183837 Aula 1 escoamentos livres

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Gabriela Cristina Ribeiro Pacheco
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ESCOAMENTOS LIVRES
• Estão sujeitos à pressão atmosférica em ao menos um ponto de sua 
seção de escoamento.
• Normalmente apresentam uma superfície livre de água em contato 
com a atmosfera. 
– Casos típicos
– Caso limite
Pressão atmosférica
Superfície livre Superfície livre
Canal aberto
Canal fechado
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ESCOAMENTOS LIVRES
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ESCOAMENTOS LIVRES
DIFERENÇA DE ESCOAMENTOS EM CONDUTOS FORÇADOS E LIVRES
Condutos forçados
Condições de contorno bem 
definidas
Uniformidade da rugosidade 
das paredes do conduto
Não possuem fenômenos 
como ressalto e remanso
Condutos livres
Variação da condições de 
contorno
Variação da forma e da 
rugosidade dos condutos
Ocorrência de fenômenos 
como ressalto e remanso
Maior complexidade das 
formulações matemáticas
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ESCOAMENTOS LIVRES
TIPOS DE MOVIMENTO
• Canais uniformes e escoamentos uniformes não existem na natureza.
• Canais artificiais longos com pequena declividade se aproximam do 
movimento uniforme a certa distância da seção inicial e final. 
Es
co
am
e
n
to
Permanente 
(vazão constante)
Uniforme 
(seção, profundidade e 
velocidade constante)
Variado (acelerado ou 
retardado)
Gradualmente
BruscamenteNão permanente 
(vazão variável)
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ESCOAMENTOS LIVRES
PARÂMETROS GEOMÉTRICOS E HIDRÁULICOS CARACTERÍSTICOS
• Seção ou área molhada (A): parte da seção
transversal ocupada pelo líquido.
• Perímetro molhado (P): comprimento
relativo ao contato do líquido com o
conduto.
• Largura superficial (B): largura da superfície
em contato com a atmosfera.
• Profundidade (y): altura do líquido acima do fundo do canal.
• Profundidade hidráulica (yh): razão entre a área molhada e a largura superficial.
• Raio hidráulico (Rh): razão entre a área molhada e o perímetro molhado.
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ESCOAMENTOS LIVRES
PARÂMETROS GEOMÉTRICOS E HIDRÁULICOS CARACTERÍSTICOS
• Altura do líquido perpendicular ao fundo do canal (h): para pequenas
declividades h=y.
Y
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ESCOAMENTOS LIVRES
PARÂMETROS GEOMÉTRICOS E HIDRÁULICOS CARACTERÍSTICOS
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ESCOAMENTOS LIVRES
PARÂMETROS GEOMÉTRICOS E HIDRÁULICOS CARACTERÍSTICOS
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ESCOAMENTOS LIVRES
EX. 1:
Calcule o Rh e a yh de um canal trapezoidal sabendo que a profundidade y=2m,
b=4m e z=4.
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ESCOAMENTOS LIVRES
FORMAS DOS CONDUTOS
• Seções trapezoidais
• Seções retangulares
Comuns em canais abertos
As trapezoidais não necessitam de estruturas rígidas para estabilizar taludes mas
podem precisar de mais espaço nas laterais.
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ESCOAMENTOS LIVRES
FORMAS DOS CONDUTOS
• Seções circulares
Vazões mais reduzidas, redes de esgotamento sanitário, pluvial e bueiros.
• Seções triangulares
Canais de pequenas dimensões como sarjetas rodoviárias e urbanas.
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ESCOAMENTOS LIVRES
FORMAS DOS CONDUTOS
• Canais fluviais naturais
Seções retangulares largas.
Pode-se supor um conjunto de trapézios, triângulos e retângulos ou considerar
como canais onde a largura é muito maior que a profundidade:
A ≈ B.y P ≈ B Rh ≈ y
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EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DE ESCOAMENTOS
• Conservação de massa
(Equação da continuidade)
• Conservação da quantidade de movimento
(Equação de Euler)
• Conservação de energia
(Equação de Bernoulli)
𝑧1 + 𝛼1.
𝑣1
2
2 . 𝑔
+
𝑝1
𝛾
= 𝑧2 + 𝛼2.
𝑣2
2
2 . 𝑔
+
𝑝2
𝛾
+ ∆ℎ
𝑄 = 𝜌1 . 𝑣1 . 𝐴1 = 𝜌2 . 𝑣2 . 𝐴2
𝐹 = 𝜌. Q . (𝛽2 . 𝑣2 − 𝛽1. 𝑣1)
𝑄: vazão
𝜌: massa específica
𝑣 : velocidade
𝐴: área
𝐹: resultante das forças externas
𝛽: coeficiente de Boussineq
𝑧: energia de posição
𝛼: coeficiente de Coriolis
𝑝: pressão
𝛾: peso específico
∆ℎ: perda de carga
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EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DE ESCOAMENTOS
EX. 2:
Dada a seção de escoamento retangular com b=5m e Q=10m³/s abaixo. Supondo
dois pontos 1 e 2 afastados horizontalmente por 1km, com um desnível entre os
mesmos de 13m, α1 = α2 =1, v2=3m/s e h1=1m. Calcule a perda de carga entre 1 e
2.
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VARIAÇÃO DA PRESSÃO NOS ESCOAMENTOS LIVRES
ESCOAMENTOS UNIFORMES E GRADUALMENTE VARIADOS
• Distribuição hidrostática de pressões – Lei de Stevin
– Linhas de corrente paralelas – Escoamento paralelo;
– Ocorre quando não há aceleração no sentido longitudinal (escoamentos
uniformes);
– Pode-se adotar tal suposição em escoamentos gradualmente variados.
𝑃: pressão
𝛾: peso específico
ℎ: profundidade
P = 𝛾. ℎ
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VARIAÇÃO DA PRESSÃO NOS ESCOAMENTOS LIVRES
ESCOAMENTOS BRUSCAMENTE VARIADOS
– Linhas de corrente não paralelas – Escoamento curvilíneo;
– As curvaturas das linhas de corrente no sentido vertical são significativas e alteram
a distribuição hidrostática de pressões.
• Escoamentos côncavos e convexos:
𝑃: pressão
𝛾: peso específico
ℎ: profundidade
𝑣: velocidade
𝑔: gravidade
𝑟: raio
P′ = ∆𝑃 + 𝑃 P′ = P − ∆𝑃
∆𝑃 =
𝛾. ℎ. 𝑣²
𝑔. 𝑟
Côncavo Convexo
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VARIAÇÃO DA PRESSÃO NOS ESCOAMENTOS LIVRES
DISTRIBUIÇÃO DE PRESSÕES NO ESCOAMENTO EM UM VERTEDOR
CRISTA - Subpressão
Pseudo-hidrostática
PÉ - Sobrepressão
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VARIAÇÃO DA PRESSÃO NOS ESCOAMENTOS LIVRES
EX. 3:
Um vertedor com altura de 8m e largura de 5m descarrega uma vazão Q= 22m³/s.
Os raios de curvatura de A e C são 1,2m e 4m, respectivamente. A calha possui
uma inclinação de 90%, hA=1,4m, vB= 9m/s e vC= 13m/s. Calcule a pressão da água
em A, B e C.
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VARIAÇÃO DA VELOCIDADE NOS ESCOAMENTOS LIVRES
A DISTRIBUIÇÃO DAS VELOCIDADES NÃO É UNIFORME
• Verifica-se um aumento da velocidade das margens para o centro e do fundo
para a superfície.
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VARIAÇÃO DA VELOCIDADE NOS ESCOAMENTOS LIVRES
• Representação das ISÓTACAS - curvas de mesma velocidade
– Canais artificiais
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VARIAÇÃO DA VELOCIDADE NOS ESCOAMENTOS LIVRES
• Representação das ISÓTACAS - curvas de mesma velocidade
– Canais naturais
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VARIAÇÃO DA VELOCIDADE NOS ESCOAMENTOS LIVRES
PERFIL DE VELOCIDADE MÉDIA
• Na horizontal, a velocidade média ocorre nas proximidades do centro do canal.
• Na vertical, o perfil é aproximadamente logarítmico.
• Vmax ocorre entre 5% e 25% da profundidade.
• Vmed é aproximadamente a média entre V20% e V80% ou aproximadamente V60%.
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VARIAÇÃO DA VELOCIDADE NOS ESCOAMENTOS LIVRES
• Para levar em conta as irregularidades da distribuição de velocidades sem
adotar uma abordagem tridimensional complexa pode-se trabalhar com as
velocidades médias nas equações de Bernoulli e no teorema de Euler desde
que considerados os coeficientes de Coriolis (𝛼) e Boussineq (𝛽).
𝛼: coeficiente de Coriolis - correção de energia
𝛽: coeficiente de Boussineq - correção da quantidade
de movimento
𝑣: velocidade
𝑢: velocidade média na seção
𝐴: área
AU
Av
AU
dAV
α
3
n
1
i
3
i
3
A
3


