Lista 04 - Limites e Continuidade

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Universidade Federal de Lavras
Lista 04 de exercício - Cálculo II
Professora: Graziane Sales Teodoro BOM TRABALHO!
Prezados alunos, essa lista de exercícios contempla toda a matéria para a nossa segunda avaliação.
Bons estudos!
Limites e Continuidade
Questão 1. Suponha que lim
(x,y)→(3,1)
f(x, y) = 6. O que podemos dizer do valor de f(3, 1)? E se a função
for contínua?
Questão 2. Seja f(x, y) =
x2y
x4 + x2
.
a) Mostre que f(x, y) → 0 quando (x, y) → (0, 0) ao longo de qualquer reta y = mx. Isso implica que
f(x, y)→ 0 quando (x, y)→ (0, 0)? Explique.
b) Mostre que f(x, y)→ 1
2
quando (x, y)→ (0, 0) ao longo da parábola y = x2.
c) Baseado nas alternativas anteriores, f(x, y) tem um limite quando (x, y)→ (0, 0)?
Questão 3. Calcule os limites e justifique o sua existência.
a) lim
(x,y)→(−1,2)
xy3
x+ y
b) lim
(x,y)→(0,0)
ln(1 + x2y3)
Questão 4. Mostre que os limites não existe.
a) lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
b) lim
(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
Questão 5. Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
a) f(x, y) =
xy
1 + ex−y
b) f(x, y) =
1 + x2 + y2
1− x2 − y2
c) f(x, y) =

x2y3
2x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0);
1, se (x, y) = (0, 0).
Derivadas Parciais
Questão 6. Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
a)f(x, y) = e−ycos (πx)
b)f(x, y) =
x
y
c)f(x, y, z) = xz − 5x2y3z4
d)f(x, y) = ln
(
x+
√
x2 + y2
)
Questão 7. Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
a)f(x, y) = x3y5 + 2x4y
b)f(x, y) =
√
x2 + y2
1
Questão 8. Se u = ea1x1+a2x2+···+anxn, onde a21 + a22 + · · ·+ a2n = 1, mostre que
∂2u
∂x21
+
∂2u
∂x22
+ · · ·+ ∂
2u
∂x2n
= u.
Questão 9. A temperatura em um ponto (x, y) de uma chapa de metal é dada por T (x, y) =
60
1 + x2 + y2
,
onde T é medido em ◦C e x, y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto (2, 1)
na direção de x e y.
Questão 10. Seja z = sen(y2 − 4x).
a) Determine a taxa de variação de z em relação a x no ponto (2, 1) com y fixado.
b) Determine a taxa de variação de z em relação a y no ponto (2, 1) com x fixado.
Questão 11. O volume V de um cilindro circular reto é dado pela fórmula V = πr2h onde r é o raio
e h é a altura.
a) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a r se r variar e h
permanecer constante.
b) Suponha que h tenha um valor constante de 4 pol, mas que r varie. Determine a taxa de variação de
V em relação a r no ponto onde r = 6pol.
Questão 12. O comprimento, a largura e a altura de uma caixa retangular são 5, 2 e 3 respectiva-
mente, encontre a taxa de variação do volume da caixa em relação ao comprimento se a largura e altura
permanecem constantes.
Questão 13. Um retângulo de comprimento inicial x0 e largura inicial y0 foi aumentado, resultando
um retângulo de comprimento x0 + ∆x e largura y0 + ∆y. Qual a porção da figura representa o aumento
de área do retângulo? Qual a porção da figura representa uma representação por uma diferencial total
do aumento de área?
Questão 14. Suponha que uma função f seja diferenciável no ponto (3, 2, 1) e que
L(x, y, z) = x− y + 2z − 2
seja a aproximação linear local de f em (3, 2, 1). Encontre f(3, 2, 1), fx(3, 2, 1), fy(3, 2, 1) e fz(3, 2, 1).
Questão 15. Encontre a aproximação linear local L da função f no ponto P dado.
a) f(x, y) = 1√
x2+y2
; P (4, 3)
b) f(x, y) = x seny; P (0, 0)
c) f(x, y, z) = xeyz; P (1,−1,−1)
Questão 16. A função f(x, y) = x2 seny é diferenciável em toda parte? Por quê?
2
Questão 17. Mostre que f não é diferenciável em (0, 0). f(x, y) =

xy
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0);
0, se (x, y) = (0, 0).
Questão 18. Use a regra da cadeia para determinar dz
dt
.
a) z = x2 + y2 + xy, x = sent, y = et
b) z =
√
1 + x2 + y2, x = ln t, y = cos t
c) z = xe
y
z x = t2, y = 1− t, z = 1 + 2t
Questão 19. Seja z = x2y3 com x = s cos t e y = s sent. Determine ∂z
∂s
e ∂z
∂t
.
Questão 20. Seja x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1. Determine ∂z
∂x
e ∂z
∂y
.
