Apostila de Analise de Circuitos Unidade II Circuitos Monofasicos em CA 2a Parte

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Curso Técnico em 
Telecomunicações 
(EaD) 
 
Escola Técnica 
de Brasília ETB 
Carlos Wesley da Mota Bastos 
Análise de Circuitos 
NEaD/ETB
 II
 
GDF - SECT 
CENTRO DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL (CEP) 
ESCOLA TÉCNICA DE BRASÍLIA (ETB) 
NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA (NEaD) 
CURSO TÉCNICO EM TELECOMUNICAÇÕES 
 
 
SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA (SECT) 
GOVERNO DO DISTRITO FEDERAL (GDF) 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Análise de Circuitos 
 
 
 
 
 
Carlos Wesley da Mota Bastos 
 
 
 
 
 
Brasília – DF 
Maio 2010 
III 
 
 
PROGRAMA E-TEC BRASIL 
 
 
Amigo (a) estudante! 
 
O Ministério da Educação vem desenvolvendo Políticas e Programas para expansão da 
Educação Básica e do Ensino Superior no País. Um dos caminhos encontrados para que essa 
expansão se efetive com maior rapidez e eficiência é a modalidade a distância. No mundo inteiro são 
milhões os estudantes que frequentam cursos a distância. Aqui no Brasil, são mais de 300 mil os 
matriculados em cursos regulares de Ensino Médio e Superior a distância, oferecidos por instituições 
públicas e privadas de ensino. 
Em 2005, o MEC implantou o Sistema Universidade Aberta do Brasil (UAB), hoje, 
consolidado como o maior programa nacional de formação de professores, em nível superior. 
Para expansão e melhoria da educação profissional e fortalecimento do Ensino Médio, o MEC 
está implementando o Programa Escola Técnica Aberta do Brasil (e-Tec Brasil). Espera, assim, 
oferecer aos jovens das periferias dos grandes centros urbanos e dos municípios do interior do País 
oportunidades para maior escolaridade, melhores condições de inserção no mundo do trabalho e, 
dessa forma, com elevado potencial para o desenvolvimento produtivo regional. 
O e-Tec é resultado de uma parceria entre a Secretaria de Educação Profissional e 
Tecnológica (SETEC), a Secretaria de Educação a Distância (SEED) do Ministério da Educação, as 
universidades e escolas técnicas estaduais e federais. 
O Programa apóia a oferta de cursos técnicos de nível médio por parte das escolas públicas 
de educação profissional federais, estaduais, municipais e, por outro lado, a adequação da infra-
estrutura de escolas públicas estaduais e municipais. 
Do primeiro Edital do e-Tec Brasil participaram 430 proponentes de adequação de escolas e 
74 instituições de ensino técnico, as quais propuseram 147 cursos técnicos de nível médio, 
abrangendo 14 áreas profissionais. O resultado desse Edital contemplou 193 escolas em 20 unidades 
federativas. A perspectiva do Programa é que sejam ofertadas 10.000 vagas, em 250 pólos, até 2010. 
Assim, a modalidade de Educação a Distância oferece nova interface para a mais expressiva 
expansão da rede federal de educação tecnológica dos últimos anos: a construção dos novos centros 
federais (CEFETs), a organização dos Institutos Federais de Educação Tecnológica (IFETs) e de 
seus campi. 
O Programa e-Tec Brasil vai sendo desenhado na construção coletiva e participação ativa 
nas ações de democratização e expansão da educação profissional no País, valendo-se dos pilares 
da educação a distância, sustentados pela formação continuada de professores e pela utilização dos 
recursos tecnológicos disponíveis. 
A equipe que coordena o Programa e-Tec Brasil lhe deseja sucesso na sua formação 
profissional e na sua caminhada no curso a distância em que está matriculado (a). 
 
Brasília, Ministério da Educação – setembro de 2008. 
IV 
 
 
 
 INDICAÇÕES DE ÍCONES 
 
 
Caro estudante! Oferecemos para seu conhecimento os ícones e sua legenda que 
fazem parte da coluna de indexação. A intimidade com estes e com o sentido de sua 
presença no caderno ajudará você a compreender melhor as atividades e exercícios 
propostos (DAL MOLIN, et al.,2008). 
 