AU
Av
AU
dAV
β
2
n
1
i
2
i
2
A
2


𝛼 = 1 +3𝜀2− 2𝜀3 
𝛽 = 1 + 𝜀2 
𝜀 =
𝑉𝑚á𝑥
𝑉𝑚é𝑑
− 1 
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VARIAÇÃO DA VELOCIDADE NOS ESCOAMENTOS LIVRES
MEDIÇÃO DA VELOCIDADE
• A determinação da velocidade em uma seção só é possível por meio de
medições diretas.
• Está baseada na medição de velocidade em um grande número de pontos.
• Os pontos estão dispostos segundo linhas verticais com distâncias conhecidas
da margem.
• Considera-se que a velocidade média calculada numa vertical é válida numa
área próxima a esta vertical.
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VARIAÇÃO DA VELOCIDADE NOS ESCOAMENTOS LIVRES
MEDIÇÃO DA VELOCIDADE
• Molinetes
– Pequenas hélices que giram com a passagem da água.
– São instrumentos projetados para girar em velocidades diferentes de
acordo com a velocidade da água.
– A relação entre velocidade da águae a velocidade de rotação do molinete
é a equação do molinete. A mesma é fornecida pelo fabricante, porém
deve ser verificada periodicamente, pois pode ser alterada pelo desgaste
das peças.
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VARIAÇÃO DA VELOCIDADE NOS ESCOAMENTOS LIVRES
MEDIÇÃO DA VELOCIDADE
• Equipamento doppler
– Mede as velocidades por meio do efeito doppler (ondas acústicas).
– Permite medir a velocidade em muito mais pontos ao longo da seção
transversal de um rio e em menos tempo.
– Comunicam-se diretamente a microcomputadores, transferem os dados de
velocidade e calculam a vazão automaticamente.
– A desvantagem é o custo de aquisição, todavia vêm se tornando cada vez
mais comuns.
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VARIAÇÃO DA VELOCIDADE NOS ESCOAMENTOS LIVRES
EX. 4:
Em um canal com lâmina de água de 1,5m foram medidas as velocidades a 0,3 e
1,2m de profundidades obtendo, respectivamente, 1,5m/s e 0,9m/s. Sabendo que
a velocidade superficial é 1,4m/s e supondo que a velocidade máxima é 15%
maior que esta calcule os os coeficientes de Coriolis (𝛼) e Boussineq (𝛽).