L2P3EL20181[188]

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Universidade Tecnológica Federal do Paraná
DAMAT - Departamento de Matemática
Cálculo I - Engenharia Elétrica (2018_1)
Prof. Leandro da Silva Pereira
Lista 2 (parte 3)
1) Ache os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado e
indique onde eles ocorrem:
a) f(x) = 4x2 − 4x+ 1; [0; 1]
b) f(x) = (x− 1)3; [0; 4]
c) f(x) = x2
x+1 ; (−5;−1)
d) f(x) = x− tg(x);
[
−pi4 ; pi4
]
e) f(x) = 4x3 − 3x2; (−∞; +∞)
f) f(x) = sen2(x); [0; 2pi]
2) Devemos projetar um jardim de área retangular e protegido por uma
cerca. Qual é a maior área possível de tal jardim se dispusermos de apenas
100m lineares de cerca? R: Quadrado com 25m de comprimento.
3) Uma caixa aberta deve ser feita de uma folha de papelão medindo 16
por 30cm, destacando-se quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando-se
os lados. Qual é o tamanho dos quadrados para se obter uma caixa com o
maior volume?
R: quadrados com 103 cm de lado
4) Encontre o raio e a altura do cilindro circular reto de maior volume
que pode ser inscrito em um cone circular reto com 10cm de altura e 6cm de
raio. R: raio=4cm e altura de 103 cm.
5) É pedido que se projete uma lata fechada de um litro com a forma de
um cilindro reto. Quais são as dimensões da lata que minimizam a quantidade
de material empregada? R: altura igual ao diâmetro, que vale 10,84cm.
6) Uma área retangular com 288m2 deve ser cercada. Em dois de seus
lados opostos, será usada uma cerca que custa R$ 1, 00 o metro, enquanto que
nos outros dois lados opostos será empregada uma cerca que custa R$ 2, 00
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o metro. Encontre as dimensões do retângulo com o menor custo possível.
R: 24m (R$ 1, 00 o metro), 12m (R$ 2, 00 o metro).
7) Calcule a quantidade de medicamento a qual o organismo é mais sen-
sível determinando o valor de M 6= 0 que maximiza a derivada dR
dM , sendo
R = M2
(
c
2 − M3
)
.
8) Quando o estanho metálico é mantido abaixo de 13, 2◦C, lentamente
se torna quebradiço e acaba por se esfarelar, tornando-se um pó cinza. Um
catalisador para uma reação química é uma substância que aumenta a ve-
locidade da reação sem sofrer nenhuma mudança permanente. Uma reação
autocatalítica é aquela em que o produto é o catalisador de sua própria for-
mação. Quando tanto a substância original quanto o produto catalisador são
abundantes, a reação ocorre mais rapidamente. Em alguns casos, é razoável
admitir que a velocidade de reação v = dx
dt
é proporcional tanto à quantidade
de substância original quanto à quantidade de produto. Ou seja, v pode ser
expressa por v = kax − kx2, sendo x a quantidade de produto, a é a quan-
tidade de substância no início e k é uma constante positiva. Com que valor
de x a velocidade v apresenta um máximo? Qual o valor máximo de v?
R: x = a2 e v =
ka2
4 .
9) Uma pulga, ao saltar, teve sua posição no espaço descrita em função do
tempo pela expressão h(t) = 4t− 5t2, sendo h a altura atingida, em metros,
e t o tempo, em segundos. Em que instante a pulga atinge a altura máxima
do solo? Quanto é essa altura?
R: t = 0.4s e h = 0.8m