Questão 21. O comprimento, a largura e a altura de uma caixa variam com o tempo. Em um de-
terminado momento as dimensões do comprimento, a largura e a altura são respectivamente 1m, 2m e
2m. O comprimento e a largura estão aumentando estão aumentando em uma taxa de 2m/s enquanto
a altura está decrescendo em uma taxa de 3m/s. Nesse instante, encontre as taxas em que as seguintes
quantidades estão variando.
a) Volume b) Área da superfície.
Questão 22. Suponha que a parte de uma árvore que é utilizável como madeira seja um cilindro circular
reto. Se a altura utilizável da árvore cresce a uma taxa de 2 pés por ano e o diâmetro utilizável cresce
a 3 pol por ano, com que velocidade cresce o volume da madeira utilizável quando a altura utilizável da
árvore for 20 pés e o diâmetro for 30 pol? Obs: 1 pé = 12 pol.
Questão 23. Seja f uma função diferenciável de uma variável e seja w = f(u), onde u = x+ 2y + 3z.
Mostre que
∂w
∂x
+
∂w
∂y
+
∂w
∂z
= 6
dw
du
.
Derivada Direcional e Vetor Gradiente
Questão 24. Encontre a derivada direcional de f(x, y) = 4x3y2 em (2, 1) na direção de v = 4i− 3j.
Questão 25. a) Encontre a derivada de f(x, y, z) = x3−xy2−z em (1, 1, 0) na direção de v = 2i−3j+6k.
b) Em qual direção f aumenta mais rapidamente e em qual direção f decresce mais rapidamente em
(1, 1, 0)? E quais são as taxas de variações nessas direções?
c) Existe uma direção u na qual a taxa de variação de f em (1, 1, 0) é igual a 10? E a −5? Justifique
sua resposta.
Questão 26. Seja f(x, y) = x2 − xy + y2 − y. Encontre as direções de u e os valores de Duf(1,−1)
para os quais
a) Duf(1,−1) é máximo;
b) Duf(1,−1) é mínimo.
Questão 27. Existe uma direção u na qual a taxa de variação de f(x, y) = x2 − 3xy + 4y2 em P (1, 2)
é igual a 14? Justifique sua resposta.
Questão 28. Suponha que a temperatura no ponto (x, y) seja dada por
T (x, y, z) = (x2 + xy)3,
em que T é medida em graus Celsius e x, y em metros. Em que direção no ponto (−1,−1) a temperatura
aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento?
3
Questão 29. Encontre a derivada direcional de f(x, y) = √xy em (1,4) na direção e sentido de um
vetor que faça, no sentido anti-horário, um ângulo θ =
θ
3
com o eixo x positivo.
Questão 30. Determine a derivada direcional da função
f(x, y, z) = x3y2z5 − 2xz + yz + 3x
em P (−1,−2, 1) na direção e sentido do eixo z negativo.
Questão 31. Se o potencial elétrico em um ponto (x, y) do plano xy é V (x, y) então o vetor intensidade
elétrica no ponto (x, y) é E = −∇V (x, y). Suponha que V (x, y) = e−2x cos 2y.
a) Determine o vetor intensidade elétrica em (π
4
, 0).
b)Mostre que, em cada ponto do plano, o potêncial elétrico decresce mais rapidamente na direção e
sentido do vetor E.
Questão 32. Determine a derivada direcional de f(x, y) = √xyey em P (1, 1) na direção de u = −j.
Máximos e mínimos de funções de duas variáveis
Questão 33. Determine três números positivos cuja soma seja 48 e o seu produto seja o maior possível.
Questão 34. Uma caixa retangular com volume de 16cm3 é feita de dois tipos de materiais. O topo e a
base são feitos de um material que custa 10 centavos por centímetro quadrodo e os lados de um material
que custa 5 centavos por centímetro quadrado. Determine as dimensões da caixa de modo que o custo
dos materiais seja minimizado.
Questão 35. Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções:
a) f(x, y) = 2xy − x2 − 2y2 + 3x+ 4;
b) f(x, y) =
1
x2 + y2 − 1
;
c) f(x, y) = 2x2 + 3xy + 4y2 − 5x+ 2y;
d) f(x, y) = x2 − y2 − 2x+ 4y + 6.
Questão 36. Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f = x2+y2−2x na região triangular
fechada com os vértices (2, 0), (0, 2) e (0,-2).
Questão 37. Encontre os extremos absolutos da função f(x, y) = xy− x− 3y na região triangular com
vértices (0, 0), (0, 4) e (5, 0).
Questão 38. Determine os pontos do cone z2 = x2 + y2 que estão mais próximo do ponto (4, 2, 0).
Multiplicadores de Lagrange
Questão 39. Determine os valores extremos de f(x, y, z) = x+2y sujeita a ambas restrições x+y+z = 1
e y2 + z2 = 4.
