Oscilador Harmônico Simples Solução da Lista de Exercícios 2

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Oscilador Harmônico Simples 
Lista de Exercícios 
CONCEITUAIS 
1. As batidas do coração se repetem ciclicamente ao longo do tempo, podendo, dessa 
forma, serem consideradas oscilações. Se fôssemos descrever as batidas do coração 
matematicamente, uma função cosseno seria apropriada? Por quê? 
2. A velocidade ݒ(ݐ) de uma partícula se deslocando como um oscilador harmônico 
simples se comporta conforme o gráfico abaixo. 
 
 
a) Quando a velocidade é máxima positiva, em que posição x a partícula se encontra? 
No ponto de equilíbrio. 
b) Quando a velocidade é máxima negativa, qual a aceleração da partícula? 
A aceleração é zero. 
c) Em que posição a partícula se encontra nos pontos A e B? 
A partícula encontra-se entre o ponto de equilíbrio e a amplitude negativa (A) e entre a 
amplitude negativa e o ponto de equilíbrio (B). 
d) Esboce os gráficos da posição x em função do tempo t, e o gráfico da aceleração a em 
função de t. 
 
3. Por que as equações normalmente obtidas para o período de oscilação de um pêndulo 
são válidas somente para baixas amplitudes? Que diferenças poderiam ser esperadas 
entre oscilações de alta e baixa amplitude? 
BÁSICOS 
 
1. Determine a equação da energia total de um pêndulo simples de massa m e 
comprimento L que oscila com uma frequência angular ߱ e tem amplitude ߠ଴. 
 
Na amplitude a energia total é igual à energia potencial gravitacional: 
 ܧ = ݉݃ℎ 
A altura ℎ por sua vez, é a distância vertical entre em relação à mínima altura que é atingida 
quando o pêndulo se encontra no ponto de equilíbrio. Ou seja ℎ = ܮ − ܮ cos ߠ଴. Assim: 
 ܧ = ݉݃ܮ(1 − cos ߠ଴) 
 
2. A função ݔ(ݐ) = 6 cos ቀ3ߨݐ + గ
ଷ
ቁ fornece o movimento harmônico simples (MHS) de 
um corpo. Qual a amplitude, a frequência e o período do movimento? Em ݐ = 2 ݏ 
quais os valores da energia potencial e da cinética? 
ܣ = 6, ߱ = 3ߨ, ܶ = ଶగ
ఠ
= ଶ
ଷ
, ݂ = ଵ
்
= ଷ
ଶ
 
 
3. Em um barbeador elétrico, a lâmina se move para a frente e para trás em movimento 
harmônico simples (MHS) sobre um espaço de 2 mm e com frequência de 120 Hz. 
a) Qual a amplitude da oscilação? 
Note que a amplitude é a distância total percorrida pela lâmina dividida por dois (pois a 
amplitude é medida entre o ponto de equilíbrio e um dos máximos e não de um máximo a 
outro). Não esqueça de converter as unidades. 
 
ܣ = 1 × 10ିଷ݉ 
b) Qual a velocidade máxima da lâmina? 
 
ݒ௠௔௫ = ܣ߱ = ܣ2ߨ݂ = 10ିଷ2ߨ. 120 
ݒ௠௔௫ = 0,75 ݉\ݏ 
 
c) Qual a máxima aceleração da lâmina? 
 
ܽ௠௔௫ = ܣ߱ଶ = ܣ(2ߨ݂)ଶ = (2ߨ. 120)ଶ 
ݒ௠௔௫ = 5,70 × 10ଶ ݉\ݏଶ 
 
4. Considere a sequência de figuras abaixo (fora de escala): 
 
 t = 0, v = 0 
 t = 0,1 s, v = 2 m/s 
 
 t = 0,2 s, v = 0 
 
Sabendo que o sistema massa-mola se encontra em um movimento harmônico 
simples e que a constante elástica da mola vale 25 N/m determine: 
a) Frequência de oscilação. 
Para calcular a frequência de oscilação (f), podemos inferir o período a partir da sequência 
das figuras: 
ܶ = 0,4 ݏ 
݂ =
1
0,4
= 2,5 ܪݖ 
b) Amplitude. 
Uma vez que a velocidade máxima é dada, podemos determinar a amplitude: 
 
ݒ௠௔௫ = ܣ߱ 
ݒ௠௔௫ = ܣ(2ߨ݂) 
ݒ௠௔௫
2ߨ݂
= ܣ 
ܣ =
2
2ߨ . 2,5
= 0,13 ݉ 
 
c) Massa. 
Para o sistema massa-mola, a frequência angular (߱) é dada por (não decore, lembre-se do 
procedimento de cálculo): 
߱ = ඨ
݇
݉
 
݉ =
݇
߱ଶ
=
݇
(2ߨ݂)ଶ
 
݉ =
25
(2ߨ. 2,5)ଶ
 
݉ = 0,101 ݇݃ 
 
d) A equação que rege o movimento. 
O oscilador harmônico simples tem sempre como solução ݕ = ܣ cos(߱ݐ + ߜ . Note que 
ߜ = ߨ, pois o oscilador se encontra na amplitude negativa quando ݐ = 0. 
ݕ = 0,13. cos(15,7ݐ + ߨ) 
 
CONTEXTUAIS 
1. Um bloco de massa ܯ = 5,4 ݇݃ é colocado em repouso na horizontal, em uma 
superfície sem atrito e presa a uma mola. Uma bala de massa ݉ = 9,5 ݃ é então 
disparada no mesmo eixo horizontal do sistema massa-mola e, quando atinge o 
bloco, o sistema passa a oscilar com frequência 5 ܪݖ e com amplitude de 30 ܿ݉. 
Assumindo que não há dissipação de energia, qual a velocidade com que a bala 
atingiu o bloco? 
 
