Fenômenos de Transporte para Engenhreiros Químicos Interressa João Jorge Ribeiro Damasceno

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Lições sobre
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
PARA ENGENHEIROS QUÍMICOS
João Jorge Ribeiro Damasceno
Faculdade de Engenharia Química
Universidade Federal de Uberlândia
Uberlândia, 2005
1
Sumário
II Transporte de Energia Térmica 11
10 Os Fundamentos do Transporte de Energia 13
10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
10.2 Os Tipos de Transporte de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
10.3 Transferência de Calor por Condução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10.4 Transferência de Calor por Convecção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10.5 Transferência de Calor por Radiação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10.6 As Diversas Formas da Equação da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10.7 O Teorema de Transporte de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
11 O Transporte de Energia por Condução 29
11.1 Transporte de Energia por Condução em Sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
11.1.1 Condução em placa, sem geração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
11.1.2 Condução em um tubo cilíndrico infinito . . . . . . . . . . . . . . . . 33
11.1.3 O conceito do raio crítico de isolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
11.1.4 Cilindro infinito com geração de calor e condução . . . . . . . . . . . 41
11.1.5 Condução em uma fonte de calor nuclear e esférica e seu revestimento . 43
11.1.6 Condução de calor em aletas de resfriamento . . . . . . . . . . . . . . 46
11.2 Transferência de Calor em Sólidos com Geometrias Simples . . . . . . . . . . 62
11.2.1 Placas infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
11.2.2 Cilindros infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
11.2.3 Esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
11.2.4 Resolução da equação da difusão para o caso de uma placa plana infinita 67
11.3 Transporte de Energia por Condução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
11.3.1 Condução térmica com uma fonte viscosa de calor . . . . . . . . . . . 70
11.3.2 Estudo teórico da convecção forçada num tubo de seção circular . . . . 73
11.3.3 Troca térmica por convecção natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11.3.4 Transferência de calor transiente em sólidos simples - os diagramas de
Gurney-Lurie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
12 O Transporte de Energia por Convecção 91
12.1 Estudo Empírico da Convecção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
12.1.1 Convecção forçada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
12.1.2 Convecção natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
12.2 Correlações para a convecção forçada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
12.3 Correlações para a Convecção Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5
6
13 Transporte de Energia por Radiação 115
13.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
13.2 Propriedades da Radiação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
13.3 O Fator de Forma para a Radiação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
13.4 Relações entre os Fatores de Forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
13.5 Troca térmica por radiação entre corpos não negros . . . . . . . . . . . . . . . 142
13.6 A Blindagem da radiação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Lista de Figuras
10.1 Tanque de aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
10.2 Esboço da equação (10.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
10.3 Condução em uma barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10.4 Transferência de calor entre uma placa e um fluido . . . . . . . . . . . . . . . 18
10.5 Diversas faixas de comprimento de onda eletromagnética . . . . . . . . . . . . 21
11.1 Condução de calor numa placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
11.2 Diagrama térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
11.3 Condução de calor em múltiplas placas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
11.4 Diagrama térmico com n resitências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
11.5 Outra configuração de placas justapostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
11.6 Diagrama térmico para o caso citado acima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
11.7 Condução em um tubo cilindrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
11.8 Tubo recoberto com isolante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
11.9 Raio crítico maior que o raio externo do tubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
11.10Raio crítico menor que o raio externo do tubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
11.11Raio crítico de isolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
11.12Aleta de resfriamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
11.13Dimensões da aleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
11.14Eficiência de aletas triangulares e retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
11.15Eficiência de aletas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
11.16Eficiencia de aletas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
11.17Eficiencia de aletas 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
11.18Eficiencia de aletas 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
11.19Diversas geometrias de aletas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
11.20Placas infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
11.21Cilindro infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
11.22Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
11.23Cilindros concêntricos em rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
11.24Espaço entre cilindros considerando coordenadas retangulares por b tender a zero 70
11.25Convecção forçada num tubo de secção circular . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
11.26Convecção natural entre duas placas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11.27Perfil de velocidade entre as placas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
11.28Espessura de uma placa (L) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
11.29Placa plana (tridimensional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
11.30Cilindro (tridimensional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
11.31Transporte numa esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
11.32Transporte numa placa plana infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
11.33Transporte num cilindro infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
12.1 Números de Nusselt local e médio para regiões de entradas térmicas em tubos
de seção circular para escoamento laminar plenamente estabelecido. . . . . . . 97
7
8
12.2 Números de Nusselt para regiões de entradas térmicas em tubos de seção circu-
lar para escoamento turbulento com fluxo de calor na parede constante. . . . . . 100
12.3 Arranjos de fileiras de tubos em linha (a) e alternado (b) . . . . . . . . . . . . . 103
12.4 (Holman)-Transferência de Calor em convecção natural em placas verticais
aquecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
12.5 (Holman)-Transferência de calor por convecção natural em cilindros horizontais
aquecidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
13.1 Energia emitida por um corpo negro a uma determinada temperatura em função
do comprimento de onda . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 119
13.2 Fluxo de energia numa superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
13.3 Faixas de Transmissividade e Emissividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
13.4 Troca de calor entre uma fonte puntiforme e um disco . . . . . . . . . . . . . . 128
13.5 Fator de forma de radiação entre retângulos paralelos . . . . . . . . . . . . . . 130
13.6 Fator de forma de radiação entre discos paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . 131
13.7 Fator de forma de radiação entre retângulos perpendiculares com uma aresta
comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
13.8 Fatores de forma de radiação para dois cilindros concêntricos de comprimento
finito. Cilindro externo para si mesmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
13.9 Fatores de forma de radiação para dois cilindros concêntricos de comprimento
finito. Cilindro externo para cilindro interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
13.10Fator de forma de radiação entre dois discos concêntricos paralelos . . . . . . . 135
13.11Troca de energia irradiada entre três geometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
13.12Troca de energia irradiada entre 4 geometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
13.13Troca de energia irradiada entre 8 geometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
13.14Troca de calor por radiação entre dois cilindros concêntricos . . . . . . . . . . 139
13.15Cone truncado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
13.16Resistencias representando troca de calor entre duas superfícies . . . . . . . . . 144
13.17Resistências para troca de calor entre três superfícies . . . . . . . . . . . . . . 144
13.18Resistências para transferência de calor entre duas placas e uma sala . . . . . . 145
13.19Ciruito resultante para troca de calor entre duas placas e uma sala . . . . . . . . 146
13.20Circuito resultante para dois quadrados com aresta em comum e uma sala tro-
cando calor entre si. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
13.21Circuito resultante para dois quadrados com aresta em comum e uma sala. . . . 148
13.22Circuito térmico equivalente para uma blindagem inserida entre duas placas
infinitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
13.23Circuito resultante para dois cilindros concêntricos trocando calor (radiação)
entre eles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
13.24Circuito térmico resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Lista de Tabelas
10.1 Valores de condutividade térmica para diversos materiais . . . . . . . . . . . . 19
10.2 Valores de h para diferentes situações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12.2 Transferência de calor e fator de atrito para escoamento laminar plenamente
desenvolvido em dutos de várias seções transversais. . . . . . . . . . . . . . . 97
12.1 Coeficientes de transferência de calor em tubos . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
12.3 Coeficientes de transferência de calor em escoamento externo a cilindros e es-
feras e escoamento cruzado a feixes de tubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
12.4 Constantes para a correlação de Hilpert, Knudesen e Katz para o caso de esco-
amento cruzado a prismas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
12.5 Constantes da correlação de Grimson para a transferência de calor em feixes de
tubos com 10 ou mais fileiras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
12.6 Razão entre h para N fileiras transversais e h para 10 fileiras transversais de tubos103
12.7 Valores das constantes C e m a serem utilizados na Equação (eq:correlaçãoum). 104
12.8 Valores críticos do número de Grashof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
12.9 Resumo das constantes C, m e n da Equação (12.18), válida para a convecção
natural em espaços confinados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
13.1 Funções de Radiação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
,
9
10
Parte II
Transporte de Energia Térmica
11
CAPÍTULO 10
Os Fundamentos do Transporte de
Energia
10.1. Introdução
Seja o tanque de aquecimento contínuo ilustrado abaixo
Figura 10.1: Tanque de aquecimento
m˙ = ρV˙ = ρ v A
A equação simplificada da conservação da energia é
d
dt
{
m˙U +
mv2
2
+mg h
}
=
∑
i
m˙i
{
H +
v2
2
+ g h
}
i
+ Q˙+ W˙s − PextdVt
dt
(10.1)
onde
• U - energia interna por unidade de massa;
• H - entalpia por unidade de massa;
• Q˙ - calor cedido ao sitema por unidade de tempo;
• W˙s - trabalho de eixo cedido ao sistema por unidade de tempo;
• Vt - volume total do sistema.
13
10.1 Introdução 14
Considerando que o tanque de aquecimento contínuo (TAC) é muito bem agitado porém
sem a utilização de trabalho de eixo e que as variações de energias cinéticas e potencial são
desprezíveis, tem-se
d
dt
(mU) = m˙eHe − m˙sHs + Q˙ (10.2)
Cv =
(
∂U
∂T
)
V
, Cp =
(
∂H
∂T
)
P
Para o caso de Cv e Cp constantes
U = Cv(T − To) (10.3)
H = Cp(T − T0) (10.4)
Para o caso de líquidos Cv w Cp. Assim
d
dt
(mCp(T − To)) = m˙eCp(T1 − To)− m˙sCp(T − T0) + q˙ (10.5)
d
dt
(ρ V Cp T ) = Q˙+ m˙eCp(T1 − T0)− m˙sCp(T − T0)
d
dt
(ρ V Cp T ) = Q˙+ ρ V˙eCp(T1 − T0)− ρ V˙sCp(T − T0)
Quando o tanque estiver cheio e a vazão V˙s saindo pelo vertedouro ter-se-a
dm
dt
= m˙e − m˙s
d(ρ V )
dt
= ρ(V˙e − V˙s)
d h
dt
=
V˙e − V˙s
A
Como
dh
dt
= 0⇒ V˙e = V˙s = V˙ , nessas condições V = cte e
ρ V Cp
dT
dt
= Q˙− ρV˙ Cp(T − T0) + ρ V˙ Cp(T1 − T0)
onde foi suposto que ρ e Cp são constante
dT
dt
=
Q˙
ρ V Cp
− V˙
V
(T − T1)
V˙
V
=
1
t∗
, t∗ é a constante de tempo do sistema.
t∗
dT
dt
+ T =
Q˙
ρ V˙ Cp
+ T1
Capítulo10 Os Fundamentos do Transporte de Energia 15
Seja k = T1 +
Q˙
ρ V˙ Cp
t∗
dT
dt
+ T = k
dT
dt
+
1
t∗
T =
k
t∗
Fator de integração (f )
f = exp
(∫
1
t∗
dt
)
= exp
(
t
t∗
)
f
dT
dt
+
f
t∗
T =
k
t∗
f
exp
(
t
t∗
)
dT
dt
− T
t∗
exp
(
t
t∗
)
=
k
t∗
exp
(
t
t∗
)
d
dt
(
T exp
(
t
t∗
))
=
k
t∗
exp
(
t
t∗
)
T exp
(
t
t∗
)
=
∫
k
t∗
exp
(
t
t∗
)
dt+ C
T exp
(
t
t∗
)
= k exp (tt∗) + C
T = k + C exp
(
− t
t∗
)
T (t = 0) = T1
T1 − k = C
T = k + (T1 −K) exp
(
− t
t∗
)
mas k = T1 +
Q˙
ρ V Cp
T1 − k = − Q˙
ρ V˙ Cp
T = T1 +
Q
ρ V˙ Cp
− Q˙
ρ V˙ Cp
exp
(
− t
t∗
)
T = T1 +
Q˙
ρ V˙ Cp
[
1− exp
(
− t
t∗
)]
(10.6)
T (t→∞) = T1 + Q˙
ρ V˙ Cp
[1− exp(−∞)]
10.1 Introdução 16
Figura 10.2: Esboço da equação (10.6)
T (∞) = T1 + Q˙
ρ V˙ Cp
= T∞
Obs: Quando t = 5 t∗
T5 = T1 +
Q˙
ρ v˙V Cp
[1− exp(−5)]
T5 = T1 + 0, 99
Q˙
ρ V˙ Cp
mas T1 = T∞ − Q˙
ρ V˙ Cp
T5 = T∞ − 0, 01 Q˙
ρ V˙ Cp
Se t = 5 t∗ considera-se que o sistema atingiu o estado estacionário
t∗ =
V
V˙
Quanto maior V˙ menor t∗ e mais rápido o estado estacionário é alcançado. Como
T∞ = T1 +
Q˙
ρ V˙ Cp
quanto maior V˙ menor T∞.