Questão 40. Utilize os multiplicadoresde Lagrange para demonstrar que o retângulo com área máxima
e que tem perímetro constante P é um quadrado.
Questão 41. Em que ponto ou pontos do circulo x2 + y2 = 1 a função f(x, y) = xy tem um máximo
absoluto e qual é esse máximo?
Questão 42. Determine usando multiplicadores de Lagrange e também pelo teste de máximo e mínimo
o ponto no plano 3x+ 2y + z = 6 que está mais próximo da origem.
Questão 43. Determine o ponto da reta 2x− 4y = 3 que está mais próximo da origem.
4
Questão 44. Encontre o valor máximo de f(x, y) = 49− x2 − y2 na reta x+ 3y = 10.
Questão 45. A temperatura em um ponto (x, y) em uma placa de metal é
T (x, y) = 4x2 − 4xy + y2.
Uma formiga sobre a placa anda ao redor da circunferência de raio 5 centrado na origem. Quais são as
temperaturas mais alta e mais baixa encontradas pela formiga?
Respostas:
1. Não podemos afirmar nada. f(3, 1) = 6.
3. a) -8 b) 0.
5. a) R2 b) {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 6= 1} c) {(x, y) ∈ R2/(x, y) 6= (0, 0)}
6. a) fx = −πe−y sen(πx), fy = −e−y cos(πx) b)fx = 1y , fy =
−x
y2
c) fx = z − 10xy3z4, fy = −15x2y2z4,
fz = x− 20x2y3z3, d) fx = 1√
x2+y2
, fy = y√
x2+y2
(
x+
√
x2+y2
)
7. a) fxx = 6xy5 + 24x2y, fxy = fyx = 15x2y4 + x3, fyy = 20x3y3 b) fxx = y
2
(x2+y2)
3
2
, fyy = x
2
(x2+y2)
3
2
,
fxy = fyx =
−xy
(x2+y2)
3
2
9.−20
3
e −10
3
10. a) −4 cos 7 b) 2 cos 7
11. a) 2πrh b) 48π
12. 6
13.
14. f(3, 2, 1) = 1, fx(3, 2, 1) = 1, fy(3, 2, 1) = −1 e fz(3, 2, 1) = 2.
15. a) L = 2
5
− 4
125
x− 3
125
y b)L = 0 c) L = e(x− y − z − 2)
16. Sim.
18. a) (2 sent+ et) cos t+ (2et + sent)et b)
(
ln t
t
− cos t sent
)
1√
1+ln2 t+cos2 t
c) e
1−t
1+2t
(
2t− t2
1+2t
− 2t
2(1−t)
(1+2t)2
)
19. ∂z
∂s
= 7s4 cos2 t sen3t, ∂z
∂t
= s4 cos t sen2t(−2s sen2t+ 3 cos2 t)
20. ∂z
∂x
= −x2+2yz
z2+2xy
, ∂z
∂y
= −y2+2xz
z2+2xy
21. a) 6m3/s b) 10m2/s
22. 16200πpol3/ano
24. 0
25. a) 16
7
b) Aumenta: Direção: 〈2,−2, 1〉 Taxa: 3, Diminui: Direção: 〈−2, 2,−1〉 Taxa: −3 c) Não
26. a) u = 3
5
i− 4
5
j e Duf(1,−1) = 5. b) u = −35i+
4
5
j e Duf(1,−1) = −5.
27. Não. Pois a máxima variação é ||∇f(1, 2)|| =
√
185 < 14.
28. Na direção do vetor −36i− 12j. A taxa máxima é
√
1440 ∼= 37, 947.
29. Du(1, 4) = 12 +
√
3
2
.
30. Du(−1,−2,−1) = 20.
31. a) −∇V (π
4
, 0) = 3e−
π
2 i.
32. Du(1, 1) = −3e2 .
33. (16, 16, 16).
34. Altura 4cm e comprimento e largura 2 cm.
35. a) f(3, 3
2
) ponto de máximo local. b) f(0, 0) = −1 ponto de máximo local. c) f(2,−1) = −6 ponto
5
de mínimo local. d) f(1, 2) = 9 ponto de sela.
36. f(0,±2) = 4 são pontos de máximo absoluto e f(1, 0) = −3 é ponto de mínimo absoluto.
38.(1, 1, 1) e (1, 1,−1)
38. Os pontos mais próximo do ponto é (2, 1,±
√
5).
39. Máximo f(1,
√
2,−
√
2) = 1 + 2
√
2 e mínimo f(1,−
√
2,
√
2) = 1− 2
√
2
40. O máximo é
1
2
e ocorre nos pontos
(
1√
2
,
1√
2
)
e
(
− 1√
2
,− 1√
2
)
42.
(
9
7
, 6
7
, 3
7
)
43.
(
3
10
,
−3
5
)
.
44. 39
45. 0o e 125o.
6