 
 
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V 
 
 
 
SUMÁRIO 
2.4. Circuito RL Série em CA 06 
2.5. Circuito RL Paralelo em CA 08 
2.6. Circuito RC Série em CA 09 
2.7. Circuito RC Paralelo em CA 11 
3. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 12 
ANEXOS 13 
APÊNDICES 19 
 
 6 
_______________________________________________________________________________________ 
Apostila de Análise de Circuitos Carlos Wesley da Mota Bastos 
ANÁLISE DE CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA 
2.4 Circuito RL Série em CA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- O circuito RL se caracteriza por possuir resistência (R) e indutância (L).Quando 
os componentes resistivos e indutivos são ligados em série a corrente total é a 
mesma em todos os pontos do circuito, dada pela expressão: i = Im Sen (Wt + θ) 
-
 Quando se aplica uma tensão sobre um circuito RL série, a corrente provoca 
quedas de tensão sobre a resistência e a indutância, de acordo com as Leis das 
Tensões de Kirchhoff (LTK), terá: Vt = VR + VL 
Daí a tensão total será vt = RIm Sen ( Wt +θθθθ) + WLIm Cos (Wt + θθθθ) 
 
OBS. 1: Devido às características de construção, toda bobina (indutor) apresenta 
certa resistência e todo resistor apresenta uma determinada indutância, ou seja, 
todos os circuitos na prática possuem ambas as resistência e indutância, isto 
significa que a corrente ao percorrer tal circuito encontrará dois tipos de oposição: a 
oferecida pela resistência e a oposição da f.e.m. de auto-indução (reatância 
indutiva). 
 
VL 
VR 
V 
I 
VL 
VR 
V 
I 
φ
 
 7 
_______________________________________________________________________________________ 
Apostila de Análise de Circuitos Carlos Wesley da Mota Bastos 
OBS. 2: Num circuito contendo resistência e indutância, a corrente continua atrasada 
em relação à tensão, só que de um ângulo menor que 90° (não se esqueça que a 
resistência tende a colocar a V e I em fase, enquanto a indutância tende defasá-las 
de 90°). 
 
Pelo Teorema de Pitágoras: 
Vm2 = R2 Im2 + (WL)2 Im2 
Vm = Im √ R2 + (WL)2 
Vm = V = Z ⇒ Impedância do circuito [ΩΩΩΩ] 
Im I 
 
Z = √ R2 + XL2 
 
OBS. 3: Impedância é o efeito combinado de uma resistência com uma indutância. 
 
- O ângulo de defasagem entre V e I, será 
Tg θ = WL 
 R 
θθθθ = arc tg WL 
 R 
 
OBS. 4: Podemos expressar a defasagem entre V e I pelo: Cos θ = R/Z ⇒ θ = arc 
cos R/Z 
 
- A tensão total será: 
Vt = Im √ R2 + (WL)2 Sen (Wt + arc tg WL/R) 
 
 
 8 
_______________________________________________________________________________________ 
Apostila de Análise de Circuitos Carlos Wesley da Mota Bastos 
U 
IR 
I
 
φ
 
IL 
2.5 Circuito RL Paralelo em CA 
 
Na figura abaixo temos o circuito e o diagrama fasorial de um circuito RL paralelo. A 
corrente total se divide entre o indutor e o resistor e continuam válidas as 
características do indutor ideal (corrente atrasada de 90º em relação à tensão). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para este circuito valem as seguintes expressões.22 += LR III 22 +
.
=
LR
L
II
XR
Z cosφ =Z / R IMPORTANTE !!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( a ) ( b ) 
 9 
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Apostila de Análise de Circuitos Carlos Wesley da Mota Bastos 
2.6 Circuito RC Série em CA 
 
- O circuito RC se caracteriza por possuir resistência (R) e capacitância (C). 
Quando os componentes resistivos e capacitivos são ligados em série a corrente 
total é a mesma em todos os pontos do circuito, dada pela expressão: i = Im Sen 
(Wt + θ) 
-
 Quando se aplica uma tensão sobre um circuito RC série, a corrente provoca 
quedas de tensão sobre a resistência e a capacitância, de acordo com a LTK, 
terá: Vt = VR + VC 
Daí a tensão total será vt = RIm Sen ( Wt +θθθθ) + 1/WCIm Cos (Wt + θθθθ) 
 
OBS. 1: Devido ás características de construção, todo capacitor possui uma corrente 
de fuga, causada por sua a resistência CC. Normalmente, a resistência CC de um 
capacitor é muito alta, portanto, essencialmente, o capacitor atua como um capacitor 
ideal, bloqueando a corrente CC e deixando passar a corrente CA. 
 
