,00 três meses antes do seu vencimento. Sendo de 3,5% a.m. a taxa de desconto, pergunta-se:a) Qual o valor líquido recebido pela empresa?b) Qual a taxa mensal de juros compostos da operação?
Mdt emática Financeira50
20) Com relação ao exercício anterior, suponha que a empresa consiga, em um outro banco B, um empréstimo igual ao valor líquido da dupli­cata, para ser pago no mesmo prazo (três meses), sendo cobrados juros compost os com taxa de -3,6% a.m. Qual a melhor opção para a empresa?
21) Qual seria a resposta do exercício anterior se o banco B cobrasse, ain­da, uma taxa de serviço de 1 do valor do empréstimo, paga no instan­te da liberação do crédito?
4.2 PERÍODOS NÃO INTEIROSNa dedução da fórmula do montante, vista no item anterior, o prazo era um número inteiro não negativo. A fórmula do montante M = C(1 + i)" é geralmente estendida para valores de n positivos e não inteiros, e esta con­venção é conhecida como convenção exponencial.Teoricamente, há uma outra convenção, chamada linear, que consiste em calcular o montante a juros compostos durante a part e inteira do período e, sobre o montante assim obtido, aplicar juros simples durante a parte não inteira do período considerado. Esta última convenção é raramente utilizada na prática.
Exemplo 4.7Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante três me­ses e meio, à taxa de 8% a.m.a) Qual o montante pela convenção exponencial?b) Qual o montante pela convenção linear?
Resoluçãoa) M = 1.000(1,08)35 = 1.309,13b) 1- passo: M = 1.000(1,08)3 = 1.259,712-passo: M' = 1.259,71 + 1.259,71(0,08)0,5 = 1.310,10O leitor deve ter notado que o montante obtido pela convenção linear é maior do que o obtido pela convenção exponencial. Tal fato se explica, pois, na convenção exponencial, o mont ante é dado pela função exponencial 
M = 1.000(1,08)" paran = 3,5. Na convenção linear, até o instante n = 3 o montant e segue a função exponencial; do instante 3 até o instante 4, o montante cresce linearmente, pois é dado por:
M’= 1.000(1,08)3 + 1.000(1,08)30,08(n - 3)
Juros Compostos
Note que, para n = 3, os montantes dados pelas duas convenções coincidem, o mesmo ocorrendo para n = 4. A Figura 4.3 a seguir esclarece a idéia.
Montante m ■ irn apitai de $ 1.000 pelas convenções linear e exponencial.
Finalmente, cumpre observar que. para a maioria das calculadoras finan­ceiras, as teclas financeiras estão programadas para funcionar de acordo com a convenção exponencial. Uma exceção ocorre com a calculadora, modelo HP12C, que efetua o cálculo por ambas as convenções: acionando-se a tecla e, em seguida, a tecla , aparecerá no visor a letra C;nestas condições, ela estará operando pela convenção exponencial. Acio­nando-se novamente o par de teclas mencionado, a letra C desaparecerá do visor; ela estará operando pela convenção linear.Salvo menção em contrário, utilizaremos, daqui em diante, a convenção exponencial.
Exemplo 4.8Uma empresa recebeu um empréstimo para capital de giro no valor de $ 30.000,00, para pagamento em 56 dias. O banco cobrou juros compostos a uma taxa de 52% a.a. Qual o montante?
ResoluçãoSendo a taxa dada ao ano, o valor de n (em anos) é dado por: n = ——
360Desta forma, teremos:
56
M = 30000(1,52)* 360 = 32.019,02
Mâtemática Financeira52__________
Para resolvermos o problema usando as teclas financeiras da HP12C, de­vemos, inicialmente, verificar se a letra C encontra-se no visor (caso con­trário, devemos proceder como explicadoanteriormente neste item).
56/36052 ■ =32.019,0230.000
Exemplo 4.9Um cliente recebeu um empréstimo bancário de $ 15.000,00 e pagou após 72 dias um montante de $ 16.102,77. Qual a taxa mensal de juros compos­tos do empréstimo?