Um exemplo de um tanque de aquecimento contínuo é o chuveiro elétrico.
10.2. Os Tipos de Transporte de Energia
Sempre que um sistema possuir um conteúdo energético diferente do de suas vizinhanças
ocorrerá transferência de energia daquele que contiver o teor mais alto para aquele com teor
mais baixo. Tal transferência poderá ocorrer sob a forma de calor ou de trabalho.
Capítulo10 Os Fundamentos do Transporte de Energia 17
O estufo das taxas com que a energia é transportada sob a forma de calor (“Transferência
de calor”) requer oconhecimento dos mecanismos através dos quais tais transferências podem
ocorrer. Existem três mecanismos básicos para transferência de calor:
1- Condução
2- Convecção
3- Radiação
A transferência de calor por condução ocorre devido à transferência de quantidade de mo-
vimento vibracional por difusão. Tal transferência ocorre independentemente de que haja mo-
vimento relativo entre os pontos do corpo. A tranferência de calor no interior de corpos sólidos
ocorre por condução.
A transferência de calor por convecção ocorre em corpos fluido onde existem velocidades
relativas entre os diversos pontos que constituem o corpo. Tal mecanismo é fundamental na
transferência de calor em fluidos sob escoamento turbulento.
A transferência de calor por radiação ocorre sem que haja necessidade da existência de um
meio físico para viabilizar o transporte. A radiação térmica é produzida em decorrência das
constantes modificações de energia dos elétrons e núcleos, que ocorrem em todos os corpos.
10.3. Transferência de Calor por Condução
Seja uma fina barra metálica em que uma das extremidades é mantida a uma temperatura
mais alta que a outra. A experiência mostra que ocorrerá transporte de energia, sob a forma de
calor, da extremidade mais quente para a extremidade mais fria. O fluxo de calor é diretamente
proporcional à diferênça de temperaturas e inversamente proporcional ao comprimento da barra
qx ∝ T1 − T2
L
= −∆T
L
(10.7)
Figura 10.3: Condução em uma barra
qx ∝ lim
L→0
−∆T
L
= −dT
dx
qx = −kxdT
dx
10.3 Transferência de Calor por Condução 18
No caso de transferência de calor nas três direções tem-se
q =
∑
i
qiei = −
∑
i
ki
dT
dxi
ei (10.8)
ki é a condutividade térmica na direção i. Para o caso de materiais isotrópicos, cujas proprieda-
des independem da posição, pode-se escrever ki = k
q = −k dT
dxi
ei
q = −k∇T (10.9)
que é a chamada Lei de Fourier para a condução térmica.
A taxa de transferência de calor é
Q = qA = −k A∇T
A condutividade térmica (k) é uma propriedade do material, sendo, para o caso de uma
substância pura função da temperatura e da pressão. As dimensôes de k são
[k] =
[ q
∇T
]
=
energia
L2T
L
θ
=
energia
LT θ
θ = temperatura No sistema internacional
[k] =
W
mK
=
W
m oC
A tabela a seguir apresenta alguns valores de condutividade térmica
10.4. Transferência de Calor por Convecção
Seja uma placa plana mantida à temperatura constante Tp. Um fluido escoa paralelamente
a ela com temperatura T∞, Tp > T∞. Verifica-se facilmente que
Figura 10.4: Transferência de calor entre uma placa e um fluido
qy ∝ (Tp − T∞)
qy = h(Tp − T∞
Capítulo10 Os Fundamentos do Transporte de Energia 19
Tabela 10.1: Valores de condutividade térmica para diversos materiais
Material k(W/moC)
Prata 410
Cobre 385
Alumínio 202
Chumbo 35
Arenito 1,83
Vidro 0,78
Lã de vidro 0,038
Mercúrio 8,21
Água 0,556
Amônia 0,540
Freon 0,073
Hidrogênio 0,175
Hélio 0,141
Ar 0,024
Dióxido de Carbono 0,0146
Num sistema tridimensional e isotrópico pode-se escrever
q =
∑
i
h(∆Ti)ei
A taxa de calor será
Q =
∑
i
hAi(∆T )iei
que é a lei de Newton para o resfriamento onde h é o coeficiente de transferência de calor,
também chamado de coeficiente de película. As dimensões de h são
[h] =
[ q
∆T
]
=
energia
L2Tθ
No sistema internacional as unidades são
[h] =
W
m2oC
=
W
m2K
Mesmo que o fluido eseja parado sobre a placa quente, ainda assim ocorrerá convecção,
devido ao fato do fluido quente apresentar uma massa específica menor que a do fluido frio,
localizado mais longe da placa. Tal situação provoca um movimento ascendente do fluido frio,
o que caracteriza a chamada convecção natural. É claro que os coeficientes de película para a
convecção natural são bem menores que os pra a convecção forçada.
A seguir são apresentadas valores aproximados de h para algumas situações de interesse. É
lógico que h é função da velocidade do fluido, da temperatura bem como de outras variáveis.
10.5 Transferência de Calor por Radiação 20
Tabela 10.2: Valores de h para diferentes situações
Situação h(W/m2oC)
Convecção natural em placa vertical em ar (L= 30cm) 4,5
Convecção natural em cilindro horizontal em água (D= 2cm) 890
Ar a 2 m/s sobre placa quadrada (L= 0,2 m) 12
Água em ebulição em vaso aberto 2500-35000
Condensação de vapor de água a 1 atm em superfícies verticais 4000-11300
10.5. Transferência de Calor por Radiação
A transferência de calor por radiação ocorre mesmo na ausência de um meio físico. Um
irradiador ideal ou corpo negro emite energia numa taxa proporcional à 4a potência da tempe-
ratura absoluta. Dois corpos negros trocam calor por irradiação segundo a seguinte equação:
q = σ
∑
i
(T 41 − T 42 )ei (10.10)
As dimensões de σ, a constante de Stefan-Boltzman são
[σ] =
[ q
T 4
]
=
energia
L2T θ4
No sistema internacional
σ = 5, 669× 10−8 W
m2K4
Um irradiador não ideal emite menos radiação que o corpo negro
q = F�FAσ(T
4
1 − T 42 )ei
onde
• F� - fator de emissividade das superfícies (ou fator de emissão);
• FA - fator de área das duas superfícies (ou fator de forma).
FA, F� < 1
A radiação térmica é apenas um dos tipos da radiação eletromagnética. Qualquer radiação
eletromagnética se propaga no vácuo à velocidade da luz (c = 3× 1010 cm/s). A relação entre
o comprimento de onda da onda eletromagnética e sua frequência é
c = λν
λ = comprimento de onda(L)
ν = frequência da onda(T 1)
Capítulo10 Os Fundamentos do Transporte de Energia 21
1µm = 10−6m
Å(angstron) = 10−10m
A radiação térmica apresenta comprimento de onda entre 0, 1 e 100µm, enquanto a luz
vizível possui espectro na faixa de 0, 35 a 0, 75µm.
Uma vista equemática dos diversos tipos de radiação eletromagnética é dada a seguir. A
Figura 10.5: Diversas faixas de comprimento de onda eletromagnética
energia carregada num quantum de energia é dada por
E = h ν
[h] =
[
E
ν
]
=
energia
s−1
No sistema internacional
h = 6, 625× 10−34J s
Como ν =
c
λ
E =
h c
λ
e quanto menor o comprimento de onda da radiação, maior sua energia.
10.6. As Diversas Formas da Equação da Energia
A variação da energia de um volume material é dada por
D
Dt
∫
ρE dV (10.11)
10.6 As Diversas Formas da Equação da Energia 22
onde E é a energia específica.
A energia do volume material pode variar devido à adição de energia sob as formas de calor
e de trabalho.
D
Dt
∫
ρE dV = −
∫
T · v · n dS +
∫
ρg · v dV +
∫
GdV −
∫
q · n dS (10.12)
T = P I+ τ
• − ∫ T · v · n dS = trabalho feito sobre o volume material pelas forças de superfície.
• ∫ ρg · v dV = trabalho feito sobre o volume material pela força gravitacional.
• ∫ GdV = energia gerada no interior do volume material.
• − ∫ q · n dS = calor que entra no volume material por condução através de suas superfí-
cies.
T = P I+ τ
T · v = P I · v + τ · v
P I · v = Pδijeiej · vkek = P eiδijδjkvk = Pviei = Pv
Assim
D
Dt
∫
ρE dV = −
∫
Pv·n dS−
∫
τ ·v·n dS+
∫
ρv·g dV −
∫
q·n dS+
∫
GdV (10.13)
O Teorema do transporte de Reynolds relaciona a variação de uma grandeza qualquer por
unidade de volume no volume material com a variação da mesma grandeza no volume de con-
trole. Tal teorema não será provado neste livro, mas sua expressão é a seguinte:
D
Dt
∫
Φ dV =
∫
∂Φ
∂t
dV +
∫
Φv · n dS
No caso em estudo Φ = ρE logo
D
Dt
∫
ρE dV =
∫
∂ρE
∂t
dV +
∫
ρEv · n dS
Levando tal resultado na equação (10.13) obtém-se∫
∂ρE
∂t
dV +
∫
ρEv · n d =−
∫
Pv · n dS −
∫
τ · v · n dS +
∫
ρv · g dV+
−
∫
q · n dS +
∫
GdV
(10.14)
Aplicando o teorema de Gauss que transforma integrais de superfície em integrais de vo-
lume ∫ {∂ρE
∂t
+∇ · ρEv +∇ · P v +∇ · τ · v − ρ g · v +∇ · q −G
}
dV = 0
Capítulo10 Os Fundamentos do Transporte de Energia 23
assim
∂ρE
∂t
+∇ · ρEv = −∇ · ρEv = −∇ · Pv −∇ · τ · v + ρg · v −∇ · q+G
O primeiro menbro da equação anterior pode ser rescrito como
∂ρE
∂t
+∇ · ρEv = ρ
[
∂E
∂t
+ v · ∇E
]
+ E
[
∂ρ
∂t
+∇ · ρv
]
como
∂ρ
∂t
+∇ · ρv = 0 (equação da continuidade)pode-se escrever
∂ρE
∂t
+∇ · ρE v = ρ
[
∂E
∂t
+ v ·∇E
]
= ρ
DE
Dt
Assim, a equação da energia total em sua forma diferencial pode ser escrita como
ρ
DE
Dt
= −∇ · q−∇ · P v −∇ · τ · v + ρ v · g +G
G = geração volumétrica de energia.
E = U +
v2
2
uma vez que a energia potencial já está representada no segundo menbro da equação da energia
total
ρ
D
Dt
[
U +
v2
2
]
= −∇ · q−∇ · Pv −∇ · τ · v + ρv · g +G
Tal equação relaciona as variáveis de energias cinética e térmica em função das adições
de calor e de trabalho ao sistema. Para obter-se a equação da energia térmica é necessário a
obtenção da equação da energia mecânica (ou cinética) e sua posterior subtração da equação da
energia total.
A equação da energia mecânica é obtida multiplicando-se escalarmente a equação do mo-
vimento por v
ρ
D v
Dt
· v = −v ·∇P − v ·∇ · τ + v · ρg
ρ
D
Dt
(
v2
2
)
= −v ·∇P − v ·∇ · τ + ρg · v
ρ
D
Dt
(
v2
2
)
= −v ·∇P − v ·∇ · τ + ρv · g (10.15)
que é a equação da energia mecânica
ρ
D
Dt
(
U +
v2
2
)
= −∇ · q−∇ · Pv −∇ · τ · v + ρ v · g +G
10.6 As Diversas Formas da Equação da Energia 24
−ρ D
Dt
(
v2
2
)
= v · ∇P + v ·∇ · τ − ρ g · v
ρ
DU
Dt
= −∇ · q+G− (∇ · Pv − v ·∇P )− (∇ · τ · v − v ·∇τ
Através de álgebra indicial, é fácil mostrar que
∇ · Pv = v ·∇P + P∇ · v
logo
∇ · Pv − v · ∇P = P∇ · v
∇ · τ · v = τ :∇v + v ·∇ · τ
∇ · τ · v − v ·∇ · τ = τ :∇v
Substituindo estes resultados na equação da energia térmica obtêm-se
ρ
DU
Dt
= −∇ · q+G− τ :∇v − P∇ · v
• τ :∇v - calor que entra no sistema devido à dissipação viscosa;
• P∇ · v - energia que entra no sistema devido à sua conpressão.