OBS. 2: Analogamente ao circuito RL, no circuito RC série, a corrente ao percorrer 
tal circuito encontrará dois tipos de oposição: a oferecida pela resistência e a 
oposição da capacitância (reatância capacitiva). 
 
OBS. 3: Num circuito contendo resistência e capacitância, a corrente encontra-se 
adiantada em relação à tensão, só que de um ângulo menor que 90° (não se 
esqueça que a resistência tende a colocar a V e I em fase, enquanto a capacitância 
tende defasá-las de 90°). 
 10 
_______________________________________________________________________________________ 
Apostila de Análise de Circuitos Carlos Wesley da Mota Bastos 
 
Pelo Teorema de Pitágoras: 
Vm2 = R2 Im2 + (1/WC)2 Im2 
Vm = Im √ R2 + (1/WC)2 
Vm. = V = Z ⇒ Impedância do circuito [ΩΩΩΩ] ⇒⇒⇒⇒ XC = 1/WC 
Im I 
 
Z = √ R2 + XC2 
 
OBS. 4: Impedância é o efeito combinado de uma resistência (R) com uma 
capacitância (C). 
 
- O ângulo de defasagem entre V e I, será 
Tg θ = XC . 
 R 
θθθθ = arc tg XC . 
 R 
 
OBS. 5: Podemos expressar a defasagem entre V e I pelo: Cos θ = R/Z ⇒ θ = arc 
cos R/Z. 
 
- A tensão total será: 
Vt = Im √ R2 + (1/WC)2 Sen (Wt + arc tg XC/R) 
 
 
 11 
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Apostila de Análise de Circuitos Carlos Wesley da Mota Bastos 
2.7 Circuito RC Paralelo em CA 
 
No circuito abaixo continuam válidas algumas considerações já feitas, tais como a 
defasagem entre tensão e corrente em um capacitor é 90º, e etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para este circuito valem as expressões: 
 
22
.
RX
RX
Z
C
C
+
= 
R
Z
=φcos IMPORTANTE !!! 
 
 
 
 
 
 
 
φ é o ângulo de defasagem entre a corrente total e a tensão aplicada no circuito. 
( a ) 
( b ) 
V
 
IC 
I 
IR 
φ
 
 
 12 
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Apostila de Análise de Circuitos Carlos Wesley da Mota Bastos 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
ALBUQUERQUE, Rômulo. Circuitos em Corrente Alternada. 2ª Ed. - São Paulo. 
Érica,1997. 
 
CUTLER, John. Análise de Circuitos – Corrente Alternada. 2ª Ed. - São Paulo. 
Makron Books, 1991. 
 
EDMINISTER, Joseph A. Circuitos Elétricos. 2ª Ed. - São Paulo. Makron 
Books,1991. 
 
O´MALLEY, John. Análise de Circuitos. 2ª Ed. - São Paulo. Makron Books, 1993. 
 
 
 13 
_______________________________________________________________________________________ 
Apostila de Análise de Circuitos Carlos Wesley da Mota Bastos 
ANEXOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
ò Resumo das principais fórmulas dos circuitos série e paralelo em CA 
 
è Circuito RL série em CA 
 
Corrente A corrente está atrasada da tensão 
i = Im Sen ( Wt ±θ) [A] 
 
Tensão total 
Vt = VR + VL [V] 
Vt = RIm Sen ( Wt +θ) + WLIm Cos (Wt + θ) [V] 
 
Impedância do circuito 
Z = √ (R)2 + (XL)2 [ΩΩΩΩ] 
 
O ângulo de defasagem entre V e I 
tg θ = WL 
 R 
θ = arc tg WL 
 R 
 
A tensão total será: 
Vt = Im √ R2 + (WL)2 Sen (Wt + arc tg WL/R) [V] 
 
 15 
_______________________________________________________________________________________ 
Apostila de Análise de Circuitos Carlos Wesley da Mota Bastos 
è Circuito RL paralelo em CA 
 
Tensão A corrente está atrasada da tensão 
v = Vm Cos ( Wt ±θ) [V] 
 
Corrente total 
It = IR + IL [A] 
 It = Vm/R Cos ( Wt +θ) + Vm/WL Sen (Wt + θ) [A] 
 
Impedância do circuito 
Z = √ (1/R)2 + (1/WL)2 [Ω] 
 
O ângulo de defasagem entre V e I 
tg θ = R . 
 WL 
θ = arc tg .R . 
 WL 
 
A corrente total será: 
It = Vm √ (1/R)2 + (1/WL)2 Sen (Wt + arc tg R/WL) [V] 
 