ResoluçãoComo queremos a taxa mensal do empréstimo, devemos expressar o prazo em meses; portanto, n = ~- Assim:OU
72
16.102,77= 15.000(1+Z)30
72
(1 + /)30 =1,0735
Elevando ambos os membros a expoente —, teremos:
72 30 30
((1 + /)":®)* 72 = (1,0735)/2
(1 + /)1 = (1,0735fie7
1 + /' = 1,03
/ = 0,03 = 3% a.m. ;A resolução pela calculadora financeira é feita da seguinte forma:
72
3015.00016.102,77
Juros Compostos
Exemplo 4.10Em relação ao exemplo anterior, qual a nova t axa mensal se o dinheiro for liberado na conta da pessoa quatro dias após a assinatura do contrato do empréstimo (float de quatro dias)?
Neste caso, o capital e o montante são os mesmos do exemplo anterior. Todavia, o prazo foi encurtado para 68 dias (72 - 4).Assim, a nova taxa é dada por:
16.102,77 =15.000(1 +/')30
68
(1 + /)30 = 1,0735
68 30 30
((1 + /TT = (1,0735)68 
(1+/)’ = (1,0735)QW2 
1+/ = 1,0318 
/’ = 0,0318 = 3,18% a.m.A resolução pela calculadora financeira é feita da seguinte forma:
68
30
n15.000 i =3,18% a.m.16.102,77
Exemplo 4.1 IUm banco cobra, em certa linha de crédito, juros compostos à taxa de 30% a.a. Se for feito um empréstimo por 75 dias a uma empresa, que taxa de aber­tura de crédito o banco deverá cobrar para que resulte em uma taxa efetiva de juros de 35% a.a.?
ResoluçãoComo não é mencionado o valor do empréstimo solicitado, adotemos para ele o valor $ 100 (adotando qualquer outro valor obteríamos a mesma resposta).Assim, o montante após 75 dias será:4 O
M = 100(1,3O)360 =105,62
54 Matemática Financeira
Para que a taxa efetiva resulte em 35% a.a., o banco deverá efetivamente emprestar um capital C, tal que:
7b
C (1,35)360 = 105,62
1.0645C =105,62
C = 99,22Assim, a taxa dc abertura de crédito deverá ser 100 - 99,22 = 0,78. Ou seja, para cada $ 100 de empréstimo, o banco deverá cobrar $ 0,78. Por­tanto, a taxa de abertura de crédito deverá ser de 0,78/100 = 0,78%.
Exemplo 4.12Um banco pretende ganhar uma taxa efetiva de juros compostos de 36% a.a. em operações de desconto de duplicatas com prazo de 45 dias. Que taxa mensal de desconto deverá utilizar?
ResoluçãoAdotemos para a duplicata o valor $ 100 (qualquer outro valor poderá ser utilizado).O valor líquido V recebido pela empresa deverá ser tal que:
45_
1/(1,36)360 =100 
1/(1,0392) = 100 
V = 96,23Consequentemente, o valor do desconto seráZ) = 100-96,23 = 3,77. Lem­brando que a fórmula do desconto éD = Ndn, e que desejamos a taxa de desconto mensal, podemos escrever:
45
3,77 = 1005— •Portanto:5 = (3,77)(30)
4.500
EXERCÍCIOS22) Mário fez uma aplicação de $ 12.000,00 por 18 meses à taxa de 22% a.a.a) Qual o montante pela convenção exponencial?b) Qual o montante pela convenção linear?23) Em um empréstimo ajuros compostos de $ 100.000,00, a taxa foi de 2% a.m. e o prazo de 90 dias. No entanto, havia uma cláusula contratual
Juros Compostos 55
estabelecendo a convenção linear caso o pagamento fosse feito com atraso. Se o pagamento foi feito com um atraso de 17 dias, qual o valor do montante?
24) Resolva o exercício anterior considerando a conveneãc - x: cnencial.
25) Uma empresa tomou um empréstimo para capital de gir: :. : v 7 . r U $ 10.000,00 por 30 dias, à taxa de 75% a.a. Qual o montar : i
26) Resolva o exercício anterior considerando um prazo de 37 dias.
27) Uma empresa tem duas opções para levantar um empréstimo: des : tar uma duplicata com prazo de vencimento de 30 dias a uma taxa : desconto de 4% a.m. ou, então, tomar um empréstimo de capital le giro pelo mesmo prazo, com valor igual ao valor líquido da duplicata, a juros compostos com taxa de 4% a.m. Qual sua melhor opção?
28) No exercício anterior, qual deveria ser a taxa de juros do empréstimo de capital de giro para que a empresa ficasse indiferente entre as duas opções?