ρ
DU
Dt
= −∇ · q− τ :∇v − P · ·v +G (10.16)
A equação da energia térmica nesta forma não é muito útil no levantamento dos perfis de
temperaturas, uma vez que precisa-se conhecer com U varia com T . Da termodinâmica, sabe-se
que
U = U(T, V )
dU =
(
∂U
∂T
)
V
dT +
(
∂U
∂V
)
T
dV(
∂U
∂T
)
V
≡ Cv
Sabe-se que dU = T dS − P dV
∂U
∂V
)
T
= T
∂S
∂V
)
T
− P ∂V
∂V
)
T
∂U
∂V
)
T
= T
∂S
∂V
)
T
− P
Sabe-se que
∂S
∂V
)
T
=
∂P
∂T
)
V
que é uma relação de Maxwell. Logo
dU = Cv dT +
[
T
∂P
∂T
)
V
− P
]
dV (10.17)
Capítulo10 Os Fundamentos do Transporte de Energia 25
ρ
DU
Dt
= ρCv
DT
Dt
+ ρ
[
T
∂P
∂T
)
V
− P
]
DV
Dt
Um detalhe importante é que
ρ
DV
Dt
= ρ
D
Dt
(
1
ρ
)
= − ρ
ρ2
Dρ
Dt
= −1
ρ
Dρ
Dt
A equação da continuidade é
∂ρ
∂t
+∇ · ρv = ∂ρ
∂t
+ ρ∇ · v + v ·∇ρ = 0
∂ρ
∂t
+ v · ∇ρ+ ρ∇ · v = 0
Dρ
Dt
+ ρ∇ · v = 0 ∴ −1
ρ
Dρ
Dt
=∇ · v
Substituindo tal resultado na equação (10.17)
ρ
DU
Dt
= ρCv
DT
Dt
+
[
T
∂P
∂T
)
V
− P
]
∇ · v
Tal resultado quando levado à equação da energia térmica produz
ρCv
DT
Dt
+ T
∂P
∂T
)
V
∇ · v − P∇ · v = −∇ · q− τ :∇v − P∇ · v +G
ρCv
DT
Dt
= −∇ · q− τ :∇v − T ∂P
∂T
)
V
∇ · v (10.18)
que é a equação da energia térmica em termos de temperaturas
• ρCvDT
Dt
= variação da energia térmica do sistema;
• −∇ · q = entrada menos saída de calor por condução no sistema;
• T ∂P
∂T
)
V
∇ · v = entrada menos saída de energia térmica devido à deformação do sistema;
• τ :∇v = entrada menos saída de energia térmica no sistema devido à dissipação viscosa;
• G = geração de energia no sistema por unidade de seu volume.
10.7. O Uso do Teorema de Transporte de Reynolds na Dedu-
ção das Equações da Continuidade e do Movimento
A expressão do teorema de transporte de Reynolds, que relaciona a variação de uma gran-
deza Φ num volume material com a variação da mesma grandeza num volume de controle,
é
D
Dt
∫
Φ dV =
∫
∂Φ
∂t
dV +
∫
Φv · n dS
10.7 O Teorema de Transporte de Reynolds 26
a grandeza Φ é uma propriedade do sistema por unidade de volume.
No caso da conservação da massa
Φ =
m
V
= ρ
D
Dt
∫
ρ dV =
∫
∂ρ
∂t
dV +
∫
ρv · n dS
Sabe-se que num volume material a massa é constante, isto é,
D
Dt
∫
ρ dV = 0
logo ∫
∂ρ
∂t
dV +
∫
ρv · n dS = 0
Utilizando o teorema de Gauss pode-se escrever∫
ρv · n ds =
∫
∇ · ρv dV
∫ {
∂ρ
∂t
+∇ · ρv
}
dV = 0
logo
∂ρ
∂t
+∇ · ρv = 0 (10.19)
que é a equação da continuidade em sua forma diferencial.
No caso da conservação da quantidade de movimento
Φ =
mv
V
= ρv
O teorema do transporte de Reynolds para esse caso é
D
Dt
∫
ρv dV =
∫
∂ρ v
∂t
dV +
∫
ρ v v · n dS
mas,
D
Dt
∫
ρv dV é a variação da quantidade de movimento no volume material em função do
tempo. Segundo Newton, tal variação ocorre quando existe uma resultante, ou seja,
D
Dt
∫
ρv dV =
∫
ρ g dV −
∫
τ · n dS∫
∂ρv
∂t
dV +
∫
ρvv · n dS =
∫
ρ g dV −
∫
τ · n dS
Aplicando o teorema de Gauss tem-se∫ {
∂ρv
∂t
+∇ · ρv v − ρg +∇ · τ
}
dV = 0
Capítulo10 Os Fundamentos do Transporte de Energia 27
logo
∂ρv
∂t
+∇ · ρv v − ρg −∇ · τ
∂ρv
∂t
+∇ · ρv v = ρ
[
∂v
∂t
+ v · ∇v
]
+ v
[
∂ρ
∂t
+∇ · ρv
]
ρ
[
∂v
∂t
+ v · v ·∇v
]
= ρ
Dv
Dt
assim
ρ
Dv
Dt
= −∇ · τ + ρ g
mas
τ = P I = T
• T - tensão viscosa (dinâmica);
• P I - tensão normal estática.
∇ · τ =∇ · P I+∇ · τ
∇ · P I = ek ∂
∂xk
· Pδijeiej = δijδik ∂P
∂x
ej =
∂P
∂xi
ei
∇ · P I =∇P
logo a equação do movimento é dada por
ρ
Dv
Dt
= −∇P −∇ · τ + ρg (10.20)
10.7 O Teorema de Transporte de Reynolds 28
CAPÍTULO 11
O Transporte de Energia por Condução
11.1. Transporte de Energia por Condução em Sólidos
A equação da energia térmica em termos da temperatura
ρCv
DT
Dt
= −∇ · q− τ :∇v − T ∂P
∂T
)
V
∇ · v +G
Para o caso de sólidos v = 0
ρCv
[
∂T
∂t
+ v · ∇T
]
= −∇ · q− τ :∇v + G˙− T ∂P
∂T
)
V
∇ · v
Cv ' Cp
ρCp
∂T
∂t
= −∇ · q+ G˙
e o aumento da temperatura do sistema sólido pode aumentara pela adição de calor ou pela
geração de energia no interior do sistema.
11.1.1. Condução em placa, sem geração
Figura 11.1: Condução de calor numa placa
Hipóteses:
• placa com pequena espessura;
• transferência de calor em estado estacionário;
29
11.1 Transporte de Energia por Condução em Sólidos 30
• não ocorre geração de energia no sistema.
ρCp
∂T
∂t
= −∇ · q+ G˙
−∇ · q = 0
∂qx
∂x
+
∂qy
∂y
+
∂qz
∂z
= 0
0 ≤ x ≤ ∆x ∆x� W
0 ≤ y ≤ W ∆x� B
0 ≤ z ≤ B
assim
dqx
dx
= 0, logo qx = cte..
A equação de Fourier relaciona q com T .
q = −k∇T
qx = −kdT
dx
Como qx = cte. e assumindo que k é constante tem-se
−qx
k
=
∆T
∆x
=
T − T0
∆x
qx =
(T0 − T )
∆x
k
Qx = qxA , A = W B
Qx =
(T0 − T )
∆x
k A
taxa =
diferença de potencial
resistência
Fazendo uma analogia com a transmissão de eletricidade
i =
∆V
R
• i - corrente elétrica;
• ∆V - diferença de potencial elétrico;
• R - resistência elétrica.
Capítulo11 O Transporte de Energia por Condução 31
Figura 11.2: Diagrama térmico
Figura 11.3: Condução de calor em múltiplas placas
O diagrama térmico pode ser representado como
Para o caso de múltiplas placas justapostas, pode-se escrever
qx = cte.qx = −k1 dT
dx
∣∣∣∣
1
= −k2 dT
dx
∣∣∣∣
2
= . . . = −k dT
dx
∣∣∣∣
n
Qx = −k1A dT
dx
∣∣∣∣
1
= −k2A dT
dx
∣∣∣∣
2
= . . . = −kn dT
dx
∣∣∣∣
n
T0 − T1 = Qx∆x1
k1A
T1 − T2 = Qx∆x2
k2A...
...
Tn−1 − Tn = Qx∆xn
knA
T0 − Tn = Qx
[
∆x1
k1A
+
∆x2
k2a
+ . . .+
∆xn
knA
]
Qx =
T0 − Tn∑
i
∆xi
kiA
O diagrama térmico é idêntico a um diagrama elétrico com n resistências em série
11.1 Transporte de Energia por Condução em Sólidos 32
Figura 11.4: Diagrama térmico com n resitências
Figura 11.5: Outra configuração de placas justapostas
Outro exemplo é o do caso de placas justapostas na seguinte configuração
Da configuração da energia térmica obtem-se
Qx = cte.
Qx = −k1A dT
dx
∣∣∣∣
1
= −k2 dT
dx
∣∣∣∣
2
A2 − k′2
dT
dx
∣∣∣∣
2′
A
′
2 = −k3A
dT
dx
∣∣∣∣
3
T0 − T1 = Qx∆x1
k1A
T1 − T2 = Qx
 1k2A2
∆x2
+
k
′
2A
′
2
∆x2

T2 − T3 = Qx∆x3
k3A
T0 − T3 = Qx
∆x1k1A + 1k2A2
∆x2
+
k
′
2A
′
2
∆x2
+
∆x3
k3A3

Capítulo11 O Transporte de Energia por Condução 33
Qx =
T0 − T3
∆x1
k1A
+
1
k2A2
∆x2
+
k
′
2A
′
2
∆x2
+
∆x3
k3A3
O diagrama térmico para este caso é o seguinte
Figura 11.6: Diagrama térmico para o caso citado acima
11.1.2. Condução em um tubo cilíndrico infinito de raio interno Ri e raio
externo Re, sem geração
Como no caso da placa plana o uso da equação da energia para o caso de um tubo cilíndrico
infinito, leva a
∇ · q = 0
Como q = qrer + qθeθ + qzez e qθ = qz = 0 tem-se rqr = cte pois
∇ · q = 1
r
∂
∂r
(r qr) +
1
r
∂qθ
∂θ
+
∂qz
∂z
∇ · q = 1
r
d
dr
(r qr) = 0
r qr = cte
2pi L r qr = Qr = cte2
mas qr = −kdT
dr
logo
Qr = −2pi L r kdT
dr
Como Qr, L, k são constantes
Qr
2pi k L
dr
r
= −dT
Qr
2pi k L
ln
(
Re
Ri
)
= Ti − Te
Qr =
Ti − Te
ln(Re/Ri)
2pi Lk
11.1 Transporte de Energia por Condução em Sólidos 34
Figura 11.7: Condução em um tubo cilindrico
Assim a resistência térmica para o caso de tubo infinito é
RT =
ln(Re/Ri)
2pi Lk
Para o caso de tubos cilindricos concêntricos com multicamadas tem-se
Qr =
Ti − Tn∑
i
ln(Ri/Ri−1)
2pi Lki
com R0 e T0 sendo respectivamente o raio e a temperatura mais internos e Rn e Tn o raio e a
temperatura mais externos.
11.1.3. O conceito do raio crítico de isolamento
Figura 11.8: Tubo recoberto com isolante
Seja um tubo contendo um fluido escoando com temperatura Ti. O raio interno do tubo é
r1 e o externo é r2. O tubo é recoberto com um isolante de raio r3 e está num ambiente cuja
temperatura é Te. Os coeficientes de transferência de calor no interior e no exterior do tubo são,
respectivamente, hi e he. As condutividades térmicas do tubo e do isolante são, respectivamente
Capítulo11 O Transporte de Energia por Condução 35
k e kis. Pode-se escrever a taxa de calor trocado como
Q = 2 pi L r1h1(Ti − T1)
= 2 pi Lk
(T1 − T2)
ln(r2/r1)
(tubo)
= 2 pi Lkis
(T2 − T3)
ln(r3/r2)
(isolante)
= 2 pi L r3he(T3 − Te)
cuja combinação leva a
Q =
Ti − Te
1
2pi L r1hi
+
ln(r2/r1)
2pi Lk
+
ln(r3/r2)
2pi Lkis
+
1
2pi L r3he
Variando-se a espessura do isolamento varia-se r3. As duas primeiras parcelas do denomi-
nador, entretanto, permanecem constantes
1
2pi L r1hi
+
ln(r2/r1)
2pi Lk
= M = cte
logo
Q =
Ti − Te
M +
ln(r3/r2)
2pi Lkis
+
1
2pi L r3 he
Observou-se que aumentando r3 aumenta-se a resistência do isolamento e diminuiu-se a
resistência convectiva externa. Como a resistência do isolamento é proporcional ao logaritimo
de r3 e a resistência convectiva a 1/r3, inicialmente a resistência total diminui, produzindo um
aumento de A. Para valores maiores de r3 entretanto, tal situação é ivertida e a resistência total
aumenta, reduzindo A. Existe, assim, um valor de r3 que produz um valor máximo em Q. Este
valor é o chamado raio crítico de isolamento e, matematicamente, ocorre quando
dQ
dr3
= 0
dQ
dr3
=
−(Ti − Te)
2pi L
[
1
kisr3
− 1
her23
]
[
M +
ln(r3/r2)
2pi Lkis
+
1
2pi L r3he
]2
dQ
dr3
= 0 ⇒ r3 = cte
1
kisrc
=
1
her2c
11.1 Transporte de Energia por Condução em Sólidos 36
logo
rc =
kis
he
(11.1)
É fácil provar que
d2Q
dr23
∣∣∣∣
rc
< 0 o que caracteriza um ponto de máximo.