 16 
_______________________________________________________________________________________ 
Apostila de Análise de Circuitos Carlos Wesley da Mota Bastos 
è Circuito RC série em CA 
 
Corrente A corrente está adiantada da tensão 
i = Im Sen ( Wt ±θ) [A] 
 
Tensão total 
Vt = VR + VC[V] 
Vt = RIm Sen ( Wt +θ) + 1/WCIm Cos (Wt + θ) [V] 
 
Impedância do circuito 
Z = √ (R)2 + (1/WC)2 [Ω] 
 
O ângulo de defasagem entre V e I 
tg θ = 1/WC 
 R 
θ = arc tg 1/WC 
 R 
 
A tensão total será: 
Vt = Im √ (R)2 + (1/WC)2 Sen [Wt + arc tg (1/WC/R)] [V] 
 
 17 
_______________________________________________________________________________________ 
Apostila de Análise de Circuitos Carlos Wesley da Mota Bastos 
è Circuito RC paralelo em CA 
 
Tensão A corrente está adiantada da tensão 
v = Vm Sen ( Wt ±θ) [V] 
 
Corrente total 
It = IR + IC[A] 
It = Vm/R Sen ( Wt +θ) + VmWC Cos (Wt + θ) [A] 
 
Impedância do circuito 
Z = √ (1/R)2 + (WC)2 [ΩΩΩΩ] 
 
O ângulo de defasagem entre V e I 
tg θ = WCR 
θ = arc tg WCR 
 
A corrente total será: 
It = Vm √ (1/R)2 + (WC)2 Sen (Wt + arc tg WCR) [V] 
 
 18 
 
 
19 
 
 
APÊNDICES 
20 
 
 
 
Conceito de Resistência Elétrica 
Característica elétrica dos materiais que representa a 
oposição à passagem da corrente elétrica. 
Os elétrons têm dificuldade de se movimentarem 
pela estrutura atômica dos materiais. 
Resistência 
Símbolos Elétricos 
Efeito Joule 
Aumento de temperatura do material resistivo 
devido ao choque dos elétrons com os átomos. 
Primeira Lei de Ohm 
A resistência é um bipolo passivo, pois 
consome energia elétrica, provocando queda 
de potencial no circuito. 
Experimento: 
Símbolo 
R 
Unidade de Medida 
ohm [Ω] 
Constante ≡ resistência elétrica 
Comportamento linear ≡ comportamento ôhmico 
Primeira Lei de Ohm: V = R . I 
 21 
 
 
Informações Adicionais sobre Resistência 
Resistência Ôhmica Resistência Não Ôhmica 
Curto-Circuito Proteção: fusíveis e disjuntores 
Condutância 
Expressa a facilidade de 
condução da corrente elétrica. 
2
2
1
1
I
V
 
I
V
R ==
12
12
II
VV
I
VR
−
−
=
∆
∆
=
2
2
2
1
1
1 I
V
R 
I
V
R =≠=ou 
Unidade de Medida: 
1/ohm [Ω-1] ou Siemens [S] R
1G =
 22Comportamento Elétrico do Capacitor 
Fechando a chave em t = 0: 
• vc cresce exponencialmente até E 
• i cai exponencialmente até 0 
Conclusões sobre o comportamento do capacitor: 
1- Capacitor descarregado ⇒ fonte “enxerga” um curto ⇒ XC = 0 ⇒ vc = 0 e i = I 
2- Capacitor se carregando ⇒ fonte “enxerga” uma reatância XC crescente ⇒ vc↑ e i↓ 
3- Capacitor carregado ⇒ fonte “enxerga” um circuito aberto ⇒ Xc = ∞ ⇒ vc = E e i = 0 
 23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Constante de Tempo 
Resistor em série com o capacitor 
retarda o tempo de carga. 
[R.C] = s = segundo 
Constante de Tempo 
Num circuito RC, quanto maior é a constante de tempo, maior é o tempo 
necessário para que o capacitor se carregue. 
C.R=τ
 24 
 
Circuito RC série: 
 
 
 
 
 