29) Qual o valor aplicado em uma operação a juros compostos, com prazo de 160 dias, montante de $ 170.000,00 e taxa de 2,2% a.m.?
30) Um empréstimo de $ 8.000,00 a juros compostos deve ser pago após 64 dias, sendo o montante igual a $ 8.500,00. Obtenha as taxas mensal e anual desta operação.
31) Em relação ao exercício anterior, suponha que o dinheiro tenha sido liberado na conta da empresa tomadora do empréstimo três dias após a assinatura do contrato do empréstimo (float de três dias). Qual a nova taxa mensal nestas condições?32) Se um determinado banco informa a taxa de desconto comercial de 2,8% a.m. em operações de descontos de duplicatas com prazo de 30 dias, qual a taxa efetiva anual de juros compostos da operação?
33) Em suas operações de empréstimo de capital de giro, um banco cobra uma taxa de juros compostos de 45% a.a. Se um cliente concordar em pagar apenas a taxa de 40% a.a., que taxa de abertura de crédito (flat) o banco deverá cobrar para que a taxa efetiva anual resulte em 45% a.a.'? Considere o prazo da operação igual a 63 dias.
Matemática Financeira56
34) Resolva o exercício anterior considerando que o cliente concorde em pagar a taxa de 41% a.a.
35) Considere uma operação de capital de giro em que o banco deseja uma remuneração efetiva (juros compostos) à taxa de 5% no prazo de 35 dias. Se o banco trabalha com uma taxa de abertura de crédito (/Zaí) de 1% sobre o valor do capital emprestado, que taxa de juros compos­tos anual (taxa contratual) deverá cobrar?
36) Resolva o exercício anterior considerando uma taxa de abertura de crédito igual a 1,5% sobre o valor do capital emprestado.
37) Um banco desconta duplicatas com prazo de 35 dias a uma taxa efetiva anual (juros compostos) de 38c • a.a. Qual a taxa de desconto comercial mensal utilizada?
38) Considere uma duplicata com prazo de 32 dias e uma taxa efetiva anual (juros compostos) de 41 a.a. Qual a taxa de desconto comercial mensal utilizada?
39) Um banco desconta uma duplicata com prazo de 42 dias utilizando uma taxa de desconto comercial de 1,9% a.m. Qual a taxa efetiva anual (juros compostos) da operação?
40) No exercício anterior, considere que o dinheiro seja liberado na conta do cliente, quatro dias após a negociação (portanto, o prazo do emprés­timo passa a ser de 38 dias, embora o cálculo tenha sido feito com base em 42 dias). Qual a taxa efetiva anual (juros compostos) da operação?
41) Um banco emprestou para uma empresa um capital de $ 500.000,00 a juros compostos por 49 dias. Sabendo-se que o montante foi de $ 530.000,00, calcule:a) A taxa efetiva mensal (juros compostos) da operação.b) A taxa efetiva mensal (juros compostos), considerando a liberação de dinheiro três dias após a assinatura do contrato.42) Em relação ao exercício anterior, suponha que o dinheiro tenha sido liberado na assinatura do contrato, mas que foi cobrada uma taxa de abertura de crédito de 1% do capital emprestado. Qual a taxa efetiva mensal (juros compostos) da operação?
Juros Compostos
4.3 TAXAS EQUIVALENTES\'imos, na fórmula do montante M = 6X1 + i)n, que habitualmente expres­samos o prazo n de acordo com a unidade dc tempo da taxa; todavia, podería- m s expressar i de acordo com a unidade usada para n. Consideremos uma urra situação na qual precisemos escolher uma entre duas taxas para aplica­ção: uma anual e outra mensal.Em ambos os problemas, temos de converter uma taxa., em um período, em outra, em outro período, de modo que as duas produzam o mesmo mon­tante. Desta idéia de transformação surge o conceito de taxas equivalentes.Dizemos que duas taxas são equivalentes a juros compostos quando, aplicadas em um mesmo capital e durante um mesmo prazo, produzem mon­tantes iguais.Assim, se i} e A forem as taxas e e n2 os referidos prazos expressos nas unidades das respectivas taxas, então, deveremos ter:co+/,r = eu+çr (1 + /.P = 0 + ip 4,
Exemplo 4.13Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.?
ResoluçãoChamando de i, a taxa anual procurada c A = 2% a.m. a taxa conhecida e, ainda, adotando um prazo padrão