Duas situações:
a) rc > r0, r0 - raio externo do tubo. Q) = Q(r0), perdas com tubo nú.
Figura 11.9: Raio crítico maior que o raio externo do tubo
Nesta situação, enquanto r < rm Q > Q0 e a colocação do revestimento aumenta as
perdas. Neste caso rm é o menor raio de revestimento para que este comece a funcionar
como isolante térmico.
b) rc < r0 Nesta situação qualquer camada de revestimento já funciona como isolamento
térmico.
Conclusão:
rc =
kis
he
Quanto menor kis, menor rc e melhor o isolamento térmico.
Exemplo 11.1. Uma tubulação de aço carbono com 5 cm de diâmetro externo é utilizada para
transportar um fluido quente numa indústria petroquímica. Sabendo que a tubulação em ques-
tão apresenta uma temperatura externa média igual a 250oC e é exposta a um ambiente mantido
a 25oC que apresenta um coeficiente de transferência de calor igual a 3,5 W/(m2oC), pede-se:
a) as perdas térmicas por metro de tubulação.
De modo a diminuir as perdas de energia, é utilizado um revestimento de asbesto, com
condutividade térmica igual a 0,1,81 W/(m2oC).
Capítulo11 O Transporte de Energia por Condução 37
Figura 11.10: Raio crítico menor que o raio externo do tubo
b) Determine a espessura mínima de isolante térmico que deve ser utilizada neste caso. Tal
espessura mínima corresponde ao raio crítico do isolamento?
c) Estime a espessura do revestimento que deve ser utilizada para que as perdas térmicas
obtidas no item ( a) sejam reduzidas a 30%.
T0 = 250oC
T∞ = 25oC
h = 3,5
W
m2oC
r0 = 0,025 m
a)
Q =
T0 − T∞
1
h 2pi, r0 L
Q
L
=
T0 − T∞
1
2pi r0 h
=
250− 25
1
2pi 0, 025× 3, 5
Q
L
= 123, 7
W
m
b) logo
Q
L
(rm) =
Q
L
(r0) = 123, 7
W
m
11.1 Transporte de Energia por Condução em Sólidos 38
Q
L
=
T0 − T∞
ln(ris/r0)
2pi kis
+
1
2pi rish
rc =
kis
h
=
0, 181
3, 5
rc = 0, 0517m
rc > r0
123, 7 =
250− 25
ln(rm/0, 025)
2pi 0, 181
+
1
2pi 3, 5 rm
f(rm) = 123, 7− 225
0, 8793 ln
(
rm
0, 025
)
+
0, 0455
rm
f(rm) = 0
f(rm) = −
225
(
0, 8793
rm
− 0, 0455
r2m
)
(
0, 8793 ln
(
rm
0, 025
)
+
0, 0455
rm
)2
df
drm
= f ′ ' fi+1 − fi
ri+1 − ri
fi+1 = 0
logo
ri+1 = ri − fi
f ′i
(Newton-Raphson)
x = rm − r0 = 0, 1348− 0, 025
x = 0, 11m
c)
Q
L
= 0, 3
Q0
L
= 0, 3× 123, 7
Q
L
= 37, 11
W
m
Q
L
=
T0 − T∞
ln(ris/r0)
2pi kis
+
1
2pi rish
ris = 24, 637m
x = ris − r0 = 24, 612m
Capítulo11 O Transporte de Energia por Condução 39
Não é possível usar este isolante (kis = 0, 181W/(moC)). Se kis = 0, 05
W
moC
37, 11 =
225
3, 183 ln
(
ris
0, 025
)
+
0, 0455
ris
ris = 0, 153m
x = ris − r0
x = 0, 128m
11.1 Transporte de Energia por Condução em Sólidos 40
Figura 11.11: Raio crítico de isolamento
Capítulo11 O Transporte de Energia por Condução 41
11.1.4. Cilindro infinito com geração de calor e condução
Seja um cabo metálico percorrido por uma corrente elétrica constante i. Seja a condutivi-
dade elétrica do cabo ke, independente da temperatura; a geração volumétrica de calor associada
à passagem da corrente elétrica é
G˙ =
i2
ke
Pede-se:
i) O perfil de temperaturas em estado estacionário;
ii) A temperatura média radial;
iii) A taxa de calor que deixa o cabo.
i) Numsólido
ρCp
∂T
∂t
= −∇ · q+ G˙
ρCp
∂T
∂t
= 0(Estado estacionário)
∇ · q = G˙
em coordenadas cilíndricas
∇ · q = 1
r
∂
∂r
(r qr) +
1
r
∂qθ
∂θ
+
∂qz
∂z
qθ︸︷︷︸
simetria
= qz︸︷︷︸
resistência grande
= 0
Como G˙ é constante
d
dr
(r qr) = G˙r
r qr =
G˙r2
2
+ c1
qr =
G˙r
2
+
c1
r
mas qr(r = 0) = finito logo
qr =
G˙r
2
Para calcular o perfil de velocidades utiliza-se a lei de Fourier
qr = −kdT
dr
11.1 Transporte de Energia por Condução em Sólidos 42
−kdT
dr
=
G˙r
2
T = −G˙r
2
4 k
+ c2
T (r = R) = Tp
Tp = −G˙R
2
4 k
+ c2
c2 = Tp +
G˙R2
4 k
T − Tp = G˙R
2
4 k
[
1−
( r
R
)2]
Seja T (r = 0) = T0
T0 − Tp = G˙R
2
4 k
logo
T − T0
T0 − Tp = 1−
( r
R
)2
ii) A temperatura média radial é definida por
〈T 〉 − Tp =
∫
(T − Tp)dA∫
dA
〈T 〉 − Tp =
∫ 2pi
0
∫ R
0
(T − Tp)r dr dθ∫ 2pi
0
∫ R
0
r dr dθ
〈T 〉Tp = 2pi
2pi
2
R2
∫ R
0
(T − Tp)r dr
〈T 〉 − Tp = 2
R2
∫ R
0
(T0 − Tp)
[
1−
( r
R
)2]
r dr
〈T 〉 − Tp = 2(T0 − Tp)
R2
∫ R
0
[
r − r
3
R2
]
dr
〈T 〉 − Tp = 2(T0 − Tp)
R2
∫ R
0
[
R2
2
− R
4
4R2
]
=
2
R2
(T0 − Tp)
[
R2
2
− R
2
4
]
〈T 〉 − Tp = T0 − Tp
2
=
G˙R2
8 k
Capítulo11 O Transporte de Energia por Condução 43
iii) Q˙R = qr|R 2pi RL
qr = −kdT
dr
= −k d
dr
{
Tp + (T0 − Tp)
[
1−
( r
R
)2]}
= −k(T0 − Tp)
(−2 r
R2
)
qr|R = −k
dT
dr
∣∣∣∣
R
= 2
k(T0 − Tp)
R
mas T0 − Tp = G˙R
2
4 k
qr|R =
2 k
R
G˙R2
4 k
=
G˙R
2
Q˙R = 2 pi RL
G˙R
2
= piR2LG˙
que é a energia total produzida pela corrente elétrica, por unidade de tempo.
Obs: G˙ =
i2
ke
11.1.5. Condução em uma fonte de calor nuclear e esférica e seu revesti-
mento
Seja um elemento combustível nuclear esférico, recoberto com uma camada metálica cujo
objetivo é manter a integridade estrutural do combustível. A geração de energia no combustível
é dada por
G˙ = G0
[
1 + b
(
r
RF
)2]
com G0 e b constantes e 0 < b ≤ 1. Calcular a distribuição de temperaturas no sistema
combustível-revestimento.
As condições de contorno do problema são:
qF (r = RF ) = qc(r = RF )
TF (r = RF ) = Tc(r = RF )
Tc(r = Rc) = Tp
qF (r = 0) = finito
onde RF é o raio do combustível e Rc é o raio do revestimento.
A equação da energia para sólidos é
ρCp
∂T
∂t
= −∇ · q+ G˙
ρCp
∂T
∂t
= 0(estado estacionário)
∇ · q = G˙
11.1 Transporte de Energia por Condução em Sólidos 44
como qθ = qϕ = 0
∇ · q = 1
r2
d
dr
(
r2qr
)
= G˙
Para o combustível 0 ≤ r ≤ RF
1
r2
d
dr
(r2qF ) = G0
[
1 + b
(
r
RF
)2]
r2qF =
G0r
3
3
+
G0b
5R2F
r5 + cF1
qF =
G0r
3
+
G0b
5R2F
r3 +
cF1
r2
mas qF (r = 0) =finito, logo c1 = 0. No revestimento RF < r ≤ Rc
∇ · q = 0
1
r2
d
dr
(
r2qc
)
= 0
r2qc = c
c
1
qc =
cc1
r2
Como qc(r = RF ) = qf (r = RF )
cc1
R2F
=
G0
3
RF +
G0b
5R2F
R3F
cc1 = G0R
3
F
(
1
3
+
b
5
)
qc = −kcdTc
dr
−kcdTc
dr
=
cc1
r2
dTc = − c
c
1
kcr2
dr
Tc =
cc1
kcr
+ cc2
mas Tc(r = Rc) = Tp
Tp =
cc1
kcRc
+ cc2
cc2 = Tp −
cc1
kcRc
logo
Tc =
cc1
kcr
+ Tp − c
c
1
kcRc
Capítulo11 O Transporte de Energia por Condução 45
Tc − Tp = c
c
1
kcRc
[
Rc
r
− 1
]
Tc − Tp = G0R
3
F
kcRc
(
1
3
+
b
5
)(
Rc
r
− 1
)
Tc − Tp = G0R
2
F
kc
(
1
3
+
b
5
)(
RF
r
− RF
Rc
)
Tc − Tp = G0R
2
F
3 kc
(
1 +
3 b
5
)(
RF
r
− RF
Rc
)
(11.2)
Voltando ao combustível
qF = −kF dTF
dr
=
G0r
3
+
G0b
5R2F
r3
dTF
dr
= − G0
3 kF
r − G0b
5 kFR2F
r3
TF = −G0r
2
6 kF
− bG0r
4
20 kFR2F
+ cF2
como TF (r = RF ) = Tc(r = RF )
Tp +
G0R
2
F
3 kc
(
1 +
3 b
5
)(
RF
RF
− RF
Rc
)
= −G0R
2
F
6 kF
− G0bR
4
F
20 kFR2F
+ cF2
cF2 = Tp +
G0R
2
F
3 kc
(
1 +
3 b
5
)(
1− RF
Rc
)
+
G0R
2
F
kF
(
1
6
+
b
20
)
assim
TF = −G0r
2
6 kF
− G0b r
4
20 kFR2F
+ Tp +
G0R
2
F
3 kc
(
1 +
3 b
5
)(
1− RF
Rc
)
+
G0R
2
F
kF
(
1
6
+
b
20
)
reagrupando os termos
TF = Tp − G0r
2
6 kF
− G0 b r
4
20 kFR2F
+
G0R
2
F
6 kF
+
G0bR
2
F
20 kF
+
G0R
2
F
3 kc
(
1 +
3 b
5
)(
1− RF
Rc
)
TF − Tp =G0R
2
F
6 kF
[
1−
(
r
RF
)2]
+
G0 bR
2
F
20 kF
[
1−
(
r
RF
)4]
+
+
G0R
2
F
3 kc
(
1 +
3
5
b
)(
1− RF
Rc
) (11.3)
Seja
TF (r = 0) = T0
T0 − Tp = G0R
2
F
6 kF
+
G0bR
2
F
2 kF
+
G0R
2
F
3 kc
(
1 +
3
5
b
)(
1− RF
Rc
)
T0 é a maior temperatura existente no sistema combustível-revestimento.
11.1 Transporte de Energia por Condução em Sólidos 46
Figura 11.12: Aleta de resfriamento
11.1.6. Condução de calor em aletas de resfriamento
Hipóteses:
• A difusão na direção x é muito rápida, logo T = T (z);
• h é constante;
• O resfriamento ocorre em estado estacionário.
