2a lista de calculo III

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2º LISTA DE EXERCICIOS DE CALCULO III 
 DERIVADAS PARCIAIS
Calcule as derivadas parciais das funções dadas:
1.1) 
1.2) 
1.3) 
1.4) 
1.5) 
Mostre que a função dada é harmônica :
2.1) 
2.2) 
2.3) 
2.4) 
Faça o que se pede: 
3.1) a) Se mostre que 
 b) Dada , mostre que 
 c) Dada , verifique 
 d) Seja , mostre que 
3.2) Suponha que verifiquem as relações de Cauchy-Riemann:
.Se mostre que .
3.3) Encontre a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície 
com o plano y=1 no ponto P(2,1,5).
3.4) Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva de interseção da superfície
 com o plano x=1 no ponto .
3.5) Seja a temperatura numa chapa plana, onde x,y são medidas em metros e T em °C. Determine:
a) Domínio da função;
b) T(3,4);
c) Se a partir de (3,4) um objeto se deslocar na direção do eixo x, sentido positivo, a temperatura aumentará ou diminuirá?Faça os mesmos cálculos caso o objeto se desloque no direção do eixo y, sentido positivo.
3.5) Seja a equação que representa a profundidade de um lago, sendo x,y,f(x,y) medidas em metros.Se um esquiador está na água no ponto (4,9) ache a taxa instantânea à qual a profundidade varia na direção:
a) Do eixo x;
b) Do eixo y.
3.6) O potencial elétrico V (volts) no plano xy( em cm) é dado por: .Determine em que ponto o potencial vale 45volts, sendo a taxa de variação do potencial elétrico com relação à distância percorrida na direção do eixo y, sentido positivo, igual a 12volts/cm.(considere todas as variáveis positivas).
Calcule implicitamente para expressões dadas:
4.1) 
4.2) 
4.3)
a) Encontre os pontos sobre a superfície onde a reta normal é paralela ao plano yz.
b) Encontre os pontos sobre a superfície onde o plano tangente á paralelo ao plano xy.
05) Mostre que Onde ,R=resistência totalresistências ligadas em paralelo.
06) A lei dos gases ideais para um gás confinado é dada por PV=kT, P=pressão, V=volume, T= temperatura e k=constante. Mostre que
 2) DIFERENCIABILIDADE
07) Use diferenciais e calcule o valor aproximado de f(1,07;3,89) para a função:
08) Use diferenciais e calcule o valor aproximado de : 
a)
b) 
09) Uma caixa de madeira sem tampa vai ser fabricada com 2/3cm de espessura. O comprimento interno deve ter 60cm, a largura interna 30cm, e a altura interna 40cm.Use diferencial para encontrar o erro no valor calculado do volume e da área de superfície da caixa.
10) Use diferencial para aproximar o erro no cálculo do volume de um cilindro com medidas r=8cm, e h=20cm, com erros possíveis de o,o1cm de medida.
11) A resistência total R de duas resistências conectadas em paralelo é dada por:
.Suponha que foram medidas como sendo 100ohms e 300ohms respectivamente com erro máximo de 2% em cada medida. Use diferenciais para aproximar o erro no valor calculado de R.
12) Ao aplicar a lei dos gases ideais PV=kT, foram cometidos erros percentuais de 1% e 0,6% nas medidas de T e P respectivamente. Aproxime o erro percentual máximo no valor calculado de V, se T=15°C,P=10kg/cm²,k=2.
3 ) REGRA DA CADEIA
13) Se , mostre que .(não utilize fórmulas de adição).
14) Se w=f(x,y) mostre que .
15) Se z=f(x,y),x=s+t,y=s-t, mostre que. 
16) Se s=f(u,v) onde u=x²-y² e v=y²-x², mostre que .
17) Se z=f(x-y,y-x), mostre que .
18) Equação da onda: v=f(x-at)+g(x+at), mostre que .
19) Se z=xy+f(x²+y²), mostre que .
20) Se z=f(bx-ay) mostre que 
21) Seja w=f(x-y,y-z,z-x), mostre que 
22) Mostre que se w=f(u,v) satisfaz e se , então
23) Seja , mostre que .