 
Análise do circuito durante a carga do capacitor:
vc(t) vr(t) i(t)
)e1.(E)t(v
t
c
ττττ
−−−−
−−−−====
ττττ
−−−−
====
t
r e.E)t(v ττττ
−−−−
====
t
e.I)t(i
t = 0
⇒−=
τ )e1.(E)0(v
0
c
⇒−=−= )11.(E)e1.(E)0(v 0c
0)0(vc =
⇒=
τ
0
r e.E)0(v
⇒== 1.Ee.E)0(v 0r
E)0(v r =
⇒=
τ
0
e.I)0(i
⇒== 1.Ie.I)0(i 0
I)0(i =
Análise: Em t = 0, a tensão no capacitor é nula, a tensão no resistor é máxima e a corrente no
circuito é máxima.
t = ττττ
⇒−=τ τ
τ−
)e1.(E)(vc
⇒−=−=τ
− )37,01.(E)e1.(E)(v 1c
E.63,0)(vc =τ
⇒=τ τ
τ−
e.E)(v r
⇒=τ
−1
r e.E)(v
E.37,0)(v r =τ
⇒=τ τ
τ−
e.I)(i
⇒=τ
−1
e.I)(i
I.37,0)(i =τ
Análise: Em t = τ, a tensão no capacitor cresce até 63% da tensão da fonte (vc = 0,63.E), a
tensão no resistor cai 63% (vr = 0,37.E) e a corrente no circuito cai 63% (i = 0,37.I).
t = 5.ττττ
⇒−=τ τ
τ−
)e1.(E).5(v
.5
c
⇒−=−=τ
− )01,01.(E)e1.(E).5(v 5c
E.99,0).5(vc =τ
⇒=τ τ
τ− .5
r e.E).5(v
⇒=τ
−5
r e.E).5(v
E.01,0).5(v r =τ
⇒=τ τ
τ− .5
e.I).5(i
⇒=τ
−5
e.I).5(i
I.01,0).5(i =τ
Análise: Em t = 5.τ, a tensão no capacitor cresce até 99% da tensão da fonte (vc = 0,99.E), a
tensão no resistor cai 99% (vr = 0,01.E) e a corrente no circuito cai 99% (i = 0,01.I). Nesse
caso, podemos considerar que o capacitor já se encontra totalmente carregado.
Carga do Capacitor 
E)t(v)t(v rc =+
R
)t(v)t(i r=
 25 
 
Polaridade Magnética do Indutor 
Indutor ou Bobina 
Aspecto e símbolos: Concentração de fluxo magnético: 
Reatância Indutiva ⇒ XL [Ω] ⇒ oposição às variações de corrente. 
 
1- Indutor desenergizado ⇒ fonte “enxerga” um circuito aberto ⇒ XL = ∞ ⇒ iL = 0 
2- Indutor energizado ⇒ fonte “enxerga” um curto-circuito ⇒ XL = 0 ⇒ iL = I 
 
Indutor e Conceito de Indutância 
 
 
 
 
Símbolo 
L 
Unidade de Medida 
henry [H] 
Indutância: capacidade de 
armazenar energia magnética. 
 Energização do Indutor: Formas de onda: 
26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Circuito RL de Temporização 
Constante de Tempo 
 
R
L
=τ
Análise do circuito durante a energização do indutor: 
i(t) Vr(t) vL(t ) 
)e1.(I)t(i
t
ττττ
−−−−
−−−−==== )e1.(E)t(v
t
r
ττττ
−−−−
−−−−==== 
ττττ
−−−−
====
t
L e.E)t(v 
t = 0 
0)0(i = 0)0(v r = E)0(vL = 
Análise: Em t = 0, a corrente no circuito é nula, a tensão no resistor é nula e a tensão no 
indutor é máxima. 
t = ττττ 
I.63,0)(i =τ E.63,0)(vr =τ E.37,0)(vL =τ 
Análise: Em t = τ, a corrente no circuito cresce até 63% do valor máximo (i = 0,63.I), a tensão 
no resistor cresce até 63% da tensão da fonte (vr = 0,63.E) e a tensão no indutor cai 63% da 
tensão da fonte (vL = 0,37.E). 
t = 5.ττττ 
I.99,0).5(i =τ E.99,0).5(vr =τ E.01,0).5(v L =τ 
Análise: Em t = 5.τ, a corrente no circuito cresce até 99% do valor máximo (i = 0,99.I), a 
tensão no resistor cresce até 99% da tensão da fonte (vr = 0,99.E) e a tensão no indutor cai 99% 
da tensão da fonte (vL = 0,01.E). Nesse caso, podemos considerar que o indutor já se encontra 
totalmente energizado, pois a corrente de magnetização é praticamente a máxima.