A equação da energia para a aleta é
ρCp
∂T
∂t
= −∇ · q+ G˙
Tudo ocorre como se houvesse um sumidouro de energia devido à saída de calor do sólido
por convecção.
G˙ = −h2(W L+ 2B L)
2BW L
(T − Ta)
G˙ = h
W + 2B
2BW
(T − Ta)
onde Ta é a temperatura do ambiente.
Sejam P = 2(W + 2B) o perímetro transversal e A = 2W B a área transversal.
Como qx = qy = 0
dqz
dz
= −hP
A
(T − Ta)
Mas qz = −k dTdz
−kd
2T
dz2
= −hP
A
(T − Ta)
Capítulo11 O Transporte de Energia por Condução 47
Efetuando a seguinte troca de variáveis
Z = z/L ∴ dz = LdZ
θ =
T − Ta
Tw − Ta ∴ dT = (Tw − Ta)dθ
Tw = T (z = 0), temperatura da parede.
k(Tw − Ta)
L2
d2θ
dZ2
=
hP
A
(Tw − Ta)θ
d2θ
dZ2
− hP L
2
k A︸ ︷︷ ︸
N2
θ = 0
d2θ
dZ2
−N2θ = 0
N2 = h
2(W + 2B)
k 2BW
L2
seW � 2B
N2 ∼= h 2W L
2
k 2W B
=
hL2
k B
A solução da EDO é
θ = c1e
N Z + c2e
−N Z
Para determinar c1 e c2 são necessárias duas condições de contorno. Uma delas é
T (z = 0) = Tw
θ(0) =
Tw − Ta
Tw − Ta = 1
logo
1 = c1 + c2
Existem três possibilidades para a segunda condição de contorno, o que define três casos:
Caso 1: aleta muito longa
T (∞) = Ta
θ(∞) = Ta − Ta
Tw − Ta = 0
11.1 Transporte de Energia por Condução em Sólidos 48
Caso 2: perda de calor na extremidade
−kdT
dz
∣∣∣∣
L
= h[T (L)− Ta]
−k (Tw − Ta)
L
dθ
dZ
∣∣∣∣
1
= h(Tw − Ta)θ|1
dθ
dZ
∣∣∣∣
1
= −Bi θ(1)
onde Bi =
hL
k
é o número de Biot, que relaciona as velocidades de trocas térmicas
convectiva e difusiva.
Caso 3: extremidade isolada
−kdT
dz
∣∣∣∣
L
= 0
dθ
dz
∣∣∣∣
1
= 0
o que equivale a fazer Bi = 0 no caso 2.
O rendimento de uma aleta é definido como
η =
calor dissipado na aleta
calor dissipado na aleta se T = Tw em toda a aleta
η =
∫W
0
∫ L
0
h(T − Ta)dy dz∫W
0
∫ L
0
h(Tw − Ta)dy dz
η =
W
W
∫ 1
0
(Tw − Ta)θ L dZ∫ 1
0
(Tw − Ta)LdZ
η =
∫ 1
0
θ(z)dZ
A taxa de calor dissipado pela aleta é
Q˙ = q A = −2BW k dT
dz
∣∣∣∣
z=0
Q˙ = −2BW k (Tw − Ta)
L
dθ
dZ
∣∣∣∣
0
Q˙ = −k2BW
L
(Tw − Ta) dθ
dZ
∣∣∣∣
0
(11.4)
A seguir serão calculados analiticamente os perfis de temperaturas, o rendimento, e a taxa
de calor dissipado nas aletas configuradas como casos 1 a 3.
Capítulo11 O Transporte de Energia por Condução 49
Caso 1: Aletas muito longas
θI = c1e
N Z + c2e
−N Z
θI(0) = 1
θI(∞) = 0
θI(∞) = 0 = cI1e∞+ cI2e−∞
cI1 = 0
θI(0) = 1 = c
I
2
logo
θI = e
−N Z
ηI =
∫ 1
0
θI(Z)dZ
ηI =
∫ 1
0
e−N ZdZ = − 1
N
e−N Z
∣∣∣∣1
0
= − 1
N
(
e−N − 1)
ηI =
1
N
(
1− e−N)
Q˙I = −k2BW
L
(Tw − Ta) dθI
dZ
∣∣∣∣
1
dθI
dZ
= −Ne−N Z
dθI
dZ
∣∣∣∣
0
= −N e0
Q˙I = 2 k
BW N
L
(Tw − Ta)
Caso 2: Perda de calor na extremidade
θII = c
II
1 e
N Z + cII2 e
−N Z
θII(0) = 1
dθII
dZ
∣∣∣∣
1
= −BiθII(1)
θII(0) = 1 = c
II
1 + c
II
2
dθII
dZ
= N cII1 e
N Z −N cII2 e−N Z
dθII
dZ
∣∣∣∣
1
= N cII1 e
N −N cII2 e−N
θII(1) = c
II
1 e
N + cII2 e
−N
N
[
cII1 e
N − cII2 e−N
]
= −Bi cII1 eN −Bi cII2 e−N
cII1 e
N(N +Bi) = cII2 e
−N(N −Bi)
11.1 Transporte de Energia por Condução em Sólidos 50
cII1 = e
−2N
(
N −Bi
N +Bi
)
cII2
cII1 = βc
II
2
onde
β = e−2N
(
N −Bi
N +Bi
)
cII1 + c
II
2 = 1
cII1 = βc
II
2
cII2 = (1 + β) = 1 ∴ cII2 =
1
1 + β
cII1 =
β
1 + β
logo
θII =
β
1 + β
eN Z +
1
1 + β
e−N Z
ηII =
∫ 1
0
θIIdZ
ηII =
∫ 1
0
β
1 + β
eN ZdZ +
∫ 1
0
1
1 + β
e−N ZdZ
ηII =
β
N (1 + β)
eN Z
∣∣1
0
− 1
N (1 + β)
e−N Z
∣∣1
0
ηII =
β
N (1 + β)
(
eN − 1)− 1
N (1 + β)
(
e−N − 1)
ηII =
1
N (1 + β)
[
βeN − β + 1− e−N]
Q˙II = −2 k BW
L
(Tw − Ta) dθII
dZ
∣∣∣∣
0
dθII
dZ
=
β N
1 + β
eN Z − N
1 + β
e−N Z
dθII
dZ
∣∣∣∣
0
= −N (1− β)
1 + β
Q˙II = 2 k N
BW
L
(
1− β
1 + β
)
(Tw − Ta)
Q˙II =
(
1− β
1 + β
)
Q˙I
Capítulo11 O Transporte de Energia por Condução 51
Caso 3: Extremidade isolada
θIII = c
III
1 e
N Z + cIII2 e
−N Z
θIII(0) = 1
dθIII
dZ
∣∣∣∣
1
= 0 (equivale a Bi=0 no caso 2)
θIII =
β
1 + β
eN Z +
1
1 + β
e−N Z
sendo que
β = e−2N
(
N −Bi
N +Bi
)
= e−2N
visto que Bi = 0
θIII =
e−2N
1 + e−2N
eN Z +
1
1 + e−2N
e−N Z
θIII =
eN
eN
θIII =
e−NeN Z
eN + e−N
+
eNe−N Z
eN + e−N
=
e−N(1−Z)
+
eN(1−Z)eN + e−N
mas cosh(x) =
ex + e−x
2
, logo
θIII =
cosh [N(1− Z)]
cosh[N]
ηIII =
∫ 1
0
θIII dZ
ηIII =
∫ 1
0
cosh[N(1− Z)]
cosh(N)
dZ
ηIII =
1
cosh(N)
(
− 1
N
)
senh[N(1− Z)]
∣∣∣∣1
0
=
−1
cosh(N)
(
1
N
)
[senh(0)− senh(N)]
ηIII =
1
N
senh(N)
cosh(N)
=
1
N
tgh(N)
˙QIII = −2 kBW
L
(Tw − Ta) dθIII
dZ
∣∣∣∣
0
dθIII
dZ
= −N senh (N)
cosh (N)
= −N tgh(N)
˙QIII =
2 k N BW
L
tgh (N)(Tw − Ta)
˙QIII = tgh(N)Q˙I
11.1 Transporte de Energia por Condução em Sólidos 52
onde
Bi =
hL
k
N +
√
hL2
B k
=
√
BiL
B
β = e−2N
(
N −Bi
N +Bi
)
Observação:
N =
√
hL2
B k
= mL
ondem =
√
h
B k
Figura 11.13: Dimensões da aleta
N2 =
hL2
B k
=
h 2W L2
k 2BW
Sejam o perímetro e a área da seção transversal
P = 2(2B +W ) ' 2w
A = 2BW
logo N2 =
hP L2
k A
N =
√
hP
k A
L = mL
N =
√
hP
k A
L '
√
h 2W
k 2BW
L
N '
√
2h
k 2B
L×
√
L
L
Capítulo11 O Transporte de Energia por Condução 53
N '
√
2h
k 2B L
L3/2
Mas 2B L é a área do perfil da aleta,
Am = 2B L
logo
N '
√
2h
k Am
L3/2
que é válida para o caso de aletas finas.
Pode-se provar que a solução do caso 2 (aletas com dissipação de calor na extremidade)
pode ser expressa da mesma forma que a solução do caso 3 (aleta com extremidade iso-
lada) quando o comprimento da aleta é aumentado da metade de sua espessura (B). Um
comprimento corrigido é usado em todas as equações referentes do caso 3:
ηIII =
1
N
tgh(N)
N =
√
2h
k Am
L3/2c
Lc = L+B
O erro resultante desta aproximação é menor que 8% quando√
hB
k
≤ 1
2
Um parâmetro importante é aquele que relaciona o calor transferido com a aleta com
aquele transferido sem a aleta:
� = η
Aah(Tw − Ta)
Abh(Tw − Ta) =
Aa
Ab
η
onde Aa = P L e Ab = 2BW = A.
Para aletas com extremidade isolada
� =
P L
A
1√
hP
k A
L
tgh(N)
� =
√
k P
Ah
tgh
[√
hP
k A
L
]
11.1 Transporte de Energia por Condução em Sólidos 54
Por exemplo, seja uma aleta de aço inoxidável na forma de pino com k = 16w/(moC),
L=10 cm e d=1 cm, exposta a um ambiente onde h = 5000W?(m2oC).
� =
√
k pi d
h pi d2/4
tgh
[√
hpi d
k pi d2/4
L
]
� =
√
4× 16× pi × 0, 01
5000× pi × (0, 01)2 tgh
[√
5000× pi × 0, 01
16× pi × 0, 012/40, 1
]
� = 1, 131tgh(35, 36) = 1, 131
e uma aleta do tipo pino, relativamente grande, aumenta a dissipação térmica em apenas
13%!
Exemplo 11.2.
Uma aleta de alumínio (k=200W/(moC)) de 3 mm de espessura e 7,5 cm de comprimento
projeta-se de uma parede. Sua base é mantida a 300oC e a temperatura ambiente é de 50oC com
h=10W/(m2oC). Calcule a perda de calor da aleta por unidade de profundidade do material.
β = e−2N
(
N −Bi
N +Bi
)
Bi =
hL
k
=
10× 0, 075
200
= 0, 00375
N =
√
2h
2B k
L =
√
2× 10
0, 003× 200 × 0, 075 = 0, 433
β = e−2×0,433
(
0, 433− 0, 00375
0, 433 + 0, 00375
)
β = 0, 413
Q˙II = 2 k
N BW
L
(
1− β
1 + β
)
(Tw − Ta)
Q˙II
W
= 0, 003× 200× 0, 433
0, 075
(
1− 0, 413
1 + 0, 413
)
(300− 50)
Q˙II
W
= 359, 8W/m
Uma outra alternativa seria usar a solução do caso 3 com
Lc = L+B = 0, 075 + 0, 0015
Lc = 0, 0765m
˙QIII
W
=
2B kNc
Lc
tgh(Nc)(Tw − Ta)
Nc =
√
2h
2B k
Lc =
√
2× 10
0, 003× 200 × 0, 0765
Nc = 0, 442
Capítulo11 O Transporte de Energia por Condução 55
˙QIII
W
=
0, 003× 200× 0, 442
0, 0765
tgh(0, 442)(300− 50)
˙QIII
W
= 359, 7W/m
O erro na utilização da equação da aleta com extremidade isolada foi de
e =
(
359, 8− 359, 7
359, 8
)
× 100 = 0, 0277%
Para outras geometrias de aletas existem na literatura gráficos e expressões para o cálculo
do rendimento. As figuras a seguir (Holman) apresentam as eficiências de aletas retangulares,
triangulares e circunferenciais, considerando a extremidade não isolada. Deve-se ressaltar que
deve ser utilizado sempre o comprimento corrigido da aleta, Lc, nos referidos diagramas.