No momento em que a bala atinge o bloco toda a energia cinética da bala se converte em 
energia potencial do oscilador: 
ܭ = ܷ 
݉
ݒଶ
2
=
1
2
݇ܣଶ 
ݒ = ඨ
݇
݉
ܣ 
 
A constante k pode ser determinada a partir da relação da frequência angular do sistema 
massa-mola em MHS: 
 
߱ = ඨ
݇
ܯ
 
݇ = ܯ߱ଶ = ܯ(2ߨ݂ ଶ 
݇ = 5,4. (2ߨ. 5)ଶ 
݇ = 5,33 × 10ଷ 
Logo: 
ݒ = ඨ
5,33 × 10ଷ
9,5 × 10ିଷ
. 0,3 
ݒ = 2,24 × 10ଶ ݉/ݏ 
 
 
2. Considere o sistema abaixo: 
 
As duas molas são idênticas com constante ݇ = 7580 ܰ/݉. O bloco tem massa ݉ =
0,245 ݇݃. Considerando que não há atrito, qual é a frequência de oscilação do 
sistema? 
 
Para esse sistema precisamos inferir a equação da frequência angular. Iniciando pela 
2ª Lei de Newton: 
 
݉ܽ = −݇ݔ + ݇(−ݔ) 
݉
݀ଶݔ
݀ݐଶ
= −2݇ݔ 
݀ଶݔ
݀ݐଶ
= −
2݇
݉
ݔ 
 
 
A constante que acompanha o termo linear x é igual a ߱ଶ: 
߱ = ඨ
2݇
݉
 
Lembrando que ݂ = ఠ
ଶగ
: 
݂ =
1
2ߨ
ඨ2݇
݉
 
݂ =
1
2ߨ
ඨ
2.7580
0,245
 
݂ = 39,6 ܪݖ 
 
 
 
3. Todos animais caminhantes, tal como os humanos, tem um número de passos 
dado por minuto característico que é considerado “natural”, ou seja, é mais 
confortável. Suponha que esse número de passos corresponda a uma oscilação de 
uma perna que em uma primeira aproximação pode ser considerado um pêndulo 
físico na forma de uma barra uniforme cujo momento de inércia vale ܫ = ଵ
ଷ
ܯܮଶ. 
Evidências fósseis mostram que um Tiranossauro Rex adulto típico tinha uma 
perna com comprimento ܮ = 3,1 ݉ e uma passada com comprimento ܵ = 4,0 ݉, 
conforme ilustra a figura a seguir. Estime a velocidade com que caminhava um 
Tiranossauro. 
 
ܶ =
1
2ߨ
ඨ
ܫ
ܯ݃ܦ
 
 
Se a perna é considerada homogênea, a distância entre o ponto de suspensão (começo da 
perna) e o ponto de aplicação da força (centro de gravidade) será ܦ = ௅
ଶ
. 
 
ܶ =
1
2ߨ
ඩ
1
3 ܯܮ
ଶ
ܯ݃(ܮ/2)
 
 
ܶ =
1
2ߨ
ඨ
2ܮ
3݃
 
 
ܶ =
1
2ߨ
ඨ
2 . 3,1
3 . 9,8
 
ܶ = 2,9 ݏ 
 
O período é o tempo que a perna leva para ir e voltar à mesma posição, completando um 
ciclo. A velocidade do Tiranossauro pode ser então calculada pela divisão do espaço que ele 
percorre em cada passada, pelo tempo que ele leva para dar um passo. 
 
ݒ =
ܵ
ܶ
=
4
2,9
 
ݒ = 1,4 ݉/ݏ 
 
4. Uma barra com 600 ݃ de massa está presa pelo seu centro a um eixo vertical e é 
livre para girar em um plano horizontal. Uma mola com ݇ = 1850 ܰ/݉ é 
conectada a uma das extremidades da barra ligando-a a uma parede fixa (a figura 
abaixo ilustra o cenário visto de cima). Quando a barra está paralela à parede, ela 
se encontra em posição de equilíbrio. Se o sistema é colocado para oscilar por uma 
pequena perturbação, qual será o período do movimento? 
 
Como o movimento é circular, começamos pela 2ª Lei de Newton para rotações: 
ܫߙ = ߬ 
Lembrando que ߬ = ܨݎ 
ܫߙ = ܨݎ 
O momento de Inércia de uma barra suspensa pelo centro com o torque sendo dado na 
extremidade é ܫ = ௠௅
మ
ଵଶ
. A força que gera o torque é a exercida pela mola, logo ܨ = −݇ݔ. O 
braço é dado por ݎ = ௅
ଶ
. 
 
݉ܮଶ
12
ߙ = −
݇ݔܮ
2
 
Lembrando da definição de ângulo, quando este é dado em radianos: 
ߠ =
ݏ
ܮ/2
 
Para ângulos pequenos, podemos aproximar ݏ ≈ ݔ 
ߠ ≈
2ݔ
ܮ
 
Substituindo na relação obtida pela 2ª Lei de Newton: 
݉ܮଶ
12
݀ଶ
݀ݐଶ
൬
2ݔ
ܮ
൰ =
݇ݔܮ
2
 
݉ܮଶ
12
2
ܮ
݀ଶݔ
݀ݐଶ
=
݇ݔܮ
2
 
݀ଶݔ
݀ݐଶ
=
3݇
݉
ݔ 
Logo: 
߱ = ඨ
3݇
݉
 
ܶ =
2ߨ
߱
= 2ߨට
݉
3݇
 
ܶ = 2ߨඨ
0,6
3 . 1850
 
ܶ = 6,53 × 10ିଶݏ