24) Use a lei de Ohm , R= resistor, V=força eletromotriz, I=corrente, e determine a taxa à qual a corrente I (em amperes) varia em relação ao tempo (em minutos), se sabemos que em certo instante V=80 volts e aumenta a uma taxa de 5 volts/min e R=40ohms e decresce à razão de 2 ohms/min.
25) A areia está vazando por um buraco em um recipiente à razão de 6 cm³/min. Ao vazar, a areia vai formando uma pilha em forma de cone circular reto , cujo raio da base aumenta à razão de 0,25 cm/min. Se, no instante em que já vazaram 40 cm³, o raio é de 5 cm, determine a taxa de variação de aumento da altura da pilha.
26) Suponha que uma partícula, movendo-se ao longo de um placa de metal no plano xy, tem velocidade v=i-4j (cm/s), no ponto (4,2). Se é a temperatura da placa nos pontos do plano xy, em °C, determine a taxa de variação da temperatura por segundo em (4,2).
27) A água está fluindo em um tanque na forma de cilindro circular reto à razão de . Se seu raio cresce à razão de 0,02 m/min, com que velocidade o nível da água está subindo no instante em que r=2m e V=20πm³.
28) Certo gás obedece à lei dos gases ideais PV=8T. Suponha que o gás esteja sendo aquecido à taxa de 2°C/min e a pressão esteja aumentando à taxa de 0,5 (kg/cm²)/min.Se a temperatura é 200°C e a pressão de 10(kg/cm²) ache a taxa à qual o volume está variando.
29 ) a) Uma montanha tem a superfície descrita por . Sobre ela quer-se construir uma via férrea, no qual a vagão percorrerá uma curva descrita por .Determine a componente vertical da velocidade quando ele passar por (7,-16,50).
b) Suponha que uma partícula, movendo-se ao longo de uma placa de metal no plano xy tem velocidade v=2i+3j (cm/s) no ponto (1,1). Se é a temperatura da placa nos pontos do plano xy, em °C, determine a taxa de variação da temperatura por segundo no ponto (1,1).
4) DERIVADA DIRECIONAL
30) A temperatura T em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola, que tomamos como sendo a origem A temperatura em P(1,2,2) é 120°. 
a) Determine a taxa de variação em P(1,2,2) na direção do ponto A(2,1,3);
b) O valor máximo da taxa em P(1,2,2).
31) Seja f uma função de duas variáveis com derivadas parciais contínuas.Considere os pontos A(1,3), B(3,3), C(1,7) e D(6,15). A derivada direcional em A na direção é 3 e a derivada direcional na direção é 26. Determine a derivada direcional de f em A na direção de .
32) A temperatura em uma chapa do plano xy è dada por , onde T é medida em°C e x,y em cm.Se uma formiga se encontra no ponto P(2,3), pergunta-se:
a) Em que direção deve seguir a formiga para se aquecer mais rapidamente possível? Qual a taxa?
b) Em que direção deve seguir a formiga para permanecer a mesma temperatura? Qual sua taxa?
c) Em que direção deve seguir a formiga para se esfriar rapidamente? Qual a taxa?
d) Determine o plano tangente e a reta normal à superfície no ponto P(2,3,5).
33) O potencial elétrico V (volts) em uma região do plano xy( cm) é dado por. Determine a derivada direcional no ponto P(4,3) e na direção normal à curva no mesmo ponto P(4,3).
34) No ponto (1,2) a derivada direcional è 2 na direção v=2i+2j e a derivada direcional é -3 na direção u=i-j. Determine .
35) Uma função f(x,y) é tal que seu gradiente no ponto tem módulo . Sabe-se que em >0. Determine:
a) 
b) 
5) CLASSIFICAÇÃO DOS PONTOS CRÍTICOS DE UMA FUNÇÃO
36) Classifique os pontos críticos das funções abaixo:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
m) 
n) 
o) 
6) MÁXIMOS E MÍNIMOS CONDICIONADOS
37) Calcule as dimensões do retângulo de maior área inscrito numa semi-circunferência de raio a.
38) Determine o ponto do plano x+2y+3z=6 mais próximo da origem.
39) Determine o retângulo de maior área com lados paralelos aos eixos que pode ser inscrito na elipse x²+4y=4.
40) Achar o ponto da superfície z=x²-y mais próximo de (0,1,1).
41) 
42)