Figura 11.14: Eficiência de aletas triangulares e re-
tangulares
Lc =
L+
t
2
aleta retangular
L aleta triangular
Am =
t Lc aleta retangulart
2
L aleta triangular
t = 2B
11.1 Transporte de Energia por Condução em Sólidos 56
Figura 11.15: Eficiência de aletas
Lc = L+
t
2
r2c = r1 + Lc
Am = t(r2c − r1)
t = 2B
Exemplo 11.3. Aletas de alumínio de 1,5 cm de comprimento e 1 mm de espessura são coloca-
das sobre um tubo de 2,5 cm de diâmetro para dissipar calor. A temperatura da supserfície do
tubo é de 170oC. Calcular a perda de calor por aleta para h= 130W/(m2oC) e k = 200 W/(moC).
Lc = L+B = 0, 015 + 0, 0005 = 0, 0155m
r1 =
0, 025
2
= 0, 0125m
r2c = r1 + Lc = 0, 0125 + 0, 0155 = 0, 028m
Am = 2B(r2c − r1) = 0, 001× (0, 028− 0, 0125)
Am = 0, 0000155m
2
r2c
r1
=
0, 028
0, 0125
= 2, 24
L3/2c
√
h
k Am
= 0, 01553/2
√
130
200× 0, 0000155 = 0, 395
No diagrama do rendimento da aleta no tubo, com perfil retangular obtém-se
r2c
r1
= 2, 24
L3/2c
√
h
k Am
= 0, 396
 η = 0, 82
Q˙ = η 2pi(r22c − r21)h(Tw − Ta)
Q˙ = 2× 0, 82× pi(0, 0282 − 0, 01252)× 130(170− 25)
Q˙ = 60, 97W
Capítulo11 O Transporte de Energia por Condução 57
Figura 11.16: Eficiencia de aletas
11.1 Transporte de Energia por Condução em Sólidos 58
Figura 11.17: Eficiencia de aletas 2
Capítulo11 O Transporte de Energia por Condução 59
Figura 11.18: Eficiencia de aletas 3
11.1 Transporte de Energia por Condução em Sólidos 60
Figura 11.19: Diversas geometrias de aletas
a)- aleta longitudinalde perfil retangular
b)- tubo cilindrico com aletas retangulares
c)- aleta longitudinal de perfil trapezoidal
d)- aleta longitudinal de perfil parabólico
e)- tubo cilindrico com aleta radial de perfil retangular
f)- tubo cilindrico com aleta radial de perfil cônico truncado
g)- pino cilindrico
h)- pino cônico truncado
i)- pino parabólico
Capítulo11 O Transporte de Energia por Condução 61
Exemplo 11.4. Uma aleta de alumínio com condutividade térmica de 200 W/(moC), 3 mm de
espessuta e 75 mm de comprimento se projeta de uma parede. Sua base é mantida a 300oC e a
temperatura ambiente é de 50oC, com coeficiente convectivo de transferência de energia de 10
W/(m2oC). Calcular a perda térmica por unidade de profundidade da aleta.
Q˙ = 2 k N
BW
L
(
1− β
1 + β
)
(T0 − Ta)
Q˙
W
=
2B kN
L
(
1− β
1 + β
)
(T0 − Ta)
β = e−2N
(
N −Bi
N +Bi
)
Bi =
hL
k
=
10× 0, 075
200
Bi = 0, 00375
N =
√
hL2
B k
=
√
10× 0, 0752
0, 0015× 200
N = 0, 433
β = e−2×0,433
[
0, 433− 0, 00375
0, 433 + 0, 00375
]
β = 0, 413
Q˙
W
=
2 k B N
L
(
1− β
1 + β
)
(T0 − Ta)
Q˙
W
=
200× 0, 003× 0, 433
0, 075
(
1− 0, 413
1 + 0, 413
)
(300− 50)
Q˙
W
= 359, 9
W
m
Pode-se calcular Q˙ a partir do rendimento da aleta, ou seja,
Q˙ = η h 2LW (T0 − Ta)
Q˙
W
= 2hL η(T0 − Ta)
mas
η =
β
N(1 + β)
(eN − 1)− 1
(1 + β)N
(e−N − 1)
η =
1
0, 433(1 + 0, 413)
[
0, 413(e0,433 − 1)− e−0,433 + 1]
η = 0, 9402
Q˙
w
= 10× 2× 0, 075× 0, 9402× (300− 50)
Q˙
W
= 352, 6
W
m
A diferença entre os valores é devida ao arredondamento das operações.
11.1 Transporte de Energia por Condução em Sólidos 62
Exemplo 11.5. Aletas raiais de alumínio com 1,5 cm de comprimento e 1 mm de espessura,
são colocadas sobre um tubo de 2,5 cm de diâmetro a fim de dissipar calor. A temperatura da
superfície do tubo é de 170oC e a temperatura do ambiente é 25oC. Calcule a dissipação de
calor por aleta, para h= 130 W/(m27C) e k= 200 W/(moC).
r0 = ri + L
ri =
0, 025
2
= 0, 0125m
r0 = 0, 0125 + 0, 015 = 0, 0275m
Q˙ = η 2hpi(r20 − r2i )(T0 − Ta)
Q˙ = 2× 130pi(0, 02752 − 0, 01252)(170− 25)η
Q˙ = 71, 06η
Cálculo de η
r0
ri
=
0, 0275
0, 0125
= 2, 2
X =
√
2h
k t
L onde
t
2
= B
X =
√
130
200× 0, 00050, 015
X = 0, 54
η =
terminar exemplo
11.2. Estudo da Transferência de Energia Térmica Transi-
ente em Sólidos com Geometrias Simples
A equação da energia térmica para sólidos isotrópicos é
ρCp
∂T
∂t
= k∇2T +G
Não havendo geração térmica, G+ 0, obtém-se
∂T
∂t
= α∇2T
com α =
k
ρCp
- difusividade térmica
Capítulo11 O Transporte de Energia por Condução 63
Figura 11.20: Placas infinitas
11.2.1. Placas infinitas
x1 - distância do centro geométrico à superfície do sólido.
−x1 ≤ x ≤ x1
T = T (x, t)
∇2T = ∂
2T
∂x2
+
∂2T
∂y2
+
∂2T
∂z2
∂T
∂t
= α
∂2T
∂x2
(11.5)
As condições limites são
T (x, 0) = T0 (temperatura inicial uniforme)
−k∂T
∂x
∣∣∣∣
x=−x1
= h [T (−x1, t)− Ta]
−k∂T
∂x
∣∣∣∣
x=x1
= h [T (x1, t)− Ta]
As duas condições de contorno retratam o fato do calor que chega às superfícies da placa
pelo mecanismo condutivo no sólido é retirado por convecção para um ambiente mantido à
temperatura Ta.
Sejam as seguintes novas variáveis adimensionalizadas:
θ =
T − Ta
T0 − Ta ; dT = (T0 − Ta)dθ
n =
x
x1
; dx = x1dn
T = αt
x21
; dt =
x21
α
dT
11.2 Transferência de Calor em Sólidos com Geometrias Simples 64
Substituindo as novas variáveis na Eq(11.5) e em suas condições limites.
(T0 − Ta)α
x21
∂θ
∂T =
α(T0 − Ta)
x21
∂2θ
∂n2
∂θ
∂T =
∂2θ
∂n2
T (x, 0) = T0
θ(n, 0) =
T0 − Ta
T0 − Ta = 1
−k∂T
∂x
∣∣∣∣
−x1
= h [T (−x1, t)− Ta]
−k (T0 − Ta)
x1
∂θ
∂n
∣∣∣∣
−1
= h(T0 − Ta)θ(−1, T )
Seja Bi = hx1
k
∂θ
∂n
∣∣∣∣
−1
= −Bi θ(−1, T )
e
∂θ
∂n
∣∣∣∣
1
= −Bi θ(1, T )
Resumindo:
∂θ
∂T =
∂2θ
∂n2
θ(n, 0) = 1
∂θ
∂n
∣∣∣∣
n=−1
= −Bi θ(1, T )
∂θ
∂n
∣∣∣∣
n=1
= −Bi θ(1, T )
11.2.2. Cilindros infinitos
As condições limites são T (r, 0) = T0 (temperatura inicial uniforme)
∂T
∂r
∣∣∣∣
r=0
= 0 (condição de simetria)
−k∂T
∂r
∣∣∣∣
r=R
= h [T (R, t)− Ta]
Capítulo11 O Transporte de Energia por Condução 65
Figura 11.21: Cilindro infinito
∇2T = 1
r
∂
∂t
(
r
∂T
∂r
)
+
1
r2
∂2T
∂θ2
+
∂2T
∂z2
Mas T = T (r, t) logo
∂T
∂t
=
α
r
∂
∂r
(
r
∂T
∂r
)
(11.6)
(Calor que chega à superfície por condução é retirado por convecção para o ambiente mantido
a Ta)
Definindo as variáveis adimensionalizadas.
θ =
T − Ta
T0 − Ta ; dT = (T0 − Ta)dθ
n =
r
x1
; dr = x1 dn
T = α t
x21
; dt =
x1r
α
dT
Substituindo as novas variáveis na Eq (11.6) e em suas condições limites
α(T0 − Ta)
x21
∂θ
∂T =
α
x21n
∂
∂n
[
x1n
x1
(T0 − Ta)∂θ
∂n
]
∂θ
∂T =
1
n
∂
∂n
(
n
∂θ
∂n
)
T (r, 0) = T0
θ(n, 0) =
T0 − Ta
T0 − Ta = 1
∂T
∂r
∣∣∣∣
r=0
=
T0 − Ta
x1
∂θ
∂n
∣∣∣∣
n=0
= 0
∂θ
∂n
∣∣∣∣
n=0
= 0
11.2 Transferência de Calor em Sólidos com Geometrias Simples 66
−k∂T
∂r
∣∣∣∣
r=R
= h [T (R, t)− Ta]
−k (T0 − Ta)
x1
∂θ
∂n
∣∣∣∣
n=1
= h(T0 − Ta)θ(1, T )
∂θ
∂n
∣∣∣∣
n=1
= −Bi θ(1, T )
Resumindo:
∂θ
∂T =
1
n
∂
∂n
(
n
∂θ
∂n
)
θ(n, 0) = 1
∂θ
∂n
∣∣∣∣
n=0
= 0
∂θ
∂n
∣∣∣∣
n=1
= −Bi θ(1, T )
11.2.3. Esferas
Figura 11.22: Esfera
x1 = raio da esfera
∇2T = 1
r2
∂
∂r
(
r2
∂T
∂r
)
+
1
r2 sen(θ)
∂
∂θ
(
sen(θ)
∂T
∂θ
)
+
+
1
r2 sen2(θ)
∂2T
∂ϕ2
Mas T = T (r, t)
∂T
∂t
=
α
r2
∂
∂r
(
r2
∂T
∂r
)
As condições limites para este caso são similares às do caso dos cilindros infinitos
T (r, 0) = T0
∂T
∂r
∣∣∣∣
r=0
= 0
−k∂T
∂r
∣∣∣∣
r=R
= h [T (R, t)− Ta]
Capítulo11 O Transporte de Energia por Condução 67
Substituindo as variáveis admensionalizadas
θ =
T − Ta
T0 − Ta , η =
r
x1
, T = α t
x21
∂θ
∂T =
1
n2
∂
∂n
(
n2
∂θ
∂n
)
θ(n, 0) = 1
∂θ
∂n
∣∣∣∣
n=0
= 0
∂θ
∂n
∣∣∣∣
n=1
= −Bi θ(1, T )
11.2.4. Resolução da equação da difusão para o caso de uma placa plana
infinita
∂θ
∂T =
∂2θ
∂n2
θ(n, 0) = 1
∂θ
∂n
∣∣∣∣
n=0
= 0
∂θ
∂n
∣∣∣∣
n=1
∂θ
∂n
∣∣∣∣
n=1
= −Bi θ(1, T )
Seja θ(n, T ) = ϕ(n)γ(T )
∂θ
∂T = ϕ
dγ
dT = ϕγ
′
∂2θ
∂n2
= γ
d2ϕ
dn2
= γϕ
′′
ϕγ
′
= γϕ
′′
(÷γ ϕ′′)
γ
′
γ
=
ϕ
′′
ϕ
f(T ) = g(n) = −λ2
Sendo o sinal (−) a estabilidade da solução.
γ
′
γ
= −λ2 (11.7)
ϕ
′′
ϕ
= −λ2 (11.8)
11.2 Transferência de Calor em Sólidos com Geometrias Simples 68
Resolvendo (11.7)
1
γ
dγ
dT = −λ
2 ∴ dγ
γ
= −λ2dT
ln(γ) = −λ2T + ln(c1)
γ = c1 e
−λ2T (11.9)
Resolvendo (11.8)
ϕ
′′
+ λ2ϕ = 0
d2ϕ
dn2
+ λ2ϕ = 0
ϕ(n) = c2 sen(λn) + c3 cos(λn) (11.10)
Mas θ(n, T ) = ϕ(n)γ(T ) logo
θ = (A sen(λn) +B cos(λn)) e−λ
2T (11.11)
onde A = c1c2;B = c1c3
∂θ
∂n
= (Aλ cos(λn)−B λ sen(λn)) e−λ2T
∂θ
∂n
∣∣∣∣
n=0
= 0 = (Aλ cos(0)−B λ sen(0)) e−λ2T
logo A = 0
θ = (B cos(λn) e−λ
2T
∂θ
∂n
= (−B λ sen(λn)) e−λ2T
∂θ
∂n
∣∣∣∣
n=1
= −Bi θ(1, T )
− (B λ sen(λ)) e−λ2T = − (BiB cos(λ)) e−λ2T
λ tg(λ) = Bi
λi =
Bi
tg(λi)
existem infinitas soluções para esta equação. A soma das soluções também é solução, logo
θ =
∞∑
j=1
(Bj cos(λjn)) e
−λ2jT
Capítulo11 O Transporte de Energia por Condução 69
θ(n, 0) = 1 =
∞∑
j=1
Bj cos(λj)nBj são os coeficientes da série de Fourier em cossenos que converge para 1. Para se calcular
tais constantes, lança-se mão à ortogonalidade das séries de Fourier.∫ 1
−1
cos(λmn)dn =
∞∑
j=1
∫ 1
−1
Bj (cos(λjn)) (cos(λmn)) dn
∫ 1
−1
cos(λjn)dn =
∫ 1
−1
Bj cos
2(λjn)dn
Bj =
1∫
−1
cos(λjn)dn
1∫
−1
cos2(λjn)dn
Bj =
1
λj
sen(λjn)
∣∣∣∣1
−1(
n
2
+
sen(2λjn)
4λj
)∣∣∣∣1
−1
(Spiegel pg 77 eq 4.337)
Bj =
1
λj
( sen(λj)− sen(−λj))(
1
2
+
sen(2λj)
4λj
−
[
(−1)
2
+
sen(−2λj)
4λj
])
Bj =
2
λj
sen(λj)
1
2
+
sen(2λj)
4λj
+
1
2
+
sen(2λj)
4λj
Bj =
2
λj
sen(λj)
1 +
sen(2λj)
2λj
Bj =
2 sen(λj)
2λj + sen(2λj)
Bj = 2
sen(λj)
λj +
1
2
sen(2λj)
Mas sen(2 a) = sen(a) cos(a) + sen(a) cos(a) = 2 sen(a) cos(a)
1
2
sen(2 a) = sen(a) cos(a)
11.2 Transferência de Calor em Sólidos com Geometrias Simples 70
logo
Bj =
2 sen(λj)
λj + sen(λj) cos(λj)
a solução final será
θ(n, T ) = 2
∞∑
j=1
( sen(λj)) (cos(λjn)) e
−λ2jT
λj + ( sen(λj)) (cos(λj))
com λj tg(λj) = Bi.
11.3. Transporte de Energia por Condução em Fluidos em
Escoamento Laminar
11.3.1. Condução térmica com uma fonte viscosa de calor
Seja um fluido newtoniano incompressível colocado no espaçõ entre dois cilindros coaxi-
ais. O cilindro interno é mantido fixo e o externo gira com velocidade angular conhecida, Ω.
Tal sistema produz calor devido à conversão de energia mecânica em energia térmica. As tem-
peraturas nas superfícies dos cilindros interno e externo são mantidas constantes e iguais a Ti e
Te, respectivamente.
Re = Ri + b
Se b → 0 o problema pode ser resolvido em coordenadas retangulares ignorando-se os
efeitos de curvatura.
Figura 11.23: Cilindros concên-
tricos em rotação
Figura 11.24: Espaço entre cilindros considerando coorde-
nadas retangulares por b tender a zero
vz = vz(x) ; Txz = Txz(x)
T = T (x)
Capítulo11 O Transporte de Energia por Condução 71
ρCv
[
∂T
∂t
+ v · ∇T
]
= −∇ · q+ G˙− T ∂P
∂T
∣∣∣∣
v
∇ · v − T :∇v
ρCv
[
∂T
∂t
+ vx
∂T
∂x
+ vy
∂T
∂y
+ vz
∂T
∂z
]
= −
[
∂qx
∂x
+
∂qy
∂y
+
∂qz
∂z
]
− T :∇v
dqx
dx
= −T :∇v
T :∇v = T ijeiej : ek ∂
∂xk
vrer = T ij ∂vr
∂xk
δirδjk =
(
∂vi
∂xj
)
T ij
T :∇v =T xx∂vx
∂x
+ T xy ∂vx
∂y
+ T xz ∂vx
∂z
+ T yx∂vy
∂x
+ T yy ∂vy
∂y
+ T yz ∂vy
∂z
+
+ T zx∂vz
∂x
+ T zy ∂vz
∂y
+ T zz ∂bz
∂z
Como o tensor tensão é simétrico
T :∇v =T xx∂vx
∂x
+ T yy ∂vy
∂y
+ T zz ∂vz
∂z
+ T xy
[
∂vx
∂y
+
∂vy
∂x
]
+ T xz
[
∂vx
∂z
+
∂vz
∂x
]
+
+ T yz
[
∂vy
∂z
+
∂vz
∂y
]
= T xz ∂vz
∂x
logo
dqx
dx
= −T xz dvz
dx
Mas
qx = −kdT
dx
; T xz = −µdvz
dx
−kd
2T
dx2
= µ
(
dvz
dx
)2
Como a espessura é pequena pode-se admitir um perfil de velocidades linear.
vz = a x+ b
′
vz(0) = 0 ∴ b
′
= 0
vz(b) = ΩRe = a b ∴ a =
ΩRe
b
vz =
(
ΩRe
b
)
x
dvz
dx
=
ΩRe
b
−kd
2T
dx2
= µ
Ω2R2e
b2
dT
dx
= −µ
k
Ω2R2e
b2
x+ c1
11.3 Transporte de Energia por Condução 72
T = −µ
k
Ω2R2e
2 b2
x2 + c1x+ c2
T (0) = Ti = c2
T (b) = Te = −µ
k
Ω2R2e
2 b2
b2 + c1b+ Ti
c1 =
[
(Te − Ti) = Ω
2R2eb
2µ
2 b2 k
]
1
b
c1 =
1
b
[
(Te − Ti) + Ω
2R2eµ
2 k
]
T = −µΩ
2R2e
2 k b2
x2 + (Te − Ti)
(x
b
)
+
(
Ω2R2eµ
2 k
)(x
b
)
+ Ti
T − Ti
Te − Ti = −
µΩ2R2e
2 k b2(Te − Ti)x
2 +
x
b
+
Ω2R2eµx
2 k b(Te − Ti)
Seja Br =
µΩ2R2e
k(Te − Ti) o número de Brinkman. Então
T − Ti
Te − Ti = −
Br
2
(x
b
)2
+
[
1 +
Br
2
](x
b
)
Seja θ =
T − Ti
Te − Ti
θ =
Br
2
[
1− x
b
] (x
b
)
+
x
b
(11.12)
Observação:
dθ
dx
=
Br
2 b
− Br
2
2x
b2
+
1
b
dθ
dx
= 0 ⇒ x∗ = b
2
Br
[
Br
2 b
+
1
b
]
x∗ =
b
2
+
b
Br
ponto de mínimo ou de máximo!
d2θ
dx2
= −Br
b2
< 0 ∀x
logo ocorre um máximo na temperatura no fluido, entre os dois cilindros.
A dissipação viscos é importante em sistemas onde ocorrem grandes gradientes de veloci-
dade em pequenas distâncias:
• escoamento de lubrificantes entre partes móveis rápidas.
• fluxo de plásticos em extrusoras de altas velocidades.
• fluxo de ar próximo a foguetes.
Capítulo11 O Transporte de Energia por Condução 73
11.3.2. Estudo teórico da convecção forçada num tubo de seção circular
Hipóteses:
• escoamento em regime laminar e estabelecido;
• propriedades físicas do fluido constantes(ρ, µ, k, Cp);
• T (z = 0) = T0, ∀ r;
• a parede do tubo é aquecida com uma taxa constante de calor q1.
Figura 11.25: Convecção forçada num tubo de secção circular
ρCv
[
∂T
∂t
+ v ·∇T
]
= −∇ · q− ∂P
∂T
∣∣∣∣
V
∇ · v − T :∇v +G = 0
vr = vθ = 0
vz = vm
[
1−
( r
R
)2]
vm =
(P0 − PL)
4µL
R2
ρCvvz
∂T
∂z
= −1
r
∂
∂r
(r qr)− ∂qz
∂z
com
qr = −k∂T
∂r
qz = −k∂T
∂z
ρCvvm
[
1−
( r
R
)2] ∂T
∂z
=
k
r
∂
∂r
(
r
∂T
∂r
)
+ k
∂2T
∂z2
Como ocorre escoamento na direção z, pode-se considerar que a transferência de calor
ocorre eminentemente por convecção, isto é
ρCvvm
[
1−
( r
R
)2] ∂T
∂z
≥ k∂
2T
∂z2
11.3 Transporte de Energia por Condução 74
logo
ρCvvm
[
1−
( r
R
)2] ∂T
∂z
=
k
r
∂
∂r
(
r
∂T
∂r
)
cujas condições de contorno são
T (r = 0, z) = finito
qr(r = R, z) = q1 = −k ∂T
∂r
∣∣∣∣
r=R
T (r, z = 0) = T0
Efetuando a seguinte troca de variáveis
θ =
(T − T0)k
q1R
∴ dT = q1R
k
dθ
ϕ =
r
R
∴ dr = Rdϕ
σ =
z k
ρCvvmR2
∴ dz = ρCvvmR
2
k
dσ
Substituindo na EDP
ρCvvm
(1− ϕ2)
ρCvvmR
2
k
q1R
k
∂θ
∂σ
=
k
R2ϕ
∂
∂ϕ
(
Rϕ
q1R
Rk
(
ϕ
∂θ
∂ϕ
))
q1
R
(1− ϕ2)∂θ
∂σ
=
q1
Rϕ
∂
∂ϕ
(
ϕ
∂θ
∂ϕ
)
(1− ϕ2)∂θ
∂σ
=
1
ϕ
∂
∂ϕ
(
ϕ
∂θ
∂ϕ
)
As condições de contorno nas novas variáveis são
θ(ϕ = 0, σ) = finito X
q1 = −k ∂T
∂r
∣∣∣∣
r=R
q1 = −kq1R
Rk
∂dθ
dϕ
∣∣∣∣
ϕ=1
∂θ
∂ϕ
∣∣∣∣
ϕ=1
= −1 X
T (r, z = 0) = T0
θ(ϕ, σ = 0) = 0 X
Capítulo11 O Transporte de Energia por Condução 75
A solução da EDP anterior pode ser obtida numericamente. No caso de grandes valores de
σ (ou de z) pode-se escrever
θ = C0σ +Ψ(ϕ), C0 = cte
como uma possível solução da EDP.
A primeira condição de contorno é satisfeita
θ(ϕ = 0, σ) = finito = C0σ +Ψ(0)
A segunda condição de contorno também é satisfeita
∂θ
∂ϕ
∣∣∣∣
ϕ=1
=
dΨ
dϕ
∣∣∣∣
ϕ=1
= −1
Já a condição inicial
θ(ϕ, σ = 0) = C0(0) + Ψ(ϕ) = 0
não é satisfeita pois Ψ(ϕ) 6= 0.
Tal condição pode ser trocada por outra, considerando o fato de que: Calor que entra pela
parede lateral do tubo de z = 0 até z
q12pi R z
Calor que sai menos o calor que entra no volume de controle devido ao fluxo de fluido∫ 2pi
0
∫ R
0
ρCv(T − T0)vzr dr dθ
No estado estacionário, pode-se escrever
−q12 piR z =
∫ 2 pi
0
∫ R
0
ρCv(T − T0)vzr dr dθ
mas
σ =
z k
ρCvvmR2
, ϕ =
r
R
θ =
(T − T0)k
q1R
logo
−q12pi Rσ ρCvvmR
2
k
=
∫ 2pi
0
∫ 1
0
ρCv(T − T0)vzR2ϕdϕdθ
−q12pi RσρCvvmR
2
k
= 2 pi
∫ 1
0
ρCv
θ q1Rvz
k
R2ϕdϕ
11.3 Transporte de Energia por Condução 76
−σ =
∫ 1
0
θ(1− ϕ2)ϕdϕ
visto que vz = vm(1− ϕ2).
Voltando ao problema
θ = C0σ +Ψ(ϕ)
∂θ
∂σ
= C0 ,
∂θ
∂ϕ
=
dΨ
dϕ
A EDO é
(1− ϕ2)∂θ
∂σ
=
1
ϕ
∂
∂ϕ
(
ϕ
∂θ
∂ϕ
)
C0(1− ϕ2) = 1
ϕ
d
dϕ
(
ϕ
dΨ
dϕ
)
C0(ϕ− ϕ3) = d
dϕ
(
ϕ
dΨ
dϕ)
ϕ
dΨ
dϕ
= C0
(
ϕ2
2
− ϕ
4
4
)
+ c1
dΨ
dϕ
= C0
(
ϕ
2
− ϕ
3
4
)
+
c1
ϕ
Ψ = C0
(
ϕ2
4
− ϕ
4
16
)
+ c1 ln(ϕ) + c2
mas
θ = C0σ +Ψ
θ = C0σ + C0
(
ϕ2
4
− ϕ
4
16
)
+ c1 ln(ϕ) + c2
θ(ϕ = 0, σ) = finito
θ(ϕ = 0, σ = C0σ + c2 + c1 ln(0)
c1 = 0
∂θ
∂ϕ
∣∣∣∣
ϕ=1
=
dΨ
dϕ
∣∣∣∣
ϕ=1
= −1
dΨ
dϕ
= C0
(
ϕ
2
− ϕ
3
4
)
dΨ
dϕ
∣∣∣∣
ϕ=1
= −1 = C0
(
1
2
− 1
4
)
C0 = −4
Capítulo11 O Transporte de Energia por Condução 77
A condição do balanço é
−σ =
∫ 1
0
θ(1− ϕ2)ϕdϕ
com
θ = −4σ − 4
(
ϕ2
4
− ϕ
4
16
)
+ c2
−σ =
∫ 1
0
{
−4σ − ϕ2 + ϕ
2
4
+ c2
}
(1− ϕ2)ϕdϕ
−σ =
∫ 1
0
−4σ(ϕ−ϕ3)dϕ−
∫ 1
0
ϕ3(1−ϕ2)dϕ+
∫ 1
0
ϕ3
4
(1−ϕ2)dϕ+
∫ 1
0
c2(ϕ−ϕ3)dϕ
−σ = −4σ
[
ϕ2
2
− ϕ
4
4
]1
0
−
[
ϕ4
4
− ϕ
6
6
]1
0
+
1
4
[
ϕ6
6
− ϕ
8
8
]1
0
+ c2
[
ϕ2
2
− ϕ
4
4
]1
0
−σ = σ(−2 + 1)− 1
4
+
1
6
+
1
24
− 1
32
+ c2
(
1
2
− 1
4
)
−σ = −σ − 1
4
+
1
6
+
1
24
− 1
32
+
c2
4
c2 = 4
(
1
4
− 1
6
− 1
24
+
1
32
)
c2 = 1− 2
3
− 1
6
+
1
8
c2 =
144− 96− 24− 18
144
c2 =
42
144
=
14
28
=
7
24
θ = −4σ − 4
(
ϕ2
4
− ϕ
4
16
)
+
7
24
que é exata quando z →∞.
Observação:
σ =
z k
ρCvvmR2
=
[ z
R
] [ k
ρCv
] [
1
vmR
]
σ =
[ z
R
] [ k
ρCv
] [
1
vmR
]
µ
µ
σ =
[ z
R
] [ k
µCv
] [
µ
vmRρ
]
〈v〉 = vm
2
σ =
[ z
R
] [ k
µCv
] [
µ
D 〈v〉 ρ
]
11.3 Transporte de Energia por Condução 78
Número de Prandtl
Pr =
ν
α
=
µ ρCp
ρ k
=
µCP
k
Para líquidos Cp ' Cv logo
σ =
( z
R
) 1
Pr Re
logo Re e Pr são números importantes na convecção forçada.
11.3.3. Troca térmica por convecção natural entre duas placas metálicas
Sejam duas placas planas verticais colocadas paralelamente a uma distância 2b. As duas
placas são mantidas a temperaturas constantes e distintas e o espaço entre elas é preenchido por
um fluido com ρ e µ constantes.
Figura 11.26: Convecção natural entre duas placas
A equação da energia térmica é
ρCv
[
∂T
∂t
+ v · ∇T
]
= −∇ · q− ∂P
∂T
)
V
∇ · v − T :∇v +G
Hipóteses:
• estado estacionário
• fluido incompressível
• dissipação viscosa despresível
• sem geração de calor
• v ' 0
Assim
∇ · q = 0
Capítulo11 O Transporte de Energia por Condução 79
qx = 0 , qy � qz
logo
dqy
dy
= 0 , qy = −kdT
dy
k
d2T
dy2
= 0
T = c1y + c2
T (−b) = T2
T (b) = T1
T2 = −c1b+ c2
T1 = c1b+ c2
T1 + T2 = 2 c2
∴ c2 =
T1 + T2
2
Tm =
T1 + T2
2
T1 = c1b+ Tm
c1 =
T1 − Tm
b
=
T1 − T1 − T2
2
b
c1 =
2T1 − T1 − T2
2 b
=
T1 − T2
2 b
c1 = −∆T
2 b
T = −∆T
2 b
y + Tm (11.13)
O balanço de quantidade de movimento para o sistema leva a
ρ
[
∂v
∂t
+ v ·∇v
]
= −∇P + µ∇2v + ρg
vz = vz(y)
a variação de momentum ocorre exclusivamente por difusão, assim
µ
d2vz
dy2
=
dP
dz
+ ρ g
11.3 Transporte de Energia por Condução 80
Como ρ é uma função direta de T pode-se escrever a seguinte série de Taylor
ρ ' ρ|T¯ +
∂ρ
∂T
∣∣∣∣
T¯
(T − T¯ ) + . . .
mas o coeficiente de expansão térmica é definido como
β =
1
V
(
∂V
∂T
)
P
mas V =
1
V
logo
β = ρ
∂
∂T
(
1
ρ
)
P
= − ρ
ρ2
∂ρ
∂T
)
p
β = −1
ρ
(
∂ρ
∂T
)
P(
∂ρ
∂T
)
P
= −β ρ
assim
ρ = ρ¯− ρ¯β¯(T − T¯ )
logo
µ
d2vz
dy2
=
dP
dz
+ ρ¯g − ρ¯ gβ¯(T − T¯ )
mas, da estática dos fluidos tem-se
dP
dz
= ρ¯ g
assim
µ
d2vz
dy2
= −ρ¯ gβ¯(T − T¯ )
mas T = Tm− ∆T
2
(y
b
)
µ
d2vz
dy2
= −ρ¯ gβ¯
[
Tm− ∆T
2
(y
b
)
− T¯
]
Seja ∆T = Tm− T¯
µ
d2vz
dy2
= −ρ¯ gβ¯∆T + ρ¯ gβ¯∆T
2
(y
b
)
d2vz
dy2
= − ρ¯ gβ¯∆T
µ
+
ρ¯ gβ¯∆T
2µ b
y
Capítulo11 O Transporte de Energia por Condução 81
dvz
dy
=
−ρ¯ gβ¯∆Ty2
2µ
+
ρ¯ gβ¯∆Ty2
4µ b
+ c1
vz = − ρ¯ gβ¯∆Ty
2
2µ
+
ρ¯ gβ¯∆Ty3
12µ b
+ c2y + c2
Seja η =
y
b
∴ y = b η
vz = − ρ¯ gβ¯∆T
2µ
b2η2 +
ρ¯ gβ¯∆T b2η3
12µ b
+ c1b η + c2
Sejam
A =
6∆T
∆T
B =
ρ¯ gβ¯ b2∆T
12µ
Assim
AB =
ρ¯ gβ¯ b2∆T
2µ
e
vz = −ABη2 +Bη3 + c1b η + c2
Mas
vz(−b) = vz(b) = 0
vz(η = −1) = vz(η = 1) = 0
Substituindo tais condições na equação de vz tem-se
0 = −AB −B − c1b+ c2
0 = −AB +B + c1b+ c2
0 = −2AB + 2 c2
c2 = AB
c1 =
1
b
[−AB −B + c2] = 1
b
[−AB −B + AB]
c1 =
−B
b
11.3 Transporte de Energia por Condução 82
logo
vz = B η
3 − AB η2 −Bη + AB
vz = B
[
η3 − Aη2 − η + A]
Mas 〈vz〉 = 0 poi não há movimento global
〈vz〉 =
∫ 1
−1
vzdη = 0
0 =
∫ 1
−1
B
[
η3 − Aη2 − η + A] dη
η4
4
− Aη
3
3
− η
2
2
+ Aη
∣∣∣∣1
−1
= 0
1
4
− 1
4
− A
3
(1 + 1)− 1
2
+
1
2
+ A(1 + 1) = 0
−2
3
A+ 2A = 0
A
[
2− 2
3
]
= 0 ∴ A = 0
assim vz = B η3 −B η
vz =
ρ¯ gβ¯ b2∆T
12µ
(
η3 − η)
Seja ϕ ≡ b vzρ¯
µ
b vz ρ¯
µ
=
ρ¯2g β¯b3∆T
12µ2
(η3 − η)
ϕ =
Gr
12
(η3 − η)
onde Gr é o número de Grashof
Gr =
ρ¯2β¯ g b3∆T
µ2
Observação:
ϕ(−1) = Gr
12
(−1 + 1) = 0
ϕ(1) =
Gr
12
(1− 1) = 0
ϕ(0) =
Gr
12
(0− 0) = 0
Capítulo11 O Transporte de Energia por Condução 83
dϕ
dη
=
Gr
12
(3 η2 − 1)
dϕ
dη
= 0
η∗ = ± 1√
3
= ±
√
3
3
d2ϕ
dη2
=
Gr
2
η
η = −
√
3
3
⇒ d
2ϕ
dη2
< 0 máximo
η =
√
3
3
⇒ d
2ϕ
dη2
> 0 mínimo
∣∣∣∣∣
√
3
3
∣∣∣∣∣ = 0, 58
Figura 11.27: Perfil de velocidade entre as placas
11.3.4. Transferência de calor transiente em sólidos simples - os diagra-
mas de Gurney-Lurie
A transferência de calor por difusão transiente em cilindros infinitos, placas infinitas e em
esferas é estudada nos chamados diagramas de Gurney-Lurie (GL), relacionam as seguintes
11.3 Transporte de Energia por Condução 84
variáveis relativas
Y =
T − T∞
T0 − T∞ variação de temperatura relativa
X =
α t
x21
tempo relativo
n =
x
x1
posição relativa
m =
k
h x1
resistência relativa
onde
T∞ = temperatura do fluido fora do sólido
α = temperatura do sólido em t = 0
t = tempo
x1 = dimensão da superfície ao centro do sólido
x = distância do ponto ao centro do sólido
k = condutividade térmica do sólido
h = coeficiente de transferência de calor do fluido
Existem diagramas GL para esferas, placas infinitas e cilindros infinitos. As restrições para
o uso dos diagramas GL são:
• α = constante;
• em t = 0 T = T0 em todo o corpo;
• T = T∞ no ambiente, T∞ = constante.
Observações:
Figura 11.28: Espessura de uma placa (L)
transporte nas duas faces
x1 = L/2 , X =
α t
x21
=
4α t
L2
Capítulo11 O Transporte de Energia por Condução 85
transporte em uma face
x1 = L , X =
α t
x21
=
α t
L2
Apesar dos diagramas de GL serem válidos para transporte de energia unidimensional, eles
podem ser utilizados, como aproximação, para estudar os transportes bi e tridimensionais.
Exemplos:
Figura 11.29: Placa plana (tridimensional)
Y ∼= YaYbYc
Ya = Y
(
x1 =
a
2
)
, Yb = Y
(
x1 =
b
2
)
, Yc = Y
(
x1 =
c
2
)
Figura 11.30: Cilindro (tridimensional)
Y = YRYL
YR = Y (x1 = R)
YL = Y
(
x1 =
L
2
)
Exemplo 11.6. Uma parede de tijolos refratários (k = 1, 125W/(mK),Cp = 919 J/(KgK)
e ρ = 2310Kg/m3) de 0,5 m de espessura e inicialmente a 200 K e repentinamente exposta a
um gás quente, mantido a 1200 K. Se o coeficiente de transferência de calor é 7, 38W/(m2K)